83671

Линейные электрические цепи при несинусоидальных периодических токах

Лекция

Физика

Причины возникновения несинусоидальных напряжений и токов могут быть обусловлены или несинусоидальностью источника питания или и наличием в цепи хотя бы одного нелинейного элемента. Кроме того в основе появления несинусоидальных токов могут лежать элементы с периодически изменяющимися параметрами. Характеристики несинусоидальных величин Для характеристики несинусоидальных периодических переменных служат следующие величины и коэффициенты приведены на примере периодического тока: Максимальное значение .

Русский

2015-03-15

129.5 KB

0 чел.

Лекция N 26

Линейные электрические цепи при несинусоидальных
периодических токах

Предыдущие лекции были посвящены анализу электрических цепей при синусоидальных токах и напряжениях. На практике ЭДС и токи в большей или меньшей степени являются несинусоидальными. Это связано с тем, что реальные генераторы не обеспечивают, строго говоря, синусоидальной формы кривых напряжения, а с другой стороны, наличие нелинейных элементов в цепи обусловливает искажение формы токов даже при синусоидальных ЭДС источников.

На практике к несинусоидальности напряжений и токов следует подходить двояко:

  •  в силовой электроэнергетике несинусоидальные токи обусловливают в общем случае дополнительные потери мощности, пульсации момента на валу двигателей, вызывают помехи в линиях связи; поэтому здесь необходимо «всеми силами» поддержание синусоидальных режимов;
  •  в цепях автоматики и связи, где несинусоидальные токи и напряжения лежат в основе принципа действия электротехнических устройств, задача наоборот заключается в их усилении и передаче с наименьшими искажениями.

В общем случае характер изменения величин может быть периодическим, почти периодическим и непериодическим. В данном разделе будут рассматриваться цепи только с периодическими переменными.

Периодическими несинусоидальными величинами называются переменные, изменяющиеся во времени по периодическому несинусоидальному закону. Причины возникновения несинусоидальных напряжений и токов могут быть обусловлены или несинусоидальностью источника питания или (и) наличием в цепи хотя бы одного нелинейного элемента. Кроме того, в основе появления несинусоидальных токов могут лежать элементы с периодически изменяющимися параметрами.

В качестве примера на рис. 1,а представлена цепь с нелинейным резистором (НР), нелинейная вольт-амперная характеристика (ВАХ) которого обусловливает несинусоидальную форму тока i в цепи при синусоидальном напряжении u на ее входе (см. рис. 1,б).

 

Характеристики несинусоидальных величин

Для характеристики несинусоидальных периодических переменных служат следующие величины и коэффициенты (приведены на примере периодического тока):

  1.  Максимальное значение - .
  2.  Действующее значение - .
  3.  Среднее по модулю значение - .
  4.  Среднее за период значение (постоянная составляющая) - .
  5.  Коэффициент амплитуды (отношение максимального значения к действующему) - .
  6.  Коэффициент формы (отношение действующего значения к среднему по модулю) - .
  7.  Коэффициент искажений (отношение действующего значения первой гармоники к действующему значению переменной) - .
  8.  Коэффициент гармоник (отношение действующего значения высших гармонических к действующему значению первой гармоники) - .

 

Разложение периодических несинусоидальных
кривых в ряд Фурье

Из математики известно, что всякая периодическая функция , где Т – период, удовлетворяющая условиям Дирихле, может быть разложена в тригонометрический ряд. Можно отметить, что функции, рассматриваемые в электротехнике, этим условиям удовлетворяют, в связи с чем проверку на их выполнение проводить не нужно.

При разложении в ряд Фурье функция представляется следующим образом:

 

  .

(1)

 

Здесь  - постоянная составляющая или нулевая гармоника;  - первая (основная) гармоника, изменяющаяся с угловой частотой , где Т – период несинусоидальной периодической функции.

В выражении (1) , где коэффициенты  и  определяются по формулам

;

.

 

Свойства периодических кривых, обладающих симметрией

Коэффициенты ряда Фурье для стандартных функций могут быть взяты из справочной литературы или в общем случае рассчитаны по приведенным выше формулам. Однако в случае кривых, обладающих симметрией, задача существенно упрощается, поскольку из их разложения выпадают целые спектры гармоник. Знание свойств таких кривых позволяет существенно сэкономить время и ресурсы при вычислениях.

  1.  Кривые, симметричные относительно оси абсцисс.

К данному типу относятся кривые, удовлетворяющие равенству  (см. пример на рис. 2). В их разложении отсутствуют постоянная составляющая и четные гармоники, т.е. .

