84811

Основные шкалы измерений и их использование в педагогических исследованиях

Курсовая

Педагогика и дидактика

При планировании и подведении результатов эксперимента определённую роль играют статистические методы, которые дают в том числе, возможность устанавливать степень достоверности сходства и различия исследуемых объектов на основании результатов измерений их показателей

Русский

2015-03-22

735.5 KB

5 чел.

PAGE  - 15 -

[1] Введение.

[2] ГЛАВА I. Элементы теории измерений.

[2.1] §1 Шкалы измерений

[2.2] §2 Допустимые преобразования

[2.3] §3 Применение шкал и измерений в педагогических исследованиях

[3] ГЛАВА II. Некоторые статистические критерии проверки гипотез

[3.1] §1 Статистическая проверка статистических гипотез (основные сведения)

[3.2] §2 Критерий Макнамары

[3.3] §3   - критерий Пирсона

[3.3.1] Назначения критерия

[3.3.2] Описание критерия

[3.3.3] Графическое представление критерия [2]

[3.3.4] Ограничения критерия

[3.3.5] Шутливый пример [2]

[3.3.6] Гипотезы

[3.4] §4 Критерий знаков.

[3.5] §6 Проверка гипотезы о независимости оценки 5 в аттестате об окончании средней школы и на вступительных экзаменов на факультет МИФ НГПУ в 2006 году.

[4] Приложение.

[5] Литература.

Введение.

В данной работе рассмотрены основные шкалы измерений и их использование в педагогических исследованиях, а также некоторые критерии оценивания педагогических экспериментов. Я взял эту тему, так как педагогика относится к науке «слабой» версии и эксперимент зачастую является единственным способом подтверждения гипотезы. Например, можно ли сказать до проведения эксперимента, что новая методика лучше старой? Вряд ли - пока эта методика не будет апробирована, и результаты её применения не будут сопоставлены с результатами традиционных методик, никаких выводов сказать нельзя.

При планировании и подведении результатов эксперимента определённую роль играют статистические методы, которые дают в том числе, возможность устанавливать степень достоверности сходства и различия исследуемых объектов на основании результатов измерений их показателей. В частности к статистическим методам относятся шкалы измерений и критерии, которые будут рассмотрены ниже.

 

ГЛАВА I. Элементы теории измерений.

В данной главе рассмотрены основные шкалы измерений, а также допустимые преобразования этих шкал и их применение в педагогических исследованиях.

 §1 Шкалы измерений

Состояние объекта оценивается по тем или иным критериям. В качестве критериев могут выступать: успеваемость учащихся, эффективность управления образовательным учреждением и т.д.

Оценки измеряются в той или иной шкале. Шкала - это правило, на основе которого объектам приписываются числа, отражающие различные свойства этих объектов.

Выделяют шкалы отношений, интервальные шкалы, порядковые (ранговые) шкалы и номинальные шкалы (шкалы наименований).

Рассмотрим свойства четырех основных типов шкал, перечисляя их в порядке убывания мощности.

Шкала отношений - самая мощная шкала. Она позволяет оценивать, во сколько раз один измеряемый объект больше (меньше) другого объекта, принимаемого за эталон, единицу. Для шкал отношений существует естественное начало отсчета (нуль), но нет естественной единицы измерений.

Шкалами отношений измеряются почти все физические величины - время, линейные размеры, площади, объемы, сила тока, и т.д. В педагогических измерениях шкала отношений применяется, например, когда измеряется время выполнения того или иного задания (в секундах, минутах, часах и т.п.), количество ошибок или число правильно решенных задач. В отдельных случаях, в том числе в исследованиях по трудовому и профессиональному обучению, применяются оценки и в мерах физических величин - величина допускаемых ошибок в миллиметрах при, допустим, токарной обработке деталей, величина силы нажатия учащимся на слесарный инструмент в ньютонах (килограммах), величина электрической активности мышц в милливольтах и т.п.

Шкала интервалов применяется достаточно редко и характеризуется тем, что для нее не существует ни естественного начала отсчета, ни естественной единицы измерения. Примером шкалы интервалов является шкала температур по Цельсию, Реомюру или Фаренгейту. Шкала Цельсия, как известно, была установлена следующим образом: за ноль была принята точка замерзания воды, 100 градусов - точка ее кипения, и, соответственно, интервал температур между замерзанием и кипением воды поделен на 100 равных частей. Здесь уже утверждение, что температура 30°С в три раза больше, чем 10°С, будет неверным. Справедливо говорить лишь, об интервалах температур - температура 30°С на 20°С больше, чем температура 10°С.

Порядковая шкала (шкала рангов) - шкала, относительно значений которой уже нельзя говорить ни о том, во сколько раз измеряемая велнчина больше (меньше) другой, ни на сколько она больше (меньше). Такая шкала только упорядочивает объекты, ІІриписывая им те или иные ранги (результатом измерений является нестрогое упорядочение объектов).

Например, так построена шкала твердости минералов Мооса: дан набор 10 эталонных минералов для определения относительной твердости методом царапанья. За 1 принят тальк, за 2- гипс, за 3 - кальцит и так далее до 10 - алмаз. Любому минералу соответственно однозначно может быть приписана определенная твердость. Если исследуемый минерал, допустим, царапает кварц (7), но не царапает топаз (8) - соответственно его твердость будет равна 7. Аналогично построены шкалы силы ветра Бофорта и землетрясений Рихтера.

Шкалы порядка широко используются в педагогике, психологии, медицине и других науках, не столь точных, как, скажем, физика и химия. В частности, повсеместно распространенная шкала школьных отметок в баллах (пятибалльная, двенадцатибалльная и т.д.) может быть отнесена к шкале порядка. В школах некоторых стран применяется и другая оценка успеваемости учащихся (как итоговая): порядковое место, которое данный ученик занимает в данном классе (выпуске). Это тоже шкала порядка.

Частным случаем порядковой шкалы является дихотомическая шкала, в которой имеются всего две упорядоченныс градации - например, "незачтено", "зачтено".

Шкала наименований (номинальная шкала), фактически, уже не связана с понятием "величина" и используется только с целью отличить один объект от другого: фамилии учеников, номера автомобилей, телефонов и т.п.

§2 Допустимые преобразования

Результаты измерений необходимо анализировать. а для этого нередко приходится строить на их основании производные показатели, то есть, применять к экспериментальным данным то или иное преобразованне. Используемая шкала определяет множество преобразований, которые допустимы для результатов измерений в этой шкале.

Начнем с наиболее слабой шкалы - шкалы наименований, которая выделяет попарно различимые классы объектов. Например, в шкале наименований измеряются значения признака "пол": "девочки" и "мальчики". Эти классы будут различимы независимо от того, какие различные термины или знаки для их обозначений будут использованы: "лица женского пола" и "лица мужского пола", или "girls" и "boys", или "А" и "Б", или "1" и "2", или "2м и "3" и т.д. Следовательно, для шкалы наименований применимы любые взаимнооднозначные преобразования, так как они сохраняют четкую различимость объектов (самая слабая шкала - шкала наименований - допускает самый широкий диапазон преобразований).

Отличие порядковой шкалы (шкалы рангов) от шкалы наименований заключается в том, что в шкале рангов классы (группы) объектов упорядочены. Поэтому произвольным образом изменять значения признаков нельзя - должна сохраняться упорядоченность объектов (порядок следования одних объектов за другими). Следовательно для порядковой шкалы допустимым является любое монотонное преобразование. Например, если ученик Иванов набрал 5 баллов. а ученик Сидоров - 10, то их упорядочение не изменится, если мы число баллов умножим на одинаковое для всех учеников положительное число, или сложим с некоторым одинаковым для всех числом, или возведем в квадрат и т.д. (например, вместо "1", "2", "3", "4", "5" используем соответственно "3", "5", "9", "17", "102"). При этом изменятся разности и отношения "баллов", но упорядочение сохранится. В некоторых школах, используются ранговые нечисловые шкалы, например, пятерка соответствует букве А или, например. пятиугольнику, четверка - букве В или чстырехугольнику, и т.д., и учащиеся знают, что А лучше В, В лучше С и т.д.

Для шкалы интервалов допустимо уже не любое монотонное преобразование, а только такое, которое сохраняет отношение разностей оценок, то есть линейное преобразование - умножение на положительное число и добавление постоянного числа. Например, если к значению температуры в градусах Цельсия добавить минус 273°С, то получим температуру по Кельвину, причем разность любых двух температур в обеих шкалах будет одинакова.

И, наконец, в наиболее мощной шкале - шкале отношений – можно применить лишь преобразования подобия - умножение на положительное число. Содержательно это означает, что, например, отношение масс двух предметов не зависит от того, в каких единицах выражены массы - граммах, килограммах н т.д.

Суммируем сказанное в таблице 1, которая отражает соответствие между шкалами и допустимыми преобразованиями,

 

Таблица 1

Шкала

Допустимое преобразование

Наименований

Взаимно-однозначное

Порядковое

Строго мотонотонное

Интервальная

Линейное (y=kx+b, k>0)

Отношений

Подобия (y=kx, k>0)

Как отмечалось выше результаты любых измерений относятся, как правило, к одному из основных (перечисленных выше) типов шкал. Однако получение результатов измерений ие является самоцелью - эти результаты необходимо анализировать, а для этого нередко приходится строить на их основании производные показатели. Эти производные показатели могут измеряться в других шкалах, нежели чем исходные. Например, можно для оценки знаний учащихся применять 100-балльную шкалу. Но она слишком детальна, и её можно перестроить в пятибалльную (за 1 балл в пятибалльной примем   от "1" до "20" в десятибалльной; 3а 2 балла в пятибаллной примем от "20" до "40" в десятибалльной  и т.д.), или двухбалльную (например, положительная оценка - все, что выше 50 баллов, отрицательная - 50 и меньше). Следовательно, возникает проблема - какие преобразования можно применять к тем или иным исходным данным. Другими словами, переход от какой шкалы к какой является корректным. Эта проблема в теории измерений получила название проблемы адекватиости.

