85569

РАЗРАБОТКА СИСТЕМЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ ЭВОЛЮЦИИ ПОПУЛЯЦИЙ

Дипломная

Экономическая теория и математическое моделирование

Разработаны различные модели управления системой формализована процедура анализа параметров системы и приведены математические методы ее решения; разработана компьютерная реализация информационно-вычислительной системы для исследования экосистем.

Русский

2015-03-28

687 KB

3 чел.

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ

ВОСТОЧНОУКРАИНСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ФИНАНСОВЫЙ ФАКУЛЬТЕТ

КАФЕДРА ЭКОНОМИЧЕСКОЙ КИБЕРНЕТИКИ

ДИПЛОМНАЯ РАБОТА

НА ТЕМУ:

РАЗРАБОТКА СИСТЕМЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ ЭВОЛЮЦИИ ПОПУЛЯЦИЙ

Студент гр. МГФ-91  Литвиненко В.О.  _______________

Научный руководитель Доц., к.т.н. Истомин Л.Ф. _______________

Заведующий кафедрой Проф., д.т.н. Рамазанов С.К._______________

ЛУГАНСК. 2001


Аннотация

В работе рассмотрена динамическая модель взаимодействия различных видов животных в экологической системе, проанализированы факторы влияющие на численность популяций животных. Также были подвергнуты разбору различные варианты внешнего воздействия (управления) на сиситему и ее реакции.

В работе анализируется экологические системы “травоядные-хищники” и “травоядные – хищники - корм”. Анализируется их поведение и развитие в различных случаях. Также в проекте проводится анализ поведения систем при наличии какого-либо  внешнего воздействия дополнительный фактор – пища для травоядных (трава). И снова проводится анализ системы.

В работе использованы результаты исследований в области системного анализа, экологических систем и численные методы решения систем дифференциальных уравнений первого порядка. Разработаны  различные модели управления  системой, формализована  процедура анализа параметров системы и приведены  математические методы ее решения; разработана компьютерная реализация информационно-вычислительной  системы для исследования экосистем.


Р е ф е р а т.

Стр.  ,  табл.  ,  рис.  , прил.  .

Система, экология, популяция, дифференциальные уравнения,  системный анализ, Экосистема, социально-экономическая система, биомасса, Точка равновесия, траектория, информационно-аналитическая система , управление, Входные и выходные данные, .

. В работе рассмотрена динамическая модель взаимодействия различных видов животных в экологической и экономической системах, проанализированы факторы влияющие на динамику соотношений видов. Подвергнуты разбору различные варианты внешнего воздействия (управления) на систему и ее реакции. В работе использованы результаты исследований в области системного анализа, экологических систем и численные методы решения систем дифференциальных уравнений первого порядка. Hfccvjnhtys различные модели управления  системой. Формализована  процедура анализа параметров системы и приведены  математические методы ее решения; разработана компьютерная реализация информационно-вычислительной системы для исследования систем рассмотренного типа.


Содержание.

[0.1] ДИПЛОМНАЯ РАБОТА

[0.1.0.1] Научный руководитель Доц., к.т.н. Истомин Л.Ф. _______________

[0.1.0.2] Заведующий кафедрой Проф., д.т.н. Рамазанов С.К._______________

[1]
Введение.

[2] 1. Динамические модели экосистем.

[2.1] Экосистемы как объект исследования.

[2.2]
1.2 Кибернетическое  моделирование экономических  и экологических систем.

[3] 2 Модели экосистем.

[3.1] 2.1 Уравнения, описывающие зволюцию отдельной популяции.

[3.2] 2.2 Сообщества двух видов и более.

[3.3]
2.3 Модель системы жертвы - хищники.

[3.3.1] 2.3.1 Математический  анализ модели жертвы – хищники.

[3.3.2] 2.3.2 Решение уравнений системы.

[3.3.3] 2.3.3 Интерпретация результатов.

[3.4] 2.4 Моделирование системы

[3.5] корм – жертвы – хищники.

[3.6] 2.5 Задача управления экологическими системами.

[4] 3 Анализ динамики развития систем.

[4.1] 3.1 Анализ системы жертвы – хищники.

[4.1.1] 3.1.1 Анализ коэффициентов системы.

[4.1.2] 3.1.2 Анализ управления системой.

[4.2]
3.2 Анализ коэффициентов и управления системой

[4.3] трава – травоядные – хищники.

[4.3.1] 3.2.1 Анализ коэффициентов системы трава – травоядные – хищники.

[4.3.2] 3.2.2 Анализ реакций на внешнее воздействие.

[5] 4. Проектирование программного обеспечения информационно-вычислительной системы.

[5.1] 4.1.Анализ задач и функций системы.

[5.2] 4.2. Алгоритм решения систем дифференциальных уравнений методом Рунге –Кутта.

[5.3] 4.3.Анализ данных, разработка структур данных и связей.

[5.4] 4.4 Разработка интерфейса системы.

[6]
Заключение.

[7]
Литература.

[8] Управляющее

[9] X(0), Y(0), T0, T, H


Введение.

Конец XX и начало XXI века характеризуется мощным рывком в развитии  научно-технического прогресса, ростом социальных противоречий, резким демографическим взрывом, ухудшением состояния окружающей человека природной среды. Человек никогда ранее не взимал с природы столько дани и не оказывался столь  уязвимым перед мощью, которую сам же создал.

Что же несет нам век грядущий - новые проблемы или  безоблачное будущее? Каким будет человечество через 150, 200 лет?  Сможет  ли человек  своим разумом и волей спасти себя самого и нашу планету от нависших над ней много численных угроз?

Эти вопросы, несомненно, волнуют многих людей. Будущее биосферы стало предметом пристального внимания представителей многих отраслей научного знания, что само по себе может быть достаточным основанием для выделения особой группы  проблем - философско-методологических проблем экологического прогнозирования. Следует подчеркнуть, что данный аспект является одной из "слабостей молодой науки футурологии" в целом. Разработка этих проблем является одним  из важнейших  требований развития человеческой культуры на современном этапе развития человечества. Ученые согласились, что  принятая  политика  по принципу “реагировать и исправлять” бесплодна, повсеместно завела в тупик.

Научное прогнозирование (в отличие от  разнообразных форм  ненаучного предвидения) - это соответственно непрерывное, специальное, имеющее свою методологию  и технику  исследование, проводимое в рамках управления, с целью повышения уровня его обоснованности и эффективности.

Исследование будущего разделяется на два  качественно различных направления:  поисковое ( исследовательское ) и  нормативное прогнозирование.

Поисковое прогнозирование - это анализ перспектив развития существующих тенденций на определенный период и определение на этой основе вероятных состояний объектов управления в будущем при условии  сохранения  существующих тенденций в неизменном состоянии или проведения тех или иных мероприятий с  помощью  управленческих  воздействий. Нормативное прогнозирование (иногда его называют "прогнозированием наоборот", т.к. в данном случае исследование идет в обратном направлении: от будущего к настоящему) представляет собой попытку рационально организованного анализа возможных путей достижения целей оптимизации управления. Этот вид прогнозов как бы отвечает на вопрос:  "Что  можно  или нужно сделать для того, чтобы достичь поставленных целей или решить принятые задачи?". Предметом нормативного прогнозирования выступают  субъективные факторы (идеи, гипотезы, предположения, этические нормы, социальные идеалы, целевые установки), которые, как показывает история, могут решающим образом изменить характер протекающих процессов, а также стать причиной  появления качественно новых, непредсказуемых феноменов действительности.

В исследовании  различных  аспектов  взаимосвязи человека и биосферы  можно выделить ряд стадий: описание - исходный, эмпирический этап,  отвечаю щий  на  вопрос  "что происходит в  окружающей  среде и  в самом человеке?"; объяснение - промежуточный, теоретический этап, отвечающий на вопрос "почему  это  происходит?";  предвидение - завершающий,  практически  ориентированный этап  экологического  исследования, который должен давать ответы на два (как  минимум)  вопроса:  "каким образом обнаруженные тенденции будут вести себя в  будущем?"  и  "что следует предпринять для того, чтобы предотвратить нежелательные  явления или, наоборот, способствовать реализации благоприятных воз можностей?".


1. Динамические модели экосистем.

  1.  Экосистемы как объект исследования.

Биосфера  вместе с ее населением играет большую роль жизни человека,  которая с прогрессом цивилизации непрерывно возрастает. Поэтому по мере освоения различных сторон биосферы   все большее значение приобретает ее биологическое изучение в интересах оптимизации природопользования и охраны среды.

В результате роста и размножения животных происходит непрерывное образование биомассы.  Это экосистемное явление называют биологической продуктивностью, сам процесс образования биомассы -биологическим продуцированием,  а новообразованную биомассу -биологической продукцией.  Биологическая продукция  -только  часть биоорганической продукции -всего органического  вещества,  создаваемого  организмами  в процессе своей жизнедеятельности.  Биопродуктивность экосистем реализуется в форме  образования  организмов,  полезных, безразличных или вредных для человека. В связи с этим исходя из текущих запросов практики можно говорить о биохозяйственной продукции - биомассе организмов, имеющих в настоящее время промысловое значение.  Вне зависимости от интересов практики различают   продукцию  первичную  и  вторичную.

Первая представляет собой результат  биосинтеза  органического  вещества в  процессе жизнедеятельности веществ.

Вторичная продукция образуется в  процессе  трансформации  уже  имеющегося органического вещества организмами-гетеротрофами. Биопродуктивность гидросистем   можно  рассматривать  в двух планах:  природном (биосферном)  и  социально  экономическом. В первом случае результаты продуцирования безотносительно к интересам человека, как одну из особенностей круговорота веществ  в экосистеме,  как одну из функций экосистем-блоков биосферы. С социально-экономической точки зрения биопродуктивность характеризуется  величиной биомассы, используемой человеком.  В этом  случае  продуктивность определяется как свойствами самих эксплуатируемых экосистем, так и формой их хозяйственного освоения.

Организмы, используемые  в  качестве объектов промысла, образуют биологические ресурсы .

Из огромного числа животных только немногие представители флоры и фауны используются человеком в качестве биологического сырья. Поэтому перспективная оценка биологических ресурсов зоосферы должна исходить не только из  учета  возможного  отлова объектов,  добываемых в настоящее время.

В отличие  от полезных ископаемых биологические ресурсы относятся к самовоспроизводящимся. Следовательно, их величина в  гидросфере  определяется не количеством имеющихся промысловых организмов,  а их приростом, т.е. продукцией. Мерой реализации этой продукции служит промысел.

Объем устойчивого промысла животных определяется величиной  их  естественного  воспроизводства.  Поэтому промысел не должен превысить естественных природных  популяций и   учитывать  особенности  их  воспроизводства  (сроки, места, орудия лова и т.д.). Охрана и повышение эффективности естественного воспроизводства представляют собой важную меру укрепления сырьевой базы промысла,  равно как  и  обогащение.

Росту организмов  сопутствует их развитие -поступательное изменение всей организации тела,  направленное на достижение оптимального  репродуктивного  состояния,  обеспечение необходимой эффективности размножения.  В  ходе  онтогенеза, перестраиваясь структурно и функционально,  организмы достигают репродуктивной зрелости. Чем больше образуется потомков и выше  их выживаемость,  тем успешнее реализуется жизненная стратегия вида -максимизация в  биосфере,  свойственной  ему формы трансформации веществ и энергии, универсализация своего образа жизни,  предельное усиление своей биогеохимической функции на Земле.

Поскольку такая тенденция свойственна всем видам, это усиливает их конкуренцию на материальные и  энергетические ресурсы биосферы, расширяет ресурсную базу жизни, интенсифицирует в эволюционном аспекте биологический  круговорот веществ и поток энергии в биосфере.

Наука об эколосистемах  исходит  из представлений о том, что живое, возникшее из неживого, остается в  тесной  зависимости  с последним,  находится с ним в структурно -функциональном единстве. На всех уровнях ореолизации живое  существует только как часть противоречивого целого -биологического тела в его взаимосвязях со  всей  совокупностью окружающих условий. Обитатели той или иной экосистемы вне зависимости от  систематического  положения  конвергентно приобретают  сходные адаптации к существованию в пределах своего места обитания,  образуя характерные  жизненные формы.

