83680

Расчет нелинейных цепей методом эквивалентного генератора

Лекция

Физика

Ветвь содержащая нелинейный резистор выделяется из исходной цепи а вся остальная уже линейная схема представляется в виде активного двухполюсника АД. Если необходимо также найти токи в линейной части исходной цепи то после расчета нелинейной схемы на рис. 1б в соответствии с теоремой о компенсации нелинейный резистор заменяется источником ЭДС или тока после чего проводится анализ полученной линейной цепи любым известным методом.

Русский

2015-03-15

149.5 KB

3 чел.

Лекция N 35

Расчет нелинейных цепей методом эквивалентного генератора

Если в сложной электрической цепи имеется одна ветвь с нелинейным резистором, то определение тока в ней можно проводить на основе теоремы об активном двухполюснике (методом эквивалентного генератора). Идея решения заключается в следующем. Ветвь, содержащая нелинейный резистор, выделяется из исходной цепи, а вся остальная, уже линейная, схема представляется в виде активного двухполюсника (АД). Согласно теореме об АД схему линейного АД по отношению к зажимам 1-2 выделенной ветви (см. рис. 1,а) можно представить эквивалентным генератором (см. рис. 1,б) с ЭДС, равной напряжению  на зажимах 1-2 при разомкнутой ветви с нелинейным резистором, и внутренним сопротивлением, равным входному сопротивлению линейного двухполюсника. Последняя схема рассчитывается, например, графическим методом как цепь с последовательным соединением элементов.

Если необходимо также найти токи в линейной части исходной цепи, то после расчета нелинейной схемы на рис. 1,б в соответствии с теоремой о компенсации нелинейный резистор заменяется источником ЭДС или тока, после чего проводится анализ полученной линейной цепи любым известным методом.

 

Аналитические методы расчета

Исследования общих свойств нелинейных цепей удобно осуществлять на основе математического анализа, базирующегося на аналитическом выражении характеристик нелинейных элементов, т.е. их аппроксимации. На выбор аналитического метода влияют условия поставленной задачи, а также характер возможного перемещения рабочей точки по характеристике нелинейного элемента: по всей характеристике или в ее относительно небольшой области.

К аналитическим методам относятся: 

  •  метод аналитической аппроксимации;
  •  метод кусочно-линейной аппроксимации;
  •  метод линеаризации.

Метод аналитической аппроксимации основан на замене характеристики (или ее участка) нелинейного элемента общим аналитическим выражением. Применяются следующие виды аналитической аппроксимации:

  •  степенным многочленом (см. рис. 2,а);
  •  трансцендентными (экспоненциальными, гиперболическими и др.) функциями (см. рис. 2,б).

Выбор коэффициентов (а,b,c,…) осуществляется исходя из наибольшего соответствия аналитического выражения рабочему участку нелинейной      характеристики.     При       этом

выбираются наиболее характерные точки, через которые должна пройти аналитическая кривая. Число точек равно числу коэффициентов в аналитическом выражении, что позволяет однозначно определить последнее.

Необходимо помнить, что при получении нескольких корней нелинейного уравнения они должны быть проверены на удовлетворение задаче. Пусть, например, в цепи, состоящей из последовательно соединенных линейного R и нелинейного резисторов, ВАХ последнего может быть аппроксимирована выражением . Определить ток в цепи, если источник ЭДС Е обеспечивает режим работы цепи в первом квадранте.

В соответствии со вторым законом Кирхгофа для данной цепи имеет место уравнение

или

.

Корни уравнения

.

Решением задачи является , поскольку второе решение  не удовлетворяет условиям исходя из физических соображений.

Метод кусочно-линейной аппроксимации основан на представлении характеристики нелинейного элемента отрезками прямых линий (см. рис. 3), в результате чего нелинейная цепь может быть описана линейными уравнениями с постоянными (в пределах каждого отрезка) коэффициентами.

При наличии в цепи двух и более нелинейных резисторов реализация метода затруднена, так как в общем случае изначально неизвестно, на каких участках ломаных кривых находятся рабочие точки.

