83673

Переходные процессы в линейных электрических цепях с сосредоточенными параметрами

Лекция

Физика

Для цепей с заданными постоянными или периодическими напряжениями токами источников принужденная составляющая определяется путем расчета стационарного режима работы схемы после коммутации любым из рассмотренных ранее методов расчета линейных электрических цепей. общее решение уравнения 2 имеет вид 4 Соотношение 4 показывает что при классическом методе расчета послекоммутационный процесс рассматривается как наложение друг на друга двух режимов принужденного наступающего как бы сразу после коммутации и свободного имеющего...

Русский

2015-03-15

157.5 KB

3 чел.

Лекция N 28

Переходные процессы в линейных электрических цепях
с сосредоточенными параметрами

При всех изменениях в электрической цепи: включении, выключении, коротком замыкании, колебаниях величины какого-либо параметра и т.п. – в ней возникают переходные процессы, которые не могут протекать мгновенно, так как невозможно мгновенное изменение энергии, запасенной в электромагнитном поле цепи. Таким образом, переходный процесс обусловлен несоответствием величины запасенной энергии в магнитном поле катушки и электрическом поле конденсатора ее значению для нового состояния цепи.

При переходных процессах могут возникать большие перенапряжения, сверхтоки, электромагнитные колебания, которые могут нарушить работу устройства вплоть до выхода его из строя. С другой стороны, переходные процессы находят полезное практическое применение, например, в различного рода электронных генераторах. Все это обусловливает необходимость изучения методов анализа нестационарных режимов работы цепи.

Основные методы анализа переходных процессов в линейных цепях:

  1.  Классический метод, заключающийся в непосредственном интегрировании дифференциальных уравнений, описывающих электромагнитное состояние цепи.
  2.  Операторный метод, заключающийся в решении системы алгебраических уравнений относительно изображений искомых переменных с последующим переходом от найденных изображений к оригиналам.
  3.  Частотный метод, основанный на преобразовании Фурье и находящий широкое применение при решении задач синтеза.
  4.  Метод расчета с помощью интеграла Дюамеля, используемый при сложной форме кривой возмущающего воздействия.
  5.  Метод переменных состояния, представляющий собой упорядоченный способ определения электромагнитного состояния цепи на основе решения системы дифференциальных уравнений первого прядка, записанных в нормальной форме (форме Коши).

 

Классический метод расчета

Классический метод расчета переходных процессов заключается в непосредственном интегрировании дифференциальных уравнений, описывающих изменения токов и напряжений на участках цепи в переходном процессе.

В общем случае при использовании классического метода расчета составляются уравнения электромагнитного состояния цепи по законам Ома и Кирхгофа для мгновенных значений напряжений и токов, связанных между собой на отдельных  элементах цепи соотношениями, приведенными в табл. 1.

 

Таблица 1. Связь мгновенных значений напряжений и токов на элементах

                    электрической цепи

     Резистор (идеальное активное сопротивление)

  Катушка индуктивности (идеальная индуктивность)

          Конденсатор

    (идеальная емкость)

             

          ;

при наличии магнитной связи с катушкой, обтекаемой током ,

   

         ;

         

Для последовательной цепи, содержащей линейные резистор R, катушку

индуктивности L и конденсатор С, при ее подключении к источнику с напряжением u (см. рис. 1) можно записать


.   

(1)

Подставив в (1) значение тока через конденсатор

,

получим линейное дифференциальное уравнение второго порядка относительно

.

В общем случае уравнение, описывающее переходный процесс в цепи с n независимыми накопителями энергии, имеет вид:

,   

(2)

где х – искомая функция времени (напряжение, ток, потокосцепление и т.п.);  - известное возмущающее воздействие (напряжение и (или) ток источника электрической энергии);  - к-й постоянный коэффициент, определяемый параметрами цепи.

Порядок данного уравнения равен числу независимых накопителей энергии в цепи, под которыми понимаются катушки индуктивности и конденсаторы в упрощенной схеме, получаемой из исходной путем объединения индуктивностей и соответственно емкостей элементов, соединения между которыми являются последовательными или параллельными.

