84838

Исследование функций. Возрастание и убывание функций

Лекция

Математика и математический анализ

Такие функции называют монотонными в интервале а b. Точка называется точкой максимума функции у = f x если cуществует такая окрестность точки что для всех из этой окрестности выполняется неравенство fx f. Точка называется точкой минимума функции у = f x если cуществует такая окрестность...

Русский

2015-03-22

65.09 KB

1 чел.

Лекция 8

Исследование функций

8.1. Возрастание и убывание функций

Функция называется неубывающей (возрастающей) в интервале (а, b), если для любых из этого интервала выполняется неравенство (). Если  (), то такая функция называется невозрастающей (убывающей) в (а, b). Такие функции называют монотонными в интервале (а, b).

Теорема. 1) Если функция f (x) имеет производную на отрезке [a, b] и возрастает на этом отрезке, то ее производная на этом отрезке неотрицательна, т.е. f (x)  0.

2) Если функция  f (x)  непрерывна на отрезке   [a,b]  и дифференцируема в промежутке (а, b), причем  f(x) > 0 для a < x < b, то эта функция возрастает на отрезке [a, b].

Если функция  f(x)  убывает на отрезке [a, b], то f(x)  0 на этом отрезке. Если f(x) < 0 в промежутке (а, b),  то f(x)   убывает на отрезке [a,b] .

8.2. Максимум и минимум функций. Необходимые и   достаточные условия существования экстремума

Определение. Точка называется  точкой максимума функции  у =  f (x),    если  

cуществует такая окрестность точки ,  что для всех  из этой окрестности выполняется неравенство  f(x)  <  f().    

Определение. Точка называется  точкой минимума функции  у =  f( x),    если  

cуществует такая окрестность точки,  что для всех  из этой окрестности выполняется неравенство    f (x)  >  f ().     

Значение функции в точке максимума (минимума) называется   максимумом  

(минимумом) функции. Максимум  (минимумом) функции называется  экстремумом функции.

Теорема 1 (необходимое условие существования экстремума). Если дифференцируемая  функция у =   f(x)  имеет экстремум в точке, то ее производная  в этой точке равна  нулю:   f () = 0.

Обратное утверждение к этой теореме не верно.

Определение. Критическими точками функции называются точки, в которых производная функции не существует или равна нулю.

Теорема 2 (достаточные условия существования экстремума). Пусть функция  f (x) непрерывна в интервале (а, b),  который содержит критическую точку , и дифференцируема во всех точках этого интервала (кроме, может быть, самой точки ). Если при переходе через точку слева направо производная функции f (x) меняет знак с плюса  на минус, то в точке функция  f (x)  имеет максимум,  если же производная меняет знак с  минуса   на плюс, то функция имеет в этой точке минимум,  если же производная  знака  не меняет, то в точке   экстремума не существует.

Исследование функции на экстремум с помощью   производных высших порядков.

Теорема 3.    Пусть в точке   первая производная функции   f (x) равна нулю

(f () = 0), а вторая  производная  в точке  существует и отлична от нуля (), то при  в точке  функция  имеет максимум и минимум – при .

8.3. Выпуклость и вогнутость кривой.  Точки перегиба

Рассмотрим на плоскости кривую  , являющуюся графиком дифференцируемой функции .

Определение.  Мы говорим, что кривая обращена выпуклостью вверх на интервале (а, b), если все  точки кривой лежат ниже любой ее касательной на этом интервале.

Определение.  Мы говорим, что кривая обращена выпуклостью вниз на интервале (b, с), если все  точки кривой лежат выше  любой ее касательной на этом интервале.

Кривую, обращенную выпуклостью вверх, будем называть  выпуклой, а  обращенную выпуклостью вниз –  вогнутой.

                                                         у

    а   в  с      x

                                                                                                                                                                                                                                               

Рис.1

На рисунке 1 показана кривая, выпуклая на интервале (а, b) и вогнутая  на интервале (b, с).

Теорема 1.  Если во всех точках интервала (a, b) вторая производная функции f (x) отрицательна, т.е. ,  то кривая y = f (x) на этом интервале обращена выпуклостью вверх (кривая выпукла).

Теорема 1.  Если во всех точках интервала (b, с) вторая производная функции

f (x) положительна, т.е. ,  то кривая y = f (x) на этом интервале обращена выпуклостью вниз  (кривая вогнута).

Определение. Точка, отделяющая выпуклую часть кривой от вогнутой, называется точкой перегиба кривой.

Очевидно, что в точке перегиба касательная пересекает кривую.

Теорема 2. Пусть кривая определяется уравнением . Если  вторая производная f (a) = 0 или f (a) не существует и при переходе через точку х = а производная  f(x) меняет знак, то точка кривой с абсциссой х = а является точкой перегиба.

 

8.4. Асимптоты графика функции

Определение. Прямая l называется асимптотой кривой, если расстояние от переменной точки M кривой до этой прямой при удалении точки в бесконечность стремится к нулю.

Асимптоты  функции делятся на два вида:

  1.  вертикальные асимптоты, т.е. прямые, параллельные оси ; они имеют уравнения вида    х = а;
  2.  наклонные асимптоты, т.е. прямые, не параллельные оси ; они имеют уравнения вида y = kx + b.

Теорема о вертикальной асимптоте. Прямая х = а является вертикальной асимптотой функции только в том случае, когда , или .

Теорема о наклонной асимптоте.  Прямая является наклонной асимптотой графика функции  при   только в том случае, когда существуют (конечные) пределы

    и    .

