83661

Методы расчета, основанные на свойствах линейных цепей

Лекция

Физика

Метод наложения Данный метод справедлив только для линейных электрических цепей и является особенно эффективным когда требуется вычислить токи для различных значений ЭДС и токов источников в то время как сопротивления схемы остаются неизменными. Аналитически принцип наложения для цепи содержащей n источников ЭДС и m источников тока выражается соотношением . 1 Здесь комплекс входной проводимости k – й ветви численно равный отношению тока к ЭДС в этой ветви при равных нулю ЭДС в остальных ветвях; комплекс взаимной ...

Русский

2015-03-15

165.5 KB

0 чел.

Лекция N 16

Методы расчета, основанные на свойствах линейных цепей

Выбор того или иного метода расчета электрической цепи в конечном итоге определяется целью решаемой задачи. Поэтому анализ линейной цепи не обязательно должен осуществляться с помощью таких общих методов расчета, как метод контурных токов или узловых потенциалов. Ниже будут рассмотрены методы, основанные на свойствах линейных электрических цепей и позволяющие при определенных постановках задач решить их более экономично.

 

Метод наложения

 

Данный метод справедлив только для линейных электрических цепей и является особенно эффективным, когда требуется вычислить токи для различных значений ЭДС и токов источников в то время, как сопротивления схемы остаются неизменными.

Данный метод основан на принципе наложения (суперпозиции), который формулируется следующим образом: ток в k – й ветви линейной электрической цепи равен алгебраической сумме токов, вызываемых каждым из источников в отдельности.

Аналитически принцип наложения для цепи, содержащей n источников ЭДС и m источников тока, выражается соотношением

.  

(1)

Здесь  - комплекс входной проводимости k – й ветви, численно равный отношению тока к ЭДС в этой ветви при равных нулю ЭДС в остальных ветвях;  - комплекс взаимной  проводимости k – й и i– й ветвей, численно равный отношению тока в k – й ветви и ЭДС в i– й ветви при равных нулю ЭДС в остальных ветвях.

Входные и взаимные проводимости можно определить экспериментально или аналитически, используя их указанную смысловую трактовку, при этом  , что непосредственно вытекает из свойства взаимности (см. ниже).

Аналогично определяются коэффициенты передачи тока , которые в отличие от проводимостей являются величинами безразмерными.

Доказательство принципа наложения можно осуществить на основе метода контурных токов.

Если решить систему уравнений, составленных по методу контурных токов, относительно любого контурного тока, например , то получим

,   

(2)

где  - определитель системы уравнений, составленный по методу контурных токов;  - алгебраическое дополнение определителя .

Каждая из ЭДС в (2) представляет собой алгебраическую сумму ЭДС в ветвях i–го контура. Если теперь все контурные ЭДС в (2) заменить алгебраическими суммами ЭДС в соответствующих ветвях, то после группировки слагаемых получится выражение для контурного тока  в виде алгебраической суммы составляющих токов, вызванных каждой из ЭДС ветвей в отдельности. Поскольку систему независимых контуров всегда можно выбрать так, что рассматриваемая h-я ветвь войдет только в один -й контур, т.е. контурный ток  будет равен действительному току  h-й ветви, то принцип наложения справедлив для токов  любых ветвей и, следовательно, справедливость принципа наложения доказана.

Таким образом, при определении токов ветвей при помощи метода наложения следует поочередно оставлять в схеме по одному источнику, заменяя остальные их внутренними сопротивлениями, и рассчитать составляющие искомых токов в этих схемах. После этого полученные результаты для соответствующих ветвей суммируются – это и будут искомые токи в ветвях исходной цепи.

В качестве примера использования метода наложения определим ток во второй ветви схемы на рис. 1,а.

Принимая источники в цепи на рис. 1,а идеальными и учитывая, что у идеального источника ЭДС внутреннее сопротивление равно нулю, а у идеального источника тока – бесконечности, в соответствии с методом наложения приходим к расчетным схемам на     рис. 1,б,в,г.

В этих цепях

;  ;  ,

где ; ; .

Таким образом,

.

В качестве другого примера использования метода определим взаимные проводимости  и  в цепи на рис. 2, если при переводе ключа в положение 1 токи в первой и второй ветвях соответственно равны  и , а при переводе в положение 2 -  и .

Учитывая, что в структуре пассивного четырехполюсника не содержится источников энергии, на основании принципа наложения для состояния ключа в положении “1” можно записать

;    

(3)

            

.    

(4)

При переводе ключа в положение “2” имеем

;    

(5)

..

