83661

Методы расчета, основанные на свойствах линейных цепей

Лекция

Физика

Метод наложения Данный метод справедлив только для линейных электрических цепей и является особенно эффективным когда требуется вычислить токи для различных значений ЭДС и токов источников в то время как сопротивления схемы остаются неизменными. Аналитически принцип наложения для цепи содержащей n источников ЭДС и m источников тока выражается соотношением . 1 Здесь комплекс входной проводимости k й ветви численно равный отношению тока к ЭДС в этой ветви при равных нулю ЭДС в остальных ветвях; комплекс взаимной ...

Русский

2015-03-15

165.5 KB

0 чел.

Лекция N 16

Методы расчета, основанные на свойствах линейных цепей

Выбор того или иного метода расчета электрической цепи в конечном итоге определяется целью решаемой задачи. Поэтому анализ линейной цепи не обязательно должен осуществляться с помощью таких общих методов расчета, как метод контурных токов или узловых потенциалов. Ниже будут рассмотрены методы, основанные на свойствах линейных электрических цепей и позволяющие при определенных постановках задач решить их более экономично.

 

Метод наложения

 

Данный метод справедлив только для линейных электрических цепей и является особенно эффективным, когда требуется вычислить токи для различных значений ЭДС и токов источников в то время, как сопротивления схемы остаются неизменными.

Данный метод основан на принципе наложения (суперпозиции), который формулируется следующим образом: ток в k – й ветви линейной электрической цепи равен алгебраической сумме токов, вызываемых каждым из источников в отдельности.

Аналитически принцип наложения для цепи, содержащей n источников ЭДС и m источников тока, выражается соотношением

.  

(1)

Здесь  - комплекс входной проводимости k – й ветви, численно равный отношению тока к ЭДС в этой ветви при равных нулю ЭДС в остальных ветвях;  - комплекс взаимной  проводимости k – й и i– й ветвей, численно равный отношению тока в k – й ветви и ЭДС в i– й ветви при равных нулю ЭДС в остальных ветвях.

Входные и взаимные проводимости можно определить экспериментально или аналитически, используя их указанную смысловую трактовку, при этом  , что непосредственно вытекает из свойства взаимности (см. ниже).

Аналогично определяются коэффициенты передачи тока , которые в отличие от проводимостей являются величинами безразмерными.

Доказательство принципа наложения можно осуществить на основе метода контурных токов.

Если решить систему уравнений, составленных по методу контурных токов, относительно любого контурного тока, например , то получим

,   

(2)

где  - определитель системы уравнений, составленный по методу контурных токов;  - алгебраическое дополнение определителя .

Каждая из ЭДС в (2) представляет собой алгебраическую сумму ЭДС в ветвях i–го контура. Если теперь все контурные ЭДС в (2) заменить алгебраическими суммами ЭДС в соответствующих ветвях, то после группировки слагаемых получится выражение для контурного тока  в виде алгебраической суммы составляющих токов, вызванных каждой из ЭДС ветвей в отдельности. Поскольку систему независимых контуров всегда можно выбрать так, что рассматриваемая h-я ветвь войдет только в один -й контур, т.е. контурный ток  будет равен действительному току  h-й ветви, то принцип наложения справедлив для токов  любых ветвей и, следовательно, справедливость принципа наложения доказана.

Таким образом, при определении токов ветвей при помощи метода наложения следует поочередно оставлять в схеме по одному источнику, заменяя остальные их внутренними сопротивлениями, и рассчитать составляющие искомых токов в этих схемах. После этого полученные результаты для соответствующих ветвей суммируются – это и будут искомые токи в ветвях исходной цепи.

В качестве примера использования метода наложения определим ток во второй ветви схемы на рис. 1,а.

Принимая источники в цепи на рис. 1,а идеальными и учитывая, что у идеального источника ЭДС внутреннее сопротивление равно нулю, а у идеального источника тока – бесконечности, в соответствии с методом наложения приходим к расчетным схемам на     рис. 1,б,в,г.

В этих цепях

;  ;  ,

где ; ; .

Таким образом,

.

В качестве другого примера использования метода определим взаимные проводимости  и  в цепи на рис. 2, если при переводе ключа в положение 1 токи в первой и второй ветвях соответственно равны  и , а при переводе в положение 2 -  и .

Учитывая, что в структуре пассивного четырехполюсника не содержится источников энергии, на основании принципа наложения для состояния ключа в положении “1” можно записать

;    

(3)

            

.    

(4)

При переводе ключа в положение “2” имеем

;    

(5)

..

(6)

Тогда, вычитая из уравнения (3) соотношение (5), а из (4)-(6), получим

;

,

откуда искомые проводимости

;      .

