83659

Анализ цепей с индуктивно связанными элементами

Лекция

Физика

Такие элементы могут связывать цепи электрически гальванически разделенные друг от друга. В том случае когда изменение тока в одном из элементов цепи приводит к появлению ЭДС в другом элементе цепи говорят что эти два элемента индуктивно связаны а возникающую ЭДС называют ЭДС взаимной индукции. Степень индуктивной связи элементов характеризуется коэффициентом связи 1 где М взаимная индуктивность элементов цепи размерность Гн; и собственные индуктивности этих элементов.

Русский

2015-03-15

150 KB

0 чел.

Лекция N 14

Анализ цепей с индуктивно связанными элементами

Электрические цепи могут содержать элементы, индуктивно связанные друг с другом. Такие элементы могут  связывать цепи, электрически (гальванически) разделенные друг от друга.

В том случае, когда изменение тока в одном из элементов цепи приводит к появлению ЭДС в другом элементе цепи, говорят, что эти два элемента индуктивно связаны, а возникающую ЭДС называют ЭДС взаимной индукции. Степень индуктивной связи элементов характеризуется коэффициентом связи

,

(1)

где М – взаимная индуктивность элементов цепи (размерность – Гн);  и  -собственные индуктивности этих элементов.

Слеует отметить, что всегда к<1.

Пусть имеем две соосные катушки в общем случае с ферромагнитным сердечником (см. рис. 1). На рис. 1 схематично показана картина магнитного поля при наличии тока i1 в первой катушке (направление силовых линий магнитного потока определяется по правилу правого буравчика). Витки первой катушки сцеплены с магнитным потоком самоиндукции Ф11 , а витки второй катушки – с магнитным потоком взаимной индукции Ф21, который отличается от Ф11 (Ф21< Ф11) за счет потоков рассеяния.

По определению


;

(2)

 

.

(3)

Если теперь наоборот пропустить ток i2 по второй катушке, то соответственно получим

;

(4)

 

.

(5)

При этом

.

(6)

Следует отметить, что коэффициент связи мог бы быть равным 1, если бы  и , то есть когда весь поток, создаваемый одной катушкой, полностью пронизывал бы витки другой катушки. Практически даже различные витки одной и той же катушки пронизываются разными потоками. Поэтому с учетом рассеяния  и . В этой связи

 

.

Рассмотрим цепь переменного тока на рис. 2, в которую последовательно включены две катушки индуктивности  и , индуктивно связанные друг с другом, и резистор R.

При изменении тока i в цепи в катушках индуцируются ЭДС само- и взаимоиндукции. При этом ЭДС взаимной индукции должна по закону Ленца иметь такое направление, чтобы препятствовать изменению потока взаимной индукции.

Тогда, если в цепи протекает гармонически изменяющийся ток , то в первой катушке индуцируется ЭДС

,

(7)

а во второй –

.  

(8)

Катушки можно включить так, что ЭДС самоиндукции будет суммироваться с ЭДС взаимоиндукции; при переключении одной из катушек ЭДС взаимоиндукции будет вычитаться из ЭДС самоиндукции. Один из зажимов каждой катушки на схеме помечают, например точкой или звездочкой. Этот знак означает, что при увеличении, например, тока в первой катушке, протекающего от точки, во второй катушке индуцируется ЭДС взаимоиндукции, действующая от другого конца к точке. Различают согласное и встречное включения катушек. При согласном включении токи в катушках одинаково ориентированы по отношению к их одноименным зажимам. При этом ЭДС само- и взаимоиндукции складываются – случай, показанный на рис. 2. При встречном включении катушек токи ориентированы относительно одноименных зажимов различно. В этом случае ЭДС само- и взаимоиндукции вычитаются. Таким образом, тип включения катушек (согласное или встречное) определяются совместно способом намотки катушек и направлении токов в них.

Перейдя к комплексной форме записи (7) и (8), получим

;   

(9)

 

,  

(10)

где  - сопротивление взаимоиндукции (Ом).

Для определения тока в цепи на рис. 2 запишем

,

откуда

.

Воздушный (линейный) трансформатор

Одним из важнейших элементов электрических цепей является трансформатор, служащий для преобразования величин токов и напряжений. В простейшем случае трансформатор состоит из двух гальванически несвязанных и неподвижных катушек без ферромагнитного сердечника. Такой трансформатор называется воздушным. Он является линейным. Наличие ферромагнитного сердечника обусловило бы нелинейные свойства трансформатора.