Организмы, популяции,  биоценозы - не  жесткие  системы, разрушающиеся при  состояниях  среды,  отличающихся от оптимальных, они способны адаптироваться к среде.

Оценка степени  ухудшения  условий в животных экосистемах под влиянием  загрязнения  или  других  антропогенных   воздействий с  той или другой точностью в настоящее время может быть сформулирована только применительно к практическим формам использования. Показателем экологического благополучия экосистем может служить хорошо развитый биокруговорот. Прогноз состояния животных экосистем и влиянии тенденций в их изменении крайне важны для перспективного планирования рациональной эксплуатации лесов.

Человек должен стабилизировать свой обмен с природой на основе его адекватности,  гармонического сочетания интересов общества и возможностей природы.


1.2 Кибернетическое  моделирование экономических  и экологических систем.

Целью математического моделирования экономических и экологических  систем является использование методов математики для наиболее эффективного решения задач, возникающих в в сфере экономики, с использование, как правило, современной вычислительной техники.

Процесс решения экономических задач осуществляется в несколько этапов:

1. Содержательная (экономическая) постановка задачи. Вначале нужно осознать задачу, четко сформулировать ее. При этом определяются также объекты, которые относятся к решаемой задаче, а также ситуация, которую нужно реализовать в результате ее решения. Это - этап содержательной постановки задачи. Для того, чтобы задачу можно было описать количественно и использовать при ее решении вычислительную технику, нужно произвести качественный и количественный анализ объектов и ситуаций, имеющих к ней отношение. При этом сложные объекты, разбиваются на части (элементы), определяются связи этих элементов, их свойства, количественные и качественные значения свойств, количественные и логические соотношения между ними, выражаемые в виде уравнений, неравенств и т.п. Это - этап системного анализа задачи, в результате которого объект оказывается представленным в виде системы. Следующим этапом является математическая постановка задачи, в процессе которой осуществляется построение математической модели объекта и определение методов (алгоритмов) получения решения задачи. Это - этап системного синтеза (математической постановки) задачи. Следует заметить, что на этом этапе может оказаться, что ранее проведенный системный анализ привел к такому набору элементов, свойств и соотношений, для которого нет приемлемого метода решения задачи, в результате приходится возвращаться к этапу системного анализа. Как правило, решаемые в экономической практике задачи стандартизованы, системный анализ производится в расчете на известную математическую модель и алгоритм ее решения, проблема состоит лишь в выборе подходящего метода.

Следующим этапом является разработка программы решения задачи на ЭВМ. Для сложных объектов, состоящих из большого числа элементов, обладающих большим числом свойств, может потребоваться составление базы данных и средств работы с ней, методов извлечения данных, нужных для расчетов. Для стандартных задач осуществляется не разработка, а выбор подходящего пакета прикладных программ и системы управления базами данных.

На заключительном этапе производится эксплуатация модели и получение результатов.

Таким образом, решение задачи включает следующие этапы:

1. Содержательная постановка задачи.

2. Системный анализ.

3. Системный синтез (математическая постановка задачи)

4. Разработка или выбор програмного обеспечения.

5. Решение задачи.

Последовательное использование методов исследования операций и их реализация на современной информационно-вычислительной технике позволяет преодолеть субъективизм, исключить так называемые волевые решения, основанные не на строгом и точном учете объективных обстоятельств, а на случайных эмоциях и личной заинтересованности руководителей различных уровней, которые к тому же не могут согласовать эти свои волевые решения.

Системный анализ позволяет учесть и использовать в управлении всю имеющуюся информацию об управляемом объекте, согласовать принимаемые решения с точки зрения объективного, а не субъективного, критерия эффективности. Экономить на вычислениях при управлении то же самое, что экономить на прицеливании при выстрелах. Однако ЭВМ не только позволяет учесть всю информацию, но и избавляет управленца от ненужной ему информации, а всю нужную пускает в обход человека, представляя ему только самую обобщенную информацию, квинтэссенцию. Системный подход в экономике эффективен и сам по себе, без использования ЭВМ, как метод исследования, при этом он не изменяет ранее открытых экономических законов, а только учит, как их лучше использовать.

Основные системные понятия

Кибернетическая система - это множество взаимосвязанных объектов - элементов системы, способных воспринимать, запоминать и перерабатывать информацию, а также обмениваться информацией. Система включает также связи между элементами. Элементы и связи между ними могут обладать свойствами (показателями), каждое из которых может принимать некоторое множество значений. Примеры кибернетических систем: автопилот, регулятор температуры в холодильнике, ЭВМ, человеческий мозг, живой организм, биологическая популяция, человеческое общество.

Каждый элемент системы, в свою очередь, может быть системой, которая по отношению к исходной системе является подсистемой. В свою очередь, любая система может быть подсистемой другой системы, которая по отношению к ней является надсистемой.

Средой данной системы называется система, состоящая из элементов, не принадлежащих этой системе.

Для того, чтобы элементы системы могли воспринимать, запоминать и перерабатывать информацию, они должны обладать изменчивостью, т.е. менять свои свойства. Говорят, что элемент может находиться в разных состояниях. Каждый элемент характеризуется набором показателей. При изменении значения хотя бы одного из показателей элемент переходит в другое состояние, т.е. состояние элемента определяется совокупностью конкретных значений показателей элемента. Система в целом также может рассматриваться как элемент, она характеризуется своими показателями и может переходить из одного состояния в другое.

Показатели могут быть числовыми и нечисловыми. Числовые показатели могут быть непрерывными и дискретными. Нечисловые показатели обычно выражают в виде числовых, например - интеллект (коэффициент интеллекта), уровень знаний студента (оценка в баллах), отношение одного человека к другому (социологические индексы).

Элемент может осуществлять воздействие на другие элементы системы, изменяя их состояние. Для перехода элемента из одного состояния в другое требуется определенная энергия. Если физический процесс воздействия одного элемента на другой дает также энергию для перевода в другое состояние, то на второй элемент осуществляется энергетическое воздействие. Если же указанный процесс дает только сведения о состоянии воздействующего элемента, а энергия для перевода в другое состояние элемента, на который направлено воздействие, берется из иного источника, то на элемент осуществляется информационное воздействие. Говорят, что первый элемент передает сигнал второму элементу.

Сигнал есть сообщение о состоянии элемента.

В дальнейшем мы будем употреблять термин "передача сигнала" вместо "информационное воздействие" и "воздействие" вместо "энергетическое воздействие".

Состояние элемента может меняться самопроизвольно, или в результате сигналов и воздействий, поступающих извне системы.

Сообщение - это совокупность сигналов.

Сигналы, вырабатываемые элементами системы, могут поступать за пределы системы, в этом случае они называются выходными сигналами системы. В свою очередь, на элементы могут поступать сигналы извне системы, они называются входными. Аналогичным образом определяются входные и выходные воздействия.

Структура системы - это совокупность ее элементов и связей между ними, по которым могут проходить сигналы и воздействия.

Входами называются элементы системы, к которым приложены входные воздействия или на которые поступают входные сигналы.

Входными показателями называются те показатели системы, которые изменяются в результате входного воздействия или сигнала.

Выходами называются элементы системы, которые осуществляют воздействие или передают сигнал в другую систему.

Выходными показателями называются те показатели системы, изменения которых вызывают выходное воздействие или выходной сигнал, либо сами являются таким воздействием или сигналом.

Классификация систем.

Классификацию кибернетических систем мы проведем по двум критериям: степень сложности системы и ее детерминированность.

По степени сложности системы бывают:

1. Простые.

2. Сложные.

3. Сверхсложные.

К простым относятся системы, имеющие простую структуру и легко поддающиеся математическому описанию, они могут быть реализованы без использования ЭВМ.

Сложными являются системы, имеющие много внутренних связей и сложное математическое описание, реализуемое на ЭВМ.

Сверхсложные системы не поддаются математическому описанию.

Границы между указанными классами размыты и могут со временем смещаться, например, совершенствование математического аппарата и вычислительной техники позволяет дать описание систем, для которых это раньше было невозможно, или сложное описание сделать простым.

По второму критерию системы делятся на детерминированные и вероятностные.

Все возможные случаи получаются комбинированием указанных классов:

1. Простые детерминированные системы:

- холодильник с регулятором;

- система размещения станков в цехе;

- система автобусных маршрутов;

2. Сложные детерминированные системы:

- ЭВМ;

- цветной телевизор;

3. Сверхсложные детерминированные системы:

- шахматы.

4. Простые вероятностные системы:

- лотерея;

- система статистического контроля продукции на предприятии;

5. Сложные вероятностные системы:

- система материально-технического снабжения на предприятии;

- система диспетчирования движения самолетов вблизи крупного аэропорта;

6. Сверхсложные вероятностные системы:

- предприятие в целом, включая все его технические, экономические, административные, социальные характеристики;

- человеческий мозг.

В нашем курсе мы будем интересоваться, главным образом, простыми и сложными системами, вероятностными и детерминированными.

Динамика системы

Состояние системы - это совокупность значений ее показателей.

Все возможные состояния системы образуют ее множество состояний. Если в этом множестве определено понятие близости элементов, то оно называется пространством состояний.

Движение (поведение) системы - это процесс перехода системы из одного состояния в другое, из него в третье и т.д.

Если переход системы из одного состояния в другое происходит без прохождения каких-либо промежуточных состояний, то система называется дискретной.

Если при переходе между любыми двумя состояниями система обязательно проходит через промежуточное состояние, то она называется динамической (непрерывной).

Возможны следующие режимы движения системы:

1) равновесный, когда система находится все время в одном и том же состоянии;

2) периодический, когда система через равные промежутки времени проходит одни и те же состояния;

Если система находится в равновесном или периодическом режиме, то говорят, что она находится в установившемся или стационарном режиме.

3) переходный режим - движение системы между двумя периодами времени, в каждом из которых система находилась в стационарном режиме;

4) апериодический режим - система проходит некоторое множество состояний, однако закономерность прохождения этих состояний является более сложной, чем периодические, например, переменный период;

5) эргодический режим - система проходит все пространство состояний таким образом, что с течением времени проходит сколько угодно близко к любому заданному состоянию.

Свойства объекта и его поведение зависят от того, каким образом мы его представляем в виде системы. Например, если воздух, находящийся в этой комнате, представить в виде системы молекул, каждая из которых характеризуется своими координатами и скоростью, то поведение такой системы будет эргодично, если же определить его как систему, состоящую из одного элемента, показателями которого являются давление и температура, то такая система находится в равновесном режиме.

Для всех практических задач второй способ определения системы предпочтительнее. Мы получаем простую детерминированную систему, а в первом случае - сверхсложную вероятностную, которую мы не сможем исследовать, а если бы даже смогли, то нигде бы не использовали полученные результаты. Необходимо правильное определение системы и при исследовании экономических объектов, которыми мы желаем управлять. Инструментом исследования объектов для целей выбора оптимальных способов управления является кибернетическое моделирование.

Кибернетическое моделирование

В процессе исследования объекта часто бывает нецелесообразно или даже невозможно иметь дело непосредственно с этим объектом. Удобнее бывает заменить его другим объектом, подобным данному в тех аспектах, которые важны в данном исследовании. Например, модель самолета продувают в аэродинамической трубе, вместо того, чтобы испытывать настоящий самолет - это дешевле. При теоретическом исследовании атомного ядра физики представляют его в виде капли жидкости, имеющей поверхностное натяжение, вязкость и т.п. Управляемые объекты являются, как правило, очень сложными, поэтому процесс управления неотделим от процесса изучения этих объектов.

Модель - это мысленно представляемая или материально реализованная система, которая, отображая или воспроизводя объект исследования, способна замещать его так, что ее изучение дает новую информацию об этом объекте.

