83668

Метод симметричных составляющих

Лекция

Физика

Симметричную систему прямой последовательности образуют см. Введя оператор поворота для симметричной системы прямой последовательности можно записать . Симметричная система обратной последовательности образована равными по модулю векторами и с относительным сдвигом по фазе на рад. Система нулевой последовательности состоит из трех векторов одинаковых по модулю и фазе см.

Русский

2015-03-15

158.5 KB

0 чел.

Лекция N 23

Метод симметричных составляющих

Метод симметричных составляющих относится к специальным методам расчета трехфазных цепей и широко применяется для анализа несимметричных режимов их работы, в том числе с нестатической нагрузкой. В основе метода лежит представление несимметричной трехфазной системы переменных (ЭДС, токов, напряжений и т.п.) в виде суммы трех симметричных систем, которые называют симметричными составляющими. Различают симметричные составляющие прямой, обратной и нулевой последовательностей, которые различаются порядком чередования фаз.

Симметричную систему прямой последовательности образуют (см. рис. 1,а) три одинаковых по модулю вектора  и  со сдвигом друг по отношению к другу на  рад., причем  отстает от , а  - от .

 

Введя, оператор поворота , для симметричной системы прямой последовательности можно записать

.

Симметричная система обратной последовательности образована равными по модулю

векторами  и  с относительным сдвигом по фазе на  рад., причем теперь  отстает от , а  - от  (см. рис. 1,б). Для этой системы имеем

.

Система нулевой последовательности состоит из трех векторов, одинаковых по модулю и фазе (см. рис. 1,в):

.

При сложении трех указанных систем векторов получается несимметричная система векторов (см. рис. 2).

Любая несимметричная система однозначно раскладывается на симметричные составляющие. Действительно,


;     

(1)

;  

(2)

(3)

  Таким образом, получена система из трех уравнений относительно трех неизвестных , которые, следовательно, определяются однозначно. Для нахождения  сложим уравнения (1)…(3). Тогда, учитывая, что , получим

(4)

Для нахождения  умножим (2) на , а (3) – на , после чего полученные выражения сложим с (1). В результате приходим к соотношению

.

(5)

Для определения  с соотношением (1) складываем уравнения (2) и (3), предварительно умноженные соответственно на  и . В результате имеем:

(6)

Формулы (1)…(6) справедливы для любой системы векторов , в том числе и для симметричной. В последнем случае .

В заключение раздела отметим, что помимо вычисления симметричные составляющие могут быть измерены с помощью специальных фильтров симметричных составляющих, используемых в устройствах релейной защиты и автоматики.

 

Свойства симметричных составляющих токов
и напряжений различных последовательностей

Рассмотрим четырехпроводную систему на рис. 3. Для тока в нейтральном проводе имеем

.

Тогда с учетом (4)


,

(7)

т.е. ток в нейтральном проводе равен утроенному току нулевой последовательности.

Если нейтрального провода нет, то  и соответственно нет составляющих тока нулевой последовательности.

Поскольку сумма линейных напряжений равна нулю, то в соответствии с (4) линейные напряжения не содержат составляющих нулевой последовательности.

Рассмотрим трехпроводную несимметричную систему на рис. 4.

Здесь

Тогда, просуммировав эти соотношения, для симметричных составляющих нулевой последовательности фазных напряжений можно записать

.

Если система ЭДС генератора симметрична, то из последнего получаем

.

(8)

Из (8) вытекает:

  •  в фазных напряжениях симметричного приемника отсутствуют симметричные составляющие нулевой последовательности;
  •  симметричные составляющие нулевой последовательности фазных напряжений несимметричного приемника определяются величиной напряжения смещения нейтрали;
  •  фазные напряжения несимметричных приемников, соединенных звездой, при питании от одного источника различаются только за счет симметричных составляющих нулевой последовательности; симметричные составляющие прямой и обратной последовательностей у них одинаковы, поскольку однозначно связаны

с соответствующими симметричными составляющими линейных напряжений.

При соединении нагрузки в треугольник фазные токи  и  могут содержать симметричные составляющие нулевой последовательности . При этом  (см. рис. 5) циркулирует по контуру, образованному фазами нагрузки.


