84838

Исследование функций. Возрастание и убывание функций

Лекция

Математика и математический анализ

Такие функции называют монотонными в интервале а b. Точка называется точкой максимума функции у = f x если cуществует такая окрестность точки что для всех из этой окрестности выполняется неравенство fx f. Точка называется точкой минимума функции у = f x если cуществует такая окрестность...

Русский

2015-03-22

65.09 KB

1 чел.

Лекция 8

Исследование функций

8.1. Возрастание и убывание функций

Функция называется неубывающей (возрастающей) в интервале (а, b), если для любых из этого интервала выполняется неравенство (). Если  (), то такая функция называется невозрастающей (убывающей) в (а, b). Такие функции называют монотонными в интервале (а, b).

Теорема. 1) Если функция f (x) имеет производную на отрезке [a, b] и возрастает на этом отрезке, то ее производная на этом отрезке неотрицательна, т.е. f (x)  0.

2) Если функция  f (x)  непрерывна на отрезке   [a,b]  и дифференцируема в промежутке (а, b), причем  f(x) > 0 для a < x < b, то эта функция возрастает на отрезке [a, b].

Если функция  f(x)  убывает на отрезке [a, b], то f(x)  0 на этом отрезке. Если f(x) < 0 в промежутке (а, b),  то f(x)   убывает на отрезке [a,b] .

8.2. Максимум и минимум функций. Необходимые и   достаточные условия существования экстремума

Определение. Точка называется  точкой максимума функции  у =  f (x),    если  

cуществует такая окрестность точки ,  что для всех  из этой окрестности выполняется неравенство  f(x)  <  f().    

Определение. Точка называется  точкой минимума функции  у =  f( x),    если  

cуществует такая окрестность точки,  что для всех  из этой окрестности выполняется неравенство    f (x)  >  f ().     

Значение функции в точке максимума (минимума) называется   максимумом  

(минимумом) функции. Максимум  (минимумом) функции называется  экстремумом функции.

Теорема 1 (необходимое условие существования экстремума). Если дифференцируемая  функция у =   f(x)  имеет экстремум в точке, то ее производная  в этой точке равна  нулю:   f () = 0.

Обратное утверждение к этой теореме не верно.

Определение. Критическими точками функции называются точки, в которых производная функции не существует или равна нулю.

Теорема 2 (достаточные условия существования экстремума). Пусть функция  f (x) непрерывна в интервале (а, b),  который содержит критическую точку , и дифференцируема во всех точках этого интервала (кроме, может быть, самой точки ). Если при переходе через точку слева направо производная функции f (x) меняет знак с плюса  на минус, то в точке функция  f (x)  имеет максимум,  если же производная меняет знак с  минуса   на плюс, то функция имеет в этой точке минимум,  если же производная  знака  не меняет, то в точке   экстремума не существует.

Исследование функции на экстремум с помощью   производных высших порядков.

Теорема 3.    Пусть в точке   первая производная функции   f (x) равна нулю

(f () = 0), а вторая  производная  в точке  существует и отлична от нуля (), то при  в точке  функция  имеет максимум и минимум – при .

8.3. Выпуклость и вогнутость кривой.  Точки перегиба

Рассмотрим на плоскости кривую  , являющуюся графиком дифференцируемой функции .

Определение.  Мы говорим, что кривая обращена выпуклостью вверх на интервале (а, b), если все  точки кривой лежат ниже любой ее касательной на этом интервале.

Определение.  Мы говорим, что кривая обращена выпуклостью вниз на интервале (b, с), если все  точки кривой лежат выше  любой ее касательной на этом интервале.

Кривую, обращенную выпуклостью вверх, будем называть  выпуклой, а  обращенную выпуклостью вниз –  вогнутой.

                                                         у

    а   в  с      x

                                                                                                                                                                                                                                               

Рис.1

На рисунке 1 показана кривая, выпуклая на интервале (а, b) и вогнутая  на интервале (b, с).

Теорема 1.  Если во всех точках интервала (a, b) вторая производная функции f (x) отрицательна, т.е. ,  то кривая y = f (x) на этом интервале обращена выпуклостью вверх (кривая выпукла).

Теорема 1.  Если во всех точках интервала (b, с) вторая производная функции

f (x) положительна, т.е. ,  то кривая y = f (x) на этом интервале обращена выпуклостью вниз  (кривая вогнута).

