8491

Расчет электрических фильтров

Книга

Коммуникация, связь, радиоэлектроника и цифровые приборы

Расчет электрических фильтров В задании предусмотрен расчет полосового фильтра для выделения главного лепестка спектра периодических радиоимпульсов. Фильтр рассчитывается в двух вариантах: пассивный LC-фильтр и активный RC-фильтр. Задание составлено...

Русский

2013-02-12

2.56 MB

115 чел.

Расчет электрических фильтров

В задании предусмотрен расчет полосового фильтра для выделения главного лепестка спектра периодических радиоимпульсов. Фильтр рассчитывается в двух вариантах: пассивный LC-фильтр и активный RC-фильтр. Задание составлено по стовариантной системе. Приведены основные сведения из теории фильтров и примеры расчета.

ВВЕДЕНИЕ

Курсовая работа по дисциплине «Основы теории цепей» (ОТЦ) на тему «Расчет электрических фильтров» выполняется студентами на третьем курсе (в шестом семестре).

В курсовой работе студент решает конкретную техническую задачу – расчет электрической цепи для выделения эффективной части спектра периодических радиоимпульсов с помощью полосового фильтра, выполненного в двух вариантах – по схеме пассивного LC-фильтра и по схеме активного RC-фильтра. В связи с тем, что в рекомендуемой литературе анализ и синтез цепей, которые рассматриваются в курсовой работе, освещены очень кратко без подробных примеров, в настоящих методических указаниях приведены теоретические положения, дополняющие соответствующие разделы учебной литературы, и дан подробный пример выполнения расчетной части курсовой работы.

В тексте курсовой работы должно быть отражено следующее:

  1.  Четкая запись технического задания на расчет.
  2.  Анализ технического задания.
  3.  Краткие теоретические пояснения к расчету каждой величины.
  4.  Подробный расчет с приведением промежуточных числовых значений.
  5.  Нумерация формул, на которые имеется ссылка в тексте.
  6.  Правило оформления расчета: формула – числовые подстановки в основных единицах измерения – ответ в основных единицах с переводом во вспомогательные единицы измерения.
  7.  Аккуратное выполнение рисунков с соблюдением требований ГОСТа и ЕСКД.

Работа должна быть написана аккуратно только на одной стороне листа размером 296х204 мм. Листы должны быть сшиты и пронумерованы. В конце текста приводится список, использованной литературы, и поставлена подпись автора.

Курсовая работа сдается в центр обработки контрольных и курсовых работ не позднее, чем за две недели до срока защиты работы.

Курсовые работы защищаются до сдачи экзаменов по «Основам теории цепей» в шестом семестре. При защите студент должен уметь объяснить физический смысл и результат расчета в любом пункте текста курсовой работы. Помимо этого, студент должен быть готовым ответить на «Вопросы для подготовки к защите курсовой работы» (стр. 28).

Для обеспечения самостоятельной работы студентов кафедра ТЭЦ регулярно (по расписанию) организует индивидуальные консультации. Иногородние студенты могут получить письменные консультации через центр обработки работ или консультации по телефону.

Примерные затраты времени студентом на изучение раздела «Электрические фильтры» и подготовку курсовой работы составляют: 14 часов на изучение теории и 24 часа на выполнение самой курсовой работы.

1. Задание на курсовую работу

Задание на курсовую работу составлено по стовариантной системе. Номер варианта определяется двумя последними цифрами в номере зачетной книжки студента.

На входе полосового фильтра действуют периодические прямоугольные радиоимпульсы (рис. 1.1) с параметрами: tи – длительность импульсов, Tи – период следования; Tн – период несущей частоты; Umн – амплитуда несущего колебания, имеющего форму гармонического uн(t) = = Umн  cos нt.

Требуется рассчитать двусторонне нагруженный пассивный полосовой LC-фильтр и активный полосовой RC-фильтр для выделения эффективной части спектра радиоимпульсов, лежащей в полосе частот от (fн – 1/tи) до (fн + 1/tи) (главный «лепесток спектра»). График модуля спектральной функции U(f) = |U(jf)| радиоимпульса приведен на рис. 1.2. Спектр имеет дискретный характер, поэтому частоты fп1 и fп2 границы полосы пропускания фильтров определяются крайними частотами в главном «лепестке спектра». Частоты fз1 и fз2 полосы задерживания (непропускания) фильтра определяются частотами первых дискретных составляющих, лежащими слева от (fн – 1/tи) и справа от (fн + 1/tи). Конкретное определение численных значений всех частот показано в типовом примере расчета LC-фильтра.

Исходные данные для расчета приведены в таблицах 1.1 и 1.2. Сопротивления генератора радиоимпульсов Rг и сопротивление нагрузки Rн пассивного фильтра одинаковы: Rг = Rн = R. Для вариантов 0125 и 5175 R = 600 Ом, для вариантов 2650 и 7699 R = 1000 Ом. Характеристика фильтра аппроксимируется полиномом Чебышева.

