85679

Многомерная и дифференциальная геометрии в задачах

Книга

Математика и математический анализ

Основные определения теоремы и формулы Непустое множество называется мерным аффинным точечным пространством над векторным пространством если выполнены следующие аксиомы: 1 каждой упорядоченной паре точек поставлен в соответствие определенный вектор из который обозначается ; 2 для каждой точки и вектора существует одна и только одна точка такая что ; 3 для любых точек и выполняется равенство . Тогда координаты произвольной точки в старой системе координаты выражаются через ее координаты в новой системе координат по формулам: ...

Русский

2015-03-29

4.44 MB

39 чел.

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ

РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

БАШКИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

П.Н. МИХАЙЛОВ, А.Ф. ШАБАЕВА, Н.В. ШУСТРОВА

МНОГОМЕРНАЯ

И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИИ

В ЗАДАЧАХ

Учебное пособие

Уфа 2013


УДК 513 (075)+514.752.2+514.752.4

ББК 22.151

М 69

Рецензенты: д.ф.-м.н., профессор .

кафедра алгебры и геометрии (Башкирский государственный педагогический университет им. А.А.Акмуллы);

кафедра алгебры и геометрии (Стерлитамакская государственная педагогическая академия им. Зайнаб Биишевой).

Ответственный редактор – доктор физико-математических наук, профессор С.А.Мустафина

Михайлов П.Н., Шабаева А.Ф., Шустрова Н.В.

М 69 Многомерная и дифференциальная геометрии в задачах: Учебное пособие для университетов. - Уфа: БашГУ, 2013. – 84 с.

Учебное пособие содержит разработки практических занятий по многомерной геометрии, основам теоретико-множественной топологии и дифференциальной геометрии (линии и поверхности в евклидовом пространстве).

Предназначено для студентов очного и заочного отделений специальности .

УДК 513 (075)+514.112 +514.742.2

ББК 22.151

ISBN      © Баш ГУ, 2013 г.      © Михайлов П.Н., 2013 г.


ВВЕДЕНИЕ

Пособие состоит из трех самостоятельных частей. Первая часть посвящена изучению элементов многомерной геометрии, вторая – теоретико-множественной топологии, третья – основам дифференциальной геометрии.

Объясняя студентам, сущность топологии, ее часто называют «резиновой геометрией». При этом имеют в виду, что она изучает свойства геометрических фигур, сохраняющиеся при непрерывных деформациях этих фигур: без разрывов и склеиваний. При таком, исторически сложившемся в XIX веке подходе, элементы топологии закономерно вливаются в курс геометрии в один ряд с элементами аффинной, проективной и других геометрий. Однако логика развития давно уже вывела топологию, как за рамки «резиновой геометрии», так и за рамки геометрии вообще. Современная топология изучает не столько свойства, сохраняющиеся при «непрерывных деформациях», сколько сами эти «деформации», а точнее – непрерывные отображения. В качестве общего учения о непрерывности она вместе с теорией множеств и алгеброй образует фундамент большей части здания современной математики, пронизывая в то же время и многие “надстроечные” дисциплины: анализ, теорию дифференциальных уравнений и т. д., до квантовой механики включительно. Думается, что будущий учитель должен получить хотя бы общее представление о топологии не только как о разделе курса геометрии, но и как о могущественной современной математической дисциплине.

К сожалению, изучать основы топологии намного труднее, чем основы алгебры. Во-первых, общая природа топологических понятий намного сильнее “законспирирована”. Понять ее удалось лишь в начале XX века, когда выдающийся немецкий математик Ф. Хаусдорф впервые выделил основные объекты топологии: топологические пространства и их непрерывные отображения. Во-вторых, уровень большинства полезных и эффективных приложений топологии в курсах геометрии и анализа превосходит уровень их педвузовских курсов. Поэтому в пособии мы рассмотрим лишь основные понятия общей топологии и сосредоточимся на выяснении смысла вводимых понятий. С их приложениями читатель-студент познакомится при изучении кривых и поверхностей, многогранников, дифференциальной геометрии, оснований геометрии, функциональных пространств в курсе анализа.

До сих пор, рассматривая те или иные геометрические образы (фигуры), мы изучали их "в целом". Мы говорили об окружности, эллипсе, параболе или о сфере, эллипсоиде, имея в виду "целую" линию, "целую" окружность, а не конкретную ее часть. Но бывает случаи, когда мы вынуждены изучать именно кусочки линий или поверхностей. Это бывает тогда, когда-то или иное свойство линии или поверхности не принадлежит ей целиком, а изменяется в разных ее точках. Так, например, обстоит дело, когда речь идет об искривленности линии или поверхности. Прямая, например, совсем не искривлена, окружность всюду искривлена одинаково, а парабола сильнее всего искривлена около вершины, а при удалении в бесконечность ее искривленность уменьшается. Эллипс искривлен иначе. У двух его вершин, лежащих на его большей оси, искривленность наибольшая, а у двух других, лежащих на малой оси, - наибольшая. То же имеет место и для поверхностей. Плоскость совсем не искривлена, сфера искривлена всюду одинаково, а параболоид больше всего искривлен у вершины.

Необходимость изучения кривизны диктуется математике техникой. Прежде всего, тем, что все расчеты на прочность, связанные с канатами, плитами, поверхностями котлов, сводов и т.д., связаны с определением кривизны поверхностей в различных точках, так как напряжения в разных точках поверхностей будут различными и меняются с кривизной этих линий или поверхностей.

Изучение свойств линий и поверхностей в окрестности отдельных их точек играет огромную роль в геометрии и по другой причине. Дело в том, что многие линии и поверхности имеют сложные уравнения, и изучать их свойства или выполнять вычисления, оперируя этими уравнениями, бывает очень сложно. Но оказывается, что вблизи отдельных точек сложные уравнения можно заменить на более простые, с помощью которых и ведется изучение свойств этих образов. Например, уравнение синусоиды  вблизи начала координат можно заменить более простым уравнением  и построить по нему кривую, очень близкую (около начала координат) к синусоиде. Использование простых уравнений вместо сложных уравнений имеет громадное значение. Оно позволяет увеличить число фигур, которые может изучать геометрия (правда, вблизи отдельных их точек).

Пособие призвано помочь студентам в организации плодотворной самостоятельной работы при изучении геометрии, обратить внимание на наиболее важные вопросы теории и подходы к поиску решения задач. Всему этому будет содействовать самостоятельное продумывание студентами ответов на вопросы для самоконтроля при подготовке к практическому занятию по соответствующей теме, работа над задачами дома и решение задач на занятиях под руководством преподавателя, где различные способы решения этих задач должны стать предметом особого внимания. Так же самостоятельному овладению способами решения задач по геометрии помогут разборы решений типовых задач, предлагаемых по каждой теме.

При подготовке к занятиям рекомендуем студентам внимательно ознакомиться с содержанием лекций и разделов учебников, которые указаны отдельно по каждой теме. Заметим, что по ходу пособия указана только основная литература, со списком дополнительной литературы можно ознакомиться по перечню литературы, приведенной в конце пособия.

Все содержание пособия разбито на отдельные темы, на изучение каждой из которых планируется отвести два часа. К каждому занятию приведены список рекомендованной литературы для изучения темы, основные определения, теоремы и формулы, вопросы для самоконтроля, образцы решения типовых задач, список задач, рекомендованных для решения на занятии, домашнее задание и задачи повышенной трудности. Тематическое планирование занятий отражает опыт автора в реальных условиях преподавания.


Раздел 6. Многомерная геометрия

Тема 6.1: Векторное многомерное пространство и его

подпространства

Литература: [1], §§ 39-41, 43, стр. 111–113, 123–127; [2], раздел 2,

§§ 24, 27, 28, стр. 71–73, 85–90.

Основные определения, теоремы и формулы

Непустое множество , на котором определены операции сложения векторов и умножения на действительные числа так, что выполнены для любых элементов и из множества  следующие аксиомы:

1) ,

2) ,

3) во множестве существует элемент (нуль-вектор) такой, что

,

4) для каждого элемента во множестве существует элемент

такой, что ,

5) ,

6) для любых действительных чисел и любого

,

7) ,

8) ,

называется векторным пространством. Условия 1)-8) называются аксиомами векторного пространства.

Векторное пространство  называется nмерным векторным пространством, если выполнены следующие аксиомы:

1) в пространстве существует n линейно независимых векторов,

2) любая система векторов линейно зависима.

Число n называется размерностью пространства .

Базисом векторного пространства называется такая система векторов, которая удовлетворяет трем условиям: 1) она упорядочена, 2) линейно независима, 3) любой вектор пространства является линейной комбинацией векторов данной системы.

Теорема 1. Если – базис пространства , то для любого вектора  существуют единственные числа такие, что .

Числа  называются координатами вектора  в базисе .

Теорема 2. Если дана система векторов , которые в данном базисе имеют координаты

,

то ранг матрицы , составленной из координат векторов, равен максимальному числу линейно независимых векторов системы.

Пусть . Множество  называется векторным подпространством пространства , если выполнены два условия:

) , b)  для любого .

Теорема 3. Пусть дана система уравнений , ранг которой равен . Тогда множество  всех векторов, координаты которых удовлетворяют системе, есть - мерное подпространство векторного пространства .

Векторное пространство называется евклидовым, если определено отображение , которое обозначается , обладающее следующими свойствами:

1) , 2) , 3) , 4) , если . Определенное таким образом произведение называется скалярным произведением векторов.

Два вектора называются ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю, т.е. .

Вектор называется ортогональным пространству , если он ортогонален каждому вектору . Множество всех векторов, ортогональных образует -мерное подпространство евклидова пространства, которое называется ортогональным дополнением пространства .

Число называется длиной вектора . Число  такое, что

называется углом между векторами и .

Вопросы для самоконтроля

1. Что такое система векторов?

2. Какая система векторов называется линейно зависимой? Приведите примеры линейно зависимых систем векторов.

3. Какая система векторов называется линейно независимой? Приведите пример линейно независимой системы векторов.

4. Какое из предложений является верным: 1) если система векторов является зависимой, то и любая ее подсистема линейно зависима; 2) если система векторов линейно независима, то любая ее подсистема линейно независима.

5. Докажите, что в многомерном пространстве справедливы утверждения: 1) два вектора равны тогда и только тогда, когда их соответствующие координаты равны, 2) при сложении двух векторов соответствующие координаты складываются, 3) при умножении вектора на число каждая координата вектора умножается на это число.

6. Какими способами можно задать подпространство векторного пространства?

7. Может ли подпространство векторного пространства иметь такую же размерность, как и размерность самого пространства?

8. В векторном пространстве даны два подпространства и . Какие случаи возможны для пересечения выделенных подмножеств? Обоснуйте ответ.

Пример 1. Является ли множество

векторным пространством над полем действительных чисел ? Если да, то найдите его базис и размерность.

Решение. Проверим, что данное множество замкнуто относительно бинарной операции сложения матриц:

.

Легко проверить, что выполняются также требования, предъявляемые к этим операциям, приведенным в определении линейного векторного пространства. Следовательно,  является линейным векторным пространством над полем .

Для определения размерности векторного пространства  найдем какой-либо его базис. Рассмотрим, например, матрицы

.

Легко видеть, что они линейно независимы: из равенства следует, что

, то есть, .

Проверим, что любой элемент из  представим в виде линейной комбинации матриц  и . Действительно:

.

Матрицы и образуют базис пространства .

Пример 2. В пространстве найдите подпространство решений однородной системы

определите его размерность и базисные векторы.

Решение. Для решения задачи нам достаточно найти базисные векторы пространства , которые совпадают с фундаментальными решениями данной системы. Число фундаментальных решений совпадает с размерностью подпространства .

С помощью элементарных преобразований матрица системы приводится к виду (остальные строки состоят только из нулей)

.

Ранг данной матрицы равен двум, значит, размерность векторного подпространства  равна: . Система имеет три фундаментальных решения. Придавая свободным переменным соответственно значения , получаем следующие базисные векторы:

подпространства . При этом само подпространство представляет собой множество векторов, натянутых на базисные векторы.

Задачи

1. Является ли векторным подпространством пространства квадратных матриц -го порядка множество всех:

а) симметрических матриц -го порядка ,

б) кососимметрических матриц -го порядка ?

В случае положительного ответа найдите размерность подпространства и укажите какой-либо базис.

2. Докажите, что если в пространстве  скалярное произведение векторов  и  определим равенством , получим -мерное евклидово векторное пространство. Является ли пространство  евклидовым пространством, если скалярное произведение определяется равенством

?

3. Проверьте, что данные векторы пространства попарно ортогональны. Дополните их до полного базиса:

а) ; б) .

4. Даны два подпространства пространства такие, что любые два вектора из разных подпространств ортогональны. Докажите, что пересечение этих подпространств содержит только нулевой вектор.

5. Докажите, что любое векторное пространство можно представить в виде прямой суммы некоторого подпространства и его ортогонального дополнения, т.е. .

6. Докажите, что для любых подпространств  и векторного пространства транства верны равенства выполняются равенства:

1) ; , 2) .

7. На множестве положительных чисел назовем «суммой» произведение чисел, а «произведением элемента  на число » назовем число . Можно ли множество положительных чисел с такими операциями назвать векторным пространством?

8. Пусть – подпространство пространства . Докажите, что любой вектор  пространства однозначно представим в виде , где . Вектор называется проекцией вектора  на подпространство .

9. Докажите, что из всех векторов подпространства  наименьший угол с данным вектором  образует его ортогональная проекция на подпространство . Этот угол называется углом между вектором  и подпространством .

10. Докажите -мерный аналог теоремы Пифагора: если векторы попарно ортогональны, то выполняется равенство

. Верно ли обратное утверждение?

Задачи повышенной трудности

1. Пусть – подпространство пространства и , где . Докажите, что .

2. Найдите угол между вектором и линейной оболочкой векторов , если: а) ;

б) .

3. Напишите неравенство Коши-Буняковского для пространства и для пространства функций, непрерывных на отрезке , с обычным действием сложения и умножения на число и со скалярным произведением, заданным равенством

.

Домашнее задание

1. Образуют ли векторное подпространство -мерного векторного пространства следующие множества векторов:

а) у которых сумма координат с нечетными номерами равны нулю;

б) все координаты равны между собой;

в) сумма координат равна нулю (равна 1);

г) являющихся линейными комбинациями векторов , . Если да, определите размерность соответствующего подпространства.

2. Докажите, что следующая система векторов образует базис векторного пространства : а) ; б) . Определите координаты вектора  в новом базисе.

3. Докажите, что сумма углов между произвольным вектором и каждым из подпространств и  равна .

Тема 6.2: Аффинное многомерное пространство

Литература: [1], §§ 85, 86, 87, стр. 252–260; [2], раздел 2, §§ 24–27, стр. 239–250.

Основные определения, теоремы и формулы

Непустое множество  называется -мерным аффинным точечным пространством над векторным пространством , если выполнены следующие аксиомы: 1) каждой упорядоченной паре точек  поставлен в соответствие определенный вектор из , который обозначается ; 2) для каждой точки и вектора  существует одна и только одна точка такая, что ; 3) для любых точек и выполняется равенство .

Понятия аффинной системы координат, координат точек определяются так же, как и на плоскости или в трехмерном пространстве.

Рассмотрим в пространстве две аффинные системы координат  и . Первую систему назовем старой, вторую – новой. Известны координаты новых базисных векторов и нового начала относительно старой системы координат . Тогда координаты  произвольной точки в старой системе координаты выражаются через ее координаты  в новой системе координат по формулам:

,

при условии, что определитель матрицы отличен от нуля.

Пусть – -мерное подпространство векторного пространства   и некоторая фиксированная точка. Множество точек  называется -мерной плоскостью. Одномерная плоскость называется прямой, - мерная – гиперплоскостью. Например, прямая – одномерная гиперплоскость на обычной плоскости, обычная плоскость – гиперплоскость в трехмерном пространстве. Поэтому не случайно, что прямая на плоскости задается общим уравнением , а в трехмерном пространстве – уравнение плоскости, в многомерном же пространстве гиперплоскость так же определяется линейным уравнением .

Пример 1. Написать уравнение плоскости , заданной точкой  и векторным  подпространством , которое определено системой однородных уравнений:

.

(1)

Решение. Обозначим координаты произвольной точки . Тогда можно определить координаты вектора .  По определению плоскости точка принадлежит плоскости тогда и только тогда, когда координаты вектора  удовлетворяют системе (1), то есть уравнение плоскости имеет вид

.

(2)

Заметим, что если векторное подпространство задано базисными векторами , то точка  тогда и только тогда, когда или в координатной форме

.

(3)

Уравнения (3) называются параметрическими уравнениями плоскости. Исключая параметры из (3), получим систему (2). В частности, гиперплоскость задается одним линейным уравнением.

Пример 2. Составим уравнение плоскости в пространстве , заданной точкой  и направляющим пространством , определенным системой уравнений:

.

Уравнение плоскости записывается по формуле (2)

!

Последняя система легко преобразуется к виду

Пример 3. Исследуйте взаимное расположение плоскостей пространства , заданных своими уравнениями

;

.

Решение. Обозначим векторные подпространства плоскостей  и соответственно через и . Пусть . Обозначим через число, совпадающее с наименьшей размерностью подпространств и . Как известно, взаимное расположение плоскостей классифицируется следующим образом:

Плоскости имеют общую точку

Плоскости пересекаются в точке

Плоскости пересекаются по -плоскости

Одна из плоскостей содержит другую

Плоскости не имеют общей точки

Плоскости скрещиваются

Плоскости частично параллельны

Плоскости строго параллельны

Заметим, что плоскость  задана параметрическими уравнениями, - общими. Определим общие уравнения плоскости . Для этого исключим параметры и из ее параметрических уравнений. Из первого и третьего уравнений имеем , а из второго и четвертого получим: . Таким образом, общие уравнения плоскости  имеют вид

:, , .

Если плоскости заданы своими общими уравнениями, то координаты их общих точек являются решениями системы, составленной из всех уравнений, определяющих как плоскость , так и :

, , , , .

(4)

Координаты векторов, принадлежащих пересечению подпространств двух плоскостей, служат решениями однородной системы, соответствующей системе, определяющей их общие точки. В рассматриваемом случае она имеет следующий вид:

, , , , .

(5)

Определим ранги и соответственно систем (4) и (5): . Так как , то система (4) не совместна, поэтому плоскости не имеют общих точек, а так как , то главный определитель системы однородных уравнений (5) не равен нулю и система имеет только нулевое решение, то есть размерность пространства решений системы равна нулю. Значит, плоскости скрещиваются.

Вопросы для самоконтроля

1. Докажите, что при любом выборе точки вектор нулевой.

2. Докажите, что если , то точки и совпадают.

3. Докажите, что верно равенство.

4. Что такое аффинная система координат в пространстве ?

5. Как определяются координаты точки в многомерном аффинном пространстве?

6. Определите координаты новых базисных векторов и нового начала координат в старой системе, если формулы преобразования координат имеют вид.

7. Задают ли формулы

преобразование координат?

8. Могут ли скрещиваться две двумерные плоскости в четырехмерном пространстве?

9. Известно, что если две точки прямой трехмерного пространства лежат на некоторой плоскости, то все ее точки лежат на этой плоскости. Сформулируйте и докажите аналогичное утверждение о взаимном расположении двух плоскостей любых размерностей в пространстве .

Задачи

1. Даны вершины треугольника

. Найдите координаты точки пересечения его медиан.

2. Даны точки , . Докажите, что четырехугольник  – трапеция.

3. Напишите формулы преобразования координат, если даны координаты нового начала и новых базисных векторов:

а) ;

б) .

4. Множество точек пространства в некоторой системе координат задано уравнением

.

Напишите уравнение этого множества в новой системе координат, если

.

5. Составьте параметрические уравнения плоскости, заданной в аффинном пространстве своими общими уравнениями, и укажите несколько точек, принадлежащих плоскости:

а)

б) .

6. Составьте общие уравнения плоскости, заданной в аффинном пространстве своими параметрическими уравнениями:

а)  б)

7. Составьте параметрические и общие уравнения плоскости пространства , содержащей точки .

8. В каждом из следующих случаев исследуйте взаимное расположение плоскостей, заданных в соответствующих пространствах своими уравнениями в пространстве плоскостей: а)  и , где

,

б)  и , где

Дополнительные задачи

1. Докажите, что если две плоскости имеют общие точки и векторное подпространство первой плоскости принадлежит векторному подпространству второй, то и точки  первой плоскости принадлежат второй.

2. Докажите, что если две плоскости пересекаются, то их пересечение есть плоскость, направляющее подпространство которой является пересечением направляющих подпространств этих плоскостей.

3. Укажите все возможные случаи взаимного расположения в пространстве гиперплоскости и плоскости .

4. Докажите, что если , то плоскости и , принадлежащие пространству , не могут скрещиваться.

Домашние задание

1. Доказать, что через точек общего положения в аффинном пространстве  проходит единственная -мерная плоскость и в каждой -мерной плоскости пространства существует максимальная система из точек общего положения.

