83671

Линейные электрические цепи при несинусоидальных периодических токах

Лекция

Физика

Причины возникновения несинусоидальных напряжений и токов могут быть обусловлены или несинусоидальностью источника питания или и наличием в цепи хотя бы одного нелинейного элемента. Кроме того в основе появления несинусоидальных токов могут лежать элементы с периодически изменяющимися параметрами. Характеристики несинусоидальных величин Для характеристики несинусоидальных периодических переменных служат следующие величины и коэффициенты приведены на примере периодического тока: Максимальное значение .

Русский

2015-03-15

129.5 KB

0 чел.

Лекция N 26

Линейные электрические цепи при несинусоидальных
периодических токах

Предыдущие лекции были посвящены анализу электрических цепей при синусоидальных токах и напряжениях. На практике ЭДС и токи в большей или меньшей степени являются несинусоидальными. Это связано с тем, что реальные генераторы не обеспечивают, строго говоря, синусоидальной формы кривых напряжения, а с другой стороны, наличие нелинейных элементов в цепи обусловливает искажение формы токов даже при синусоидальных ЭДС источников.

На практике к несинусоидальности напряжений и токов следует подходить двояко:

  •  в силовой электроэнергетике несинусоидальные токи обусловливают в общем случае дополнительные потери мощности, пульсации момента на валу двигателей, вызывают помехи в линиях связи; поэтому здесь необходимо «всеми силами» поддержание синусоидальных режимов;
  •  в цепях автоматики и связи, где несинусоидальные токи и напряжения лежат в основе принципа действия электротехнических устройств, задача наоборот заключается в их усилении и передаче с наименьшими искажениями.

В общем случае характер изменения величин может быть периодическим, почти периодическим и непериодическим. В данном разделе будут рассматриваться цепи только с периодическими переменными.

Периодическими несинусоидальными величинами называются переменные, изменяющиеся во времени по периодическому несинусоидальному закону. Причины возникновения несинусоидальных напряжений и токов могут быть обусловлены или несинусоидальностью источника питания или (и) наличием в цепи хотя бы одного нелинейного элемента. Кроме того, в основе появления несинусоидальных токов могут лежать элементы с периодически изменяющимися параметрами.

В качестве примера на рис. 1,а представлена цепь с нелинейным резистором (НР), нелинейная вольт-амперная характеристика (ВАХ) которого обусловливает несинусоидальную форму тока i в цепи при синусоидальном напряжении u на ее входе (см. рис. 1,б).

 

Характеристики несинусоидальных величин

Для характеристики несинусоидальных периодических переменных служат следующие величины и коэффициенты (приведены на примере периодического тока):

  1.  Максимальное значение - .
  2.  Действующее значение - .
  3.  Среднее по модулю значение - .
  4.  Среднее за период значение (постоянная составляющая) - .
  5.  Коэффициент амплитуды (отношение максимального значения к действующему) - .
  6.  Коэффициент формы (отношение действующего значения к среднему по модулю) - .
  7.  Коэффициент искажений (отношение действующего значения первой гармоники к действующему значению переменной) - .
  8.  Коэффициент гармоник (отношение действующего значения высших гармонических к действующему значению первой гармоники) - .

 

Разложение периодических несинусоидальных
кривых в ряд Фурье

Из математики известно, что всякая периодическая функция , где Т – период, удовлетворяющая условиям Дирихле, может быть разложена в тригонометрический ряд. Можно отметить, что функции, рассматриваемые в электротехнике, этим условиям удовлетворяют, в связи с чем проверку на их выполнение проводить не нужно.

При разложении в ряд Фурье функция представляется следующим образом:

 

  .

(1)

 

Здесь  - постоянная составляющая или нулевая гармоника;  - первая (основная) гармоника, изменяющаяся с угловой частотой , где Т – период несинусоидальной периодической функции.

В выражении (1) , где коэффициенты  и  определяются по формулам

;

.

 

Свойства периодических кривых, обладающих симметрией

Коэффициенты ряда Фурье для стандартных функций могут быть взяты из справочной литературы или в общем случае рассчитаны по приведенным выше формулам. Однако в случае кривых, обладающих симметрией, задача существенно упрощается, поскольку из их разложения выпадают целые спектры гармоник. Знание свойств таких кривых позволяет существенно сэкономить время и ресурсы при вычислениях.