В общем случае порядок дифференциального уравнения определяется соотношением

,

(3)

где  и  - соответственно число катушек индуктивности и конденсаторов после указанного упрощения исходной схемы;  - число узлов, в которых сходятся только ветви, содержащие катушки индуктивности (в соответствии с первым законом Кирхгофа ток через любую катушку индуктивности в этом случае определяется токами через остальные катушки);  - число контуров схемы, ветви которых содержат только конденсаторы (в соответствии со вторым законом Кирхгофа напряжение на любом из конденсаторов в этом случае определяется напряжениями на других).

Наличие индуктивных связей на порядок дифференциального уравнения не влияет.

Как известно из математики, общее решение уравнения (2) представляет собой сумму частного решения исходного неоднородного уравнения и общего решения однородного уравнения, получаемого из исходного путем приравнивания его левой части к нулю. Поскольку с математической стороны не накладывается каких-либо ограничений на выбор частного решения (2), применительно к электротехнике в качестве последнего удобно принять решение , соответствующее искомой переменной х в установившемся послекоммутационном режиме (теоретически для ).

Частное решение  уравнения (2) определяется видом функции , стоящей в его правой части, и поэтому называется принужденной составляющей. Для цепей с заданными постоянными или периодическими напряжениями (токами) источников принужденная составляющая определяется путем расчета стационарного режима работы схемы после коммутации любым из рассмотренных ранее методов расчета линейных электрических цепей.

Вторая составляющая  общего решения х уравнения (2) – решение (2) с нулевой правой частью – соответствует режиму, когда внешние (принуждающие) силы (источники энергии) на цепь непосредственно не воздействуют. Влияние источников проявляется здесь апосредованно через энергию, запасенную в полях катушек индуктивности и конденсаторов. Данный режим работы схемы называется свободным, а переменная  - свободной составляющей.

В соответствии с вышесказанным, .        общее решение уравнения (2) имеет вид

(4)

Соотношение (4) показывает, что при классическом методе расчета послекоммутационный процесс рассматривается как наложение друг на друга двух режимов – принужденного, наступающего как бы сразу после коммутации, и свободного, имеющего место только в течение переходного процесса.

Необходимо подчеркнуть, что, поскольку принцип наложения справедлив только для линейных систем, метод решения, основанный на указанном разложении искомой переменной х, справедлив только для линейных цепей.

Начальные условия. Законы коммутации

В соответствии с определением свободной составляющей  в ее выражении имеют место постоянные интегрирования , число которых равно порядку дифференциального уравнения. Постоянные интегрирования находятся из начальных условий, которые принято делить на независимые и зависимые. К независимым начальным условиям относятся потокосцепление (ток) для катушки индуктивности и заряд (напряжение) на конденсаторе в момент времени  (момент коммутации). Независимые начальные условия определяются на основании законов коммутации (см. табл. 2).

 

Таблица 2. Законы коммутации

Название закона

Формулировка закона

Первый закон коммутации (закон сохранения потокосцепления)

Магнитный поток, сцепленный с катушками индуктивности контура, в момент коммутации сохраняет то значение, которое имел до коммутации, и начинает изменяться именно с этого значения: .

Второй закон коммутации (закон сохранения заряда)

Электрический заряд на конденсаторах, присоединенных к любому узлу, в момент коммутации сохраняет то значение, которое имел до коммутации, и начинает изменяться именно с этого значения: .

Доказать законы коммутации можно от противного: если допустить обратное, то получаются бесконечно большие значения  и , что приводит к нарушению законов Кирхгофа.

На практике, за исключением особых случаев (некорректные коммутации), допустимо использование указанных законов в другой формулировке, а именно:

первый закон коммутации –          в     ветви   с    катушкой    индуктивности   ток  в момент

коммутации сохраняет свое докоммутационное значение и в дальнейшем начинает изменяться с него: .