При моделировании используется аналогия между объектом - оригиналом и его моделью. Аналогии бывают следующими:

1) внешняя аналогия (модель самолета, корабля, микрорайона, выкройка);

2) структурная аналогия (водопроводная сеть и электросеть моделируются с помощью графов, отражающих все связи и пересечения, но не длины отдельных трубопроводов);

3) динамическая аналогия (по поведению системы) - маятник моделирует электрический колебательный контур;

4) кибернетические модели относятся ко второму и третьему типу. Для них свойственно то, что они реализуются с помощью ЭВМ. Смысл кибернетического моделирования заключается в том, что эксперименты проводятся не с реальной физической моделью объекта, а с его описанием, которое помещается в память ЭВМ вместе с программами, реализующими изменения показателей объекта, предусмотренные этим описанием.

С описанием производят машинные эксперименты: меняют те или иные показатели, т.е. изменяют состояние объекта и регистрируют его поведение в этих условиях. Часто поведение объекта имитируется во много раз быстрее, чем на самом деле, благодаря быстродействию ЭВМ. Кибернетическую модель часто называют имитационной моделью.

Формирование описания объекта (его системный анализ) является важнейшим звеном кибернетического моделирования. Вначале исследуемый объект разбивается на отдельные части и элементы, определяются их показатели, связи между ними и взаимодействия (энергетические и информационные). В результате объект оказывается представленным в виде системы. При этом очень важно учесть все, что имеет значение для той практической задачи, в которой возникла потребность в кибернетическом моделировании, и вместе с тем не переусложнить систему.

Следующим этапом является составление математических моделей эффективного функционирования объекта и его системной модели. Затем производится программирование описания и моделей его функционирования.

Понятие управления

Управление - это такое входное воздействие или сигнал, в результате которого система ведет себя заданным образом. Обычно управление направлено на то, чтобы система находилась в стационарном режиме (равновесном или периодическом).

Управление развитием системы - это воздействия или сигналы, направленные на изменение структуры или множества состояний системы. Например, план реконструкции предприятия. В этом случае осуществляется управление поведением системы, которая реализует развитие данной системы.

Таким образом, управление всегда имеет определенную цель. Обычно она формулируется как ограничение на множество возможных состояний системы, или какой-либо показатель системы, который нужно поддерживать в заданных пределах, либо максимизировать. Если известна зависимость указанного показателя от входных воздействий на систему, или ее состояния, то он называется целевой функцией.

Часто цель не может быть достигнута сразу, а необходимо пройти несколько этапов, на каждом из которых имеется локальная цель, не совпадающая с главной целью. Эти локальные цели называются задачами управления. Пример: автобус идет по маршруту. Цель - конечный пункт. Задача - проехать по данной улице. Может оказаться, что направление движения по улице сильно отличается от направления на конечный пункт.

Для осуществления процесса управления нужно наличие трех элементов:

- управляемый объект;

- орган управления;

- исполнительный орган.

Орган управления - это система, на вход которой поступают сигналы о состоянии управляемого объекта и среды, а на выходе - сигнал о необходимом в данной ситуации управлении.

Исполнительный орган - это система, на вход которой поступает сигнал о необходимом управлении, а на выходе вырабатывается управляющее воздействие на управляемый объект.

Система управления объединяет орган управления и исполнительный орган.

УО - управляемый объект;

ОУ - орган управления;

ИО - исполнительный орган;

ИЭ - источник энергии управляющих воздействий;

x - управление (вход УО);

y - выход УО,  характеризующий его состояние (результат управления);

u - управляющий сигнал;

В - возмущения среды;

z - информация, поступающая в ОУ.

Способы управления

Различают три способа управления, в зависимости от того, на основании какой информации ОУ формирует управляющий сигнал.

1) Управление по отклонению - используются сведения об изменениях выхода УО, его поведения. реализует замкнутая схема управления.

Обратная связь может быть положительной и отрицательной. Положительная обратная связь такая, при которой увеличение y приводит к таким значениям x, которые влекут дальнейший рост y, при отрицательной - рост y приводит к значениям x, вызывающим уменьшение y.

Примеры положительной обратной связи: цепные реакции, взрыв, система аварийной сигнализации. Во всех подобных случаях небольшое отклонение должно вызвать как можно более энергичную реакцию управляемого объекта.

Отрицательная обратная связь осуществляется, например, при управлении запасом товаров на складе: при возникновении существенного отклонения запаса от нормативного предпринимаются меры по устранению этого отклонения - завоз товаров, либо реализация излишка.

2) Управление по возмущению или нагрузке - используются сведения о возмущающих воздействиях на управляемый объект со стороны окружающей среды. Этот способ управления реализует разомкнутая схема управления.

3) Комбинированное управление является сочетанием двух предыдущих способов управления.

Замкнутая система управления позволяет быстро реагировать на нежелательные отклонения в поведении объекта, с целью устранить эти отклонения. Однако она не следит за причинами, вызвавшими отклонения. В результате объект может выйти из-под контроля, а управление только замедлит его нежелательное поведение. Пример: лечение рака аспирином. Замкнутая система поддерживает равновесие, она обеспечивает достижение цели управления, когда возмущающих воздействий много и не все они могут быть измерены, а также когда заранее не известно влияние возмущений на управляемые величины.

Разомкнутая система управления учитывает причины (возмущения среды), которые вызывают то или иное поведение объекта. Она позволяет лечить болезнь, а не симптомы. Однако результат управления проявляется медленно, может оказаться, что объект уже пришел в нужное состояние, однако продолжаются управляющие воздействия, которые выводят его из этого состояния.

Если СУ реагирует на каждое, даже случайное, отклонение, то может возникать "рысканье" системы, ее неустойчивость.

Комбинированная СУ позволяет осуществлять учет длительно действующих, запаздывающих по своему действию причин (возмущения среды) и фактических результатов управления (поведения объекта). Вначале происходит грубая настройка объекта на условия его работы, затем точное регулирование в соответствии с фактическим поведением объекта.

Задачи управления

Имеются четыре основных задачи управления:

1) стабилизация;

2) программное управление;

3) слежение;

4) оптимальное управление.

Стабилизация системы - это поддержание ее выходных показателей вблизи заданных значений у0.

Примеры:

1) Система управления организма - поддержание температуры тела, давления крови и т.п.

2) электроснабжение - стабилизация напряжения и частоты тока.

3) управление народнохозяйственным комплексом - поддержание стабильных значений основных макроэкономических показателей.

Программное управление - поддержание выходных показателей вблизи заданных значений y0, зависящих от времени заданным образом. Схема - та же, с заменой y0 на y0(t).

Примеры:

1) вывод ракеты на спутниковую орбиту, причем наилучшая траектория У0(t) заранее известна - рассчитана, исходя из свойств земной атмосферы и тяготения;

2) станок с числовым программным управлением;

3) национальная и региональная целевые программы социально-экономического развития

Слежение - обеспечение как можно более точного соответствия между состоянием или поведением управляемого объекта и состоянием или поведением какого-либо другого объекта, которым управлять невозможно. Он рассматривается как составная часть среды.

Примеры:

1) управление производством товара в зависимости от неуправляемого спроса;

2) ритм и глубина дыхания, частота пульса в зависимости от физической нагрузки;

При оптимальном управлении нужно наилучшим образом выполнить задачу, стоящую перед объектом, при заданных условиях и ограничениях.

Примеры целевых функций: быстродействие, к.п.д., прибыль, расход сырья и полуфабрикатов в технологическом процессе.


2 Модели экосистем.

2.1 Уравнения, описывающие зволюцию отдельной популяции.

Имеется большое число различных моделей, описывающих поведение изолированной популяции. В ряде зтих моделей скорость изменения численности популяции представляется в виде суммы трех слагаемых, первое из которых определяется рождаемостью, второе - смертностью, третье - миграцией. Одна из первых таких моделей, предложенная Т. Р. Мальтусом в 1798 г. имеет вид

   (1)

Здесь N (і) — численность популяции в момент времени t, постоянная  >0.

В модели Мальтуса миграция не учитывается, рождаемость и смертность пропорциональни численности, причем скорость рождаемости больше скорости смертности. В соответствии с законом Мальтуса (1) численность популяции должна расти зкспоненциально, что не всегда справедливо.

Дж. Кьютелет предположил, что должно иметь место насыщение численности популяции. На оснований зтого в 1836 г. его учених Ферхюльст предложил для описання численности популяции N (t) использовать уравнение

  (2)

Здесь постоянная К - определяет численность стационарного состояния популяции. Постоянную К называют емкостью среды для данной популяции.

Решение задачи (2), полученное, например, методом разделения переменных, имеет вид

  (3)

Из зтого выражения следует, что   Значит, для модели (2) численность популяции стремится к конечному значенню К, Кроме того, в силу (4.2) производная N(t)>0, если N0 <К, и N(t)<0, если N0 > К. Отсюда и из (4.3) следует асимптотическая устойчивость стационарного решения N(t)К уравнения (2), а также неустойчивость нулевого равновесия N (t)0.

Существенным недостатком моделей вида (2) является предположение о мгновенности реакции популяции на изменение ее численности. В действительности, однако, изменение численности популяции N(t) не мгновенно сказывается на скорости N(t). Учет зтого приводит к необходимости использовать уравнения с последействием. Если  все эффекты последействия усредненно можно охарактеризовать временным запаздыванием h>0, то соответствующая модель, предложенная Г. Е. Хатчинсоном в 1948 г.. имеет вид

   (4)

Более общая модель, учитвающая как дискретное, так распределенное запаздывание, введенная Дж. Й. Кушингом в 1976 г., описывается уравнением

  (5)

Здесь К(s) неубывающая ограниченная функция, а интеграл в правой части понимается в смысле Стилтьеса. Из уравнения (4.5) можно получить уравнения (1), (2), (4) при соответствующем выборе функции К(s). Вместе с тем в модели (5) не учитывается возрастная неоднородность отдельных представителей популяции.

Модели популяции, в которых учитывается неоднородность возраста и миграция, описываются следующим образом. Обозначим через N(t,) численность части популяции в момент времени t, возраст представителей которой в зтот момент t не превосходит . Плотность (т. е. производную) функции N(t,) по обозначим через n(t,), т. е. n(t,) =дN(t, )/д. Тогда для функции n(t,) справедливо уравнение

  (6)

Здесь через (t,) обозначен козффициент смертности, а через g(t,) - скорость миграции. Иными словами, за малое время t число умирающих представителей популяции в момент t в возрасте равно (t,)n(t,)t, а число мигрирующих есть g(t,)t. Знак функции g зависит от характера миграции: функция g положительна в случае иммиграции и отрицательна в случае эмиграции. Граничное условие для n(t,0) определяется числом родившихся представителей популяции в момент времени t. Оно представимо в виде

    (7)

Здесь 1 и 2 > 1 определяют границы возрастов, в пределах которых возможно воспроизводство: функция u(t) характеризует скорость рождаемости: наконец, функция k(t,) отражает неравномерность воспроизводства в зависимости от возраста. Наряду с граничним условием (7) для решения уравнения (6) следует задать начальное условие

     (8)

где n0() - заданная функция, определяющая распределение по возрастам в начальный момент времени t = 0. Пусть функция (t,) не зависит от t, т. е. (t,)  (), а граничное условие  (4.7) имеет вид

  (9)

Тогда для решения задачи (4.6), (4.8), (4.9) справедливо представление  

)

Эти выражения могут быть использованы при анализе динамики численности популяции, описываемой уравнением (6).

Другой тип неоднородности возникает тогда, когда популяция неравномерно распределена в среде обитания, вследствие чего имеет место диффузия популяции, т. е. перемещение особей, популяции из одной области среды обитания в другую. Для описання зволюции в зтом случае рассмотрим плотность популяции D(t, х, у) в момент времени t в точке с координатами (х,у). Функция D(t, х, у) является решением уравнения Хатчинсона с диффузией

где - коэффициент диффузии.

Эффективным способом описания различных типов неоднородностей, а также неполноты информации является моделирование их с помощью случайных величин или процессов. Пусть, например, коэффициент роста Х в уравнении (2) случаен. Тогда для описания динамики популяции вместо уравнения (2) можно использовать уравнение

где - стандартный винеровский процесс.

2.2 Сообщества двух видов и более.