2. Точка аффинного пространства не принадлежит плоскости . Доказать, что существует единственная плоскость , проходящая через точку и плоскость .

3. Выясните взаимное расположение в пространстве следующих плоскостей:

.

Тема 6.3: Евклидово многомерное пространство

Литература: [1], §§ 89, стр. 262–264;

[2], раздел 2, §§ 29, 30, стр. 255–266.

Основные определения, теоремы и формулы

Аффинное пространство над векторным пространством называется евклидовым -мерным пространством , если – евклидово векторное -мерное пространство.

Система координат в  называется прямоугольной декартовой, если базис ортонормированный.

Расстояние между точками  и  вычисляется по формуле

.

Рассмотрим в пространстве  -плоскость , пусть – ее направляющее подпространство. Расстоянием от точки до плоскости  евклидова пространства , называется точная нижняя грань расстояний от точки до точек плоскости . Все векторы , где , можно единственным образом представить в виде , где ,  принадлежит ортогональному дополнению . Тогда длина вектора  равна расстоянию от точки до плоскости .

Две плоскости пространства называются ортогональными, если направляющее подпространство одной плоскости содержится в ортогональном дополнении направляющего подпространства другой.

Вопросы для самоконтроля

1. Что такое расстояние между точками?

2. Какая матрица называется ортогональной?

3. Какое преобразование плоскости называется ее движением?

4. Запишите формулы движения евклидова пространства .

5. Докажите, что через каждую точку пространства  проходит единственная плоскость , ортогональная данной плоскости .

6. Докажите, что множество точек пространства , равноудаленных от данных точек  и , есть гиперплоскость, проходящая через середину отрезка и ортогональная прямой .

7. Докажите, что множество всех точек пространства , равноудаленных от трех точек и , не лежащих на одной прямой, есть плоскость размерности , ортогональная плоскости .

8. Докажите, что расстояние от точки  до гиперплоскости , заданной уравнением , вычисляется по формуле

.

9. Выведите формулу расстояния между гиперплоскостями.

Пример 1. Докажите ортогональность следующих плоскостей:

 

Решение. Коэффициенты перед параметрами в уравнении плоскости являются координатами базисных векторов направляющего подпространства плоскости: . Приняв переменные и за параметры, параметрические уравнения плоскости можно представить как . Следовательно, координаты базисных векторов направляющего подпространства плоскости : . Для доказательства ортогональности плоскостей  и , достаточно проверить, что каждый из векторов  ортогонален векторам . Действительно, . Аналогично проверяется, .

Пример 2. Найти расстояние от точки  до плоскости евклидова пространства , если

Решение. Способ 1. Объявив переменные и параметрами, параметрическим уравнениям плоскости придадим вид

.

При получим точку , принадлежащую плоскости . Из параметрических уравнений плоскости определим координаты базисных векторов направляющего подпространства плоскости : . Легко подсчитать , представим его в виде суммы , где : . Так как , то

Переходя к координатам, последние равенства перепишем как

Отсюда, после небольших преобразований, получим  или  Таким образом, для определения вектора получим векторное уравнение

.

Подставив в последнее уравнение известные координаты векторов , найдем координаты вектора

.

Искомое расстояние от точки до плоскости равно

.

Способ 2. Составим уравнение плоскости , проходящей через точку , ортогональную .

Вектор  принадлежит ортогональному дополнению  направляющего пространства  плоскости тогда и только тогда, когда . Если перейти к координатам, отсюда получим . Придавая значения свободным переменным: сначала , а затем получим, что базис составляют векторы . Параметрические уравнения плоскости

.

Решив совместно уравнения плоскостей и , определим координаты точки – ортогональной проекции точки  на плоскость . Следовательно, расстояние .

Задачи

1. Даны вершины треугольника .

1) Найдите длины биссектрисы , высоты и величину угла ; 2) напишите уравнение высоты .

2. Найдите проекцию точки  пространства  на гиперплоскость .

3. Напишите уравнение плоскости максимальной размерности, проходящей через точку  ортогонально данной плоскости:

а)

б) .

4. Вычислите расстояние от точки  до плоскости

.

5. Найдите точку, симметричную точке относительно

плоскости .

6. Запишите уравнение гиперсферы радиуса  с центром в точке .

7. Найдите уравнение сферы пространства при условии, что:

а) концы одного из диаметров имеют координаты и ; б) сфера проходит через начало координат и через концы отложенных от него координатных векторов; в) сфера имеет центр с координатами и пересекает гиперплоскость по сфере

Дополнительные задания

1. В пространстве  -параллелепипед называется -кубом, если векторы  образуют ортонормированный базис, и их длины равны.

Ребро четырехмерного куба равно . Вычислите: а) длины диагоналей куба и его двумерных и трехмерных граней, б) найдите углы, образованные диагональю четырехмерного куба с его ребрами и диагоналями  двумерных и трехмерных граней, выходящих из одной вершины.

Домашнее задание

1. Найдите проекцию прямой

на плоскость .

2. Найдите координаты центра и радиус гиперсферы:

.

3. Определите взаимное расположение следующей гиперсферы и гиперплоскости: ,

.

Тема 6.4: Билинейные и квадратичные формы

Литература: [1], §§ 91, 92, стр. 267–273;

[2], раздел 2, §§ 34, 35, стр. 279–285.

Основные определения, теоремы и формулы

Пусть - -мерное векторное пространство над полем действительных чисел. Билинейной формой, определенной на , называется отображение , линейное по каждому аргументу:

Если - базис векторного пространства и , то

. Квадратная матрица  называется матрицей билинейной формы . Билинейная форма называется симметрической, если матрица  симметрическая. Симметрическая билинейная форма называется положительно определенной, если  для любого ненулевого вектора . Задание на векторном пространстве  положительно-определенной билинейной формы равносильно заданию скалярного произведения векторов, т.к. достаточно принять .

Если , то векторы  и  называются сопряженными относительно билинейной формы .

Отображение по закону , где симметрическая билинейная форма, называется квадратичной формой, соответствующей симметрической билинейной форме . Ранг матрицы  называется рангом квадратичной формы. Квадратичная форма называется вырожденной, если ее ранг , невырожденной – если .

Теорема 1. В векторном пространстве всегда существует такой базис, в котором квадратичная форма имеет канонический вид:

,

где – ранг данной квадратичной формы.

Теорема 2. В векторном пространстве всегда существует такой базис, в котором квадратичная форма имеет нормальный вид:

, – ранг формы.

Число отрицательных квадратов в нормальном виде формы называется индексом квадратичной формы, а разность между числом положительных коэффициентов и индексом называется сигнатурой.

Теорема 3. (Закон инерции вещественных квадратичных форм). Индекс вещественной квадратичной формы не зависит от выбора базиса, в котором квадратичная форма имеет нормальный вид.

Линейное отображение векторного пространства на себя называется линейным оператором: . Пусть – базис векторного пространства и . Тогда в силу линейности оператора , то есть . Матрица  называется матрицей оператора.

Ненулевой вектор называется собственным вектором оператора , если . При этом число  называется собственным значением оператора, соответствующим вектору .

Теорема 4. В евклидовом векторном пространстве существует ортонормированный базис, все векторы которого являются собственными векторами данного симметрического оператора.

Теорема 5. В евклидовом векторном пространстве существует ортонормированный базис, любые два вектора которого сопряжены относительно данной симметрической билинейной формы.

Вопросы для самопроверки

1. Какая матрица называется симметрической? Приведите примеры симметрической и не симметрической матриц.

2. В векторном пространстве даны две билинейные формы  и . Является ли билинейной формой отображение:

1) , 2) ?

3. Существует ли такая билинейная форма, относительно которой любые два вектора -мерного векторного пространства сопряжены?

4. Существует ли ненулевая симметрическая билинейная форма, относительно которой сопряжены ненулевые коллинеарные векторы?

5. Векторы  и не сопряжены относительно билинейной формы . Могут ли быть сопряженными относительно этой же формы векторы и ?

6. Какие можно сформулировать следствия из закона инерции вещественных квадратичных форм?

7. Какая квадратичная форма называется положительно-определенной? Чему равен индекс, сигнатура, ранг положительно-определенной квадратичной формы?

8. Сформулируйте признаки положительно-определенной квадратичной формы.

9. Чему равен ранг квадратичной формы , если известно, что для любого вектора ?

Пример 1. Постройте билинейную форму, определенную на четырехмерном векторном пространстве над полем , соответствующую матрице:

в базисе . Определите ранг формы и вычислите , если .

Решение. В записи билинейной формы , – номер строки, – номер столбца. Выписывая из матрицы соответствующие коэффициенты, в рассматриваемом случае получим, что билинейная форма, определенная заданной матрицей, имеет вид

.

Подставив в полученные формулы координаты заданных векторов , получим .

С помощью элементарных преобразований матрицу билинейной формы приведем к ступенчатому виду:

,

следовательно, ранг билинейной формы равен 4.

Пример 2. Приведите квадратичную форму к нормальному виду и определите ее индекс, сигнатуру и ранг:

.

Решение. Так как в записи квадратичной формы нет ни одного ненулевого коэффициента , то воспользуемся заменой переменных: . Тогда квадратичная форма запишется в виде . Теперь мы имеем случай, когда коэффициент . Воспользуемся методом Лагранжа. Соберем все одночлены, содержащие , и дополним их до полного квадрата, затем проделаем аналогичную процедуру с членами, содержащими и т.д.

Обозначив ,

получим нормальный вид квадратичной формы

.

Значит, индекс квадратичной формы равен двум, сигнатура – нулю, а ранг – четырем.

Пример 3. С помощью ортогональных преобразований приведите к каноническому виду квадратичную форму , заданную в ортонормированном базисе евклидова пространства :

.

Решение. Выпишем матрицу квадратичной формы

и составим характеристическое уравнение

.

Вычислив определитель, получим . Следовательно, характеристическое уравнение имеет корни . А это значит, что с помощью ортогональных преобразований исходную квадратичную форму можно свести к виду .

Найдем координатные векторы новой прямоугольной системы координат. Они являются собственными векторами линейного оператора, имеющего ту же матрицу, что и данная квадратичная форма, и являются собственными векторами оператора. Поэтому их координаты являются решением системы

.

При  имеем . Одно из решений системы . Нормируя этот вектор, т.е. разделив все его координаты на его длину, получим первый координатный вектор .

Аналогично получим, что собственным значениям  и соответствуют векторы  и , орты которых  являются координатными векторами нового базиса.

Матрица, составленная из координат новых базисных векторов, является ортогональной. Ее необходимо транспонировать, для получения матрицы ортогонального преобразования, приводящего квадратичную форму к каноническому виду. Искомое ортогональное преобразование имеет вид

Задачи

1. Запишите матрицы следующих квадратичных форм:

а) , б) ,

в) .

2.Запишите квадратичную форму, если дана ее матрица

.

Найдите ранг квадратичной формы.

3. Приведите квадратичную форму к каноническому виду:

а) , б) .

4. Найдите симметрическую билинейную форму, порождающую ту же квадратичную форму, что и данная билинейная форма

.

5. При каком условии билинейная форма  обращается в нуль для всех векторов и , связанных соотношением ?

6. Выясните, является ли квадратичная форма положительно определенной в пространстве :

а) ; б) .

7. Матрица линейного оператора в некотором ортонормированном базисе имеет вид

.

Постройте базис из собственных векторов оператора и найдите его матрицу в этом базисе. Найдите ортогональные инварианты (т.е. коэффициенты характеристического уравнения) квадратичной формы, определенной заданной матрицей.

Дополнительные задания

1. Доказать, что билинейная форма, заданная в конечномерном пространстве, представима в виде произведения двух линейных форм тогда и только тогда, когда ранг матрицы этой билинейной формы равен единице.

2. Найдите условие, при котором билинейная форма  обращается в нуль при  для всякого вектора .

3. Пусть на векторном пространстве задана квадратичная форма , причем . Докажите, что векторы линейно независимы.

4. Найдите характеристические числа оператора , если характеристические числа оператора известны.

5. Найдите характеристические числа матрицы , если характеристические числа матрицы известны.

Домашнее задание

1. Приведите к нормальному виду квадратичную форму и запишите формулы преобразования переменных

.

2. Квадратичная форма задана в ортонормированном базисе евклидова пространства. Ортогональным преобразованием приведите ее к каноническому виду и найдите  ранг и индекс

.

Тема 6.5: Квадрики в аффинном и евклидовом пространствах

Литература: [1], §§ 93, 94, 95, стр. 273–282;

[2], раздел 2, §§ 37 38, стр. 286–294.

Основные определения, теоремы и формулы

Квадрикой или гиперповерхностью второго порядка в пространстве называется множество точек пространства, координаты которых в какой-либо аффинной системе координат удовлетворяет алгебраическому уравнению второго порядка

.

(1)

Теорема 1. Точка  является центром квадрики тогда и только тогда, когда координаты этой точки удовлетворяют системе уравнений .

Квадрика называется цилиндрической, если существует такое векторное пространство , что квадрика вместе с каждой своей точкой содержит всю -плоскость, проходящую через эту точку и имеющую направляющее подпространство .

Теорема 2. Если в пространстве квадрика задана уравнением, то она является цилиндром, образующие которой имеют направляющее подпространство .

Квадрика называется конической, если существует -плоскость, такая, что квадрика вместе с каждой своей точкой , не принадлежащей , содержит всю -плоскость, проходящую через точку и содержащую .

Теорема 3. Если квадрика пространства имеет хотя бы один центр, принадлежащий самой квадрике, то она является конической. При этом множество центров этой квадрики является ее вершиной.

Теорема 4. Уравнение любой квадрики в , имеющей хотя бы один центр, с помощью подходящего выбора системы координат можно привести к виду

,

(1)

а не имеющей ни одного центра к виду

,

(2)

где  – ранг квадрики, равно нулю или единице, может принимать значения от нуля до . Уравнения (1) и (2) называются нормальными уравнениями квадрики.

Пример 1. Приведите уравнение квадрики в евклидовом пространстве к каноническому виду и определите ее вид:

.

Решение. Составим характеристическое уравнение матрицы квадратичной формы :

Отсюда имеем и . Так как одно из собственных значений , то рассматриваемая квадрика вырожденная. Ее канонический вид . Определим собственные векторы квадратичной формы, соответствующие найденным характеристическим числам так, как это сделано в примере 3, темы (6.4): характеристическому числу  соответствует собственный вектор , для  имеем , для  –  .

Проведя нормировку полученной системы собственных векторов, определим ортонормированный базис, в котором квадратичная форма имеет канонический вид:

.

В формулах перехода к новой прямоугольной системе координат, в которой квадратичная форма имеет канонический вид, координаты найденных базисных векторов служат коэффициентами при соответствующих новых координатах:

Производя замену переменных в исходном уравнении квадрики, получим ее уравнение во второй системе координат:

.

Выделяя полные квадраты, перепишем уравнение как

.

Если перейти к третьей системе координат по формулам

, то получим каноническое уравнение данной квадрики: , или . Даная квадрика является гиперболическим цилиндром.

Пример 2. В трехмерном пространстве задана квадрика своим уравнением относительно прямоугольной системы координат:

.

Найдите ее оси и главные диаметральные гиперплоскости.

Решение. Определим собственные значения квадратичной формы

.

Так как среди собственных значений нет нулевых, то квадрика центральная. Ее центр принадлежит каждой из искомых главных диаметральных гиперплоскостей, а направление каждого из трех собственных векторов является нормальным направлением для соответствующей гиперплоскости. Как и в примере 3 темы 6.4 убеждаемся, что собственными векторами квадратичной формы являются . Координаты центра определяются по теореме 2 из системы

Отсюда центр имеет следующие координаты: . Искомые главные диаметральные гиперплоскости определяются точкой и нормальными векторами . Их уравнения имеют вид:

.

Уравнения осей квадрики определим как уравнения прямых, полученных в результате пересечения найденных плоскостей:

Вопросы для самоконтроля

1. Как называется квадрика, если в определении квадрики:

а) ; б) ?

2. Что такое ранг квадрики? Какие значения он может принимать? Приведите примеры квадрик в трехмерном аффинном пространстве: 1) ранга 1; 2) ранга 2; 3) ранга 3.

3. Что такое центр квадрики? Сколько центров может иметь квадрика? Какая квадрика называется центральной?

4. Приведите пример цилиндрической квадрики при .

5. Напишите канонические уравнения основных видов квадрик в пространстве . Как называется каждая из квадрик?

6. Существует ли квадрика, уравнение которой не зависит от выбора аффинной системы координат?

7. Существует ли в аффинном пространстве квадрика, которая: 1) не имеет ни одной вещественной точки; 2) имеет единственную вещественную точку?

8. Может ли иметь центр квадрика, не имеющая ни одной вещественной точки? При положительном ответе приведите пример.

9. Три точки, не лежащие на одной прямой, являются центрами квадрики, заданной в пространстве . Верно ли утверждение, что любая точка двумерной плоскости, проходящей через эти точки, является центром квадрики?

10. Воспользовавшись теоремой 4, подсчитайте, сколько всего существует различных квадрик в ?

11. Существует ли цилиндрическая квадрика в пространстве , которая имеет плоскость центров, являющуюся образующей?

Задачи

1. В аффинном пространстве найдите пересечение квадрики

и прямой .

2. В пространстве найдите прямолинейные образующие квадрики, проходящие через точку  и лежащие в плоскости .

3. Выясните, является ли квадрика в центральной? Если да, определите координаты центра:

а) ,

б) .

Как называется каждая из квадрик?

4. Найдите главные диаметральные плоскости квадрики, заданной в трехмерном евклидовом пространстве уравнением

.

5. Приведите к нормальному виду уравнение квадрики пространства  и установите ее вид.

6. Приведите к каноническому виду уравнение квадрики пространства с помощью перехода к новой прямоугольной системе координат. Найдите формулы преобразования координат:

.

Дополнительные задания

1. Докажите, что квадрика является центральной тогда и только тогда, когда среди ее собственных значений нет ни одного нулевого.

2. Найдите условия, при которых в евклидовом пространстве всякое направление является собственным относительно квадратичной формы .

3. Докажите, что главная диаметральная гиперплоскость квадрики является ее плоскостью симметрии. Будет ли верно обратное утверждение?

4. Пусть в пространстведана центральная квадрика

.

Докажите, что если, не меняя координаты векторов, перенести начало репера в центр квадрики, то ее уравнение примет вид:

.

Домашнее задание

1. В аффинном пространстве найдите пересечение квадрик:

.

2. Приведите уравнение квадрики  к нормальному виду. Определите координаты центра, уравнения ее главных осей.

3. Найдите собственные числа и собственные векторы линейного оператора, заданного матрицей

.


Индивидуальные задания по теме
«Многомерная геометрия»

Вариант 1

1. Выяснить является ли отображение , заданное формулой билинейной формой?

2. В четырехмерном евклидовом векторном пространстве даны векторы своими координатами в ортонормированном базисе , , . Найти: а) , б) , .

3. Вычислить координаты ортогональной проекции точки

М(2,–1,3,1) на плоскость:

4. Выяснить взаимное расположение следующих многомерных плоскостей:

а) в Е4 :   и    

б) в Е5 , заданных точками:  М1(1,–2,2,–5,0),  М 2(3,1,4,–2,3),

М 3(–2,1,0,–4,0), М 4(0,0,1,–1,2) и  N1(2,1,–3,4,2), N 2(7,1,1,6,5).

5. Привести к каноническому виду и определить вид квадрики

Вариант 2

1. В четырехмерном евклидовом векторном пространстве даны векторы своими координатами в ортонормированном базисе , , . Найти их попарные скалярные произведения и по их значениям узнать, будет ли угол между этими векторами острый, тупой или прямой.

2. Вычислить расстояние от точки А(2,3,–1,1) до плоскости

3. Написать уравнение гиперплоскости в , проходящей через точку , параллельной прямой

и параллельной двумерной плоскости

4. Выяснить взаимное расположение следующих многомерных плоскостей:

а) в Е4 :     и   

б) в Е5 , заданных точками:  М1(1,–2,3,–2,0),  М 2(0,1,4,–2,3), М 3(–2,1,0,–4,1), М 4(2,–4,2,–4,2) и  N 1(1,–1,7,–4,3), N 2(5,–6,9,–4,4), N 3(0,3,1,–1,2).

5. Привести к каноническому виду и определить вид квадрики

Вариант 3

1. Выяснить является ли отображение , заданное формулой билинейной формой?

2. Найти расстояние от точки А (1,1,–2,1) до прямой

l: .

3. Выяснить взаимное расположение следующих многомерных плоскостей:

а) в Е4:

и  .

б) в Е5, заданных точками:

М 1(0,0,0,–1,2),  М 2(6,3,7,–4,–5), М 3(–2,1,0,–4,0),  М 4(5,2,2,0,0)

и   N1(2,–1,–3,4,2), N 2(3,0,2,0,–3), N 3(1,2,3,–4,–3).

4. Написать уравнение трехмерной плоскости в , проходящей через точку  и ортогональную прямой

.

