83671

Линейные электрические цепи при несинусоидальных периодических токах

Лекция

Физика

Причины возникновения несинусоидальных напряжений и токов могут быть обусловлены или несинусоидальностью источника питания или и наличием в цепи хотя бы одного нелинейного элемента. Кроме того в основе появления несинусоидальных токов могут лежать элементы с периодически изменяющимися параметрами. Характеристики несинусоидальных величин Для характеристики несинусоидальных периодических переменных служат следующие величины и коэффициенты приведены на примере периодического тока: Максимальное значение .

Русский

2015-03-15

129.5 KB

0 чел.

Лекция N 26

Линейные электрические цепи при несинусоидальных
периодических токах

Предыдущие лекции были посвящены анализу электрических цепей при синусоидальных токах и напряжениях. На практике ЭДС и токи в большей или меньшей степени являются несинусоидальными. Это связано с тем, что реальные генераторы не обеспечивают, строго говоря, синусоидальной формы кривых напряжения, а с другой стороны, наличие нелинейных элементов в цепи обусловливает искажение формы токов даже при синусоидальных ЭДС источников.

На практике к несинусоидальности напряжений и токов следует подходить двояко:

  •  в силовой электроэнергетике несинусоидальные токи обусловливают в общем случае дополнительные потери мощности, пульсации момента на валу двигателей, вызывают помехи в линиях связи; поэтому здесь необходимо «всеми силами» поддержание синусоидальных режимов;
  •  в цепях автоматики и связи, где несинусоидальные токи и напряжения лежат в основе принципа действия электротехнических устройств, задача наоборот заключается в их усилении и передаче с наименьшими искажениями.

В общем случае характер изменения величин может быть периодическим, почти периодическим и непериодическим. В данном разделе будут рассматриваться цепи только с периодическими переменными.

Периодическими несинусоидальными величинами называются переменные, изменяющиеся во времени по периодическому несинусоидальному закону. Причины возникновения несинусоидальных напряжений и токов могут быть обусловлены или несинусоидальностью источника питания или (и) наличием в цепи хотя бы одного нелинейного элемента. Кроме того, в основе появления несинусоидальных токов могут лежать элементы с периодически изменяющимися параметрами.

В качестве примера на рис. 1,а представлена цепь с нелинейным резистором (НР), нелинейная вольт-амперная характеристика (ВАХ) которого обусловливает несинусоидальную форму тока i в цепи при синусоидальном напряжении u на ее входе (см. рис. 1,б).

 

Характеристики несинусоидальных величин

Для характеристики несинусоидальных периодических переменных служат следующие величины и коэффициенты (приведены на примере периодического тока):

  1.  Максимальное значение - .
  2.  Действующее значение - .
  3.  Среднее по модулю значение - .
  4.  Среднее за период значение (постоянная составляющая) - .
  5.  Коэффициент амплитуды (отношение максимального значения к действующему) - .
  6.  Коэффициент формы (отношение действующего значения к среднему по модулю) - .
  7.  Коэффициент искажений (отношение действующего значения первой гармоники к действующему значению переменной) - .
  8.  Коэффициент гармоник (отношение действующего значения высших гармонических к действующему значению первой гармоники) - .

 

Разложение периодических несинусоидальных
кривых в ряд Фурье

Из математики известно, что всякая периодическая функция , где Т – период, удовлетворяющая условиям Дирихле, может быть разложена в тригонометрический ряд. Можно отметить, что функции, рассматриваемые в электротехнике, этим условиям удовлетворяют, в связи с чем проверку на их выполнение проводить не нужно.

При разложении в ряд Фурье функция представляется следующим образом:

 

  .

(1)

 

Здесь  - постоянная составляющая или нулевая гармоника;  - первая (основная) гармоника, изменяющаяся с угловой частотой , где Т – период несинусоидальной периодической функции.

В выражении (1) , где коэффициенты  и  определяются по формулам

;

.

 

Свойства периодических кривых, обладающих симметрией

Коэффициенты ряда Фурье для стандартных функций могут быть взяты из справочной литературы или в общем случае рассчитаны по приведенным выше формулам. Однако в случае кривых, обладающих симметрией, задача существенно упрощается, поскольку из их разложения выпадают целые спектры гармоник. Знание свойств таких кривых позволяет существенно сэкономить время и ресурсы при вычислениях.

  1.  Кривые, симметричные относительно оси абсцисс.

