85898

ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ С ОДНИМ НЕИЗВЕСТНЫМ

Лабораторная работа

Математика и математический анализ

Всякое значение при котором называется корнем уравнения . для каждого корня уравнения существует окрестность не содержащая других корней этого уравнения. Приближенное нахождение изолированных действительных корней уравнения обычно складывается из двух этапов: отделение корней т. установление малых промежутков в которых содержится один и только один корень уравнения .

Русский

2015-03-31

255 KB

4 чел.

ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ С ОДНИМ НЕИЗВЕСТНЫМ

Пусть дано уравнение , где функция  определена и непрерывна в некотором конечном или бесконечном интервале .

Всякое значение , при котором , называется корнем уравнения .

Будем предполагать, что уравнение     имеет лишь изолированные корни, т. е. для каждого корня уравнения  существует окрестность, не содержащая других корней этого уравнения.

Приближенное нахождение изолированных действительных корней уравнения  обычно складывается из двух этапов:

  1.  отделение корней, т. е. установление малых промежутков , в которых содержится один и только один корень уравнения .
  2.  вычисление каждого отделенного корня с заданной точностью .

Для отделения корней будет полезно следующее утверждение: если - непрерывная, строго монотонная функция и , то на отрезке существует корень уравнения .

Укажем следующие три способа отделения корня для случая :

1) Составляется таблица значений функции  на промежутке изменения аргумента , и если окажется, что для соседних значений аргументов значения функции имеют разные знаки, то корень уравнения  находится между ними.

2) Строится график функции  на промежутке изменения аргумента; тогда искомые корни находятся в некоторых окрестностях точек пересечения графика с осью .

3) Уравнение  заменяется равносильным: . Строятся графики функций  и ; тогда искомые корни находятся в некоторых окрестностях проекций на ось  точек пересечения этих графиков.

Рассмотрим наиболее распространенные методы вычисления корней.

Метод бисекции (метод половинного деления)

Пусть мы отделили корень на отрезке . Разделим отрезок  пополам точкой . Если , то возможны два случая: либо  меняет знак на отрезке , либо на отрезке . Выбираем в каждом случае тот из отрезков, на котором функция меняет знак, и продолжаем процесс деления до тех пор, пока , где - точность.

Метод касательных (метод Ньютона)

Пусть мы отделили корень на отрезке . Производные  и сохраняют знак на всем интервале . Проведем касательную в точке . Для того, чтобы точка пересечения касательной с осью OX лежала внутри отрезка , касательную надо проводить в точке , где знаки  и второй производной  одинаковы. Иными словами, должно выполняться условие: для x=. Новое значение приближенного корня вычисляем по формуле:

, .

Процесс продолжаем до тех пор, пока, где - точность.

Метод хорд

Пусть мы отделили корень на отрезке . В данном методе процесс итераций состоит в том, что в качестве приближений к корню уравнения принимаются значения  точек пересечения хорды с осью абсцисс.

Метод хорд является методом исключения интервалов. Пусть f(a)=A и f(b)=B. Построим хорду AB, точкой пересечения с осью абсцисс она поделит отрезок на две части. Выбираем ту часть, на границах которой функция имеет разный знак, и снова строим хорду, находим точку её пересечения с осью абсцисс и получаем новое приближение корня. Каждое новое значение приближения корня находится по формуле:

Процесс продолжаем до тех пор, пока, где - точность.

Лабораторная работа №2

Задания: Найти корень данного уравнения  (см. таблицу) с точностью до :

  1.  методом бисекции;
  2.  методом касательных;
  3.  методом хорд.

Порядок выполнения работы:

  1.  Отделить корень уравнения.
  2.  Вычислить корень заданного уравнения методом бисекции. Для этого вычислить итерации до тех пор, пока , где - точность.
  3.  Вычислить корень заданного уравнения  методом касательных.
  4.  Сравнить результаты вычислений по методам бисекции и Ньютона по количеству итераций.
  5.  Вычислить корень заданного уравнения  методом хорд.