(6)

Тогда, вычитая из уравнения (3) соотношение (5), а из (4)-(6), получим

;

,

откуда искомые проводимости

;      .

 

Принцип взаимности

Принцип взаимности основан на теореме взаимности, которую сформулируем без доказательства: для линейной цепи ток  в k – й ветви, вызванной единственной в схеме ЭДС , находящейся в i – й ветви,

будет равен току  в i – й ветви, вызванному ЭДС , численно равной ЭДС , находящейся в  k – й ветви,

.

Отсюда в частности вытекает указанное выше соотношение .

Иными словами, основанный на теореме взаимности принцип взаимности гласит: если ЭДС , действуя в некоторой ветви схемы, не содержащей других источников, вызывает в другой ветви ток  (см. рис. 3,а), то принесенная в эту ветвь ЭДС  вызовет в первой ветви такой же ток  (см. рис. 3,б).

В качестве примера использования данного принципа рассмотрим цепь на рис. 4,а, в которой требуется определить ток , вызываемый источником ЭДС .

Перенесение источника ЭДС  в диагональ моста, где требуется найти ток, трансформирует исходную схему в цепь с последовательно-параллельным соединением на рис. 4,б. В этой цепи

,

(7)

 

где .

В соответствии с принципом взаимности ток  в цепи на рис. 4,а равен току, определяемому соотношением (7)

.

Линейные соотношения в линейных электрических цепях

При изменении в линейной электрической цепи ЭДС (тока) одного из источников или сопротивления в какой-то ветви токи в любой паре ветвей m и n будут связаны между собой соотношением

(8)

где А и В – некоторые в общем случае комплексные константы.

Действительно, в соответствии с (1) при изменении ЭДС  в  k – й ветви для тока в m – й ветви можно записать

       

(9)

и для тока в n – й ветви –

.

(10)

Здесь  и  - составляющие токов соответственно в m – й и n – й ветвях, обусловленные всеми остальными источниками, кроме .

Умножив левую и правую части (10) на , вычтем полученное соотношением из уравнения (9). В результате получим

.  

(11)

Обозначив в (11)  и , приходим к соотношению (8).

Отметим, что в соответствии с законом Ома из уравнения (8) вытекает аналогичное соотношение для напряжений в линейной цепи.

В качестве примера найдем аналитическую зависимость между токами

 и  в схеме с переменным резистором на  рис. 5, где ; ; .

Коэффициенты А и В  можно рассчитать, рассмотрев любые два режима работы цепи, соответствующие двум произвольным значениям .

Выбрав в качестве этих значений  и , для первого случая ( ) запишем

.

Таким образом, .

При  (режим короткого замыкания)

,

откуда

.

На основании (8)

.

Таким образом,

.

 

Принцип компенсации

Принцип компенсации основан на теореме о компенсации, которая гласит: в любой электрической цепи без изменения токов в ее ветвях сопротивление в произвольной ветви можно заменить источником с ЭДС, численно равной падению напряжения на этом сопротивлении и действующей навстречу току в этой ветви.

Для доказательства теоремы выделим из схемы произвольную ветвь с сопротивлением , по которой протекает ток , а всю остальную часть схемы условно обозначим некоторым активным двухполюсником А (см. рис. 6,а).

При включении в ветвь с  двух одинаковых и действующих навстречу друг другу источников ЭДС с  (рис. 6,б) режим работы цепи не изменится. Для этой цепи

.   

(12)

Равенство (12) позволяет гальванически соединить точки а и c, то есть перейти к цепи на рис. 6,в. Таким образом, теорема доказана.

В заключение следует отметить, что аналогично для упрощения расчетов любую ветвь с известным током  можно заменить источником тока .

 

Литература

  1.  Основы теории цепей: Учеб. для вузов /Г.В.Зевеке, П.А.Ионкин, А.В.Нетушил, С.В.Страхов. –5-е изд., перераб. –М.: Энергоатомиздат, 1989. -528с.
  2.  Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники: Электрические цепи. Учеб. для студентов электротехнических, энергетических и приборостроительных специальностей вузов. –7-е изд., перераб. и доп. –М.: Высш. шк., 1978. –528с.
  3.  Каплянский А.Е. и др. Теоретические основы электротехники. Изд. 2-е. Учеб. пособие для электротехнических и энергетических специальностей вузов. –М.: Высш. шк., 1972. –448 с.