5. Привести к каноническому виду и определить вид квадрики

Вариант 4

1. В четырехмерном евклидовом векторном пространстве даны векторы своими координатами в ортонормированном базисе , , . Найти: а) , б) , .

2. Найти площадь треугольника АВС по координатам вершин:

А(0,0,1,2), В(1,–1,2,–2), С(1,1,–3,0).

3. Найти ортогональную проекцию прямой

l:

на плоскость

4. Выяснить взаимное расположение следующих многомерных плоскостей:

а) в Е4 :

и   

б) в  Е5 , заданных точками:

М1(1,1,1,–1,2),  М 2(0,1,2,–2,6), М 3(–2,1,0,–4,0), М 4(1,–2,3,4,1)

и N1(2,1,–3,0,2), N 2(0,7,–5,–12,12), N 3(–1,4,–6,–8,1).

5. Привести к каноническому виду и определить вид квадрики

Является ли квадрика центральной?

Вариант 5

1. Выяснить является ли отображение , заданное формулой билинейной формой?

2. Найти расстояние от точки А (2,0,–2,1) до прямой

l: .

3. Найти ортогональную проекцию прямой

l:

на плоскость

4. Выяснить взаимное расположение следующих многомерных плоскостей:

а) в Е4 :

и

б) в Е5 , заданных точками:

М1(1,–2,2,–5,0), М 2(3,1,4,–2,3), М 3(–2,1,0,–4,0), М 4(0,4,2,–1,3)   

и N 1(1,1,–3,4,2), N 2(4,1,1,6,5).

5. Привести к каноническому виду и определить вид квадрики

Вариант 6

1. В четырехмерном евклидовом векторном пространстве даны векторы  и  своими координатами в ортонормированном базисе. Найти вектор , ортогональный векторам  и .

2. Найти точку, симметричную точке  М(2,–1,3,1) относительно гиперплоскости:

.

3. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку М(2,–1,3,1), ортогональную плоскости  

4. Выяснить взаимное расположение следующих многомерных плоскостей:

а) в Е4 :

   и     ,

б) в Е5 , заданных точками:

М1(1,–2,2,–5,0), М2(3,1,4,–2,3), М3(–2,1,0,–4,0), М4(0,0,1,–1,2)   

и  N1(2,1,–3,4,2), N 2(7,1,1,6,5).

5. Привести к каноническому виду и определить вид квадрики

.

Если квадрика имеет центр, найдите его.

Вариант 7

1. Выяснить, является ли отображение , заданное формулой билинейной формой?

2. Подпространство пятимерного векторного пространства задано системой уравнений

Укажите какой-либо его базис.

3. Найти точку, симметричную точке  М(–2,–1,3,1) относительно гиперплоскости:

.

Принадлежит ли вектор  направляющему подпространству гиперплоскости?

4. Выяснить взаимное расположение следующих многомерных плоскостей:

а) в Е4 :

   и     ,

б) в Е5 , заданных точками:

М1(1,–2,2,5,0), М2(3,1,4,–2,3), М3(–2,1,0,–4,0), М4(0,0,1,–1,2)   

и  N1(2,1,–3,4,2), N 2(7,1,1,6,5).

5. Привести к каноническому виду и определить вид квадрики

.

Является квадрика центральной? Если  да, найдите его центр.

Вариант 8

1. Выяснить, является ли форма

симметрической, положительно определенной?

2. В векторном пространстве найти пересечение двух данных векторных подпространств

и

3. Вычислить координаты ортогональной проекции точки

М(2,–1,3, –1) на плоскость:

4.Выяснить взаимное расположение следующих многомерных плоскостей:

а) в Е4 :   и    

б) в Е5 , заданных точками:  М1(1,–2,2,–5,0),  М 2(3,1,4,–2, –3),

М 3(–2,1,0,–4,0), М 4(0,0,1,–1,2) и  N1(2,1,–3,4, –2), N 2(7,1,1,6,5).

5. Привести к каноническому виду и определить вид квадрики

Является квадрика центральной? Если  да, найдите его центр.

Вариант 9

1. Выяснить, является ли форма

симметрической, положительно определенной?

2. В аффинном пространстве  дана система координат и точки , , , , ,

. Найдите координаты точек .

3. Найти расстояние от точки А (–2,0,–2,1) до прямой

l: .

4. Выяснить взаимное расположение следующих многомерных плоскостей:

а) в Е4 :

и

б) в Е5 , заданных точками:

М1(1,–2,2,–5,0), М 2(3,1,4,–2,3), М 3(–2,1,0,–4,0), М 4(0,4,2,–1,3)   

и N 1(1,1,–3,4,2), N 2(4,1,1,6,5).

5. Привести к каноническому виду и определить вид квадрики

Является квадрика центральной? Если  да, найдите его центр.

Вариант 10

1. Выяснить, является ли форма

симметрической, положительно определенной?

2. Составить общие уравнения плоскости, зная координаты точки  и систему, задающую направляющее подпространство

3. Найти расстояние от точки А (1,1,–2, –1) до прямой

l: .

4. Выяснить взаимное расположение следующих многомерных плоскостей:

а) в Е4:

и  .

б) в Е5, заданных точками:

М 1(0,0,0,–1,2),  М 2(6,3,7,–4,–5), М 3(–2,1,0,–4,0),  М 4(5,2,–2,0,0)

и   N1(2,–1,–3,4,2), N 2(3,0,2,0,–3), N 3(1,2,3,–4,3).

5. Привести к каноническому виду и определить вид квадрики

Является квадрика центральной? Если  да, найдите его центр.


Раздел 7.
Элементы топологии

Тема 7.1. Метрические пространства

Литература: [1], §35; [2], Р. 5, гл. 1, §5; [3], §1

Основные определения, теоремы и формулы

Пусть E – непустое множество. Говорят, что на множестве E задана метрика , если каждой упорядоченной паре элементов  поставлено в соответствие неотрицательное вещественное число  таким образом, что:

1)  тогда и только тогда, когда, когда ,

2)  для любых x и y,

3)  для любых x, y и z.

Множество E вместе с заданной на нем метрикой , т.е. пару , называют метрическим пространством, а элементы множества E точками этого пространства, неотрицательное число  называется расстоянием между точками x и y. Свойства 1 – 3, которым удовлетворяет функция , называются аксиомами метрического пространства.

Пример 1. Пусть E – множество действительных чисел. Расстояние между точками  и определяется формулой . Эта метрика называется естественной метрикой числовой прямой.

В самом деле, аксиомы 1 и 2 выполняются с очевидностью. Проверим выполнимость аксиомы 3. Если , и – три произвольные точки, то

Таким образом,

Пример 2. Пусть X – множество произвольной природы,

является метрическим пространством, которое называется пространством изолированных точек или дискретным пространством.

Пример 3. Любое предгильбертово пространство, т.е. линейное пространство с заданной симметричной положительно определенной билинейной формой , называемой скалярным произведением, является метрическим пространством. Каноническая метрика на предгильбертовом пространстве определяется формулой . Конечномерное предгильбертово пространство является евклидовым пространством  со скалярным произведением .

Пример 4. Примеры бесконечномерных гильбертовых пространств:

а) пространство бесконечных последовательностей

<

со скалярным произведением ;

б) пространство  функций , интегрируемых с квадратом на отрезке , в котором .

Пусть  – метрическое пространство. Открытым шаром  с центром в точке  радиуса r  называется множество всех точек  из E, удовлетворяющих условию ; при  шар  называется -окрестностью точки . Множество всех точек , для которых , называют замкнутым шаром и обозначают через .

Пусть  – непустое подмножество метрического пространства . Точка  называется внутренней точкой множества , если существует -окрестность этой точки, содержащаяся полностью в множестве . Множество всех внутренних точек множества называется внутренностью этого множества и обозначается через . Множество называется открытым, если все его точки являются внутренними. Пустое множество считается открытым.

Примерами открытых множеств на числовой прямой является интервал , а также объединение таких интервалов; сегмент , полуинтервалы ,  – примеры множеств, не являющиеся открытыми. Объясните, почему?

Точка является внешней точкой множества , если существует -окрестность этой точки, которая не содержит точек из . Точка  называется граничной точкой множества , если каждая -окрестность этой точки имеет непустое пересечение как с множеством , так и с его дополнением . Множество всех граничных точек множества называется его границей и обозначается .

Например, границей множеств ,  является множество , состоящее из двух точек.

Пусть  – подмножество метрического пространства . Точка  из  называется точкой прикосновения множества , если любая ее - окрестность содержит хотя бы одну точку множества . Множество  всех точек прикосновения множества  называется замыканием множества . Множество, содержащее все свои точки прикосновения, называется замкнутым множеством.

Точка  называется изолированной точкой множества , если существует ее -окрестность , не содержащая точек множества , отличных от .

Точка  называется предельной точкой множества , если в любой ее -окрестности содержится бесконечно много точек множества .

Пусть  и  – метрические пространства. Отображение  называется непрерывным в точке , если выполнено условие .

Множество метрического пространства  называется ограниченным, если существует шар, содержащий это множество. Например, ,  – примеры ограниченных в числовом пространстве множеств,  – неограниченное множество.

Теорема (основное свойство множества всех открытых множеств метрического пространства). В метрическом пространстве: 1) объединение любого числа открытых множеств есть открытое множество; 2) пересечение любого конечного семейства открытых множеств есть открытое множество.

Вопросы для самоконтроля

1. Используя термины «точка» и «расстояние», дайте словесные формулировки аксиом метрического пространства.

2. Метрика на множестве E – это отображение, откуда, куда? Является ли это отображение непрерывной функцией?

3. Будет ли формула  задавать метрику на числовой прямой?

4. Если на плоскости задан ортонормированный репер, то, как известно, расстояние между двумя точками вычисляется по формуле

Докажите, что кроме задаваемой этой формулой метрики на плоскости можно ввести и другие метрики:

– городская метрика;

. Найдите , , , если , .

5.  Приведите примеры двух неоткрытых (незамкнутых) множеств, объединение которых открыто (замкнуто).

6.  Может ли шар большего радиуса метрического пространства оказаться внутри шара меньшего радиуса?

7. Приведите пример бесконечного числа открытых множеств, пересечение которых замкнуто.

8. Найдите пример двух непересекающихся замкнутых множеств евклидовой плоскости, расстояние между которыми равно нулю. Под расстоянием между двумя множествами X и Y метрического пространства понимается .

9. Докажите, что .

Задачи

1. Изобразите шары с центром в точке  на плоскости, если задана метрика: а) d1, б) d2, в) d3 из задания 4 для самоконтроля.

2. Докажите, что в пространстве с дискретной метрикой граница любого множества пуста.

3. Найдите замыкание одной точки в пространстве с дискретной метрикой.

4. Докажите, что множество замкнуто в метрическом пространстве  тогда и только тогда, если .

5. Является ли функция , заданная формулой:

метрикой на множестве вещественных чисел?

6. Докажите, что функция  непрерывна для любого подмножества .

7. Приведя краткие доказательства со ссылками на определения, укажите какую-либо: внутреннюю, предельную, граничную, изолированную точку множества , если

.

8. Докажите, что непрерывно любое движение евклидовой плоскости.

Домашняя работа

1. Является ли функция  метрикой на числовой прямой?

2.  – множество непрерывных числовых функций, определенных на отрезке . Докажите, что расстояние между функциями можно определить по формуле . Изобразите в этом метрическом пространстве  шар, центром которого служит функция радиуса 1.

3. Докажите, что непрерывно любое подобие евклидовой плоскости.

Тема 7.2. Топологические пространства и их подпространства

Литература: [1], §36; [2], Р. 5, гл. 1, §1; [3], §§2, 3

Основные определения и теоремы

Множество X называется топологическим пространством, если среди всех его подмножеств выделены некоторые, называемые открытыми, причем выполнены следующие условия:

(A1) Пустое множество и само множество X открыты.

(A2) Объединение любой совокупности открытых множеств является открытым множеством.

(A3) Пересечение всякой конечной совокупности открытых множеств является открытым множеством.

Условия A1, A2, A3 называются аксиомами топологии. Совокупность T всех открытых подмножеств топологического пространства называется его топологической структурой или топологией. Элементы множества X называются точками. Если на множестве X задана топология T, то пара  называется топологическим пространством.

Приведем несколько примеров топологических пространств.

1. Метрические пространства. В силу теоремы об основных свойствах всех открытых подмножеств метрического пространства (X, d) мноежество всех открытых подмножеств метрического пространства удовлетворяет аксиомам топологического пространства, и, стало быть, задает на X некоторую топологию, которую принято называть метрической топологией. Отсюда, в частности, любое n – мерное евклидово пространство также является топологическим, топология которого называется обычной (естественной) или евклидовой.

2. Рассмотрим множество , состоящее из одного элемента. Тогда на этом множестве может быть введена единственная топология, открытыми множествами которой являются и пустое множество.

3. Топология Зарисского. Рассмотрим произвольное бесконечное множество X и семейство T, состоящее из пустого множества и из всевозможных подмножеств U из X, дополнения которых CU=X\U являются конечными подмножествами (пустое подмножество также рассматривается как конечное подмножество). Легко проверить, что семейство T задает в X топологию, которая носит название топологии Зарисского.

4. Связное двоеточие. Пусть X – множество, состоящее только из двух элементов a и b, а семейство T состоит их пустого множества, всего X и одноэлементного подмножества . Возникшее таким образом топологическое пространство (X, T) хотя и имеет весьма простое строение, все же представляет определенный интерес и поэтому имеет специальное название – связное двоеточие.

5. Тривиальная и дискретная топологии. Пусть X – некоторое множество, а T=X, , состоящее из двух элементов: самого множества X и пустого множества .  Очевидно, что семейство подмножество T удовлетворяет аксиомам A1, A2, A3. Эта топология называется тривиальной или антидискретной, а пространство (X, T) – антидискретным топологическим пространством. Если же в T=P(X) – семейство всех подмножеств множества X, то топология T называется дискретной, а пара (X, T) – дискретным топологическим пространством.

6. Правая порядковая топология. На числовой прямой R выделим семейство подмножеств T= , , (a, ), где a. Топологическое пространство R= (R, T) – называется стрелкой. Здесь топология порождена отношением порядка на числовой прямой: (a, ) = R x. Аналогично определяется левая порядковая топология на числовой прямой.

7. Аффинная топология. На аффинной плоскости A2  выделим семейство подмножеств T по следующему правилу: множество M принадлежит T, если оно каждую свою точку содержит вместе с некоторым параллелограммом с центром в этой точке. Получающаяся таким образом топология на A2 называется аффинной.

Задание. Евклидова плоскость – это аффинная плоскость, на которой задана евклидова метрика. Тогда на евклидовой плоскости определены две топологии: аффинная и метрическая. Докажите, что указанные топологии совпадают.

Пусть Y – произвольное подмножество топологического пространства (X, T). Рассмотрим семейство TY = , составленное из всевозможных пересечений множеств, которые открыты в пространстве X, с множеством Y. Оказывается, TY – топология на множестве Y. Проверку этого факта мы предоставляем читателю. Топология TY называется индуцированной на подмножестве Y пространства X, а топологическое пространство (Y, TY) – подпространством топологического пространства X.

Например, множество открытых кругов и их всевозможные объединения и пересечения представляют топологию на плоскости. На графике функции , как на подмножестве плоскости, индуцируется топология, состоящая из всевозможных пересечений графика функции с открытыми кругами на плоскости.

Подмножество U топологического пространства X называется замкнутым в X, если его дополнение CU=X\U открыто в X.

Например, на числовой прямой, с естественной топологией, любой сегмент, множество Z всех целых чисел замкнуты, а множество рациональных чисел и множество иррациональных чисел, не открыты и не замкнуты.

Пример. На множестве  задана топология , состоящая из пустого множества, множества  и подмножеств . Найдите все его замкнутые подмножества.

Решение. Подмножество  топологического пространства  называется замкнутым, если его дополнение X\Y является открытым множеством. Множества, открытые в топологическом пространстве, перечислены в топологии, т.е., в топологическом пространстве  открытыми являются: ø, . Поэтому система замкнутых множеств на  состоит из их соотвествующих дополнений: , ø, .  

Из аксиом A1, A2, A3 топологии и из известных в теории множеств формул для дополнений множеств непосредственно вытекают следующие свойства замкнутых множеств:

1) Все множество X и пустое множество замкнуты в X.

2) Пересечение любого семейства замкнутых множеств замкнуто.

3) Объединение конечного числа замкнутых множеств замкнуто.

Часто оказывается удобным задавать топологию в множестве X не при помощи семейства T его открытых подмножеств, а путем выделения в нем семейства F подмножеств, называемых замкнутыми, обладающими свойствами З1, З2, З3. Если при этом рассмотреть семейство T, состоящее из подмножеств, являющихся дополнениями подмножеств, входящих в F, то легко проверить, что T будет удовлетворять аксиомам топологии и, стало быть, задаст в X некоторую топологию.

Замечание. Пусть топологическое пространство и подмножество множества , на котором индуцируется топология . Поэтому, отвечая на вопрос, является ли открытым или замкнутым подмножество , необходимо обязательно указать, в какой топологии мы отвечам на поставленный вопрос. Поясним сказанное на примере.

Пусть числовая прямая с естественной топологией,  и . Поскольку в естественной топологии на числовой прямой открытыми являются интервалы и их объединения, то множество  в топологическом пространстве не является ни открытым, ни замкнутым.

В индуцированной топологии  открытыми множествами являются пересечения открытых множеств из  с множеством . Так как, например,  , то множество открыто в топологическом пространстве . Таким образом, в топологическом пространстве множество ни открыто, ни замкнуто, а в  – открыто.

Подмножество A топологического пространства X называется окрестностью точки X, если оно содержит открытое в X подмножество, содержащее точку .

Замечание. Введенное понятие является одним из фундаментальных. Именно оно позволяет все понятия метрического пространства (внутренние и внешние точки множества, изолированная, предельная и точка прикосновения множества, предел функции в точке, непрерывность и т.д.), сформулированные в терминах окрестностей, перенести в топологические пространства.

Непосредственно из определения окрестности точки следует, что любое множество, содержащее окрестность точки, само является окрестностью этой точки, и что открытое множество служит окрестностью для каждой своей точки. В частности, все пространство X и только оно служит окрестностью любой точки из X, тогда как пустое множество является единственным открытым множеством, которое не является окрестностью никакой точки.

Однако одноточечное подмножество  уже может служить окрестностью, если оно открыто в рассматриваемой топологии; в этом случае точка  называется изолированной точкой соответствующего пространства.

Точка x0 называется точкой прикосновения множества Y, если каждая окрестность точки x0 имеет с Y хотя бы одну общую точку. Множество всех точек прикосновения множества Y называется замыканием множества Y и обозначается .

Точка x0 подмножества A пространства X называется внутренней точкой множества A, если существует окрестность, целиком лежащая в множестве A.

Совокупность всех внутренних точек называется внутренностью множества и обозначается int A.

Как известно, дополнением CY подмножества Y до множества A называется совокупность всех точек множества X, не входящих в множество Y. Если точка x0 – не внутренняя точка для Y, то ни одна ее окрестность не лежит в Y целиком, т.е., что равносильно, каждая окрестность точки x0 пересекается с дополнением CY. При этом возможны два исключающих друг друга случая: 1) у точки x0 найдется окрестность, целиком лежащая в дополнении с CY; 2) каждая окрестность точки x0 пересекается как с CY, так и с Y. В первом случае точка x0 называется внешней, во втором – граничной точкой множества Y. Множество всех внешних точек множества Y называется внешностью множества и обозначается ext Y. А множество всех граничных точек множества Y называется границей множества. Границу множества Y в дальнейшем будем обозначать gY.

Из определений внешних, граничных и внутренних точек следует, что относительно каждого подмножества Y все пространство X распадается на три непересекающихся множества int Y, ext Y, gY, попарно не имеющих общих точек.

Так как дополнение обладает свойством взаимности: если множество Y – дополнение до множества Z, то множество Z – дополнение до множества Y, то отсюда следует, что граничные точки CY те же, что и у множества Y, а внутренние точки CY – это в точности внешние точки множества Y и наоборот. Короче, имеют место равенства: g(CY) = gY, int (CY) = ext Y, ext (CY) = int Y.

Пример. Пусть пространство X – это числовая прямая с обычной метрической топологией, а подмножество Y – полуинтервал [0;1). Тогда int Y = (0;1), gY – состоит из двух точек 0 и 1, ext Y= (-∞;0)(1;+∞).

Теорема. Для любого множества A множество int A открыто.

Доказательство. Для каждой точки a int A выберем такую окрестность Ua точки a, что UaA. Поскольку открытое множество является окрестностью любой своей точки, то Ua int A. Так как множество int A равно объединению окрестностей Ua всех точек, принадлежащих внутренности множества A, то из первой аксиомы топологии следует, что множество int A открыто.

Вопросы для самопроверки

1. Сколько топологий можно определить на множестве, состоящем из двух элементов?

2. Покажите, что топологическое пространство является дискретным тогда и только тогда, когда все его точки являются изолированными.

3. В топологическом пространстве  множество  ни замкнуто, ни открыто. Открыто или замкнуто множество X\A?

