83674

Способы составления характеристического уравнения

Лекция

Физика

Путем исключения из системы уравнений описывающих электромагнитное состояние цепи на основании первого и второго законов Кирхгофа всех неизвестных величин кроме одной относительно которой и записывается уравнение 2; путем использования выражения для входного сопротивления цепи на синусоидальном токе; на основе выражения главного определителя. Согласно первому способу в предыдущей лекции было получено дифференциальное уравнение относительно напряжения на конденсаторе для последовательной RLCцепи на базе которого записывается...

Русский

2015-03-15

175.5 KB

0 чел.

Лекция N 29

Способы составления характеристического уравнения

Характеристическое уравнение составляется для цепи после коммутации. Оно может быть получено следующими способами:

  •  непосредственно на основе дифференциального уравнения вида (2) (см. лекцию №24), т.е. путем исключения из системы уравнений, описывающих электромагнитное состояние цепи на основании первого и второго законов Кирхгофа, всех неизвестных величин, кроме одной, относительно которой и записывается уравнение (2);
  •  путем использования выражения для входного сопротивления цепи на синусоидальном токе;
  •  на основе выражения главного определителя.

Согласно первому способу в предыдущей лекции было получено дифференциальное уравнение относительно напряжения  на конденсаторе для последовательной R-L-C-цепи, на базе которого записывается характеристическое уравнение.

Следует отметить, что, поскольку линейная цепь охвачена единым переходным процессом, корни характеристического уравнения являются общими для всех свободных составляющих напряжений и токов ветвей схемы, параметры которых входят в характеристическое уравнение. Поэтому по первому способу составления характеристического уравнения в качестве переменной, относительно которой оно записывается, может быть выбрана любая.

Применение второго и третьего способов составления характеристического уравнения рассмотрим на примере цепи рис. 1.

Составление характеристического уравнения по методу входного сопротивления заключается в следующем:

записывается входное сопротивление цепи на переменном токе;

jw заменяется на оператор р;

полученное выражение  приравнивается к нулю.

Уравнение

совпадает с характеристическим.

Следует подчеркнуть, что входное сопротивление может быть записано относительно места разрыва любой ветви схемы. При этом активный двухполюсник заменяется пассивным по аналогии с методом эквивалентного генератора. Данный способ составления характеристического уравнения предполагает отсутствие в схеме магнитосвязанных ветвей; при наличии таковых необходимо осуществить их предварительное развязывание.

Для цепи на рис. 1 относительно зажимов источника

.

Заменив jw на р и приравняв полученное выражение к нулю, запишем

или

.

(1)

При составлении характеристического уравнения на основе выражения главного определителя число алгебраических уравнений, на базе которых он записывается, равно числу неизвестных свободных составляющих токов. Алгебраизация исходной системы интегро-дифференциальных уравнений, составленных, например, на основании законов Кирхгофа или по методу контурных токов, осуществляется заменой символов дифференцирования и интегрирования соответственно на умножение и деление на оператор р. Характеристическое уравнение получается путем приравнивания записанного определителя к нулю. Поскольку выражение для главного определителя не зависит от правых частей системы неоднородных уравнений, его составление можно производить на основе системы уравнений, записанных для полных токов.

Для цепи на рис. 1 алгебраизованная система уравнений на основе метода контурных токов имеет вид

Отсюда выражение для главного определителя этой системы

 

.

Приравняв D к нулю, получим результат, аналогичный (1).

 

Общая методика расчета переходных процессов классическим методом

В общем случае методика расчета переходных процессов классическим методом включает следующие этапы:

  1.  Запись выражения для искомой переменной в виде

.      

(2)

  1.  Нахождение принужденной составляющей общего решения на основании расчета установившегося режима послекоммутационной цепи.
  2.  Составление характеристического уравнения и определение его корней (для цепей, описываемых дифференциальными уравнениями первого порядка, вместо корней можно находить постоянную времени t - см. лекцию №26). Запись выражения свободной составляющей в форме, определяемой типом найденных корней.
  3.  Подстановка полученных выражений принужденной и свободной составляющих в соотношение (2).
  4.  Определение начальных условий и на их основе – постоянных интегрирования.

 

Примеры расчета переходных процессов классическим методом


1.
Переходные процессы в R-L цепи при ее подключении
к источнику напряжения

Такие процессы имеют место, например, при подключении к источнику питания электромагнитов, трансформаторов, электрических двигателей и т.п.

Рассмотрим два случая:

а)   

б) .

