83660

Особенности составления матричных уравнений при наличии индуктивных связей и ветвей с идеальными источниками

Лекция

Физика

В общем случае разветвленной цепи со взаимной индукцией матрица сопротивлений ветвей имеет вид Z . Здесь элементы главной диагонали комплексные сопротивления ветвей схемы; элементы вне главной диагонали комплексные сопротивления индуктивной связи i й и k й ветвей знак ставится при одинаковой ориентации ветвей относительно одноименных зажимов в противном случае ставится...

Русский

2015-03-15

118 KB

0 чел.

 

Лекция N 15

Особенности составления матричных уравнений при наличии
индуктивных связей и ветвей с идеальными источниками

             Матрицы сопротивлений и проводимостей для цепей со взаимной индукцией

Как было показано ранее (см. лекцию N 6 ), для схем, не содержащих индуктивно связанные элементы, матрицы сопротивлений и проводимостей ветвей являются диагональными, т.е. все их элементы, за исключением стоящих на главной диагонали, равны нулю.

В общем случае разветвленной цепи со взаимной индукцией матрица сопротивлений ветвей имеет вид 

.

 

Здесь элементы главной диагонали , ,… - комплексные сопротивления ветвей схемы; элементы вне главной диагонали  - комплексные сопротивления индуктивной связи i- й и k – й ветвей (знак “+” ставится при одинаковой ориентации ветвей относительно одноименных зажимов, в противном случае ставится знак “-”).

Матрица проводимостей ветвей в цепях со взаимной индукцией определяется согласно

Y = Z –1 .

Зная матрицы и Y , можно составить контурные уравнения, а также узловые, т.е. в матричной форме метод узловых потенциалов распространяется на анализ цепей с индуктивно связанными элементами.

Следует отметить, что обычно не все ветви схемы индуктивно связаны между собой. В этом случае с помощью соответствующей нумерации ветвей графа матрице  Z целесообразно придать квазидиагональную форму

,

 

что облегчает ее обращение, поскольку

,

 

где подматрицы  могут быть квадратными диагональными или недиагональными.

В качестве примера составим матрицы Z и Y для схемы на рис. 1,а, граф которой приведен на рис. 1,б.


Для принятой нумерации ветвей матрица сопротивлений ветвей


.

 

В этой матрице можно выделить три подматрицы, обращая которые, получим

 

Z-111

;

Z-122

;

Z-133 

 .

Таким образом, матрица проводимостей ветвей

Y .

 

Отметим, что при принятой ориентации ветвей  и .


В качестве примера матричного расчета цепей с индуктивными связями запишем контурные уравнения в матричной форме для цепи рис. 2,а.


Решение

1. Для заданной цепи составим граф (см. рис. 2,б), выделив в нем дерево, образованное ветвью 3.

Тогда матрица главных контуров имеет вид

В .

2. Запишем матрицу сопротивлений ветвей с учетом их принятой ориентации

Z .

3. Определим матрицу контурных сопротивлений

Zk=BZBT 

 

4. Запишем столбцовую матрицу контурных ЭДС

 

.

5. Подставив найденные выражения в , окончательно получим

.

 

Составление матричных соотношений при наличии ветвей с идеальными источниками

В цепи могут иметь место ветви, содержащие только идеальные источники ЭДС или тока. При записи уравнений без использования матричных соотношений такие ветви не вносят каких-либо особенностей в их составление. Однако, если уравнения записываются по второму закону Кирхгофа в матричной форме или используется матричная форма контурных уравнений, то в матрице сопротивлений ветвей Z ветвям, содержащим идеальные источники тока, будут соответствовать диагональные элементы . Поэтому при наличии таких ветвей исходная схема перед составлением уравнений должна быть подвергнута соответствующему преобразованию, иллюстрируемому рис. 3.

 

 

Здесь идеальный источник тока  (см. рис. 3,а) включен между узлами k и n. Подключение к узлам l и m по два одинаковых по величине и противоположно направленных источника тока  (см. рис. 3,б) не влияет на режим работы цепи, что указывает на эквивалентность замены исходной цепи на рис. 3,а схемой на рис. 3,б.

Может быть другой случай, когда уравнения в матричной форме записываются по первому закону Кирхгофа или используется матричная форма узловых уравнений, а в цепи имеют место ветви, содержащие только идеальные источники ЭДС. Для таких ветвей соответствующие им диагональные элементы матрицы Y будут равны . Поэтому при наличии таких ветвей исходную схему перед составлением уравнений необходимо подвергнуть преобразованию, поясняемому рис. 4.