4. Результат предыдущей задачи сформулируйте в виде теоремы. Какие следствия можно получить из нее?

5. Открыты или замкнуты множества и  в пространстве с естественной топологией? Назовите границы этих множеств.

6. Открыты или замкнуты на двумерной евклидовой плоскости следующие множества:

а) ; б) ; в) ?

7. Пусть  – прямая на плоскости с естественной топологией. Приведите пример множества, открытого в , но не открытого в . Существуют ли множества: а) открытые и в , и в ? б) замкнутые и в , и в ?

8. Открыто или замкнуто множество gY?

9. Докажите, что верно утверждение: «Точка называется граничной точкой множества , если она является точкой прикосновения как самого множества , так и его дополнения ».

10. Пусть и на  задана топология , которая индуцирует на множестве  топологию . Докажите, что указанные топологии на множестве  индуцируют одну и ту же топологию.

Задачи

1. Перечислите всевозможные топологии на множестве, состоящем лишь из трех элементов.

2. Доказать, что любая метрика на конечном множестве индуцирует на нем дискретную топологию.

3. Пусть X – бесконечное множество. Докажите, что

а) семейство всех его конечных подмножеств, включая пустое, не является топологией на нем;

б) семейство, состоящее из пустого множества и всевозможных дополнений до X всех его конечных подмножеств, является топологией на X.

4. Докажите, что если к множеству всех кругов на числовой плоскости, имеющих вид , добавить всю плоскость и пустое множество, то получится топология на числовой плоскости (ее называют концентрической).

5. Зафиксируем точку О в трехмерном евклидовом пространстве. Открытыми множествами назовем все пространство, пустое множество, а также внешние области шаров с центром в точке О и произвольным радиусом r (0  r  ), т. е. множества всех точек М, таких, что ОМ  r. Показать, что данное пространство с выделенными открытыми множествами является топологическим пространством.

6. Докажите, что семейство подмножеств полусегмента [0;1), состоящее из пустого множества, всех полусегментов вида [a;b) и всевозможных объединений таких полусегментов, является топологией на полусегменте [0;1).

7. Докажите следующее предложение: для того чтобы всякое открытое в подпространстве A подмножество B было открыто в X, необходимо и достаточно, чтобы множество A само было открытым подмножеством X.

8. Пусть  – совокупность всех окрестностей точки топологического пространства X. Докажите, что  имеет следующие свойства:

1) объединение любой совокупности окрестностей есть окрестность;

2) пересечение конечного числа окрестностей – окрестность;

3) всякое множество, содержащее некоторую окрестность U(x0),

является окрестностью точки x0.

9. Докажите, что следующие множества евклидовой плоскости являются замкнутыми: а) отрезок; б) прямая линия; в) окружность; г) эллипс; д) гипербола; е) парабола.

10. Пусть M открыто в X, A=gM. Покажите, что gA=A. Верно ли обратное утверждение?

11. Выясните, каким является множество gA для произвольного подмножества A некоторого топологического пространства: замкнутым, открытым или не открытым и не замкнутым.

12. Найдите внутренние, внешние и граничные точки следующих фигур на числовой плоскости с обычной метрической топологией:

а) круг x2+y21; б) окружность x2+y2=1; в) круг x2+y2≤1; г) прямая x=y; д) множество, заданное уравнением .

13. Найдите внутренние, внешние и граничные точки подмножества Y в топологическом пространстве X, если:

а) X – стрелка, Y =;

б) X – стрелка, Y=[1;+∞);

в) X – числовая плоскость с концентрическая топология, Y – круг радиуса 2 с центром в точке (1;0);

г) X – множество натуральных чисел, наделенное следующей топологией: открытыми являются пустое множество и всевозможные дополнения конечных подмножеств, Y – множество всех четных натуральных чисел;

д) X – пространство с тривиальной топологией, Y – произвольное непустое его подмножество.

14. Докажите, что справедливы тождества:

1) ; 2) ; 3) X\=int (X\M), X\int M= .

15. Докажите, что замыкание пересечения любых двух подмножеств топологического пространства содержится в пересечении замыканий этих множеств. Приведите пример, когда замыкание пересечения двух множеств не совпадает с пересечением их замыканий.

Домашнее задание

1. Пусть Х=R1, A=(0,1). Укажите: внутренность и границу множества А. Верно ли утверждение «Если множество А является подмножеством множества В, то граница множества А является подмножеством границы множества В».

2. Докажите, что внутренность объединения двух множеств не равна объединению их внутренностей.

3. Совпадает ли множество предельных точек множества с множеством предельных точек множества предельных точек этого же множества?

4. На бесконечном множестве введена топология Зарисского. Докажите, что замыкание любого бесконечного множества совпадает со всем .

Тема 7.3. Непрерывные отображения топологических пространств. Гомеоморфизмы

Литература: [1], §37; [2], Р. 5, гл. 1, §2, [3], §§7, 8

Основные определения и теоремы

Основополагающим для всей топологии понятием является понятие непрерывного отображения, которое играет в топологии такую же роль, как, например, в алгебре понятие гомоморфизма тех или иных алгебраических структур (групп, колец, модулей и т.п.)

Предварительно напомним некоторые определения.

Пусть X, Y – произвольные множества. Если каждой точке xX сопоставлена некоторая точка yY, то говорят, что задано отображение f  множества X в множество Y, и пишут f: XY. Точка y при этом обозначается через  и называется образом точки x, а точка x- прообразом точки y. Если множество A – подмножество X, то через  обозначается множество всех образов всех точек множества A, и  называется образом множества A.

Пусть даны отображения f : XY и q: YZ. Отображение h: XZ, определяемое формулой  называется произведением или композицией отображений q и f, и обозначается h = qf. Непосредственно из определения композиции отображений вытекает, что произведение отображений обладает свойством ассоциативности, т.е. 

h(qf)=(hq)f.

Отображение: IX: XX, переводящее каждую точку xX в ту же точку, т.е. такое отображение, что равенство IX(x)=x выполняется для любых xX, называется тождественным.

Отображения f : XY называется обратимым, если существует отображение q: YX, что qf= IX и fq = IY. Отображение q тогда называется обратным для f  и обозначается через f –1, аналогично, f есть обратное отображение для q, т. е. f=q-1. Легко видеть, что отображение f тогда и только тогда имеет обратное отображение, когда f одновременно является морфизмом и эпиморфизмом, или,  другими словами,  f –1(y) при каждом yY состоит из одной точки xX.

Перейдем теперь к рассмотрению отображений топологических пространств. Пусть X, Y – два необязательно различных топологических пространства.

Отображение f: XY называется непрерывным в точке xoX, если для всякой окрестности V образа  этой точки существует окрестность такая, что  f(U)V.

Ясно, что это равносильно тому, что прообраз любой окрестности точки является окрестностью точки .

В топологии изучают главным образом отображения f пространства X в пространство Y, которые непрерывны в каждой точке xX; такие отображения f  называются непрерывными отображениями X в Y.

Тривиальными примерами непрерывных отображений служат постоянное отображение и, так называемое тождественное отображение IX: XX, при котором образом каждой точки xX служит эта же точка.

Нетрудно заметить, что в случае метрических пространств общее определение непрерывности в точке представляет собой непосредственное обобщение классического определения непрерывности числовых функций.

Примеры: Отображение sin: R1 R1, ставящее каждой точке x R1 значение sin x, является непрерывным отображением.

Отображение arctg: R1() является непрерывным и биективным отображением, причем обратное к нему отображение tg: () R1 тоже непрерывно.

Оказывается, что непрерывные отображения обладают следующим важным свойством, которое полностью их характеризует, а именно имеет место следующая теорема.

Теорема 1. Отображение f пространства X в пространство Y непрерывно тогда и только тогда, когда прообраз  любого открытого в множества будет открытым множеством в .

Замечание. Из известных формул прообразов объединения и пересечения множеств и из определения базы можно заключить, что при установлении непрерывности отображения f: XY можно ограничиться проверкой открытости  при всех V, принадлежащих некоторой базе пространства Y.

Теорема 2. Отображение f пространства X в пространство Y является непрерывным отображением тогда и только тогда, когда прообразы всех замкнутых в Y множеств являются замкнутым в X.

Приведем пример отображения, которое разрывно (не является непрерывным) в каждой точке.

Пример. Функция Дирихле. Пусть X – такое топологическое пространство, в котором существуют два взаимно дополнительных и всюду плотных множества A и B (, ). Тогда отображение f: XR1, задаваемое формулой , при xA и   при xB, будет разрывным в каждой точке x. В самом деле, пусть  – произвольная точка из B и пусть вопреки утверждению f непрерывно в точке . Тогда поскольку , то . Следовательно, , что противоречит принадлежности xo множеству B. Аналогично доказывается разрывность f в каждой точке A.

Одним из наиболее важных и вместе с тем простых свойств непрерывных отображений является то, что композиция двух, а стало быть, и любого конечного числа непрерывных отображений снова есть непрерывное отображение, а именно имеет место следующая теорема.

Теорема 4. Пусть f: XY, q: YZ – два непрерывных отображения, тогда их композиция h= qf: XZ непрерывна.

Приведем еще один критерий непрерывности отображения в терминах сходящейся последовательности.

Теорема 5. Для того чтобы отображение f: XY было непрерывным в точке , необходимо, а если пространство X является метрическим, то и достаточно, чтобы для любой сходящейся к  последовательности  образы  сходились к .

Пример 1. Пусть на плоскости задана концентрическая топология с центром в фиксированной точке , т.е. множество называется открытым, если оно вместе с каждой точкой , содержит открытый круг с центром в точке . Выяснить, является ли непрерывным отображением:

а) поворот плоскости вокруг точки  на угол ;

б) гомотетия с центром в точке ;

в) осевая симметрия с осью, проходящей через центр ;

г) параллельный перенос на ненулевой вектор.

Решение. а) Как известно, в задачах рассматриваемого типа либо проверяют выполнимость определения, либо признака непрерывного отображения. По теореме 1, необходимо выяснить является ли прообраз открытого множества открытым при вращении. При повороте на любой угол вокруг точки круг с центром в этой точке преобразуется в себя. Поэтому прообраз открытого множества преобразуется в себя, т. е. является открытым. Следовательно, по теореме 1 поворот плоскости вокруг точки  на угол является непрерывным.

Задачи б) – г) решаются аналогично.

Пусть и  – топологические пространства. Отображение гомеоморфизмом, если: 1) – взаимнооднозначное отображение, 2)  и – непрерывные отображения.

Пример 2. Доказать, что любые два интервала  и  гомеоморфны.

Решение. Гомеоморфизм между ними устанавливается линейной функцией , где , а  (изобразите это соответствие на рисунке).

Пример 3. Доказать, что интервал  гомеоморфен числовой прямой .

Указание. Функция устанавливает искомый гомеоморфизм данного интервала и числовой прямой.

Пример 4. Докажите, что отображение двух подпространств числовой прямой является гомеоморфизмом:

а) ;

б) .

Решение. а) Линейная функция является непрерывной, как и обратная функция , причем – взаимнооднозначное отображение. Поэтому является гомеоморфизмом. В случае б) нетрудно убедиться, что обратной функцией для данной является , которая непрерывна, как и большинство элементарных функций.

Пример 5. Докажите, что отрезок и окружность не гомеоморфны.

Решение. Заметим, что оба рассматриваемых множества являются замкнутыми. Выбросим из отрезка и окружности по одной точке. В результате из отрезка получим либо одно, либо два не открытых и не замкнутых множества, из окружности – одно открытое множество. В любом случае, полученные множества не гомеоморфны. Следовательно, отрезок и окружность тоже не гомеоморфны.

Вопросы для самопроверки

1. Приведите пример такого непрерывного отображения одного топологического пространства в другое, при котором образ открытого множества является замкнутым.

2. Приведите пример двух не непрерывных вещественных функций, сумма которых непрерывна.

3. Докажите, что треугольник и окружность гомеоморфны. Указание: впишите окружность в треугольник. Убедитесь, что центральное проектирование из центра окружности является гомеоморфизмом. Поскольку оно является взаимнооднозначным и, как само отображение, так и обратное ему, бесконечно близкие точки переводит в бесконечно близкие.

4. Докажите, что отрезок, интервал, полуинтервал, окружность попарно не гомеоморфны.

5. Докажите, что эллипс и парабола не гомеоморфны.

6. Гомеоморфны ли отрезок и квадрат?

Задачи

1. На плоскости введена прямоугольная система координат. Топология задана с помощью следующих подмножеств: множество называется открытым, если оно либо пустое, либо совпадает со всей плоскостью, либо вместе с каждой своей точкой  содержит полосу , где  – некоторое положительное число. Выясните, является ли непрерывным отображением:

а) параллельный перенос на произвольный вектор;

б) осевая симметрия относительно прямой ;

в) гомотетия с центром в начале координат;

г) поворот вокруг начала координат на угол .

2. На множестве  заданы топологии  – связное двоеточие. Выясните, является ли отображение гомеоморфизмом, если . Решите задачу, если на множестве задана дискретная топология.

3. Докажите, что пространства с дискретными топологиями гомеоморфны тогда и только тогда, когда равны их мощности.

4. Разбейте русский алфавит на классы гомеоморфных букв.

5. Пусть f: RR – непрерывная числовая функция. Может ли множество всех решений неравенства f(x)< 0 быть равным: а) (0;1], б) [0;1], в) (0;1), г) , д) Q?

6. Докажите, что функция , действующая из в , не является гомеоморфизмом, а та же функция, действующая из  в , является гомеоморфизмом.

Домашняя работа

1. Докажите, что пространство иррациональных чисел с топологией, индуцированной естественной топологией пространства , не гомеоморфно .

2. Приведите пример двух негомеоморфных топологических пространств, каждое из которых гомеоморфно подпространству другого.

3. Гомеоморфны ли: а) сфера и плоскость? б) двуполостный гиперболоид и пара параллельных плоскостей?

Тема 7.4. Хаусдорфовы, компактные и связные

топологические пространства

Литература: [1], §38; [2], Р.5, гл. 1, §3; [3], §§6, 9

Основные определения и теоремы

Топологическое пространство, топология которого может быть порождена какой-либо метрикой, называется метризуемым.

Естественно спросить, все ли топологические пространства метризуемы? Если бы такое случилось, топология оказалась бы разделом теории метрических пространств. Ответ, однако, оказывается отрицательным. Чтобы убедиться в этом, нам понадобится еще одно, важное и само по себе, понятие.

Топологическое пространство называется хаусдорфовым, если у любых двух различных точек пространства существуют их непересекающиеся окрестности.

Выделенный класс пространств назван хаусдорфовым в честь впервые рассмотревшего такие пространства немецкого математика Ф.Хаусдорфа (1868-1942), основоположника теоретико-множественной топологии.

Теорема 1. Если топологическое пространство X метризуемо, то оно хаусдорфово.

Теорема 2. Если топологическое пространство нехаусдорфово, то оно неметризуемо.

Из этой теоремы вытекает, что примерами неметризуемых пространств служат все нехасдофовы пространства. Например, стрелка R немертизуема. (Обоснуйте, почему это пространство нехаусдорфово). 

Пусть в топологическом пространстве X дана последовательность точек a1, a2, …, an, … . Точка a называется пределом последовательности , если для любой окрестности U точки a найдется такой номер N, что для всех nN точки anU. Последовательность  называется при этом сходящейся к точке a. 

Теорема 3. В хаусдорфовом пространстве сходящаяся последовательность имеет единственный предел.

Следствие. В любом метрическом пространстве сходящаяся последовательность имеет единственный предел.

Множества U и V называются отделенными (или обособленными) друг от друга, если .

Например, если X=R1– числовая ось, A=(a,b), B=(b,c) – интервалы, abc,  то A и B отделены, а если A=(a,b], B=(b,c), то A и B не отделены, так как .

Пространство X называется несвязным, если оно представляется в виде объединения двух непустых отделенных друг от друга множеств. Пространство, не удовлетворяющее этому условию, называется связным. Таким образом, связное топологическое пространство невозможно представить как объединение двух непустых отделенных друг от друга множеств.

Система  множеств  называется покрытием пространства , если объединение всех  совпадает с . Покрытие  называется открытым (соответственно замкнутым), если каждое из множеств  открыто (соответственно замкнуто), в .

Подсистема T покрытия  пространства  называется подпокрытием покрытия S, если сама система T образует покрытие .

Можно говорить о связности (несвязности) подмножества A топологического пространства X, рассматривая A как топологическое пространство с индуцированной топологией.

Простейшими примерами связных пространств служат:

  1.  одноточечное пространство;
  2.  произвольное множество X с тривиальной топологией.

Простейшим примером несвязного пространства служит двухточечное пространство X с дискретной топологией.

Дадим еще одно часто употребляемое определение несвязного пространства.

Часто используют другое определение несвязного пространства, эквивалентное предыдущему: топологическое пространство X называется несвязным, если оно разлагается в объединение двух непустых непересекающихся открытых множеств. 

Следующие теоремы дают важные примеры связных пространств.

Теорема 1. Отрезок [a,b] числовой оси R1 связен.

Теорема 2. Всякое выпуклое множество MRn связно, в частности связно само пространство Rn.

Пример несвязного пространства: множество рациональных чисел Q числовой прямой R1 несвязно.

Доказательство. Пусть  – произвольное иррациональное число. Тогда множества  и  не пусты, открыты и не пересекаются. Поэтому, разложение  означает несвязность множества рациональных чисел .

Пример 1. Гипербола на евклидовой плоскости является несвязным множеством.

Доказательство. Пусть и – ветви этой гиперболы. Обозначим через  топологию, индуцированную на гиперболе топологией евклидовой плоскости. Тогда  – подпространство . Для каждой точки можно указать открытое множество из , которое содержит точку и содержится в . Следовательно, множество открыто в пространстве . Аналогично убеждаемся, что тоже открыто. Значит, получено разбиение гиперболы на два открытых множества и . Значит, гипербола не является связным множеством.

Важнейшее свойство связности состоит в том, что она сохраняется при непрерывных отображениях.

Теорема 3. Пусть f : XY – непрерывное отображение. Если топологическое пространство X связно, то связно и пространство .

Коротко эту теорему обычно формулируют так: непрерывный образ связного пространства связен.

Теорема 4. Пространство X связно, если любые две его точки «соединяются» некоторым связным подмножеством (лежат в некотором связном подмножестве).

Следствие. Пусть X – связное подмножество числовой прямой. Тогда вместе с любыми двумя своими точками множество X содержит и весь отрезок с концами в этих точках.

Путем, соединяющим две точки a, b топологического пространства X,  называется непрерывное отображение s: [0,1]X, s(0)=a, s(1)=b.

Непосредственно из теорем 1 и 3 следует, что образ s(I) отрезка I=[0,1] является связным множеством, соединяющим точки a и b.

Представление о связности фигуры часто связывается с возможностью «пройти по фигуре из любой ее точки в любую другую ее точку». В топологии соответствующее свойство топологического пространства называется линейной связностью.

Пространство называется линейно связным, если любые две точки в нем можно соединить путем.

Из теоремы 4 следует, что линейно связное пространство обязательно связно. Классическим примером связного, но не линейно связного пространства служит «варшавский отрезок»: график функции y=sin (1/x), заданный на полуинтервале (0;], объединенный с предельным отрезком  оси ординат.

Дадим определение еще двум понятиям, которые часто встречаются в различных разделах математики.

Областью называется непустое открытое связное множество. Замкнутой областью называется такое замкнутое множество, которое является замыканием области.

Пример 2. Пусть X – подпространство числовой прямой R, состоящее из всех чисел, модуль которых не меньше 2. Наглядно очевидно, что пространство X несвязно, причем непустыми обособленными множествами, на которые распадается X, служат лучи  и . Чтобы доказать это строго, напомним, что открытыми подпространствами в X являются пересечения множества X с множествами, открытыми на числовой прямой. Рассмотрим открытые на числовой прямой лучи  и . Первый из них, пересекаясь с X, дает U, второй – V. Значит, оба луча U и V – открыты в пространстве X и оно несвязно по определению. Рассмотренный пример полезен не только демонстрацией определений несвязности и подпространства в действии, но и тем, что дает один из часто применяемых способов доказательства несвязности пространства.

Совокупность  открытых подмножеств топологического пространства X называется его открытым покрытием, если каждая точка пространства X принадлежит хотя бы одному из множеств .

Топологическое пространство называется компактным, если из любого его открытого покрытия можно выбрать конечное число множеств, которые в совокупности уже образуют покрытие пространства. Подмножество топологического пространства называется компактным, если оно компактно как подпространство этого пространства.

Теорема 5. Для того, чтобы множество M в топологическом пространстве X было компактно, необходимо и достаточно, чтобы из любого открытого покрытия множества M в X можно было выделить конечное подпокрытие.

Напомним, что подмножество метрического пространства называется ограниченным в этом пространстве, если расстояние между любыми двумя точками не превосходит некоторого фиксированного числа. Большое количество примеров компактных пространств можно получить, применив следующий критерий компактности подмножеств в евклидовом пространстве:

Теорема 6. Подмножество евклидова пространства En (в частности числового пространства Rn) компактно тогда и только тогда, когда оно замкнуто и ограничено в En.