8.5. Общая схема исследования функции и построения графика 

Исследование функции целесообразно проводить в следующем порядке.

1)  Найти область определения функции.

2)  Найти точки разрыва функции и асимптоты графика функции.

3)  Выяснить является ли функция четной, нечетной, периодической.

4)  Найти точки пересечения графика с осями координат.

5)  Найти интервалы монотонности функции и экстремумы функции.

6)  Найти интервал выпуклости и вогнутости функции, точки перегиба.

7)  Построить график функции.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

43123. Реконструкция четырехэтажного жилого дома серии 1-447 С-35 451 KB
  Характеристика объёмнопланировочного конструктивного и архитектурнохудожественного решения здания подлежащего реконструкции. Объемно планировочное решение здания и его соответствие нормативным требованиям Конструктивное решение здания и техническое состояние несущих и ограждение элементов Архитектурнохудожественное решение здания его соответствие требованиям предъявляемым к застройке Перечень и содержание мероприятий необходимых при проведении реконструкции здания Объемнопланировочное...
43124. Обработка числовых данных с использованием ППП 101 KB
  Исходные данные представлены в виде ряда чисел, связанных между собой последовательностью Х1-У1, Х2-У2 и т.д. Данные имеют уточнение в два знака после запятой. Все остальные данные, необходимые для выполнения поставленной задачи, рассчитываются в ходе выполнения контрольно - курсовой работы и определяются разработчиком. Так, все необходимые выходные данные будут округлены до целого значения. Промежуточные расчетные данные будем оставлять без изменений (по умолчанию уточнение до четвертого знака после запятой).
43125. Складання кошторису витрат на проведення капітального ремонту фільтр пресу для стічних вод 664.5 KB
  Обладнання на хімічних підприємствах працює, як правило, в особливих умовах: високо агресивні середовища (що викликає корозію), сили тертя та ін.. Режим роботи обладнання дуже напружений ( в дві, три зміни) без зупинок у вихідні та святкові дні. Всі ці умови мають суттєвий вплив на фізичний знос обладнання. Для підтримання основних виробничих фондів у працездатному стані необхідні повсякденний нагляд, догляд і періодичний їх ремонт. Для попередження передчасного зносу вузлів і агрегатів технічного обладнання ремонтні служби здійснюють технічне обслуговування, планово-попереджувальний ремонт, модернізацію обладнання, часткове виготовлення запасних частин, пристосувань та інструмента, механізацію трудомістких і важких ремонтних робіт.
43126. Система управления процессом врезного шлифования 631.5 KB
  Система управления должна обеспечить на начальном этапе обработки выход режима шлифования без перерегулирования на заданный программный уровень за время tп. Первый этап работы включает в себя расчёт статического режима системы по заданной точности стабилизации выходных величин. Конечной задачей является синтез регулятора частотным методом. На этом этапе коэффициент резания будет считаться величиной постоянной. На втором этапе производится синтез регулятора методом вектора скорости по заданным требованиям к динамике с учётом диапазона и скорости изменения коэффициента резания, который является функцией от времени .
43127. Розробка програми математичний калькулятор на мові Сі++ 376 KB
  Програмування являє собою комплекс по написанню системи програмних кодів, які здійснюватимуть керування тією чи іншою інформаційною системою, взаємодія з якою здійснюється через інформаційні технології.
43128. Проектирование системы телеуправления 296.5 KB
  На выходе шифратора устанавливается двоичнодесятичный код номера объекта. Если все переключатели находятся в положении ВЫКЛ то 1 на выходе E DD1 запретит работу элемента DD2 преобразователя двоичнодесятичного кода в двоичный при этом на выходах DD2 будут все единицы и при нажатии кнопки ПУСК в линию связи уйдёт команда для несуществующего объекта. С нажатием кнопки ПУСК ФКИ выработает импульс 0 который по положительному фронту 1го же импульса ГТИ установит DD13 в 0 е состояние а на его инверсном выходе появится 1 по второму...
43129. Расчет принципиальной тепловой схемы установки К-300-240 ЛМЗ2 517.5 KB
  Основные технические характеристики Номинальная мощность МВт 300 Начальные параметры: давление МПа 235 температура 0С 545 Параметры промежуточного перегрева на выходе из ЧВД: давление МПа 305 температура 0С 284 на входе в ЦСД: давление МПа 275 температура 0С 545 Конечное давление МПа 000366 Число регенеративных отборов 8 Число подогревателей: низкого давления 5 высокого давления 3 Давление в деаэраторе МПа 0685 Температура питательной воды 0С...
43130. Расчет уровеня напряжения на вторичной стороне понижающих трансформаторов с помощью РПН 969.5 KB
  Расчет активной нагрузки трансформатора. Расчет реактивной нагрузки трансформатора. Расчетная нагрузка трансформатора. Выбор трансформатора Вывод: на трансформаторной подстанции установить два трансформатора типа ТМ.
43131. Розробка програми «Кулінарна книга» в середовищі програмування Borland C++ Builder 3.17 MB
  У першій частині «Специфікація проекту» викладено призначення розробки та підстави для її виконання, дана постановка завдання з описом того, що повинна виконувати майбутня програма, описані взаємозв'язки між таблицями і подано фізичний опис моделі. Крім того, розглянуто вимоги до програми і програмної документації. Описані структура програми, тобто використовувані класи і розробляється графічний інтерфейс.