Существует большое количество различных типов уравнений, моделирующих поведение сообществ, содержащих два вида и более (две популяции или более). Одна из первых таких моделей (модель Лотки – Вольтерра или модель «хищник - жертва» ) служит для описания поведения сообщества, состоящего из двух видов, интерпретируемых как «хищник» и «жертва». Обозначим через x(t) и y(t) численности соответственно жертв м хищников в момент t. Модель Лотки – Вольтерра описывается уравнениями:

   (10)

где аi>0 – некоторые постоянные.

Система (10) имеет только одно ненулевое положение равновесия k(x1,y1) c координатами x1=a4(a2a3)-1, y1=a1a2-1. Заметим, что решение x(t), y(t) задачи (10) положительно при любом t. Положим x2(t)=x(t)x1-1, y2(t)=y(t)y1-1. Тогда первый интеграл системы записывается в форме

    (11)

Величины x1 и y1 представляют собой соответственно средние значения жертв и хищников за период. Значение постоянной С для конкретной траэктории определяется левой частью (11) при t=0.

Из (11) вытекает, что фазовые траектории системы (10) представляют собой замкнутые кривые, вложенные друг в друга. При этом чем больше С, тем больше максимальные значения функции х(t) и у(t) (на рис.1  стрелки указывают направления эволюции системы при возрастании времени). Если начальное положение системы (10) совпадает с положением равновесия k, то постоянная С в (11) принимает минимальное   значение,   равное С0 = ехр (a1 + a4). При С > С0 фазовые траектории содержат внутри себя точку k. Таким образом, эта точка является устойчивым положением равновесия системы (10) относительно возмущений начального положения. Более детальный анализ показывает, что точка k есть центр, Действительно, линеаризуя уравнения (10) в окрестности этой  точки, получаем, что в линейном приближении функции x3(t) = x(t) – x1, y3(t) = y(t) – y1 удовлетворяют соотношениям

  (12)

Составим характеристическое уравнение, соответствующее (12). Имеем

Корни 1 и 2 этого уравнения чисто мнимые: 1,2 = i. Значит, точка R является центром и период колебаний системы «хищник— жертва» относительно положения R в линейном приближении равен 2()-1.

Модель Лотки - Вольтерра (10) позволила объяснить ряд явлений окружающего мира. Вместе с тем некоторые эффекты в этой модели не были учтены. В связи с этим указанная модель усовершенствовалась в различных направлениях, связанных с учетом внутривидовой конкуренции, запаздывания, случайных возмущений, неоднородности возраста и среды обитания и т. д. Например, уравнения взаимодействия хищника и жертвы с учетом внутривидовой конкуренции имеют вид

   (13)

где 1 > о, 2 > 0 - заданные постоянные. Уравнения (13) отличаются от уравнений (10) слагаемыми 1x2 и 2y2, учитывающими соответственно конкуренцию среди жертв и хищников. Вопросы устойчивости стационарных состояний систем вида (13) рассмотрены в литературе.

Для описания эволюции многих популяций были предложены различные модели. Приведем одну из них.

Пусть имеется п видов конкурирующих между собой жертв с численностями Ni(t),..., Nn(t) и m видов хищников, численности которых равны P1(t), ...., Рm(t). Уравнения их взаимодействия можно представить в виде

Здесь i, ij, ij, l, lj - некоторые положительные постоянные.

Приведенные выше модели сформулированы в терминах системы «хищник—жертва». Вместе с тем близкие по типу уравнения используются и при описании взаимодействия животного и растительного мира, а также в вопросах биотехнологии.


2.3 Модель системы жертвы - хищники.

2.3.1 Математический  анализ модели жертвы – хищники.

Рассмотрим взаимодействие двух видов животных. один из которых служит пищей для другого. Чтобы придать работе конкретный характер, будем считать, что животные первого вида - это кролики, а второго - лисы. Конечно, модели такого типа имеют значительно более широкое применение. Упомянем только один пример: распространение эпидемии с помощью бактерий. Можно рассматривать человеческое население данной территории как животных первого вида, а бактерии - второго вида.

Рассмотрим животных первого вида. Если нет хищников, то популяция жертв будет увеличиваться (в этой работе мы предполагаем, что другие факторы, влияющие на рост этих видов животных, остаются неизменными: как переменная величина рассматривается только число животных). Простейшее и в то же время вполне реалистичное предположение состоит в том, что скорость роста популяции жертв пропорциональна размеру популяции. Пусть х - число жертв, у -число хищников в момент времени t.

Тогда: Если =0 то dx/dt=ax, а>0. (14)

С другой стороны, не имея пищи, жертвы будут вымирать, так что получаем:

если х=0, то dy/dt=—cу, c>0. (15)

Если же имеются и кролики и лисы, то необходимо принять во внимание их взаимодействие. Предположим, что число «съеденных» жертв пропорционально величине ху. Тогда необходимо добавить в (15) член, пропорциональный ху, чтобы позволить увеличение числа хищников при наличии пищи и вычесть такой же член из (14), чтобы учесть «съедаемых» жертв:

где a, b, c, d >= 0; (16)

Получили, таким образом, динамическую модель взаимодействия двух видов животных.

Подсчитаем количество животных каждого вида в данный момент времени, который вполне можно принять за t=0, и получим x=xо>0 кроликов и y=yо>0 лис. Нашей главной задачей является определение численностей обеих популяций в будущем.

Также представляет интерес рассмотрение второй модели аналогичного типа: имеются два противоборствующих вида хищников, так что хищники одного вида убивают хищников другого вида. Каждый вид имеет естественную скорость увеличения численности (при отсутствии врагов) с коэффициентами а, c соответственно. Численность каждого вида уменьшается пропорционально произведению ху в результате убийств. Следовательно, простейшая модель задается уравнениями:

где a, b, c, d >= 0; (16)

Снова можно будет, исходя из заданных численностей этих видов, пытаться определить, что предсказывает модель на будущее, однако в данной работе эта система затронута не будет.

Уравнения модели (16) являются примером системы дифференциальных уравнений .первого порядка довольно интересного типа. Они имеют вид:

   (17)

Эти уравнения обладают тем свойством, что их правые части не зависят от времени.следовательно, время можно исключить, разделив второе уравнение на первое:

    (18)

Часто нас интересуют только возможные значения величин х и у, которые можно представить геометрическим положением точек (х, у}. Если нас не интересуют моменты времени, когда эти положения наступают, уравнение (18) представляет всю интересующую нас информацию.

Геометрическое место положений точек (х, у), назsваемое траекторией, должно быть решением дифференциального уравнения первого порядка (18).

Для нашей траектории будет иметь значение следующее утверждение.

Если в окрестности, точки плоскости {хо, уо) частные производные функций F и G непрерывны, то существует единственное решение, проходящее через {хц, у о) при t= =0. Решения либо не зависят от времени, либо описываются гладкой кривой. Кроме того, решение x(t) и y(t) непрерывно зависит от начального положения.

Необходимо сказать о некоторых полезных следствиях..

Прежде всего в нашем случае траектория не зависит от начального времени. Так, если x(to} = х0, у(tо)=y0 в некоторый момент времени to, то есть в любой момент, следующий за to, траектория такова же, как если бы процесс в момент 0 начинался из (х0, у0), т. е. x(t—to) и y(t—to) согласуются с функциями x’(t) и y’(t), получающимися, если х(0)=x0 и y(0)=y0. Следовательно, через каждую точку проходит единственная траектория. Отсюда сразу следует, что никакие две траектории не могут пересекаться. Траектория не может также самопересекаться, так как согласно (17) направление движения зависит только от положения, но не от времени. Траектории, даваемые утверждением, являются, конечно, решениями уравнения (18).

Рассмотрим теперь случай, когда решение не зависит от. времени. Такое решение называется точкой равновеcия. В ней должно быть F=G=0. Если мы выберем такую точку в качестве начальной, то скорости изменения в (17) равны 0, и, следовательно, мы остаемся в начальной точке. Таким образом, траектория здесь сводится к одной точке.

Если начальная точка не является точкой равновесия, то траектория есть гладкая кривая. Более того, эта кривая должна проводиться в определенном направлении, поскольку выражения (17) определяют направление движения ,в каждой точке траектории. Это направление может изменяться на противоположное, только если мы достигнем точки равновесия или кривая самопересекается, что невозможно.

Однако точка равновесия не может лежать на такой траектории. В противном случае траектория, описываемая кривой, имела бы общую точку с точечной траекторией, так что две траектории проходили через одну и ту же точку. Таким образом, точка равновесия не может быть достигнута из другой точки. Но это не запрещает траектории приближаться к точке равновесия асимптотически, т. е. когда ее 'положение становится все ближе и ближе к положению равновесия, хотя и не достигает его за конечный промежуток времени. Равновесие есть предел положения при .

Поведение траектории в окрестности точки равновесия представляет особый интерес. В данной работе  будут рассмотрены три типа поведения:

1) Если мы начинаем вблизи от равновесия и к нему же приближаемся, то в этом случае равновесие называется устойчивым.

2) Если начинаем вблизи от равновесия и удаляемся от него, то такое равновесие называется неустойчивым.

3) Если траектория есть замкнутая линия с точкой равновесия внутри и  движемся циклически вокруг равновесия.

Главным инструментом при исследовании типа поведения является следующее утверждение.

Поведение траектории вблизи точки равновесия можно определить, рассматривая только линейные члены разложения функцией F и G в ряды Тейлора в точке равновесия. Решения получаемых линейных уравнений окрестности точки равновесия имеют то же поведение что и точные решения.

В теории я проанализирую только системы двух уравнении с двумя неизвестными. Однако все рассмотрения с очевидными модификациями остаются справедливыми и когда имеется п уравнений с п неизвестными:

     (18)

2.3.2 Решение уравнений системы.

Итак будем рассматривать модель, задаваемую уравнениями (16). Нас будут интересовать только траектории в положительном квадранте, поскольку численность популяции любого вида животных не может быть отрицательной. Первая задача доказать, что если Хо>0 и уо>0, то x(t)>0 и y(0)>0 для всех t.

Рассмотрим сначала четыре конкретные траектории. Во-первых, имеется всего две точки равновесия: (О, О) и Е=(c1d, а/b). Следовательно, мы получаем две одноточечные траектории. Но положительные части осей координат также являются траекториями.

Поскольку траектории не могут пересекаться, то траектории, начинающиеся внутри положительного квадранта, не могут пересечь обеих осей, так что все время x(t}>0 и y(t)>0.

Интересной точкой равновесия является E==(c/d, а/b). Исследуем поведение вблизи Е. Положим  и .

Тогда

,

и

Линейные части этих уравнений есть:

   (19)

Рассмотрим эти уравнения как точные (согласно второму утверждению). Дифференцируя первое уравнение и подставляя dv/dt из второго, получим

     (20)

Следовательно, движение будет периодическим. Поскольку значение начального момента времени неважно, начнем с момента, когда u = 0. Решение выражения (20) тогда есть  и из  выражений (19) получим Следовательно,  т. е. траектория есть эллипс.

Таким образом, мы доказали, что вблизи Е траектории это периодические движения вокруг точки равновесия. В первом приближении эти траектории являются эллипсами с периодами обращения

Для нахождения точных траекторий образуем уравнение согласно (17):

Отсюда

Интегрируя по х, получим

или

Поскольку k не зависит от времени, то

 

Следовательно, мы нашли уравнение для траектории, соответствующей данному начальному положению. Функция   

может быть выражена графически (рис. 2). Всякое значение, за исключением экстремального, она принимает дважды.

'Следовательно, если в выражении (21) мы зафиксируем возможное значение х, то ему соответствуют два значения у, и, наоборот, всякому значению у соответствуют два значения х. Следовательно, мы получаем простую замкнутую кривую. Максимальное и минимальное значения принимаются переменной у при х=с1d и

Рис. 2.  при d=1 с=3.

переменной x, при у==а/b, причем не существует точек перегиба. Семейство таких траекторий изображено на рис. 3.

Следует еще определить направление движения. Из выражения (16) следует, что , если и только если y<a/b. Следовательно, на нижней половине траектории

Рис. 3. Траектории при a = 4. b=2. c=1. d=3

х увеличивается, а на верхней уменьшается. Таким образом, движение идет против часовой стрелки.

