84838

Исследование функций. Возрастание и убывание функций

Лекция

Математика и математический анализ

Такие функции называют монотонными в интервале а b. Точка называется точкой максимума функции у = f x если cуществует такая окрестность точки что для всех из этой окрестности выполняется неравенство fx f. Точка называется точкой минимума функции у = f x если cуществует такая окрестность...

Русский

2015-03-22

65.09 KB

1 чел.

Лекция 8

Исследование функций

8.1. Возрастание и убывание функций

Функция называется неубывающей (возрастающей) в интервале (а, b), если для любых из этого интервала выполняется неравенство (). Если  (), то такая функция называется невозрастающей (убывающей) в (а, b). Такие функции называют монотонными в интервале (а, b).

Теорема. 1) Если функция f (x) имеет производную на отрезке [a, b] и возрастает на этом отрезке, то ее производная на этом отрезке неотрицательна, т.е. f (x)  0.

2) Если функция  f (x)  непрерывна на отрезке   [a,b]  и дифференцируема в промежутке (а, b), причем  f(x) > 0 для a < x < b, то эта функция возрастает на отрезке [a, b].

Если функция  f(x)  убывает на отрезке [a, b], то f(x)  0 на этом отрезке. Если f(x) < 0 в промежутке (а, b),  то f(x)   убывает на отрезке [a,b] .

8.2. Максимум и минимум функций. Необходимые и   достаточные условия существования экстремума

Определение. Точка называется  точкой максимума функции  у =  f (x),    если  

cуществует такая окрестность точки ,  что для всех  из этой окрестности выполняется неравенство  f(x)  <  f().    

Определение. Точка называется  точкой минимума функции  у =  f( x),    если  

cуществует такая окрестность точки,  что для всех  из этой окрестности выполняется неравенство    f (x)  >  f ().     

Значение функции в точке максимума (минимума) называется   максимумом  

(минимумом) функции. Максимум  (минимумом) функции называется  экстремумом функции.

Теорема 1 (необходимое условие существования экстремума). Если дифференцируемая  функция у =   f(x)  имеет экстремум в точке, то ее производная  в этой точке равна  нулю:   f () = 0.

Обратное утверждение к этой теореме не верно.

Определение. Критическими точками функции называются точки, в которых производная функции не существует или равна нулю.

Теорема 2 (достаточные условия существования экстремума). Пусть функция  f (x) непрерывна в интервале (а, b),  который содержит критическую точку , и дифференцируема во всех точках этого интервала (кроме, может быть, самой точки ). Если при переходе через точку слева направо производная функции f (x) меняет знак с плюса  на минус, то в точке функция  f (x)  имеет максимум,  если же производная меняет знак с  минуса   на плюс, то функция имеет в этой точке минимум,  если же производная  знака  не меняет, то в точке   экстремума не существует.

Исследование функции на экстремум с помощью   производных высших порядков.

Теорема 3.    Пусть в точке   первая производная функции   f (x) равна нулю

(f () = 0), а вторая  производная  в точке  существует и отлична от нуля (), то при  в точке  функция  имеет максимум и минимум – при .

8.3. Выпуклость и вогнутость кривой.  Точки перегиба

Рассмотрим на плоскости кривую  , являющуюся графиком дифференцируемой функции .

Определение.  Мы говорим, что кривая обращена выпуклостью вверх на интервале (а, b), если все  точки кривой лежат ниже любой ее касательной на этом интервале.

Определение.  Мы говорим, что кривая обращена выпуклостью вниз на интервале (b, с), если все  точки кривой лежат выше  любой ее касательной на этом интервале.

Кривую, обращенную выпуклостью вверх, будем называть  выпуклой, а  обращенную выпуклостью вниз –  вогнутой.

                                                         у

    а   в  с      x

                                                                                                                                                                                                                                               

Рис.1

На рисунке 1 показана кривая, выпуклая на интервале (а, b) и вогнутая  на интервале (b, с).

Теорема 1.  Если во всех точках интервала (a, b) вторая производная функции f (x) отрицательна, т.е. ,  то кривая y = f (x) на этом интервале обращена выпуклостью вверх (кривая выпукла).

Теорема 1.  Если во всех точках интервала (b, с) вторая производная функции

f (x) положительна, т.е. ,  то кривая y = f (x) на этом интервале обращена выпуклостью вниз  (кривая вогнута).

Определение. Точка, отделяющая выпуклую часть кривой от вогнутой, называется точкой перегиба кривой.

Очевидно, что в точке перегиба касательная пересекает кривую.

Теорема 2. Пусть кривая определяется уравнением . Если  вторая производная f (a) = 0 или f (a) не существует и при переходе через точку х = а производная  f(x) меняет знак, то точка кривой с абсциссой х = а является точкой перегиба.

 

8.4. Асимптоты графика функции

Определение. Прямая l называется асимптотой кривой, если расстояние от переменной точки M кривой до этой прямой при удалении точки в бесконечность стремится к нулю.