На рис. 3 представлена схема замещения трансформатора, первичная обмотка которого включена на напряжение U1, а от вторичной обмотки получает питание приемник с сопротивлением .

В трансформаторе энергия из первичной цепи передается во вторичную посредством магнитного поля. Если в первичной цепи под действием напряжения источника возникает переменный ток, то во вторичной цепи за счет магнитной связи катушек индуцируется ЭДС, вызывающая протекание тока в нагрузке.

По второму закону Кирхгофа для первичной и вторичной цепей трансформатора можно записать

;

.

Таким образом, уравнения воздушного трансформатора имеют вид:

;        

(11)

,    .

(12)

где  и  - активные сопротивления обмоток; .

Если уравнения (11) и (12) решить относительно , предварительно подставив в (12)  и обозначив ; , то получим

,

(13)

где ;  - вносимые активное и реактивное сопротивления.

Таким образом, согласно (13) воздушный трансформатор со стороны первичной

обмотки может рассматриваться как двухполюсник с сопротивлением .

Баланс мощностей в цепях с индуктивно связанными элементами

Пусть имеем схему по рис. 4, где А – некоторый активный четырехполюсник. Для данной цепи можно записать

;

.

Обозначим токи  и  как: ; .

Тогда для комплексов полных мощностей первой и второй ветвей соответственно можно записать:

       ;

.

Рассмотрим в этих уравнениях члены со взаимной индуктивностью:

    

(14)

 .

(15)

где .

Из (14) и (15) вытекает, что

;   

(16)

.  

(17)

Соотношение (16) показывает, что активная мощность передается от первой катушки ко второй. При этом суммарная реактивная мощность, обусловленная взаимной индукцией, равна нулю, т.к. . Это означает, что на общий баланс активной мощности цепи индуктивно связанные элементы не влияют.

Суммарная реактивная мощность, обусловленная взаимоиндукцией, равна

.

Таким образом, общее уравнение баланса мощностей с учетом индуктивно связанных элементов имеет вид

,        

(18)

где знак “+”  ставится при согласном включении катушек, а “-” – при встречном.

Расчет разветвленных цепей при наличии взаимной индуктивности может быть осуществлен путем составления уравнений по законам Кирхгофа или методом контурных токов. Непосредственное применение метода узловых потенциалов для расчета таких цепей неприемлемо, поскольку в этом случае ток в ветви зависит также от токов других ветвей, которые наводят ЭДС взаимной индукции.

В качестве примера расчета цепей с индуктивно связанными элементами составим контурные уравнения для цепи на рис. 5:

Чтобы обойти указанное выше ограничение в отношении применения метода узловых потенциалов для расчета рассматриваемых схем можно использовать эквивалентные преобразования, которые иллюстрируют схемы на рис. 6, где цепь на рис. 6,б эквивалентна цепи на рис. 6,а. При этом верхние знаки ставятся при согласном включении катушек, а нижние – при встречном.

 

 

Литература

  1.  Основы теории цепей: Учеб. для вузов /Г.В.Зевеке, П.А. Ионкин, А.В.Нетушил, С.В.Страхов. –5-еизд.,перераб.–М.: Энергоатомиздат, 1989. -528с.
  2.  Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники: Электрические цепи. Учеб. для студентов электротехнических, энергетических и приборостроительных специальностей вузов. –7-е изд., перераб. и доп. –М.: Высш. шк., 1978. –528с.

 

Контрольные вопросы и задачи

  1.  Какие элементы называются индуктивно связанными?
  2.  Что такое коэффициент связи, и в каких пределах он изменяется?
  3.  Что такое воздушный трансформатор? Почему он называется линейным?
  4.  Запишите уравнения воздушного трансформатора, нарисуйте его схему замещения.
  5.  Как влияют индуктивно связанные элементы на баланс мощностей?
  6.  Какие методы расчета можно использовать для анализа цепей с индуктивно связанными элементами?
  7.  Записать уравнения для расчета цепи на рис. 5, используя законы Кирхгофа.
  8.  Записать контурные уравнения для цепи на рис. 5, используя эквивалентную замену индуктивных связей.
  9.  С использованием эквивалентной замены индуктивных связей записать узловые уравнения для цепи на рис. 5.
  10.  Рассчитать входное сопротивление на рис. 3, если ; ; ; ; ; .