Из этой теоремы следует, в частности, что компактен любой отрезок числовой прямой. Компактны также всевозможные многоугольники, окружности, сферы, многогранники, а открытые интервалы числовой прямой, открытые шары евклидова пространства, само евклидово пространство – некомпактны.

Открытый шар  евклидова пространства – некомпактное множество, поскольку оно ограничено, но не замкнуто.

Как и связность, компактность сохраняется при непрерывных отображениях.

Теорема 7. Пусть f: XY – непрерывное отображение топологических пространств, причем пространство X компактно. Тогда его образ , рассматриваемый как подпространство пространства Y, тоже компактен.

Короче: непрерывный образ компактного пространства компактен.

Вопросы для самопроверки

1. Покажите, что в антидискретном пространстве каждая последовательность сходится к любой точке этого пространства.

2. Пусть бесконечное множество X снабжено топологией Зарисского. Докажите, что каждая последовательность, содержащая бесконечное число различных точек, сходится к любой точке пространства X.

3. Свойство топологического пространства называется наследственным, если оно от пространства предается всем его подпространствам. Докажите наследственность следующих свойств:

а) хасдорфовость;

б) дискретность топологии;

в) тривиальность топологии;

г) метризуемость.

4. Докажите, что окружность S1 связна.

5. Докажите, что множество всех иррациональных чисел несвязно.

6. Пусть непрерывное отображение хаусдорфова пространства на себя. Доказать, что множество неподвижных точек (т. е. таких точек, что ) замкнуто.

7. Покажите, что: а) множество  связно, если A связно; б) в пространстве с дискретной топологией всякое множество, за исключение одноточечных множеств, несвязно.

8. Покажите, что график Гf   непрерывного отображения f связен.

9. Докажите, что выпуклое множество евклидовой плоскости является связным подпространством. Справедливо ли обратное утверждение?

10. Приведите примеры некомпактных подмножеств компактного пространства.

11. Компактность является топологическим инвариантом. А будет ли топологическим инвариантом некомпактность?

12. Исследуйте на компактность поверхности второго порядка в трехмерном евклидовом пространстве.

13. Компактны ли следующие пространства числовой прямой и числовой плоскости: а) [0;1), б) (0;1), в) , г) парабола, д) эллипс, е) гипербола, ж) график функции y=sin x, , график функции y=sin x, если .

Задачи

1. Докажите, что стрелка R связна.

2. Исследуйте на связность поверхности второго порядка в трехмерном евклидовом пространстве.

3. Докажите, что непрерывный образ линейно связного пространства линейно связен. (Указание: используйте теорему 4).

4. Докажите, что подмножество числовой прямой связно тогда и только тогда, когда оно пусто, состоит из одной точки или является числовым промежутком (открытым, полуоткрытым или замкнутым, конечным или бесконечным).

5. Используя указанные выше теоремы, докажите теорему Коши о промежуточных значениях числовой функции.

6. Докажите, что числовая функция f: [0,1]R имеет в интервале (0,1) ноль, если f(0)f(1) 0 (теорема Больцано).

7. Докажите, что интервал (0;1) некомпактен, непосредственно исходя из определения компактности. Указание. Сформулируйте и используйте отрицание компактности.

8. Докажите, что:

а) любое тривиальное топологическое пространство компактно;

б) дискретное топологическое пространство компактно тогда и только тогда, когда оно состоит из конечного числа точек.

9. Докажите, что объединение конечного числа компактных подмножеств одного и того же топологического пространства компактно.

10. Докажите, что если топологическое пространство X компактно, а множество AX – замкнуто, то A – компактно.

11. Докажите, что компактное подмножество A хаусдорфова пространства X является замкнутым подмножеством.

12. Докажите, что бесконечное множество X, наделенное топологией Зарисского, является компактным пространством.

Домашняя работа

1. Из курса математического анализа известна теорема Кантора о равномерной непрерывности непрерывной числовой функции, задаваемой на отрезке. Сформулируйте и докажите обобщение этой теоремы на случай непрерывной числовой функции, заданной на произвольном компактном метрическом пространстве.

2. Покажите, что из того, что связность и компактность являются топологическими инвариантами, как следствие получаются первая и вторая теоремы Веерштрасса для вещественных функций.

3. Докажите, что окружность компактна. Указание. Воспользуйтесь параметрическими уравнениями окружности.


Тема 6.5.
Топологические многообразия.

Эйлерова характеристика и ориентируемость

Литература: [1], §§39–43; [2], Р. 5, гл. 1, §§6–8

Основные определения и теоремы

Пусть – топологическое пространство. мерной координатной системой в этом пространстве называется гомеоморфизм некоторого открытого множества на открытое множество числового пространства . При этом пару  называют мерной картой, а множество координатной окрестностью этой карты.

Если , то . Вещественные числа называются координатами точки  в данной карте.

мерным топологическим многообразием называют отделимое топологическое пространство  со счетной базой, если это пространство можно покрыть координатными окрестностями мерных карт.

Пример 1. Числовое пространство отделимо и имеет счетную базу. Можно покрыть мерной картой , где и тождественное преобразование пространства . Значит, является мерным топологическим многообразием.

Пространство  называется мерным топологическим многообразием с краем, если оно отделимо, имеет счетную базу и его точки можно разбить на два класса так, что каждая точка первого класса имеет окрестность, гомеоморфную , а каждая точка другого класса (краевые точки) имеет окрестность, гомеоморфную , но не гомеоморфную (– множество точек из , у которых -ая (последняя) координата ). Множество всех краевых точек называется краем многообразия.

Пример 2. Отрезок числовой прямой является одномерным многообразием с краем. Край состоит из точек  и .

Теорема 1. Любое связное одномерное многообразие с краем гомеоморфно либо отрезку, либо замкнутому лучу.

Пример 3. Замкнутая евклидова полуплоскость, т.е. полуплоскость вместе с ограничивающей ее прямой , – двумерное многообразие с краем; краем служит прямая . Это пример некомпактного многообразия с краем.

Многообразие с краем, гомеоморфное выпуклому многоугольнику называется клеткой. Образ вершины многоугольника при этом гомеоморфизме называется вершиной клетки, образ стороны многоугольника – стороной клетки.

Говорят, что двумерное многообразие разложено на конечное множество клеток , если выполнены два условия:

а) эти клетки образуют покрытие всего многообразия;

б) пересечение любых двух клеток  и   либо пусто, либо является вершиной этих клеток, либо стороной каждой из них.

Грани любого многогранника образуют клеточное разбиение его поверхности. Проверьте это утверждение на примере тетраэдра.

Точка называется вершиной (фигура называется стороной) клеточного разложения, если она является вершиной (стороной) хотя бы одной клетки.

Число называется эйлеровой характеристикой многообразия ( – число вершин, – число сторон или ребер, – число клеток (граней) разложения.

Теорема 2. Эйлерова характеристика многообразия не зависит от выбора его клеточного разбиения.

Теорема 3. Эйлерова характеристика многообразия является топологическим инвариантом.

Пример 4. Эйлерова характеристика круга равна единице.

Решение. Если построить два диаметра, то получим его клеточное разбиение: . .

Пример 5. Эйлерова характеристика сферы равна единице.

Решение. В качестве примере клеточного разбиения сферы можно взять любой многогранник, гомеоморфный сфере. Например, для тетраэдра , для куба , для октаэдра . Во всех случаях .

Назовем сторону клетки ориентированной, если мы принимаем во внимание тот порядок, в котором указаны ее концы: первый из указанных концов – начало, второй – конец. Если одна из сторон клетки ориентирована, можно согласованно ориентировать всю ее границу. Две соседние клетки называются согласованно ориентированными, если на общей стороне они задают противоположные ориентации.

Если в некотором клеточном разложении многообразия клетки можно ориентировать так, что каждые две клетки, имеющие общую сторону, будут согласованно ориентированы, то многообразие называется ориентируемым. Если же такого клеточного разложения не существует, то многообразие называется неориентируемым.

Теорема 4. Свойство двумерного многообразия быть ориентируемым является топологическим инвариантом.

Рассмотрим поверхность или поверхность с краем . Поверхностью с дыркой называется поверхность , полученную из после вырезания (удаления) фрагмента, гомеоморфного открытому кругу.

Поверхностью рода  называется поверхность, гомеоморфная сфере с  ручками.

Теорема 5. Эйлерова характеристика поверхности  рода  равна .

Теорема 6. Эйлерова характеристика сферы с дырами вычисляется по формуле .

Теорема 7. Любое ориентируемое компактное двумерное многообразие гомеоморфно  – сфере с ручками и дырами.

Вопросы для самопроверки

1. Какое многообразие получится при склеивании граничных окружностей цилиндра, если отождествлять точки, лежащие на одной образующей?

2. Что такое ручка? Проверьте ручку на ориентируемость.

3. Что получится, если лист Мебиуса разрезать по средней линии?

4. Можно ли закрасить: а) цилиндр, б) лист Мебиуса, не отрывая кисть и не пересекая край?

5. Сделайте из бумаги лист Мебиуса, разрежьте его так, чтобы линия разреза была в 2 раза ближе к одному краю бумажной полосы, чем к другому. Будет ли ориентируемо полученное многообразие?

6. Докажите, что задание ориентации на одной грани куба, однозначно определяет согласованные ориентации всех его граней.

7. Сравните топологические инварианты отрезка и поверхности куба.

8. Чему равна эйлерова характеристика  многообразия ?

9. Вычислите эйлерову характеристику круга с дырой двумя способами: 1) построив клеточное разбиение; 2) используя теоремы 5 и 6.

10. Приведите примеры двумерных многообразий, имеющих одинаковые эйлеровы характеристики, но не гомеоморфных.

Задачи

1. Являются ли многообразиями:

а) объединение двух пересекающихся прямых;

б) пространство с тривиальной топологией;

в) пространство с дискретной топологией;

2. Постройте клеточное разбиение, выясните, является ли оно ориентируемым и вычислите Эйлерову характеристику: а) круга с двумя дырами; б) тора; в) кренделя (сферы с двумя ручками); г) листа Мебиуса.

3. Докажите, что в евклидовом трехмерном пространстве не существует выпуклого многогранника, все грани которого – шестиугольники. Указание: методом от противного.

4. Пусть у выпуклого многогранника все многогранные углы содержат более четырех граней, и ни одна грань не имеет более четырех вершин. Докажите, что сумма чисел трехгранных углов и треугольных граней равна 8.

5. Определите эйлерову характеристику листа Мебиуса с дыркой.

Домашнее задание

1. Выясните, является ли ориентируемым многообразием круг с двумя дырами?

2. Докажите, что в евклидовом пространстве не существует выпуклого многогранника: а) число ребер которого меньше шести; б) с семью ребрами.

3. Определите эйлерову характеристику ручки с дырой.


Индивидуальные задания по теме

Элементы топологии

Вариант 1

1. На множестве  задана топология  и выделено подмножество . В топологическом пространстве  укажите: 1) открытые и замкнутые множества; 2) внутренние, внешние и граничные точки множества ; 3) замыкание множества ; 4) предельные точки множества ; 5) окрестности точки ; 6) определите пределы последовательностей:

а) ; б) .

2. Определите на плоскости две топологии такие, чтобы в одном топологическом пространстве окружность была связной, в другой – не связной.

3. Доказать, что два различных эллипса с топологиями, индуцированными естественной топологией евклидовой плоскости, гомеоморфны.

4. Доказать, что любой параллельный перенос евклидовой плоскости является гомеоморфизмом.

5. Даны квадрат и луч на евклидовой плоскости. Перечислите, какие топологические инварианты у них одинаковы, какие отличаются?

Вариант 2

1. На множестве  задана топология  и выделено подмножество . В топологическом пространстве  укажите: 1) открытые и замкнутые множества; 2) внутренние, внешние и граничные точки множества ; 3) замыкание множества ; 4) предельные точки множества ; 5) окрестности точки ; 6) определите пределы последовательностей:

а) ; б) .

2. Определите на прямой две топологии такие, чтобы в одном топологическом пространстве отрезок был связным, в другой – не связным.

3. Доказать, что две различные гиперболы с топологиями, индуцированными естественной топологией евклидовой плоскости, гомеоморфны.

4. Доказать, что вращение евклидовой плоскости вокруг любой точки на любой угол является гомеоморфизмом.

5. Даны квадрат и отрезок на евклидовой плоскости. Перечислите, какие топологические инварианты у них одинаковы, какие отличаются?

Вариант 3

1. На множестве  задана топология  и выделено подмножество . В топологическом пространстве  укажите: 1) открытые и замкнутые множества; 2) внутренние, внешние и граничные точки множества ; 3) замыкание множества ; 4) предельные точки множества ; 5) окрестности точки ; 6)определите пределы последовательностей:

а) ; б) .

2. Определите на плоскости две топологии такие, чтобы в одном топологическом пространстве эллипс был связным, в другой – не связным.

3. Доказать, что две различные параболы с топологиями, индуцированными естественной топологией евклидовой плоскости, гомеоморфны.

4. Доказать, что осевая симметрия евклидовой плоскости относительно прямой является гомеоморфизмом.

5. Даны квадрат и интервал на евклидовой плоскости. Перечислите, какие топологические инварианты у них одинаковы, какие отличаются?

Вариант 4

1. На множестве  задана топология  и выделено подмножество . В топологическом пространстве  укажите: 1) открытые и замкнутые множества; 2) внутренние, внешние и граничные точки множества ; 3) замыкание множества ; 4) предельные точки множества ; 5) окрестности точки ; 6) определите пределы последовательностей:

а) ; б) .

2. Определите на плоскости две топологии такие, чтобы в одном топологическом пространстве парабола была связной, в другой – не связной.

3. Доказать, что парабола и интервал с топологиями, индуцированными естественной топологией евклидовой плоскости, гомеоморфны.

4. Доказать, что вращение евклидовой плоскости вокруг любой точки на является гомеоморфизмом.

5. Даны квадрат и луч на евклидовой плоскости. Перечислите, какие топологические инварианты у них одинаковы, какие отличаются?

Вариант 5

1. На множестве  задана топология  и выделено подмножество . В топологическом пространстве  укажите: 1) открытые и замкнутые множества; 2) внутренние, внешние и граничные точки множества ; 3) замыкание множества ; 4) предельные точки множества ; 5) окрестности точки ; 6) определите пределы последовательностей:

а) ; б) .

2. Определите на прямой две топологии такие, чтобы в одном топологическом пространстве луч был связным, в другой – не связным.

3. Доказать, что интервал и тангенсоида с топологиями, индуцированными естественной топологией евклидовой плоскости, гомеоморфны.

4. Доказать, что композиция осевых симметрий относительно двух заданных на евклидовой плоскости прямых является гомеоморфизмом.

5. Даны окружность и луч на евклидовой плоскости. Перечислите, какие топологические инварианты у них одинаковы, какие отличаются?

Вариант 6

1. На множестве  задана топология  и выделено подмножество . В топологическом пространстве  укажите: 1) открытые и замкнутые множества; 2) внутренние, внешние и граничные точки множества ; 3) замыкание множества ; 4) предельные точки множества ; 5) окрестности точки ; 6)определите пределы последовательностей:

а) ; б) .

2. Определите в трехмерном пространстве две топологии такие, чтобы в одном топологическом пространстве сфера была связной, в другой – не связной.

3. Доказать, что квадрат, как часть плоскости, и круг с топологиями, индуцированными естественной топологией евклидовой плоскости, гомеоморфны.

4. Доказать, что любое подобие плоскости является гомеоморфизмом.

5. Даны парабола и луч на евклидовой плоскости. Перечислите, какие топологические инварианты у них одинаковы, какие отличаются?

Вариант 7

1. На множестве  задана топология  и выделено подмножество . В топологическом пространстве  укажите: 1) открытые и замкнутые множества; 2) внутренние, внешние и граничные точки множества ; 3) замыкание множества ; 4) предельные точки множества ; 5) окрестности точки ; 6) определите пределы последовательностей:

а) ; б) .

2. Определите в трехмерном пространстве две топологии такие, чтобы в одном топологическом пространстве эллипсоид был связным, в другой – не связным.

3. Доказать, что эллипс с одной удаленной точкой и парабола с топологиями, индуцированными естественной топологией евклидовой плоскости, гомеоморфны.

4. Доказать, что гомотетия с центром в фиксированной точке является гомеоморфизмом.

5. Даны круг и луч на евклидовой плоскости. Перечислите, какие топологические инварианты у них одинаковы, какие отличаются?

Вариант 8

1. На множестве  задана топология  и выделено подмножество . В топологическом пространстве  укажите: 1) открытые и замкнутые множества; 2) внутренние, внешние и граничные точки множества ; 3) замыкание множества ; 4) предельные точки множества ; 5) окрестности точки ; 6) определите пределы последовательностей:

а) ; б) .

2. Определите на прямой две топологии такие, чтобы в одном топологическом пространстве полуинтервал был связным, в другой – не связным.

3. Доказать, что эллипс с двумя удаленными точками и гипербола с топологиями, индуцированными естественной топологией евклидовой плоскости, гомеоморфны.

4. Доказать, что композиция двух вращений евклидовой плоскости с различными центрами является гомеоморфизмом.

5. Даны полусфера и отрезок на евклидовой плоскости. Перечислите, какие топологические инварианты у них одинаковы, какие отличаются?

Вариант 9

1. На множестве  задана топология  и выделено подмножество . В топологическом пространстве  укажите: 1) открытые и замкнутые множества; 2) внутренние, внешние и граничные точки множества ; 3) замыкание множества ; 4) предельные точки множества ; 5) окрестности точки ; 6) определите пределы последовательностей:

а) ; б) .

2. Определите на прямой две топологии такие, чтобы в одном топологическом пространстве интервал был связным, в другой – не связным.

3. Доказать, что интервал без одной точки и гипербола с топологиями, индуцированными естественной топологией евклидовой плоскости, гомеоморфны.

5. Даны квадрат и эллипсоид в евклидовом пространстве. Перечислите, какие топологические инварианты у них одинаковы, какие отличаются?

Вариант 10

1. На множестве  задана топология  и выделено подмножество . В топологическом пространстве  укажите: 1) открытые и замкнутые множества; 2) внутренние, внешние и граничные точки множества ; 3) замыкание множества ; 4) предельные точки множества ; 5) окрестности точки ; 6) определите пределы последовательностей:

а) ; б) .

2. Определите на плоскости две топологии такие, чтобы в одном топологическом пространстве пара пересекающихся прямых была связной, в другой – не связной.

3. Доказать, что эллипс и окружность с топологиями, индуцированными естественной топологией евклидовой плоскости, гомеоморфны.

4. Доказать, что центральная симметрия евклидовой плоскости является гомеоморфизмом.

5. Даны двуполостный гиперболоид и гипербола в евклидовом пространстве. Перечислите, какие топологические инварианты у них одинаковы, какие отличаются?


Раздел 8.
Линии в евклидовом пространстве

Тема 8.1. Векторные функции одного аргумента

Литература: [1], §48; [2], Р. 5, гл. 2, §10

Основные определения, теоремы и формул

Пусть  – трехмерное векторное пространство и  – некоторый числовой промежуток. Если каждому числу  по некоторому закону поставлен в соответствие определенный вектор  из пространства , то говорят, что в промежутке  задана векторная функция  скалярного аргумента . Например, при движении точки в каждый момент времени точка имеет некоторую скорость. Скорость является вектор-функцией от времени. Заметим, что длина вектора  является обычной (числовой) функцией от переменной .

Векторная функция , определенная в промежутке , называется бесконечно малой вблизи точки , если функция  является бесконечно малой вблизи точки , т.е. если .

Пределом функции  при  называется такой постоянный вектор , что разность  бесконечно мала вблизи точки . В этом случае пишут .

Если в точке  имеем равенство , то векторная функция  называется непрерывной в точке .

Рассмотрим некоторую точку  и дадим переменной  приращение , такое, что . Найдем вектор . Функция  называется дифференцируемой в точке , если существует предел . Этот предел обозначают  или , или  и называют производной функции  в точке . Вектор  называется дифференциалом функции  в точке .

Рассмотрим векторную функцию , заданную в промежутке . Возьмем какой-нибудь ортонормированный базис  векторного пространства и в каждой точке  разложим вектор  по векторам этого базиса: .

Теорема 1. Функция , заданная в промежутке  своими координатами, дифференцируема тогда и только тогда, когда дифференцируема каждая из функций . При этом .

Теорема 2. Для любых векторных функций  и  и числовой функции  справедливы формулы:

1. ,

2. ,

3. ,

4. .

Лемма. Если в промежутке имеем =1, то в каждой точке  вектор  ортогонален производной , найденной в этой точке.

Вопросы для самопроверки

1. Сформулируйте в терминах  определение бесконечно малой в точке векторной функции.

2. Приведите пример векторной функции, не являющейся бесконечно малой в некоторой точке.

3. Приведите пример векторной функции, которая непрерывна, но не дифференцируема в некоторой точке.