Асимптоты  функции делятся на два вида:

  1.  вертикальные асимптоты, т.е. прямые, параллельные оси ; они имеют уравнения вида    х = а;
  2.  наклонные асимптоты, т.е. прямые, не параллельные оси ; они имеют уравнения вида y = kx + b.

Теорема о вертикальной асимптоте. Прямая х = а является вертикальной асимптотой функции только в том случае, когда , или .

Теорема о наклонной асимптоте.  Прямая является наклонной асимптотой графика функции  при   только в том случае, когда существуют (конечные) пределы

    и    .

8.5. Общая схема исследования функции и построения графика 

Исследование функции целесообразно проводить в следующем порядке.

1)  Найти область определения функции.

2)  Найти точки разрыва функции и асимптоты графика функции.

3)  Выяснить является ли функция четной, нечетной, периодической.

4)  Найти точки пересечения графика с осями координат.

5)  Найти интервалы монотонности функции и экстремумы функции.

6)  Найти интервал выпуклости и вогнутости функции, точки перегиба.

7)  Построить график функции.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

23718. Значение выражения 66 KB
  Какие выражения ещё мы учились составлять и записывать Буквенные выражения. Сегодня на уроке мы продолжим работать с буквенными выражениями. Как вы думаете что можно делать с буквенными выражениями Находить их значения.
23719. Метод весов 52.5 KB
  Решите уравнение: а методом проб и ошибок; б методом перебора: 3. Решите уравнение: 3а 33 = 8а 8 3. Чем отличается это уравнение от уравнений которые решали раньше В этом уравнении переменная стоит в обеих частях уравнения. Как же быть Надо найти способ который позволит решить такое уравнение.
23720. Метод перебора 76.5 KB
  Установите закономерность и продолжите ряд на три числа. Что вы можете сказать о множителях в произведении Они являются делителями числа 252 252 делится на x и на y. x 1y 6 = 252 Что вы можете сказать о втором уравнении Множители во втором уравнении являются делителями числа 252. Что вы можете сказать о корнях первого и второго уравнения Одни и те же числа.
23721. Метод весов 45.5 KB
  Что интересного вы можете рассказать о полученном ряде чисел Назовите самое большое число из данного ряда. 109 Назовите самое маленькое число из этого ряда. Замените число 25 суммой разрядных слагаемых разными способами. Вспомните как была построена математическая модель 10х y = xy 52 для задачи 5: Задумано двузначное число которое на 52 больше суммы своих цифр.
23722. Метод проб и ошибок 61 KB
  Какие уравнения мы учились решать на прошлом уроке Уравнения вида x аx = b Что мы использовали при решении уравнений Свойства чисел. Какие уравнения мы ещё получали при переводе текста задачи на математический язык Уравнения вида: x x а = b. Подберите корень уравнения: Объясните способ решения который вы использовали. А есть ли у этого уравнения другие корни 3.
23723. Метод проб и ошибок 69.5 KB
  Основная цель: 1 Тренировать способность к использованию метода проб и ошибок для решения уравнений. Какие уравнения мы учились решать на прошлом уроке Уравнения вида x x а = b Что мы использовали при решении уравнений Метод проб и ошибок. Сегодня мы на уроке проанализируем на сколько хорошо вы усвоили метод проб и ошибок.
23724. Перевод условия задачи на математический язык 55 KB
  Обозначим за x площадь третьей комнаты. Вторая на 3 м2 больше третьей значит её площадь равна x 3 м2. Первая комната в 2 раза меньше второй чтобы найти её площадь надо площадь второй комнаты разделить на 2 т. Общая площадь трёх комнат 42 м2.
23725. Перевод условия задачи на математический язык 53 KB
  Длина в м Ширина в м Площадь в м2 В классе даются разные ответы возможно кто то из учащихся совсем не сможет выполнить задание. Почему в классе разные результаты Что общего и чем отличается данная задача от тех которые мы решали на прошлом уроке Общее то что в этой задаче неизвестна ни длина ни ширина прямоугольника а только известно что длина на 3 м больше ширины а отличаются эти задачи схемой для данной задачи схемой будет таблица. Возможны варианты: Длина в м Ширина в м Площадь в м2 x 3 x xx 3 или 70...
23726. Построение моделей текстовых задач. Перевод условия задачи на математический язык 58.5 KB
  Количество детей в одном автобусе Количество автобусов Общее количество детей Большие автобусы Маленькие автобусы 3. Какую формулу нужно использовать для выполнения задания Чтобы найти сколько всего человек поехало на экскурсию надо количество людей в одном автобусе умножить на количество автобусов т. Количество детей в одном автобусе Количество автобусов Общее количество детей Большие автобусы x 6 y 1 x 6y 1 или 252 Маленькие автобусы x y xy или 252 Работу можно организовать в группах или используя подводящий диалог. ...