83676

Операторный метод расчета переходных процессов

Лекция

Физика

Выделенную из некоторой сложной цепи. Замыкание ключа во внешней цепи приводит к переходному процессу при этом начальные условия для тока в ветви и напряжения на конденсаторе в общем случае ненулевые. Отсюда 2 где операторное сопротивление рассматриваемого участка цепи. Следует обратить внимание что операторное сопротивление соответствует комплексному сопротивлению ветви в цепи синусоидального тока при замене оператора р на .

Русский

2015-03-15

174.5 KB

2 чел.

Лекция N 31

Операторный метод расчета переходных процессов

Сущность операторного метода заключается в том, что функции  вещественной переменной t, которую называют оригиналом, ставится в соответствие функция комплексной переменной , которую называют изображением. В результате этого производные и интегралы от оригиналов заменяются алгебраическими функциями от соответствующих изображений (дифференцирование заменяется умножением на оператор р, а интегрирование – делением на него), что в свою очередь определяет переход от системы интегро-дифференциальных уравнений к системе алгебраических уравнений относительно изображений искомых переменных. При решении этих уравнений находятся изображения и далее путем обратного перехода – оригиналы. Важнейшим моментом при этом в практическом плане является необходимость определения только независимых начальных условий, что существенно облегчает расчет переходных процессов в цепях высокого порядка по сравнению с классическим методом.

Изображение  заданной функции  определяется в соответствии с прямым преобразованием Лапласа:

.    

(1)

В сокращенной записи соответствие между изображением и оригиналом обозначается, как:

или    

Следует отметить, что если оригинал  увеличивается с ростом t, то для сходимости интеграла (1) необходимо более быстрое убывание модуля . Функции, с которыми встречаются на практике при расчете переходных процессов, этому условию удовлетворяют.

В качестве примера в табл. 1 приведены изображения некоторых характерных функций, часто встречающихся при анализе нестационарных режимов.

 

Таблица 1. Изображения типовых функций

 Оригинал

А

 Изображение    

 

Некоторые свойства изображений

  1.  Изображение суммы функций равно сумме изображений слагаемых:

.

  1.  При умножении оригинала на коэффициент на тот же коэффициент умножается изображение:

.

С использованием этих  свойств и данных табл. 1, можно показать, например, что

 

.

 

Изображения производной и интеграла

В курсе математики доказывается, что если , то , где  - начальное значение функции .

Таким образом, для напряжения на индуктивном элементе можно записать

или при нулевых начальных условиях

.

Отсюда операторное сопротивление катушки индуктивности

.

Аналогично для интеграла: если , то .

С учетом ненулевых начальных условий для напряжения на конденсаторе можно записать:

.

Тогда

или при нулевых начальных условиях

,

откуда операторное сопротивление конденсатора

.

 

Закон Ома в операторной форме

Пусть    имеем   некоторую  ветвь      (см. рис. 1),   выделенную   из    некоторой

сложной цепи. Замыкание ключа во внешней цепи приводит к переходному процессу, при этом начальные условия для тока в ветви и напряжения на конденсаторе в общем случае ненулевые.

Для мгновенных значений переменных можно записать:

.

Тогда на основании приведенных выше соотношений получим:

.

Отсюда

,    

(2)

где  - операторное сопротивление рассматриваемого участка цепи.

Следует обратить внимание, что операторное сопротивление  соответствует комплексному сопротивлению  ветви в цепи синусоидального тока при замене оператора р на .

Уравнение (2) есть математическая запись закона Ома для участка цепи с источником ЭДС в операторной форме. В соответствии с ним для ветви на рис. 1 можно нарисовать операторную схему замещения, представленную на рис. 2.

 

Законы Кирхгофа в операторной форме

Первый закон Кирхгофа:   алгебраическая  сумма  изображений  токов, сходящихся в узле, равна нулю

.

Второй  закон Кирхгофа:алгебраическая сумма изображений  ЭДС,  действующих в контуре, равна алгебраической сумме изображений напряжений на пассивных элементах этого контура

.

При записи уравнений по второму закону Кирхгофа следует помнить о необходимости учета ненулевых начальных условий (если они имеют место). С их учетом последнее соотношение может быть переписано в развернутом виде

.

В качестве примера запишем выражение для изображений токов в цепи на рис. 3   для двух    случаев: 1 - ; 2 - .

В первом случае в соответствии с законом Ома .

Тогда

и

.

Во втором случае, т.е. при , для цепи на рис. 3 следует составить операторную схему замещения, которая приведена на рис. 4. Изображения токов в ней могут быть определены любым методом расчета линейных цепей, например, методом контурных токов:

откуда ;  и .

 

Переход от изображений к оригиналам

Переход от изображения искомой величины к оригиналу может быть осуществлен следующими способами:

1. Посредством обратного преобразования Лапласа

,

которое представляет собой решение интегрального уравнения (1) и сокращенно записывается, как:

.

На практике этот способ применяется редко.

2. По таблицам соответствия между оригиналами и изображениями

В специальной литературе имеется достаточно большое число формул соответствия, охватывающих практически все задачи электротехники. Согласно данному способу необходимо получить изображение искомой величины в виде, соответствующем табличному, после чего выписать из таблицы выражение оригинала.