4. Укажите области определения следующих вектор-функций:

а) ,

б) ,

в) ,

г) .

5. Сравните свойства числовых функций и векторных функций скалярного аргумента, дифференцируемых на сегменте. Объясните, почему теоремы Ролля и Лагранжа не выполняются для векторной функций?

6. Докажите, что если вектор  имеет координаты  и вектор , то ,  тогда и только тогда, когда .

Примеры решенных задач

Пример 1. Найти первую и вторую производные векторной функции

.

Решение. Известно, что если функция  имеет координаты x(t), y(t), z(t), т.е. =x(t)+y(t)+z(t), то первая производная

Другими словами, чтобы продифференцировать векторную функцию, надо продифференцировать ее координаты. В рассматриваемом случае 

x(t)=cost, y(t)=2sint, z(t)=et.

 =-sint,  =2cost, =, следовательно,

=–sint +2cost +.

Чтобы найти вторую производную от , необходимо найти производную от производной

= –cost  2sint +.

Пример 2. Найти вторую производную сложной функции .

Решение. Используя правила дифференцирования сложной функции, найдем сначала первую производную =.

Теперь вычислим производную произведения:

.

Принимая во внимание, что  сложная функция (зависит от s(t)), найдем

.

Теперь, учитывая, что =, запишем ответ

+.

Пример 3. Исследовать на непрерывность вектор-функцию

в области D: 0< <+∞, 0< <+∞.

Решение. Способ 1. Так как непрерывность вектор-функции равносильна непрерывности ее координат-функций , то исследуем координаты рассматриваемой вектор-функции на непрерывность в области D.

Из курса математического анализа известно, что функции  являются непрерывными как целые рациональные функции от двух аргументов для всех , в частности, для всех D. Функция непрерывна, как суперпозиция двух непрерывных функций и .

Способ 2. Найдем приращение вектор-функции  в произвольной точке области D, соответствующее приращениям ее аргументов ∆, ∆, и, вычислив его предел при ∆, ∆, убедимся, что бесконечно малому приращению аргументов соответствует бесконечно малое приращение вектор-функции.

Пример 4. Найти первые частные производные функции

Решение. Воспользовавшись формулами

получим

Задачи

1. Показать, что вектор-функция  является бесконечно малой в точке .

2. Найти .

3. Показать, что из непрерывности вектор-функции в точке  следует непрерывность ее модуля. Верно ли обратное утверждение?

4. Докажите, что: 1)производная вектор-функции постоянной длины перпендикулярна самой вектор-функции; 2) годографом вектор-функции постоянной длины является кривая, лежащая на сфере.

5. Найдите производные функций:

а) , б) , в) .

6. Следует ли из дифференцируемости вектор-функции  дифференцируемость функции?

7. Докажите, что вектор-функцию постоянного направления можно представить в виде произведения модуля этой вектор-функции на некоторый постоянный вектор.

8. Докажите, что верно соотношение , где  – сила,  – масса,  – закон движения,  – скорость движения.

9. Для какой из данных вектор-функций параметризация является натуральной? Для тех вектор-функций, для которых параметризация не является натуральной, перейти к натуральному параметру.

1) ,

2) ,

3) ,

4) .

8. Проверить, что для векторов  и выполняется равенство .

9. Вычислить неопределенные интегралы:

1),

2).

10. Вычислить определенные интегралы:

1),

2),

3).

11. Исследовать на непрерывность вектор-функции:

в области D: 0< <+∞,

0< <+∞.

12. Найти частные производные и полные дифференциалы первого, второго и третьего порядка от вектор-функции:

.

Домашнее задание

1. Дана вектор-функция . Найдите такое значение параметра , при котором вектор  коллинеарен вектору .

2. Найдите производную  сложной вектор-функции , если: а) ,

б) , .

3. Пусть дифференцируемая вектор-функция. Можно ли утверждать, что а), б) ?

Тема 7.2. Нахождение уравнений линий, заданных
дифференциально-геометрическим свойством

Литература: [1], §49, 50; [2], Р. 5, гл. 2, §§11, 14

Основные определения, теоремы и формул

В курсе аналитической геометрии при изучении геометрических объектов методом координат, часто рассматривали две задачи:

1) по заданным геометрическим свойствам фигуры составить аналитические условия, определяющие эту фигуру (уравнение фигуры);

2) по заданным аналитическим условиям, определить фигуру, выяснить ее геометрические свойства. При этом отмечалось, чтобы составить уравнение фигуры необходимо:

  1.  выбрать систему координат, если она заранее не задана; при этом следует учесть, что если заданные и искомая фигуры характеризуются аффинными свойствами (т.е. характеризуются наличием общих точек, делением отрезков в заданном отношении и т. п.), то достаточно, выбрать аффинную систему координат; если же точки фигур характеризуются метрическими свойствами (т.е. расстоянием, величиной угла и т. п.), то необходимо выбрать прямоугольную или полярную системы координат; при выборе системы координат обратить внимание, в каком случае координаты заданных в условии задачи точек или координаты точек, определяющих заданные фигуры, вычисляются наиболее простым образом.
  2.  Взять произвольную точку фигуры и обозначить  или  ее координаты в выбранной системе координат.
  3.  Сформулировать необходимое и достаточное условие принадлежности выбранной точки рассматриваемой фигуре; записать это условие символически. Если есть возможность, то записать это условие в векторной форме.
  4.  Записать сформулированное необходимое и достаточное условие принадлежности точки искомой фигуры в координатном виде.

В отличие от описанного, в дифференциальной геометрии рассматриваются задачи, в которых составление уравнений кривых сводится к составлению некоторого дифференциального уравнения первого порядка и его последующему интегрированию.

Пример 1. Найдите плоскую кривую, удовлетворяющую следующему условию: точка пересечения касательной с осью абсцисс имеет абсциссу, вдвое меньшую абсциссы точки касания.

Решение. Пусть искомая плоская кривая задана уравнением . Уравнение касательной к ней в произвольной точке , как известно, имеет вид . Абсцисса точки пересечения с осью абсцисс определяется из уравнения  и равна

.

По условию задачи абсцисса точки пересечения касательной вдвое меньше абсциссы точки касания, т.е.

.

Учитывая, что точка на кривой выбрана произвольно, можно в последнем уравнении индекс ноль можно опустить и записать его в следующем виде:

или в более привычной форме .

Интегрируя последнее уравнение, получим , Отсюда . Если известно значение функции  в некоторой фиксированной точке , то легко определяется постоянная интегрирования , и решение представится в виде .

Пример 2. Определите, какая линия задана системой уравнений

.

Решение. Приведем уравнение линии к привычному виду  и по нему попытаемся определить, какая линия здесь задана. Из второго уравнения системы находим

.

Подставив в первое уравнение, получим . Заметим, что в системе, заданной в условии, области изменений переменных  и составляет множество всех действительных чисел. Следовательно, система уравнений задает прямую.

Пример 3. Прямая вращается в плоскости около точки с постоянной скоростью . Точка движется по прямой со скоростью, пропорциональной расстоянию . Описываемая точкой линия называется логарифмической спиралью. Вывести уравнение логарифмической линии.

Решение. По характеру условия видно, что удобнее всего ввести полярную систему координат. За полюс принимаем , за полярную ось – произвольный луч . Взяв точку , соответствующего полярному углу , обозначим . За параметр естественно принять время ; отсчитывать его будем от момента прохождения точки через точку . Из условия задачи имеем  и

,

(1)

где  есть постоянная величина. В случае, если , логарифмическая спираль обращается в окружность, так как тогда скорость движения точки по прямой равна нулю, и точка остается на постоянном расстоянии от точки . В случае  точка удаляется от точки , а в случае  - приближается к ней. Переписав (1) в виде

,

и интегрируя

,

находим

или .

(2)

Уравнения (1) и (2) задают параметрическое представление кривой в полярных координатах. Исключая параметр и полагая , находим уравнение логарифмической спирали в полярных координатах

или .

(3)

Заметим, что если перейти от полярных координат к прямоугольной, получим следующие параметрические уравнения логарифмической спирали:

.

Задачи

1. Напишите параметрические уравнения следующих линий: а) прямой, б) окружности при различных положениях центра относительно начала координат, в) эллипса, г) гиперболы, д) параболы.

2. Круг радиуса катится по прямой с постоянной скоростью . Точка принадлежит граничной окружности. Напишите параметрические уравнения траектории точки (циклоиды), принимая данную прямую за ось  и начальное положение точки на этой прямой за начало координат.

3. Найдите плоскую кривую, удовлетворяющую следующему условию: 1) треугольник, образованный осью , касательной и радиус-вектором, проведенным в точку касания, является равнобедренным; 2) отрезок касательной к кривой в любой точке, отсекаемый координатными осями, равен отрезку нормали от этой точки до оси ; 3) отношение расстояний от касательной к кривой в произвольной точке до двух данных точек постоянно; 4) площадь треугольника, образованного осями координат и касательной в любой точке кривой, постоянна и равна .

4. Напишите неявное уравнение множества точек, произведение расстояний от которых до двух данных точек есть величина постоянная.

5. Напишите уравнение прямой в полярных координатах, зная ее расстояние  от полюса и угол , образованный перпендикуляром, опущенным из полюса на прямую, с полярной осью.

6. Архимедовой спиралью называется кривая, обладающая следующим свойством: длина радиуса-вектора точки пропорциональна ее углу поворота. Напишите ее уравнение.

7. Определите, какие линии задаются на плоскости следующими системами уравнений:

а) ; б) ;

в) ; г) .

Домашняя работа

1. Определите, какая линия задана системой уравнений

.

2. Найдите плоскую кривую, удовлетворяющую следующему условию: а) отрезок оси абсцисс, высекаемый касательной и нормалью, проведенными из одной и той же точки кривой, равен ; б) касательная в любой точке образует равные углы с радиус-вектором этой точки и осью .

3. Напишите уравнение окружности в полярных координатах, зная ее радиус и полярные координаты центра.

4. С помощью одного из программных пакетов MatCad или Mathmatika постройте следующие кривые: 1) логарифмическую спираль при а) , б) .

Тема 7.3. Гладкая кривая. Касательная к кривой.

Длина дуги кривой

Литература: [1] §§48–51; [2] Р. 5, гл.2, §12

Основные определения, теоремы и формул

Простейшими линиями в пространстве  назовем любую прямую, отрезок и луч. Фигура, гомеоморфная одной из простейших линий, называется элементарной линией. Фигура, гомеоморфная отрезку, называется дугой.

Линией называется фигура, которую можно покрыть конечным или счетным множеством элементарных линий.

Пример 1. График функции состоит из счетного множества элементарных линий, каждая из которых является графиком этой функции при изменении в интервале

.

Следовательно, вся тангенсоида является линией.

Пример 2. Рассмотрим кривую , заданную параметрическими уравнениями , .

Система сегментов  разбивает область определения переменной . Для каждого из значений  из каждого из сегментов этой системы данные уравнения определяют простую кривую (полуокружность). Ясно, что кривая – окружность, дважды обходимая против часовой стрелки.

Если в евклидовом трехмерном пространстве задана прямоугольная система координат , то элементарная кривая  определяется параметрическими уравнениями

,

(1)

где  изменяется в некотором промежутке. Линия  называется гладкой класса , где  – некоторое натуральное число, если функции имеют в промежутке  непрерывные производные до порядка  включительно, причем в каждой точке выполняется условие

ранг.

В примере 2 правые части уравнений имеют непрерывные производные любого порядка, причем , и указанное выше условие для производных выполняется, так как . Следовательно, окружность – гладкая линия класса .

Теорема. В каждой точке гладкой линии, заданной уравнением , существует касательная прямая, которая определяется точкой и направляющим вектором .

Пример 3. Найдите уравнение касательной кривой

в точке .

Решение. Заметим, что данная кривая является плоской. Уравнение данной кривой зададим системой

.

Касательная определяется точкой касания, координаты  которой получим, если в правые части уравнений системы подставить вместо параметра его значение , и вектором . Для данной кривой . Уравнение касательной примет вид

или .

Пример 4. Кривая задана как линия пересечения поверхностей и . Найдите уравнения касательной в точке , если:

.

Решение. Найдем параметризацию кривой в окрестности точки . Положим . Тогда из уравнения поверхности следует, что . Так как в окрестности точки первая координата положительна, то . Из уравнения поверхности  получим . Таким образом, параметризация кривой в окрестности точки имеет вид: . Точке соответствует параметр . Найдем .

.

Вектор  является направляющим вектором касательной. Поэтому параметрические уравнения касательной имеют вид:

.

Пусть гладкая линия класса определена уравнениями (1). Возьмем числовой промежуток . Когда параметр меняется на этом отрезке, уравнения (1) определяют гладкую дугу с концами в точках  и . Длина этой дуги вычисляется по формуле

или в векторной форме

.

По свойству интеграла с переменным верхним пределом отсюда находим

.

Следовательно, длина дуги  гладкой линии является возрастающей функцией параметра , поэтому для нее существует обратная функция . Подставив эту функцию в (1), получим уравнение, в котором в качестве параметра принята длина дуги , отсчитываемая от некоторой точки этой линии

.

(2)

Такая параметризация называется естественной параметризацией линии . Она обладает замечательной особенностью, заключающейся в том, что

,

где – единичный вектор касательной.

Пример 5. Найдите длину кривой между точками и , если кривая определена параметризацией , точке соответствует параметр , а  – .

Решение. Длина дуги кривой, определенной параметризацией , между точками и вычисляется по формуле

.

Определим . Отсюда

. Поэтому

.

Пример 6. Найдите натуральную параметризацию кривой, определенной вектор-функцией

.

Решение. Найдем длину дуги  между начальной точкой и произвольной точкой . , . Так как , . Отсюда . Выразим через :

, .

Поэтому . Подставив в уравнении кривой вместо параметра , полученное равенство, имеем уравнение кривой, отнесенное к натуральному параметру

.

Вопросы для самоконтроля

1. Что такое элементарная линия? Приведите примеры.

2. Что такое линия?

3. Докажите, что окружность является линией.

4. Какая линия называется гладкой или регулярной класса ?

5. Какая параметризация кривой называется естественной?

6. Сформулируйте определение касательной и кривой в некоторой ее точке.

7. Запишите уравнение касательной к линии  в точке

8. По какой формуле вычисляется длина дуги кривой?

9. Какая замена переменных в уравнении линии является допустимой?

10. Какой параметр кривой называется натуральным? Чем интересен такой параметр?

Задачи

1. Линия задана параметрическими уравнениями:

Определить класс гладкости линии и написать уравнения касательной к этой линии в точке .

2. Линия , заданная параметрическими уравнениями:

где

называется обыкновенной винтовой линией. Показать, что линия расположена на круглом цилиндре и все ее касательные образуют один и тот же по величине угол с образующими цилиндра.

3. Написать уравнение касательной к линии  в точке (1,3,4).

4. Гладкая линия задана системой уравнений: . Написать уравнение касательной прямой и нормальной плоскости этой линии в ее точке .

5. Найти длину дуги линии  между плоскостями  и .

6. Найти длину дуги одного витка линии

между двумя ее точками пересечения с плоскостью .

7. Цепной линией называется линия провеса в однородной нити (или цепи), подвешенной за оба ее конца. Она задается уравнением

.

Сравните цепную линию  с параболой, которая имеет три общие точки с цепной линией: вершину и две точки с абсциссами , построив линии на плоскости.

8. Найти длину дуги логарифмической спирали по ее полярному уравнению .

Дополнительные задания

1. Докажите, что для любой точки равносторонней гиперболы  отрезок ее нормали, заключенный между точкой  и осью абсцисс, равен модулю радиус-вектора точки .

2.  Докажите, что луч света, вышедший из фокуса параболического зеркала, после отражения параллелен оси зеркала.

3. Докажите, что при аффинном преобразовании плоскости образ касательной к кривой есть касательная к образу.

4. Показать, что кардиоида имеет длину, вчетверо превосходящую диаметр производящей окружности.

Кардиоида есть траектория точки окружности, катящейся без скольжения по другой окружности того же радиуса. Она является частным случаем улитки Паскаля при условии, что постоянный отрезок, откладываемый на секущей, равен диаметру окружности.

Улитка Паскаля определяется так. На окружности выбираем точку . Остальные точки окружности соединим с и откладываем на луче отрезок  постоянной длины. Геометрическое место точек и есть улитка Паскаля.

Домашнее задание

1. Найти множество всех точек, из которых данный эллипс виден под прямым углом.

2. Докажите, что если эллипс и гипербола имеют общие фокусы, то они пересекаются под прямым углом.

3. Найдите натуральную параметризацию кривой, определенной вектор-функцией :

а) ,

б) .

Тема 7.4. Канонический репер кривой.

Кривизна и кручение кривой.

Формулы Френе

Литература: [1], §§ 52, 53; [2], гл. 1, §13

Основные определения, теоремы и формул

Пусть гладкая линия  класса  задана уравнением в естественной параметризации . Вектор  является единичным вектором касательной к линии в точке кривой , соответствующей параметру . Вектор  называется вектором кривизны линии в точке , а его длина  – кривизной линии  в этой точке. Если , то число  называется радиусом кривизны линии в точке . Через каждую точку  линии проходит прямая , которая называется главной нормалью линии в точке . Вектор  – единичный вектор главной нормали.

Теорема 1. Для того, связная линия  была простейшей, необходимо и достаточно, чтобы кривизна была равна нулю в каждой точке этой линии.

Обозначим . Прямая  называется бинормалью линии  в точке .

Точка  и тройка векторов  определяет ортонормированный репер , который называется каноническим репером линии  в точке .

Координатные плоскости репера  носят следующие названия:

соприкасающаяся плоскость,  – нормальная плоскость,  – спрямляющая плоскость.

Формулы Френе: .

Число  называется кручением линии  в точке . Обозначения: – канонический репер кривой, где – орт касательной, – орт главной нормали, – орт бинормали.

Если кривая задана уравнением , где  произвольный параметр, то

.

Пример 1. Вычислить кривизну и кручение винтовой линии  в произвольной точке.

Решение.

Кривизна кривой вычисляется по формуле

Определим и в произвольной точке.

Кручение кривой в произвольной параметризации вычисляется по формуле

Найдем

Заметим, что кривизна и кручение винтовой линии постоянны.

Пример 2. Доказать, что кривая плоская, и найти уравнение плоскости, в которой она расположена.

Решение. Кривая является плоской тогда и только тогда, когда кручение в каждой ее точке равно нулю. Покажем, что это условие выполнено.

Следовательно, и

Плоская кривая имеет в каждой точке одну и ту же соприкасающуюся плоскость. Это и есть плоскость, в которой расположена кривая. Найдем соприкасающуюся плоскость кривой в какой-нибудь фиксированной точке, например, в точке М0, соответствующей значению параметра Тогда М0(0,1, –1),

В качестве вектора, перпендикулярного соприкасающейся плоскости, возьмем вектор

Напишем уравнение соприкасающейся плоскости, как плоскости, проходящей через точку М0 перпендикулярно вектору или

Пример 3. Дана кривая Найти направляющие векторы касательной, главной нормали, бинормали и векторы канонического репера в произвольной точке.

Решение. Направляющий вектор касательной  Направляющий вектор бинормали так что можно положить  Направляющий вектор главной нормали  так что . Векторы канонического репера являются ортами найденных векторов

Вопросы для самоконтроля

1. Какой вектор называется вектором кривизны линии  в точке М?

2. Что такое кривизна кривой в точке? Каков геометрический смысл кривизны?

3. Какая кривая определяется условием

4. Что такое главная нормаль к кривой в точке? Каково ее уравнение?

5. Что такое бинормаль?

6. Какая плоскость называется: 1) соприкасающейся; 2) нормальной; 3) спрямляющейся?

7. Что такое кручение кривой? В чем заключается его геометрический смысл?

8. Запишите формулы Френе.

9. Какая линия называется плоской? Каким условием определяются такие линии? Приведите примеры плоских линий.

Задачи

1. Найти координатные векторы канонического репера линии  в начале координат.

2. Написать уравнение главной нормали линии  в точке .

3. Написать уравнение соприкасающейся плоскости линии  в ее произвольной точке.

4. Показать, что нормальные плоскости линии

, - принадлежат одной связке.

5. Отложив на бинормалях линии

в положительном направлении отрезки постоянной длины, равной единице, получена новая линия. Написать уравнение ее соприкасающейся плоскости.

6. На линии , найти точки, в которых бинормаль параллельна плоскости, заданной уравнением .

7. Доказать, что линия –<<+,  плоская, и найти уравнение той плоскости, которая содержит эту линию.

8. Найти кривизну и кручение линии: >0, –<<+в ее произвольной точке.

9. Доказать, что если кривизна и кручение линии постоянны и отличны от нуля, то эта кривая – обыкновенная винтовая линия.

10. Пусть  и – гладкие кривые, для которых существует биективное отображение , такое, что для любой точки  касательные к этим кривым в точках и параллельны. Доказать, что тогда главные нормали и бинормали в этих точках тоже параллельны.

11. Доказать, что формулы Френе

можно записать в следующем виде:

.