К данному типу относятся кривые, удовлетворяющие равенству  (см. пример на рис. 2). В их разложении отсутствуют постоянная составляющая и четные гармоники, т.е. .

  1.  Кривые, симметричные

относительно оси ординат.

К данному типу относятся кривые, для которых выполняется равенство  (см. пример на рис. 3). В их разложении отсутствуют синусные составляющие, т.е. .

  1.  Кривые, симметричные

относительно начала координат.

К этому типу относятся кривые, удовлетворяющие равенству  (см. пример на рис. 4). При разложении таких кривых отсутствуют постоянная и косинусные составляющие, т.е. .

Действующее значение периодической несинусоидальной переменной

Как было показано выше, действующим называется среднеквадратичное за период значение величины:

.

При наличии аналитического выражения функции i(t) и возможности взятия интеграла от ее квадрата действующее значение i(t) определяется точно. Однако в общем случае на практике действующее значение переменной определяется на основе информации о  действующих значениях конечного ряда гармонических.

Пусть . Тогда

Очевидно, что каждый из интегралов от тригонометрических функций в последнем выражении равен нулю. Таким образом,

или

.

Аналогичные выражения имеют место для ЭДС, напряжения и т.д.

 

Мощность в цепях периодического несинусоидального тока

Пусть  и .

Тогда для активной мощности можно записать

.

Как было показано при выводе соотношения для действующего значения несинусоидальной переменной, среднее за период значение произведения синусоидальных функций различной частоты равно нулю. Следовательно,

,

где .

Таким образом, активная мощность несинусоидального тока равна сумме активных мощностей отдельных гармонических:

.

Аналогично для реактивной мощности можно записать

.

Полная мощность

,

где Т – мощность искажений, определяемая произведениями действующих значений разнопорядковых гармонических тока и напряжения.

 

Методика расчета линейных цепей при периодических несинусоидальных токах

Возможность разложения

периодических несинусоидальных функций в ряд Фурье позволяет свести расчет линейной цепи при воздействии на нее несинусоидальных ЭДС (или токов) источников к расчету цепей с постоянными и синусоидальными токами в отдельности для каждой гармоники. Мгновенные значения искомых токов и напряжений определяются на основе принципа наложения путем суммирования найденных при расчете гармонических составляющих напряжений и токов. В соответствии с вышесказанным цепь на рис. 5 при воздействии на нее ЭДС

(при расчете спектр рассматриваемых гармоник ограничивается) в расчетном плане представляется суммой цепей на рис. 6.

Здесь .

Тогда, например, для тока в ветви с источником ЭДС, имеем

,

где каждая к-я гармоника тока рассчитывается символическим методом по своей к-й расчетной схеме. При этом (поверхностный эффект не учитывается) для всех гармоник параметры  и С постоянны.

;

.

Необходимо помнить, что ввиду различия частот суммировать комплексы различных гармоник недопустимо.

Таким образом, методика расчета линейных цепей при несинусоидальных токах сводится к следующему:

  1.  ЭДС и токи источников раскладываются в ряды Фурье.
  2.  Осуществляется расчет цепи в отдельности для каждой гармонической.
  3.  Искомые величины определяются как алгебраические суммы соответствующих гармонических.

Литература

  1.  Основы теории цепей: Учеб. для вузов /Г.В.Зевеке, П.А.Ионкин, А.В.Нетушил, С.В.Страхов. –5-е изд., перераб. –М.: Энергоатомиздат, 1989. -528с.
  2.  Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники: Электрические цепи. Учеб. для студентов электротехнических, энергетических и приборостроительных специальностей вузов. –7-е изд., перераб. и доп. –М.: Высш. шк., 1978. –528с.
  3.  Теоретические основы электротехники. Учеб. для вузов. В трех т. Под общ. ред. К.М.Поливанова. Т.1. К.М.Поливанов. Линейные электрические цепи с сосредоточенными постоянными. –М.: Энергия- 1972. –240с.

Контрольные вопросы

  1.  Что является причиной появления несинусоидальных токов и напряжений в электрических цепях?
  2.  Какие величины и коэффициенты характеризуют периодические несинусоидальные переменные?
  3.  Какие гармонические отсутствуют в спектрах кривых, симметричных относительно: 1)  оси абсцисс;  2) оси ординат;  3) начала системы координат?
  4.  Достаточно ли для определения величины полной мощности в цепи несинусоидального тока наличие информации об активной и реактивной мощностях?
  5.  Для каких цепей справедлива методика расчета цепей несинусоидального тока, основанная на разложении ЭДС и токов источников в ряды Фурье?
  6.  Не прибегая к разложению в ряд Фурье, определить коэффициенты амплитуды и формы кривой на рис. 4.