Например, для изображения тока в цепи на рис. 5 можно записать

.

Тогда в соответствии с данными табл. 1

,

что соответствует известному результату.

3. С использованием формулы разложения

Пусть изображение  искомой переменной определяется отношением двух полиномов

,

где .

Это выражение может быть представлено в виде суммы простых дробей

,       

  (3)

где  - к-й корень уравнения .

Для определения коэффициентов  умножим левую и правую части соотношения (3) на ( ):

.

При  

.

Рассматривая полученную неопределенность типа  по правилу Лопиталя, запишем

.

Таким образом,

.

Поскольку отношение  есть постоянный коэффициент, то учитывая, что , окончательно получаем

.           

(4)

Соотношение (4) представляет собой формулу разложения. Если один из корней уравнения  равен нулю, т.е. , то уравнение (4) сводится к виду

.

В заключение раздела отметим, что для нахождения начального  и конечного  значений оригинала можно использовать предельные соотношения

которые также могут служить для оценки правильности полученного изображения.

 

Литература

  1.  Основы теории цепей: Учеб. для вузов /Г.В.Зевеке, П.А.Ионкин, А.В.Нетушил, С.В.Страхов. –5-е изд., перераб. –М.: Энергоатомиздат, 1989. -528с.
  2.  Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники: Электрические цепи. Учеб. для студентов электротехнических, энергетических и приборостроительных специальностей вузов. –7-е изд., перераб. и доп. –М.: Высш. шк., 1978. –528с.
  3.  Теоретические основы электротехники. Учеб. для вузов. В трех т. Под общ. ред. К.М.Поливанова. Т.1. К.М.Поливанов. Линейные электрические цепи с сосредоточенными постоянными. –М.: Энергия- 1972. –240с.

Контрольные вопросы

  1.  В чем заключается сущность расчета переходных процессов операторным методом?
  2.  Что такое операторная схема замещения?
  3.  Как при расчете операторным методом учитываются ненулевые независимые начальные условия?
  4.  Какими способами на практике осуществляется переход от изображения к оригиналу?
  5.  Для чего используются предельные соотношения?
  6.  Как связаны изображение и оригинал в формуле разложения? Какие имеются варианты ее написания?
  7.  С использованием теоремы об активном двухполюснике

записать операторное изображение для тока через катушку индуктивности в цепи на рис. 6.

Ответ: .

  1.  С использованием предельных соотношений и решения предыдущей задачи найти начальное и конечное значения тока в ветви с индуктивным элементом.

Ответ: .

213


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

4076. Исследование принципа наложения и свойства взаимности 109.5 KB
  Цель работы: экспериментально проверить справедливость принципа наложения. Рисунок 1 Порядок выполнения работы: Собираем цепь по схеме. Включаем источники, устанавливаем на них разные напряжения в пределах 10-15 В. Опре...
4077. Исследование теплового излучения абсолютно чёрного тела 113 KB
  Цель работы – исследование температурной зависимости энергетической светимости абсолютно черного тела. Приборы и принадлежности –лабораторная работа выполняется на установке ФПК-11, которая включает: - объект исследования – тер...
4078. Поляризация света. Закон Малюса 1.05 MB
  Цель работы: ознакомление с методами получения линейно поляризованного света, некоторыми его свойствами и опытная проверка закона изменения интенсивности света при прохождении поляризованным светом анализатора (закон Малюса). Приборы и принадлежност...
4079. Исследование качества полированной поверхности с помощью микроинтерферометра Линника 788.5 KB
  Цель работы – знакомство с явлением интерференции света и с его использованием в метрологии. Получение практических навыков работы с высокоточным измерительным оптическим прибором и определение качества полированной поверхности исследуемого обр...
4080. Исследование интерференции света и определение длины волны используемого излучения 247.5 KB
  Цель работы - изучение методов наблюдения интерференционной картины и измерения ее параметров, определение длины волны используемого излучения. Приборы и принадлежности Оптическая скамья. Лазер. Бипризма Френеля. Линзы. ...
4081. Обработка результатов физического эксперимента 391.5 KB
  Цель работы – ознакомление с методами оценки результатов измерений и расчета погрешностей. Приборы и принадлежности: исследуемые образцы штангенциркуль микрометр лабораторная установка FPM - 01 пакет компьютерных программ по моделированию...
4082. Изучение центрального абсолютно упругого и неупругого соударения шаров 749 KB
  Цель работы - изучение центрального абсолютно упругого и неупругого соударения шаров. Исследование упругого соударения шаров Физические закономерности, возникающие при ударе двух тел, широко используются в науке и технике, например, при ковке металл...
4083. Изучение равноускоренного движения на машине Атвудаи ее компьютерной модели 1.03 MB
  Дана методика и описаны эксперименты по проверке основных формул кинематики и динамики равноускоренного прямолинейного движения. Эксперименты могут быть проведены как на реальной лабораторной установке (машине Атвуда), так и на ее компьютерной модел...
4084. Изучение вращательного движения с помощью маятника Обербека и его компьютерного имитатора 183.5 KB
  Изложены основные положения кинематики и динамики твердого тела. Приведена методика и описан эксперимент по проверке основного закона динамики вращательного движения. Эксперимент может быть выполнен как на реальной лабораторной установке (маятнике ...