  1.  Кривые, симметричные относительно оси абсцисс.

К данному типу относятся кривые, удовлетворяющие равенству  (см. пример на рис. 2). В их разложении отсутствуют постоянная составляющая и четные гармоники, т.е. .

  1.  Кривые, симметричные

относительно оси ординат.

К данному типу относятся кривые, для которых выполняется равенство  (см. пример на рис. 3). В их разложении отсутствуют синусные составляющие, т.е. .

  1.  Кривые, симметричные

относительно начала координат.

К этому типу относятся кривые, удовлетворяющие равенству  (см. пример на рис. 4). При разложении таких кривых отсутствуют постоянная и косинусные составляющие, т.е. .

Действующее значение периодической несинусоидальной переменной

Как было показано выше, действующим называется среднеквадратичное за период значение величины:

.

При наличии аналитического выражения функции i(t) и возможности взятия интеграла от ее квадрата действующее значение i(t) определяется точно. Однако в общем случае на практике действующее значение переменной определяется на основе информации о  действующих значениях конечного ряда гармонических.

Пусть . Тогда

Очевидно, что каждый из интегралов от тригонометрических функций в последнем выражении равен нулю. Таким образом,

или

.

Аналогичные выражения имеют место для ЭДС, напряжения и т.д.

 

Мощность в цепях периодического несинусоидального тока

Пусть  и .

Тогда для активной мощности можно записать

.

Как было показано при выводе соотношения для действующего значения несинусоидальной переменной, среднее за период значение произведения синусоидальных функций различной частоты равно нулю. Следовательно,

,

где .

Таким образом, активная мощность несинусоидального тока равна сумме активных мощностей отдельных гармонических:

.

Аналогично для реактивной мощности можно записать

.

Полная мощность

,

где Т – мощность искажений, определяемая произведениями действующих значений разнопорядковых гармонических тока и напряжения.

 

Методика расчета линейных цепей при периодических несинусоидальных токах

Возможность разложения

периодических несинусоидальных функций в ряд Фурье позволяет свести расчет линейной цепи при воздействии на нее несинусоидальных ЭДС (или токов) источников к расчету цепей с постоянными и синусоидальными токами в отдельности для каждой гармоники. Мгновенные значения искомых токов и напряжений определяются на основе принципа наложения путем суммирования найденных при расчете гармонических составляющих напряжений и токов. В соответствии с вышесказанным цепь на рис. 5 при воздействии на нее ЭДС

(при расчете спектр рассматриваемых гармоник ограничивается) в расчетном плане представляется суммой цепей на рис. 6.

Здесь .

Тогда, например, для тока в ветви с источником ЭДС, имеем

,

где каждая к-я гармоника тока рассчитывается символическим методом по своей к-й расчетной схеме. При этом (поверхностный эффект не учитывается) для всех гармоник параметры  и С постоянны.

;

.

Необходимо помнить, что ввиду различия частот суммировать комплексы различных гармоник недопустимо.

Таким образом, методика расчета линейных цепей при несинусоидальных токах сводится к следующему:

  1.  ЭДС и токи источников раскладываются в ряды Фурье.
  2.  Осуществляется расчет цепи в отдельности для каждой гармонической.
  3.  Искомые величины определяются как алгебраические суммы соответствующих гармонических.

Литература

  1.  Основы теории цепей: Учеб. для вузов /Г.В.Зевеке, П.А.Ионкин, А.В.Нетушил, С.В.Страхов. –5-е изд., перераб. –М.: Энергоатомиздат, 1989. -528с.
  2.  Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники: Электрические цепи. Учеб. для студентов электротехнических, энергетических и приборостроительных специальностей вузов. –7-е изд., перераб. и доп. –М.: Высш. шк., 1978. –528с.
  3.  Теоретические основы электротехники. Учеб. для вузов. В трех т. Под общ. ред. К.М.Поливанова. Т.1. К.М.Поливанов. Линейные электрические цепи с сосредоточенными постоянными. –М.: Энергия- 1972. –240с.