12. Доказать, что если все нормальные плоскости линии параллельны одному направлению, то эта линия или прямая, или плоская.

13. Доказать, что если спрямляющие плоскости линии параллельны одному направлению, то эта линия – обобщенная винтовая. Доказать обратное предложение и найти вектор, которому параллельны все спрямляющие плоскости обобщенной винтовой линии.

14. Доказать, что если две линии  и  имеют общие главные нормали (кривые Бертрана), то кривизна и кручение линии  (также и линии ) находятся в линейной зависимости:

.

15. Доказать, что линия постоянной кривизны () является кривой Бертрана.

16. Доказать, что если все соприкасающиеся плоскости                                                                                                                                                                                                                     линии проходят через одну и ту же точку, то отношение кручения к кривизне есть линейная функция длины дуги.

Домашнее задание

1. Доказать, что если неплоская линия обладает одним из следующих свойств:

1) ее касательные образуют постоянный угол с некоторым направлением;

2) ее бинормали образуют постоянный угол с некоторым направлением;

3) ее главные нормали параллельны некоторой плоскости;

4) ?                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                       то она обладает и остальными тремя свойствами (такая линия называется обобщенной винтовой линией).

2. Найти пределы вектор-функций:

а) ,

б)

при  

Указание: а) При вычислении предела третьей координаты предположим, что переменная точка M приближается к началу координат O(0,0) не произвольно, а вдоль некоторой прямой


Индивидуальное задание №3

Линии в евклидовом пространстве

Для кривой заданной уравнением , найти:

  1.  Уравнение касательной, бинормали и главной нормали (в произвольной точке кривой).
  2.  Уравнения нормальной, соприкасающейся и спрямляющей плоскостей.
  3.  Векторы сопровождающего трехгранника Френе.
  4.  Кривизну и кручение кривой.
  5.  Уравнение кривой, отнесенной к натуральному параметру.
  6.  Натуральные уравнения кривой.
  7.  Уравнения  линии, по которой главные нормали кривой пересекают плоскость .
  8.  Уравнения линии, получено путем откладывания на касательных к данной кривой отрезка постоянной длины .
  9.  Угол, образованный касательной с осью .

вариант

координаты  радиус-вектора  

1.

2et

2e-t

2.

2t

3 sin t/2

3cos t/2

3.

sh t

ch t

t

4.

2t-

2sin2 t

cos t

5.

2t3

3t

3t2

6.

cos t

e2t sin t

e2t

7.

e-2t

e2t

8.

3sin t

3cos t

9.

ch t

sh 2t

2t

10.

2cos2t

2t+sin 2t

2sin t

11.

3t2

3t

-2t3

12.

et cos 2t

et sin 2t

et 

13.

3et/3

3et/3

14.

8t

6sin t

6 cos t

15.

ch 2t

sh 2t

2t

16.

cos 2t

4t +2sin 2t

2sin t

17.

6t

12t2

16t3

18.

e-2t sin 2t

e-2t cos 2t

e-2t 

19.

2e2t

2e-2t

20.

-4cos t

3t

-4sin t

21.

2 sh t

2ch t

2t

22.

cos2 t

t+1/2sin 2t

3t

23.

3t2

2t3

3t 

24.

etcos 2t

etcos 2t

3t 

25.

3et/3

3e-t/3

26.

20cos

20sin

27.

28.

cos t 

2sin2t

2t-sin 2t

29.

12t2

16t3

6t

30.

2(ch t)cos t

2(sh t)sin t

2t

Раздел 8. Поверхности в евклидовом пространстве

Тема 8.1. Уравнение поверхности.

Касательная плоскость и нормаль поверхности

Литература: [1], §§ 54 – 55; [2], Р. 5, гл. 3, §§ 15, 16

Основные определения, теоремы и формул

Плоскость, замкнутая полуплоскость, квадрат – простейшие поверхности. Элементарной поверхностью называется фигура, гомеоморфная какой-либо из простейших поверхностей.

Эллиптический и гиперболический параболоиды, параболический цилиндр - примеры элементарных поверхностей, так как каждая из них гомеоморфна плоскости.

Поверхностью называется такая фигура в евклидовом пространстве, которую можно покрыть конечным или счетным множеством элементарных поверхностей.

Примерами поверхностей, не являющихся элементарными, являются: сфера (ее можно покрыть двумя сферами), эллиптический цилиндр (ее можно покрыть конечным числом полос, каждая из которых гомеоморфна плоскости).

Точка поверхности называется обыкновенной, если у этой точки пространства существует шар , такой, что пересечение является элементарной поверхностью.

Поверхность, все точки которой обыкновенные, называется простой.

В курсе дифференциальной геометрии изучаются поверхности «в малом», т.е. выбирается настолько малым, чтобы было гомеоморфно плоскости (или открытому кругу). Обозначим –плоскую область, гомеоморфную плоскости, – элементарную поверхность, гомеоморфную области .

Зададим в пространстве прямоугольную систему координат и рассмотрим тот гомеоморфизм , который переводит область в элементарную поверхность . Если точка  гомеомрфизмом  переводится в точку , то ясно, что  являются функциями и притом непрерывными от переменных :

, , ,

(1)

определенными в области . Уравнения (1) называются параметрическими уравнениями поверхности . Эти уравнения равносильны одному векторному уравнению

,

(2)

где – радиус-вектор точки , описывающей поверхность. Обозначая правую часть уравнения (2) через , уравнение (2) приводится к виду

.

(3)

Здесь – векторная функция двух скалярных аргументов , определенных в области .

Поверхность называется гладкой класса (– натуральное число), если правые части уравнений (2) являются функциями, имеющими в области непрерывные частные производные до порядка  включительно, причем в каждой точке

.

(4)

Условие (4) геометрически означает, что векторы  и линейно независимы в области , и, значит, вектор отличен от нулевого вектора в любой точке .

Пример 1. В прямоугольной системе координат уравнения

, ,  

(5)

определяют гладкую поверхность класса .

В самом деле, в правых частях уравнений (5) стоят функции, бесконечно дифференцируемые по переменным и . Кроме того, в рассматриваемом случае матрица

имеет вид ,

поэтому в каждой точке условие (4) выполнено. Эта поверхность называется прямым геликоидом, он образован прямой, перпендикулярной к оси и пересекающей ее, когда она совершает в пространстве сложное движение: 1) равномерно вращается вокруг оси ; б) равномерно перемещается вдоль оси , оставаясь параллельной плоскости .

Если в уравнении (1) положить и менять только , но так, чтобы , то получим векторную функцию скалярного аргумента : , которая определяет некоторую гладкую кривую, лежащую на поверхности . Вектор является вектором касательной к линии  в точке . Аналогично через каждую точку проходит гладкая линия  или линия . Вектор является вектором касательной к линии  в точке . Если известна точка , то по формулам (1) определяется точка . Параметры и  называются криволинейными координатами точки на поверхности .

Например, в предыдущем примере линии в системе при  имеют уравнения , поэтому являются прямыми, параллельными плоскости и пересекающими ось . Линии при  – винтовые линии.

В каждой точке  гладкой поверхности класса , заданной уравнением (1), определена плоскость .

Теорема 1. Пусть – точка гладкой поверхности класса , заданной уравнением (1). Тогда множество касательных в точке  ко всем гладким линиям, которые лежат на поверхности и проходят через эту точку, образует пучок прямых плоскости  с центром .

Плоскость, в которой лежат касательные ко всем линиям, лежащим на поверхности и проходящими через точку , называется касательной плоскостью к поверхности  в точке .

Нормалью к гладкой поверхности  в точке  называется прямая, проходящая через точку  перпендикулярно к касательной плоскости. Очевидно, она определяется точкой  и вектором , где векторы  и  вычисляются в точке .

Пример 2. Доказать, что поверхность , заданная уравнением  есть прямой круговой цилиндр. Найти его координатные линии. Какая линия задается уравнением

Решение. Запишем уравнение поверхности в следующем виде:  Из этих уравнений исключаем параметры u и v , получим уравнение вида F(x, y, z)=0. Для этого возведем обе части первого и второго уравнений в  квадрат и сложим

Получим уравнение которое, как известно, задает прямой круговой цилиндр с образующими, параллельными оси (Oz). Определим линии семейства  Рассмотрим одну линию этого семейства Это мы записали внутреннее уравнение этой линии (здесь принимает произвольные значения). Параметрические уравнения этой линии таковы: (– параметр в этих уравнениях). Эти уравнения определяют прямую. Действительно, параметрические уравнения прямой имеют вид

Здесь Эта прямая параллельна оси (Оz), т.к. ее направляющий вектор  параллелен оси (Oz). Итак, координатные линии семейства представляют собой прямолинейные образующие цилиндра.

Аналогично показывается, что координатные линии семейства представляют собой окружности радиуса  расположенные в плоскостях перпендикулярных оси цилиндра.

Рассмотрим линию на поверхности, заданную уравнением  (или ). Подставляя в уравнение поверхности получим параметрическое уравнение линии

Это есть уравнение винтовой линии. Итак, уравнение u = v задает винтовую линию, расположенную на данной поверхности.

Пример 3. Найти координатные векторы поверхности  в точке М0(u=, v=1) и написать уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности в этой точке.

Решение. Координатные векторы  и  касаются координатных линий  и  соответственно,  Найдем координатные векторы в точке М0. Для этого в полученные выражения  и  вместо u и v подставим заданные криволинейные координаты точки М0(u=, v = 1). Получим Через точку М0 проходят координатные линии: u= (прямолинейная образующая) и v=1 (окружность). Координатные векторы касаются этих линий.

Направляющий вектор нормали =[, ]

или можем взять коллинеарный ему вектор (0,1,0). Найдем декартовы координаты точки М0, для чего в уравнение поверхности подставим криволинейные координаты точки М0, получим М0(0,,1). Напишем уравнение касательной плоскости, проходящей через точку М0 параллельно вектору :

Напишем уравнение касательной плоскости, проходящей через точку M0 перпендикулярно вектору :

т.е.

Пример 4. Линия пересечения сферы радиуса с круговой цилиндрической поверхностью, диаметр которой равен радиусу сферы и одна из образующих проходит через центр сферы, называется кривой Вивиани. Найдем уравнения касательной прямой и нормальной плоскости в точке  кривой Вивиани.

Решение. Из определения кривой Вивиани следует, что она задается системой двух уравнений, где первое  – уравнение сферы, с центром в начале координат, радиуса , второе  – уравнение описанного в условии цилиндра, образующие которой параллельны оси .

Дифференцируя эти уравнения, получим

,

откуда

.

Направляющий вектор касательной достаточно определить с точностью до постоянного множителя. За направляющие касательной можно взять  или величины , , вычисленные в точке . Каноническое уравнение касательной примет вид

,

а уравнение нормальной плоскости

.

Пример 5. Линейчатой поверхностью называется поверхность, порожденная произвольно движущейся прямой линией (образующей). Вывести ее общее уравнение.

Решение. Взяв на линейчатой поверхности любую линию , отличную от образующей, примем ее за направляющую. Пусть уравнение линии , отнесенное к натуральному параметру, имеет вид

.

Параметр определяет положение образующей. Положение точки на образующей зададим длиной отрезка  от направляющей. Обозначим единичный вектор образующей: . Тогда радиус-вектор произвольной точки линейчатой поверхности

.

Это и есть общее уравнение линейчатой поверхности.

Частным случаем линейчатых поверхностей являются развертывающиеся поверхности, характеризующиеся тем, что ее касательная плоскость остается неизменной вдоль прямолинейной образующей. Например, всякая цилиндрическая поверхность является развертывающейся.

Важным классом линейчатых поверхностей являются поверхности касательных. Они порождаются прямой, которая во всех своих положениях касается некоторой пространственной кривой. Приняв эту линию за направляющую, мы имеем , и уравнение поверхности касательных примет вид .

Задачи

1. Показать, что функция

определяет гладкую класса поверхность. Докажите, что она является частью параболоида

2. Показать, что полусфера без экватора являются примером элементарной поверхности.

3. Показать, что гиперболоид  является элементарной поверхностью класса .

4. Составить уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности  в точке М0(1,2,2).

5. Составить уравнение касательной плоскости и нормали к прямому геликоиду   в произвольной точке.

6. Дана поверхность  написать ее уравнение касательной плоскости параллельной плоскости

7. Доказать, что все плоскости, касательные к поверхности параллельны одному и тому же вектору

8. Показать, что объем V тетраэдра, образованного пересечением координатных плоскостей и касательной плоскостью к поверхности не зависит от точки касания.

9. Показать, что сумма квадратов отрезков, отсекаемых на осях координат касательной плоскостью поверхности

,

не зависит от выбора точки касания.

10. Доказать, что все касательные плоскости к поверхности

+ ln=0 проходят через точку  А(1,0,1).

11. Показать, что 3 семейства поверхностей 4х+y2+z3=u, , – параметры семейств образуют триортогональную систему на 3 поверхностях (по одной из каждого семейства, проходящих через произвольную точку (x, y, z)) пересекающих под прямыми углами.

12. Доказать, что касательные плоскости поверхности  (x>0, y>0, z>0, a>0) отсекают на осях координат отрезки, сумма которых не зависит от выбора точки на поверхности.

13. Определите вид параллельных линий поверхности  .

14. Составить параметрическое уравнение поверхности, образуемой касательными и винтовой линии . Написать уравнение касательной плоскости и нормали поверхности в произвольной точке так, что нормаль и поверхности составили с осью z постоянный угол.

15. Доказать, что линия  лежащая  на поверхности

, ,

является прямой.

16. Найти угол между соприкасающимися плоскостями кривой Вивиани в двух точках, наиболее удаленных друг от друга.

Домашнее задание

1. Найти нормали к поверхности , проходящие через начало координат.

2. Найти соответствие между точками двух поверхностей:, и , при котором касательные плоскости в соответствующих точках параллельны.

3. На поверхности   дана линия , доказать что соприкасающаяся плоскость данной линии в любой точке является касательной плоскостью к поверхности в той же точке.

Тема 8.2. Первая квадратичная форма поверхности

Литература: [1], §57; [2], Р. 5, гл. 3, §17

Основные определения, теоремы и формул

Пусть задана гладкая поверхность задана уравнением

.

(1)

Дифференциал векторной функции в произвольной точке имеет вид

.

(2)

Отсюда следует, что

,

(3)

где .

Квадратичная форма (3) называется первой квадратичной формой поверхности  или ее линейным элементом. Так как его коэффициенты являются функциями координат точек поверхности, то в каждой точке поверхности соответствует своя квадратичная форма.

Теорема. Значение первой квадратичной формы поверхности представляет собой квадрат дифференциала длины дуги гладкой линии, лежащей на поверхности, при бесконечно малом смещении точки вдоль этой линии: .

Если на поверхности задана внутренними уравнениями

,

(4)

то длина дуги линии с концами в точках  и , где :

.

(5)

Пример 1. Найти длину дуги координатной линии на поверхности, заданной уравнением , если точки и  заданы своими внутренними координатами.

Решение. а) Вычислим коэффициенты первой квадратичной формы поверхности. Так как , то , , . Найдем длину дуги координатной линии . Внутреннее уравнение координатной линии имеет вид . Отсюда . Следовательно,

.

Пусть и – две линии на поверхности, проходящие через точку . Углом между линиями и называется угол между касательными к этим линиям в их общей точке . Обозначим и символы дифференцирования       линий и соответственно. Угол между линиями вычисляется как угол между векторами и

Пример 2. Найти угол между координатными линиями в точке  на поверхности, заданной уравнением .

Решение. Коэффициенты первой квадратичной формы вычислены в предыдущем примере. Обозначим и символы дифференцирования воль координатных линий и соответственно. Угол между линиями вычисляется как угол между векторами и , вычисленными в точке . Так как в точке имеем , , , то

.

Если – соответствующая поверхности область изменения переменных и , то площадь этой поверхности вычисляется по формуле

.

Пример 3. Найдите площадь криволинейного четырехугольника, ограниченного линиями на геликоиде, заданном уравнением .

Решение. Так как , , коэффициенты первой квадратичной формы равны , , . Площадь искомого четырехугольника

,

Заменив , получим

Вопросы для самоконтроля

1. Могут ли коэффициенты первой квадратичной формы обратиться в ноль: а) некоторые, б) все одновременно?

2. Определите множество значений функций .

3. Докажите, что .

4. Чему равен индекс первой квадратичной формы?

5. Как выглядит канонический вид первой квадратичной формы?

6. Допустим, в некоторой точке поверхности первая квадратичная форма имеет канонический вид. Что это означает геометрически?

Задачи

1. Вычислите первую квадратичную форму следующих поверхностей:

а) круглого цилиндра ;

б) поверхности вращения ;

в) цилиндра  постоянный вектор;

г) конуса ;

д) поверхности касательных к линии .

2. Дана первая квадратичная форма поверхности Найти периметр криволинейного треугольника, принадлежащего этой поверхности и образованного линиями .

3. На поверхности вычислите угол между линиями и .

4. На поверхности вычислите длину дуги кривой  между точками и .

5. Найти угол между линиями  и на поверхности .

6. Дана поверхность . Найти общий вид уравнения линий, пересекающих ортогонально линии данной поверхности.

7. Найдите все линии на сфере, пересекающие меридианы под постоянным углом .

8. Вычислите площади частей плоскости, заключенных внутри:

а) эллипса с полуосями  и ; б) гиперболы с полуосями  и и прямой .

Домашняя работа

1. Параболоид задан уравнением . Найдите: а) прямолинейные образующие, пересекающие линию под прямым углом;

б) угол между линиями  и .

2. Найдите длину дуги линии, заданной уравнением на поверхности с первой квадратичной формой , если внутренние координаты точек и соответственно и .

3. Докажите, что на любой поверхности линии и , заданные соответственно внутренними уравнениями

и

ортогональны.

Тема 8.3. Вторая квадратичная форма поверхности.

Асимптотические линии. Нормальная кривизна

Литература: [1], § 58; [2], Р. 5, гл. 3, §18

Основные определения, теоремы и формул

Пусть – гладкая элементарная поверхность класса , заданная уравнением , а – гладкая линия на этой поверхности. При смещении точки по этой линии имеем . Отсюда находим

,

(1)

где

.

(2)

Пусть – единичный вектор нормали к поверхности, т.е. является ортом вектора . Скалярное произведение второго дифференциала радиус-вектора точки поверхности и ее вектора нормали называется второй квадратичной формой поверхности:

,

(3)

где .

Пусть линия на поверхности задана уравнениями , где – естественный параметр. Единичный вектор  касательной к линии в точке :

.

(4)

По формуле Френе , где – кривизна, а – единичный вектор главной нормали линии  в точке . Нормальной кривизной  линии в точке называется скалярное произведение , которая вычисляется по формуле

.

(5)

Формулу для определения нормальной кривизны можно придать вид

,

(6)

где  в точке .

Теорема 1. Все гладкие линии поверхности, проходящие через точку и имеющие в этой точке общую касательную, имеют в точке одну и ту же нормальную кривизну.

Линия на поверхности называется асимптотической, если ее нормальная кривизна в любой точке равна нулю.

Теорема 2 (Основное свойство асимптотических линий). Кривая  является асимптотической линией поверхности, тогда и только тогда, когда соприкасающаяся плоскость в любой ее точке есть касательная плоскость к поверхности.

Пример 1. Найти вторую квадратичную форму поверхности, заданной уравнением .

Решение. Вычислим первые и вторые частные производные :

,

.

Теперь найдем единичный вектор нормали  к поверхности и коэффициенты второй квадратичной формы:

,

, ,

,

.

Следовательно, вторая квадратичная форма поверхности

.

Пример 2. Найдем вторую квадратичную форму поверхности вращения в произвольной точке.

а) Отнесем поверхность вращения к системе криволинейных координат  (широта и долгота). Тогда уравнение поверхности вращения

,

где функции  и  связаны соотношением . Отсюда находим

;

;

;

;

.

Найдем направляющий вектор нормали к поверхности в произвольной точке

.

.

Далее определим

, , .

Из определения коэффициентов второй квадратичной формы имеем

.

Таким образом, вторая квадратичная форма поверхности вращения в произвольной точке представится как

.

В частности, для катеноида (поверхности вращения цепной линии около ее директрисы) с горловым радиусом имеем

;

;

;

и вторая квадратичная форма в произвольной точке катеноида представится как

.

б) Отнесем поверхность вращения к системе криволинейных координат (радиус параллели и долгота). Параметрические уравнения поверхности примут вид .

Имеем

;

;

;

.

Пример 3. Найдите асимптотические линии поверхности вращения.

Решение. В примере 2 показано, что вторая квадратичная форма такой поверхности в произвольной точке имеет вид

.

Асимптотические линии определяются условием . Поэтому искомые линии задаются дифференциальным уравнением

.

На поверхности вращения уравнение асимптотических линий примет следующий вид: =0, откуда

. Значит, .

Вопросы для самопроверки

1. Обоснуйте, почему ?

2. Что такое ранг, индекс квадратичной формы? Какие значения могут они принимать для второй квадратичной формы?