Определение. Точка, отделяющая выпуклую часть кривой от вогнутой, называется точкой перегиба кривой.

Очевидно, что в точке перегиба касательная пересекает кривую.

Теорема 2. Пусть кривая определяется уравнением . Если  вторая производная f (a) = 0 или f (a) не существует и при переходе через точку х = а производная  f(x) меняет знак, то точка кривой с абсциссой х = а является точкой перегиба.

 

8.4. Асимптоты графика функции

Определение. Прямая l называется асимптотой кривой, если расстояние от переменной точки M кривой до этой прямой при удалении точки в бесконечность стремится к нулю.

Асимптоты  функции делятся на два вида:

  1.  вертикальные асимптоты, т.е. прямые, параллельные оси ; они имеют уравнения вида    х = а;
  2.  наклонные асимптоты, т.е. прямые, не параллельные оси ; они имеют уравнения вида y = kx + b.

Теорема о вертикальной асимптоте. Прямая х = а является вертикальной асимптотой функции только в том случае, когда , или .

Теорема о наклонной асимптоте.  Прямая является наклонной асимптотой графика функции  при   только в том случае, когда существуют (конечные) пределы

    и    .

8.5. Общая схема исследования функции и построения графика 

Исследование функции целесообразно проводить в следующем порядке.

1)  Найти область определения функции.

2)  Найти точки разрыва функции и асимптоты графика функции.

3)  Выяснить является ли функция четной, нечетной, периодической.

4)  Найти точки пересечения графика с осями координат.

5)  Найти интервалы монотонности функции и экстремумы функции.

6)  Найти интервал выпуклости и вогнутости функции, точки перегиба.

7)  Построить график функции.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

76383. Основания приобретения гражданства 34.5 KB
  Основания приобретения гражданства РФ: 1 по рождению; 2 в результате приема в гражданство РФ; 3 в результате восстановления в гражданстве РФ; 4 по иным основаниям. По рождению гражданство приобретается если на день рождения ребенка: 1 оба его родителя или единственный его родитель являются гражданами РФ; 2 один из его родителей имеет гражданство РФ а другой родитель является лицом без гражданства или признан безвестно отсутствующим или место его нахождения неизвестно; 3 один из его родителей имеет гражданство РФ а другой родитель...
76384. Основаяния и порядок прекращения гражданства 35 KB
  Основания и порядок прекращения гражданства. Основания прекращения гражданства РФ: 1 выход из гражданства РФ; 2 иные основания предусмотренные федеральным законодательством или международными договорами РФ. Выход из гражданства РФ свободное волеизъявление гражданина РФ. Выход их гражданства РФ осуществляется на основании заявления гражданина РФ если он постоянно проживает на территории.
76385. Основания прекращения полномочий Президента. Процедура отрешения его от должности 32 KB
  Основания прекращения полномочий Президента. 92 предусматривает несколько оснований прекращения полномочий Президента РФ. Полномочия Президента РФ могут быть прекращены досрочно: 1 по инициативе самого Президента РФ в случае его отставки; 2 по не зависящим от воли Президента РФ причинам в случае.стойкой неспособности Президента РФ по состоянию здоровья осуществлять принадлежащие ему полномочия; 3 по инициативе Федерального Собрания в случае принятия им решения об отрешении Президента РФ от должности.
76386. Администрация Президента РФ 38 KB
  Администрация формируется в целях: обеспечения реализации Президентом Российской Федерации полномочий главы государства; осуществления контроля за исполнением решений Президента Российской Федерации; подготовки предложений Президенту Российской Федерации о мерах направленных на охрану суверенитета Российской Федерации ее независимости и государственной целостности; разработки общей стратегии внешней политики Российской Федерации обеспечения реализации Президентом Российской Федерации его полномочий по руководству внешней политикой...
76390. Конституционный Суд РФ. Полномочия судьи Конституционного Суда Российской Федерации 57 KB
  Конституционный Суд Российской Федерации состоит из девятнадцати судей назначаемых на должность Советом Федерации по представлению Президента Российской Федерации. Конституционный Суд Российской Федерации вправе осуществлять свою деятельность при наличии в его составе не менее трех четвертей от общего числа судей. Полномочия Конституционного Суда Российской Федерации не ограничены определенным сроком. Конституционный Суд Российской Федерации рассматривает и разрешает дела в пленарных заседаниях и заседаниях палат Конституционного Суда...