83676

Операторный метод расчета переходных процессов

Лекция

Физика

Выделенную из некоторой сложной цепи. Замыкание ключа во внешней цепи приводит к переходному процессу при этом начальные условия для тока в ветви и напряжения на конденсаторе в общем случае ненулевые. Отсюда 2 где операторное сопротивление рассматриваемого участка цепи. Следует обратить внимание что операторное сопротивление соответствует комплексному сопротивлению ветви в цепи синусоидального тока при замене оператора р на .

Русский

2015-03-15

174.5 KB

2 чел.

Лекция N 31

Операторный метод расчета переходных процессов

Сущность операторного метода заключается в том, что функции  вещественной переменной t, которую называют оригиналом, ставится в соответствие функция комплексной переменной , которую называют изображением. В результате этого производные и интегралы от оригиналов заменяются алгебраическими функциями от соответствующих изображений (дифференцирование заменяется умножением на оператор р, а интегрирование – делением на него), что в свою очередь определяет переход от системы интегро-дифференциальных уравнений к системе алгебраических уравнений относительно изображений искомых переменных. При решении этих уравнений находятся изображения и далее путем обратного перехода – оригиналы. Важнейшим моментом при этом в практическом плане является необходимость определения только независимых начальных условий, что существенно облегчает расчет переходных процессов в цепях высокого порядка по сравнению с классическим методом.

Изображение  заданной функции  определяется в соответствии с прямым преобразованием Лапласа:

.    

(1)

В сокращенной записи соответствие между изображением и оригиналом обозначается, как:

или    

Следует отметить, что если оригинал  увеличивается с ростом t, то для сходимости интеграла (1) необходимо более быстрое убывание модуля . Функции, с которыми встречаются на практике при расчете переходных процессов, этому условию удовлетворяют.

В качестве примера в табл. 1 приведены изображения некоторых характерных функций, часто встречающихся при анализе нестационарных режимов.

 

Таблица 1. Изображения типовых функций

 Оригинал

А

 Изображение    

 

Некоторые свойства изображений

  1.  Изображение суммы функций равно сумме изображений слагаемых:

.

  1.  При умножении оригинала на коэффициент на тот же коэффициент умножается изображение:

.

С использованием этих  свойств и данных табл. 1, можно показать, например, что

 

.

 

Изображения производной и интеграла

В курсе математики доказывается, что если , то , где  - начальное значение функции .

Таким образом, для напряжения на индуктивном элементе можно записать

или при нулевых начальных условиях

.

Отсюда операторное сопротивление катушки индуктивности

.

Аналогично для интеграла: если , то .

С учетом ненулевых начальных условий для напряжения на конденсаторе можно записать:

.

Тогда

или при нулевых начальных условиях

,

откуда операторное сопротивление конденсатора

.

 

Закон Ома в операторной форме

Пусть    имеем   некоторую  ветвь      (см. рис. 1),   выделенную   из    некоторой

сложной цепи. Замыкание ключа во внешней цепи приводит к переходному процессу, при этом начальные условия для тока в ветви и напряжения на конденсаторе в общем случае ненулевые.

Для мгновенных значений переменных можно записать:

.

Тогда на основании приведенных выше соотношений получим:

.

Отсюда

,    

(2)

где  - операторное сопротивление рассматриваемого участка цепи.

Следует обратить внимание, что операторное сопротивление  соответствует комплексному сопротивлению  ветви в цепи синусоидального тока при замене оператора р на .

Уравнение (2) есть математическая запись закона Ома для участка цепи с источником ЭДС в операторной форме. В соответствии с ним для ветви на рис. 1 можно нарисовать операторную схему замещения, представленную на рис. 2.

 

Законы Кирхгофа в операторной форме

Первый закон Кирхгофа:   алгебраическая  сумма  изображений  токов, сходящихся в узле, равна нулю

.

Второй  закон Кирхгофа:алгебраическая сумма изображений  ЭДС,  действующих в контуре, равна алгебраической сумме изображений напряжений на пассивных элементах этого контура

.

При записи уравнений по второму закону Кирхгофа следует помнить о необходимости учета ненулевых начальных условий (если они имеют место). С их учетом последнее соотношение может быть переписано в развернутом виде

.