3. Какие значения могут принимать коэффициенты второй квадратичной формы? Для какой поверхности коэффициенты второй квадратичной все обращаются в ноль?

4. Что означает геометрически равенство:

а) , б) , в) ?

5. Приведите пример канонического вида второй квадратичной формы?

6. Всегда ли существует на поверхности такая криволинейная система координат, чтобы одновременно и первая и вторая квадратичные формы имели канонический вид?

7. Покажите, что из формулы (5) можно получить (6).

8. В чем геометрический смысл нормальной кривизны кривой в точке поверхности?

9. От чего зависит нормальная кривизна кривой в точке?

10. В каких пределах изменяется нормальная кривизна кривой?

11. Что можно сказать о кривой, если нормальная кривизна кривой в точке: а) положительна, б) обращается в нуль, в) отрицательна?

Задачи

1. Вычислите вторую квадратичную форму следующих поверхностей:

а) круглого цилиндра ;

б) поверхности вращения ;

в) цилиндра  постоянный вектор;

г) конуса ;

д) поверхности касательных к линии ;

е) поверхности, являющейся графиком функции .

2. Докажите, что в любой точке сферы первая и вторая квадратичные формы пропорциональны.

3. Найдите нормальные кривизны поверхности в точке  в направлении вектора .

4. Найдите кривизну нормального сечения, проходящего через касательную к кривой, задаваемой уравнениями  точке  для поверхностей, заданных в п. а) – г) в задаче 1.

5. Вычислить кривизну нормального сечения круглого цилиндра, составляющего с окружностью основания 450.

6. Докажите, что на поверхности, образованной главными нормалями некоторой линии, эта линия является асимптотической.

7. Доказать, что в точке с равным нулю значением средней кривизны, асимптотические направления индикатрисы Дюпена взаимно перпендикулярны.

8. Доказать, что полная кривизна развертывающейся поверхности в любой точке равна нулю. (Указание: докажите, что нормальный вектор не меняется вдоль характеристики).

Домашняя работа

1. Найдите вторую квадратичную форму а) сферы, б) псевдосферы.

2. Найдите кривизну нормального сечения, проходящего через касательную к кривой, задаваемой уравнениями  точке  для поверхностей, заданных в п. д), е) в задаче 1.

3. Найдите асимптотические линии гиперболического параболоида.

Тема 8.4. Главные кривизны. Главные направления.
Полная и средняя кривизны поверхности

Литература: [1], §§ 59, 60; [2], Р. 5, гл. 3, §19

Основные определения, теоремы и формул

В касательной плоскости поверхности в точке рассмотрим пучок прямых с центром в этой точке. На каждой из прямых пучка от точки по обе стороны отложим отрезки длиной . Линия, образованная концами отложенных таким образом отрезков, называется индикатрисой кривизны поверхности или индикатрисой Дюпена. В аффинной системе координат  уравнение индикатрисы имеет вид

.

(1)

Если , то уравнение (1) определяет эллипс, и соответствующая точка поверхности называется эллиптической.

Если , то уравнение (1) определяет пару сопряженных гипербол, и соответствующая точка поверхности называется гиперболической.

Главные направления индикатрисы Дюпена в точке  поверхности называются главными направлениями поверхности в этой точке.

Если , то (1) – пара параллельных прямых, и соответствующая точка поверхности называется параболической.

Главные направления индикатрисы Дюпена в точке  поверхности называются главными направлениями поверхности в этой точке.

Теорема Родрига. Для того, чтобы направление в точке поверхности было главным, необходимо и достаточно, чтобы

,

где – дифференциал единичного вектора нормали, соответствующего смещению в точке , – нормальная кривизна по направлению .

Главные направления определяются из уравнения

.

(2)

Линия на поверхности называется линией кривизны, если направление ее касательной в каждой точке кривой является главным направлением в этой точке.

Нормальные кривизны по главным направлениям в точке поверхности называются главными кривизнами поверхности в этой точке.

Главные кривизны поверхности в точке являются корнями уравнения

.

(3)

В каждой точке поверхности числа  и  называются соответственно средней и полной кривизной поверхности в этой точке:

,  .

(4)

Точка поверхности, в которой является эллиптической,  – параболической,  – гиперболической.

Поверхности, у которых средняя кривизна во всех точках равна нулю, называются минимальными. Из всех гладких поверхностей, ограниченных данным заданным контуром, минимальная поверхность имеет наименьшую площадь.

Пример 1. Найти в произвольной точке  главные направления, главные кривизны, полную и среднюю кривизны прямого геликоида

.

Решение. В примере 1 темы « Вторая квадратичная форма поверхности» показано, что

,

и вторая квадратичная форма имеет вид

.

Значит, . Уравнение для определения главных направлений (2) примет вид

или ,

Отсюда или . Таким образом, главные направления на поверхности в точке  определяются двумя векторами

и .

Для данной поверхности уравнение (3) для определения главных кривизн поверхности в точке  представится как

.

Решив полученное квадратное уравнение, получим

.

Теперь определим полную и среднюю кривизны прямого геликоида по формулам (4):

, .

Так как полная кривизна в любой точке отрицательна, то все точки прямого геликоида являются точками гиперболического типа. Равенство нулю средней кривизны означает, что прямой геликоид является примером минимальной поверхности.

Вопросы для самопроверки

1. Сколько главных направлений может быть в точке поверхности?

2. Что геометрически означают равенства: а) , б) ?

3. Для чего нужно строить индикатрису Дюпена?

4. Для каждого из возможных индикатрис Дюпена укажите для заданного направления сопряженное ему относительно индикатрисы.

5. Докажите, что прямой геликоид является минимальной поверхностью.

Задачи

1. Найдите полную и среднюю кривизны следующих поверхностей: 1) сферы радиуса ;

2) параболоида вращения  ;

3) псевдосферы ;

4) тора .

2. Найдите главные направления и главные кривизны следующих поверхностей: а) в точке ; б) , ,

в)  в точке .

3. Найдите эллиптические, параболические и гиперболические точки поверхности .

4. Докажите, что гауссова кривизна линейчатой поверхности не положительна.

5. Вычислите гауссову кривизну поверхности, образованной бинормалями данной кривой, через ее кривизну и кручение.

Домашняя работа

1. Найдите главные направления и главные кривизны поверхности  в точке .

2. Найдите уравнение линий кривизны поверхности

.

Тема. 8.5.Геодезическая кривизна и геодезические линии

Литература: [1], §§ 62, 64; [2], Р. 5, гл. 3, §§18, 22

Основные определения, теоремы и формул

Пусть на поверхности задана гладкая линия  внутренними уравнениями . Вектор кривизны кривой

.

Представим его в следующем виде:

,

где  – проекция вектора кривизны на касательную плоскость к поверхности, –  проекция на нормаль в точке, в которой определен вектор кривизны.

Вектор  называется вектором геодезической кривизны линии в рассматриваемой точке. Число  называется геодезической кривизной линии  в этой точке.

Линия гладкая класса называется геодезической, если в каждой ее точке геодезическая равна нулю , т. е. . Следовательно, геодезическая линия характеризуется тем свойством, что в каждой ее точке соприкасающаяся плоскость кривой проходит через нормаль к поверхности.

Уравнение является дифференциальным уравнением геодезических линий поверхности.

Теорема 1. На плоскости геодезическими линиями являются прямые линии и только они.

Геодезические линии на поверхности являются аналогами прямых на плоскости и многие важные свойства прямых полностью сохраняются для геодезических.

Теорема 2. Пусть  – гладкая поверхность класса . Через каждую точку по каждому направлению на поверхности в достаточно малой окрестности точки проходит геодезическая линия, и притом единственная.

В каждой точке поверхности в заданном направлении нельзя провести кривой, которая бы имела кривизну меньшую, чем кривизна геодезической линии.

На поверхности кратчайшей линией, соединяющей две данные точки, является дуга геодезической.

Если на поверхности сеть ортогональна и одно семейство ее линий состоит из геодезических, то она называется полугеодезической.

Пусть на поверхности координатная сеть полугеодезическая, причем линии геодезические. Тогда первая квадратичная форма поверхности имеет вид:

.

Пример 1. Поверхность задана уравнением . Найдите геодезическую кривизну линии , лежащей на поверхности.

Решение. Векторное уравнение линии имеет вид

,

значит, она принадлежит классу и ее геодезическая кривизна вычисляется как смешанное произведение:

,

где  – орт вектора нормали к поверхности. Найдем его.

Из уравнения поверхности имеем . Тогда

.

Следовательно, орт вектора нормали

.

Найдем векторы и в произвольной точке данной кривой

.

Так как , то . Следовательно,

.

Вычислим геодезическую кривизну в произвольной точке кривой

Пример 2. Докажите, что меридианы поверхности вращения являются геодезическими линиями. В каком случае ее параллели будут также геодезическими?

Решение. Поверхность вращения симметрична относительно любого осевого сечения. Меридиан является пересечением осевого сечения с поверхностью вращения. Следовательно, геодезическая линия, касающаяся меридиана, симметрична относительно плоскости осевого сечения. Так как через каждую точку поверхности в данном направлении проходит единственная геодезическая линия, то она совпадает с меридианом.

Параллель является геодезической линией тогда и только тогда, когда ее нормаль совпадает с нормалью к поверхности. Нормаль параллели перпендикулярна к оси вращения и пересекает ее. Касательная плоскость в точке параллели перпендикулярна нормали параллели. Значит, касательная к меридиану в этой точке перпендикулярна нормали параллели. Таким образом, параллель является геодезической на поверхности вращения, если касательная к меридиану параллельна оси вращения.

Задача

1. Докажите, что если нормальная кривизна линии всюду равна ее кривизне, то линия  – геодезическая.

2. Вычислите геодезическую кривизну винтовой линии: а) на геликоиде; б) на цилиндре.

3. Докажите, что геодезическая кривизна меридиана поверхности вращения равна нулю.

4. Докажите, если геодезическая линия является одновременно линией кривизны, то она – плоская. Обратно, если геодезическая линия  – плоская, то она есть линия кривизны.

5. Может ли геодезическая линия быть одновременно асимптотической?

6. Написать уравнение геодезической линии на поверхности

.


Индивидуальное задание №4

Теория поверхностей в евклидовом пространстве

Решить следующие задачи по теории поверхностей. Данные выбираются из таблицы, номер задания совпадает с номером варианта, номер варианта – номер студента по списку группы.

1. Написать уравнение касательной к плоскости и нормали в точке А.

2. Найти первую квадратичную форму поверхностей:

а) в произвольной точке;

б) в точке А.

3. Вычислите  угол:

а) между координатными линиями поверхности в точке А;

б) между линией γ и линией  γ1: u-v=0

4. Выбрать на линии γ две произвольные точки и посчитать длину дуги заключенной между этими точками.

5. Найти вторую квадратичную форму поверхности:

а) в произвольной точке;

б) в точке А. 

6. Определите тип точки А.

7. Определите главные кривизны поверхности в точке А и главные направления.

8. Найти среднюю кривизну и полную кривизну поверхности в произвольной точке и в точке А.

9. Вычислите нормальную кривизну линии в произвольной точке.

10. Найти асимптотические линии поверхности.

11. Найти линии кривизны поверхности.

вариант

Уравнение поверхности

Уравнение кривой

Координаты точки A

  1.  

x=u2, y=v2, z=uv

u3v=0

(2;0)

  1.  

 

U v=0

(3;1)

  1.  

x=u3, y=v, z=uv

v2u2=0

(2;2)

  1.  

x=u, y=v, z=u3-v3

u4v2=0

(2; –1)

  1.  

x=u, y=v2, z=u+vx

u2v=0

(4;0)

  1.  

x=u2, y=v, z=u+v

v4u=0

(1;3)

  1.  

x=u, y=v, z=eu+ev

v3u2=0

(2;1)

  1.  

x=u, y=v, z=u2-v

U 3=0

(3;1)

  1.  

x=u, y=v, z=u3+v3

v+8=0

(3;1)

  1.  

x=u, y=v, z=av2

v2+u=0

(0;4)

  1.  

x=u, y=v, z=lg u

4 v3=0

(1;3)

  1.  

x=u, y=u+v3,  z=u2

u+v2=0

(0;0)

  1.  

x=u3, y=v2, z=u+v

u2v3=0

(2;1)

  1.  

x=u2, y=v2, z=u2+v2

u2v4=0

(–1;2)

  1.  

x=u2, y=v2, z=u

u2v=0

(–1;1)

  1.  

x=uv, y=u2, z=v3

v2=0

(0;2)

  1.  

x=u, y=v, z=u2v

u2v2=0

(1; –1)

  1.  

x=u 1, y=1+v, z=u2+v2

3vu=0

(–3; –1)

  1.  

x=3u, y=3v, z=3u2+3v2

4u+v=0

(1; –4)

  1.  

x=u2, y=v, z=u2v

u2+v3=0

(–1; –1)

  1.  

x=au, y=av, z=auv

u3v4=0

(1; –1)

  1.  

x=u2+v2, y=v, z=v

u2v3=0

(1;1)

  1.  

x=u2, y=uv, z=uv2, u0, v0

u2v=0

(2;1)

  1.  

x=u3, y=v3, z=u+v

v2=0

(1;2)

  1.  

x=u2, y=v2, z=u

(1;1)


Основная литература

1. Атанасян Л.С., Базылев В.Т. Геометрия. Учеб. пособие для студентов физ.-мат. фак. пед. ин-тов. В 2 ч. Ч. 2. – М.: Просвещение. – 352 с.

2. Базылев В.Т., Дуничев К.И. Геометрия, II. – М.: Просвещение, 1975. – 351 с.

3. Михайлов П.Н. Начала теоретико-множественной топологии. – Уфа: Баш. ГУ, 2000. – 61 с.

Дополнительная литература

1. Александров А.Д., Нецветаев Н.Ю. Геометрия. – М. Наука, 1990. – 672 с.

2. Александрян Р.А., Мирзаханян Э.А. Общая топология. – М.: Высшая школа, 1979. – 336 с.

3. Атанасян С.Л., Глизбург В.И. Сборник задач по геометрии: учебное пособие для студентов. Ч. 2. – М.: Эксмо, 2008. – 320 с.

4. Бакельман И.Я., Вернер А.Л., Кантор Б.Е. Элементы гомотапической топологии и их приложения. – Л.: ЛГПИ, 1972. – 158 с.

5. Борисович Ю.Г., Близняков Н.М., Израилевич Я.А., Фоменко Т.Н. Введение в топологию. – М.: Высшая школа, 1980. – 295 с.

6. Бурбаки Н. Общая топология. Основные структуры. – М.: Наука, 1968. – 272 с.

7. Выгодский М.Я. Дифференциальная геометрия. – М.: ГИТТЛ, 1949. – 511 с.

8. Кожевникова Л.М. Элементы топологии. Учебное пособие. – Стерлитамак: СГПА, 2008. – 76 с.

9. Мищенко А.С., Фоменко А.Т. Курс дифференциальной геометрии и топологии. – СПб: Лань, 2010. – 512 с.

10. Новиков С.П., Фоменко А.Т. Элементы дифференциальной геометрии и топологии. – М.: Наука, 1968. – 432 с.

11. Погорелов А.В. Дифференциальная геометрия. – М.: Наука, 1969. – 176 с.

12. Поздняк Э.Г., Шишкин Е.В. Дифференциальная геометрия. Первое знакомство. – М.: УРСС. 2003. – 403 с.

13. Рубанов И.С. Элементы теоретико-множественной топологии для студентов пединститута. – Киров:центр НТТМ, 1990. – 40 с.

14. Франгулов С.А., Совертков П.И., Фадеева А.А., Ходот Т.Г. Сборник задач по геометрии: Учебное пособие для студентов мат. и физ.-мат. спец. пед. вузов. – М.: Просвещение, 2002. – 238 с.

15. Шаров Г.С., Шелехов А.М., Шестакова М.А. Сборник задач по дифференциальной геометрии. – М.: МЦНМО, 2005. – 112 с.


Оглавление

Стр.

Введение…………………………………………………………………

3

Раздел 1. Элементы топологии …………………………………....

6

Тема 1.1 Метрические пространства ………………………………….

6

Тема 1.2. Топологические пространства и их подпространства …….

10

Тема 1.3. Непрерывные отображения топологических пространств. Гомеоморфизмы ………………………………………………………..

17

Тема 1.4. Хаусдорфовы, компактные и связные топологические пространства ……………………………………………………………

22

Тема 1.5. Топологические многообразия.  Эйлерова характеристика и ориентируемость ……………………………………………………...

29

Раздел 2. Линии в евклидовом пространстве………………………

32

Тема 2.1. Векторные функции одного аргумента …………………….

32

Тема 2.2. Нахождение уравнений линий, заданных дифференциально-геометрическим свойством ………………………………………...

39

Тема 2. 3. Гладкая кривая. Касательная к кривой. Длина дуги кривой ……………………………………………………………………….

43

Тема 2.4. Канонический репер кривой. Кривизна и кручение кривой. Формулы Френе …………………………………………………...

49

Индивидуальное задание №1. Линии в евклидовом пространстве

55

Раздел 3. Поверхности в евклидовом пространстве ………………

56

Тема 3.1. Уравнение поверхности. Касательная плоскость и нормаль поверхности ………………………………………………………

56

Тема 3.2. Первая квадратичная форма поверхности …………………

63

Тема 3.3. Вторая квадратичная форма поверхности. Асимптотические линии. Нормальная кривизна ……………………………………

67

Тема 3.4. Главные кривизны. Главные направления. Полная и средняя кривизны поверхности …………………………………………….

73

Тема. 3.5.Геодезическая кривизна и геодезические линии ………….

76

Индивидуальное задание №2. Теория поверхностей в евклидовом пространстве ……………………………………………………………

80

Литература

82


Учебное издание

Михайлов Павел Никонович

ТЕОРЕТИКО-МНОЖЕСТВЕННАЯ ТОПОЛОГИЯ

И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ

В ЗАДАЧАХ

Учебное пособие

Редактор_______

Корректор______

Лицензия на издательскую деятельность

ЛР № 021319 от 05.01.99

Подписан в печать _______2013. Формат _______

Бумага офсетная. Компьютерный набор. Гарнитура Times.

Отпечатано на ризографе. Усл. печ.л._____ Уч.-изд.л.______

Заказ ______. Тираж____ Цена договорная.

Редакционно-издательский центр Башкирского университета

450074. Уфа, ул. Заки Валиди, 32. Тел.: (3472)236-710


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

8571. Ортега-и-Гассет. Восстание масс 35.5 KB
  Х. Ортега-и-Гассет. Восстание масс Происходит явление, которое, к счастью или к несчастью, определяет современную европейскую жизнь. Этот феномен - полный захват массами общественной власти. Поскольку масса, по определению, не должна и не спосо...
8572. Проблема происхождения философии 40.5 KB
  Проблема происхождения философии. Мировоззрение - совокупность наиболее общих взглядов и представлений о сущности окружающего мира. Духовное освоение мироздания с определенной точки зрения. В мировоззрении в обобщенном виде представлены: познав...
8573. Специфика философского знания. Основной вопрос философии 31.5 KB
  Специфика философского знания. Основной вопрос философии. Специфика философского знания. Основная специфика философского знания заключается в его двойственности, так как оно: имеет очень много общего с научным знанием - предмет, мет...
8574. Предмет, структура и функции философии 36 KB
  Предмет, структура и функции философии. Предмет философии. Предметом называется круг вопросов, которые изучает философия. Общую структуру предмета философии, философского знания составляют четыре основных раздела: Онтология - учение о мир...
8575. Постановка и решение проблемы первоосновы мира в натурфилософии античности 30 KB
  Постановка и решение проблемы первоосновы мира в натурфилософии античности. Греческие натурфилософы пытались найти первоначало, первоматерию, то есть вещество, из которого произошел мир. Они полагали, что первоначало (др.-греч. архэ) является перв...
8576. Философия элейской школы 30.5 KB
  Философия элейской школы. Элейская школа (6-сер.5 века до н.э.) Наиболее важными ее представителями были Ксенофан, Парменид и Зенон. Основателем элейской школы считают Парменида и Ксенофана. К заметным представителям данной школы принадлежал т...
8577. Философия софистов и Сократа 30 KB
  Философия софистов и Сократа. Философия софистов. Софистика как философское учение (вт.пол.5 в. до н.э.) Софисты (любящие мудрость) не считали себя философами, они были платными учителями мыслить, говорить, делать. Считали, что нужно анализировать...
8578. Объективный идеализм Платона и его связь с пифагорейской традицией 32.5 KB
  Объективный идеализм Платона и его связь с пифагорейской традицией. Объективный идеализм Платона. Платон (428/427 - 347 гг. до н.э.) - ученик Сократа, которого считают основателем объективного идеализма. Самыми важными проблемами в философии Платона...
8579. Философская система Аристотеля 30.5 KB
  Философская система Аристотеля. Самостоятельная философская позиция Аристотеля началась с критики идеализма Платона. Почему же Аристотель критикует платоновское учение об идеях. Аристотель критикует это учение по нескольким направлениям. Прежде всег...