Контрольные вопросы

  1.  Что является причиной появления несинусоидальных токов и напряжений в электрических цепях?
  2.  Какие величины и коэффициенты характеризуют периодические несинусоидальные переменные?
  3.  Какие гармонические отсутствуют в спектрах кривых, симметричных относительно: 1)  оси абсцисс;  2) оси ординат;  3) начала системы координат?
  4.  Достаточно ли для определения величины полной мощности в цепи несинусоидального тока наличие информации об активной и реактивной мощностях?
  5.  Для каких цепей справедлива методика расчета цепей несинусоидального тока, основанная на разложении ЭДС и токов источников в ряды Фурье?
  6.  Не прибегая к разложению в ряд Фурье, определить коэффициенты амплитуды и формы кривой на рис. 4.

Ответ: .

  1.  Определить действующее значение напряжения на зажимах ветви с последовательным соединением резистора с  и катушки индуктивности с , если ток в ней . Рассчитать активную мощность в ветви.

Ответ: U=218 В;  Р=1260 Вт.

  1.  Определить действующее значение тока в ветви с источником ЭДС в схеме на  рис. 5, если ; .

Ответ: I=5,5 A.

180


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

79763. Стратегический контроллинг 56.5 KB
  При определении количественной цели необходимо не только разработать систему плановых показателей но и определить их величину и приоритеты. Анализ всех этих областей должен дать совокупность основных важнейших подконтрольных показателей подлежащих управлению в системе контроллинга. Например развитие подконтрольных показателей представлено в табл. Развитие показателей...
79764. Основы методики оценки кредитоспособности фирмы в стратегической перспективе 214 KB
  Оценка кредитоспособности фирмы потенциального клиента банка постоянная проблема с которой сталкиваются подразделения любого банка связанные с реализацией его кредитной политики. На основе такой оценки определяются условия предоставления как краткосрочного так и особенно долгосрочного кредитов банка. Такой анализ представляет собой по существу внешний контроллинг по отношению к фирмеклиенту банка. С другой стороны стратегический контроллинг проводимый банком будет способствовать устойчивости финансового состояния самого банка.
79765. Бизнес-план предприятия. Оформление и стиль бизнес-плана 120.5 KB
  Любое новое дело нуждается в принятии важных предварительных решений о его развитии. Бизнес-план - это очень хорошее средство для их осмысления. В условиях становящегося российского бизнеса уже работающие предприятия и люди, еще недавно далекие от хозяйственной деятельности
79766. Финансовое планирование в экономической организации 244.5 KB
  Значение финансового планирования для внутренней среды организации определяется тем что оно: облекает выработанные стратегические цели в форму конкретных финансовых показателей; устанавливает стандарты для организации финансовой информации; определяет приемлемые границы затрат необходимых для реализации всей совокупности планов фирмы; в части оперативного финансового планирования дает очень полезную информацию для разработки и корректировки общефирменной стратегии...
79767. Общая концепция внутрифирменного планирования 147.5 KB
  Планирование является важнейшей частью предпринимательской практики. Важность планирования выражена в известном афоризме: Планировать или быть планируемым. Смысл высказывания заключается в том, что фирма, которая не умеет или не считает...
79768. Содержание и организация внутрифирменного планирования 294.5 KB
  Планирование в организации может относиться к тому или иному типу в зависимости от признака, по которому происходит классификация. Признаками, определяющими тип планирования
79769. Стратегическое планирование в экономической организации 651.5 KB
  Стратегическое планирование - относительно молодой вид деятельности фирм. Его предтечей стало долгосрочное планирование, которое бизнес начал применять в 50-х годах нашего столетия. Уже долгосрочное планирование оказалось большим шагом вперед
79770. Стратегический менеджмент: сущность и основные составляющие 89 KB
  Понятие стратегического управления. Стратегические проблемы развития производства и трудности стратегического управления. Составляющие стратегического управления и связь между ними. Понятие стратегического управления Слово стратегия греческого происхождения и означает искусство развертывания войск в бою...
79771. Организация как объект стратегического управления 71 KB
  Стратегический ресурсный потенциал организации. Производственный профиль миссия организации Системой называют совокупность взаимосвязанных элементов предназначенную для достижения определенной цели. Стратегический ресурсный потенциал организации Основополагающим принципом выделения элементов ПС для стратегического управления ею является оценка возможностей достижения стратегических целей ПС появляющихся при использовании данного элемента системы. СУ ПС связано с постановкой целей организации и с поддержанием определенных взаимоотношений...