Таблица 1.1

№№
вариантов

Тн,
мкс

tи,
мкс

Ти,
мкс

А,
дБ

Апол,
дБ

01 и 26

02 и 27

03 и 28

04 и 29

05 и 30

10

10

10

10

10

40

40

40

40

40

105

107

109

111

115

3

3

3

3

3

23

25

27

30

35

06 и 31

07 и 32

08 и 33

09 и 34

10 и 35

10

12

10

10

10

40

48

40

40

40

120

120

113

150

152

1

3

3

3

3

20

19

32

24

27

11 и 36

12 и 37

13 и 38

14 и 39

15 и 40

10

10

10

10

10

40

40

40

40

40

154

155

157

145

160

3

3

3

3

3

30

32

32

19

21

16 и 41

17 и 42

18 и 43

19 и 44

20 и 45

10

16

16

16

16

50

80

80

80

80

135

224

228

232

236

3

3

3

3

3

25

31

34

39

45

21 и 46

22 и 47

10

10

50

50

145

135

3

3

37

27

23 и 48

24 и 49

25 и 50

10

10

10

50

50

50

140

150

136

3

0,5

3

31

21

28

51 и 76

52 и 77

53 и 78

54 и 79

55 и 80

25

25

10

10

10

100

100

50

50

50

270

260

190

130

196

3

3

3

3

3

23

22

28

21

37

56 и 81

57 и 82

58 и 83

59 и 84

60 и 85

10

20

20

20

20

50

80

80

80

80

200

210

212

220

218

1

3

3

3

3

17

22

25

28

26

61 и 86

62 и 87

63 и 88

64 и 89

65 и 90

20

20

20

20

20

80

80

80

80

80

220

225

230

235

240

1

3

3

3

1

22

30

35

42

23

66 и 91

67 и 92

68 и 93

69 и 94

70 и 95

20

16

20

20

20

80

80

80

80

80

300

222

310

315

320

3

3

3

3

3

24

29

32

39

21

71 и 96

72 и 97

73 и 98

74 и 99

75 и 00

20

20

20

20

20

100

100

100

100

100

280

285

290

295

300

3

3

3

3

1

31

33

38

44

22

Таблица 1.2

Варианты

Umн, В

00    10    20    30    40    50    60    70    80    90

01    11    21    31    41    51    61    71    81    91

02    12    22    32    42    52    62    72    82    92

03    13    23    33    43    53    63    73    83    93

04    14    24    34    44    54    64    74    84    94

05    15    25    35    45    55    65    75    85    95

06    16    26    36    46    56    66    76    86    96

07    17    27    37    47    57    67    77    87    97

08    18    28    38    48    58    68    78    88    98

09    19    29    39    49    59    69    79    89    99

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

В ходе выполнения курсовой работы необходимо:

  1.  Рассчитать и построить график амплитудного спектра радиоимпульсов.
  2.  Определить частоты fп2 и fз2 и рассчитать превышение амплитуды частоты fп2 над амплитудой частоты fз2 в децибелах в виде соотношения А = 20lgUmп/Umз на входе фильтра.
  3.  Рассчитать минимально допустимое ослабление фильтра в полосе задерживания Аmin = Апол А.
  4.  Рассчитать порядок m НЧ-прототипа требуемого фильтра.
  5.  Получить выражение для передаточной функции НЧ-прототипа при аппроксимации его характеристики полиномом Чебышева.
  6.  Осуществить реализацию двухсторонне нагруженного полосового LC-фильтра.
  7.  Осуществить реализацию полосового ARC-фильтра.
  8.  Привести ожидаемую характеристику ослабления полосового фильтра в зависимости от частоты, т. е. A = K(f).
  9.  Рассчитать ослабление ARC-фильтра на границах полосы пропускания и полосы непропускания (задерживания).
  10.  Привести схему ARC-полосового фильтра.

2. Основные сведения из теории фильтрующих цепей

Электрические фильтры – это линейные четырехполюсники, обладающие избирательными свойствами: они предназначены для выделения из состава сложного электрического колебания частотных составляющих определенного спектра частот, лежащего в полосе пропускания (ПП), и подавления тех составляющих, частоты которых лежат за пределами ПП, т. е. в полосе непропускания (ПН) или полосе задерживания (ПЗ). Между этими полосами находится переходная область. На рис. 2.1 приведены структурные характеристики ослабления фильтра нижних частот (ФНЧ) и полосового фильтра (ПФ). Для ФНЧ полоса пропускания лежит в диапазоне частот 0  fп, а непропускания – в диапазоне fз   (рис. 2.1, а); для ПФ полоса пропускания fп1  fп2 располагается между полосами непропускания 0  fз1 и fз2   (рис. 2.1, б).

Требования к электрическим характеристикам фильтров задаются в виде допустимых пределов изменения этих характеристик. Так ослабление в ПП не должно превышать максимально допустимого ослабления Аmax = А, а в ПН не должно быть ниже значения Аmin. Требования к другим характеристикам фильтров здесь не рассматриваются. Схема подключения фильтра к источнику сигнала приведена на рис. 2.2.