Вычислим средние значения х и у. Поскольку движение циклическое, мы можем взять среднее по одному циклу. Пусть Т - длина цикла. Из выражения (16)

Но (О,T) есть полный цикл, следовательно, x(0) = x(t). Это означает, что слева в выражении (11) стоит О, так что =а/b. Аналогично =c/d. Эти средние не зависят от начального положения и поэтому совпадают с координатами точки равновесия Е

.

2.3.3 Интерпретация результатов.

В модели (16) имеем циклическое поведение. Наш цикл всегда начинается с положительного числа кроликов и лис. Крайне маловероятно, что мы начнем точно из точки равновесия. Следовательно, можно полагать, что мы будем следовать по замкнутой траектории (см. рис. 3). Наблюдается циклический процесс, состоящий из четырех этапов: 1) Кролики в избытке; число лис увеличивается, уменьшая число кроликов. 2) По мере того, как падает численность кроликов до х = c1d, лисы испытывают недостаток пищи и их число начинает уменьшаться. Кролики продолжают исчезать. 3) Когда число лис упадет до у = а/Ь, число кроликов начинает увеличиваться. Лисы продолжают вымирать. 4) Когда кролики достигнут численности х = р1с, лисы снова начинают размножаться до уровня y = а/Ь.

Затем снова наступает стадия первая. Тот факт, что траектории никогда не достигают осей координат, означает, что ни один из видов не может полностью исчезнуть. Следовательно, имеем тип циклического равновесия.

Среднее число кроликов составляет величину р/с, а лис - alb, независимо от их первоначальных количеств. Таким образом, равновесие определяется механизмом обмена, заданным выражением (16), а не начальными величинами. Начальные величины влияют только на пределы изменения численностей х и у. Чем дальше oт равновесия начальное положение, тем шире размах.

На рис. 3 изображены четыре замкнутые траектории Для случая а=4, Ь=2, с=1, р=3. Точкой равновесия является E=(3, 2). Кривые соответствуют начальным состояниям (3; 1,75), (3; 1,3), (3; 1) и (3; 0,5) (считая изнутри).

2.4 Моделирование системы 

корм – жертвы – хищники.

Проанализировав экосистему с двумя видами животных (травоядные-хищники) можно добавить в нее еще один фактор: траву. Трава является питаельным ресурсом для травоядных и будет с ними связанат прямой зависимостью. Между травой и хищниками прямой зависимости нет – есть только косвенная зависимость, значит вводимое в систему уравнение примет вид:

.

И полученная система будет выглядеть так:

    (22);

где a, b, c, d, f, e – коэффициенты систем,

t0, t – период расчета,

x0, y0, z0 – входные данные.

Структурная  схема зависимостей в системе изображена на рисунке 4.

Рис. 4. Структурная схема связей в системе (17).

Модель (17) также будет представлять собой модель циклического равновесия. Поскольку взаимодействие травоядных и хищников мы уже рассматривали то сейчас остановимся в основном только на взаимотношениях травы и травоядных.

Также как и в предыдущей системе возможнае занчения численности популяций животных и количества травы будут неотрицательные числа. Будеть наблюдаться циклический процесс, состоящий из нескольких этапов:

  •  Много травы, мало кроликов, мало лис. В связи с обилием корма популяция кроликов начнет увеличиваться. При этом количество травы будет постепенно уменьшаться. Соответственно популяция лис в этот момент тоже возрастает. По мере того как число кроликов будет увеличиваться число травы будет уменьшаться и в момент x = e/f превратиться в 0.
  •  На следующем этапе число кроликов начнет уменьшаться, а количество травы постепенно возрастать, при этом популяция лис тоже начнет уменьшаться испытывая недостаток в кроликах.
  •  Затем опять число кроликов начнет увеличиваться ,а количество травы падать.

Поведение системы (17) описывается теми же законами , что и поведение системы (16).

2.5 Задача управления экологическими системами. 

Как и обычно в теории управления, постановка конкретной задачи управления экологической системой включает в себя уравнения эволюции системы, критерий качества и ограничения на управление и траекторию.

В роли управляющих факторов в задачах экологии могут выступать различные целенаправленные воздействия, например внесение удобрений, использование пестицидов и инсектицидов, поливы, укосы, отловы особей, охота, рыбная ловля, влияние на миграцию и рост популяции и т. д. Указанные факторы тем или иным образом могут быть учтены в уравнениях эволюции системы, граничных условиях, критерии качества. Приведем некоторые характерные постановки задач управления.

Управление системой «хищник—жертва». 

Рассмотрим систему «хищник—жертва», моделируемую уравнениями Лотки—Вольтерра (10). Управление u(t) в системе может действовать как на жертвы, так и на хищников и состоит в уничтожении и тех, и других с эффективностью соответственно r1u(t)x(t) и r2u(t)y(t), где r1, г2; - заданные неотрицательные числа. Вследствие (10) уравнения управляемой системы «хищник—жертва» можно взять в виде

   (23)

Начальные условия для системы (23) имеют вид

х(0) = x0 > 0, у(0) = у0 > 0.     (24)

Естественным ограничением на управление u(t) является выполнение неравенств

0 u(t)  .     (25)

Цели управления могут быть связаны с тем, чтобы система (23) функционировала в окрестности положения равновесия x1 уравнения (10) при u = 0 или была приведена в положение равновесия за минимально возможное время.

Рассмотрим задачу быстродействия. Обозначим через Т= Т(u) первый момент времени такой, что при управлении и для решения задачи (23), (24) справедливы соотношения

x(T) = x1= a4 (a2a3 )-1 , y(Т) = у1 = а1а2-1..   (26)

Тогда задача быстродействия состоит в выборе такого управления u0(t), чтобы для него были выполнены соотношения (23)—(26) и

    (27)

Исследование задачи (23)—(27) проведено ниже.

Пусть теперь Т > 0 - заданный фиксированный момент времени. Осуществить функционирование системы (23) в окрестности положения (x1 , y1 ) на отрезке [О, T] можно, выбирая управление из условия минимума интегрального квадратичного критерия качества:

Здесь i - весовые множители.

Отметим, что аналогичные постановки задач оптимального управления представляют интерес и для иных моделей, например, для модели Моно , в которой управлением является концентрация u(t) поступающих в резервуар питательных веществ.

Оптимальный вылов популяции. Задачи управления выловом популяции (например, рыбная ловля) состоят в выборе такого закона вылова, при котором суммарный улов максимален. Предположим, что численность популяции описывается уравнением Ферхюльста (2), а интенсивность лова (т. е. доля вылавливаемой рыбы в единицу времени) есть u(t). Тогда уравнение динамики численности популяции имеет вид

  (28)

где Т  - заданный момент времени.

Управление u(t), удовлетворяющее ограничению (25), требуется выбрать так, чтобы

т. е. чтобы общее количество выловленной рыбы было максимальным.

Использование этого критерия качества не всегда оправдано, поскольку может привести к необратимым последствиям для популяции. В тех случаях, когда интересуются не только получением максимального улова, но и поддержанием численности популяции на некотором желаемом уровне N0, можно использовать критерии качества

где i - некоторые весовые коэффициенты.

Управление численностью народонаселения. Актуальной для многих стран является проблема регулирования численности их населения. При этом основным средством регулирования является влияние на количество детей в семье. Если для моделирования этой задачи использовать соотношения (6) –(8), то отражением количества детей в семье является функция u(t), входящая в граничное условие (7).

Критерий качества в задаче (6) - (8) определяется желаемой плотностью n0() распределения населения по возрастам и может, например, быть задан в виде

Здесь Т и функция h(t,) заданы. При этом Т определяет промежуток времени, на котором планируется численность населения, а функция h(t,) - удельный вклад различных групп населения в критерий качества. Ограничение на управление u(t) имеет вид 0 u(t) u0, где u0 задано. Отметим, что управление в этой задаче входит только в граничное условие (7).

Другой способ управления численностью народонаселения связан с регулированием законов миграции, т. е. с выбором функции g (t, т) в уравнении (6).

Приведенные примеры постановок задач оптимального управления в экологии показывают, что они укладываются в рамки общей теории управления. Вместе с тем имеется и ряд специфических сфер. К их числу относится обычно имеющая место однонаправленность управляющих воздействий, т. е. ограничения, как правило, имеют вид (17). Кроме того, фазовые переменные в соответствии с их реальным смыслом неотрицательны. Поэтому уравнения, моделирующие динамику экологических явлений, и допустимые управления должны удовлетворять этим требованиям.

Управление по быстродействию системой «хищник—жертва».

Рассмотрим задачу управления системой (23)—(26) при r2 = 0, т. е. в предположении, что управляющее воздействие может действовать только на жертвы. Перейдем к новым переменным по формулам

В новых переменных уравнения системы имеют вид

х(t) = (1 – y - u) x, у(t) = b (x - 1) y, t>0,

х(0) = х0 , у(0) = У0 , х0 > 0, у0 > 0, 0 u  .       (29)

При u = 0 эта система имеет на плоскости (х, у) только одно ненулевое положение равновесия R с координатами (1,1) и рассматриваемая задача состоит в переводе системы (4.21) из положения (x0 , y0) в положение R(1,1) за минимальное время.

Существование оптимального управления u0(t) поставленной задаче установлено в литературе по теории управления.

Для отыскания в исследовании оптимального решения используем принцип максимума. Введем функцию H (х, у, 0 , 1, 2, u) с помощью равенства

  (30)

Здесь постоянная 0  О, а функции 1(t) и 2(t) удовлетворяют уравнениям

  (31)

На основании принципа максимума существует такое ненулевое решение  уравнений (31), что

 (32)

Из уравнений (31) вытекает, что функции i(t) не могут обращаться в нуль на целых интервалах. Действительно, если, например, 1(t) 0 при t1  t t2, то и  1(t) 0 при t1  t t2. Поэтому в силу первого из уравнений (31) функция 2(t) 0 при t1  t t2, т. е. обе сопряженные переменные 1 и 2 равны нулю одновременно, что невозможно для задачи быстродействия. Подобные же рассуждения показывают, что функции 1 и 2 могут иметь только простые нули. Отсюда и из (31), (32) следует, что оптимальное управление u0(t) кусочно-постоянно и равно либо нулю, либо .

Для дальнейшего исследования оптимального управления перейдем от переменных  i(t) к переменным i(t) по формулам

Так как функции х(t) и у(t) положительны, то знаки функций 1 и 1 совпадают соответственно со знаками 1 и 2. Из (29), (31) вытекают следующие уравнения:

  (33)

Разделим теперь оптимальную траекторию на участки, целиком расположенные либо в области х > 1, либо в области х< 1.

Покажем сначала, что на любом участке оптимальной траектории, целиком расположенном в области х>1, может существовать не более одной точки переключения оптимального управления, причем переключение здесь возможно только от значения u = 0 к значению u = .

Действительно, пусть x(t) > 1 при t1  t t2 и имеется скачок управления в момент , где [t1, t2]. Так как - точка переключения оптимального управления, то в силу (32) в этой точке 1() = 0. Далее, из (29), (32) вытекает, что

   (34)

Но вследствие (29) производная y(t) > 0 при  t1  t t2. Поэтому с учетом (34) имеем

Подставляя это выражение для  2(t) в первое из уравнений (33), получаем

  (35)

Будем интерпретировать соотношения (35) как задачу Коши относительно функции 1(t).  Тогда в соответствии с формулой Коши знак функции 1(t) при t1  t t2, определяется знаком 0, поскольку все величины b, у(t), х(t) и у(t) положительны при, t1  t t2. Если 0 = 0, то в силу (35) функция 1(t) 0 при t1  t t2, что, как установлено выше, невозможно. Так как 0  0, то постоянная 0 < 0, ввиду чего 1(t) < 0 при < t t2 и 1(t) > 0 при t1  t  . Следовательно, на основании принципа максимума заключаем, что до тех пор, пока оптимальная траектория остается в области х >1, оптимальное управление u0 = при t > и u0 = 0 при t < .