Для решения проблемы адекватности можно воспользоваться свойствами взаимосвязи шкал и допустимых для них преобразований, так как отнюдь не любая операция при обработке исходных данных является допустимой. Так, например, такая распространенная операция, как взятие среднего арифметического, не может быть использована, если измерения получены в порядковой шкале. Общий вывод таков - всегда возможен переход от более мощной шкалы к менее мощной, но не наоборот (например, на основании оценок, полученных в шкале отношений, можно строить балльные оценки в порядковой шкале, но не наоборот).

 §3 Применение шкал и измерений в педагогических исследованиях

Наиболее распространенная мера педагогических оценок - шкала оценки знаний и умений учашихся в баллах. Школьные оценки (отметки) - удобный аппарат для практики обучения, который выполняет не только оценивающие, но и определенные воспитательные функции (стимулирования одних учащихся, "наказания" других и т.д.).

В педагогических исследованиях используются также и другие шкалы балльных оценок (порядковые шкалы). Например, выделив какие-либо уровни сформированности у учащихся определенных качеств личности или овладения той или иной деятельностью, исследователь приписывает этим уровням соответствующие значения баллов: "1", "2", "3" и т.д., или "0", "10", "100", что принципиально безразлично. Но использование порядковой шкалы для оценивания результатов педагогическнх исследований нежелательно, хотя и не исключено. И дело здесь  в свойствах самой шкалы порядка. В этой шкале ничего нельзя сказать о равномерности или неравномерностн интервалов между соседними значениями оценок. Мы не вправе, к примеру, сказать о том, что знания учащегося, оцененные на "5", настолько же отличаются от знаний, оцененных на "4", как знания, оцененные на "4", отличаются от знаний, оцененных на "3". С тем же успехом можно было бы приписывать баллам значения не "1", "2", "3", "4", "5", а, допустим "1", "10", "100", "1000", "10000". И поэтому совершенно некорректно использование так широко применяемой величины среднего балла (по классу, группе учащихся и т.д.), поскольку усреднение предполагает сложение значений величины, а операция суммы для порядковых шкал не может быть корректно определена. Соответственно не могут быть определены и все остальные арифметические и алгебраические действия.

Поэтому, например, утверждение о том, что знания учащихся в экспериментальных классах в среднем на 0,5 балла выше, чем в контрольных. будет неправомочным, некорректным. Тем более прн использовании балльных оценок некорректны (даже абсурдны) утверждения типа: "эффективность экспериментальной методики в 2,6 раза выше контрольной".

Чтобы продемонстрировать, что может получиться с использованием "среднего" балла, приведем такой гипотетический пример. Пусть исследовалась сравнительная эффективность двух каких-либо методик обучения, А и В. В обеих группах учащихся контрольной и экспериментальной - было по 80 человек. Оценки производились no двум шкалам - пятибалльной и десятибалльной. Предположим, что оценки по десятибалльной шкале могут быть пересчитаны в оценки по шкале пятибалльной: оценки "10" и "9" будут отнесены к "5",  "8" и "7" - к "4" и так далее. Пусть оценки no пятибальной шкале распределились следующим образом (в числителе указано количество учащихся, получивших соответствующую оценку в группе, обучавшейся по методике А, в знаменателе - по методике Б.)

,      ,     ,     ,    ,    ,   .

Оценки  «3»,  «2», «1» не  получил никто.

Соответственно "средний балл" составит 7,50 (методика А) и 7,25 (методика В). Казалось бы, можно сделать вывод, что методика А лучше методики В. Вычислим оценки по пятибалльной шкале, в том же порядке:

,      ,     ,     ,   .

Средний балл в этом случае составит 3,750 в группе, обучавшейся по методике А, и 4,125 в группе, обучавшейся по методике В. Таким образом мы получили как бы противоположный "результат": методика В лучше методики А.

Заметим, что этот "парадокс" никак не связан со статистическоіі достоверностью различий - он будет иметь место и при очень больших выборках данных (числе учащихся). Просто это свойство слабой шкалы измерений. Сказанное будет относиться и к любым другим критериям оценки, использующим шкалу порядка.

Можно сказать, что использованное в приведенном выше примере преобразование (из десятибалльной в пятибалльную шкалу) некорректно, так как не является взаимно-однозначным. Поэтому рассмотрим еще один пример, в котором "парадокс" имеет место при взаимно-однозначном преобразовании. Предположим для простоты, что экспериментальная, и контрольная группы состоят из двух учеников. Ученики в первой группе получили следующие баллы: x1 = 2, x2 = 5, во второй – y1 = 3, y2 = 4. "Средний балл" экспериментальной группы: 3,5 = (2+5)/2 равен "среднему баллу" контрольной группы: 3,5 = (3 + 4) / 2. Применим строго монотонное (возрастающее) преобразование: "2" —» "6". "З" —» "8", "4" —» "12". "5" —» "15". Средний балл экспериментальной группы (10,5 = (6 + 15) / 2) стал строго больше среднего балла контрольной группы (10 = (8 + 12)/2). 'Гаким образом, несмотря на то, что строго монотонное преобразованне является допустимым для порядковой шкалы (см. выше), соотношение между «средними» изменилось. Обусловлено это тем, что операция вычисления среднего арифметического не является корректной в порядковой шкале.

 Последний пример  можно объяснить ещё и с математической точки зрения:

Пусть у нас есть четыре числа, характеризующие объект: a<c<d<b, a+b=c+d.

Сформируем новые числа, характеризующие объект следующим образом:

a*=a+a1

 b*=b+a1+a2

c*=c+a1

d*=d+a1

Высчитывая среднее арифметическое: (a* и b*) и (c* и d*) и вычитая из второго первое получаем(учитывая что a+b=c+d): -a2/2.

Значит, результат зависит от значения a2(т.е. от изменения b)

В принципе, шкалу балльных оценок, также как и другие шкалы порядка. можно использовать в педагогических исследованиях, но в этом случае необходимо применять» адекватные методы обработки данных. не вычисляя "среднего балла". Корректной характеристикой набора балльных оценок является медиана (такое значение оценки, справа н слева от которого расположено одинаковое число оценок в их упорядоченной совокупности). Однако, при порядковых шкалах. имеющих малое число "разрядов" - "баллов", медиана малоинформативна.

По приведенным выше соображениям целесообразно использовать такие способы оценки, которые позволяют применить шкалу отношений или шкалу интервалов, а не шкалу порядка (шкалы наименований в педагогических исследованиях практически не используются). Например, использовать тесты - серии коротко и точно сформулированных вопросов, заданий и т.д., на которые учащийся должен дать краткие и однозначные ответы, в правиль-ности (или неправильности) которых нельзя сомневаться. Результатом измерений будет число правильных ответов, которое уже может измеряться в шкале отношений. Точно так же могут быть построены письменные контрольные работы, результаты обработки анкет (процент учащихся, давших положительные ответы на тот или иной вопрос) и т.д.

В общем же случае можно выделить следующие характеристики, измеряемые в шкале отношений:

-временные (время выполнения действия, операции, время реакции. время, затрачиваемое на исправление ошибки, и т.д.);

-скоростные (производительность труда. скорость реакции, движения и т.д. );

точностные (величина ошибки в мерах физических величин
(миллиметрах,   углах   и   т.п.).   количество   ошибок,   вероятность
ошибки, вероятность точной реакции, действия и т.д.);

информационные (объем заучиваемого материала, перераба-
тываемой информации, объем восприятия и т.д.).

Различают два типа  шкал. Можно выделить

  1.  Дискретные шкалы (в которых множество возможных значений оцениваемой величины конечно, например, школьная оценка в баллах - "1", "2", "3", "4", "5").
  2.  Непрерывные шкалы ,например, время, затрачиваемое учащимися на выполнение задания  в минутах.

ГЛАВА II. Некоторые статистические критерии проверки гипотез

В этой главе рассмотрены критерии Макнамары, Пирсона, знаков и Вилкоксона-Манна-Уитни, как одни из критериев проверки гипотез в педагогических исследованиях, а также основные сведения о статистической  проверке статистических гипотез. В конце главы проверим гипотезу о независимости оценки 5 из аттестата об окончании средней школы и вступительных экзаменов на ФМИФ в 2006 году

§1 Статистическая проверка статистических гипотез (основные сведения)

Статистической называют гипотезу о виде неизвестного распределения или о параметрах известных распределений.

Нулевой (основной) называют выдвинутую гипотезу Н0.

Конкурирующей (альтернативной) называют гипотезу Н1, которая противоречит нулевой.

Различают гипотезы, которые содержат одно или более одного предположений.

Простой называют гипотезу, содержащую только одно предположение.

Сложной называют гипотезу, которая состоит из конечного или бесконечного числа простых гипотез.

В итоге проверки гипотезы могут быть допущены ошибки двух родов.

Ошибка первого рода состоит в том, что будет отвергнута правильная нулевая гипотеза. Вероятность ошибки первого рода называют уровнем значимости и обозначают α.

Ошибка второго рода состоит в том, что будет принята неправильная нулевая гипотеза. Вероятность ошибки второго рода обозначают через β.

Статистическим критерием (или просто критерием) называют случайную величину К, которая служит для проверки гипотезы.