  1.  Кривые, симметричные

относительно оси ординат.

К данному типу относятся кривые, для которых выполняется равенство  (см. пример на рис. 3). В их разложении отсутствуют синусные составляющие, т.е. .

  1.  Кривые, симметричные

относительно начала координат.

К этому типу относятся кривые, удовлетворяющие равенству  (см. пример на рис. 4). При разложении таких кривых отсутствуют постоянная и косинусные составляющие, т.е. .

Действующее значение периодической несинусоидальной переменной

Как было показано выше, действующим называется среднеквадратичное за период значение величины:

.

При наличии аналитического выражения функции i(t) и возможности взятия интеграла от ее квадрата действующее значение i(t) определяется точно. Однако в общем случае на практике действующее значение переменной определяется на основе информации о  действующих значениях конечного ряда гармонических.

Пусть . Тогда

Очевидно, что каждый из интегралов от тригонометрических функций в последнем выражении равен нулю. Таким образом,

или

.

Аналогичные выражения имеют место для ЭДС, напряжения и т.д.

 

Мощность в цепях периодического несинусоидального тока

Пусть  и .

Тогда для активной мощности можно записать

.

Как было показано при выводе соотношения для действующего значения несинусоидальной переменной, среднее за период значение произведения синусоидальных функций различной частоты равно нулю. Следовательно,

,

где .

Таким образом, активная мощность несинусоидального тока равна сумме активных мощностей отдельных гармонических:

.

Аналогично для реактивной мощности можно записать

.

Полная мощность

,

где Т – мощность искажений, определяемая произведениями действующих значений разнопорядковых гармонических тока и напряжения.

 

Методика расчета линейных цепей при периодических несинусоидальных токах

Возможность разложения

периодических несинусоидальных функций в ряд Фурье позволяет свести расчет линейной цепи при воздействии на нее несинусоидальных ЭДС (или токов) источников к расчету цепей с постоянными и синусоидальными токами в отдельности для каждой гармоники. Мгновенные значения искомых токов и напряжений определяются на основе принципа наложения путем суммирования найденных при расчете гармонических составляющих напряжений и токов. В соответствии с вышесказанным цепь на рис. 5 при воздействии на нее ЭДС

(при расчете спектр рассматриваемых гармоник ограничивается) в расчетном плане представляется суммой цепей на рис. 6.

Здесь .

Тогда, например, для тока в ветви с источником ЭДС, имеем

,

где каждая к-я гармоника тока рассчитывается символическим методом по своей к-й расчетной схеме. При этом (поверхностный эффект не учитывается) для всех гармоник параметры  и С постоянны.

;

.

Необходимо помнить, что ввиду различия частот суммировать комплексы различных гармоник недопустимо.

Таким образом, методика расчета линейных цепей при несинусоидальных токах сводится к следующему:

  1.  ЭДС и токи источников раскладываются в ряды Фурье.
  2.  Осуществляется расчет цепи в отдельности для каждой гармонической.
  3.  Искомые величины определяются как алгебраические суммы соответствующих гармонических.

Литература

  1.  Основы теории цепей: Учеб. для вузов /Г.В.Зевеке, П.А.Ионкин, А.В.Нетушил, С.В.Страхов. –5-е изд., перераб. –М.: Энергоатомиздат, 1989. -528с.
  2.  Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники: Электрические цепи. Учеб. для студентов электротехнических, энергетических и приборостроительных специальностей вузов. –7-е изд., перераб. и доп. –М.: Высш. шк., 1978. –528с.
  3.  Теоретические основы электротехники. Учеб. для вузов. В трех т. Под общ. ред. К.М.Поливанова. Т.1. К.М.Поливанов. Линейные электрические цепи с сосредоточенными постоянными. –М.: Энергия- 1972. –240с.

Контрольные вопросы

  1.  Что является причиной появления несинусоидальных токов и напряжений в электрических цепях?
  2.  Какие величины и коэффициенты характеризуют периодические несинусоидальные переменные?
  3.  Какие гармонические отсутствуют в спектрах кривых, симметричных относительно: 1)  оси абсцисс;  2) оси ординат;  3) начала системы координат?
  4.  Достаточно ли для определения величины полной мощности в цепи несинусоидального тока наличие информации об активной и реактивной мощностях?
  5.  Для каких цепей справедлива методика расчета цепей несинусоидального тока, основанная на разложении ЭДС и токов источников в ряды Фурье?
  6.  Не прибегая к разложению в ряд Фурье, определить коэффициенты амплитуды и формы кривой на рис. 4.

Ответ: .