 

Принцип взаимности

Принцип взаимности основан на теореме взаимности, которую сформулируем без доказательства: для линейной цепи ток  в k – й ветви, вызванной единственной в схеме ЭДС , находящейся в i – й ветви,

будет равен току  в i – й ветви, вызванному ЭДС , численно равной ЭДС , находящейся в  k – й ветви,

.

Отсюда в частности вытекает указанное выше соотношение .

Иными словами, основанный на теореме взаимности принцип взаимности гласит: если ЭДС , действуя в некоторой ветви схемы, не содержащей других источников, вызывает в другой ветви ток  (см. рис. 3,а), то принесенная в эту ветвь ЭДС  вызовет в первой ветви такой же ток  (см. рис. 3,б).

В качестве примера использования данного принципа рассмотрим цепь на рис. 4,а, в которой требуется определить ток , вызываемый источником ЭДС .

Перенесение источника ЭДС  в диагональ моста, где требуется найти ток, трансформирует исходную схему в цепь с последовательно-параллельным соединением на рис. 4,б. В этой цепи

,

(7)

 

где .

В соответствии с принципом взаимности ток  в цепи на рис. 4,а равен току, определяемому соотношением (7)

.

Линейные соотношения в линейных электрических цепях

При изменении в линейной электрической цепи ЭДС (тока) одного из источников или сопротивления в какой-то ветви токи в любой паре ветвей m и n будут связаны между собой соотношением

(8)

где А и В – некоторые в общем случае комплексные константы.

Действительно, в соответствии с (1) при изменении ЭДС  в  k – й ветви для тока в m – й ветви можно записать

       

(9)

и для тока в n – й ветви –

.

(10)

Здесь  и  - составляющие токов соответственно в m – й и n – й ветвях, обусловленные всеми остальными источниками, кроме .

Умножив левую и правую части (10) на , вычтем полученное соотношением из уравнения (9). В результате получим

.  

(11)

Обозначив в (11)  и , приходим к соотношению (8).

Отметим, что в соответствии с законом Ома из уравнения (8) вытекает аналогичное соотношение для напряжений в линейной цепи.

В качестве примера найдем аналитическую зависимость между токами

 и  в схеме с переменным резистором на  рис. 5, где ; ; .

Коэффициенты А и В  можно рассчитать, рассмотрев любые два режима работы цепи, соответствующие двум произвольным значениям .

Выбрав в качестве этих значений  и , для первого случая ( ) запишем

.

Таким образом, .

При  (режим короткого замыкания)

,

откуда

.

На основании (8)

.

Таким образом,

.

 

Принцип компенсации

Принцип компенсации основан на теореме о компенсации, которая гласит: в любой электрической цепи без изменения токов в ее ветвях сопротивление в произвольной ветви можно заменить источником с ЭДС, численно равной падению напряжения на этом сопротивлении и действующей навстречу току в этой ветви.

Для доказательства теоремы выделим из схемы произвольную ветвь с сопротивлением , по которой протекает ток , а всю остальную часть схемы условно обозначим некоторым активным двухполюсником А (см. рис. 6,а).

При включении в ветвь с  двух одинаковых и действующих навстречу друг другу источников ЭДС с  (рис. 6,б) режим работы цепи не изменится. Для этой цепи

.   

(12)

Равенство (12) позволяет гальванически соединить точки а и c, то есть перейти к цепи на рис. 6,в. Таким образом, теорема доказана.

В заключение следует отметить, что аналогично для упрощения расчетов любую ветвь с известным током  можно заменить источником тока .

 

Литература

  1.  Основы теории цепей: Учеб. для вузов /Г.В.Зевеке, П.А.Ионкин, А.В.Нетушил, С.В.Страхов. –5-е изд., перераб. –М.: Энергоатомиздат, 1989. -528с.
  2.  Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники: Электрические цепи. Учеб. для студентов электротехнических, энергетических и приборостроительных специальностей вузов. –7-е изд., перераб. и доп. –М.: Высш. шк., 1978. –528с.
  3.  Каплянский А.Е. и др. Теоретические основы электротехники. Изд. 2-е. Учеб. пособие для электротехнических и энергетических специальностей вузов. –М.: Высш. шк., 1972. –448 с.

Контрольные вопросы и задачи

  1.  Для каких цепей применим принцип суперпозиции?
  2.  В каких случаях эффективно применение метода наложения?
  3.  Как определяются входные и взаимные проводимости ветвей?
  4.  Докажите теорему взаимности.
  5.  Какими линейными соотношениями связаны токи и напряжения в ветвях линейной цепи?
  6.  Можно ли распространить принцип компенсации на нелинейную электрическую цепь?
  7.  Определить методом наложения ток в первой ветви цепи на рис. 1,а.

Ответ: , где ; .

  1.  В цепи на рис. 2 . Определить токи в остальных ветвях схемы, воспользовавшись линейным соотношением, принципом компенсации и методом наложения.

Ответ: ; .