Согласно рассмотренной методике для тока в цепи на рис. 2 можно записать

.   

(3)

Тогда для первого случая принужденная составляющая тока

.      

  (4)

Характеристическое уравнение

,

откуда  и постоянная времени .

Таким образом,

.          

(5)

Подставляя (4) и (5) в соотношение (3), запишем

.

В соответствии с первым законом коммутации . Тогда

,

откуда .

Таким образом, ток в цепи в переходном процессе описывается уравнением

,

а напряжение на катушке индуктивности – выражением

.

Качественный вид кривых  и , соответствующих полученным решениям, представлен на рис. 3.

При втором типе источника принужденная составляющая рассчитывается с использованием символического метода:

,

где .

Отсюда

.

Выражение свободной составляющей не зависит от типа источника напряжения. Следовательно,

.

Поскольку , то

.

Таким образом, окончательно получаем

.     

  (6)

Анализ полученного выражения (6) показывает:

  1.  При начальной фазе напряжения  постоянная интегрирования А=0. Таким образом, в этом случае коммутация не повлечет за собой переходного процесса, и в цепи сразу возникнет установившийся режим.
  2.  При  свободная составляющая максимальна по модулю. В этом случае ток переходного процесса достигает своей наибольшей величины.

Если  значительна по величине, то за полпериода свободная составляющая существенно не уменьшается. В этом случае максимальная величина тока переходного процесса  может существенно превышать амплитуду     тока     установившегося     режима.   Как видно   из  рис. 4,     где

, максимум тока имеет место примерно через . В пределе при   .

Таким образом, для линейной цепи максимальное значение тока переходного режима не может превышать удвоенной амплитуды принужденного тока: .

Аналогично для линейной цепи с конденсатором: если в момент коммутации принужденное напряжение равно своему амплитудному значению и постоянная времени  цепи достаточно велика, то примерно через половину периода напряжение на конденсаторе достигает своего максимального значения , которое не может превышать удвоенной амплитуды принужденного напряжения: .

 

2. Переходные процессы при отключении катушки индуктивности
от источника питания

При размыкании ключа в цепи на рис. 5 принужденная составляющая тока через катушку индуктивности .

Характеристическое уравнение

,

откуда  и .

В соответствии с первым законом коммутации

.

Таким образом, выражение для тока в переходном режиме

и напряжение на катушке индуктивности

.   

(7)

Анализ (7) показывает, что при размыкании цепей, содержащих индуктивные элементы, могут возникать большие перенапряжения, которые без принятия специальных мер могут вывести аппаратуру из строя. Действительно, при  модуль напряжения на катушке индуктивности в момент коммутации будет во много раз превышать напряжение источника: . При отсутствии гасящего резистора R указанное напряжение прикладывается к размыкающимся контактам ключа, в результате чего между ними возникает дуга.

3. Заряд и разряд конденсатора

При переводе ключа в положение 1 (см. рис. 6) начинается процесс заряда

конденсатора:

.

Принужденная составляющая напряжения на конденсаторе .

Из характеристического уравнения

определяется корень . Отсюда постоянная времени .

Таким образом,

.

При t=0 напряжение на конденсаторе равно  (в общем случае к моменту коммутации конденсатор может быть заряженным, т.е. ). Тогда  и

.

Соответственно для зарядного тока можно записать

.

В зависимости от величины : 1 - ; 2 - ; 3 - ; 4 -  - возможны четыре вида кривых переходного процесса, которые иллюстрирует рис. 7.

При разряде конденсатора на резистор  (ключ на рис.6 переводится в положение 2) . Постоянная времени .

Тогда, принимая, что к моменту коммутации конденсатор был заряжен до напряжения  (в частном случае ), для напряжения на нем в переходном режиме можно записать

.

Соответственно разрядный ток

.           

(8)

Как видно из (8), во избежание значительных бросков разрядного тока величина  должна быть достаточно большой.

В заключение отметим, что процессы заряда и разряда конденсатора используются в генераторах пилообразного напряжения, широко применяемых в автоматике. Для этого ключ в схеме на рис. 6 заменяется на электронный.

Литература

  1.  Основы теории цепей: Учеб. для вузов /Г.В.Зевеке, П.А.Ионкин, А.В.Нетушил, С.В.Страхов. –5-е изд., перераб. –М.: Энергоатомиздат, 1989. -528с.
  2.  Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники: Электрические цепи. Учеб. для студентов электротехнических, энергетических и приборостроительных специальностей вузов. –7-е изд., перераб. и доп. –М.: Высш. шк., 1978. –528с.
  3.  Теоретические основы электротехники. Учеб. для вузов. В трех т. Под общ. ред. К.М.Поливанова. Т.1. К.М.Поливанов. Линейные электрические цепи с сосредоточенными постоянными. –М.: Энергия- 1972. –240с.