Наблюдаемым (эмпирическим) значением Кнабл называют то значение критерия, которое вычислено по выборкам.

Критической областью называют совокупность значений критерия, при которых нулевую гипотезу отвергают.

Областью принятия гипотезы (областью допустимых значений) называют совокупность значений критерия, при которых нулевую гипотезу принимают.

Основной принцип проверки статистических гипотез: если наблюдаемое значение критерия принадлежит критической области, то нулевую гипотезу отвергают; если наблюдаемое значение критерия принадлежит области принятия гипотезы, то гипотезу принимают.

Критическими точками (границами) ккр называют  точки, отделяющие критическую область от области принятия гипотезы.

Правосторонней называют критическую область, определяемую неравенством К>ккр , где ккр – положительное число.

Левосторонней называют критическую область, определяемую неравенством К<ккр , где ккр – отрицательное  число.

Двусторонней называют критическую область, определяемую неравенством К<к1 , К>к2 где  к1< к2 . В частности, если критические точки симметричны относительно нуля, то двусторонняя критическая область определяется неравенствами ( в предположении, что ккр  >0)

К<-ккр , К>ккр,

или равносильным неравенством

|К|> ккр,

Для отыскания критической области задаются уровнем значимости α и ищут критические точки, исходя из следующих соотношений:

  1.  Для правосторонней критической области p(К>ккр)= α, ккр>0
  2.  Для левосторонней критической области p(К<ккр)= α, ккр<0
  3.  Для двусторонней симметричной критической области p(К>ккр)= α/2, (ккр>0), p(К<-ккр)= α/2

Мощностью критерия называют вероятность попадания критерия в критическую  область  при условии, что справедлива конкурирующая гипотеза. Другими словами, мощность критерия есть вероятность того, что нулевая гипотеза будет отвергнута, если верна конкурирующая гипотеза.

Рассмотрим на примере критерий Кочрена:

Пусть генеральные совокупности ξ1, ξ2,…, ξt распределены  нормально. Из этих совокупностей извлечены  t независимых выборок одинакового объёма n и по ним найдены исправленные выборочные дисперсии  все с одинаковым числом степеней свободы   k=n-1. Требуется при уровне значимости α проверить нулевую гипотезу об однородности дисперсий, то есть гипотезу о равенстве между собой генеральных дисперсий:

H0:D1)= D2)=… Dt).

В качестве критерия проверки нулевой гипотезы примем  критерий Кочрена – отношение максимальной исправленной дисперсии к сумме всех  исправленных  дисперсий:

                                                                                     (1)

Распределение этой случайной величины зависит только от числа степеней свободы k=n-1 и количества выборок t . Для проверки нулевой гипотезы строят правостороннюю критическую область.

Правило. Для того  чтобы при заданном уровне значимости α проверить гипотезу об однородности дисперсий нормально распределённых совокупностей, надо вычислить наблюдаемое значение критерия

 

и по таблице критических точек распределения Кочрена найти критическую точку Gкр(α,k,l). Если Gнабл< Gкр – нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу. Если Gнабл>Gкр – нулевую гипотезу отвергают.

Замечание. При условии однородности дисперсий независимых выборок одинакового объёма в качестве оценки генеральной дисперсии принимают среднюю арифметическую исправленных дисперсий.

Пример:

По шести независимым выборкам одинакового объёма n=37, извлечённым из нормальных генеральных совокупностей, найдены исправленные выборочные дисперсии: 2,34; 2,66; 2,95; 3,65; 3,86; 4,54.

Требуется  проверить нулевую гипотезу об однородности дисперсий :а) на уровне значимости 0,01; б) на уровне значимости 0,05;

Решение:

а) Найдём наблюдаемое значение критерия Кочрена:

   

Найдём по таблице критических точек распределения Кочрена по уровню значимости 0,01, числу степеней свободы k=n-1=37-1=36 и числу выборок n=6 критическую точку Gкр(0,01,36,6)=0,2858.

Так как Gнабл< Gкр – нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу. Другими словами, исправленные выборочные дисперсии различаются незначимо.

б)  Найдём наблюдаемое значение критерия Кочрена:

   

Найдём по таблице критических точек распределения Кочрена по уровню значимости 0,05, числу степеней свободы k=n-1=37-1=36 и числу выборок n=6 критическую точку Gкр(0,05,36,6)=0,2612.

Так как Gнабл< Gкр – нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу. Другими словами, исправленные выборочные дисперсии различаются незначимо.

§2 Критерий Макнамары

Критерий Макнамары предназначен для сравнения распределений объектов двух совокупностей по состоянию некоторого свойства на основе измерений этого свойства в двух зависимых выборках из рассматриваемых совокупностей.

Данные. В педагогических исследованиях нередко возникает проблема сравнения состояния некоторого свойства у членов двух зависимых выборок, когда данное свойство может быть измерено только по шкале наименований. Например, отношение группы учащихся к некоторой профессии до и после беседы по профориентации измерено по шкале наименований, имеющей следующие категории: совсем не нравится – не нравится – безразлична – нравится – очень нравится. В этом случае возникает необходимость сравнения ответов одних и тех же учащихся до, и после беседы, так как полученные результаты позволят судить об эффективности данной беседы в отношении изменения мнения о данной профессии в ту или иную сторону.

Для тех случаев, когда измерения состояния изучаемого свойства проводится по шкале наименований, имеющей только две категории, разработан специальный критерий для сравнения результатов двух зависимых выборок. Этот критерий называется критерием Макнамары. Он может быть использован в исследовании, о котором говорилось выше, если будут использованы только две категории: нравится – не нравится. Обозначим одну  значком «0», другую  «1».

Будем считать, что случайная величина X характеризует состояние некоторого свойства в рассматриваемой совокупности объектов при первичном измерении данного свойства. А случайная величина Y характеризует состояние того же свойства в той же совокупности объектов при вторичном измерении.

Пусть имеется две серии измерений

                                                 x1 ,x2 . . . xi . . .xN ;                                        (2)

                                      y1 , y2  . . . yi . . .yN ;                                     (3)

над случайными переменными Х и Y, полученные  при рассмотрении двух зависимых выборок. Составлено N пар вида (xi, yi ), где xi, yi   - результаты двукратного измерения одного и того же свойства у одного и того же объекта.

В педагогических исследованиях пары (xi, yi ) могут быть результатами измерения состояния одного и того же свойства у одного и того же ученика до и после применения некоторого педагогического средства, причём  xi – состояние свойства до применения этого средства, а yi – после его применения.

xi,  yi – измерения по шкале наименований, имеющей две категории, обозначенные «0» и «1». В связи с этим пары (xi, yi ) могут быть только четырёх видов  (0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1).

Для использования критерия данные суммируются в виде четырёхклеточной таблицы, которая называется «таблица 2Х2»

Таблица 2

Классифи-кация xi 

xi=0

xi=1

Классификация yi

      yi=0                     yi=1

a+b

c+d

a 

(число пар, у которых xi=0, yi=0)

 b

(число пар, у которых xi=0, yi=1)

c

(число пар, у которых xi=1, yi=0)

d 

(число пар, у которых xi=1, yi=1)

                 a+c                    b+d

Возьмём случайные выборки:

ξ1 2 . . . ξ i  . . . ξ N ;                                         (4)

η1 2  . . . η i . . . η N ;                                         (5)

Допущения. Для применения критерия Макнамары необходимо выполнение следующих требований:

  1.  выборки зависимые*
  2.  пары (ξ i, η i ) взаимно независимы, то есть члены выборки никак не влияют друг на друга ( в педагогических исследованиях выполнение этого требования равносильно, например, исключению возможности консультаций и списывания  членами выборок ответов друг у друга)
  3.  шкала измерений – шкала наименований с двумя категориями (выше – ниже, хуже – лучше и т. д.)

Гипотезы. Предположим, что законы распределения случайных величин X и Y одинаковы. Тогда выполняется и такое равенство:

P(ξ i=0, η i=1) = P(ξ i=1, η i=0)     (6)

для всех N пар (ξ i, η i ).

Критерий Макнамары и предназначен для проверки справедливости данного равенства. Нулевая гипотеза имеет вид

H0: P(ξ i=0, η i=1) = P(ξ i=1, η i=0)

для всех i. В качестве альтернативной гипотезы выбирается гипотеза

H1: P(ξ i=0, η i=1) ≠ P(ξ i=1, η i=0)

для всех i. Если гипотеза H1 справедлива, то это означает, что законы распределения переменных X и Y различны, то есть состояния изучаемого свойства существенно (значимо) различны в одной и той же совокупности при первичном измерении этого свойства (например, до применения нового метода обучения) и при вторичном его измерении (например, после применения нового метода обучения). Справедливость нулевой гипотезы приводит к выводу об отсутствии значимых различий в состоянии изучаемого свойства при первичном и вторичном изучениях его состояния у объектов рассматриваемой совокупности.

Гипотезы могут быть записаны в другой форме, которая позволяет их проще интерпретировать в соответствии с содержанием и особенностями проводимого эксперимента:

H0: P(ξi=0) = P(ηi=0) для всех i     (7)

H1: P(ξi=0) ≠  P(ηi=0) для всех i     (8)

H0: P(ξi=1) = P(ηi=1) для всех i     (9)

              H1: P(ξi=1) ≠  P(ηi=1) для всех i                     (10)

Например, при проверке эффективности беседы по профориентации равенство (5) можно интерпретировать так: вероятность изменения после беседы отрицательного отношения к профессии на положительное равна вероятности изменения положительного отношения на отрицательное. Равенство (6) можно интерпретировать так: вероятность положительного отношения к профессии одинакова до и после проведения беседы, равенство (8) – вероятность отрицательного отношения к профессии одинакова до и после проведения беседы.