Подобным же образом, доказывается, что на участке оптимальной траектории, целиком расположенном в области х < 1, может

Рис. 5. Линия переключения оптимального управления в задаче быстродействия для модели Лотки—Вольтерра при = 1

существовать не более одной точки переключения оптимального управления и переключение здесь возможно только от значения u0 = к значению u0 = 0. Качественный характер линии переключения оптимального управления зависит от величины .

Пусть сначала = 1. Линия переключения оптимального управления APRSB изображена на рис. 4, причем справа от этой линии оптимальное управление u0 = 1, а слева u0 = 0. Часть этой линии APR представляет собой траекторию системы (29) при u0 = = l, проходящую через точку R(1, 1).

Часть RSB линии переключения, где u0 = 0, была получена численно. Алгоритм численного решения для любых состоял в следующем. Запишем уравнения (29), (33) в обратном времени  t -t:

    (36)

    (37)

Так как попадание системы (29) в целевую точку R(1,1) на оптимальной траектории может произойти только при управлении, равном , то начальное условие 1(0) для системы (37) должно иметь вид 1(0) < 0. Рассмотрим теперь систему (36), (37) при u = = 1 и начальных условиях

    (38)

где 1(0), 2(0) - некоторые заданные числа. Решим задачу (36)—(38) при u=l на отрезке [0, 1], где 1 - первый нуль функции 1(t). В момент 1 происходит переключение управления, которое становится равным нулю. Далее решение задачи (36), (37) ищется при u = 0 с начальными условиями, задаваемыми в точке 1 и определенными на предшествующем шаге алгоритма. Это решение ищется на отрезке [1, 2], где 2 -следующий после 1 нуль функции 1. Точка с координатами x(2), y(2) лежит на линии переключения RSB.

Часть APR линии переключения есть траэктория системы (36) при u=1 с начальными условиями x(0) = 1, y(0) = 1. Иными словами, кривая описывается уравнениями

   (39)

Первый интеграл системы (39) имеет вид

Отсюда и из начального условия х(0) = 1, у(0) = 1 следует уравнение, определяющее кривую APR:

   (40)

В силу (39) производная х(t) > 0, а у(t) < 0 при t > 0. Кроме того, функции х(t) и у(t) положительны. Поэтому при t функция х(t), монотонно возрастая, должна стремиться к конечному пределу, а функция у(t), монотонно убывая, должна стремиться к нулю. Действительно, если бы предел функции х(t) при t был равен +, то в силу (40) функция у(t) должна быть отрицательной для всех достаточно больших t, что невозможно. Далее, если предел функции у(t) при t  был бы равен некоторому положительному числу, то в силу первого из уравнений (39) предел х(t) при t  был бы равен +, что, как показано выше, невозможно. Итак, для решения задачи (39), определяющего линию переключения APR, имеем lim(x(t)) = x, lim(у(t)) = 0. График зависимости величины х от параметра b приведен на рис.6 . Кривые со стрелкамина рис.7 показывают оптимальные траектории системы (29).

Рис. 6. Зависимость величины х, от параметра b в задаче быстродействия для модели Лотки— Вольтерра

Рассмотрим теперь случай > 1. Кривая переключения APRSB для > 1 изображена на рис. 7 а. Часть APR этой кривой определяется уравнениями

   (41)

Первый интеграл системы (41) есть

Следовательно, уравнение кривой APR имеет вид

Рис. 7. Линия переключения оптимального управления в задаче быстродействия для модели Лотки—Вольтерра: а) при у> 1, б) при у< 1

Отметим еще, что решение задачи (41) удовлетворяет соотношениям.  Поэтому при х  ордината линии переключения АРR стремится к нулю. Часть кривой переключения RSB получена численно с помощью того же алгоритма, что ив случае = 1.

Наконец, в случае < 1 линия переключения NAPRSB изображена на рис. 7, б. Как и ранее, часть АРR линии переключения представляет собой траекторию задачи (41), а участки NA и RSB были получены численно.

Сравнение рис. 4, 7.а, 7.б показывает, что в случае   1 число точек переключения оптимального управления не превосходит двух, а в случае < 1 оно может быть сколь угодно большим при достаточно больших начальных численностях x0 и y0 жертв.

2.6 Моделирование социально-эконогмической системы с учётом преступности.

Анализируя различные статистические модели, используемые при анализе криминогенной обстановки в различных регионах, можно отметить прежде всего статичность моделей и полное отсутствие динамического взаимодействия различных структур той социально-экономической системы, в которой существует рассматриваемая ???? преступность.

Попытаемся, ограничив себя анализом преступного сообщества, «контролирующего» деятельность частного предпринимательства, системно подойти к аналзу эволюции во времени экономической и социальной ветвей общества с учетом экономических условий, правовых норм (законов), деятельности правоохранительных органов и судов.

Если ????, что существует несколько составляющих этой ???? ,  и одновременно в регионе осуществляет деятельность частное предприятие ,  в различных сферах. Одновременно можем учесть воздействие комплекса экономических законов () уголовных законов (), следственных органов (), судов (); учтем воздействие: комплекса экономических законов по направлениям деятельности в частном предпринимательстве и деятельности налоговой службы () уголовных законов () по направлению уголовной ответственности, деятельности следственных органов УВД и налоговой службы (), эффективности судов ().

Рассматривая динамичесскую задачу, оценим какие факторы и в каком направлении влияют на изменения в экономической активности предпринимателей и криминального мира.

Прежде всего отметим факторы, влияющие на активность преступной деятельности:

  •  экономическая активность () приводит к преступным «доходам», пропорциональным  и повышает её;
  •  уровень преступности () за счет «конкуренции» отрицательно влияет на её рост;
  •  наличие уголовных законов (), деятельность УВД, налоговой службы () и суды сдерживают рост преступности.

Таким образом для уровня преступности можно записать:

; (42)

, (43)

где  – векторы,  – матрицы размерностью -соответственно. Причем , очевидно, для всех матриц. Уравнение (43) является уравнением выхода, т.е. является информацией о преступлениях, а  – некоторый линейный оператор, определенный системой розыска и регистрацией преступников. В уравнениях (42)–(43)величины  и  являются стохастическими, искажающими информацию () и влияющими факторами (внешними и внутренними) на состояние преступности. Отметим, что математические  ожидания шумов равны:

,

где  – внешнее воздействие,

– векторы размером ,

Для экономической ветви деятельности населения можно учесть следующие факторы, влияющие на неё:

  •  наличие ???? предпринимателей является экономической и психологической поддержкой для предпринимателя и способствует развитию объема предпринимательской деятельности;
  •  наличие предпринимателей в объеме () и преступности () приводит к “изъятиям” в объеме, пропорциональном  и снижает экономическую активность;
  •  существует природный интерес населения к предпринимательской деятельности “уровня”  , который регулируется социально-экономической ситуацией в регионе и экономическим законодательством.

Учитывая эти факторы для предпринимательства можем записать:

; (44)

(45)

где  – матрицы размерностью  – соответственно,  – вектор ,

В целом, система уравнений, описывающая динамику структуры имеет вид:

,     

,     

где ,  – матрица , ,  – матрица , ,  – матрица ;

– вектор ;

,  – матрица , ,   – матрица , ,

– матрица ,  – матрица ,  – матрица ,

– вектор ,  – вектор ,  – вектор ,

    

,  и определяет изначальный интерес к предпринимателям.

Анализируя входы системы мы ????, что  – являются свободными факторами, которые могут быть использованы для управления эволюцией системы в целом.

Однако для решения этой задачи необходимо решить вопросы об управляемости системой и её наблюдаемости, т.е. для синтеза управляющих воздействий необходимооценить, достаточна ли информация о состоянии системы и являются ли достаточными каналы воздействия на ситуацию.

Рис. 8. Схема системы

Для оценки динамики в эволюции системы на основании предположений модели, рассмотрим скалярную автономную детерминированную систему.

(46)

(47)

В уравнении (46) слагаемое  указывает на тот факт, что число ???? частных предпринимателей положительно влияют на рост их числа. Второе слагаемое пропорционально ущербу,, нанесенному частным предпринимателям  со стороны преступных группировок , которых тем больше, чем больше преступников  и чем больше возможностей совершить преступление (т.е. пропорционально ). Коэффициент , определяется активностью преступности и социально-экономической ситуацией в регионе. Слагаемое  определяет предприимчивую часть населения и зависит от действующего законодательства и социально-криминогенной ситуации в регионе.

Во втором уравнении (47) первое слагаемое определяет внутренние противодействия преступной среды. Второе слагаемое в уравнении определяет тот положительный “стимул” роста преступности, связанного с расширением экономической базы преступления  и этот “стимул” пропорционален числу преступлений, которые пропорциональны в свою очередь числу преступников .

Для анализа начальной стадии эволюции системы её можно рассмотреть в момент, близкий к , приняв в качестве начальных условий .

Однако в начальный момент можно говорить о том, что этот этап давно пройден. Следовательно целесообразно рассмотреть систему и её поведение в некоторый момент вблизи стационарной точки, если таковая существует. Мнтуитивно и практика показывает, что при некоторой стабилизации в социально-экономической обстановке, проводит и в деятельности правоохранительных органов обычно достигается некоторое стационарное состояние.

Проанализируем систему уравнений (44)-(45). Для уравнения (45) стационарность достигается в точке

.

Так как нас интересует не ???? точкка, то

(48)

Тогда из уравнения (46) можно получить . (49)

Оценим поведение системы (46)-(47) вблизи полученной стационарной точки (48)-(49), полагая, что:

(50)

где  и  – малые величины

Подставим выражение (50) в систему уравнений (46)-(47) и преобразуем её уравнения, отбрасывая члены пропорциональные  и сохраняя только линейные относительно  и  выражения

В итоге получим синтез уравнений:

которую относительно легко привести к виду

(51)-(52)

В силу неотрицательности всех коэффициентов в системе (51)-(52) и взяв в качестве начальной точку  получим для траектории на плоскости  спираль, сходящуюся к стационарной точке  при  (Рис. 9).

Рис. 9

Анализ характеристических корней, определяющих вид кривых схождения

показывают, что с уменьшением предпринимательской деятельности ( снижается)скорость приближения к стационарной точке снижается и одновременно увеличивается скорость вращения по медленно сходящейся спирали. В этом случае учащение вспышек преступности в этой области социально-экономическойц жизни общества.

С ростом привлекательности  рост преступности быстро достигает своего стационарного значения. В данной модели мы остановились пока на автономном характере изменения преступности. Однако исследования реальных фактов и статистических данных по региону позволят оценить фактические значения параметров модели.

С другой стороны развитие модели в сторону учета деятельности правоохранительных органов может позволить разрабатывать модель управляемой комплексной системы моделирования криминогенной обстановки в регионе.


3 Анализ динамики развития систем.

3.1 Анализ системы жертвы – хищники.

3.1.1 Анализ коэффициентов системы.

Пусть все исходные данные для системы (a, b, c, d, t0, t, x0, y0) хранятся в матрице С, где

a, b, c, d – коэффициенты в дифференциальных уравнениях;

t0, t – период времени , в котором исследуется система;

x0, y0 – начальные условия.

Проанализируем теперь как ведет себя система

с различными вариантами значений коэффициентов и начальных условий   С [a, b, c, d, t0, t, x0, y0].

При а = 4, b = 2, c = 3, d = 1 получим систему:

.

Точка равновесия системы будет иметь координаты Е (с/d, a/b) или Е (3,2). Система с данным набором коэффициентов будет находится в равновесии и график зависимости численности популяций во времени изображен на рисунке 7 ( при начальных условиях X(0) = 3, Y(0) = 1 ).

Наблюдается циклический процесс, состоящий из четырех этапов:

  1.  Кролики в избытке; число лис увеличивается, уменьшая число кроликов.
  2.   По мере того, как падает численность кроликов до х = 3, лисы испытывают недостаток пищи и их число начинает уменьшаться. Кролики продолжают исчезать.  Когда число лис упадет до у=2, число кроликов начинает увеличиваться.
  3.  Лисы продолжают вымирать.
  4.   Когда кролики достигнут численности х=3, лисы снова начинают размножаться до уровня y = 2.