Сопротивления симметричной трехфазной цепи
для токов различных последовательностей

Если к симметричной цепи приложена симметричная система фазных напряжений прямой (обратной или нулевой) последовательностей, то в ней возникает симметричная система токов прямой (обратной или нулевой) последовательности. При использовании метода симметричных составляющих на практике симметричные составляющие напряжений связаны с симметричными составляющими токов той же последовательности. Отношение симметричных составляющих фазных напряжений прямой (обратной или нулевой) последовательности к соответствующим симметричным составляющим токов называется комплексным сопротивлением прямой

,

обратной

и нулевой

последовательностей.

Пусть имеем участок цепи на рис. 6. Для фазы А этого участка можно записать

.  

(9)

Тогда для симметричных составляющих прямой и обратной последовательностей с учетом, того, что , на основании (9) имеем

         .

Отсюда комплексные сопротивления прямой и обратной последовательностей одинаковы и равны:

.

Для симметричных составляющих нулевой последовательности с учетом равенства  соотношение (9) трансформируется в уравнение

,

откуда комплексное сопротивление нулевой последовательности

.

В рассмотренном примере получено равенство сопротивлений прямой и обратной последовательностей. В общем случае эти сопротивления могут отличаться друг от друга. Наиболее типичный пример – различие сопротивлений вращающейся машины для токов прямой и обратной последовательностей за счет многократной разницы в скольжении ротора относительно вращающегося магнитного поля для этих последовательностей. 

 

Применение метода симметричных составляющих
для симметричных цепей

Расчет цепей методом симметричных составляющих основывается на принципе наложения, в виду чего метод применим только к линейным цепям. Согласно данному методу расчет осуществляется в отдельности для составляющих напряжений и токов различных последовательностей, причем в силу симметрии режимов работы цепи для них он проводится для одной фазы (фазы А). После этого в соответствии с (1)…(3) определяются реальные искомые величины. При расчете следует помнить, что, поскольку в симметричном режиме ток в нейтральном проводе равен нулю, сопротивление нейтрального провода никак ни влияет на симметричные составляющие токов прямой и обратной последовательностей. Наоборот, в схему замещения для нулевой последовательности на основании (7) вводится утроенное значение сопротивления в нейтральном проводе. С учетом вышесказанного исходной схеме на рис. 7,а соответствуют расчетные однофазные цепи для прямой и обратной последовательностей (рис. 7,б) и нулевой последовательности (рис. 7,в).

Существенно сложнее обстоит дело при несимметрии сопротивлений по фазам. Пусть в цепи на рис. 3 . Разложив токи на симметричные составляющие, для данной цепи можно записать

  

(10)

В свою очередь

(11)

Подставив в (11) значения соответствующих параметров из (10) после группировки членов получим

(12)

где ;

      

Из полученных соотношений видно, что если к несимметричной цепи приложена несимметричная система напряжений, то каждая из симметричных составляющих токов зависит от симметричных составляющих напряжений всех последовательностей. Поэтому, если бы трехфазная цепь на всех участках была несимметрична, рассматриваемый метод расчета не давал бы преимуществ. На практике система в основном является симметричной, а несимметрия обычно носит локальный характер. Это обстоятельство, как будет показано в следующей лекции, значительно упрощает анализ.

На всех участках цепи, где сопротивления по фазам одинаковы,  для i¹k. Тогда из (12) получаем

.

 

Литература

  1.  Основы теории цепей: Учеб. для вузов /Г.В.Зевеке, П.А.Ионкин, А.В.Нетушил, С.В.Страхов. –5-е изд., перераб. –М.: Энергоатомиздат, 1989. -528с.
  2.  Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники: Электрические цепи. Учеб. для студентов электротехнических, энергетических и приборостроительных специальностей вузов. –7-е изд., перераб. и доп. –М.: Высш. шк., 1978. –528с.

Контрольные вопросы и задачи

  1.  В каких случаях отсутствуют составляющие нулевой последовательности в линейных токах?
  2.  Для каких цепей сопротивления прямой и обратной последовательностей одинаковы, а для каких – различны?
  3.  Для анализа каких цепей возможно применение метода симметричных составляющих?
  4.  Как при использовании метода симметричных составляющих учитывается сопротивление в нейтральном проводе?
  5.  В чем заключается упрощение расчета цепи при использовании метода симметричных составляющих?
  6.  Определить коэффициент несимметрии линейных напряжений , если ,  .

Ответ: .

  1.  До короткого замыкания в фазе А в цепи на рис. 4 был симметричный режим, при котором ток в фазе А был равен .
  2.  Разложить токи на симметричные составляющие.

Ответ: ; .