Статистика критерия. Для проверки статистических гипотез с помощью критерия Макнамары подсчитывается  значение случайной величины, называемой статистикой критерия.

Допустим, что N пар (xi, yi ) распределились следующим образом: число пар вида (xi=0, yi=1) равно b, число пар вида (xi=1, yi=0) равно c. Тогда, если b+c>20, то в качестве статистики выбирается величина

 

                (11)

Если b+c≤20, то используется величина T2, равная наименьшему из значений b и c:

  T2=min(b, c).                          (12)

Значения статистик  T1   и T2  не зависят от значений a и d  - чисел пар вида: (xi=0, yi=0) и (xi=1, yi=1), так как эти пары представляют измерения объектов, индифферентных  к воздействию средства, эффективность которого, проверяется в проводимом эксперименте и,  естественно не учитывается при рассматриваемом способе оценки результатов эксперимента.

Правило принятия решения.  Пусть b+c=n и α – принятый уровень значимости. Рассмотрим правила принятия решений в случае применения критерия Макнамары для проверки разного уровня гипотез.

Проводится проверка гипотезы H0: P(xi=0, yi=1) = P(xi=1, yi=0) – при альтернативе H1: P(xi=0, yi=1) ≠ P(xi=1, yi=0).

Если справедлива нулевая гипотеза, то статистика  критерия T2=min(b, c) распределена по биномиальному закону* с p=0,5. Поэтому для n≤20 по таблице по значению n и величине статистики критерия T2 находим P(T2  T2наблюдаемое), то есть вероятность появления значения статистики, меньшего или равного наблюдаемому значению T2 при данном значении n. Если эта вероятность меньше половины заданного уровня значимости α, то H0 отклоняется на уровне значимости α. При этом в случае, когда b<c, принимается гипотеза H1: P(xi=0, yi=1) < P(xi=1, yi=0), а в случае

b>c -  гипотеза H1: P(xi=0, yi=1) > P(xi=1, yi=0).

Таблицы биномиального распределения, удобные для применения критерия Макнамары, составлены для n≤25. Однако для n>20 при предположении о справедливости нулевой гипотезы распределение статистики критерия T1 аппроксимируется  распределением χ2 с одной степенью свободы. H0 отклоняется на уровне значимости α, если наблюдаемое значение T1 превосходит критическое значение статистики критерия, отвечающее данному уровню значимости α, которое определяется по таблице распределения χ2 с одной степенью свободы.

При отклонении H0 принимается гипотеза  H1: P(xi=0, yi=1) < P(xi=1, yi=0), если b<c, и гипотеза H1: P(xi=0, yi=1) > P(xi=1, yi=0), если b>c.

В случае, когда b=c, применение статистики критерия T2 при n≤20 и статистики T1 при n>20 заведомо не позволяет отвергнуть нулевую гипотезу при любом уровне значимости α. Поэтому при b=c результаты эксперимента не позволяют использовать критерий Макнамары для проверки статистических гипотез. Рассмотрим пример [3]

Пример:

Проверялось влияние формы контроля знаний учащихся по некоторому разделу программы на результаты контрольного опроса. На одном и том же содержательном материале были составлены: письменная работа обычного типа из 3 заданий и тест из 20 вопросов. На основе результатов выполнения каждой из форм в отдельности учащиеся распределялись на 2 категории: усвоил – не усвоил. При выполнении письменной работы в первую группу относили учащихся, получивших оценки «3», «4», «5», выставленные в соответствии с нормами, разработанными экспериментаторами. При выполнении теста в первую группу относили учащихся, верно ответивших на 13 и более вопросов. Остальные учащиеся были отнесены ко второй группе.

Из разных школ было выбрано методом случайного отбора 100 учащихся. Каждый из них выполнял обе формы контрольных работ одну за другой. Результаты двукратного контроля знаний этих учащихся представляют измерения по шкале наименований с двумя категориями (усвоил – не усвоил) состояния знаний учащихся по этому разделу. В этих условиях возможно применения критерия Макнамары для выявления значимости различия в распределении учащихся по состоянию знаний при различных формах контроля.

Результаты двукратного выполнения работы запишем в виде таблицы:

Таблица 3

усвоил

    не усвоил

         

      усвоил            не усвоил

84

16

а=63

b=21

c=4

d =12

                      67                       33

Проверяется гипотеза Н0 : форма контроля за усвоением данного раздела программы не оказывает влияния на распределения учащихся по состоянию знаний. В связи с задачами эксперимента альтернативная гипотеза Н1 формулируется следующим образом: распределения учащихся по состоянию знаний различно при различных формах контроля.

В этих условиях для проверки гипотезы применяется двусторонний критерий Макнамары для n>20 (n=b+c=4+21=25), то есть подсчитывается значение статистики T1 . В данном случае

Для уровня значимости α=0,05 критическое значение T1критич=3,84. Следовательно верно неравенство Т1наблюд1критич Поэтому нулевая гипотеза отвергается на уровне значимости α=0,05 и принимается альтернативная гипотеза. Таким образом, на основе результатов проведённого эксперимента можно сделать вывод о том, что форма контроля за усвоением раздела программы существенно влияет на распределение учащихся по состоянию знаний.

§3   - критерий Пирсона

Назначения критерия

Критерий    может применяться:

для сопоставления эмпирического распределения признака с теоретическим - равномерным, нормальным или каким-то иным,

для сопоставления двух, трех или более эмпирических распределений одного и того же признака

Описание критерия

Критерий  отвечает на вопрос о том, с одинаковой ли частотой встречаются разные значения признака в эмпирическом и теоретическом распределениях или в двух и более эмпирических распределениях

Преимущество метода состоит в том, что он позволяет сопоставлять распределения признаков, представленных в любой шкале, начиная от шкалы наименований. В самом простом случае альтернативного распределения «да – нет», «допустил брак - не допустил брака», «решил задачу - не решил задачу» и т.п. мы уже можем применить критерий .

Допустим, некий наблюдатель фиксирует количество пешеходов, выбравших правую или левую из двух симметричных дорожек на пути из точки А в точку Б (см  рис 1).

Рис.   1   Иллюстрация к примеру о теоретически равновероятном выборе из двух альтернатив - правой и левой дорожек, ведущих из точки А в точку Б

Пусть, в результате 70 наблюдении установлено, что 51 человек выбрали правую дорожку, и  лишь 19 - левую  С помощью критерия   мы можем определить, отличается ли данное распределение выборов от равномерного распределения, при котором обе дорожки выбирались бы с одинаковой частотой. Это вариант сопоставления полученного эмпирического распределения с теоретическим. Такая задача может стоять, например, в прикладных психологических исследованиях, связанных с проектированием в архитектуре, системах сообщения и др.

Но представим себе, что наблюдатель решает совершенно другую задачу: Совпадение полученного распределения с равномерным его интересует гораздо в меньшей степени, чем совпадение или несовпадение его данных с данными других исследователей. Ему известно, что люди с преобладанием правой ноги склонны делать круг против часовой стрелки, а люди с преобладанием левой ноги - круг по ходу часовой стрелки, и что в исследовании коллег преобладание левой ноги было обнаружено у 26 человек из 100 обследованных.

С помощью метода  он может сопоставить два эмпирических распределения: соотношение 51:19 в собственной выборке и соотношение 74:26 в выборке других исследователей.

Это вариант сопоставления двух эмпирических распределений по простейшему альтернативному признаку (конечно, простейшему с математической точки зрения, а отнюдь не психологической).

Аналогичным образом мы можем сопоставлять распределения выборов из трех и более альтернатив. Например, если в выборке из 50 человек 30 выбрали ответ (а), 15 человек - ответ (б) и 5 человек -ответ (в), то мы можем с помощью метода  проверить, отличается ли это распределение от равномерного распределения или от распределения ответов в другой выборке, где ответ (а) выбрали 10 человек, ответ (б) -25 человек, ответ (в) - 15 человек.

В тех случаях, если признак измеряется количественно, скажем, в баллах, секундах или миллиметрах, нам, быть может, придется объединить все обилие значений признака в несколько разрядов. Например, если время решения задачи варьирует от 10 до 300 секунд, то мы можем ввести 10 или 5 разрядов, в зависимости от объема выборки. Например, это будут разряды: 0-50 секунд; 51-100 секунд; 101-150 секунд и т. д. Затем мы с помощью метода  будет сопоставлять частоты встречаемости разных разрядов признака, но в остальном принципиальная схема не меняется.

При сопоставлении эмпирического распределения с теоретическим мы определяем степень расхождения между эмпирическими и теоретическими частотами.

При сопоставлении двух эмпирических распределений мы определяем степень расхождения между эмпирическими частотами и теоретическими частотами, которые наблюдались бы в случае совпадения двух этих эмпирических распределений. Формулы расчета теоретических частот будут специально даны для каждого варианта сопоставлений.

Чем больше расхождение между двумя сопоставляемыми распределениями, тем больше эмпирическое значение.

Гипотезы

Возможны несколько вариантов гипотез, в зависимости от задач, которые мы перед собой ставим.

Первый вариант:

Н0: Полученное эмпирическое распределение признака не отличается от

теоретического (например, равномерного) распределения.

Н1:  Полученное эмпирическое распределение признака отличается  от

теоретического распределения.

Второй вариант:

Н0: Эмпирическое распределение 1 не отличается от эмпирического распределения 2.

Н1:Эмпирическое распределение 1 отличается от эмпирического распределения 2.

Третий вариант:

 Н0: Эмпирические распределения 1, 2, 3, ... не различаются между собой.