Синтез (расчет) фильтров состоит из двух этапов: этапа аппроксимации и этапа реализации. На первом этапе по заданным Аmin и Аmax в ПП и ПН формируется передаточная функция фильтра, т. е. математическое описание цепи, которая удовлетворяет указанным выше требованиям. На втором этапе создают схему цепи и определяют значения ее элементов по полученной передаточной функции.

Оба этапа хорошо разработаны применительно к синтезу ФНЧ. Что касается синтеза других типов фильтров: полосовых, заграждающих (режекторных), фильтров верхних частот, – то возможны различные варианты расчета. Один из них основан на том, что требования к заданному фильтру пересчитываются в требования к его НЧ-прототипу на основании принципа преобразования частоты. Рассчитывается НЧ-прототип по методике синтеза ФНЧ. Затем полученная схема НЧ-прототипа преобразуется в схему заданного фильтра, но только в случае пассивных фильтров [13]. В случае активных фильтров этап реализации осуществляется другим методом.

2.1. Синтез пассивных полосовых фильтров

Этап аппроксимации. Задано: частоты fп1 и fп2 – границы ПП и частота fз2 – граница ПН справа; ослабление Аmin и Аmax = А (рис. 2.1, б). Используя понятие центральной частоты или средней геометрической частоты ПП и ПН

 (2.1)

находим значение fз1 – граничной частоты ПН слева.

Требования к характеристикам ПФ пересчитываются в требования к его НЧ-прототипу:

 (2.2)

при тех же значениях Аmin и Аmax (рис. 2.1, а).

Зная требования к ослаблению ФНЧ можно пересчитать их в требования к АЧХ ФНЧ или, как это принято в теории фильтров, в требования к квадрату АЧХ |H(j2f)|2 = |H(j)|2. Для унификации расчетов вместо угловой частоты вводят понятие нормированной частоты = /н, где н – нормирующая частота. Обычно в качестве н выбирают граничную частоту ПП ФНЧ. Тогда

 (2.3)

При синтезе ФНЧ используются универсальные соотношения [1]:

 (2.4)

 (2.5)

где () – функция фильтрации; – коэффициент неравномерности ослабления в ПП. Если в качестве () используются полиномы, то фильтры называются полиномиальными. Среди последних наиболее широкое применение нашли фильтры Баттерворта и Чебышева.

У фильтров Баттерворта () = Вm() = m, где m – порядок фильтра. Характеристика H2() = |H(j)|2, т. е. квадрата коэффициента передачи для таких фильтров разного порядка m приведена на рис. 2.3, а (кривая 1 – характеристика идеального ФНЧ, кривая 2 для m = 6, кривая 3 для m = 2). При = 1 все кривые проходят через точку, зависящую от . Из анализа рисунка видно, что действительно определяет неравномерность коэффициента передачи ФНЧ в ПП.

Если в (2.4) положить () = Вm(), а j = р, то после преобразований получим передаточную функцию фильтра в виде

 (2.6)

где H0 = 1/.

У фильтров Чебышева функция фильтрации () = Тm() = = cosm arccos для области нормированных частот –1    1. Характеристика квадрата коэффициента передачи при разных m показана на рис. 2.3, б (кривая 1 – характеристика идеального ФНЧ, кривая 2 для m = 4, кривая 3 для m = 2). Анализ кривых на рис. 2.3, б показывает, что полином Чебышева в интервале 0    1 принимает экстремальные значения (min или max) m + 1 раз. Или по иному: порядок фильтра нижних частот Чебышева по кривой H2(), или по любой другой частотной характеристике фильтра, определяется удвоенным количеством периодов колебаний в ПП, рассчитанном на уровне полосы пропускания. На рис. 2.3, б: граница полосы пропускания по частоте – это = 1; уровень полосы пропускания – это 1/(1 + 2).

Передаточная функция фильтра Чебышева описывается тем же выражением (2.6), но коэффициент H0 = 1/(2m–1).

Анализ кривых на рис. 2.3 показывает, что:

  •  чем выше порядок фильтра, тем выше его избирательность за счет уменьшения переходной области;
  •  при одинаковом порядке m избирательность фильтров Чебышева выше избирательности фильтров Баттерворта;
  •  у фильтров Чебышева ФЧХ в полосе пропускания имеет нелинейный характер за счет волнового характера изменения Н2() в ПП.

Итак, этап аппроксимации при синтезе ПФ заканчивается получением функции H(p) для НЧ-прототипа.

Этап реализации. Если фильтр со стороны зажимов 1–1 рассматривать как двухполюсник, образованный реактивным четырехполюсником и нагрузкой Rн (рис. 2.2), то, можно оперировать понятием входного сопротивления Zвх.1(р) двухполюсника со стороны зажимов 1–1:

 (2.7)

где (р) – коэффициент отражения, характеризующий несогласованность между сопротивлениями Rг и Zвх.1(р). Если известно Zвх.1(р), то двухполюсник можно реализовать, например, методом Дарлингтона [1, 2]. Один из возможных вариантов реализации схемы названным методом сводится к следующему. Осуществляют нормирование Zвх.1 по сопротивлению, выбирая в качестве нормирующего, сопротивление Rг, а коэффициент отражения записывают через табулированный полином h(р): (р) = h(р)/v(р). Тогда (2.7) записывают как