Здесь участок исходной цепи (см. рис. 4,а) содержит ветвь с идеальным источником ЭДС . Включение в каждую ветвь, соединенную с узлом  n, источника с ЭДС, равной , и направлением действия, указанным на рис. 4,б, позволяет (в силу того, что ) трансформировать исходную цепь в схему, представленную на рис. 4,в.


Литература

  1.  Основы теории цепей: Учеб. для вузов /Г.В.Зевеке, П.А.Ионкин, А.В.Нетушил, С.В.Страхов. –5-е изд., перераб. –М.: Энергоатомиздат, 1989. -528с.
  2.  Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники: Электрические цепи. Учеб. для студентов электротехнических, энергетических и приборостроительных специальностей вузов. –7-е изд., перераб. и доп. –М.: Высш. шк., 1978. –528с.

Контрольные вопросы и задачи

  1.  В чем отличие матриц сопротивлений и проводимостей ветвей для цепей с отсутствием и наличием индуктивных связей?
  2.  В чем заключается особенность нумерации ветвей графа при наличии индуктивных связей?
  3.  Какие особенности имеют место при составлении матричных соотношений для цепей, содержащих ветви с идеальными источниками?
  4.  В цепи на рис. 5 ; ; ; ; ; . Приняв, что дерево образовано ветвью 1, составить контурные уравнения в матричной форме и определить токи ветвей.

Ответ:

.

  1.  Для цепи на рис.5 составить узловые уравнения в матричной форме, на основании которых затем определить токи ветвей.

Ответ:

;

.

 

106


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

9824. Информация по методам оценки эффективности программы управления рисками 57.5 KB
  Информация по методам оценки эффективности программы управления рисками. Эффективность программы управления может быть оценена различными способами. В Руководстве могут быть представлены некоторые из них. Рассмотрим два основных подхода. Первый спос...
9825. Анализ алгоритмов обучения для нейросетей 136 KB
  Анализ алгоритмов обучения для нейросетей 1. Введение 3 2. Методы обучения нейросетей. 4 I. Алгоритм обратного распространения ошибки 4 II. Классический генетический алгоритм. 5 III. Модифицированный генетический алгоритм. 8 IV. Социально - генетиче...
9826. Сущность и функции исторического знания. Методология исторической науки. Общее и особенное в историческом развитии России 30.29 KB
  Сущность и функции исторического знания. Методология исторической науки. Общее и особенное в историческом развитии России. 1. Русский литератор, философ и общественный деятель XIX века. Н.Г. Чернышевский писал: Можно не знать, не чувствовать влечения...
9827. Россия в условиях форсированной модернизации конца 19 начала 20 веков. Реформы Вите 24.06 KB
  Россия в условиях форсированной модернизации конца 19 начала 20 веков. Реформы Вите. На рубеже XIX-XX веков Россия была великой мировой державой, территория которой занимала шестую часть земного шара, а население составляло около 130 млн. человек (в...
9828. Основные этапы отечественной историографии по истории России 28.85 KB
  Основные этапы отечественной историографии по истории России. Слово историография происходит от греческого история - разведывание, исследование прошлого и графо - пишу. Понятие историография неоднозначно. Таким термином часто называют истори...
9829. Модернизация политической системы России в начале 20 века, политические партии, опыт думского парламента 48.2 KB
  Модернизация политической системы России в начале 20 века, политические партии, опыт думского парламента В политическом отношении Россия в конце XIX - начале XX века представляла собой монархию с неограниченным самодержавием, О свободе слова, собран...
9830. Происхождение восточных славян и проблемы становления древнерусского государственности 27.8 KB
  Происхождение восточных славян и проблемы становления древнерусского государственности Прежде чем ответить на вопрос о том, как сформировалось государство Российское, необходимо понять, кто такие славяне, откуда есть пошла Русская земля. Проблема пр...
9831. Российское общество в условиях форсирования модернизации начала 20 века: реформы Столыпина 24.55 KB
  Российское общество в условиях форсирования модернизации начала 20 века: реформы Столыпина. На рубеже XIX-XX веков Россия была великой мировой державой, территория которой занимала шестую часть земного шара, а население составляло около 130 млн. чел...
9832. Киевская Русь 9-11 веках особенности государственного строя и социально-политического развития 25.91 KB
  Киевская Русь 9-11 веках особенности государственного строя и социально-политического развития. В Киевской Руси, как и в других государствах Западной Европы, в X-XI веках начало складываться феодальное общество. Древнерусское государство было полиэт...