84838

Исследование функций. Возрастание и убывание функций

Лекция

Математика и математический анализ

Такие функции называют монотонными в интервале а b. Точка называется точкой максимума функции у = f x если cуществует такая окрестность точки что для всех из этой окрестности выполняется неравенство fx f. Точка называется точкой минимума функции у = f x если cуществует такая окрестность...

Русский

2015-03-22

65.09 KB

1 чел.

Лекция 8

Исследование функций

8.1. Возрастание и убывание функций

Функция называется неубывающей (возрастающей) в интервале (а, b), если для любых из этого интервала выполняется неравенство (). Если  (), то такая функция называется невозрастающей (убывающей) в (а, b). Такие функции называют монотонными в интервале (а, b).

Теорема. 1) Если функция f (x) имеет производную на отрезке [a, b] и возрастает на этом отрезке, то ее производная на этом отрезке неотрицательна, т.е. f (x)  0.

2) Если функция  f (x)  непрерывна на отрезке   [a,b]  и дифференцируема в промежутке (а, b), причем  f(x) > 0 для a < x < b, то эта функция возрастает на отрезке [a, b].

Если функция  f(x)  убывает на отрезке [a, b], то f(x)  0 на этом отрезке. Если f(x) < 0 в промежутке (а, b),  то f(x)   убывает на отрезке [a,b] .

8.2. Максимум и минимум функций. Необходимые и   достаточные условия существования экстремума

Определение. Точка называется  точкой максимума функции  у =  f (x),    если  

cуществует такая окрестность точки ,  что для всех  из этой окрестности выполняется неравенство  f(x)  <  f().    

Определение. Точка называется  точкой минимума функции  у =  f( x),    если  

cуществует такая окрестность точки,  что для всех  из этой окрестности выполняется неравенство    f (x)  >  f ().     

Значение функции в точке максимума (минимума) называется   максимумом  

(минимумом) функции. Максимум  (минимумом) функции называется  экстремумом функции.

Теорема 1 (необходимое условие существования экстремума). Если дифференцируемая  функция у =   f(x)  имеет экстремум в точке, то ее производная  в этой точке равна  нулю:   f () = 0.

Обратное утверждение к этой теореме не верно.

Определение. Критическими точками функции называются точки, в которых производная функции не существует или равна нулю.

Теорема 2 (достаточные условия существования экстремума). Пусть функция  f (x) непрерывна в интервале (а, b),  который содержит критическую точку , и дифференцируема во всех точках этого интервала (кроме, может быть, самой точки ). Если при переходе через точку слева направо производная функции f (x) меняет знак с плюса  на минус, то в точке функция  f (x)  имеет максимум,  если же производная меняет знак с  минуса   на плюс, то функция имеет в этой точке минимум,  если же производная  знака  не меняет, то в точке   экстремума не существует.

Исследование функции на экстремум с помощью   производных высших порядков.

Теорема 3.    Пусть в точке   первая производная функции   f (x) равна нулю

(f () = 0), а вторая  производная  в точке  существует и отлична от нуля (), то при  в точке  функция  имеет максимум и минимум – при .

8.3. Выпуклость и вогнутость кривой.  Точки перегиба

Рассмотрим на плоскости кривую  , являющуюся графиком дифференцируемой функции .

Определение.  Мы говорим, что кривая обращена выпуклостью вверх на интервале (а, b), если все  точки кривой лежат ниже любой ее касательной на этом интервале.

Определение.  Мы говорим, что кривая обращена выпуклостью вниз на интервале (b, с), если все  точки кривой лежат выше  любой ее касательной на этом интервале.

Кривую, обращенную выпуклостью вверх, будем называть  выпуклой, а  обращенную выпуклостью вниз –  вогнутой.

                                                         у

    а   в  с      x

                                                                                                                                                                                                                                               

Рис.1

На рисунке 1 показана кривая, выпуклая на интервале (а, b) и вогнутая  на интервале (b, с).

Теорема 1.  Если во всех точках интервала (a, b) вторая производная функции f (x) отрицательна, т.е. ,  то кривая y = f (x) на этом интервале обращена выпуклостью вверх (кривая выпукла).

Теорема 1.  Если во всех точках интервала (b, с) вторая производная функции

f (x) положительна, т.е. ,  то кривая y = f (x) на этом интервале обращена выпуклостью вниз  (кривая вогнута).

Определение. Точка, отделяющая выпуклую часть кривой от вогнутой, называется точкой перегиба кривой.

Очевидно, что в точке перегиба касательная пересекает кривую.

Теорема 2. Пусть кривая определяется уравнением . Если  вторая производная f (a) = 0 или f (a) не существует и при переходе через точку х = а производная  f(x) меняет знак, то точка кривой с абсциссой х = а является точкой перегиба.

 

8.4. Асимптоты графика функции

Определение. Прямая l называется асимптотой кривой, если расстояние от переменной точки M кривой до этой прямой при удалении точки в бесконечность стремится к нулю.

