83680

Расчет нелинейных цепей методом эквивалентного генератора

Лекция

Физика

Ветвь содержащая нелинейный резистор выделяется из исходной цепи а вся остальная уже линейная схема представляется в виде активного двухполюсника АД. Если необходимо также найти токи в линейной части исходной цепи то после расчета нелинейной схемы на рис. 1б в соответствии с теоремой о компенсации нелинейный резистор заменяется источником ЭДС или тока после чего проводится анализ полученной линейной цепи любым известным методом.

Русский

2015-03-15

149.5 KB

3 чел.

Лекция N 35

Расчет нелинейных цепей методом эквивалентного генератора

Если в сложной электрической цепи имеется одна ветвь с нелинейным резистором, то определение тока в ней можно проводить на основе теоремы об активном двухполюснике (методом эквивалентного генератора). Идея решения заключается в следующем. Ветвь, содержащая нелинейный резистор, выделяется из исходной цепи, а вся остальная, уже линейная, схема представляется в виде активного двухполюсника (АД). Согласно теореме об АД схему линейного АД по отношению к зажимам 1-2 выделенной ветви (см. рис. 1,а) можно представить эквивалентным генератором (см. рис. 1,б) с ЭДС, равной напряжению  на зажимах 1-2 при разомкнутой ветви с нелинейным резистором, и внутренним сопротивлением, равным входному сопротивлению линейного двухполюсника. Последняя схема рассчитывается, например, графическим методом как цепь с последовательным соединением элементов.

Если необходимо также найти токи в линейной части исходной цепи, то после расчета нелинейной схемы на рис. 1,б в соответствии с теоремой о компенсации нелинейный резистор заменяется источником ЭДС или тока, после чего проводится анализ полученной линейной цепи любым известным методом.

 

Аналитические методы расчета

Исследования общих свойств нелинейных цепей удобно осуществлять на основе математического анализа, базирующегося на аналитическом выражении характеристик нелинейных элементов, т.е. их аппроксимации. На выбор аналитического метода влияют условия поставленной задачи, а также характер возможного перемещения рабочей точки по характеристике нелинейного элемента: по всей характеристике или в ее относительно небольшой области.

К аналитическим методам относятся: 

  •  метод аналитической аппроксимации;
  •  метод кусочно-линейной аппроксимации;
  •  метод линеаризации.

Метод аналитической аппроксимации основан на замене характеристики (или ее участка) нелинейного элемента общим аналитическим выражением. Применяются следующие виды аналитической аппроксимации:

  •  степенным многочленом (см. рис. 2,а);
  •  трансцендентными (экспоненциальными, гиперболическими и др.) функциями (см. рис. 2,б).

Выбор коэффициентов (а,b,c,…) осуществляется исходя из наибольшего соответствия аналитического выражения рабочему участку нелинейной      характеристики.     При       этом

выбираются наиболее характерные точки, через которые должна пройти аналитическая кривая. Число точек равно числу коэффициентов в аналитическом выражении, что позволяет однозначно определить последнее.

Необходимо помнить, что при получении нескольких корней нелинейного уравнения они должны быть проверены на удовлетворение задаче. Пусть, например, в цепи, состоящей из последовательно соединенных линейного R и нелинейного резисторов, ВАХ последнего может быть аппроксимирована выражением . Определить ток в цепи, если источник ЭДС Е обеспечивает режим работы цепи в первом квадранте.

В соответствии со вторым законом Кирхгофа для данной цепи имеет место уравнение

или

.

Корни уравнения

.

Решением задачи является , поскольку второе решение  не удовлетворяет условиям исходя из физических соображений.

Метод кусочно-линейной аппроксимации основан на представлении характеристики нелинейного элемента отрезками прямых линий (см. рис. 3), в результате чего нелинейная цепь может быть описана линейными уравнениями с постоянными (в пределах каждого отрезка) коэффициентами.

При наличии в цепи двух и более нелинейных резисторов реализация метода затруднена, так как в общем случае изначально неизвестно, на каких участках ломаных кривых находятся рабочие точки.

Кусочно-линейная аппроксимация может быть реализована методом секционных кусочно-линейных функций, позволяющим описать ломаную кривую общим аналитическим выражением. Например, для кривой, представленной на рис. 4 и определяемой коэффициентами  и  характеризующими наклон ее отдельных прямолинейных участков, и параметрами , характеризующими координаты точек, где значения функции изменяются скачками, данное выражение будет иметь вид

Здесь два первых слагаемых в правой части определяют первый наклонный участок аппроксимируемой кривой; три первых слагаемых - первый наклонный участок и участок первого скачка; четыре первых слагаемых - первый и второй наклонные участки с учетом участка первого скачка и т.д.

            В общем случае аппроксимирующее выражение по методу секционных кусочно - линейных функций имеет вид

Метод линеаризации применим для анализа нелинейных цепей при малых отклонениях рабочей точки Р (см. рис. 5) от исходного состояния.

В окрестности рабочей точки (см. рис. 5)

,

где        (закон Ома для малых приращений);

-дифференциальное сопротивление.