Ответ: .

101


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

36740. Острое гнойное воспаление среднего уха у детей. Характер нарушения слуха по камертональным и аудиометрическим данным 15.37 KB
  Одно из наиболее частых заболеваний детей младшего возраста. В результате «незрелости» иммунных систем и отсутствия способности к ограничению воспалительного процесса острый средний отит у детей этого возраста характеризуется тяжелыми общими нарушениями.
36741. ОРГАНИЗАЦИЯ ЗАЩИТЫ НАСЕЛЕНИЯ В ВОЕННОЕ ВРЕМЯ 112.5 KB
  Оружие массового поражения обладает огромными поражающими возможностями, в связи с чем важное значение имеют надежная защита населения на всей территории страны и обеспечение устойчивости работы всех объектов экономики в случае применения этого оружия.
36742. Изучение свободных колебаний связанной системы тел 174 KB
  Цель работы: Определение периода колебаний и коэффициента затухания системы содержащей груз блок и пружину. Гармоническими называются колебания при которых изменение фйзической величины например смещения груза у с течением времеи закон колебаний выражается формулой или . амплитуда колебаний; фаза колебаний; циклическая частота; Любое механическое колебание происходит с затратами энерпш на работу протнв сил трения.
36743. Определение длины волны и частоты электромагнитного колебания с помощью схемы Лехера 203 KB
  Цель работы: исследование распределения амплитуд напряжения и тока вдоль двухпроводной линии при различных режимах её работы на сверхвысоких частотах (СВЧ) и определение длины волны генератора СВЧ волн.
36744. Изучение стоячих волн 45 KB
  Цель работы: изучение стоячих волн и определение скорости распространения волны в натянутом шнуре.
36745. Изучение основных свойств волновых явлений 211 KB
  Измерьте зависимость амплитуды принимаемого приемником сигнала показания микроамперметра от угла поворота приемника относительно его начального положения в пределах от до поворачивая подвижную скамью с приемником вокруг неподвижной оси через . Угол поворота 5 10 15 20 25 30 35 40 45 90 Амплитуда 465 39 23 125 35 1 05 05 05 0 Таблица 2. Угол поворота 5 10 15 20 25 30 35 40 45 90 Амплитуда 40 245 105 15 1 1 1 05 05 0 Рис. Измерьте зависимость показаний микроамперметра от угла поворота детектора влево и вправо от центра...
36746. Работа с электронными каталогами и электронными библиотеками 75.5 KB
  Задание №1 Порядок выполнения: Загрузите файл “домашней†титульной страницы Home Pge: Библиотеки Российской академии наук БАН набрав ее электронный адрес URL: http: www. Задание №2 Работа с электронными каталогами библиотек Понятие электронный каталог сформировалось в США где этот термин имеет несколько значений. Современные электронные каталоги реальных библиотек должны обеспечивать не только быстроту и точность поиска но и сервисность т.
36747. Дискретизация непрерывных сигналов 164.5 KB
  Для этого из бесконечного множества значений этой функции параметра сигнала выбирается их определенное число которое приближенно может характеризовать остальные значения. Область определения функции разбивается точками x1 x2 xn на отрезки равной длины и на каждом из этих отрезков значение функции принимается постоянным и равным например среднему значению на этом отрезке; полученная на этом этапе функция называется в математике ступенчатой. Следующий шаг проецирование значений “ступенек†на ось значений функции ось ординат....
36748. КОНТРОЛЬ РАЗМЕРОВ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ДЕТАЛЕЙ 348 KB
  Лабораторная работа №3 КОНТРОЛЬ РАЗМЕРОВ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ДЕТАЛЕЙ Излагается методика измерения размеров цилиндрических деталей с помощью различных универсальных измерительных средств и оценки годности данной детали в соответствии с заданными требованиями по чертежу. Цель работы приобрести первичные практические навыки в выполнении измерений с помощью различных универсальных измерительных средств приобрести навыки в оценке годности детали по линейным размерам I. С помощью выбранных универсальных измерительных средств определить...