Данные к заданию:

варианта

Уравнение

варианта

Уравнение

1

7

2

8

3

9

4

10

5

11

6

12


Y

X

a

b

Y

X

a

b=x0

x1

Y

X

a

b

x0

A

B


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

36620. КОНСПЕКТ ЛЕКЦІЙ З УКРАЇНСЬКОЇ МОВИ 327.5 KB
  КОНСПЕКТ ЛЕКЦІЙ З УКРАЇНСЬКОЇ МОВИ для студентів 1 курсу напрямів підготовки Облік і аудит Конспект лекцій з української мови для студентів напрямів підготовки. Дидактична мета курсу: розширення знань про українську мову як національну мову українського народу виховання поваги до української літературної мови; набуття знань про особливості офіційноділового стилю класифікацію документів структуру тексту документа вимоги до складання й оформлення ділових...
36621. Суть залізобетону. Матеріали для залізобетонних конструкцій 18 MB
  Суть залізобетону Бетон це штучний кам’яний матеріал який добре протистоїть стисканню і значно гірше розтяганню. Залізобетоном називають штучний композитний будівельний матеріал що складається з бетону та сталевої арматури які працюють разом. Елементи під навантаженням: а бетонна балка; б залізобетонна балка; в залізобетонна колона Армування бетонної балки дає можливість використовувати міцність сталевої арматури на розтягання і міцність бетону на стискання. Армування стиснутого бетону підвищує також надійність залізобетонних...
36622. Трудова поведінка: зміст, структура, функції 92.5 KB
  Трудова поведінка як різновид соціальної поведінки. Зміст структура та функції трудової поведінки. Види трудової поведінки. Механізми регуляції трудової поведінки.
36623. Информационные системы предприятия 1.03 MB
  В самом общем виде под информационной системой предприятия (ИСП) понимается весь комплекс данных и знаний, используемых на предприятии в целях управления и любой другой, направленной на экономический эффект деятельности, вместе со средствами получения, учета, хранения, доступа, представления, а также анализа данных и знаний.
36624. Ринок цінних паперів та його місто в системі фінансових ринків 2 MB
  Ринок цінних паперів та його місто в системі фінансових ринків Змістовий модуль 1. Поняття та види ринків цінних паперів 1. Ринок цінних паперів в системі фінансових ринків та його види. Основні види ринків цінних паперів.
36625. Cовершенствование организации и технологии технического обслуживания и текущего ремонта автомобилей 909.5 KB
  Проблема технического обслуживания, текущего ремонта и диагностики в участка, имеющая недостатки как в организации, так и в выполнении плана ТО является актуальной и требующая пересмотра существующей организации техобслуживания и диагностики.
36626. Безопасность жизнедеятельности. Конспект лекций 1.77 MB
  В конспекте использован материал новых Межотраслевых правил по охране труда. Условия труда. Метеорологические условия труда и чистота воздуха. Управление охраной труда.
36627. ПРОГРАММИРОВАНИЕ. Курс лекций 1.11 MB
  Понятия объекта класса объектов. Доступность компонентов класса. Статические и константные компоненты класса. Указатели на компоненты класса.
36628. ПРОГРАММИРОВАНИЕ НА ЯЗЫКЕ ВЫСОКОГО УРОВНЯ 1015 KB
  1 Языки программирования Языки программирования делятся на 3 основных класса как показано на рис.3 Понятие алгоритма и его свойства Алгоритм – это точное предписание о выполнении в определенном порядке некоторых операций приводящих к решению всех задач данного класса. Непосредственный предшественник C – язык Си с классами – появился в 1979 году а в 1997 году был принят международный стандарт C который фактически подвел итоги его 20летнего развития. Если мы говорим об объектноориентированной программе то она должна создать объект...