Н1: Эмпирические распределения 1, 2, 3, ... различаются между собой.

Критерий     позволяет проверить все три варианта гипотез.

Графическое представление критерия [2]

Проиллюстрируем пример с выбором правой или левой дорожек на пути из точки А в точку Б. На Рис. 2 частота выбора левой дорожки представлена левым столбиком, а частота выбора правой дорожки - правым столбиком гистограммы. На оси ординат отмеряются относительные частоты выбора, то есть частоты выбора той или иной дорожки, отнесенные к общему количеству наблюдений. Для левой дорожки относительная частота, которая называется также частостью, составляет 19/70, то есть 0,27, а для правой дорожки 51/70, то есть 0,73.

Левая  Правая

Рис. 2 Частоты выбора левой и правой дорожек, теоретическая частота представлена в виде горизонтальной планки, стрелками обозначены области расхождения между эмпирическими и теоретическими частотами

Если бы обе дорожки выбирались равновероятно, то половина испытуемых выбрала бы правую дорожку, а половина - левую. Вероятность выбора каждой из дорожек составляла бы 0,50.

Мы видим, что отклонения эмпирических частот от этой величины довольно значительны. Возможно, различия между эмпирическим и теоретическим распределением окажутся достоверными.

На Рис. 3 фактически представлены две гистограммы, но столбики сгруппированы так, что слева сопоставляются частоты предпочтения левой дорожки в выборе нашего наблюдателя  и в выборке Т.А. Доброхотовой и Н.Н. Брагиной, а справа - частоты предпочтения правой дорожки в этих же двух выборках.

                             Левая Правая

Рис.  3  Частоты выбора левой и правой дорожек в двух выборках испытуемых

  1.  - Выборка наблюдателя,
  2.  - Выборка других исследователей

Мы видим, что расхождения между выборками очень незначительны. Критерий  скорее всего, подтвердит совпадение двух распределений.

Ограничения критерия

1. Объем выборки должен быть достаточно большим   n≥30. При n<30

критерий  дает весьма приближенные значения. Точность критерия повышается при больших n.

2. Теоретическая частота для каждой ячейки таблицы не должна быть
меньше 5:
f≥5. Это означает, что если число разрядов задано заранее и не может быть изменено, то  мы не можем применять метод , не накопив определенного минимального числа наблюдений. Если, например, мы хотим проверить наши предположения о том, что частота обращений в телефонную службу Доверия неравномерно распределяются по 7 дням недели, то нам потребуется 5*7=35 обращений. Таким образом, если количество разрядов (k) задано заранее, как в данном случае, минимальное число наблюдений (nmin) определяется по формуле: nmin=k*5.

  1.  Выбранные разряды должны «вычерпывать» все распределение, то есть охватывать весь диапазон вариативности признаков. При этом группировка на разряды должна быть одинаковой во всех сопоставляемых распределениях.
  2.  Необходимо вносить «поправку на непрерывность» при сопоставлении распределений признаков, которые принимают всего 2 значения. При внесении поправки значение   уменьшается.
  3.  Разряды должны быть неперекрещивающимися: если наблюдение отнесено к одному разряду, то оно уже не может быть отнесено ни к какому другому разряду.

Сумма наблюдений по разрядам всегда должна быть равна общему количеству наблюдений.

Главное же «ограничение» критерия   - то, что он кажется большинству исследователей пугающе сложным.

Попытаемся преодолеть миф о непостижимой трудности критерия  .Рассмотрим пример, который приведён в книге Е. В. Сидоренко.

Шутливый пример [2]

В гениальной комедии Н. В. Гоголя "Женитьба" у купеческой дочери Агафьи Тихоновны было пятеро женихов. Одного она сразу исключила из рассмотрения, потому что он был купеческого звания, как и она сама. А из остальных она не знала, кого выбрать: "Уж как трудно решиться, так просто рассказать нельзя, как трудно. Если бы губы Никанора Ивановича да приставить к носу Ивана Кузьмича, да взять сколько-нибудь развязности, какая у Балтазара Балтазарыча, да, пожалуй, прибавить к этому еще дородности Ивана Павловича, я бы тогда тотчас решилась. А теперь поди подумай! просто голова даже стала болеть. Я думаю, лучше всего кинуть жребий" (Гоголь Н.В., 1959, с. 487). И вот Агафья Тихоновна положила бумажки с четырьмя именами в ридикюль, пошарила рукою в ридикюле и вынула вместо одного — всех!

Ей хотелось, чтобы жених совмещал в себе достоинства всех четверых, и, вынимая все бумажки вместо одной, она бессознательно совершала процедуру выведения средней величины. Но вывести среднюю величину из четверых людей невозможно, и Агафья Тихоновна в смятении. Она влюблена, но не знает, в кого. "Такое несчастное положение девицы, особливо еще влюбленной" (там же, с. 487).

Вся беда в том, что ни Агафья Тихоновна, ни ее тетушка, ни сваха Фекла Ивановна не были знакомы с  критерием  ! Именно он мог бы им помочь в решении их проблемы. С его помощью можно было бы попробовать установить, в кого больше влюблена Агафья Тихоновна. Но для этого нам не нужно измерять губы Никанора Ивановича или нос Ивана Кузьмича, или объем талии дородного экзекутора Ивана Павловича; не нужно нам и пускаться на какие-нибудь опасные эксперименты, чтобы определить, насколько далеко простирается развязность Балтазара Балтазарыча. Мы эти их достоинства принимаем как данность потому лишь, что они нравятся Агафье Тихоновне. Мы принимаем их за разряды одного и того же признака, например, направленности взгляда Агафьи Тихоновны: сколько раз она взглянула на губы Никанора Ивановича? На нос Ивана Кузьмича? Благосклонно взирала на дородного Ивана Павловича или развязного Балтазара Балтазаровича? Внимательная сваха или тетушка вполне могла бы этот признак наблюдать. Допустим, за полчаса смотрин ею зафиксированы следующие наблюдения.

Агафья Тихоновна:

сидела с опущенными глазами  25 минут

благосклонно смотрела на Никанора Ивановича 14 раз

благосклонно смотрела на Ивана Кузьмича  5 раз

благосклонно смотрела на Ивана Павловича  8 раз

благосклонно смотрела на Балтазара Балтазарыча   5 раз. 

Представим это в виде таблицы.

Таблица 4  Распределение взгляда Агафьи Тихоновны между 4 женихами

Женихи

Никанор

Иванович

Иван

Кузьмич

Иван Павлович

Балтазар Балтазарыч

Всего взглядов

Количество взглядов

14

5

8

5

32

Теперь нам нужно сопоставить полученные эмпирические частоты с теоретическими. Если Агафья Тихоновна никому не отдает предпочтения, то данное распределение показателя направленности ее взгляда не будет отличаться от равномерного распределения: она на всех смотрит примерно с одинаковой частотой. Но если достоинства одного из женихов чаще притягивают ее взор, то это может быть основанием для матримониального решения.

Гипотезы

Н0:  Распределение взглядов Агафьи Тихоновны между женихами не

отличается от равномерного распределения.

Н1: Распределение взглядов Агафьи Тихоновны между женихами отличается от равномерного распределения. Теперь нам нужно определить теоретическую частоту взгляда при равномерном распределении. Если бы все взгляды невесты распределялись равномерно между 4-мя женихами, то, по-видимому, каждый из них получил бы по ¼ всех взглядов.

Переведем эти рассуждения на более формализованный язык. Теоретическая частота при сопоставлении эмпирического распределения с равномерным определяется по формуле:

fтеор=n/k

где  n- количество наблюдений;

k - количество разрядов признака.

В нашем случае признак - взгляд невесты, направленный на кого-либо из женихов;  количество разрядов признака -  4 направления взгляда, по количеству женихов; количество наблюдений - 32.

Итак, в нашем случае: f =32/4=8

Теперь мы будем сравнивать с этой теоретической частотой все эмпирические частоты.

Рис. 4. Сопоставление эмпирических частот взгляда Агафьи Тихоновны на каждого из женихов (столбики гистограммы) с теоретической частотой (горизонтальная планка); темной штриховкой отмечены области расхождений между эмпирическими и теоретическими частотами.

На Рис. 4 сопоставления эмпирических частот с теоретической представлены графически. Похоже, что области расхождений достаточно значительны, и Никанор Иванович явно опережает других женихов. Иван Павлович еще может на что-то надеяться, но для Ивана Кузьмича и Балтазара Балтазарыча отставка, по-видимому, неизбежна.

Однако для того, чтобы доказать неравномерность полученного эмпирического распределения, нам необходимо произвести точные расчеты. В методе  они производятся с точностью до сотых, а иногда и до тысячных долей единицы.

Расчеты будем производить в таблице по алгоритму.

Расчет критерия  

1. Занести в таблицу наименования разрядов и соответствующие им
эмпирические частоты (первый столбец).

2. Рядом  с  каждой  эмпирической  частотой  записать теоретическую
частоту (второй столбец).

  1.  Подсчитать разности между эмпирической и теоретической частотой по каждому разряду (строке) и записать их в третий столбец.
  2.  Определить число степеней свободы по формуле: v=k-l

где k -  количество разрядов признака.

Если V=l, внести поправку на "непрерывность".

5. Возвести в квадрат полученные разности и занести их в четвертый
столбец.

  1.  Разделить полученные квадраты разностей на теоретическую частоту и записать результаты в пятый столбец.
  2.  Просуммировать значения пятого столбца. Полученную сумму обозначить как эмп
  3.  Определить по таблице критические значения для данного числа степеней свободы v.

Если  эмп меньше критического значения, расхождения между распределениями статистически недостоверны.

