84838

Исследование функций. Возрастание и убывание функций

Лекция

Математика и математический анализ

Такие функции называют монотонными в интервале а b. Точка называется точкой максимума функции у = f x если cуществует такая окрестность точки что для всех из этой окрестности выполняется неравенство fx f. Точка называется точкой минимума функции у = f x если cуществует такая окрестность...

Русский

2015-03-22

65.09 KB

0 чел.

Лекция 8

Исследование функций

8.1. Возрастание и убывание функций

Функция называется неубывающей (возрастающей) в интервале (а, b), если для любых из этого интервала выполняется неравенство (). Если  (), то такая функция называется невозрастающей (убывающей) в (а, b). Такие функции называют монотонными в интервале (а, b).

Теорема. 1) Если функция f (x) имеет производную на отрезке [a, b] и возрастает на этом отрезке, то ее производная на этом отрезке неотрицательна, т.е. f (x)  0.

2) Если функция  f (x)  непрерывна на отрезке   [a,b]  и дифференцируема в промежутке (а, b), причем  f(x) > 0 для a < x < b, то эта функция возрастает на отрезке [a, b].

Если функция  f(x)  убывает на отрезке [a, b], то f(x)  0 на этом отрезке. Если f(x) < 0 в промежутке (а, b),  то f(x)   убывает на отрезке [a,b] .

8.2. Максимум и минимум функций. Необходимые и   достаточные условия существования экстремума

Определение. Точка называется  точкой максимума функции  у =  f (x),    если  

cуществует такая окрестность точки ,  что для всех  из этой окрестности выполняется неравенство  f(x)  <  f().    

Определение. Точка называется  точкой минимума функции  у =  f( x),    если  

cуществует такая окрестность точки,  что для всех  из этой окрестности выполняется неравенство    f (x)  >  f ().     

Значение функции в точке максимума (минимума) называется   максимумом  

(минимумом) функции. Максимум  (минимумом) функции называется  экстремумом функции.

Теорема 1 (необходимое условие существования экстремума). Если дифференцируемая  функция у =   f(x)  имеет экстремум в точке, то ее производная  в этой точке равна  нулю:   f () = 0.

Обратное утверждение к этой теореме не верно.

Определение. Критическими точками функции называются точки, в которых производная функции не существует или равна нулю.

Теорема 2 (достаточные условия существования экстремума). Пусть функция  f (x) непрерывна в интервале (а, b),  который содержит критическую точку , и дифференцируема во всех точках этого интервала (кроме, может быть, самой точки ). Если при переходе через точку слева направо производная функции f (x) меняет знак с плюса  на минус, то в точке функция  f (x)  имеет максимум,  если же производная меняет знак с  минуса   на плюс, то функция имеет в этой точке минимум,  если же производная  знака  не меняет, то в точке   экстремума не существует.

Исследование функции на экстремум с помощью   производных высших порядков.

Теорема 3.    Пусть в точке   первая производная функции   f (x) равна нулю

(f () = 0), а вторая  производная  в точке  существует и отлична от нуля (), то при  в точке  функция  имеет максимум и минимум – при .

8.3. Выпуклость и вогнутость кривой.  Точки перегиба

Рассмотрим на плоскости кривую  , являющуюся графиком дифференцируемой функции .

Определение.  Мы говорим, что кривая обращена выпуклостью вверх на интервале (а, b), если все  точки кривой лежат ниже любой ее касательной на этом интервале.

Определение.  Мы говорим, что кривая обращена выпуклостью вниз на интервале (b, с), если все  точки кривой лежат выше  любой ее касательной на этом интервале.

Кривую, обращенную выпуклостью вверх, будем называть  выпуклой, а  обращенную выпуклостью вниз –  вогнутой.

                                                         у

    а   в  с      x

                                                                                                                                                                                                                                               

Рис.1

На рисунке 1 показана кривая, выпуклая на интервале (а, b) и вогнутая  на интервале (b, с).

Теорема 1.  Если во всех точках интервала (a, b) вторая производная функции f (x) отрицательна, т.е. ,  то кривая y = f (x) на этом интервале обращена выпуклостью вверх (кривая выпукла).

Теорема 1.  Если во всех точках интервала (b, с) вторая производная функции

f (x) положительна, т.е. ,  то кривая y = f (x) на этом интервале обращена выпуклостью вниз  (кривая вогнута).