В качестве примера запишем выражение для изображений токов в цепи на рис. 3   для двух    случаев: 1 - ; 2 - .

В первом случае в соответствии с законом Ома .

Тогда

и

.

Во втором случае, т.е. при , для цепи на рис. 3 следует составить операторную схему замещения, которая приведена на рис. 4. Изображения токов в ней могут быть определены любым методом расчета линейных цепей, например, методом контурных токов:

откуда ;  и .

 

Переход от изображений к оригиналам

Переход от изображения искомой величины к оригиналу может быть осуществлен следующими способами:

1. Посредством обратного преобразования Лапласа

,

которое представляет собой решение интегрального уравнения (1) и сокращенно записывается, как:

.

На практике этот способ применяется редко.

2. По таблицам соответствия между оригиналами и изображениями

В специальной литературе имеется достаточно большое число формул соответствия, охватывающих практически все задачи электротехники. Согласно данному способу необходимо получить изображение искомой величины в виде, соответствующем табличному, после чего выписать из таблицы выражение оригинала.

Например, для изображения тока в цепи на рис. 5 можно записать

.

Тогда в соответствии с данными табл. 1

,

что соответствует известному результату.

3. С использованием формулы разложения

Пусть изображение  искомой переменной определяется отношением двух полиномов

,

где .

Это выражение может быть представлено в виде суммы простых дробей

,       

  (3)

где  - к-й корень уравнения .

Для определения коэффициентов  умножим левую и правую части соотношения (3) на ( ):

.

При  

.

Рассматривая полученную неопределенность типа  по правилу Лопиталя, запишем

.

Таким образом,

.

Поскольку отношение  есть постоянный коэффициент, то учитывая, что , окончательно получаем

.           

(4)

Соотношение (4) представляет собой формулу разложения. Если один из корней уравнения  равен нулю, т.е. , то уравнение (4) сводится к виду

.

В заключение раздела отметим, что для нахождения начального  и конечного  значений оригинала можно использовать предельные соотношения

которые также могут служить для оценки правильности полученного изображения.

 

Литература

  1.  Основы теории цепей: Учеб. для вузов /Г.В.Зевеке, П.А.Ионкин, А.В.Нетушил, С.В.Страхов. –5-е изд., перераб. –М.: Энергоатомиздат, 1989. -528с.
  2.  Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники: Электрические цепи. Учеб. для студентов электротехнических, энергетических и приборостроительных специальностей вузов. –7-е изд., перераб. и доп. –М.: Высш. шк., 1978. –528с.
  3.  Теоретические основы электротехники. Учеб. для вузов. В трех т. Под общ. ред. К.М.Поливанова. Т.1. К.М.Поливанов. Линейные электрические цепи с сосредоточенными постоянными. –М.: Энергия- 1972. –240с.

Контрольные вопросы

  1.  В чем заключается сущность расчета переходных процессов операторным методом?
  2.  Что такое операторная схема замещения?
  3.  Как при расчете операторным методом учитываются ненулевые независимые начальные условия?
  4.  Какими способами на практике осуществляется переход от изображения к оригиналу?
  5.  Для чего используются предельные соотношения?
  6.  Как связаны изображение и оригинал в формуле разложения? Какие имеются варианты ее написания?
  7.  С использованием теоремы об активном двухполюснике

записать операторное изображение для тока через катушку индуктивности в цепи на рис. 6.

Ответ: .

  1.  С использованием предельных соотношений и решения предыдущей задачи найти начальное и конечное значения тока в ветви с индуктивным элементом.

Ответ: .