второй закон коммутации  –          напряжение          на         конденсаторе        в         момент

коммутации сохраняет свое докоммутационное значение и в дальнейшем начинает изменяться с него: .

Необходимо подчеркнуть, что более общей формулировкой законов коммутации является положение о невозможности скачкообразного изменения в момент коммутации для схем с катушкой индуктивности – потокосцеплений, а для схем с конденсаторами – зарядов на них. В качестве иллюстрации сказанному могут служить схемы на рис. 2, переходные процессы в которых относятся к так называемым некорректным коммутациям (название произошло от пренебрежения в подобных схемах малыми параметрами, корректный учет которых может привести к существенному усложнению задачи).

 

Действительно, при переводе в схеме на рис. 2,а ключа из положения 1 в положение 2 трактование второго закона  коммутации  как невозможность  скачкообразного изменения напряжения на конденсаторе  приводит к невыполнению второго закона Кирхгофа . Аналогично при размыкании ключа в схеме на рис. 2,б трактование первого закона коммутации как невозможность скачкообразного изменения тока через катушку индуктивности приводит к невыполнению первого закона Кирхгофа . Для данных схем, исходя из сохранения заряда и соответственно потокосцепления, можно записать:

Зависимыми начальными условиями называются значения остальных токов и напряжений, а также производных от искомой функции в момент коммутации, определяемые по независимым начальным условиям при помощи уравнений, составляемых по законам Кирхгофа для . Необходимое число начальных условий равно числу постоянных интегрирования. Поскольку уравнение вида (2) рационально записывать для переменной, начальное значение которой относится к независимым начальным условиям, задача нахождения начальных условий обычно сводится к нахождению значений этой переменной и ее производных до (n-1) порядка включительно при .

Пример. Определить токи и производные  и  в момент коммутации в схеме на рис. 3, если до коммутации конденсатор был не заряжен.

В соответствии с законами коммутации

    и     .

На основании второго закона Кирхгофа для момента коммутации имеет место

,

откуда

и .

Для известных значений  и  из уравнения

определяется .

Значение производной от напряжения на конденсаторе в момент коммутации (см. табл. 1)

.

 

Корни характеристического уравнения. Постоянная времени

Выражение свободной составляющей  общего решения х дифференциального уравнения (2) определяется видом корней характеристического уравнения (см. табл. 3).

 

Таблица 3. Выражения свободных составляющих общего решения

Вид корней характеристического уравнения

   Выражение свободной составляющей

Корни  вещественные и различные

                  

Корни  вещественные и

      

Пары комплексно-сопряженных корней

Необходимо помнить, что, поскольку в линейной цепи с течением времени свободная составляющая затухает, вещественные части корней характеристического уравнения не могут быть положительными.

При вещественных корнях  монотонно затухает, и имеет место апериодический переходный процесс. Наличие пары комплексно сопряженных корней обусловливает появление затухающих синусоидальных колебаний (колебательный переходный процесс).

Поскольку физически колебательный процесс связан с периодическим обменом энергией между магнитным полем катушки индуктивности и электрическим полем конденсатора, комплексно-сопряженные корни могут иметь место только для цепей, содержащих оба типа накопителей. Быстроту затухания колебаний принято характеризовать отношением

,

которое называется декрементом колебания, или натуральным логарифмом этого отношения

,

называемым логарифмическим декрементом колебания, где .

Важной характеристикой при исследовании переходных процессов является постоянная времени t, определяемая для цепей первого порядка, как:

,

где р – корень характеристического уравнения.

Постоянную времени можно интерпретировать как временной интервал, в течение которого свободная составляющая уменьшится в е раз по сравнению со своим начальным значением. Теоретически переходный процесс длится бесконечно долго. Однако на практике считается, что он заканчивается при

.

