85898

ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ С ОДНИМ НЕИЗВЕСТНЫМ

Лабораторная работа

Математика и математический анализ

Всякое значение при котором называется корнем уравнения . для каждого корня уравнения существует окрестность не содержащая других корней этого уравнения. Приближенное нахождение изолированных действительных корней уравнения обычно складывается из двух этапов: отделение корней т. установление малых промежутков в которых содержится один и только один корень уравнения .

Русский

2015-03-31

255 KB

4 чел.

ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ С ОДНИМ НЕИЗВЕСТНЫМ

Пусть дано уравнение , где функция  определена и непрерывна в некотором конечном или бесконечном интервале .

Всякое значение , при котором , называется корнем уравнения .

Будем предполагать, что уравнение     имеет лишь изолированные корни, т. е. для каждого корня уравнения  существует окрестность, не содержащая других корней этого уравнения.

Приближенное нахождение изолированных действительных корней уравнения  обычно складывается из двух этапов:

  1.  отделение корней, т. е. установление малых промежутков , в которых содержится один и только один корень уравнения .
  2.  вычисление каждого отделенного корня с заданной точностью .

Для отделения корней будет полезно следующее утверждение: если - непрерывная, строго монотонная функция и , то на отрезке существует корень уравнения .

Укажем следующие три способа отделения корня для случая :

1) Составляется таблица значений функции  на промежутке изменения аргумента , и если окажется, что для соседних значений аргументов значения функции имеют разные знаки, то корень уравнения  находится между ними.

2) Строится график функции  на промежутке изменения аргумента; тогда искомые корни находятся в некоторых окрестностях точек пересечения графика с осью .

3) Уравнение  заменяется равносильным: . Строятся графики функций  и ; тогда искомые корни находятся в некоторых окрестностях проекций на ось  точек пересечения этих графиков.

Рассмотрим наиболее распространенные методы вычисления корней.

Метод бисекции (метод половинного деления)

Пусть мы отделили корень на отрезке . Разделим отрезок  пополам точкой . Если , то возможны два случая: либо  меняет знак на отрезке , либо на отрезке . Выбираем в каждом случае тот из отрезков, на котором функция меняет знак, и продолжаем процесс деления до тех пор, пока , где - точность.

Метод касательных (метод Ньютона)

Пусть мы отделили корень на отрезке . Производные  и сохраняют знак на всем интервале . Проведем касательную в точке . Для того, чтобы точка пересечения касательной с осью OX лежала внутри отрезка , касательную надо проводить в точке , где знаки  и второй производной  одинаковы. Иными словами, должно выполняться условие: для x=. Новое значение приближенного корня вычисляем по формуле:

, .

Процесс продолжаем до тех пор, пока, где - точность.

Метод хорд

Пусть мы отделили корень на отрезке . В данном методе процесс итераций состоит в том, что в качестве приближений к корню уравнения принимаются значения  точек пересечения хорды с осью абсцисс.

Метод хорд является методом исключения интервалов. Пусть f(a)=A и f(b)=B. Построим хорду AB, точкой пересечения с осью абсцисс она поделит отрезок на две части. Выбираем ту часть, на границах которой функция имеет разный знак, и снова строим хорду, находим точку её пересечения с осью абсцисс и получаем новое приближение корня. Каждое новое значение приближения корня находится по формуле:

Процесс продолжаем до тех пор, пока, где - точность.

Лабораторная работа №2

Задания: Найти корень данного уравнения  (см. таблицу) с точностью до :

  1.  методом бисекции;
  2.  методом касательных;
  3.  методом хорд.

Порядок выполнения работы:

  1.  Отделить корень уравнения.
  2.  Вычислить корень заданного уравнения методом бисекции. Для этого вычислить итерации до тех пор, пока , где - точность.
  3.  Вычислить корень заданного уравнения  методом касательных.
  4.  Сравнить результаты вычислений по методам бисекции и Ньютона по количеству итераций.
  5.  Вычислить корень заданного уравнения  методом хорд.

Данные к заданию:

варианта

Уравнение

варианта

Уравнение

1

7

2

8

3

9

4

10

5

11

6

12


Y

X

a

b

Y

X

a

b=x0

x1

Y

X

a

b

x0

A

B


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

31188. Морские и сейсмические косы и набортные сейсморазведочные станции 31.5 KB
  Морские сейсмические косы предназначены для приема сейсмических колебаний регистрирующей аппаратурой расположенной на геофизическом судне. По существу цифровые сейсмические косы это морской аналог совокупности полевых сейсморегистрирующих моделей телеметрической системы сбора информации. В настоящее время на большинстве геофизических судов используются цифровые сейсмические косы.
31189. Обобщенная структура телеметрических станций 54.5 KB
  Вспомогательное оборудование станции служит для установки параметров ПО технического обслуживания и текущего ремонта всей системы и состоит из тестирующего устройства полевых модулей и модуля контроля линейной расстановки а также диагностического и ремонтного комплексов осциллографа и зарядного устройства. К блоку управления станцией всегда подключается ограниченное число линейных интерфейсных модулей.Этот модуль всегда выполняет следующие функции: осуществляет самотестирование и диагностику; присваивает адреса полевым коммутационным и...
31190. Общая характеристика современных систем наблюдений 32.5 KB
  Поэтому на начальном этапе применения трехмерных систем наблюдений широкое распространение получили такие упрощенные системы наблюдения которые позволяли в реальных условиях того времени выполнять Сейсморазведочные работы по технологии 30. По мере накопления опыта работ с такими системами и получения признания их высокой результативности были предложены и приняты к опробованию достаточно сложные регулярные системы наблюдений. В настоящее время регулярные площадные системы наблюдений достаточно высокой сложности являются приоритетными в...
31191. Общая характеристика систем наблюдений 36 KB
  Взаимное расположение пунктов возбуждения ПВ и пунктов приема ПП сейсмических волн в изучаемой среде принято называть системой наблюдений. Последовательность взаимного перемещения ПВ и ПП на поверхности наблюдений называют технологией наблюдений. В зависимости от структуры формы и взаимного расположения линий пунктов возбуждения ЛПВ и линий пунктов приема ЛПП сейсмических волн различают точечные профильные и пространственные системы наблюдений.
31192. Основные понятия теории проектрования систем наблюдений 3D 48 KB
  Поэтому такие системы наблюдений следует проектировать таким образом чтобы они по возможности обеспечивали достаточно равномерное покрытие всей площади работ регулярной сетью общих средних глубинных точек. В основе построения всех площадных систем наблюдений используются в качестве базовых элементов два понятия понятия о непродольном сейсмическом профиле и площадном распределении приемников и или источников Мешбей 1985; Потапов 1987. При работах на суше наиболее часто употребляются системы наблюдений использующие крестовые...
31193. Основы методики и технологии работ методом общей глубинной точки 35.5 KB
  Метод общей глубинной точки как уже говорилось был предложен в 1950 г. С каждой трассой связаны три координаты профиля: пункта возбуждения s пункта приема r и средней точки m. Кроме того для ряда задач удобно и полезно рассматривать расстояния h от средней точки до источника или приемника.