 (2.8)

Например, для фильтров Чебышева третьего порядка сам полином Чебышева равен:

 (2.9)

а полином h(р) будет:

 (2.10)

Подставляя h(р) из (2.10) и v(р) из (2.6) в (2.8), записывают Zвх.1(р) в виде цепной дроби и по ней составляют схему двухполюсника, т. е. LC-фильтра нижних частот, нагруженного на сопротивление Rн. Элементы этой схемы представлены величинами, нормированными по частоте и по сопротивлению. Поэтому следующей операцией расчета является операция денормирования значения элементов НЧ-прототипа. После этого, используя формулы преобразования частоты, переходят от схемы НЧ-прототипа к схеме полосового фильтра. Элементы схемы ПФ, очевидно, будут иметь сразу реальные значения.


2.2. Синтез активных полосовых фильтров

ARC-фильтры представляют собой комбинацию пассивной RC-цепи и активного элемента. В качестве последнего чаще всего используются операционные усилители часто с двумя входами – инвертирующим и неинвертирующим. В схемах ARC-фильтров обязательно имеется обратная связь. Известно [1, 2], что передаточная функция любой активной цепи с обратной связью записывается как

где Нус(р) и Нос(р) передаточные функции цепи прямого усиления и цепи обратной связи соответственно. Знаменатель Н(р) – это полином, например, второй степени. Корни его, т. е. полюсы Н(р) могут быть в том числе и комплексно-сопряженными. Последнее означает, что ARC-цепь эквивалентна пассивной LC-цепи, а т. к. LC-цепь обладает избирательными свойствами, то и ARC-цепь тоже может обладать избирательными свойствами, т. е. является фильтром.

Синтез ARC-фильтров, как и пассивных LC-фильтров, состоит из двух этапов: этапа аппроксимации и этапа реализации. Этап аппроксимации в обоих случаях одинаков. Этап реализации для  ARC-фильтров – отличается от LC-реализации.

Этап реализации. Вначале осуществляют переход от передаточной функции НЧ-прототипа, которая имеет вид (2.6), к передаточной функции полосового фильтра. Один из возможных вариантов такого перехода основан на использовании формулы пересчета полюсов НЧ-прототипа в полюсы ПФ:

 (2.11)

где  

– полюсы передаточной функции НЧ-прототипа;

0 = 2f0 – находится по (2.1).

Согласно (2.11) одной паре комплексно-сопряженных полюсов нормированной передаточной функции НЧ-прототипа соответствует две пары комплексно-сопряженных полюсов денормированной передаточной функции полосового фильтра. Одному вещественному полюсу (рнч.нор + j0) нормированной H(р) НЧ-прототипа (2.6) соответствует одна пара комплексно-сопряженных полюсов вида  денормированной H(р) полосового фильтра. В результате общий порядок ПФ удваивается по сравнению с порядком НЧ-прототипа.

Передаточную функцию ПФ удобно представлять произведением сомножителей второго порядка H1(р), H2(р), H3(р) и т. д. Каждый из этих сомножителей реализуется в виде активного RC-звена второго порядка, а полученные звенья соединяются каскадно, образуя полную схему ПФ. Звенья ARC-фильтров в общем случае являются типовыми (одинаковыми) для фильтров, имеющих одинаковое расположение полосы пропускания на шкале частот.

3. Пример расчета полосового LC-фильтра

Согласно заданию на курсовую работу на входе полосового фильтра действуют периодические радиоимпульсы (рис. 1.1) с параметрами: период следования импульсов Tи = 800 мкс; длительность импульсов tи = 200 мкс;  период несущей частоты Tн = 33,3 мкс; амплитуда колебаний несущей частоты Um = 5 В. Фильтр должен обеспечить максимально допустимое ослабление в полосе пропускания Аmax = A = 3 дБ. Полное ослабление на границах полос непропускания Апол = 24,2 дБ. Сопротивления нагрузок фильтра слева и справа Rг = Rн = 1 кОм (рис. 2.2). Характеристика фильтра аппроксимируется полиномом Чебышева.

3.1. Расчет амплитудного спектра
радиоимпульсов

Прежде чем приступать непосредственно к расчету фильтра, необходимо определить частотный состав сигнала, поступающего на вход фильтра, т. е. рассчитать и построить график амплитудного спектра периодических радиоимпульсов, взяв за основу рис. 1.2.

Вначале находится несущая частота:

Затем рассчитывают частоты нулей огибающей спектра. Они зависят от длительности импульса:

Максимальное значение огибающей в виде напряжения, соответствующее частоте fн, находится по формуле

 (3.1)

Зная максимальное значение и расположение нулей по оси частот, строим огибающую дискретного спектра периодических радиоимпульсов в виде пунктирной кривой в масштабе по оси частот (рис. 1.2).

Внутри огибающей находятся спектральные составляющие или гармоники спектра с частотами fi, где i – номер гармоники. Они располагаются симметрично относительно несущей частоты, зависят от периода следования импульсов и находятся по формуле

.