  1.  Определить действующее значение напряжения на зажимах ветви с последовательным соединением резистора с  и катушки индуктивности с , если ток в ней . Рассчитать активную мощность в ветви.

Ответ: U=218 В;  Р=1260 Вт.

  1.  Определить действующее значение тока в ветви с источником ЭДС в схеме на  рис. 5, если ; .

Ответ: I=5,5 A.

180


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

31698. Становлення шлюбно-сімейних відносин 33 KB
  Для багатьох джерел національних правових систем характерним є уникнення законодавчого визначення поняття шлюбу. Договірна концепція шлюбу є найбільш поширеною. Розуміння шлюбу як союзу двох незалежних і рівноправних партнерів Східна Європа в т. Дещо іншим є поняття шлюбу як союзу чоловіка й жінки у мусульманських державах.
31699. Класний керівник. Його роль, місце і значення у формуванні особистості 41 KB
  Історія виникнення посади класного керівника Кожна історична епоха пред'являла свої вимоги до освіти й виховання молодого підростаючого покоління та тих людей які отримали тепер назву класний керівник . Достатньо чіткі функції класного керівника у радянській школі стали визначатися у 30х роках після постанов ЦК ВКП б Про початкову і середню школу 1931 та Про режим у початковій і середній школі 1932 коли була введена класноурочна система навчання систематична перевірка й оцінка знань учнів визначена роль учителя як організатора й...
31700. Управління учнівським колективом 24.5 KB
  Управління учнівським колективом здійснюється за допомогою трьох взаємоповязаних функцій педагога: 1 збору й аналізу інформації про учнівський колектив і школярів які до нього входять; 2 планування й організації адекватних стану колективу впливів метою яких є його удосконалення й оптимальний вплив на особистість; 3 контролю і корекції спрямованих на вищий рівень розвитку колективу і кожного учня.Важливою умовою управління учнівським колективом є розробка методики вивчення колективу форм і методів аналізу одержаної інформації. Весь час...
31701. СОЦІАЛЬНО-ПСИХОЛОГІЧНИЙ КЛІМАТ У ПЕДАГОГІЧНОМУ КОЛЕКТИВІ 42 KB
  Його характеризують: довіра доброзичливість чуйність висока взаємовимогливість і ділова критика; вільне висловлювання власної думки під час обговорення питань що стосуються колективу; відсутність тиску керівника на підлеглих і визнання за ними права приймати важливі для колективу рішення; поінформованість усіх про завдання колективу і стан їх виконання можливість займати активну позицію у процесі ділового спілкування в колективі; наявність умов для активної професійної і творчої діяльності самореалізації самоствердження саморозвитку...
31703. Класифікація конфліктів, причини їх виникнення. Методи вирішення конфліктів 80 KB
  Цей стиль полягає в тому що людина намагається відійти від конфлікту. Цей стиль характерний такою поведінкою яка диктується переконанням що не варто злитися. Цей стиль є ефективним у ситуаціях коли керівник має велику владу над підлеглими. Цей стиль характеризується прийняттям погляду але тільки до певної межі.
31704. Авторитет вчителя 80.5 KB
  Досвід переконує що вплив вчителя на учня успішна його педагогічна діяльність залежить від авторитету вчителя. Авторитет сам приходить чи за нього треба боротись Якщо треба боротися то кому Авторитет не дається звичайно разом з дипломом про закінчення інституту. Одне з найважливіших значень в оцінці педагога має авторитет викладача як одне із складових ознак професійного педагога. Авторитет викладача це інтегральна характеристика його професійної педагогічної та особистісної значущості в колективі яка виявляється через взаємини з...
31705. СТРУКТУРА ПЕДАГОГІЧНОГО СПІЛКУВАННЯ 42.5 KB
  Моделювання педагогом майбутнього спілкування прогностичний етап. У цей час окреслюються контури майбутньої взаємодії: планування і прогнозування змісту структури засобів спілкування. Зміст спілкування формування мети взаємодії для чого аналіз стану співрозмовника чому він такий і ситуації що сталося.
31706. Учнівський колектив 30 KB
  Ціль колективу обов'язково повинна збігатися з суспільними цілями не суперечити пануючій ідеології конституції і законам держави. Єдиний шкільний колектив складається з колективу педагогів і загального колективу учнів. Учнівський колектив має органи управління: загальні збори учнівський комітет і рада колективу комісії штаби; у первинних колективах також працюють загальні збори та інші органи самоуправління обираються уповноважені особи та ін. Наявність у відносинах між членами колективу певної моральнопсихологічної єдності яка терпима...