Литература

  1.  Основы теории цепей: Учеб. для вузов /Г.В.Зевеке, П.А.Ионкин, А.В.Нетушил, С.В.Страхов. –5-е изд., перераб. –М.: Энергоатомиздат, 1989. -528с.
  2.  Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники: Электрические цепи. Учеб. для студентов электротехнических, энергетических и приборостроительных специальностей вузов. –7-е изд., перераб. и доп. –М.: Высш. шк., 1978. –528с.
  3.  Теоретические основы электротехники. Учеб. для вузов. В трех т. Под общ. ред. К.М.Поливанова. Т.1. К.М.Поливанов. Линейные электрические цепи с сосредоточенными постоянными. –М.: Энергия- 1972. –240с.

Контрольные вопросы

  1.  Чем обусловлены переходные процессы?
  2.  Как определяется порядок дифференциального уравнения, описывающего переходный процесс?
  3.  Для каких цепей применим классический метод расчета переходных процессов?
  4.  Доказать законы коммутации:  и  - с энергетических позиций.
  5.  В каких цепях и почему возможен колебательный процесс?
  6.  Определить величину токов  и напряжений  на конденсаторе и  на катушке индуктивности  в момент коммутации в цепи на рис. 4, если .

Ответ:
;  .

193


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

1429. Реконструкция станции технического обслуживания 330 KB
  Наличие подвижного состава на АТП. Подвижной состав АТП с распределением годами выпуска. Технологический процесс ТО и ТР. Управление производством ТО и ремонта в системе ЦУП с использованием элементов АСУ. Характеристика объекта реконструкции (зоны ТР). Общий технологический процесс ТО и ремонта на объекте реконструкции.
1430. Строительство канализационных очистных сооружений производительностью 25 м3/сутки для промплощадки Мокроусского ЛПУМГ ООО Югтрансгаз 129.5 KB
  Цель работы – проектирование канализационных очистных сооружений производительностью 25м3/сутки для промплощадки Мокроусского ЛПУМГ ООО Югтрансгаз ОАО Газпром.
1431. Система управления и контроля радиоприемным устройством 1.07 MB
  Обеспечение функционирования вычислительного комплекса, обнаружения сбоев и отказов модулей и горячего восстановления. Требования к организации и оборудованию рабочих мест с ПЭВМ для взрослых пользователей. Команды буфера интерфейсной информации.
1432. Расчет параметров двигателя 147.5 KB
  При выборе отношения хода поршня к диаметру цилиндра S/D необходимо учитывать следующие обстоятельства. Предназначен для преобразования возвратно-поступательного движения поршня во вращательное движение коленчатого вала.
1433. Проект для строительства завода по ремонту бытовых машин в городе Белово 128.5 KB
  Проект разработан для строительства в городе Белово, преобладающее направление ветров ЮЗ с силой 0.38 кПа. Нормативное значение веса снегового покрова принято 1.5 кПа. Глубина промерзания грунтов 2.2 м. Температура наружного воздуха наиболее холодной пятидневки – 400С.
1434. Экономическое обоснование проектирования двигателя 124.5 KB
  Целью расчетов является обоснование экономической целесообразности создания и применения спроектированного двигателя. Решение принимается на основе расчета экономического эффекта путем сопоставления результатов и затрат по проектируемому и базовому вариантам при условии сопоставимости их по объему
1435. Уровневые фронтальные лабораторные работы 231.52 KB
  Составной частью исследуемой проблематики является уровневый подход к формированию практических умений и навыков школьников. Для реализации этой цели учителем разработаны уровневые фронтальные лабораторные работы, и примеры использования проектной технологии как возможности вариативной организации учебных занятий.
1436. Алгоритм решения задачи с использованием программ Microsoft Excel и MathCAD 265.69 KB
  Данная работа посвящена автоматизации процессов расчетов. Ее целью является закрепление знаний по всем разделам дисциплины Информатика, проверка навыков практической работы с программными средствами обработки информации.
1437. Основные модели данных 182.57 KB
  В зависимости от используемой модели СУБД называются соответственно: сетевыми, иерархическими и реляционными. Манипулирование данными. Сетевая база данных. Достоинства и недостатки иерархических и сетевых СУБД.