Идея метода заключается в замене нелинейного резистора  линейным с сопротивлением, равным дифференциальному в заданной (или предполагаемой) рабочей точке, и либо последовательно включенным с ним источником ЭДС, либо параллельно включенным источником тока. Таким образом,  линеаризованной ВАХ (см. прямую на     рис. 5) соответствует последовательная (рис. 6,а) или параллельная (рис. 6,б) схема замещения нелинейного резистора.

Если исходный режим определен и требуется рассчитать лишь приращения токов и (или) напряжений, обусловленные изменением напряжения или тока источника, целесообразно использовать эквивалентные схемы для приращений, получаемые на основании законов Кирхгофа для малых приращений:

-первый закон Кирхгофа: ;

-второй закон Кирхгофа: .

При составлении схемы для приращений:

1) все ЭДС и токи источников заменяются их приращениями;

2) нелинейные резисторы  заменяются линейными с сопротивлениями, равными дифференциальным в рабочих точках.

Необходимо помнить, что полная величина какого-либо тока или напряжения в цепи равна алгебраической сумме исходного значения переменной и ее приращения, рассчитанного методом  линеаризации.

Если исходный режим работы нелинейного резистора неизвестен, то следует задаться рабочей точкой на его ВАХ и, осуществив соответствующую линеаризацию, произвести расчет, по окончании которого необходимо проверить, соответствуют ли его результаты выбранной точке. В случае их несовпадения линеаризованный участок уточняется, расчет повторяется и так до получения требуемой сходимости

 

Итерационные методы расчета

Решение нелинейного уравнения (системы нелинейных уравнений), описывающего (описывающих) состояние электрической цепи, может быть реализовано приближенными численными методами. Решение находится следующим образом: на основе первой, достаточно грубой, оценки определяется начальное значение корня (корней), после чего производится уточнение по выбранному алгоритму до вхождения в область заданной погрешности.

Наиболее широкое применение в электротехнике для численного расчета нелинейных резистивных цепей получили метод простой итерации и метод Ньютона-Рафсона, основные сведения о которых приведены в табл. 1.

Таблица 1. Итерационные методы расчета

Последователь-ность расчета

Геометрическая иллюстрация алгоритма

Условие сходимости итерации

Примечание

Метод простой итерации

1.Исходное нелинейное уравнение электрической цепи , где -искомая переменная, представляется в виде .

2. Производится расчет по алгоритму  где

- шаг итерации.

 

Здесь - заданная погрешность

На интервале между приближенным и точным значениями корня должно выполняться неравенство

1.Начальное приближение  обычно находится из уравнения  при пренебрежении в нем нелинейными членами.

2. Метод распространим на систему нелинейных уравнений n-го порядка. Например, при решении системы 2-го порядка

итерационные формулы имеют вид  ;

.

3. При решении системы уравнений сходимость обычно проверяется в процессе итерации.

 

Метод Ньютона-

-Рафсона

1. На основании исходного нелинейного уравнения электрической цепи , где -искомая переменная, записывается итерационная формула  где - шаг итерации.

2.По полученной формуле проводится итерационный расчет

 Здесь - заданная погрешность

На интервале между приближенным и точным значениями корня должны выполняться неравенства

Примечания п. 1,2 и 3 к методу простой итерации распространимы на метод Ньютона-Рафсона. При этом при решении системы 2-го порядка

итерационные формулы имеют вид

где

 

Литература

  1.  Основы теории цепей: Учеб. для вузов /Г.В.Зевеке, П.А.Ионкин, А.В.Нетушил, С.В.Страхов. –5-е изд., перераб. –М.: Энергоатомиздат, 1989. -528с.
  2.  Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники: Электрические цепи. Учеб. для студентов электротехнических, энергетических и приборостроительных специальностей вузов. –7-е изд., перераб. и доп. –М.: Высш. шк., 1978. –528с.
  3.  Теоретические основы электротехники. Учеб. для вузов. В трех т. Под общ. ред. К.М.Поливанова. Т.2. Жуховицкий Б.Я., Негневицкий И.Б. Линейные электрические цепи (продолжение). Нелинейные цепи. –М.: Энергия- 1972. –200с.
  4.  Матханов П.Н. Основы анализа электрических цепей. Нелинейные цепи.: Учеб. для студ. электротехн. спец. вузов. 2-е изд., переработ. и доп. –М.: Высш. шк., 1986. –352с.
  5.  Чуа Л.О., Лин Пен-Мин.Машинный анализ электронных схем: алгоритмы и вычислительные методы: Пер. с англ. –М.: Энергия, 1980. – 640 с.
  6.  Сборник задач и упражнений по теоретически основам электротехники: Учеб. пособие для вузов /Под ред. проф. П.А.Ионкина. –М.: Энергоиздат, 1982. –768 с.