Кусочно-линейная аппроксимация может быть реализована методом секционных кусочно-линейных функций, позволяющим описать ломаную кривую общим аналитическим выражением. Например, для кривой, представленной на рис. 4 и определяемой коэффициентами  и  характеризующими наклон ее отдельных прямолинейных участков, и параметрами , характеризующими координаты точек, где значения функции изменяются скачками, данное выражение будет иметь вид

Здесь два первых слагаемых в правой части определяют первый наклонный участок аппроксимируемой кривой; три первых слагаемых - первый наклонный участок и участок первого скачка; четыре первых слагаемых - первый и второй наклонные участки с учетом участка первого скачка и т.д.

            В общем случае аппроксимирующее выражение по методу секционных кусочно - линейных функций имеет вид

Метод линеаризации применим для анализа нелинейных цепей при малых отклонениях рабочей точки Р (см. рис. 5) от исходного состояния.

В окрестности рабочей точки (см. рис. 5)

,

где        (закон Ома для малых приращений);

-дифференциальное сопротивление.

Идея метода заключается в замене нелинейного резистора  линейным с сопротивлением, равным дифференциальному в заданной (или предполагаемой) рабочей точке, и либо последовательно включенным с ним источником ЭДС, либо параллельно включенным источником тока. Таким образом,  линеаризованной ВАХ (см. прямую на     рис. 5) соответствует последовательная (рис. 6,а) или параллельная (рис. 6,б) схема замещения нелинейного резистора.

Если исходный режим определен и требуется рассчитать лишь приращения токов и (или) напряжений, обусловленные изменением напряжения или тока источника, целесообразно использовать эквивалентные схемы для приращений, получаемые на основании законов Кирхгофа для малых приращений:

-первый закон Кирхгофа: ;

-второй закон Кирхгофа: .

При составлении схемы для приращений:

1) все ЭДС и токи источников заменяются их приращениями;

2) нелинейные резисторы  заменяются линейными с сопротивлениями, равными дифференциальным в рабочих точках.

Необходимо помнить, что полная величина какого-либо тока или напряжения в цепи равна алгебраической сумме исходного значения переменной и ее приращения, рассчитанного методом  линеаризации.

Если исходный режим работы нелинейного резистора неизвестен, то следует задаться рабочей точкой на его ВАХ и, осуществив соответствующую линеаризацию, произвести расчет, по окончании которого необходимо проверить, соответствуют ли его результаты выбранной точке. В случае их несовпадения линеаризованный участок уточняется, расчет повторяется и так до получения требуемой сходимости

 

Итерационные методы расчета

Решение нелинейного уравнения (системы нелинейных уравнений), описывающего (описывающих) состояние электрической цепи, может быть реализовано приближенными численными методами. Решение находится следующим образом: на основе первой, достаточно грубой, оценки определяется начальное значение корня (корней), после чего производится уточнение по выбранному алгоритму до вхождения в область заданной погрешности.

Наиболее широкое применение в электротехнике для численного расчета нелинейных резистивных цепей получили метод простой итерации и метод Ньютона-Рафсона, основные сведения о которых приведены в табл. 1.

Таблица 1. Итерационные методы расчета

Последователь-ность расчета

Геометрическая иллюстрация алгоритма

Условие сходимости итерации

Примечание

Метод простой итерации

1.Исходное нелинейное уравнение электрической цепи , где -искомая переменная, представляется в виде .

2. Производится расчет по алгоритму  где

- шаг итерации.

 

Здесь - заданная погрешность

На интервале между приближенным и точным значениями корня должно выполняться неравенство

1.Начальное приближение  обычно находится из уравнения  при пренебрежении в нем нелинейными членами.

2. Метод распространим на систему нелинейных уравнений n-го порядка. Например, при решении системы 2-го порядка

итерационные формулы имеют вид  ;

.

3. При решении системы уравнений сходимость обычно проверяется в процессе итерации.

 

Метод Ньютона-

-Рафсона

1. На основании исходного нелинейного уравнения электрической цепи , где -искомая переменная, записывается итерационная формула  где - шаг итерации.

