84838

Исследование функций. Возрастание и убывание функций

Лекция

Математика и математический анализ

Такие функции называют монотонными в интервале а b. Точка называется точкой максимума функции у = f x если cуществует такая окрестность точки что для всех из этой окрестности выполняется неравенство fx f. Точка называется точкой минимума функции у = f x если cуществует такая окрестность...

Русский

2015-03-22

65.09 KB

0 чел.

Лекция 8

Исследование функций

8.1. Возрастание и убывание функций

Функция называется неубывающей (возрастающей) в интервале (а, b), если для любых из этого интервала выполняется неравенство (). Если  (), то такая функция называется невозрастающей (убывающей) в (а, b). Такие функции называют монотонными в интервале (а, b).

Теорема. 1) Если функция f (x) имеет производную на отрезке [a, b] и возрастает на этом отрезке, то ее производная на этом отрезке неотрицательна, т.е. f (x)  0.

2) Если функция  f (x)  непрерывна на отрезке   [a,b]  и дифференцируема в промежутке (а, b), причем  f(x) > 0 для a < x < b, то эта функция возрастает на отрезке [a, b].

Если функция  f(x)  убывает на отрезке [a, b], то f(x)  0 на этом отрезке. Если f(x) < 0 в промежутке (а, b),  то f(x)   убывает на отрезке [a,b] .

8.2. Максимум и минимум функций. Необходимые и   достаточные условия существования экстремума

Определение. Точка называется  точкой максимума функции  у =  f (x),    если  

cуществует такая окрестность точки ,  что для всех  из этой окрестности выполняется неравенство  f(x)  <  f().    

Определение. Точка называется  точкой минимума функции  у =  f( x),    если  

cуществует такая окрестность точки,  что для всех  из этой окрестности выполняется неравенство    f (x)  >  f ().     

Значение функции в точке максимума (минимума) называется   максимумом  

(минимумом) функции. Максимум  (минимумом) функции называется  экстремумом функции.

Теорема 1 (необходимое условие существования экстремума). Если дифференцируемая  функция у =   f(x)  имеет экстремум в точке, то ее производная  в этой точке равна  нулю:   f () = 0.

Обратное утверждение к этой теореме не верно.

Определение. Критическими точками функции называются точки, в которых производная функции не существует или равна нулю.

Теорема 2 (достаточные условия существования экстремума). Пусть функция  f (x) непрерывна в интервале (а, b),  который содержит критическую точку , и дифференцируема во всех точках этого интервала (кроме, может быть, самой точки ). Если при переходе через точку слева направо производная функции f (x) меняет знак с плюса  на минус, то в точке функция  f (x)  имеет максимум,  если же производная меняет знак с  минуса   на плюс, то функция имеет в этой точке минимум,  если же производная  знака  не меняет, то в точке   экстремума не существует.

Исследование функции на экстремум с помощью   производных высших порядков.

Теорема 3.    Пусть в точке   первая производная функции   f (x) равна нулю

(f () = 0), а вторая  производная  в точке  существует и отлична от нуля (), то при  в точке  функция  имеет максимум и минимум – при .

8.3. Выпуклость и вогнутость кривой.  Точки перегиба

Рассмотрим на плоскости кривую  , являющуюся графиком дифференцируемой функции .

Определение.  Мы говорим, что кривая обращена выпуклостью вверх на интервале (а, b), если все  точки кривой лежат ниже любой ее касательной на этом интервале.

Определение.  Мы говорим, что кривая обращена выпуклостью вниз на интервале (b, с), если все  точки кривой лежат выше  любой ее касательной на этом интервале.

Кривую, обращенную выпуклостью вверх, будем называть  выпуклой, а  обращенную выпуклостью вниз –  вогнутой.

                                                         у

    а   в  с      x

                                                                                                                                                                                                                                               

Рис.1

На рисунке 1 показана кривая, выпуклая на интервале (а, b) и вогнутая  на интервале (b, с).

Теорема 1.  Если во всех точках интервала (a, b) вторая производная функции f (x) отрицательна, т.е. ,  то кривая y = f (x) на этом интервале обращена выпуклостью вверх (кривая выпукла).

Теорема 1.  Если во всех точках интервала (b, с) вторая производная функции

f (x) положительна, т.е. ,  то кривая y = f (x) на этом интервале обращена выпуклостью вниз  (кривая вогнута).