Контрольные вопросы и задачи

  1.  Как рассчитываются цепи с одним нелинейным резистором и произвольным числом линейных?
  2.  В чем преимущества и недостатки аналитических методов расчета по сравнению с графическими?
  3.  Какие аналитические методы используются для расчета нелинейных резистивных цепей постоянного тока?
  4.  В чем сущность метода линеаризации? Для решения каких двух типов задач он применяется?
  5.  Что такое эквивалентные схемы для приращений? Как они составляются?
  6.  Какова последовательность расчета нелинейных цепей итерационными методами?
  7.  В диагонали моста находится нелинейный резистор, ВАХ которого аппроксимирована выражением , где . Линейные сопротивления противоположных плеч моста попарно равны: ; . Определить мощность, рассеиваемую нелинейным резистором, если схема питается от источника с ЭДС .

Ответ: Р=2 Вт.

  1.  Определить ток в цепи, состоящей из последовательно соединенных линейного  и нелинейного резисторов, если кривая ВАХ последнего  проходит через точки с координатами (15 В; 1,425 А) и (5 В; 0,325 А) и аппроксимирована выражением вида . ЭДС на входе цепи .

Ответ: .

  1.  В схеме предыдущей задачи ВАХ нелинейного резистора описывается выражением (ток – в амперах, напряжение – в вольтах) ; ; . Определить напряжение  на нелинейном резисторе и ток в нем методом Ньютона-Рафсона.

Ответ: ; .

  1.  В цепи на рис. 1,б , . ВАХ нелинейного резистора аппроксимирована двумя прямолинейными отрезками, первый из которых проходит через точки с координатами (0 В; 0 А) и (9 В; 2 А), а второй – через точки с координатами (9 В; 2 А) и (12 В; 6 А). Определить ток в цепи.

Ответ: .

240


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

54051. Особенности социальной работы с несовершеннолетними, склонными к совершению правонарушений 450.5 KB
  Обзор зарубежного и российского опыта социальной работы с несовершеннолетними. Изучить нормативно-правовые основы социальной работы с несовершеннолетними, склонными к совершению правонарушений. Охарактеризовать преступность несовершеннолетних, выделить её особенности. Рассмотреть возрастные особенности представленной категории лиц.
54052. МЕТОДИКА ВИКЛАДАННЯ ЛОГАРИФМІЧНОЇ ФУНКЦІЇ В ШКОЛІ 884 KB
  Мета роботи - системазувати відомості про логарифмічну функцію в шкільному курсі алгебри старшої школи і розкрити роль і місце вивчення логарифмічної функції, рівнянь та нерівностей в школі та вибрати методику подання цієї теми.
54053. ЛОГАРИФМІЧНІ РІВНЯННЯ. МЕТОДИ РОЗВЯЗУВАННЯ ЛОГАРИФМІЧНИХ РІВНЯНЬ 857 KB
  Мета: продовжувати роботу над пошуком шляхів розв’язування логарифмічних рівнянь, формувати вміння і навички аналізувати здобути корені рівнянь; розвивати увагу, математичне мовлення, робити висновки, узагальнювати факти; виховувати цілеспрямованість, вміння працювати в колективі, бути стійким перед труднощами.
54054. Типология культур. Особенности массовой и элитарной культуры 35 KB
  Типология культуры как метод научного познания осуществляет процедуру расчленения различных социокультурных систем и их группировки с помощью обобщенной идеализированной модели или типа. Типология культуры позволяет объединять какие-либо сходные культуры в одну группу и отличать их от других культур.
54055. Урочисте відкриття тижня Логіки 149.5 KB
  Учень. Відкрити тиждень логіки дозволяю Капітанів прошу представити команди і здати рапорти команди здають рапорти 1 учень. Увага Увага 2 учень. Доброго дня дорогі діти і гості 1 учень.
54056. Інтегрування змісту навчальних предметів та логіки 120.5 KB
  Дітям необхідно знати правила і закони логіки у них мають бути сформовані логічні вміння розвинуте логічне мислення. Особливо виразно продуктивність застосування інтегрованого підходу можна побачити на уроках логіки. Знання учителя основних правил і законів логіки дає змогу користуватися логічними прийомами під час розвязування проблемних ситуацій з будь якої освітньої галузі; розвивати в учнів вміння застосовувати правила і закони логіки щодо аналізу подій явищ оцінки своїх і чужих думок формулювати і приймати обґрунтовані рішення під...
54057. Межпредметная интеграция как средство активизации учебного процесса 135.5 KB
  В специализированных школах с углубленным изучением иностранного языка межпредметная интеграция должна занимать не последнее место. В этой связи совместные уроки математики и английского языка могут быть очень интересными.
54058. АЛГЕБРА ВЫСКАЗЫВАНИЙ. ОСНОВНЫЕ ОПЕРАЦИИ АЛГЕБРЫ ВЫСКАЗЫВАНИЙ 1.77 MB
  Таблица истинности - это таблица, устанавливающая соответствие между всеми возможными наборами логических переменных, входящих в логическую функцию и значениями функции.
54059. Логика 81.18 KB
  Знаешь ли ты этого человека запутанного в плащ Нет. А между прочим это твой отец. Объект логики это то на что направлен интерес ученого в логике это мышление на человекомышление. Логика это наука не о всем мышлении а о правильном мышлении о правильном рациональном мышлении которое можно выразить в знаково символической форме словами.