Учитывая, что

рассчитываем частоты гармоник, лежащих только справа от fн:

Частоты гармоник, лежащих слева от fн, будут:

Амплитуды напряжения i-ых гармоник находятся по формуле

 (3.2)

где K = tи/Tн – количество периодов несущих колебаний косинусоидальной формы в импульсе. Например, на рис. 1.1 К = 4, а в рассматриваемом примере К = 6.

Из анализа рис. 1.2 видно, что главный «лепесток спектра» занимает диапазон частот от 25 до 35 кГц. Крайние частоты диапазона совпадают с нулями огибающей, поэтому их амплитуды равны нулю, в частности Um.4 = 0, Um.(–4) = 0.

После расчета амплитуд по (3.2) их значения отражаются в виде дискретных составляющих внутри огибающей спектра (рис. 1.2).

Полезно обратить внимание на характерную особенность спектра, связанную с понятием скважности импульсов. Если скважность q, т.е. отношение периода следования импульсов Tи к длительности импульсов tи, равна целому числу, то в спектре отсутствуют гармоники с номерами, кратными скважности. В рассматриваемом примере q = 4, поэтому в спектре будут отсутствовать (совпадать с нулями огибающей) 4, 8, 12 и т.д. гармоники слева и справа от несущей частоты.

3.2. Формирование требований к полосовому фильтру

Учитывая, что амплитуды спектральных составляющих на частотах 25 и 35 кГц равны нулю, примем за эффективную часть спектра, которую нужно выделить полосовым фильтром, диапазон частот от 26,25 кГц до 33,75 кГц. Следовательно, эти частоты будут определять частоты границы полосы пропускания фильтра fп1 и fп2 соответственно (рис. 2.1, б). Граничную частоту полосы непропускания fз2 выбираем равной частоте первой гармоники спектра сигнала, находящейся после частоты (fн + 1/tи) = 35 кГц. Этой частотой является частота f5 = 36,25 кГц. Следовательно, fз2 = = f5 = 36,25 кГц.

Используя (2.1), найдем центральную частоту ПП:

Тогда граничная частота fз.1 полосы непропускания будет

Минимально-допустимое ослабление фильтра в ПН зависит от разницы амплитуд гармоник f3 и f5 спектра сигнала на выходе фильтра, выраженной в децибелах и заданной величиной Апол – полного ослабления:

 (3.3)

где

 (3.4)

исходная разница амплитуд третьей и пятой гармоник в децибелах, найденная в ходе расчета спектра радиоимпульсов.

Согласно (3.2):

По (3.4) находим

а из (3.3)

Таким образом, требования к полосовому фильтру сводятся к следующему:

Аппроксимация передаточной функции должна быть выполнена с помощью полинома Чебышева.

3.3. Формирование передаточной функции
НЧ-прототипа

Используя (2.2), находим граничные частоты ПП и ПН НЧ-прототипа.

По формулам (2.3) получаем значения нормированных частот

Требования к НЧ-прототипу могут быть проиллюстрированы рисунком 3.1.

Находим коэффициент неравномерности ослабления фильтра в ПП из рассмотрения (2.5) при A = A и = 1, когда (1) = Тm(1) = 1:

Порядок фильтра Чебышева находится также из рассмотрения (2.5), но при A = Amin и =з, т. е. ослабление рассматривается в полосе непропускания. А в ПН полином Чебышева Тm() = chmarch, поэтому

 (3.5)

Для вычисления функции archх рекомендуется соотношение

После подстановки в (3.5) исходных данных и вычислений получим m = 2,9. Расчетное значение m необходимо округлить в бóльшую сторону до целого числа. В данном примере принимает m = 3.

Примечание. При достаточно точных расчетах значение m во всех вариантах задания должно лежать в пределах 2 < m < 3. Если так не получилось необходимо обратиться за консультацией на кафедру.

Пользуясь таблицей 3.1, находим полюсы нормированной передаточной функции НЧ-прототипа:

 (3.6)

Обратить внимание на то, что полюсы расположены в левой полуплоскости комплексной переменной р.

Формируем нормированную передаточную функцию НЧ-прототипа в виде

где v(р) – полином Гурвица, который можно записать через полюсы:

Производя вычисления, получим

 (3.7)

Обратить внимание на то, что в (3.7) числитель равен свободному члену полинома знаменателя.

При расчетах необходимо придерживаться точности не менее шести значащих цифр после запятой.

