84649

Механика вращательного движения твёрдого тела. Виды движения твёрдого тела

Лекция

Физика

Виды движения твёрдого тела. Движения твёрдого тела Поступательное движение тела при котором тело перемещается параллельно самому себе. Вращательное движение тела при котором все точки его движутся по окружностям и их центры расположены на одной прямой оси вращения.

Русский

2015-03-20

953.5 KB

4 чел.

Лекция №3. Механика вращательного движения твёрдого тела.

I. Виды движения твёрдого тела.

До сих пор мы изучали движения тел, которые можно было рассматривать в данных условиях как материальные точки. Однако существуют движения, при которых существенна конечная протяжённость тел. Здесь и в дальнейшем мы будем иметь дело с абсолютно твёрдым телом, или просто твёрдым телом.

Твёрдым телом называется тело, взаимное расположение частей которого остаётся  неизменным во время движения.

Твёрдое тело выступает при движении как единое целое. 

Движения твёрдого тела

Поступательное – движение тела,  при котором тело перемещается параллельно самому себе.

Вращательное – движение тела, при котором все точки его движутся по окружностям и их центры расположены на одной прямой – оси вращения.

Свойства:

Все точки тела имеют  одинаковые скорости.

Все точки тела описывают одинаковые траектории по форме и смещённые относительно друг друга.

Уравнение движения:

Свойства:

Различные точки тела описывают окружности, лежащие в плоскостях, перпендикулярных оси вращения.

II. Кинематика вращательного движения.

Рассмотрим вращение твёрдого тела вокруг неподвижной оси:

О1О2 – ось вращения;

А1О – радиус вращения.

Все точки твердого тела (например, на радиусе А1О) за одно и тоже время описывают одинаковые углы.

φ – угол поворота, определяет угловой путь, он аналогичен линейному пути S при поступательном движении.

Уравнение вращательного движения: φ = (t) или:

,        (1)

где ωсрсредняя угловая скорость тела.

Угловая скорость – вектор, имеющий направление правого винта и направлен по оси вращения.

При неравномерном вращения выражения для мгновенных значений ω и ε имеют вид:

       (2)a 

,       (2)б

где ε – угловое ускорение.

Из уравнения (2)б следует, что при ускоренном вращении  и  совпадают по направлению, а при замедленном движении направлены в разные стороны.

Каждая точка твердого тела (например, т. А) движется по окружности радиуса r с линейной скоростью v. Тогда за время t тело переместится на:

S = Rφ

или    dS = Rdφ,

но    ;

        (3)a 

и    ,

       (3)б

Из уравнений (1-3) следует:

а) линейные (тангенциальные) Vτ и aτ для точек различных радиусов различны;

б) угловые ω и ε для всех точек твердого тела одинаковы.

Дополнительные данные о вращательном движении:

а) каждая точка твердого тела обладает нормальным ускорением an;

б) полное ускорение:  ;

в) связь частоты ν и периода Т: ;

г)     .

Рассмотренные простейшие виды движения твердого тела – поступательное движение и вращательное – особенно важны потому, что любое движение твердого тела сводятся к этим простым движениям.

Поскольку взаимное расположение элементов (точек) твердого тела, не изменяется, для изучения его достаточно изучить движение одной его точки.

Точка, движение которой эквивалентно движению твердого тела, массой М под действием результирующей внешних сил F, называется центр масс тела (центр инерции).

III. Динамика вращательного движения.

При рассмотрении динамики поступательного движения материальной точки в дополнение к кинематическим величинам были введены сила и масса (динамические характеристики).

Для изучения динамики вращательного движения также вводят две новые величины – момент силы и момент инерции:

а)  момент силы:

Рассмотрим движение тела, имеющее ось вращения О1О2, под действием произвольной силы F. Разложим F на Fв и Fτ. Fв – вызывает смещение тела вдоль оси и если тело закреплено, то ее действие равно нулю. Fτ – направлено по касательной и вызывает вращение.

Вращательным моментом М (или моментом силы относительно оси) называется величина, равная произведению силы на плечо (плечо ℓ – кратчайшее расстояние от оси вращения до линии действия силы):

          (4)

Если на тело действует n сил, то тело будет находиться в равновесии, если алгебраическая сумма моментов равна нулю.

Момент силы – вектор, его направление связано с направлением действия силы правилом буравчика (правого винта).

,

где α – между векторами и

б) момент инерции:

Согласно второго закона динамики (для материальной точки, движущейся по окружности):

Fτ = maτ, умножим на r

Fτ∙r = maτ∙r,

учитывая, что  aτ = ,  получаем

М = mr2ε

– момент инерции материальной точки        (5)

Моментом инерции материальной точки относительно центра вращения, называется величина, равная произведению массы точки на квадрат ее расстояния до центра вращения.