2.По полученной формуле проводится итерационный расчет

 Здесь - заданная погрешность

На интервале между приближенным и точным значениями корня должны выполняться неравенства

Примечания п. 1,2 и 3 к методу простой итерации распространимы на метод Ньютона-Рафсона. При этом при решении системы 2-го порядка

итерационные формулы имеют вид

где

 

Литература

  1.  Основы теории цепей: Учеб. для вузов /Г.В.Зевеке, П.А.Ионкин, А.В.Нетушил, С.В.Страхов. –5-е изд., перераб. –М.: Энергоатомиздат, 1989. -528с.
  2.  Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники: Электрические цепи. Учеб. для студентов электротехнических, энергетических и приборостроительных специальностей вузов. –7-е изд., перераб. и доп. –М.: Высш. шк., 1978. –528с.
  3.  Теоретические основы электротехники. Учеб. для вузов. В трех т. Под общ. ред. К.М.Поливанова. Т.2. Жуховицкий Б.Я., Негневицкий И.Б. Линейные электрические цепи (продолжение). Нелинейные цепи. –М.: Энергия- 1972. –200с.
  4.  Матханов П.Н. Основы анализа электрических цепей. Нелинейные цепи.: Учеб. для студ. электротехн. спец. вузов. 2-е изд., переработ. и доп. –М.: Высш. шк., 1986. –352с.
  5.  Чуа Л.О., Лин Пен-Мин.Машинный анализ электронных схем: алгоритмы и вычислительные методы: Пер. с англ. –М.: Энергия, 1980. – 640 с.
  6.  Сборник задач и упражнений по теоретически основам электротехники: Учеб. пособие для вузов /Под ред. проф. П.А.Ионкина. –М.: Энергоиздат, 1982. –768 с.

Контрольные вопросы и задачи

  1.  Как рассчитываются цепи с одним нелинейным резистором и произвольным числом линейных?
  2.  В чем преимущества и недостатки аналитических методов расчета по сравнению с графическими?
  3.  Какие аналитические методы используются для расчета нелинейных резистивных цепей постоянного тока?
  4.  В чем сущность метода линеаризации? Для решения каких двух типов задач он применяется?
  5.  Что такое эквивалентные схемы для приращений? Как они составляются?
  6.  Какова последовательность расчета нелинейных цепей итерационными методами?
  7.  В диагонали моста находится нелинейный резистор, ВАХ которого аппроксимирована выражением , где . Линейные сопротивления противоположных плеч моста попарно равны: ; . Определить мощность, рассеиваемую нелинейным резистором, если схема питается от источника с ЭДС .

Ответ: Р=2 Вт.

  1.  Определить ток в цепи, состоящей из последовательно соединенных линейного  и нелинейного резисторов, если кривая ВАХ последнего  проходит через точки с координатами (15 В; 1,425 А) и (5 В; 0,325 А) и аппроксимирована выражением вида . ЭДС на входе цепи .

Ответ: .

  1.  В схеме предыдущей задачи ВАХ нелинейного резистора описывается выражением (ток – в амперах, напряжение – в вольтах) ; ; . Определить напряжение  на нелинейном резисторе и ток в нем методом Ньютона-Рафсона.

Ответ: ; .

  1.  В цепи на рис. 1,б , . ВАХ нелинейного резистора аппроксимирована двумя прямолинейными отрезками, первый из которых проходит через точки с координатами (0 В; 0 А) и (9 В; 2 А), а второй – через точки с координатами (9 В; 2 А) и (12 В; 6 А). Определить ток в цепи.

Ответ: .

