84838

Исследование функций. Возрастание и убывание функций

Лекция

Математика и математический анализ

Такие функции называют монотонными в интервале а b. Точка называется точкой максимума функции у = f x если cуществует такая окрестность точки что для всех из этой окрестности выполняется неравенство fx f. Точка называется точкой минимума функции у = f x если cуществует такая окрестность...

Русский

2015-03-22

65.09 KB

1 чел.

Лекция 8

Исследование функций

8.1. Возрастание и убывание функций

Функция называется неубывающей (возрастающей) в интервале (а, b), если для любых из этого интервала выполняется неравенство (). Если  (), то такая функция называется невозрастающей (убывающей) в (а, b). Такие функции называют монотонными в интервале (а, b).

Теорема. 1) Если функция f (x) имеет производную на отрезке [a, b] и возрастает на этом отрезке, то ее производная на этом отрезке неотрицательна, т.е. f (x)  0.

2) Если функция  f (x)  непрерывна на отрезке   [a,b]  и дифференцируема в промежутке (а, b), причем  f(x) > 0 для a < x < b, то эта функция возрастает на отрезке [a, b].

Если функция  f(x)  убывает на отрезке [a, b], то f(x)  0 на этом отрезке. Если f(x) < 0 в промежутке (а, b),  то f(x)   убывает на отрезке [a,b] .

8.2. Максимум и минимум функций. Необходимые и   достаточные условия существования экстремума

Определение. Точка называется  точкой максимума функции  у =  f (x),    если  

cуществует такая окрестность точки ,  что для всех  из этой окрестности выполняется неравенство  f(x)  <  f().    

Определение. Точка называется  точкой минимума функции  у =  f( x),    если  

cуществует такая окрестность точки,  что для всех  из этой окрестности выполняется неравенство    f (x)  >  f ().     

Значение функции в точке максимума (минимума) называется   максимумом  

(минимумом) функции. Максимум  (минимумом) функции называется  экстремумом функции.

Теорема 1 (необходимое условие существования экстремума). Если дифференцируемая  функция у =   f(x)  имеет экстремум в точке, то ее производная  в этой точке равна  нулю:   f () = 0.

Обратное утверждение к этой теореме не верно.

Определение. Критическими точками функции называются точки, в которых производная функции не существует или равна нулю.

Теорема 2 (достаточные условия существования экстремума). Пусть функция  f (x) непрерывна в интервале (а, b),  который содержит критическую точку , и дифференцируема во всех точках этого интервала (кроме, может быть, самой точки ). Если при переходе через точку слева направо производная функции f (x) меняет знак с плюса  на минус, то в точке функция  f (x)  имеет максимум,  если же производная меняет знак с  минуса   на плюс, то функция имеет в этой точке минимум,  если же производная  знака  не меняет, то в точке   экстремума не существует.

Исследование функции на экстремум с помощью   производных высших порядков.

Теорема 3.    Пусть в точке   первая производная функции   f (x) равна нулю

(f () = 0), а вторая  производная  в точке  существует и отлична от нуля (), то при  в точке  функция  имеет максимум и минимум – при .

8.3. Выпуклость и вогнутость кривой.  Точки перегиба

Рассмотрим на плоскости кривую  , являющуюся графиком дифференцируемой функции .

Определение.  Мы говорим, что кривая обращена выпуклостью вверх на интервале (а, b), если все  точки кривой лежат ниже любой ее касательной на этом интервале.

Определение.  Мы говорим, что кривая обращена выпуклостью вниз на интервале (b, с), если все  точки кривой лежат выше  любой ее касательной на этом интервале.

Кривую, обращенную выпуклостью вверх, будем называть  выпуклой, а  обращенную выпуклостью вниз –  вогнутой.

                                                         у

    а   в  с      x

                                                                                                                                                                                                                                               

Рис.1

На рисунке 1 показана кривая, выпуклая на интервале (а, b) и вогнутая  на интервале (b, с).

Теорема 1.  Если во всех точках интервала (a, b) вторая производная функции f (x) отрицательна, т.е. ,  то кривая y = f (x) на этом интервале обращена выпуклостью вверх (кривая выпукла).

Теорема 1.  Если во всех точках интервала (b, с) вторая производная функции

f (x) положительна, т.е. ,  то кривая y = f (x) на этом интервале обращена выпуклостью вниз  (кривая вогнута).

Определение. Точка, отделяющая выпуклую часть кривой от вогнутой, называется точкой перегиба кривой.

Очевидно, что в точке перегиба касательная пересекает кривую.

Теорема 2. Пусть кривая определяется уравнением . Если  вторая производная f (a) = 0 или f (a) не существует и при переходе через точку х = а производная  f(x) меняет знак, то точка кривой с абсциссой х = а является точкой перегиба.