Рисунок 7. Численность популяций при начальных условиях

[a = 4, b = 2, c = 3, d = 1, T0 = 0, T = 2, x0 = 2, y0 = 2].

Затем снова наступает стадия первая. Тот факт, что траектории никогда не достигают осей координат, означает, что ни один из видов не может полностью исчезнуть. Следовательно, имеем тип циклического равновесия.

Среднее число кроликов составляет величину 3, а лис 2, независимо от их первоначальных количеств. Таким образом, равновесие определяется механизмом обмена, заданным выражением (16), а не начальными величинами. Начальные величины влияют только на пределы изменения численностей х и у. Чем дальше от равновесия начальное положение, тем шире размах.

При указанных выше исходных данных (начальных условиях) система “травоядные - хищники” находится в положении статического равновесия. Это означает, что теоретически численность популяций травоядных и хищников будет оставаться стабильной (при отсутствии внешних возмущений).

На рисунке 8 приведен график численности популяций на период времени, за который система успевает совершить четыре оборота.

Рисунок 8  Численность популяций животных при начальных условиях [a = 4, b = 2, c = 3, d = 1, x0 = 2, y0 = 2, T=8]

Далее можно рассмотреть влия ние каждого из коэффициентов системы на процесс изменения численности популяций.

Легко установить, что при увеличении коэффициента a в несколько раз равновесие сохраняется, но увеличивается скорость изменения численности. За один и тот же период времени успевают пройти уже 4 цикла, а не 2. График численности животных при a = 8 представлен на рисунке 9.

Рисунок 9. Изменение численности животных при

[a = 8, b = 2, c = 3, d = 1, X0 =  2, Y0 = 2, T = 2].

Уменьшение коэффициента a приводит соответственно увеличению времени одного цикла. К аналогичному результату приводит увеличение коэффициента b, который при увеличении оказывает замедляющее воздействие на скорость изменения численности животных. Коэффициенты с и d оказывают такое же влияние на развитие системы. То есть результат измения a и c практически одинаков: в обоих случаях -уменьшается время одного цикла. На рисунках 10 и 11 видны последствия увеличения коэффициентов c и d.


Рисунок 10. Чичленность животных при увеличении c

[a = 4, b =2, c = 12, d = 1, X0 = 2, Y0 = 2, T = 2]

Это может быть использовано в экосистемах, которые используются человеком для получения различных видов продуктов. Но при этом необходимо, чтобы жизнь биологических организмов не зависела напрямую от времен года. Например, в тропичесом поясе, либо в искусственно создаваемых системах. Достаточно широкое применение свойства системы могут получить в медицине. Объектами исследования тогда будут выступать либо вирусы, взаимодействующие с другими вирусами, либо микроорганизма развивающиеся за счет других микроорганизмов или клеток.

Анализ коэффициентов b и d показал такие же результаты, но степень воздействия коэффициента получается гораздо меньшей..


Рисунок 11 Численность животных при увеличении коэффициента d

[a = 4, b = 2, c = 3, d = 12, X0 = 2, Y0 = 2, T = 2]


3.1.2 Анализ управления системой.

Следующим шагом анализа свойств экосистемы травоядные – хищники будет анализ внешнего воздействия на систему или управления.Для этого в какое-либо уравнение системы добавляем еще одну функцию U(t).

Имеем:

Функция U(t) может быть любой. Пусть для начала U(t) = const. Система уравнений будет выглядеть так:

Если взять константу const C = 1 то получим:

Зависимость численности популяции для полученной системы представлена на рис 12.

Рисунок 12. Численность популяций животных при внешнем воздействии U(t)=const Const = 1.[a = 4, b = 2, c = 3, d = 1, X0 = 2, Y0 = 2, T = 4, U1 = 1]

Как видим система уже не находится в положении равновесия. График приобрел вид спирали и значения численности травоядных и хищников стремятся к какому –то конечному пределу.. Применив снова постоянное воздействие, но с обратным знаком мы получим почти такой же график. Однако движение идет уже против часовой стрелки. Необходимо отметить, что чем больше значение константы тем сильнее и бастрее раскручивается спираль, и, следовательно, тем быстрее произойдет выисчезновение обеих популяций. На рисунке 13 приведен график численности животных при увеличенном в четыре раза внешнем воздействии.


Рисунок 13. Изменение численности  животных при внешнем воздействии U(t)=const Const = - 1.[a = 4, b = 2, c = 3, d = 1, X0 = 2, Y0 = 2, T = 4, U1 = -1]

Рисунок 14. [ a = 4, b = 2, c = 3, d = 1, X0 = 2, Y0 = 2, T = 4, U1 = +4]

Введение какой-либо постоянной для воздействие на численность хищников (второе уравнение системы) приводит к аналогичным результатам: график изменения численности популяций животных принимает спиралевидную форму.  Далее можно немного усложнить функцию U(t). Пусть внешнее воздействие будет происходить только в какой-то определенный промежуток времени.

U(t) = 2, если 0,5 < T > 1.5

U(t) = 0, если T < 0.5 или T > 1.5.

В новых условиях помеха извне идет только в один промежуток времени, и может быть система не будет выведена из равновесного состояния. График зависимости численности популяций животных во времени при дискретном внешнем воздействии приведен на рисунке 15.

Рисунок 15. Зависимость численности популяций животных во времени при дискретном внешнем воздействии.

Как видно из графика действительно в какой-то момент времени под внешним давлением численность популяций переходит на другую ‘орбиту’, но когда воздействие прекращается система снова возвращается в равновесное состоягие.

Этот случай представляет собой особую практическую ценность. Зная текущее состояние экосистемы можно извлечь максимальную пользу (например отстрелить максимальное число лосей) и при этом система не будет выведена из равновесия. И, естественно, никакой вид животных не будет истреблен.

Аналогичная ситуация получается когда функция U(t) подставляется во второе уравнение системы.

В принципе возможных функций U(t) может быть бесконечно много и, каждая из них будет предназначена для достижения конкретной цели.

Рассмотрим случай когда U(t) = sin(t); Воздействие на систему получается своеобразное. Положительное воздействие периодически сменяется отрицательным. График численности популяций животных при внешнем воздействии U(t) = sin (t) приведен на рисунке 16.

Рисунок  16. Изменение численности популяций при внешнем воздействии U(t) = sin(x).


3.2 Анализ коэффициентов и управления системой

трава – травоядные – хищники.

3.2.1 Анализ коэффициентов системы трава – травоядные – хищники.

Примем коэффициенты a = 4, b = 2, c = 3, d = 1, e = 3, f = 1. Тогда при начальных условиях x(0) = 6, y(0) = 1, z(0) = 12, t0 = 0, t = 3.5 график численности популяций во времени для системы (4) будет иметь вид:

Рисунок 17. График изменения численности популяций животных во времени системы “травоядные – хищники – корм”.

[a = 4, b = 2, c = 3, d = 1, e = 3, f = 1, X0 = 6, Y0 = 1, Z0 = 12, T =3.5]

Поведение системы трава – травоядные – хищники характеризуется похожими законами, что и системы (16). Спецификой данной системы является то, что мы имеет возможность косвенно воздействовать на численность травоядных, влияя на количество травы.

На рисунке 18 приведена численность популяций животных при увеличении коэффициента а.

Рисунок 18. Численность животных с форсированным а,

[a = 6, b= 2, c = 3, d = 1, e = 3, f = 1,  X0 = 2, Y0 = 2, Z0 = 2, T = 2].

Также как и в случае системы “травоядные – хищники” увеличение а оказывает влияние на скорость изменения численности животных, и за тот же отрезок времени система успевает сделать на пооборота больше.

При увеличении коэффициента с  система переходит из стационарного состояния в состояние нестабильное: через несколько витков численность хищников становится отрицательна, что противоречит исходным условиям. График развития системы с увеличенным коэффициентом с приведен на рисунке 19.

Рисунок 19. График изменения численности при увеличенном c.

[a = 4, b = 2, c = 4, d = 1, e = 3, f = 1, X0 = 2, Y0 = 2, Z0 = 2, T = 4]


3.2.2 Анализ реакций на внешнее воздействие.

Далее необходимо проанализировать реакции системы “травоядные – хищники – корм ” на различные варианты внешнего воздействия на систему.

Прикладывая внешнее воздействие на травоядных получаем результат аналогичный двухмерной системе: система выходит из состояния равновесия и популяции вымирают, если внешнее воздействие отрицательное u1 = -1. Рисунок 20, и система приходит в точку равновесия при положительном воздействии u1 = +1. Рисунок 21.


Рисунок 20  Внешнее воздействие u1 = -1.

[a = 4, b = 2, c = 3, d = 1, e = 3, f = 1, X0 = 2, Y0 = 2, Z0 = 2, T = 4, u1 = -1]

Рисунок 21  Внешнее воздействие u1 = +1.

[a = 4, b = 2, c = 3, d = 1, e = 3, f = 1, X0 = 2, Y0 = 2, Z0 = 2, T = 4, u1 = -1]

Теперь можно рассмотреть ракцию системы на влияние на численность хищников. При постоянном отстреле хищников система перестает быть стационарной и, как следствие, происходит вымирание хищников и травоядных.  График численостей показан на рисунке 22.

Рисунок 22 Реакция системы травоядные – хищники – корм на u2 =-1

[a = 4, b = 2, c = 3, d = 1, e = 3, f = 1, X0 = 2, Y0 = 2, Z0 = 2, u2 = -1]

Возможным остается еще воздействие на корм. Вполне естественно получается , что при отрицательном внешнем воздействии на корм травоядные и вскоре хищники вымирают. Рисунок 23

В то же время очевидно, что при дискретном воздействии на систему она может вернуться в состояние равновесия, если воздействие не являлось критическим. На рисунке 24 в течении половины периода оборота на корм было приложено внешнее воздействие u3 = +1.

Рисунок 23 . Отрицательное внешнее воздействие на корм.

[ a =4, b = 2, c = 3, d = 1, e = 3, f = 1, X0 = 2, Y0 = 2, Z0 = 2, T = 4, u3=-1]

Рисунок 24. Дискретное внешнее воздействие на корм.

[a = 4, b = 2, c = 3, d = 1, e = 3, f = 1, X0 = 2, Y0 = 2, Z0 = 2, T = 4, u3=+1 для t<1]

Таким образом можно сказать, что исходя из каких – то конкретных начальных условий можно регулировать численность популяций животных для достижения желаемых целей.


4. Проектирование программного обеспечения информационно-вычислительной системы.

4.1.Анализ задач и функций системы. 

В данной работе программно реализованы функций подбора коэффициэнтов для экологической системы заданного класса. Система разрабатывалась для отслеживания динамики развития численности популяций животных при различных начальных условиях, коэффициентых и внешнем воздействии.

Цель работы – автоматизация процесса расчета численности популяции.

Основная задача - возможность наглядного отслеживания процессов, происходящих в исследуемой экологической системе. Подбор возможно необходимого управления системой для достижения поставленной цели.

Функции, которые должна выполнять система следующие:

- ввод параметров системы дифференциальных уравнений;

- расчет численности популяций животных.;

- построения графика зависимости Численности популяций во времени;

- применение управления к системе;

- отслеживание результатов управления;

На данный момент существует много различных математических методов для решения систем дифференциальных уравнений первого порядка, различных прикладных программ для решения математических задач и построения графиков методик. Поэтому в данной работе не ставилась задача разработать какой – либо принципиально новый метод расчета, а лишь применялся уже давно используемй метод Рунге – Кутта и строился график по расчитанным даным.


Рисунок  25.. .- Входные данные и выходная информация системы

Исходной информацией  в системе являются коэффициенты системы уравнений, начальные условия и управляющее воздействие. Схема информационных потоков приведена на рис.

Поскольку основные функции системы связаны с вводом и обработкой данных, программа реализована на языке программирования Visual C++ и Turbo Pascal 7.0. Visual C++ предусмотрвиает все необходимые средства для определения и обработки данных,.  разработать удобный интерфейс и достаточно легко  вносить  изменения в создаваемые приложения.

Программа состоит из двух основных модулей:

Модуль Visual C++

Модуль Turbo Pascal 7.0.