Если эмп равно критическому значению или превышает его, расхождения между распределениями статистически достоверны.

Все вычисления для данного случая отражены в Табл. 5.

Таблица 5  Расчет критерия   при сопоставлении эмпирического распределения взгляда Агафьи Тихоновны между женихами с равномерным распределением

Разряды -женихи

Эмпирическая частота взгляда (fзj)

Теоретическая   частота (fт)

(fзj* fт)

(fзj* fт)2

(fзj* fт)2/ fт

1

Никанор Иванович

14

8

+6

36

4,500

2

Иван Кузьмич

5

8

-3

9

1,125

4

5

Иван Павлович

Балтаэар Балтазарыч

8

5

8

8

0

-3

0

9

0 1,125

Суммы

32

32

0

54

6, 750

Может показаться, что удобнее суммировать все возведенные в квадрат разности между эмпирическими и теоретическими частотами, а затем уже эту сумму разделить на fт. В данном случае это возможно, так как fт для всех разрядов одинакова. Однако позже мы увидим, что так бывает далеко не всегда. Нужно быть внимательными или, экономя свое внимание, просто взять за правило всякий раз вычислять (fзj  - fт)2/ fт до суммирования.

Необходимо также всякий раз убеждаться в том, что сумма разностей между эмпирическими и теоретической частотами (сумма по третьему столбцу) равна 0. Если это равенство не соблюдается, это означает, что в подсчете частот или разностей допущена ошибка. Необходимо найти и устранить ее прежде чем переходить к дальнейшим расчетам.

Алгоритм вычислений, таким образом, выражается формулой:

где  fзj - эмпирическая частота по j-тому разряду признака;

fт - теоретическая частота;

j -  порядковый номер разряда;

k -  количество разрядов признака.

В данном случае:

Для того, чтобы установить критические значения  , нам нужно определить число степеней свободы V по формуле: v=k-l

где k -  количество разрядов. В нашем случае V=4-1=3. По таблице определяем:

7,815 (p < 0,05)

кр  

11,345 (р < 0,01)

Построим "ось значимости". Ясно, что чем больше отклонения эмпирических частот от теоретической, тем больше будет величинаПоэтому зона значимости располагается справа, а зона незначимости -слева.

эмп  <кр  

К сожалению, на основании этих данных тетушка не сможет дать

Агафье Тихоновне обоснованного ответа:


Ответ: Н0 принимается. Распределение взгляда Агафьи Тихоновны между женихами не отличается от равномерного распределения.

§4 Критерий знаков.

При анализе результатов измерения непрерывной переменной иногда полезно сгруппировать результаты в несколько равных групп. Например, чтобы получить четыре равные группы, необходимо иметь значения, делящие исходные данные по 25% в каждой группе. Существуют три такие значения (точки деления), которые называются квартилями (quartile), при этом средняя из них также называется медианой (см. рисунок). Аналогично, можно использовать два тертиля (tertile), чтобы разбить данные на три группы, четыре квинтиля (quintile), чтобы разбить их на пять групп, и так далее. Общий термин для таких точек раздела -- квáнтили. Другие термины, которые часто употребляются-- децили (decile), которые делят данные на 10 частей, и центили (centile), которые делят данные на 100 частей (их также называют процентилями). Значения типа квартилей могут быть выражены через центили; например, самый левый квартиль равен 25ому центилю, а медиана – 50ому центилю.

Наиболее общее заблуждение -- это использование терминов тертили, квартили, квинтили, и т.д., не для обозначения точек отсечки, а для групп данных, полученных таким образом. Однако правильное их название: третья часть, четверть, пятая часть, и так далее.

Ниже рассмотрим некоторые общие приложения квантилей.

Описание данных. Среднее значение и стандартное отклонение часто используются для описания совокупности наблюдений. Однако, когда данные имеют несимметричное (негауссово) распределение, как на рисунке, тогда предпочтительно указывать медиану и два внешних центиля, например 10й и 90й. Иногда используют первый и третий квартили (25ый и 75й центили). Медиана -- очень полезная итоговая статистика, когда некоторые из значений не были реально измерены -- например, вышли за диапазон измеряющего оборудования. Медиана часто используется при анализе данных по выживанию, когда для некоторых подопытных особей это время может быть неизвестным.

Доверительный интервал и центили. Особый вид описания данных -- определение доверительного интервала (диапазона ожидаемых значений). 95%й доверительный интервал определяется отсечением по 2.5% данных с каждого конца распределения. (Эти значения часто справедливо называют 2.5 и 97.5ым центилями, хотя и не совсем корректно делить центили пополам). Доверительный интервал широко используется в клинической химии. Точно также на номограммах для оценки роста и размера человека обычно изображены центили. Граничные центили иногда определяют исходя из нормального распределения, при этом каждое новое наблюдение может быть помещено в определенный центиль.

Анализ непрерывных переменных. Непрерывные переменные, например концентрацию холестерола или дыхательный объем легких, в статистических исследованиях часто также делят на несколько диапазонов. Для этой цели обычно используют квантили, чтобы во всех группах было равное число измерений. При такой группировке часть информации теряется, но появляется возможность представить данные в более простом виде, например, в виде таблиц. Чем меньше групп, тем больше информации теряется. В регрессионном анализе непрерывные независимые переменные иногда делят по амплитуде на две или более групп. Это слегка усложняет анализ, но позволяет избежать предположения о линейном соотношении между двумя анализируемыми величинами. Однако, такой подход ведет к модели, в которой вероятность изменяется скачками при некоторых значениях переменной, а не равномерно увеличивается.

Вычисление квантилей. Вычисление центилей и других квантилей не настолько просто, как может показаться. Данные должны быть упорядочены от 1 до n в порядке возрастания. Kй центиль получается вычислением величины q=k*(n+1)/100 и ее последующей интерполяцией между двумя ближайшими к q значениями данных (бо'льшим и меньшим). Например, для 5ого центиля выборки из 145 наблюдений мы имеем q=5*146/100=7.3. Таким образом, 5-ый центиль находится на 3/10 расстояния от 7го к 8му упорядоченному наблюдениям. Если значения этих данных равны 11.4 и 14.9 соответственно, то искомый центиль равен 12.45. Доверительные интервалы могут быть построены для любого квантиля.

Критерий предназначен для сравнения состояния некоторого свойства у членов двух зависимых выборок на основе измерений, сделанных по шкале не ниже порядковой.

Данные. Будем считать, что случайная переменная Х характеризует состояние некоторого свойства в рассматриваемой совокупности объектов при первичном измерении данного свойства, случайная величина Y характеризует состояние этого же свойства в той же совокупности объектов при вторичном измерении.

Имеется две серии наблюдений

x1 ,x2 . . . xi . . .xN ;                        (13)

y1 , y2  . . . yi . . .yN ;                                 (14)

над случайными переменными ξ и η, полученные при рассмотрении двух зависимых выборок. На их основе составлено N пар вида (xi, yi ), где xi, yi   - результаты двукратного измерения одного и того же свойства у одного и того же объекта.

В педагогических исследованиях объектами изучения могут служить учащиеся, учителя, администрация школ. При этом xi, yi   могут быть, например балловыми оценками, выставленными учителем за двукратное выполнение одной и той же или различных работ одной и той же группой учащихся до и после применения некоторого педагогического средства.

Элементы каждой пары xi, yi   сравниваются между собой по величине, и паре присваивается знак «+», если xi<yi , знак « - », если xi>yi, и «0», если xi=yi. Установление соотношения «больше» («меньше») между двумя измерениями возможно, если эти измерения сделаны хотя бы  по шкале порядка. Следовательно, знаковый критерий непригоден в случае измерений по шкале наименований.

Возьмём случайные выборки:

ξ1 ,ξ2 . . . ξ i . . . ξ N;                                      (15)                                       η1 2  . . . η i . . . η N ;                                         (16)

 

Допущения. Для применения знакового критерия необходимо выполнение следующих требований:

  1.  Выборки случайные;
  2.  Выборки зависимые;
  3.  Пары (ξ i, η i) взаимно независимы, то есть члены выборки, никак не влияют друг на друга (в педагогических исследованиях выполнение этого требования равносильно, например, исключению возможности консультаций и списывания  членами выборок ответов друг у друга)
  4.  Изучаемое свойство объектов распределено непрерывно в обеих совокупностях, из которых сделаны выборки;
  5.  Шкала измерений должна быть не ниже порядковой.

Гипотезы. Предположим, что законы распределения случайных величин X и Y одинаковы. Тогда выполняется также и такое равенство

P(ξ i < η i) = P(ξ i > η i) для всех пар (ξ i, η i),   (17)

которое означает, что вероятность того, что первое измерение (xi) в паре   (xi,yi) меньше второго измерения  (yi), равна вероятности того, что первое измерение в паре больше второго, для всех N пар. Справедливость этого равенства и проверяется с помощью знакового критерия. Таким образом, нулевая гипотеза будет иметь вид

H0: P( ξ i>η I ) = P( ξ i<η I ) для всех i.

При использовании знакового критерия в качестве альтернативной гипотезы выбирается гипотеза

H1: P( ξ i>η I ) ≠ P( ξ i<η I ) для всех i.

Если гипотеза H1 справедлива, то отсюда следует, что законы распределения величин X и Y различны, то есть состояния изучаемого свойства существенно различны в одной и той же совокупности при первичном и вторичном измерениях этого свойства. Справедливость нулевой гипотезы интерпретируется следующим образом: в состоянии изучаемого свойства нет значимых различий при первичном и вторичном измерениях.

Статистика критерия. Для проверки гипотез с помощью знакового критерия на основе наблюдений подсчитывается значение величины T, называемой статистикой критерия. Значение T определяется следующим образом.

