84838

Исследование функций. Возрастание и убывание функций

Лекция

Математика и математический анализ

Такие функции называют монотонными в интервале а b. Точка называется точкой максимума функции у = f x если cуществует такая окрестность точки что для всех из этой окрестности выполняется неравенство fx f. Точка называется точкой минимума функции у = f x если cуществует такая окрестность...

Русский

2015-03-22

65.09 KB

1 чел.

Лекция 8

Исследование функций

8.1. Возрастание и убывание функций

Функция называется неубывающей (возрастающей) в интервале (а, b), если для любых из этого интервала выполняется неравенство (). Если  (), то такая функция называется невозрастающей (убывающей) в (а, b). Такие функции называют монотонными в интервале (а, b).

Теорема. 1) Если функция f (x) имеет производную на отрезке [a, b] и возрастает на этом отрезке, то ее производная на этом отрезке неотрицательна, т.е. f (x)  0.

2) Если функция  f (x)  непрерывна на отрезке   [a,b]  и дифференцируема в промежутке (а, b), причем  f(x) > 0 для a < x < b, то эта функция возрастает на отрезке [a, b].

Если функция  f(x)  убывает на отрезке [a, b], то f(x)  0 на этом отрезке. Если f(x) < 0 в промежутке (а, b),  то f(x)   убывает на отрезке [a,b] .

8.2. Максимум и минимум функций. Необходимые и   достаточные условия существования экстремума

Определение. Точка называется  точкой максимума функции  у =  f (x),    если  

cуществует такая окрестность точки ,  что для всех  из этой окрестности выполняется неравенство  f(x)  <  f().    

Определение. Точка называется  точкой минимума функции  у =  f( x),    если  

cуществует такая окрестность точки,  что для всех  из этой окрестности выполняется неравенство    f (x)  >  f ().     

Значение функции в точке максимума (минимума) называется   максимумом  

(минимумом) функции. Максимум  (минимумом) функции называется  экстремумом функции.

Теорема 1 (необходимое условие существования экстремума). Если дифференцируемая  функция у =   f(x)  имеет экстремум в точке, то ее производная  в этой точке равна  нулю:   f () = 0.

Обратное утверждение к этой теореме не верно.

Определение. Критическими точками функции называются точки, в которых производная функции не существует или равна нулю.

Теорема 2 (достаточные условия существования экстремума). Пусть функция  f (x) непрерывна в интервале (а, b),  который содержит критическую точку , и дифференцируема во всех точках этого интервала (кроме, может быть, самой точки ). Если при переходе через точку слева направо производная функции f (x) меняет знак с плюса  на минус, то в точке функция  f (x)  имеет максимум,  если же производная меняет знак с  минуса   на плюс, то функция имеет в этой точке минимум,  если же производная  знака  не меняет, то в точке   экстремума не существует.

Исследование функции на экстремум с помощью   производных высших порядков.

Теорема 3.    Пусть в точке   первая производная функции   f (x) равна нулю

(f () = 0), а вторая  производная  в точке  существует и отлична от нуля (), то при  в точке  функция  имеет максимум и минимум – при .

8.3. Выпуклость и вогнутость кривой.  Точки перегиба

Рассмотрим на плоскости кривую  , являющуюся графиком дифференцируемой функции .

Определение.  Мы говорим, что кривая обращена выпуклостью вверх на интервале (а, b), если все  точки кривой лежат ниже любой ее касательной на этом интервале.

Определение.  Мы говорим, что кривая обращена выпуклостью вниз на интервале (b, с), если все  точки кривой лежат выше  любой ее касательной на этом интервале.

Кривую, обращенную выпуклостью вверх, будем называть  выпуклой, а  обращенную выпуклостью вниз –  вогнутой.

                                                         у

    а   в  с      x

                                                                                                                                                                                                                                               

Рис.1

На рисунке 1 показана кривая, выпуклая на интервале (а, b) и вогнутая  на интервале (b, с).

Теорема 1.  Если во всех точках интервала (a, b) вторая производная функции f (x) отрицательна, т.е. ,  то кривая y = f (x) на этом интервале обращена выпуклостью вверх (кривая выпукла).

Теорема 1.  Если во всех точках интервала (b, с) вторая производная функции

f (x) положительна, т.е. ,  то кривая y = f (x) на этом интервале обращена выпуклостью вниз  (кривая вогнута).

Определение. Точка, отделяющая выпуклую часть кривой от вогнутой, называется точкой перегиба кривой.

Очевидно, что в точке перегиба касательная пересекает кривую.

Теорема 2. Пусть кривая определяется уравнением . Если  вторая производная f (a) = 0 или f (a) не существует и при переходе через точку х = а производная  f(x) меняет знак, то точка кривой с абсциссой х = а является точкой перегиба.

 

8.4. Асимптоты графика функции

Определение. Прямая l называется асимптотой кривой, если расстояние от переменной точки M кривой до этой прямой при удалении точки в бесконечность стремится к нулю.

Асимптоты  функции делятся на два вида:

  1.  вертикальные асимптоты, т.е. прямые, параллельные оси ; они имеют уравнения вида    х = а;
  2.  наклонные асимптоты, т.е. прямые, не параллельные оси ; они имеют уравнения вида y = kx + b.

Теорема о вертикальной асимптоте. Прямая х = а является вертикальной асимптотой функции только в том случае, когда , или .

Теорема о наклонной асимптоте.  Прямая является наклонной асимптотой графика функции  при   только в том случае, когда существуют (конечные) пределы

    и    .

8.5. Общая схема исследования функции и построения графика 

Исследование функции целесообразно проводить в следующем порядке.

1)  Найти область определения функции.

2)  Найти точки разрыва функции и асимптоты графика функции.