113


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

22527. Расчет динамического коэффициента при ударной нагрузке 140.5 KB
  Скорость ударяющего тела за очень короткий промежуток времени изменяется и в частном случае падает до нуля; тело останавливается. передается реакция равная произведению массы ударяющего тела на это ускорение. Обозначая это ускорение через а можно написать что реакция где Q вес ударяющего тела. Эти силы и вызывают напряжения в обоих телах.
22528. Сопротивление материалов. Введение и основные понятия 40.5 KB
  Прочность это способность конструкции выдерживать заданную нагрузку не разрушаясь. Жесткость способность конструкции к деформированию в соответствие с заданным нормативным регламентом. Деформирование свойство конструкции изменять свои геометрические размеры и форму под действием внешних сил Устойчивость свойство конструкции сохранять при действии внешних сил заданную форму равновесия. Надежность свойство конструкции выполнять заданные функции сохраняя свои эксплуатационные показатели в определенных нормативных пределах в течение...
22529. Метод сечений для определения внутренних усилий 92.5 KB
  Метод сечений для определения внутренних усилий Деформации рассматриваемого тела элементов конструкции возникают от приложения внешней силы. Внутренние усилия это количественная мера взаимодействия двух частей одного тела расположенных по разные стороны сечения и вызванные действием внешних усилий. Здесь {S} и {S } внутренние усилия возникающих соответственно в левой и правой отсеченных частях вследствие действия внешних усилий. Используя общую методологию теоремы Пуансо о приведении произвольной системы сил к заданному центру и...
22530. Эпюры внутренних усилий при растяжении-сжатии и кручении 48.5 KB
  Рассмотрим расчетную схему бруса постоянного поперечного сечения с заданной внешней сосредоточенной нагрузкой Р и распределенной q рис. а расчетная схема б первый участок левая отсеченная часть в второй участок левая отсеченная часть г второй участок правая отсеченная часть д эпюра нормальных сил Рис. В пределах первого участка мысленно рассечем брус на 2 части нормальным сечением и рассмотрим равновесие допустим левой части введя следующую координату х1 рис. Мысленно рассечем его сечением 2 2 и рассмотрим равновесие левой...
22531. Эпюры внутренних усилий при прямом изгибе 87.5 KB
  Рассмотрим пример расчетной схемы консольной балки с сосредоточенной силой Р рис. а расчетная схема б левая часть в правая часть г эпюра поперечных сил д эпюра изгибающих моментов Рис. Построение эпюр поперечных сил и внутренних изгибающих моментов при прямом изгибе: Прежде всего вычислим реакции в связи на базе уравнений равновесия: После мысленного рассечения балки нормальным сечением 1 1 рассмотрим равновесие левой отсеченной части рис. Для правой отсеченной части при рассмотрении ее равновесия результат аналогичен рис.
22532. Понятие о напряжениях и деформациях 80.5 KB
  а вектор полного напряжения б вектор нормального и касательного напряжений уменьшаются главный вектор и главный момент внутренних сил причем главный момент уменьшается в большей степени. Введенный таким образом вектор рn называется вектором напряжений в точке. Совокупность всех векторов напряжений в точке М для всевозможных направлений вектора п определяет напряженное состояние в этой точке. В общем случае направление вектора напряжений рn не совпадает с направлением вектора нормали п.
22533. Свойства тензора напряжений. Главные напряжения 95 KB
  Свойства тензора напряжений. Главные напряжения Тензор напряжений обладает свойством симметрии. Для доказательства этого свойства рассмотрим приведенный в лекции 5 элементарный параллелепипед с действующими на его площадках компонентами тензора напряжений. Отличные от нуля моменты создают компоненты верхняя грань и права грань: После сокращения на элемент объема dV=dxdydz получим Аналогично приравнивая нулю сумму моментов всех сил относительно осей Оу и Ог получим еще два соотношения Эти условия симметрии и тензора напряжений...
22534. Плоское напряженное состояние 98.5 KB
  Тензор напряжений в этом случае имеет вид Геометрическая иллюстрация представлена на рис. Инварианты тензора напряжений равны а характеристическое уравнение принимает вид Корни этого уравнения равны 1 Нумерация корней произведена для случая Рис. Позиция главных напряжений Произвольная площадка характеризуется углом на рис. Если продифференцировать соотношение 2 по и приравнять производную нулю то придем к уравнению 4 что доказывает экстремальность главных напряжений.
22535. Упругость и пластичность. Закон Гука 156 KB
  При высоких уровнях нагружения когда в теле возникают значительные деформации материал частично теряет упругие свойства: при разгрузке его первоначальные размеры и форма полностью не восстанавливаются а при полном снятии внешних нагрузок фиксируются остаточные деформации. Накапливаемые в процессе пластического деформирования остаточные деформации называются пластическими. Твердые тела выполненные из различных материалов разрушаются при разной величине деформации. Соответствующие деформации обозначим через и причем эти деформации...