3.4. Реализация LC-прототипа

Для получения схемы НЧ-прототипа воспользуемся методом Дарлингтона, когда для двусторонне нагруженного фильтра (рис. 2.2) составляется выражение для входного сопротивления Zвх.1(р) (2.8). Подставляя в (2.8) значение v(р) из (3.7) и значение h(p) из (2.10), после преобразований получим

 (3.8)

Формула (3.8) описывает входное сопротивление двухполюсника (согласно схеме на рис. 2.2 фильтр, нагруженный на сопротивление Rн, это действительно двухполюсник). А если известно выражение для входного сопротивления, то можно построить схему двухполюсника, воспользовавшись, например, методом Кауэра [16]. По этому методу формула для Zвх(р) разлагается в непрерывную дробь путем деления полинома числителя на полином знаменателя. При этом степень числителя должна быть больше степени знаменателя. Исходя из последнего, (3.8) преобразуется к виду

 (3.9)

после чего производится ряд последовательных делений. Вначале числитель делим на знаменатель:

Затем первый делитель делим на первый остаток:

Второй делитель делим на второй остаток:

Третий делитель делим на третий остаток:

Получили четыре результата деления, которые отражают четыре нормированных по частоте и по сопротивлению элемента схемы в виде значений их проводимостей: pC, 1/pL, 1/R. Из анализа первого результата деления следует, что он отражает емкостную проводимость, поэтому все выражение (3.9) можно записать в виде цепной дроби:

 (3.10)

По формуле (3.10) составляем схему (рис. 3.2), на которой С = 3,349; L = 0,712; С = 3,349; Rг.н = Rн.н = Rнор.

Денормируем элементы схемы НЧ-прототипа, используя соотношения:

 (3.11)

где н = п.нч – нормирующая частота;

Rг – нормирующее сопротивление, равное внутреннему сопротивлению источника сигнала.

Используя соотношения (3.11) и значения н и Rг получаем реальные значения элементов схемы НЧ-прототипа:

3.5. Реализация пассивного полосового фильтра

Из теории фильтров известно [16], что между частотами НЧ-прототипа и частотами пф полосового фильтра существует соотношение

 (3.12)

где 0 находится по (2.1).

На основании (3.12) индуктивное сопротивление НЧ-прототипа заменяется сопротивлением последовательного контура с элементами

 (3.13)

а емкостное сопротивление НЧ-прототипа заменяется сопротивлением параллельного контура с элементами

 (3.14)

Тогда, на основании схемы ФНЧ, изображенной на рис. 3.2 может быть построена схема полосового фильтра так, как это показано на рис. 3.3. Элементы этой схемы рассчитываются по формулам (3.13) и (3.14).

На этом расчет полосового LC-фильтра заканчивается.

4. Пример расчета активного полосового фильтра

4.1. Расчет полюсов ARC-фильтра

Требования к полосовому ARC-фильтру остаются теми же, что и к полосовому LC-фильтру. Поэтому на этапе аппроксимации синтеза ARC-фильтра можно воспользоваться результатами расчета LC-фильтра, полученными в разделах 3.13.3. Причем, не самой нормированной передаточной функцией (3.7), а только ее полюсами (3.6), и, согласно (2.11), найти полюсы денормированной передаточной функции ПФ. Вначале находим:

Затем сами полюсы:

  (4.1.а)

  (4.1) (4.1.б)

  (4.1.в)

Расчет показывает, что вместо трех полюсов нормированной передаточной функции НЧ-прототипа получается шесть полюсов передаточной функции ARC полосового фильтра, причем денормированной. Их значения удобно представить в виде таблицы 4.1.

Таблица 4.1

Номера
полюсов

Полюсы H(p)

1,2

0,7032

18,676

3,6

0,3844

20,9351

4,5

0,3188

16,6781

Следует отметить, что чередование пар полюсов в таблице 4.1 значения не имеет.

4.2. Формирование передаточной функции

Учитывая, что ARC-фильтры обычно строятся из каскадно-соединенных звеньев второго порядка, целесообразно передаточную функцию таких фильтров формировать из произведения сомножителей тоже второго порядка. Они имеют вид [1, 2]:

Тогда вся передаточная функция рассчитываемого фильтра будет:

 (4.2)

Коэффициенты в числителе могут иметь одинаковую величину и рассчитываться по формуле

Коэффициенты в знаменателе (4.2) находятся по формулам:

 (4.3)

где  – значение полюсов (4.1). Например,

14064;

Значения всех рассчитанных коэффициентов сведены в таблицу 4.2.

Таблица 4.2

Номер
сомножителя

Значения коэффициентов

ai1

bi1

bi0

1

2

3

2,9624104

2,9624104

2,9624104

1,4064104

0,7688104

0,6376104

3,49291010

4,384261010

2,78261010

Подставляя найденные коэффициенты в 4.2 получим:

 (4.4)

4.3. Расчет элементов схемы фильтра

В качестве типовой выбираем простейшую схему ПФ на одном операционном усилителе (ОУ) (рис. 4.1). Если составить эквивалентную схему, заменив ОУ ИНУНом, то, используя любой из методов анализа цепей [1], можно получить передаточную функцию, описывающую работу схемы на рис. 4.1, в виде

 (4.5)

Из (4.5) видно, что рассмотренная схема является схемой второго порядка. Следовательно, для реализации функции (4.4) потребуется три подобных схемы или три звена, соединенных каскадно. Расчет элементов этих схем R1; R2; С3; С4; R5 ведется путем сравнения идентичных коэффициентов в формулах (4.4) и (4.5).