Ответ: .

  1.  Определить действующее значение напряжения на зажимах ветви с последовательным соединением резистора с  и катушки индуктивности с , если ток в ней . Рассчитать активную мощность в ветви.

Ответ: U=218 В;  Р=1260 Вт.

  1.  Определить действующее значение тока в ветви с источником ЭДС в схеме на  рис. 5, если ; .

Ответ: I=5,5 A.

180


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

82862. Незвичайна яблуня. А.М’ястківський «Казка про яблуню». В.Коломієць «Не лови метелика» 71 KB
  Мета: удосконалювати навички усвідомленого, виразного читання художніх творів; навчати правильно оцінювати вчинки дійових осіб; формувати вміння знаходити за допомогою вибіркового читання уривки тексту, які характеризують дійових осіб; збагачувати словниковий запас учнів...
82863. Урок-путешествие. Дорогою добра 49.5 KB
  Цель: формировать представление о добре о доброте о способах их проявления; развивать умение анализировать сравнивать делать выводы; воспитывать стремление совершать добрые поступки. Оборудование: проектор компьютер слайд-презентация звукозапись песни раздаточный материал выставка книг.
82864. Творчість генія українського народу – Т. Г. Шевченка 81 KB
  Мета. Розширити знання учнів про життя і творчість генія українського народу – Т. Г. Шевченка, про його прагнення допомагати пригнобленим; викликати гордість за талановитих дітей з простолюду, за їхнє бажання вчитися, служити своєму народу.
82865. О. Донченко «Лісовою стежкою» 1.14 MB
  Мета. Познайомити з оповіданням О. Донченка «Лісовою стежкою»; розвивати вміння знаходити в текстах описи, роздуми; формувати уміння аналізувати, узагальнювати, характеризувати головну героїню з опорою на текст і малюнок, складати словесний портрет, удосконалювати вміння складати план і переказувати прочитане...
82866. Анализ основных направлений деятельности информационно-аналитического отдела С.Суг-Бажы Каа-Хемского района Республики Тыва 141.46 KB
  Современная обостренность проблемы связей с общественностью в местных органах власти вызвана: во-первых, общими потребностями демократизации; во-вторых, необходимостью трансформации местной власти, в сторону большей открытости, поиска новых форм коммуникативных отношений местных органов власти и граждан...
82867. ВПЛИВ ФОНУ ЖИВЛЕННЯ НА ПРОДУКТИВНІСТЬ І ЯКІСТЬ ПОСІВНОГО ТОМАТУ 285.79 KB
  Стан вивченості питання впливу добрив на процеси росту рівень урожаю та показники якостітоматів. Приріст надземної маси та фотосинтетична діяльність рослин томатів залежно від добрив. В умовах зрошення де створюються оптимальні умови зволоження ґрунту для сільськогосподарських культур...
82868. Оценка эффективности информационно-аналитического обеспечения муниципального управления (на материалах Администрации г. Смоленска) 1.05 MB
  Принятие эффективных управленческих решений требует организации целесообразной системы информационно-аналитического обеспечения, объективно отражающей сложившуюся ситуацию. Информационно-аналитическое обеспечение управления предполагает связь информации с системами управления организацией и управленческим процессом в целом.
82869. ОСОБЕННОСТИ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ЖУРНАЛИСТА И СПЕЦИАЛИСТА ПО СВЯЗЯМ С ОБЩЕСТВЕННОСТЬЮ С ЦЕЛЬЮ ПРОДВИЖЕНИЯ КОСМЕТОЛОГИЧЕСКОЙ КОМПАНИИ 278.5 KB
  В данной работе мы рассматриваем взаимосвязь PR-специалистов и субъектов публичной коммуникации как взаимосвязанный и взаимообусловленный процесс распространения информации среди целевой общественности процесс селекции информации с учетом информационных запросов целевой общественности а так же на примере косметологической компании...
82870. Учет товаров в розничной торговле (на примере ООО «НиК») 646.5 KB
  Первая глава посвящена теоретическим аспектам учета движения товаров на предприятиях розничной торговли. Во второй главе рассмотрен анализ системы бухгалтерского учета движения товаров в розничном предприятии ООО НИК В третьей главе представлены рекомендации по совершенствованию учета товародвижения в ООО НиК.