Определение. Точка, отделяющая выпуклую часть кривой от вогнутой, называется точкой перегиба кривой.

Очевидно, что в точке перегиба касательная пересекает кривую.

Теорема 2. Пусть кривая определяется уравнением . Если  вторая производная f (a) = 0 или f (a) не существует и при переходе через точку х = а производная  f(x) меняет знак, то точка кривой с абсциссой х = а является точкой перегиба.

 

8.4. Асимптоты графика функции

Определение. Прямая l называется асимптотой кривой, если расстояние от переменной точки M кривой до этой прямой при удалении точки в бесконечность стремится к нулю.

Асимптоты  функции делятся на два вида:

  1.  вертикальные асимптоты, т.е. прямые, параллельные оси ; они имеют уравнения вида    х = а;
  2.  наклонные асимптоты, т.е. прямые, не параллельные оси ; они имеют уравнения вида y = kx + b.

Теорема о вертикальной асимптоте. Прямая х = а является вертикальной асимптотой функции только в том случае, когда , или .

Теорема о наклонной асимптоте.  Прямая является наклонной асимптотой графика функции  при   только в том случае, когда существуют (конечные) пределы

    и    .

8.5. Общая схема исследования функции и построения графика 

Исследование функции целесообразно проводить в следующем порядке.

1)  Найти область определения функции.

2)  Найти точки разрыва функции и асимптоты графика функции.

3)  Выяснить является ли функция четной, нечетной, периодической.

4)  Найти точки пересечения графика с осями координат.

5)  Найти интервалы монотонности функции и экстремумы функции.

6)  Найти интервал выпуклости и вогнутости функции, точки перегиба.

7)  Построить график функции.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

84818. Особенности учета уставного капитала и учета расчетов с учредителями 78.3 KB
  Организация грамотного учета уставного капитала в современных условиях является весьма актуальной проблемой для многих предприятий ввиду постоянно изменяющейся законодательной базы в этой области а также целого ряда особенностей учета уставного капитала существуют различные трудности и проблемы в бухгалтерском...
84819. Расчет числа и порядка укладки укороченных рельсов на внутренних нитях кривых 2.5 MB
  Железнодорожные пути делятся на главные, станционные и специального назначения. Главные пути — это пути, соединяющие станции или другие раздельные пункты. К станционным относятся: приёмо-отправочные, сортировочные, вытяжные, погрузочно-выгрузочные, ходовые, соедини-тельные и др.
84820. Рекомендации по совершенствованию реализации функций контроля и регулирования на «Хлебозаводе №6» 87.2 KB
  Цель курсовой работы: закрепить знания по менеджменту, а именно в части контроля и регулирования в управлении предприятием. Поэтому основные задачи: рассмотреть понятия, факторы, характеристики контроля; проанализировать контроль и регулирование на конкретном предприятии.
84821. Анализ затрат на производство продукции 162.34 KB
  В работе анализируется динамика объёма производства в натуральном и стоимостном выражении сезонные колебания факторный анализ анализ динамики производства анализ структуры и динамики затрат на производство продукции.
84822. Расходы предприятия. Пути сокращения расходов предприятия 4.23 MB
  Экономика предприятия есть обобщенный экономический результат его деятельности как за прошлый, так и за данный период времени, находящий свое выражение в имуществе, в денежных, материальных и интеллектуальных ресурсах на каждый данный рассматриваемый период времени.
84823. Оценка и планирование внешнеэкономической деятельности и ценообразование на импортную продукцию 1.33 MB
  С целью стабильности и высокой эффективности своей хозяйственной деятельности каждая фирма планируя приобрести необходимую продукцию за рубежом должна предварительно изучить всю публикуемую информацию о ценовой и технической характеристиках данной продукции степень насыщенности рынка...
84825. Українська термінологія у професійному спілкуванні 529 KB
  Термінологія - це не хаотична сукупність слів, а організована на логічному й мовному рівні система спеціальних назв. Науку, що вивчає термінологію, називають термінознавством. Біля витоків творення української термінології стояли науковці І. Верхратський, В. Левицький, О. Курило...
84826. Сущность банковских рисков, измерение и прогнозирование основных банковских рисков 169.5 KB
  Анализ операционного риска банка. Банковский риск -– это возможность вероятность финансовых потерь и или ухудшения ликвидности банка вследствие наступления неблагоприятных событий связанных с внутренними и или внешними факторами влияющими на деятельность банка.