 

8.4. Асимптоты графика функции

Определение. Прямая l называется асимптотой кривой, если расстояние от переменной точки M кривой до этой прямой при удалении точки в бесконечность стремится к нулю.

Асимптоты  функции делятся на два вида:

  1.  вертикальные асимптоты, т.е. прямые, параллельные оси ; они имеют уравнения вида    х = а;
  2.  наклонные асимптоты, т.е. прямые, не параллельные оси ; они имеют уравнения вида y = kx + b.

Теорема о вертикальной асимптоте. Прямая х = а является вертикальной асимптотой функции только в том случае, когда , или .

Теорема о наклонной асимптоте.  Прямая является наклонной асимптотой графика функции  при   только в том случае, когда существуют (конечные) пределы

    и    .

8.5. Общая схема исследования функции и построения графика 

Исследование функции целесообразно проводить в следующем порядке.

1)  Найти область определения функции.

2)  Найти точки разрыва функции и асимптоты графика функции.

3)  Выяснить является ли функция четной, нечетной, периодической.

4)  Найти точки пересечения графика с осями координат.

5)  Найти интервалы монотонности функции и экстремумы функции.

6)  Найти интервал выпуклости и вогнутости функции, точки перегиба.

7)  Построить график функции.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

83133. Які осінні турботи у людей у містах і селах восени? 93 KB
  Мета: обговорити з учнями, чим займаються люди в місті та селі восени; розвивати логічне мислення; розширювати світогляд; виховати бажання допомагати дорослим. Обладнання: таблиці «Овочі», «Фрукти», «Комахи», оповідання А.М’ясківського «Казка про яблуню».
83134. Які в осені прикмети? Осінні місяці. Творче завдання: складання казки про осінь 102.5 KB
  Мета. Поглиблювати знання учнів про осінні прикмети. З’ясувати походження назв місяців. Розкрити значення понять: рання осінь, золота осінь, підзимок. Виконати творче завдання: скласти казку про осінь. Розвивати логічне мислення, спостережливість, увагу. Захопити дітей красою природи восени.
83135. Алгоритми та виконавці. Стій, готуйсь – командувати буду 190 KB
  Мета. Навчальна. Узагальнити та закріпити знання учнів про інформаційні процеси. Вчити використовувати на практиці здобуті знання, вміння та навички, методи роботи з алгоритмами. Розвивальна. Розвивати алгоритмічне мислення, навички рольової взаємодії та роботи в групах.
83136. Підсумковий урок за темою «Казки народів Європи» 156.5 KB
  Мета: систематизувати знання дітей із розділу «Казки народів Європи», підтримувати інтерес дітей до казки, розвивати пам’ять, спостережливість, уявлення, діалогічне й монологічне мовлення, вміння відтворювати зміст прочитаного, розвивати творчі здібності, уміння перевтілюватися і концентрувати увагу...
83137. Відтворення культурної спадщини українського народу 510.5 KB
  Мета: дати учням уявлення про давні зимові обряди; ознайомити з святами: святого Миколая, Маланки та Василя, Різдва Христового, Водохреща (Йордан); зацікавити учнів народними звичаями, традиціями; збагатити духовний світ дітей; розвивати відчуття святкової піднесеності мовлення...
83138. Інформація. Інформаційні процеси: отримання, зберігання, опрацювання і передавання повідомлень 139.5 KB
  Мета: ознайомити учнів з поняттям інформація з інформаційними процесами: отримання зберігання опрацювання і передавання інформації; розвивати спостережливість пам’ять мову; навички роботи з мишею; виховувати наполегливість у досягненні мети працелюбність інтерес до вивчення інформатики.
83139. Населення Землі. Культура зовнішності людини. Її стиль 166 KB
  Сформувати уявлення про населення Землі про основні раси людей на різних материках; ознайомити дітей із різними стилями зовнішності людини; розвивати вміння визначати стильову єдність одягууважність пізнавальний інтерес; виробляти уміння узагальнювати робити висновки оцінювати результати діяльності...
83140. Создание женского образа «Снежной королевы» с использованием различных элементов прически 4.04 MB
  Актуальностью для данной работы является постоянный интерес парикмахеров и технологов по прическам из длинных волос к разным историческим эпохам, для которых характерно разнообразие элементов причесок, методов и способов их выполнения.
83141. Курсовое проектирование по теории вероятностей, математической статистике и случайным процессам с элементами научно-исследовательской работы студентов 4.56 MB
  Задачи курсового проектирования по конкретной дисциплине, естественно, определяются ее спецификой, однако можно выделить и общие вопросы, не зависящие от предметной области, в том числе такие, как: профессиональная ориентация студента в изучаемых в университете направлениях (на 1 курсе, когда студент выбирает для себя направление бакалавриата)...