В модуле Turbo Pascal производятся все расчеты, то есть решения систем дифференциальных уравнений методом Рунге – Кутта.

В модуле С++ полностью организован интерфейс системы, диалоговые окна, построения графиков, справочная информация.После ввода или редактирования входных данных вызывается исполняемый модуль rgk.exe, написанный и откомпелированный в среде PASCAL. После процесса вычислений выходные данные занося тся в результирующий файл ‘result.txt’ и возвращается управление в модуль С++. При необходимости построения графика необходимые данные считываются из результирующего файла и по ним строится график.

4.2. Алгоритм решения систем дифференциальных уравнений методом Рунге –Кутта.

В последние десятилетия в связи с бурным развитием и применением ПК численные методы решения различных  математических, экономических, экологических и инженерных задач стали приобретать большое значение.

Важное место в теории и практике численных методов решения указанных задач занимают приближенные методы решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений. Многие задачи физики и техники сводятся к нахождению решения именно этой задачи. Обыкновенными дифференциальными уравнениями можно описать задачи движения системы  взаимодействующих материальных точек, химической кинетики, электрических цепей, сопротивления материалов, системы автоматического управления и регулирования и многие другие.

Для дифференциального уравнения первого порядка задача Коши выглядит следующим образом: требуется найти решение дифференциального уравнения

     (42)

удовлетворяющее условию

     (43)

Точное решение дифференциального уравнения можно получить лишь в отдельных частных случаях, а большинство же дифференциальных уравнений могут быть решено только численно. Численное решение задачи состоит в построении таблицы приближенных значений y1, y2, y3, …, yn решения уравнения y(x) в точках (узлах) сетки:

   (44)

Величина h называется шагом интегрирования. Он может быть как постоянным так и переменным.

Численные методы не позволяют найти общего решения задачи Коши; они могут дать только какое – то частное решение – это основной недостаток численных методов. Однако эти методы применимы к очень широким классам уравнений и также их можно использовать для решения систем дифференциальных уравнений.

Одним из наиболее эффективных и часто применяющихся на практике численных методов решения задачи Коши являются так называемые методы Рунге – Кутта. Эти методы обладают следующими отличительными свойствами:

  •  Они являются одношаговыми, то есть для нахождения приближения yi+1 нужна информация только о предыдущей точке (xi, yi);
  •  Они согласуются с рядом Тейлора вплоть до членов порядка hр, где р различна для различных методов и называется порядком метода;
  •  Они не требуют вычисления производных от f(x,y), необходимо расчитывать только значение самой функции f(x, y).

Метод Рунге – Кутта.

Одним из самых употребительных методов численного решения дифференциальных уравнений (систем уравнений) является метод четвертого порядка, называемый просто “ метод Рунге - Кутта”. В этом методе величины yi+1 вычисляются с помощю введения четырех временных величин.

Пусть требуется найти решение дифференциального уравнения первого порядка

удовлетворяющее начальному условию y(x0) = y0; выберем фиксированное приращение x = h независимого переменног x и обозначим

При достаточно малом x = h пошаговое приближенное решение начальной задачи для малых значений к =0, 1, 2, … дается следующими прстыми формулами:

Для анализа исследуемой экологической систмы необходимо решать задачу Коши для системы ддифференциальных уравнений, содержащую два или три уравнения. Описаный выше метод Рунге – Кутта можно также использовать для решения системы дифференциальных уравнений. Необходимо решить систему уравнений

Тогда алгоритм решения будет выглядеть следующим образом::

где


4.3.Анализ данных, разработка структур данных и связей.

На основании анализа структуры и потоков информации исследуемой системы были отобраны необходимые исходные данные (см. табл. 1).

N

Элемент данных

Тип данных

Описание

1

Коэф. A

Вещественный

Коэффициент системы

2

Коэф. B

Вещественный

Коэффициент системы

3

Коэф. C

Вещественный

Коэффициент системы

4

Коэф. D

Вещественный

Коэффициент системы

5

Коэф. E

Вещественный

Коэффициент системы

6

Коэф. G

Вещественный

Коэффициент системы

7

P

Целое число

(2 или 3)

Определяет количество уравнений системы

8

T0

Вещественный

Задает начало исследуемого периода

9

T

Вещественный

Задает конец исследуемого периода

10

Н

Вещественный

Шаг для вычислений

11

U1

Вещественный

Внешнее воздействие

12

U2

Вещественный

Внешнее воздействие

13

U3

Вещественный

Внешнее воздействие

Таблица 1. Структура входных данных.

.

N

Элемент данных

Тип данных

Описание

1

X(i)

Вещественный

Численность травоядных

2

Y(i)

Вещественный

Численность хищников

3

Z(i)

Вещественный

Количество трав

Таблица 2- Структура  данных на выходе


4.4 Разработка интерфейса системы.

Интерфейс является важным компонентом любой компьютерной системы. Он выступает фактором, обеспечивающим успешную работу системы и оказывающим существенное влияние на производительность пользователя .

Основные требования к интерфейсу следующие:

  1.   удобство пользования;
  2.   простота, легкость понимания;
  3.   обеспечение эффективной работы системы;
  4.   обеспечение целостности и сохранности данных;
  5.   защита от некорректных операций.

Visual C++ позволяет разрабатывать интерфейс,  отвечающий всем необходимым требованиям. В данном приложении разработаны 3 различных форм.

При запуске приложения открывается главное меню программы , которое содержит следующие пункты (рис.26 ):

  1.  Расчет;

График;

О программе;

Выход.

Рисунок 26. Главное меню программы DIP_AL/

При выборе "Расчет" открывается подменю, содержащее опции:

  •  расчет
  •  ввод параметров.

При выборе опции ‘расчет’ происходит автоматический расчет выходных данных (табл 2 ).

При выборе опции ввод параметров открывается диалоговое окно параметров, которое позволяе задать необходимые значения. Окно обладает всеми необходимыми свойствами для просмотра и изменения параметров. При выводе окна значения всех параметров уже заданы (предшествующие), то есть можно изменить только некоторые числа..

Рисунок 27. Диалоговое окно ввода данных.

Пункт главного меню ‘График’ выводит на экран график численности популяций животных.

Пункт главного меню ‘О программе’ выводит на экран информационное окно, в котором содержится текст с описанием задачи программы и автором. При выборе "Выход" приложение закрывается и происходит выход в операционную систему .

Программа позволяет легко и удобно работать с большими объемами информации, повысить скорость и эффективность работы по исследованию динамики развития экологических систем.


Заключение.

Тема дипломной работы актуальна, т.к. в данное вpемя, т.е. в начале 21 века, человечество как никогда столкнулось с лавиной катаклизмов. Уже сейчас биосфеpа Земли в огpомной  опастности и с течением времени ситуация становится все хуже и хуже. Самое стpашное  на  мой взгляд это то, что мы не знаем когда же наступит конец и как его, если не избежать, то хотя бы отдалить. Выход, как я вижу нашелся сам, а точнее его  нашел технический пpогpесс. Совpеменная компьютеpная техника достигла  невиданных pезультатов  в своем pазвитии, по сpавнению с дpугими областями науки и техники. Это все подвело нас к тому, чтобы с помощью компьтеpного анализа и математической pеализации пpогнозиpуемых моделей пpедвидеть и избежать надвигающуюся катастpофу. Совpеменная футуpология показала, что тактика "pеагиpоватьи испpавлять" бесплодна, а пpинести pеальные, спасительные pезультаты  может только - "пpедвидеть и пpедотвpащать". Если в ближайшие несколько  лет будут постpоены  и  внедpены математические модели  биосфеpы и различных экосистеим, то еще можно решить множество проблем в биосфере.

В пеpвую очеpедь должны бать постpоены экономические и демогpафические модели земли, основанные на сегодняшнем дне. Hа начальном этапе, необходимо  постpоение моделей для  отдельно взятых pегионов или экосистем,  но в конце концов необходимо постpоение глобальной модели биосфеpы..

Выполненная работа является базовой работой для дальнейшего более углубленного анализа экологических систем.

В работе были исследованы экологические системы “травоядные - хищники ” и “травоядные – хищники - корм”. В результате исследований разработаны различные модели (прогнозы) развития систем при заданных начальных данных. Особый интерес представляет собой анализ реакций систем на различные варианты внешнего воздействия. Используя разработанные модели можно максимизировать доход, получаемый от возобновляемых животных ресурсов и, что самое главное, можно избежать уничтожения и вымирония животных, являющихся объектами добычи.

Результаты данной работы можно применять практически в любой экосистеме. Они могут быть применены также и в медицине. С практической точки зрения во всех лесных хозяйствах необходимо применение анализа и прогнозирования численности популяций для поддержания нормального экологического баланса.


Литература.

  1.  Кибернетичское моделирование. Некоторые приложения.

Дж. Кемени, Дж. Снелл, М 1992г.

  1.  Моделирование биологических систем. Справочник.

Ю.Г. Антонов, К. Наукова думка 1997г.

  1.  Математическое моделирование в биологии.

М. Наука.1975г.

  1.  Математическое моделирование. Методы описания сложных систем..

А.А. Самарский, М., Наука, 1989г.

  1.  Проблемы экологии и основные пути ихрешения.

В.А. Кудинов, К,1993г.

  1.  Основы промышленой экологии.

Б.Г. Харьковский, Киев ИСИО, 1993г.

  1.  Численные методы. Крнспект лекций.

Е.И. Гиркин, Луганск, ВУГУ, 1998г.

  1.  Методические указания

К лабораторным работам по дисциплине “Вычислительная техника в инженерных и экономических расчетах” на тему “Численные методы решения дифференциальных уравнений”.

Е.М. Болотинский, В.И. Ищук.    ВМСИ, Ворошиловград 1984.

  1.  Справочник по математике.  Для научных работников.

Г. Корн, Т. Корн.   М, Наука,  1970

  1.  Математическое моделирование: Методы описания в сложных экономических и экологических системах

М., Наука, 1986..

Трава.

Травояд-ные.

Хищ

ники.

Коэффициенты для системы дифференциальных уравнений

Управляющее

воздействие

Начальные условия

X(0), Y(0), T0, T, H

Исследуемая

система

График изменения численности популиций во времени

Численность популяций животных

X , Y

V1

V3

0

3

V2

2

V5

U3

U4

4

1

2

А2

А3

А1


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

56376. Чи може бути свобода основою моральності? 66.5 KB
  Мета. Навчити учнів обґрунтовувати поняття свободи як основи моральності висловлювати своє розуміння свободи пояснювати що означає свобода вибору дії волі; формувати вміння наводити приклади узгодження власних інтересів із суспільними...
56378. Теоретические основы трудового воспитания дошкольников 62 KB
  Отличие труда взрослых и детей. Виды труда дошкольников. Формы организации труда. Понимая огромную роль труда в воспитании подрастающего поколения в своих работах часто затрагивали эту тему.
56379. Виды труда дошкольников 175 KB
  Труд детей в детском саду многообразен. Труд в природе предусматривает участие детей в уходе за растениями и животными выращивание растений в уголке природы на огороде в цветнике.
56380. Литературный процесс в США на рубеже 19-20 вв. 15.99 KB
  Развитие литературы США в последней трети XIX века и в первые десятилетия XX века характеризуется ускоренными темпами и быстрой сменой литературных направлений и тенденций.
56382. Отрезок. Длина отрезка. Треугольник 58.5 KB
  Цели урока: образовательные: обеспечить обобщение и систематизацию понятий отрезок, концы отрезка, равные отрезки, длина отрезка, треугольник, стороны треугольника, вершины треугольника, многоугольник.
56383. Системы счисления 1.5 MB
  Задачи урока: образовательные: актуализация знаний по теме Системы счисления; дифференциация материала изученного по теме Системы счисления; стимулирование интереса к изучаемой теме...
56384. «Превращения» листьев (создание образа по ассоциации) 42 KB
  Если нет то учитель раскроет тему сам. Учитель по ходу чтения предлагает рассмотреть образцы о которых упоминается в тексте. В это время учитель вновь закрывает образцы на доске. Учитель по очереди показывает детям один-два листика...