213


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

31807. Сущность, функции, виды и методы контроля управленческого решения 30 KB
  Контроль организации исполнения УР – система наблюдения проверки оценки и коррекции положения дел на основе критерия. Виды контроля: 1Постоянный – ежедневно 2Регулярный – еженедельно 3Промежуточный – ежемесячно 4Переодический – составление отчета 5Детальный 6Факторный Контроль как функция управления. Контроль УР как на стадии разработки так и на стадии реализации является важнейшей функцией управления. Контроль может осуществляться в двух вариантах: по результатам и по упреждению.
31808. Сущность и виды ответственности руководителей за принятие управленческого решения 30.5 KB
  Ответственность – мера соответствия действий человека групп людей или обва взаимным требованиям нормам. Ответственность это необходимость обязанность отдавать комулибо отчет в своих действиях поступках. Ответственность может быть официальная и личная чувство ответственности как черта характера. Виды ответственности: 1Внутрифирменная: аадминистративная выговор бэкономическая лишение премии впрофессиональная понижение в должности 2Внешняя: аюридическая арест бсоциальная вморальная Юридическая ответственность частично или...
31809. Планирование и прогнозирование в процессе принятия управленческих решений 25 KB
  Метод прогнозирования – способ исследования объекта прогноза направленный на разработку прогнозов. Состояние объекта в будущем определяется закономерностями выявленным по частным результатам опыта его проведения в прошлом и настоящем. Осущся от имеющегося уровня знаний а конечные результаты развития объекта составляют содержание прогноза. Ориентирован на то что задается цель развития объекта в будущем а содержанием прогнозов становится определение частных путей.
31810. Экспертные методы прогнозирования решения 27 KB
  Экспертные методы базируются на информации которую поставляют специалистыэксперты в процессе систематизированных процедур выявления и обобщения этого мнения. Например при проведении экспертного опроса участникам представляют цифровую информацию об объекте или фактографические прогнозы либо наоборот при экстраполяции тенденции наряду с фактическими данными используют экспертные оценки. Экспертные методы разделяются на два подкласса. Прямые экспертные оценки строятся по принципу получения и обработки независимого обобщенного мнения...
31811. Фактографические методы прогнозирования решения 26 KB
  Фактографические методы прогнозирования решения. Фактографические методы базируются на фактически имеющемся информационном материале об объекте прогнозирования и его прошлом развитии. Экспертные методы базируются на информации которую поставляют специалистыэксперты в процессе систематизированных процедур выявления и обобщения этого мнения. Комбинированные методы выделены в отдельный класс чтобы можно было относить к нему методы со смешанной информационной основой в которых в качестве первичной информации используются фактографическая и...
31812. Комплексные системы прогнозирования решения 30.5 KB
  Позволяет: Выбрать объект прогноза выявить внутренние закономерности его развития написать сценарий сформулировать задачи и генеральную цель прогноза провести анализ иерархии и декомпозицию цели принять внутреннюю и внешнюю структуру объекта прогнозирования провести анкетирование выполнить математическую обработку данных анкетного опроса количественно оценить структуру верифицировать результаты разработать алгоритм распределения ресурсов провести распределение ресурсов оценить распределение ресурсов Методика примечательна тем что сочетает...
31813. Модели процесса принятия решений 27 KB
  2политические – система предпочтений лица принимающего решение 3организационные – в большинстве организаций есть организованные анархии процесс принятия решений в которых обладает особенностями. 4 Три типа ППР 1Сначала думаю: определение проблемы диагностика проектирование решениевыбор 2Сначала вижу: подготовка инкубирование проектирование верификация 3Сначала делаю: действие выбор закрепление 5 Классификация процессов взаимодействия руководителя со своими подчиненными: 1 Вы решаете задачу самостоятельно используя ту...
31814. Теория игр в разработке управленческих решений: основные понятия, виды 27.5 KB
  Каждая из сторон имеет свою цель и использует некоторую стратегию которая может вести к выигрышу или проигрышу в зависимости от поведения других игроков. Стратегия игрока – правила действия игрока в каждой из возможных ситуаций игры. Платежная матрица – матрица эффективности матрица игры. Она включает все значения выигрышей.
31815. Позиционные игры и метод «Дерево решений» при разработке управленческих решений 34 KB
  Позиционные игры и метод Дерево решений при разработке управленческих решений. Позиционные игры класс бескоалиционных игр в которых принятие игроками решений т. в ходе процесса принятия решений субъект проходит последовательность состояний в каждом из которых ему приходится принимать некоторое частичное решение. Дерево решений – это графоаналитический метод позволяющий визуально оценить различные действия различных факторов на выбор УР.