  1.  Линейные напряжения на зажимах двигателя  и . Определить действующие значения токов в фазах двигателя, если его сопротивления прямой и обратной последовательностей соответственно равны: ; . Нейтральный провод отсутствует.

Ответ: ; ; .

161


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

18288. АКСІОМИ ПЕАНО 93 KB
  Лекція 15 АКСІОМИ ПЕАНО Поняття про аксіоматичний метод побудови теорії. Аксіоматична побудова множини цілих невідємних чисел; неозначувані поняття аксіоми Пеано та деякі наслідки з них. Аксіоматичне означення операції додавання цілих невідємних чисел...
18289. ВЛАСТИВОСТІ МНОЖИНИ ЦІЛИХ НЕВІД’ЄМНИХ ЧИСЕЛ 124 KB
  Лекція 16 ВЛАСТИВОСТІ МНОЖИНИ ЦІЛИХ НЕВІДЄМНИХ ЧИСЕЛ Ділення з остачею. Теорема про ділення з остачею. Операції ділення з остачею. Формування поняття ділення з остачею в початковій школі. Принцип і метод математичної індукції. б Натуральне число як р...
18290. НАТУРАЛЬНЕ ЧИСЛО ЯК МІРА ВІДРІЗКА 87 KB
  Лекція 17 НАТУРАЛЬНЕ ЧИСЛО ЯК МІРА ВІДРІЗКА Поняття про величини та їх вимірювання. Поняття про відрізок. Відношення дорівнює менше більше на множині відрізків та їх властивості. Поняття про додавання і віднімання над відрізками та їх властивос...
18291. ДЕСЯТКОВА СИСТЕМА ЧИСЛЕННЯ 148 KB
  Лекція 18 ДЕСЯТКОВА СИСТЕМА ЧИСЛЕННЯ Поняття про систему числення. Число і цифра. Непозиційні і позиційні системи числення. Десяткова система числення запис читання і порівняння цілих невідємних чисел в ній. Алгоритм додавання чисел в десятковій системі ...
18292. НЕДЕСЯТКОВІ ПОЗИЦІЙНІ СИСТЕМИ ЧИСЛЕННЯ 158 KB
  Лекція 19 НЕДЕСЯТКОВІ ПОЗИЦІЙНІ СИСТЕМИ ЧИСЛЕННЯ Недесяткові позиційні системи числення: запис читання і порівняння чисел в них. Алгоритми додавання і віднімання чисел в недесяткових позиційних системах числення. Таблиці додавання. Алгоритми множення і д...
18293. ВІДНОШЕННЯ ПОДІЛЬНОСТІ 73 KB
  Лекція 20 ВІДНОШЕННЯ ПОДІЛЬНОСТІ Відношення подільності на множині цілих невідємних чисел та його властивості. Подільність суми різниці і добутку. Поняття про ознаку подільності. Ознака подільності Паскаля. Ознаки подільності на 2 3 4 5 9 11 25 в десятко...
18294. СПІЛЬНІ КРАТНІ І ДІЛЬНИКИ 101 KB
  Лекція 21 СПІЛЬНІ КРАТНІ І ДІЛЬНИКИ Спільні кратні та найменше спільне кратне кількох натуральних чисел і його властивості. Спільні дільники та найбільший спільний дільник кількох натуральних чисел і його властивості. Взаємно прості та попарно взаємнопрості...
18295. ПРОСТІ І СКЛАДЕНІ ЧИСЛА 116.5 KB
  Лекція 22 ПРОСТІ І СКЛАДЕНІ ЧИСЛА Розбиття множини цілих невідємних чисел на 4 класи за кількістю дільників. Прості і складені числа. Властивості відношення подільності між двома натуральними числами одне з яких просте. Існування простого дільника у кожно
18296. МНОЖИНА ДОДАТНИХ РАЦІОНАЛЬНИХ ЧИСЕЛ. АРИФМЕТИЧНІ ОПЕРАЦІЇ НАД ДОДАТНИМИ РАЦІОНАЛЬНИМИ ЧИСЛАМИ 363.5 KB
  Лекція 23 МНОЖИНА ДОДАТНИХ РАЦІОНАЛЬНИХ ЧИСЕЛ. АРИФМЕТИЧНІ ОПЕРАЦІЇ НАД ДОДАТНИМИ РАЦІОНАЛЬНИМИ ЧИСЛАМИ Задача розширення поняття числа. Короткі історичні відомості про виникнення раціональних і дійсних чисел. Сумірні відрізки. Вимірювання відрізків сум...