Для первого звена ПФ берутся коэффициенты из первого сомножителя (4.4):

 (4.6)

В системе (4.6) пять неизвестных и только три уравнения. Система нерешаема. Поэтому рекомендуется задаваться значениями, например, емкостей конденсаторов С3 и С4 (в ходе настройки фильтра при его изготовлении принято использовать переменные сопротивления, т. к. переменных конденсаторов с большой емкостью нет вообще).

Если принять С3 = С4 = 2 нФ, то решая (4.6), получим:

R1 = 17 кОм,  R5 = 71 кОм,  R2 = 101 Ом.

Составляя аналогичную систему для второго звена при тех же С3 = = С4 = 2 нФ, получим:

R1 = 17 кОм,  R5 = 130 кОм,  R2 = 44 Ом.

Аналогично для третьего звена:

R1 = 17 кОм,  R5 = 157 кОм,  R2 = 58 Ом.

Рассчитанные сопротивления не соответствуют стандартным номиналам резисторов. Поэтому для сопротивлений R1 и R5 в каждом звене берутся резисторы с номиналом, ближайшим к рассчитанному значению. Сопротивление R2 берется составным, из последовательно соединенных постоянном и переменном резисторов, что позволит осуществлять общую настройку фильтра.

5. Проверка результатов расчета

Проверка расчетов может быть выполнена в двух вариантах. Первый вариант – проверяется только этап аппроксимации, когда определяется насколько точно созданная передаточная функция соответствует исходным требованиям к фильтру по ослаблению в ПП и в ПН. Второй вариант – проверяется точность уже всего расчета, когда по известной передаточной функции схемы фильтра (т. е. с учетом значений элементов схемы) рассчитывается и строится график H(f) или А(f) всей схемы фильтра и анализируется, насколько хорошо этот график соответствует исходных требованиям по ослаблению в ПП и в ПН. Конечно, второй вариант для разработчика предпочтительнее.

При синтезе пассивного полосового фильтра получена передаточная функция только НЧ-прототипа (3.7) и в этом случае возможен только первый вариант проверки. При синтезе активного ПФ известна передаточная функция одного звена уже самой схемы фильтра (4.5). Очевидно, что Н(р) всего фильтра будет

 (5.1)

где значения каждого сомножителя будут отличаться из-за разницы в значениях сопротивлений звеньев фильтра. Итак, формула (5.1) позволяет реализовать второй вариант проверки выполненных расчетов.

С этой целью в (4.5) производится замена переменной вида р = j, в результате чего получают выражение

Находится модуль H(j) в виде

 (5.2)

Зная H(), легко найти зависимость ослабления от частоты вначале каждого звена, а затем всего фильтра:

 (5.3)

где

 (5.4)

В качестве числового примера выполним расчет первого звена фильтра.

Из раздела 4.3 берем значения элементов:

С1 = С2 = 2 нФ,  R1 = 17 кОм, R2 = 101 Ом, R5 = 71 кОм.

Подставляем эти значения в (5.2)

На частоте границы ПП fп2 = 33,75 кГц находим Н1(п2) = 0,6. На частоте границы ПН fз2 = 36,25 кГц находим Н1(з2) = 0,387. Кроме того находим Н1() на частотах. fп1 = 26,25 кГц и fз1 = 24,43 кГц.

Аналогичные расчеты выполняем для второго и третьего звеньев. Ослабления рассчитываются по формулам (5.3) и (5.4). Все результаты сводятся в таблицу 5.1.

При анализе табличных данных обратить внимание на разный характер зависимости ослабления от частоты у разных звеньев фильтра. Если сравнивать рассчитанное ослабление всей схемы фильтра на частотах границ ПП и ПН с заданным ослаблением на этих же частотах (раздел 3.2), то можно сделать вывод о довольно хорошем их соответствии. При практическом изготовлении фильтров всегда предусматривается операция по их настройке, в ходе которой добиваются ослабления с требуемой точностью.

В ходе расчета по формуле (5.2) обратить внимание на то, что значение  Н() наиболее сильно зависит от величины сопротивления R2, поэтому именно это сопротивление необходимо выбирать переменным.

На рис. 5.1 приведена ожидаемая теоретическая кривая зависимости ослабления фильтра от частоты. На рис. 5.2 приведена принципиальная схема активного полосового фильтра.

6. Вопросы для подготовки к защите
курсовой работы

  1.  Дайте определение электрического фильтра.
  2.  Как классифицируются фильтры по диапазону пропускаемых ими частот.
  3.  В чем заключаются требования к электрическим характеристикам фильтров.
  4.  Что такое функция фильтрации.
  5.  Что значит осуществить нормирование по частоте; по сопротивлению. В чем сущность денормирования.
  6.  Фильтры Баттерворта. Начертить графики зависимости ослабления и квадрата модуля передаточной функции от нормированной частоты для ФНЧ.
  7.  Тоже самое для фильтров Чебышева.
  8.  В чем достоинства и недостатки фильтров Баттерворта и Чебышева.
  9.  Как пересчитать требования к характеристикам ПФ, ФВЧ в требования к НЧ-прототипу.
  10.  Порядок синтеза пассивных полосовых фильтров.
  11.  Порядок синтеза активных полосовых фильтров.
  12.  Начертите графики ослабления ПФ для фильтров Баттерворта и Чебышева для разных порядков фильтров.
  13.  Как изменяется амплитудный спектр периодических радиоимпульсов при изменении их длительности периода следования и периода несущей частоты.