240


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

79431. Жизненный цикл информационной системы 46.7 KB
  Жизненный цикл информационной системы совокупность взаимосвязанных процессов создания и последующие состояния ИС от формирования исходных требований до утилизации. Процесс создания совокупность работ от формирования исходных требований до ввода в действие. Процесс создания состоит из: Анализ требований к ИС; Проектирование; Разработка; Тестирование; Другой способ деления стадий создания основан на последовательности операций операция по анализу входной информации об объекте проектирования; операция проектирования объектов данных на...
79432. Модели жизненного цикла информационной системы 46.2 KB
  ГОСТ 15 271 Каскадная модель Каскадная модель реализует принцип однократного выполнения каждого из вида деятельности определение требований проектирование разработка интеграция тестирование использование. ГОСТ 15 271 Информационная технология. Руководство по применению ГОСТ Р ИСО МЭК 12207 Процессы жизненного цикла программных средств. В стандарте основное внимание уделено особенностям подлежащим учету при прикладном применении ГОСТ Р ИСО МЭК 12207 в условиях реальных проектов создания программных средств.
79433. Методологии проектирования. Каноническое проектирование 41.03 KB
  Формирование требований к ИС формирование модели объекта автоматизации и формирование верхнеуровневых требований; Разработка концепта ИС детальное исследование бизнеспроекта выбор вариантов создания ИС формулирование требований заказчика; Создание Технического Задания оно же ТЗ – описание функций связей etc.; Эскизный проект реализация проекта проработка на системном уровне концепции; Технический проект; стадия создания...
79434. Методологии проектирования. Типовое проектирование 37.76 KB
  Содержит следующие пункты: Формулирование требований к ИС осталось без изменений; Поиск платформы прототипа на чем будем реализовывать нужно постараться минимизировать изменения прототипа; Техническое задание описание ТЗ прототипа и наших изменений в нём или изменений в объекте автоматизации чаще и то и другое; Эскизный проект схлопывается с ТЗ ибо задается прототипом; Технический проект – программируем наши изменения в прототипе; Рабочая документация упрощается ибо в прототипе есть своя документация фиксируем свои...
79435. Процессы жизненного цикла информационной системы 45.88 KB
  Процессы планирования; Процессы разработки; Интегральные процессы. Процессы планирования определяют и координируют действия процессов разработки и интегральных процессов. В ходе выполнения процессов разработки создаются программные средства для ИС. Виды процессов: Определений требований к ИС; Проектирование;...
79436. Процессы жизненного цикла информационной системы. Процессы планирования 48.33 KB
  Цели процесса планирования ПО: Определить конкретные виды работ процессов разработки и интегральных процессов жизненного цикла которые позволят реализовать системные требования и создать ПО требуемого уровня; Определить модели жизненного цикла ПО включающие в себя описание взаимосвязей между процессами последовательность их выполнения механизмы обратной связи и критерии перехода; Выбрать среду поддержки жизненного цикла включающую в себя методы и инструментальные средства которые нужно использовать для выполнения работ в каждом...
79437. Процессы жизненного цикла информационной системы. Процессы определений требований к ИС 48.08 KB
  Цели данного процесса состоят в том чтобы: Разработать требования верхнего уровня; Оценить производные требования верхнего уровня с точки зрения безопасности системы. Процесс определения требований к ПО должен обеспечить следующее: Анализ функциональных системных требований и требований к интерфейсам которые предназначены для программной реализации на отсутствие противоречий несоответствий и неопределенностей; Регистрацию для последующего уточнения или исправления и передачи в качестве входной информации...
79438. Процессы жизненного цикла информационной системы. Процессы проектирования 47.74 KB
  Процессы проектирования. Процесс проектирования ПО должен обеспечивать следующее: Архитектура ПО и требования нижнего уровня разработанные в процессе проектирования ПО должны соответствовать стандартам на процесс проектирования ПО и быть прослеживаемыми верифицируемыми и непротиворечивыми; Производные требования должны быть определены и проанализированы для гарантии того что они не противоречат требованиям верхнего уровня; Работы процесса проектирования ПО могут привести к появлению возможных отказов в ПО или наоборот предотвратить...
79439. Процессы кодирования 42.34 KB
  Цели процесса кодирования ПО состоят в том чтобы разработать исходный код который должен быть прослеживаемым верифицируемым непротиворечивым и корректно реализующим требования нижнего уровня. Требования для этого процесса следующие: Исходный код должен реализовывать требования нижнего уровня и соответствовать архитектуре ПО; Исходный код должен соответствовать стандартам кодирования ПО; Исходный код должен быть трассируемым к описанию проекта; Для неадекватных или некорректных входных данных обнаруженных...