Так как твердое тело состоит из n числа материальных точек, то, разбив его на малые элементы, можно показать:

– сумма моментов инерции отдельных элементов относительно оси вращения – момент инерции твердого тела относительно оси.

Момент инерции J тела зависит:

а) от формы тела;  

в) от того, относительно какой оси вращается тело;

б) от размеров тела;

г) от распределения массы по объему тела.

Наиболее простой случай, когда ось проходит через центр тяжести тела, тогда:

Для нахождения J необходимо решить интеграл.

В качестве примера подсчитаем J однородного диска (цилиндра).

Расчленим диск на элементы в виде тонких концентрических колец с центрами на оси симметрии.

Т.к. dr << r, то считаем, что все точки кольца имеют до оси расстояние r.

Для каждого кольца:

I = r2Σmк,

где mk – масса кольца.

mк = V∙ρ

Vкольца = 2rhdr

mкольца = Vρ = 2rhρdr

тогда:    Iкольца = 2rhr3dr

, (R2h = Vцилиндра)

т.к.    mдиска= ρhR2, то

Приведем моменты инерции тел правильной геометрической формы, выполненные из однородных материалов, и используемые при решении задач:

1. Тонкое кольцо (ось ОО):

J = mR2

2. Диск – относительно оси, совпадающей с диаметром:

3. Шар – относительно оси, совпадающей с диаметром:

Если известен момент инерции тела относительно оси, проходящей через его центр масс, то момент инерции относительно любой другой оси, параллельной первой, можно найти по теореме Штейнера:

Теорема

Штейнера

Момент инерции тела J, относительно любой оси, равен моменту инерции тела Jc,  и проходящей через центр масс тела и параллельной данной оси, плюс произведение массы тела m, умноженной на квадрат расстояния а между осями.   

 (7)

Пример:

Момент инерции шара относительно О΄О΄

J = Jc + ma2 = Jc +m(ℓ + R)2

Вывод: момент инерции увеличивается.

IV. Законы динамики вращательного движения.

В основе  динамики вращательного движения лежат законы Ньютона.

I закон

Тело вращается равномерно или находится в покое, если суммарный момент всех действующих на тело сил равен нулю:

  

II закон

Угловое ускорение, приобретаемое телом под действием силы , прямо пропорционально моменту силы и обратно пропорционально моменту инерции тела:

– основной закон динамики вращательного движения.

Опытной проверкой этого закона служит прибор – крестообразный маятник Обербека.

III закон

Моменты сил, с которыми два тела действуют друг на друга равны по величине и противоположны по направлению:

Согласно этому закону, два взаимодействующих тела всегда вращаются в разных направлениях относительно своих осей вращения.

V. Закон сохранения момента импульса.

Согласно основного уравнения динамики вращательного движения

При постоянно М вращающем моменте (M = const) ε = const, т.е. равнопеременное вращение. Тогда, согласно определения ускорения:

 

,       (8)

где MΔtимпульс момента сил (импульс вращательного движения);

K = 0 момент импульса (момент количества движения);

– величины векторные. Их направления совпадают соответственно с

При вращательном движении справедлив третий закон:  

     (9)

Сумма моментов  импульсов  тел замкнутой системы, в результате их взаимодействия, остается неизменной.

Если для системы взаимодействующих тел, выполняется условие, что система замкнута (внешние силы отсутствуют), то

      (10)

Закон сохранения момента импульса

Если суммарный момент всех внешних сил относительно произвольной неподвижной оси равен нулю, то момент импульса системы не изменяется с течением времени.

Пример:

Скамья Жуковского: скамья раскручена, и руки человека опущены. Человек расставляет руки с гантелями в стороны, скорость движения резко уменьшается.

( = const = mr2ω) → увеличение r приводит к уменьшению ω, чтобы произведение mr2ω оставалось постоянным.

VI. Кинетическая энергия вращающегося твёрдого тела.

Кинетическая энергия твердого тела конечных размеров равна сумме кинетических энергий элементов, на которые разбито тело. Рассмотрим частный случай вращения твердого тела вокруг неподвижной оси.

Кинетическая энергия каждого элемента, движущегося с линейной скоростью:

Vi = ωri 

равна:    

Просуммировав  по всем элементам, получим:

– момент инерции тела, относительно оси вращения.