Литература

  1.  Бакалов В.П., Дмитриков В.Ф., Крук Б.И. Основы теории цепей. Учебник – М.: Радио и связь, 2000. – 589 с.
  2.  Бакалов В.П., Воробиенко П.П., Крук Б.И. Теория электрических цепей. Учебник – М.: Радио и связь, 1998. – 444 с.
  3.  Шебес М.Р., Каблукова М.В. Задачник по теории линейных электрических цепей: Учеб. пособие для вузов. 4-е изд., перераб. и доп. – М.: «Высшая школа», 1990. – 544 с.
  4.  Воробиенко П.П. Теория линейных электрических цепей. Сб. задач и упражнений. – М.: Радио и связь, 1989. – 328 с.
  5.  Зааль Р. Справочник по расчету фильтров. – М.: Радио и связь, 1983. – 752 с.
  6.  Белецкий А.Ф. Теория линейных электрических цепей. Учебник. – М.: Радио и связь, 1986. – 544 с.


Оглавление

Введение    3

1. Задание на курсовую работу     4

2. Основные сведения из теории фильтрующих цепей     7

2.1. Синтез пассивных полосовых фильтров     9

2.2. Синтез активных полосовых фильтров    12

3. Пример расчета полосового LC-фильтра    13

3.1. Расчет амплитудного спектра радиоимпульсов    13

3.2. Формирование требований к полосовому фильтру    15

3.3. Формирование передаточной функции НЧ-прототипа    16

3.4. Реализация LC-прототипа    18

3.5. Реализация пассивного полосового фильтра    20

4. Пример расчета активного полосового фильтра    21

4.1. Расчет полюсов ARC-фильтра    21

4.2. Формирование передаточной функции    22

4.3. Расчет элементов схемы фильтра    24

5. Проверка результатов расчета   25

6. Вопросы для подготовки к защите курсовой работы    28

Литература    29


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

67286. ОСНОВЫ НЕЙРОЭНДОКРИННОЙ РЕГУЛЯЦИИ ФУНКЦИЙ 148.5 KB
  Некоторые гормоны как например лютеинизирующий гормон передней доли гипофиза или мужской половой гормон тестостерон поступают в кровь путём пульсирующей секреции которая происходит в течение 12 минут и неоднократно повторяется на протяжении суток вследствие такого характера секреции уровень гормона...
67287. Лексика с экспрессивно-стилистической точки зрения 101 KB
  Функциональный стиль реализуется в устной и письменной формах и имеет особенности в лексике, фразеологии, словообразовании, морфологии, синтаксисе, фонетике, в использовании эмоционально-оценочных и экспрессивно-образных средств, в наличии своей системы клишированных средств.
67288. Формы государственно-территориального устройства 17.2 KB
  Тенденция: расширение предмета регулирования. Субсидиарность – принцип территориальной организация власти, при которой обеспечивается оптимальное разграничение полномочий между территориальными единицами и достигается эффективность управления и учет интересов населения.
67289. ИНСТРУМЕНТАЛЬНЫЕ СТАЛИ 54 KB
  Инструментальные стали делятся на четыре категории: 1 пониженной прокаливаемости преимущественно углеродистые; 2 повышенной прокаливаемости легированные; 3 штамповые; 4 быстрорежущие. Углеродистые и легированные стали применяются для режущего инструмента при легких условиях работы и для измерительного инструмента.
67290. Приближенные способы преобразования 279 KB
  Универсальный способ получения случайных чисел базируется на кусочной аппроксимации функции плотности. Для вычисления k воспользуемся следующим соотношением: Алгоритм машинной реализации этого способа получения случайных чисел сводится к выполнению следующих действий...
67291. КУЛЬТУРА 19 ВЕКА: ПОЗИТИВИЗМ 70 KB
  Вместе с изменением представлений о строении материи пространстве времени движении путях развития флоры и фауны месте человека в природе о происхождении жизни на Земле изменяется и отношение человека к природе и обществу. В отличие от героя-романтика герой-реалист активно участвует в жизни пытаясь изменить её в лучшую сторону.
67292. Выбор характеристик качества в проектах программных средств 93 KB
  Описание в стандарте ISO 9126:14 характеристик качества программных средств не содержит рекомендаций и методик выбора их значений в требованиях к конкретным проектам. Далее должны быть разработаны процессы выбора установления...
67293. РАНЫ 123.5 KB
  Раной называется любое механическое повреждение при котором нарушается целостность покровов тела кожи или слизистых с возможным нарушением глубжележащих тканей и органов. Классификация ран По механизму повреждения...
67294. Международное сотрудничество области безопасности жизнедеятельности 19.49 KB
  Международное сотрудничество по охране труда осуществляется в рамках Международной организации труда МОТ Всемирной организации здравоохранения ВОЗ Федерации специалистов по охране труда и промышленной гигиене ИФАС а также международной организации по безопасности и охране труда...