Допустим, что из N пар  (xi, yi) нашлось несколько пар, в которых значения xi и yi равны. Такие пары обозначаются знаком «0» и при подсчёте и при подсчёте  значения величины T не учитываются. Предположим, что за вычетом из числа N пар, обозначенных знаком «0», осталось всего n пар. Среди оставшихся пар подсчитываем число пар, обозначенных знаком «+» (то есть те пары, в которых xi<yi). Значение величины T равно числу пар со знаком «+».

Правило принятия решения. Пусть число пар, в которых xiyi, равно n и α – принятый уровень значимости. Рассмотрим правила принятия решений при проверке разного вида гипотез.

  1.  Двусторонний критерий. Проводится проверка гипотезы

H0: P( ξ i>η I ) = P( ξ i<η I ) для всех i

- при альтернативе

H1: P( ξ i>η I ) ≠ P( ξ i<η I ) для всех i.

Для n≤100 составлена специальная таблица, в которой для каждого значения n даны критические значения tα и n- tα  статистики T для разных уровней значимости α. При данном значении n гипотеза H0 отклоняется на уровне значимости α, если для наблюдаемого значения T справедливо одно из неравенств T<tα или T>n- tα.

  1.  Односторонний критерий. В тех случаях, когда имеются достаточные основания предполагать, что результаты второго измерения изучаемого свойства у одних и тех же объектов - yi имеют тенденцию превышать (или наоборот, быть меньше) результаты первичного измерения - xi, вместо двустороннего критерия используется односторонний критерий.
  2.   Для случая, когда xi имеют тенденцию превышать yi, проводится проверка гипотезы

H0: P( ξ i>η I ) P( ξ i<η I ) для всех i

- при альтернативе

H1: P( ξ i>η I ) < P( ξ i<η I ) для всех i.

Для n≤100 может быть использована та же таблица, что и для двустороннего критерия. H0 отклоняется на уровне значимости α, указанном для одностороннего критерия, если наблюдаемое значение T<tα.

  1.  В том случае, когда yi имеет тенденцию превышать по значению xi, проводится проверка гипотезы

H0: P( ξ i>η I ) ≤ P( ξ i<η I ) для всех i

- при альтернативе

H1: P( ξ i>η I ) > P( ξ i<η I ) для всех i.

H0 отклоняется на уровне значимости α, если наблюдаемое значение

T>n- tα, где значение n- tα определяется из таблицы.

Таблица критических значений знакового критерия основана на биномиальном распределении. Для достаточно больших значений n биномиальное распределение можно приближённо заменить (аппроксимировать) нормальным. В случае двустороннего критерия tα определяется по формуле

          (18)

где – квантиль нормального распределения, определяемый для вероятности  . H0  отклоняется на уровне значимости  α, если наблюдаемое значение  T<tα или T>n-tα.

В случае одностороннего критерия tα определяется по формуле

           (18)

где  - квантиль нормального распределения, определяемый для вероятности α.

Пример  использования знакового критерия.

Учащиеся выполняли контрольную работу, направленную на проверку усвоения некоторого понятия. Пятнадцати учащимся, 7 из которых получили отметку «2» и 8 – отметку «3», было затем предложено программированное пособие, составленное с целью формирования данного понятия у учащихся с низким уровнем обучаемости. После изучения пособия учащиеся снова выполняли ту же контрольную работу, которая оценивалась по пятибалльной системе.

Данный эксперимент проводился с целью проверки эффективности программированного пособия как средства повышения знаний слабых учащихся путём самообразования. Результаты двукратного выполнения работы учащимися представляют измерения по шкале порядка (пятибалльная шкала) такого качества, как усвоение некоторого понятия. В этих условиях возможно применения знакового критерии для выявления тенденции изменения состояния знаний учащихся после изучения пособия, так как выполняются все допущения этого критерия.

Результаты двукратного выполнения работы (в баллах) 15 учащимися представим в виде таблицы.

Таблица 6

Учащийся (№)

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

Первое выполнение

2

2

2

2

2

3

3

3

3

3

2

2

3

3

3

Второе выполнение

2

3

1

4

3

2

3

4

4

3

4

3

2

4

4

Знак разности отметок

0

-

-

+

+

-

0

+

+

0

+

+

-

+

+

Проверяется гипотеза H0: состояние знаний учащихся не повысилось после изучения пособия- при альтернативе H1: состояние знаний учащихся повысилось после изучения пособия.

В соответствии с содержанием гипотез следует применить односторонний знаковый критерий. Подсчитаем значение статистики критерия Т, равное числу положительных разностей отметок, полученных учащимися. Согласно данным Т=10. Из 15 пар в 3 случаях разность измерений равна нулю, следовательно, остаётся только 12 пар, то есть n=12.

Для определения критических значений статистики критерия n-tα используем таблицу, так как n<100. Для уровня значимости α=0,05 при n=12 значение n-tα=9. Следовательно, выполняется неравенство Tнаблюдаемое> n-tα. Поэтому в соответствии с правилом принятия решения нулевая гипотеза отклоняется на уровне значимости α=0,05 и принимается альтернативная гипотеза, что позволяет сделать вывод об улучшении знаний учащихся после самостоятельного изучения пособия.

§5 Критерий Вилкоксона-Манна-Уитни1.

Данный критерий оперирует не с абсолютными значениями элементов двух выборок, а с результатами их парных сравнений. Например, существенно, что учащийся Петров решил больше задач, чем учащийся Иванов, а на сколько больше - не важно.

Возьмём две выборки {xi}, i=1..N и {yj },  j=1..M и для каждого элемента первой выборки xi, i=1..N, определим число ai элементов второй выборки, которые превосходят его по своему значению (то есть число таких yj, что yj >xi ).  этих чисел по всем N членам первой выборки называется

  1.  Wilcoxon F., Whitney D. R., Mann H. B

эмпирическим значением критерия Манна-Уитни и обозначается U=   Определим эмпирическое значение критерия Вилкоксона:

      (19)

Алгоритм определения достоверности совпадений и различий для экспериментальных данных, измеренных в шкале отношений, с помощью критерия Вилкоксона-Манна-Уитни заключается в следующем:

  1.  Вычислить для сравниваемых выборок Wэмп - эмпирическое значение критерия Вилкоксона по формуле (19).
  2.  Сравнить это значение с критическим значением Wэмп=1,96 если Wэмп<1.96, то сделать вывод: «характеристики сравниваемых выборок совпадают с уровнем значимости 0,05», если Wэмп  >1,96 то сделать вывод «достоверность различий характеристик сравниваемых выборок составляет 95%».

         

В качестве примера применим алгоритм для числа правильно решенных задач в контрольной и экспериментальной группе до начала эксперимента. В таблице приведены результаты экспериментальной группы (второй столбец), и контрольной группы (пятый столбец), а также для каждого члена экспериментальной группы подсчитано число членов контрольной группы, решивших строго большее (чем он) число задач (третий столбец). Например, в таблице серым цветом в пятом столбце отмечены члены контрольной группы, правильно решивших строго большее число задач, чем первый член (то есть i= 1) экспериментальной группы, который правильно решил 12 задач. Значит х1=12 и число таких yi, что yi> xi (то есть число затемненных ячеек) равно 16. Следовательно, ai=16. Аналогично заполняются остальные строки третьего столбца.

i

xi

ai

j

yj

1

12

16

1

15

2

11

18

2

13

3

15

7

3

11

4

17

5

4

18

5

18

3

5

10

6

6

28

6

8

7

8

23

7

20

8

10

21

8

7

9

16

5

9

8

10

12

16

10

12

11

15

7

11

15

12

14

11

12

16

13

19

1

13

13

14

13

13

14

14

15

19

1

15

14

16

12

16

16

19

17

11

18

17

7

18

16

5

18

8

19

12

16

19

11

20

8

23

20

12

21

13

13

21

15

22

7

26

22

16

23

15

7

23

13

24

8

23

24

5

25

9

22

25

11

26

19

27

18

28

9

29

6

30

15

Сумма всех 25 чисел в третьем столбце дает эмпирическое значение критерия Манна-Уитни U = 344. Вычисляем по формуле (19) значение Wэмп = 0,52 < 1,96. Следовательно, гипотеза о том, что сравниваемые выборки совпадают, принимаются на уровне значимости 0,05.

Теперь аналогичным образом (построив таблицу, аналогичную предыдущей, и вычислив эмпирическое значения критерия Вилкоксона)  сравним числа правильно решённых задач в контрольной и экспериментальной группе после окончания эксперимента. Эмпирическое значения критерия Манна-Уитни в этом случае равно 223 Вычислим по формуле (19) значение Wэмп= 2,57>1,96. Следовательно, достоверность различий сравниваемых выборок составляет 95%.

Итак, начальные (до начала эксперимента) состояния экспериментальной и контрольной группы совпадают, а конечные (после эксперимента) - различаются. Следовательно, можно сделать вывод, что эффект изменений обусловлен именно применением экспериментальной методики обучения.

§6 Проверка гипотезы о независимости оценки 5 в аттестате об окончании средней школы и на вступительных экзаменов на факультет МИФ НГПУ в 2006 году.

Был проведён опрос студентов, поступивших в 2006 году на факультет МИФ  НГПУ по специальности «Математика». Каждому студенту предлагалось указать оценки из аттестата по алгебре и по геометрии, а также оценку полученную им на вступительном экзамене.

а) Если сумма оценок по алгебре и геометрии оказывалась не ниже 9, то полагалось, что абитуриент имел в школе оценку 5 по математике. Если же сумма оценок по алгебре и геометрии оказывалась не ниже 7, то полагалось, что абитуриент имел в школе оценку 4 по математике В результате были получены  следующие данные.