Контрольные вопросы и задачи

  1.  Для каких цепей применим принцип суперпозиции?
  2.  В каких случаях эффективно применение метода наложения?
  3.  Как определяются входные и взаимные проводимости ветвей?
  4.  Докажите теорему взаимности.
  5.  Какими линейными соотношениями связаны токи и напряжения в ветвях линейной цепи?
  6.  Можно ли распространить принцип компенсации на нелинейную электрическую цепь?
  7.  Определить методом наложения ток в первой ветви цепи на рис. 1,а.

Ответ: , где ; .

  1.  В цепи на рис. 2 . Определить токи в остальных ветвях схемы, воспользовавшись линейным соотношением, принципом компенсации и методом наложения.

Ответ: ; .

113


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

53204. Авторська розробка дидактичної інтерактивної гри Ді-джей 220 KB
  У процесі гри дитина будь-якого віку перебуває в особливому емоційному стані який уявляє собою очікування та сам процес задоволення від розумової активності що виявляється у вільній творчій атмосфері гри гумору чи змагання. Але дуже важливо щоб форма зміст навчальної гри не був відірваний від сьогодення. Але чи зацікавить сучасного учня або студента таке заняття Я вважаю що актуальність методики навчальної гри та сучасна форма її подачі повинні бути одним з головних принципів при розробці та впровадженні ігрових методик у...
53206. Інтелектуальна гра «Розумники і розумниці» 146 KB
  У кімнату заходять ведучі Ведучий1: Добрий день дорогі друзі Ведучий2: Добрий день шановні гості Ми раді бачити Вас на нашій фізичній інтелектуальній грі яка називається Розумники і розумниці. Ведучий1: Ми розпочнемо з легенди. Ведучий2: А для цього проведемо невелике змагання. Привітаємо наших учасників У кімнату входять команди і займають свої місця за двома столами Ведучий1: А хто стане переможцем вирішить наше компетентне журі.
53207. ІНТЕЛЕКТУАЛЬНА ГРА «НАРОД СКАЖЕ – ЯК ЗАВ’ЯЖЕ» 320 KB
  Недарма сказано що без будьякої іншої науки ще можна обійтися а без знання рідної мови аж ніяк. Ним можна клювати як дзьобом. На ньому можна зарубати як на пні. Його можна нагострити як ніж.
53208. Все про злочин і покарання (Правова гра для учнів 10 – 11 класів) 93 KB
  Свій варіант озвучує команда якщо має відповідь. Відповідь: 2001 р. Відповідь: 18 років. Відповідь: матеріальна або дисциплінарна два варіанта відповіді 4.
53209. Інтелектуальна гра «Ми - українці» 63 KB
  Доброго дня всім присутнім у нашій залі Вітаю вас на інтелектуальній грі Ми – українці слайд 1 Звучить пісня Ти моя Україна у виконанні М. Конкурс 1 Київщина: із минулого в майбутнє слайд 3 Ведучий. Аеропорт у місті Борисполі Скільки районів входить до складу Київської області 25 Підсумки конкурсу оголошує журі Конкурс 2 Народознавче лото слайд 4 Ведучий. Вболівальники пригадують найвідоміші свята українців слайд 5 Питання конкурсу: Саме на це свято чоловіки за старовинним звичаєм варили пиво.
53210. Інтелектуальна гра-шоу для старшокласників «Любіть свою мову й ніколи її не забудьте в житті…» 153.5 KB
  Сьогодні у міжнародний день рідної мови свято української мови одного з найцінніших надбань які створили й залишили нам наші попередники. Пізнати історію рідної сторони і рідної мови нам допомагають книги і самобутня творчість нашого народу: мелодійні пісні та думи барвисті коломийки та ліричні хороводи чарівний фантастичний світ казок. Хай же сьогоднішнє свято відкриє перед вами дорогі друзі шанувальники української мови розум мудрість гумор нашого талановитого народу.
53211. Ділова гра «Міжнародна конференція «Здоровими бути класно!» з проблем шкідливих звичок» 109.5 KB
  Виступ дітей із дорожніми знаками у руках які вони демонструють під час виступу. Дбати про здоров’я знак інвалід потрібно з самого народження з першого крику дитини знак U. Друже не поспішай знак 1.33 зануритися у круговерть знак 4.
53212. ІНТЕЛЕКТУАЛЬНА ГРА “НАЙРОЗУМНІШИЙ” 244 KB
  На роздуми вам дається 15 секунд за які ви повинні вибрати правильну відповідь. Правильна відповідь: в пташка Спеціальність лікаря Айболита: а хірург; б ветеринар; в санітар; г окуліст. Правильна відповідь: б ветеринар 3. Правильна відповідь: в33 4.