Контрольные вопросы

  1.  Составить характеристическое уравнение для цепи на рис. 1, используя выражение входного сопротивления относительно места разрыва ветви с резистором .
  2.  Может ли в одной части линейной цепи протекать колебательный переходный процесс, а в другой – апериодический?
  3.  Для чего в схеме на рис. 5 служит цепочка, состоящая из диода и резистора R?
  4.  Почему можно разрывать ветвь с конденсатором и нельзя – ветвь с индуктивным элементом?
  5.  Почему корни характеристического уравнения не зависят от того, относительно какой переменной было записано дифференциальное уравнение?
  6.  Для цепи на рис. 8 составить характеристическое уравнение и определить, при каких значениях  переходный процесс в ней будет носить апериодический характер, если .

Ответ: .

  1.  Определить  в цепи на рис. 9, если , , , .

Ответ: .

201


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

36523. Процедуры общего вида в паскаль 24.5 KB
  Синтаксис: Procedure идентификатор или Procedure идентификатор параметры Замечания: В заголовке процедуры определяются ее идентификатор и набор формальных параметров если таковые есть. Заголовок процедуры сопровождается: 1разделом описаний в котором объявляются локальные объекты 2операторами находящимися между Begin и End которые определяют что должно быть выполнено при вызове процедуры. Вместо частей объявлений и операторов в объявлении процедуры могут присутствовать директивы Forwrd externl или InLine.
36524. Формальные и фактические параметры Правило соответствия 26.5 KB
  В каждую группу включаются параметры одного типа принадлежащие к одной категории. Все формальные параметры можно разбить на четыре категории: 1параметрызначения; 2параметрыпеременные; 2параметрыконстанты 4параметрыпроцедуры и параметрыфункции.
36525. Параметры - переменные, параметры-значения.Механизм передачи в подпрограмму и из нее 28.5 KB
  Список формальных параметров необязателен и может отсутствовать. Если же он есть то в нем должны быть перечислены имена формальных параметров и их типы например: Procedure SB: Rel; b: Integer; с: Chr; Как видно из примера параметры в списке отделяются друг от друга точками с запятой. Несколько следующих подряд однотипных параметров можно объединять в подсписки например вместо Function F: Rel; b: Rel: Rel; можно написать проще: Function Fb: Rel: Rel; Операторы тела подпрограммы рассматривают список формальных параметров как...
36526. Глобальные и локальные типы параметров 23.5 KB
  Глобальные переменные Глобальные переменные в отличие от локальных доступны в любой точке программы.
36527. Параметры процедурного типа и их использование 25.5 KB
  Он основан на введении процедурных типов. Процедурный тип тип представляющий семейство процедур или функций для их использования в программе. Как и любой тип Турбо Паскаля процедурный тип должен быть описан а затем может быть использован для работы с переменными процедурного типа или константами.
36528. Информация, информационные революции, основные этапы. Классификация информации 25.5 KB
  Iя революция изобретение письменности. IIя революция сер. IIIя революция кон. IVя революция 70е гг.
36529. Возникновение эвм, поколения эвм. Критерии классификации 26 KB
  Возникновение ЭВМ. Поколения ЭВМ. Под поколением ЭВМ понимается серия вычислительных машин обладающих едиными научными и техническими принципами возможностью создания разными коллективами 1е поколение 194650 элементная база электронные лампы Стрела Урал1 и.
36530. Характеристика поколений Эвм 25.5 KB
  Под поколением ЭВМ понимается серия вычислительных машин обладающих едиными научными и техническими принципами возможностью создания разными коллективами 1е поколение 194650 элементная база электронные лампы Стрела Урал1 и. Программирование коды ЭВМ. Основной тип большие ЭВМ.
36531. Принципы фон Неймона как основы информации эвм. Схема эвм, основные компоненты 31 KB
  Схема эвм основные компоненты. Принципы Неймона как основы информации ЭВМ. 1ВМ строится на основе двоичной системы счисления 2Программный принцип управления ЭВМ заключаются в том что ЭВМ выполняет решение задачи с помощью программы которая записывается в память до момента ввода исходных данных задачи и выполняется под управлением программы также записанной в памяти.