Оценка на вступительном экзамене

Оценка из аттестата

Оценка на вступительном экзамене

Оценка из аттестата

1

3

4

34

5

4

2

3

4

35

5

4

3

3

4

36

5

4

4

3

4

37

5

5

5

3

4

38

5

5

6

3

4

39

5

5

7

3

5

40

5

5

8

3

5

41

5

5

9

3

5

42

5

5

10

3

5

43

5

5

11

3

5

44

5

5

12

3

5

45

5

5

13

3

5

46

5

5

14

4

3

47

5

5

15

4

4

48

5

5

16

4

4

49

5

5

17

4

4

50

5

5

18

4

4

51

5

5

19

4

4

52

5

5

20

4

4

53

5

5

21

4

4

54

5

5

22

4

5

55

5

5

23

4

5

56

5

5

24

4

5

57

5

5

25

4

5

58

5

5

26

4

5

59

5

5

27

4

5

28

4

5

29

4

5

30

4

5

31

4

5

32

4

5

33

4

5

Уровень значимости  α возьмём равным 0,05

Однако не следует считать результаты данного эксперимента статистически верными, так как размер выборки недостаточно велик (n=59)

За основную  гипотезу примем

Н0:  оценка 5 из аттестата об окончании средней школы и оценка 5 на вступительных экзаменов на ФМИФ в 2006 году независимы.

Гипотезу противоположную  гипотезе Н0, обозначим H1.

Применим для проверки нулевой гипотезы статистику Фишера-Пирсона с поправкой Йейтса.

Пусть ξ-оценка на вступительном экзамене, η-это оценка из аттестата.

Составим таблицу сопряжённости признаков:

ξ

η

5

5

5

14

19

n1.=33

5

3

23

n2.=26

n.1=17

n.2=42

N=59

В данном случае число степеней свободы k=(2-1)*(2-1)=1

В данном случае  ( ξ, η)=

( ξ, η)=6,763

(ξ, η)критическое=3,8.

набл(ξ, η)>( ξ, η)критическое

Таким образом, нулевая гипотеза отклоняется и принимается альтернативная гипотеза Н1.

б) Будем считать что у абитуриента была оценка 5 по математике в школе, только в том случае если у него была оценка 5 по алгебре.

Гипотезы Н0 и Н1и  α, (ξ, η)критическое  оставим без изменений.

Составим  таблицу сопряжённости признаков:

ξ

η

5

5

5

16

17

n1.=33

5

4

22

n2.=26

n.1=20

n.2=39

N=59

Число степеней свободы k=(2-1)*(2-1)=2

( ξ, η)=

набл(ξ, η)>( ξ, η)критическое

Таким образом, нулевая гипотеза отклоняется и принимается альтернативная гипотеза Н1.

в) Будем считать что у абитуриента была оценка 5 по математике в школе, только в том случае если у него были оценка 5 по алгебре.

Гипотезы Н0 и Н1и  α, (ξ, η)критическое  оставим без изменений.

Составим  таблицу сопряжённости признаков:

ξ

η

5

5

5

19

4

n1.=23

5

14

22

n2.=36

n.1=23

n.2=26

N=59

Число степеней свободы k=(2-1)*(2-1)=2

( ξ, η)=

набл(ξ, η)>( ξ, η)критическое

Таким образом, нулевая гипотеза отклоняется и принимается альтернативная гипотеза Н1.

в) Будем считать что у абитуриента была оценка 5 по математике в школе, только в том случае если у него была  оценка 5 по геометрии.

Гипотезы Н0 и Н1и  α, (ξ, η)критическое  оставим без изменений.

Составим  таблицу сопряжённости признаков:

ξ

η

5

5

5

17

3

n1.=20

5

16

23

n2.=39

n.1=33

n.2=26

N=59

Число степеней свободы k=(2-1)*(2-1)=2

( ξ, η)=

набл(ξ, η)>( ξ, η)критическое

Таким образом, нулевая гипотеза отклоняется и принимается альтернативная гипотеза Н1

г) Будем считать что у абитуриента была оценка 5 по математике в школе, только в том случае если у него была  оценка 5 по геометрии и оценка 5 по алгебре.

Гипотезы Н0 и Н1и  α, (ξ, η)критическое  оставим без изменений.

Составим  таблицу сопряжённости признаков:

ξ

η

5

5

5

19

4

n1.=20

5

14

22

n2.=39

n.1=33

n.2=26

N=59

Число степеней свободы k=(2-1)*(2-1)=2

( ξ, η)=

набл(ξ, η)>( ξ, η)критическое

Таким образом, нулевая гипотеза отклоняется и принимается альтернативная гипотеза Н1

Приложение.

 

Случайной величиной, связанной с данным опытом, называется величина, которая при каждом осуществлении опыта принимает то или иное числовое значение из области допустимых значений, заранее неизвестно какое именно.

Два события называются независимыми, если вероятность их совмещения равна произведению вероятностей этих событий; в противном случае события называют зависимыми.

Две случайные дискретные величины ξ и η называются зависимыми, если p(ξ=хi,η=yj)=p(ξ=хj)*p(η=yj) для любых возможных значений хi и yj  случайных величин ξ и η.

Биномиальным законом называют распределение вероятностей, определяемое формулой Бернулли: Рп(к) = , где р – вероятность удачи, q=1-р, к - число удач в n испытаниях.

В случае стандартного нормального распределения плотность

распределения имеет следующий вид:  (Рис.5)

Нормальное распределение (Рис .5)

Математическим ожидание дискретной случайной ξ величины называют сумму произведений всех её значений на их вероятности:

Дисперсия

Среднее квадратическое отклонение

Пусть ξi(i=1,2,...,п) - нормальные независимые случайные величины, причём математическое ожидание каждой из них равно нулю, а среднее квадратическое отклонение — единице. Тогда сумма квадратов этих величин

распределена по закону  с  n степенями свободы.


Литература. 

  1.  Новиков Д.А. Статистические методы в педагогических исследованиях (типовые случаи). М: МЗ-Пресс, 2004. - 67 с.
  2.  Сидоренко Е. В. Методы математической обработки  в  психологии. – СПб.: ООО «Речь», 2003. – 350 с., ил.
  3.  Грабарь М.И., Краснянская К.А, Применение математической статистики в педагогических исследованиях: Непараметрические методы. М: Педагогика, 1977. - 136 с.
  4.  Гласс Д., Стэнли Д. Статистические методы в педагогике и психологии. М.: Прогресс, 1976. - 495 с.
  5.  Солодовников А. С. Теория вероятностей: Учебное пособие для студентов педагогических институтов по матем. спец. - М.: Просвещение, 1983. 207 с.
  6.  Гмурман В. Е.. Теория вероятностей и математическая статистика: Учеб. пособие для вузов. - Изд. 7-е, стер. - М.: Высш шк., 2001. - 479 с: ил.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

8611. Понятие общественного сознания. Формы и уровни общественного сознания 35 KB
  Понятие общественного сознания. Формы и уровни общественного сознания. Понятие общественного сознания. Общественное сознание - это воззрения людей в их совокупности на явления природы и социальную реальность. Общественное сознание обладае...
8612. Духовная жизнь общества. Формы духовного освоения окружающего мира 29.5 KB
  Духовная жизнь общества. Формы духовного освоения окружающего мира. Духовная жизнь общества. Духовная жизнь человека и человечества - феномен, который, как и культура, отличает их бытие от чисто природного и придает ему социальный характер. Через ду...
8613. Развитие представлений о сущности человека в истории философской мысли. Основные концепции смысла жизни 33 KB
  Развитие представлений о сущности человека в истории философской мысли. Основные концепции смысла жизни. Развитие представлений о сущности человека в истории философской мысли. Рассмотрение человека как особой философской темы отвечает потребности в...
8614. Специфика, структура и мотивы человеческой деятельности 30.5 KB
  Специфика, структура и мотивы человеческой деятельности. Специфика человеческой деятельности. Деятельность можно определить как специфический вид активности человека, направленный на познание и творческое преобразование окружающего мира, включая сам...
8615. Понятие и процесс формирования личности. Социальные роли личности. Свобода и ответственность личности 36 KB
  Понятие и процесс формирования личности. Социальные роли личности. Свобода и ответственность личности. Понятие и процесс формирования личности. Формирование личности, то есть становление социального Я - это процесс взаимодействия с себ...
8616. Социальные функции культуры. Единство и многообразие культур 34.5 KB
  Социальные функции культуры. Единство и многообразие культур. Социальные функции культуры. Функции культуры - совокупность ролей, которые выполняет культура по отношению к сообществу людей, порождающих и использующих (практикующих) ее в своих и...
8617. Будущее как философская проблема 32.5 KB
  Будущее как философская проблема. Будущее человечества - это не аморфное и неопределенное грядущее, без каких-либо временных рамок и пространственных границ, в котором может произойти все, что подскажет фантазия. Научное предвидение и социальное про...
8618. Міжнародне економічне право. Конспект лекцій 935.5 KB
  Конспект лекцій з дисципліни Міжнародне економічне право для студентів освітньо-кваліфікаційного рівня магістр напряму підготовки 8.03040101 Правознавство / Укладач: Саєнко Б.Є. - Донецьк: ДонДУУ, 2011 Містить тематичний план, плани семінар...
8619. Конспект лекцій з менеджменту 608.5 KB
  Процеси глобалізації у світовій економіці, поглиблення поділу праці між країнами, формування сучасних організацій (транснаціональних корпорацій, холдингових компаній, промислово...