       (11)

Если твердое тело одновременно участвует в двух движениях: поступательном со скоростью  и вращательном со скоростью , то

            (12)

Полная кинетическая энергия твердого тела равна сумме кинетической энергии Еп поступательного движения центра масс тела и кинетической энергии вращения Ев.

Сопоставив уравнения кинематики и динамики поступательного и вращательного движения можем составить таблицу для удобства запоминания характеристик вращательного и поступательного движений.

Поступательное движение

Вращательное движение

перемещение

угловое перемещение

φ

масса

m

момент инерции

J

сила

момент сил

мгновенная скорость

угловая скорость

мгновенное ускорение

угловое ускорение

количество движения

момент количества движения

работа

A = FS

работа

A = Mφ

энергия (кинетическая)

энергия (кинетическая)

Законы динамики

1й закон

2й закон

3й закон

Физическая  величина

Размерность в системе СИ

Угловая скорость

ω

рад/с-1; рад

Угол поворота

φ

рад

угловое  ускорение

ε

рад/с-2

Момент силы

M

Н∙м

Момент инерции

J

кг∙м2

Момент импульса

(кг∙м2)/с

Частота

ν

Гц

J = Jc + ma2

V = Rω

O1

O2

Fr

Fr

O1

O2

R

O

O

O

O

R

а

O

O

R

r

h

dr

О

О


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

76639. История в системе социально-гуманитарных наук. Основы методологии исторической науки. Факторы самобытности российской истории 35 KB
  История наука о развитии человеческого общества во всем его многообразии. История общества представляет собой совокупность конкретных и многообразных действий и поступков отдельных людей человеческих сообществ находящихся в определенной взаимосвязи составляющих все человечество. В системе социально-гуманитарных дисциплин история может играть роль всеобщей базы которая постепенно накапливается.
76640. Восточные славяне в древности 32.5 KB
  Однако историки сходятся во мнении что реальными предшественниками русских людей были восточные славяне принадлежащие к группе индоевропейских народов. В результате разгрома сарматами славяне продвигаются на север в лесную зону ассимилируя литовско-латышские и финно-угорские племена. Главными действующими лицами в нем были германцы и славяне.
76641. Особенности становления государственности в России и в мире. Киевская Русь 32.5 KB
  Центром этого государства был Киев. Название этого государства неизвестно. Иногда его называют Каганат русов поскольку глава этого государства по аналогии с соседним хазарским носил титул Кагана. На эти сведения опирается так называемая норманская теория происхождения русского государства.
76642. Крещение Руси 34.5 KB
  Оно имеет длительную историю: распространение христианства на Руси началось задолго до крещения на Днепре и продолжалось еще в течение полутора веков. Православные источники связывают проникновение христианства на территорию Киевской Руси с миссионерской деятельностью апостола Андрея Первозванного в I веке н. Владимир предпринял первую религиозную реформу суть которой состояла в попытке слияния разнородных богов всех племен Киевской Руси в единый пантеон во главе с княжеским богом Перуном.
76643. Феодальная раздробленность Руси 27 KB
  Как и в Западной Европе тенденции к политической раздробленности на Руси проявились рано. Именно с этого времени историческая наука ведет отсчет феодальной раздробленности на Руси. В первые полтора века существования Киевской Руси дружина полностью находилась на содержании у князя.
76645. Русские земли в 15 в. и европейское средневековье. Складывание централизованного государства. Возвышение Москвы 39 KB
  Возвышение Москвы Как и в Западной Европе после периода феодальной раздробленности на Руси в XIVXV вв. На Руси хотя экономические связи между отдельными княжествами без сомнения развивались но общий всероссийский рынок возник позже только в XVII в. Таким образом политические процессы на Руси опережали экономические. Усилиями нескольких поколений выдающихся деятелей на Руси складывается такое государство.
76646. Россия в 16 в. в контексте развития европейской цивилизации. Иван-4 – первый царь Всея Руси. Опричина 35 KB
  Период опричнины В 1560 г. царь вводит новый порядок управления государством получивший название опричнины. Политическим и административным центром опричнины стал особый двор со своей Боярской думой и приказами. В опричнине была особая казна и особое опричное войско: первоначально одна тысяча к концу опричнины шесть тысяч.
76647. Россия в 16 в. в контексте развития европейской цивилизации. «Смутное время». Воцарение династии Романовых 38 KB
  Главной отраслью экономики России оставалось с х а основными с х культурами были рожь и овес. За счет освоения новых земель в Поволжье в Сибири на юге России производилось больше с х продукции чем в прошлом веке хотя методы обработки земли оставались прежними с помощью сохи бороны; плуг внедрялся медленно. период в истории России названный Смутным временем.