3)  Выяснить является ли функция четной, нечетной, периодической.

4)  Найти точки пересечения графика с осями координат.

5)  Найти интервалы монотонности функции и экстремумы функции.

6)  Найти интервал выпуклости и вогнутости функции, точки перегиба.

7)  Построить график функции.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

80818. Понятие экологических правоотношений. Виды, содержание, объекты, субъекты 31.59 KB
  В соответствии с функциями норм права экологические правоотношения формируемые на их основании подразделяются на регулятивные и охранительные. Регулятивные экологические правоотношения направлены на обеспечение развития общественных отношений по природопользованию и охране окружающей среды. Это правоотношения по поводу экологического нормирования экспертизы лицензирования сертификации аудита ведения государственных кадастров природных ресурсов и комплексов мониторинга и др. К охранительным правоотношениям относятся правоотношения по...
80819. МЕХАНИЗМ УПРАВЛЕНИЯ И МЕТОДЫ УПРАВЛЕНЧЕСКОГО ВОЗДЕЙСТВИЯ 44.01 KB
  Механизм управления это совокупность средств и методов воздействия на деятельность людей коллективов. Особенность механизма управления состоит в возможности усиливать или ослаблять влияние средств управления выбирать средства воздействия. Механизм управления: средства управления то с помощью чего можно управлять; методы управления способы приведения рычагов в действие.
80820. СУЩНОСТЬ, ФУНКЦИИ И ПРОЦЕСС УПРАВЛЕНИЯ 45.39 KB
  Успех управления определяется искусством выбора вида воздействия. Рассмотрим подробнее структурносодержательный аспект управления. Сюда относятся: предвидение планирование либо прогнозирование грядущего состояния объекта управления; организация распределение меж работниками функций и задач предоставление им всего нужного для выполнения рабочих заданий; активизация побуждение людей к работе; координирование согласование усилий работников в процессе выполнения работы; регулирование устранение нежелательных отклонений в...
80821. УПРАВЛЕНИЕ ЧЕЛОВЕЧЕСКИМИ РЕСУРСАМИ: СУЩНОСТЬ И СОВРЕМЕННЫЕ ПРОБЛЕМЫ 44.2 KB
  Анализ рынка труда и управление занятостью. Обеспечение рациональных условий труда в том числе благоприятной для каждого человека социальнопсихологической атмосферы. Управление производительностью труда. Объем работ по каждому из перечисленных видов деятельности зависит от следующих факторов: размеры предприятия; характеристики производимой продукции; ситуация на рынке труда; квалификация персонала; степень автоматизации производства; социальнопсихологическая обстановка на предприятии и за его пределами.
80822. МЕТОДЫ И ТЕХНОЛОГИИ ОЦЕНКИ ПЕРСОНАЛА 45.33 KB
  Оценка персонала имеет своей целью изучить степень подготовленности работника к выполнению именно того вида деятельности которым он занимается а также выявить уровень его потенциальных возможностей с целью оценки перспектив роста а также разработки кадровых мероприятий необходимых для достижения целей кадровой политики. Основным требованием при проведении аттестации являются: отделение критики от самой процедуры оценки. Методы оценки по их направленности: 1.
80823. ОСНОВЫ ПЛАНИРОВАНИЯ ЧЕЛОВЕЧЕСКИХ РЕСУРСОВ 46.28 KB
  Кадровое планирование планирование персонала это целенаправленная деятельность по подготовке кадров обеспечению пропорционального и динамичного развития персонала расчету его профессионально-квалификационной структуры определению общей и дополнительной потребности контролю за его использованием. Сущность кадрового планирования заключается в создании условий для предоставления людям рабочих мест в нужный момент времени и в необходимом количестве в соответствии с их способностями склонностями и требованиями бизнеса Основные задачи...
80824. ОРГАНИЗАЦИЯ КАК СИСТЕМА: ОПРЕДЕЛЕНИЕ, ПРИЗНАКИ, СВОЙСТВА, ФУНКЦИИ 46.73 KB
  Организация это функция управления целью которой является достижение миссии задачей формирование структур организации из множества элементов обеспечение всем необходимым для ее нормальной работыматериалами оборудованием денежными средствами знаниями персоналом и т. В любой организации реализуются три ключевых процесса: получение ресурсов из внешней среды производство продукта и передача его во внешнюю среду. Основные потоки организации: на входе поступление материалов рабочей силы капитала; на выходе готовый продукт товары...
80825. МАТРИЧНЫЕ ОРГАНИЗАЦИИ: ОПРЕДЕЛЕНИЕ, ПРИЗНАКИ, СВОЙСТВА, СФЕРЫ ПРИМЕНЕНИЯ 45.14 KB
  Выбор конкретного варианта определяется тем какие права делегирует ему высшее руководство организации. Руководители проектов в матричной организации отвечают в целом за интеграцию всех видов деятельности и ресурсов относящихся к данному проекту. Помимо руководителя организации назначается руководитель программы ранг которого выше ранга руководителя организации.
80826. РЕОРГАНИЗАЦИЯ ОРГАНИЗАЦИЙ: ЭТАПЫ, СОДЕРЖАНИЕ ЭТАПОВ, ЗАДАЧИ, РЕШАЕМЫЕ НА ОТДЕЛЬНЫХ ЭТАПАХ 46.03 KB
  Подготовка проекта реорганизации. Цели проекта: задачи и ожидаемые результаты; создание группы реорганизации с определенным удовлетворением квалификации и профессионализма; преодоление сопротивления реорганизации. Задача высшего руководства: обучить управленческую группу методологии проведения реорганизации. Задачи: выявление интересов потребителей; планирование необходимых мероприятий; выбор субъектов и объектов реорганизации; разработка модели текущего состояния организации; выявление видов деятельности организации;...