Определение. Точка, отделяющая выпуклую часть кривой от вогнутой, называется точкой перегиба кривой.

Очевидно, что в точке перегиба касательная пересекает кривую.

Теорема 2. Пусть кривая определяется уравнением . Если  вторая производная f (a) = 0 или f (a) не существует и при переходе через точку х = а производная  f(x) меняет знак, то точка кривой с абсциссой х = а является точкой перегиба.

 

8.4. Асимптоты графика функции

Определение. Прямая l называется асимптотой кривой, если расстояние от переменной точки M кривой до этой прямой при удалении точки в бесконечность стремится к нулю.

Асимптоты  функции делятся на два вида:

  1.  вертикальные асимптоты, т.е. прямые, параллельные оси ; они имеют уравнения вида    х = а;
  2.  наклонные асимптоты, т.е. прямые, не параллельные оси ; они имеют уравнения вида y = kx + b.

Теорема о вертикальной асимптоте. Прямая х = а является вертикальной асимптотой функции только в том случае, когда , или .

Теорема о наклонной асимптоте.  Прямая является наклонной асимптотой графика функции  при   только в том случае, когда существуют (конечные) пределы

    и    .

8.5. Общая схема исследования функции и построения графика 

Исследование функции целесообразно проводить в следующем порядке.

1)  Найти область определения функции.

2)  Найти точки разрыва функции и асимптоты графика функции.

3)  Выяснить является ли функция четной, нечетной, периодической.

4)  Найти точки пересечения графика с осями координат.

5)  Найти интервалы монотонности функции и экстремумы функции.

6)  Найти интервал выпуклости и вогнутости функции, точки перегиба.

7)  Построить график функции.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

63558. Роль философских идей психоанализа в понимании человека и общества 47.5 KB
  Если какой то предок бросился с моста то далекого потомка может на мосту тянуть кинуться с высоты но если помочь сознательно отделить жизнь этого человека от жизни неизвестного ему предка то он перестанет бояться высоты...
63559. Россия между Западом и Востоком. Философские западники и почвенники 40 KB
  Философией в России доныне занимается в основном гуманитарная политизированная интеллигенция а действительно полезные для исканий истины естествоиспытатели в философии России редки. Современность показывает ту же закономерность: по мере ослабления России растут притязания на ее богатства соседних а теперь и заокеанских государств.
63560. Перспективы учения о ноосфере, философии космизма и «общего дела» 31 KB
  Ноосфера как особая оболочка земного шара становящаяся новым этапом развития биосферы атмосферы и гидросферы могущество вооруженного наукой и техникой человечества должно быть направлено на помощь силам природы в планетарном масштабе. Все природные процессы стали уже протекать не так как протекали бы в отсутствии человечества на планете.
63561. Знешняя палiтыка Беларусi на сучасным этапе 83 KB
  Сёння ў свеце існуе больш 220 вялікіх і малых дзяржаў, 187 з якіх з’яўляюцца членамі ААН. Пачэснае месца сярод гэтых краін займае Рэспубліка Беларусь. Яе, як незалежную краіну прызналі і устанавілі з ёй дыпламатычныя адносіны 153 краіны свету.
63562. Организация и проведение специальной обработки 94.5 KB
  Сущность приёмы и способы специальной обработки техники материальных средств. Заражение РВ ОВ БС может привести к потерям среди личного состава и вызовет необходимость проведения аварийноспасательных и других неотложных работ с применением...
63563. Специальные налоговые режимы. Патентная система налогообложения 252.5 KB
  Патентная система налогообложения При переходе на УСН ЕСхН ЕНВД предусматривается особый порядок определения прибыли или убытка оценки Д и Р учитываемых для цели н о особый порядок определения налоговых обязательств.
63565. Статистика. Вводная часть 116.5 KB
  Уважаемые студенты Вы приступаете к изучению новой учебной дисциплины статистики которая занимает важное место в системе высшего экономического образования как базовая дисциплина формирующая профессиональный уровень современного специалиста в области экономики и финансов.
63566. Струйные принтеры (Liquid ink-jet) 136.5 KB
  Схема устройства непрерывной струйной печати Устройства дискретного действия В настоящее время именно эти технологии струйной печати получили широкое распространение. Достигнутый в этой области прогресс приведший к повышению качества печати снижению ее себестоимости и удешевлению печатных устройств способствовал...