Асимптоты  функции делятся на два вида:

  1.  вертикальные асимптоты, т.е. прямые, параллельные оси ; они имеют уравнения вида    х = а;
  2.  наклонные асимптоты, т.е. прямые, не параллельные оси ; они имеют уравнения вида y = kx + b.

Теорема о вертикальной асимптоте. Прямая х = а является вертикальной асимптотой функции только в том случае, когда , или .

Теорема о наклонной асимптоте.  Прямая является наклонной асимптотой графика функции  при   только в том случае, когда существуют (конечные) пределы

    и    .

8.5. Общая схема исследования функции и построения графика 

Исследование функции целесообразно проводить в следующем порядке.

1)  Найти область определения функции.

2)  Найти точки разрыва функции и асимптоты графика функции.

3)  Выяснить является ли функция четной, нечетной, периодической.

4)  Найти точки пересечения графика с осями координат.

5)  Найти интервалы монотонности функции и экстремумы функции.

6)  Найти интервал выпуклости и вогнутости функции, точки перегиба.

7)  Построить график функции.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

50519. Закрытый склад. Расчет деревянной конструкции 373.77 KB
  В курсовом проекте произведен расчет деревянных конструкций гнутоклееной рамы. Определены расчетные и нормативные нагрузки на перекрытие и поперечную раму здания. Подобрано сечение элементов поперечника. Выбраны конструктивные решения. Осуществлены расчеты узлов поперечника.
50520. Исследование процессов во влажном воздухе 138.5 KB
  Изучение процессов изменения состояния влажного воздуха приобретение навыков измерения влажности с помощью аспирационного психрометра и Id диаграммы. Смесь сухого воздуха с водяным паром называется влажным воздухом. Соответственно этому влажный воздух бывает: насыщенным влажным воздухом смесь сухого воздуха с насыщенным водяным паром; ненасыщенным влажным воздухом смесь сухого воздуха с перегретым водяным паром. При дальнейшем охлаждении влажного воздуха происходит конденсация пара.
50521. Определение настроек BIOS персонального компьютера 62 KB
  Раздел Power Параметр CPI PIC support установлен в положение Enbled разрешено. Возможные значения: Enbled Disbled. Следует оставить данный параметр без изменений Enbled поскольку данным процессором используется технология HyperTreding в противном случае можно нарушить нормальное функционирование системы либо снизить ее производительность. Параметр Microcode Updtion установлен в положение Enbled.
50523. ДОСЛІДЖЕННЯ ПРИНЦИПІВ РОБОТИ ВИМІРЮВАЛЬНИХ КАНАЛІВ ТЕМПЕРАТУРИ НА БАЗІ МІКРОПРОЦЕСОРНОГО ВИМІРЮВАЧА-РЕГУЛЯТОРА ТРМ1 869.5 KB
  Ознайомлення з методами вимірювання температури. КОРОТКІ ТЕОРЕТИЧНІ ВІДОМОСТІ Методи вимірювання температури і температурні шкали Виміряти температуру якогонебудь тіла безпосередньо тобто так як вимірюють інші фізичні величини наприклад довжину масу обєм або час не представляється можливим тому що в природі не існує еталона або зразка одиниці цієї величини. Тому визначення температури речовини роблять за допомогою спостереження за зміною фізичних властивостей іншої так званої термометричної речовини яка при зіткненні з нагрітим...
50525. Склад сыпучих материалов. Расчет деревянных конструкций поперечника 276.98 KB
  В данном курсовом проекте подобрано наиболее рациональное кон-структивное решение проектируемого здания, сконструированы и рассчитаны основные несущие и ограждающие конструкции, узловые соединения, выбраны мероприятия по защите элементов здания от гниения и возгорания. Все принятые конструктивные решения и расчетные алгоритмы соответствуют требованиям действующих нормативных документов
50526. Исследование системы управления виртуальной памятью Windows с использованием системного монитора 777 KB
  Целью работы является исследование системы управления виртуальной памятью в ОС Windows, а также оценка эффективности работы в режиме страничного обмена программ с известным распределением обращений к памяти (сортировок). Для этого используются стандартные средства администрирования...
50527. Моделирование работы программ в виртуальной памяти и исследование эффективности их выполнения 37 KB
  Задание Собирать статистику работы по каждому исследуемому алгоритму для заданного ряда процентного объема физической памяти например 2510153550759095100 и всех алгоритмов вытеснения LRU FIFO OPT FRU. Выводы Сортировка выбором: трудоёмкость N2 2 алгоритм неадаптивный показатели эффективности алгоритмов LRU и FIFO практически одинаковы аномальный алгоритм замещения FRU превосходит по эффективности LRU и FIFO реально применимые алгоритмы LRU и FIFO уступают теоретическому максимуму в 23 раза что говорит об их...