85898

ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ С ОДНИМ НЕИЗВЕСТНЫМ

Лабораторная работа

Математика и математический анализ

Всякое значение при котором называется корнем уравнения . для каждого корня уравнения существует окрестность не содержащая других корней этого уравнения. Приближенное нахождение изолированных действительных корней уравнения обычно складывается из двух этапов: отделение корней т. установление малых промежутков в которых содержится один и только один корень уравнения .

Русский

2015-03-31

255 KB

4 чел.

ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ С ОДНИМ НЕИЗВЕСТНЫМ

Пусть дано уравнение , где функция  определена и непрерывна в некотором конечном или бесконечном интервале .

Всякое значение , при котором , называется корнем уравнения .

Будем предполагать, что уравнение     имеет лишь изолированные корни, т. е. для каждого корня уравнения  существует окрестность, не содержащая других корней этого уравнения.

Приближенное нахождение изолированных действительных корней уравнения  обычно складывается из двух этапов:

  1.  отделение корней, т. е. установление малых промежутков , в которых содержится один и только один корень уравнения .
  2.  вычисление каждого отделенного корня с заданной точностью .

Для отделения корней будет полезно следующее утверждение: если - непрерывная, строго монотонная функция и , то на отрезке существует корень уравнения .

Укажем следующие три способа отделения корня для случая :

1) Составляется таблица значений функции  на промежутке изменения аргумента , и если окажется, что для соседних значений аргументов значения функции имеют разные знаки, то корень уравнения  находится между ними.

2) Строится график функции  на промежутке изменения аргумента; тогда искомые корни находятся в некоторых окрестностях точек пересечения графика с осью .

3) Уравнение  заменяется равносильным: . Строятся графики функций  и ; тогда искомые корни находятся в некоторых окрестностях проекций на ось  точек пересечения этих графиков.

Рассмотрим наиболее распространенные методы вычисления корней.

Метод бисекции (метод половинного деления)

Пусть мы отделили корень на отрезке . Разделим отрезок  пополам точкой . Если , то возможны два случая: либо  меняет знак на отрезке , либо на отрезке . Выбираем в каждом случае тот из отрезков, на котором функция меняет знак, и продолжаем процесс деления до тех пор, пока , где - точность.

Метод касательных (метод Ньютона)

Пусть мы отделили корень на отрезке . Производные  и сохраняют знак на всем интервале . Проведем касательную в точке . Для того, чтобы точка пересечения касательной с осью OX лежала внутри отрезка , касательную надо проводить в точке , где знаки  и второй производной  одинаковы. Иными словами, должно выполняться условие: для x=. Новое значение приближенного корня вычисляем по формуле:

, .

Процесс продолжаем до тех пор, пока, где - точность.

Метод хорд

Пусть мы отделили корень на отрезке . В данном методе процесс итераций состоит в том, что в качестве приближений к корню уравнения принимаются значения  точек пересечения хорды с осью абсцисс.

Метод хорд является методом исключения интервалов. Пусть f(a)=A и f(b)=B. Построим хорду AB, точкой пересечения с осью абсцисс она поделит отрезок на две части. Выбираем ту часть, на границах которой функция имеет разный знак, и снова строим хорду, находим точку её пересечения с осью абсцисс и получаем новое приближение корня. Каждое новое значение приближения корня находится по формуле:

Процесс продолжаем до тех пор, пока, где - точность.

Лабораторная работа №2

Задания: Найти корень данного уравнения  (см. таблицу) с точностью до :

  1.  методом бисекции;
  2.  методом касательных;
  3.  методом хорд.

Порядок выполнения работы:

  1.  Отделить корень уравнения.
  2.  Вычислить корень заданного уравнения методом бисекции. Для этого вычислить итерации до тех пор, пока , где - точность.
  3.  Вычислить корень заданного уравнения  методом касательных.
  4.  Сравнить результаты вычислений по методам бисекции и Ньютона по количеству итераций.
  5.  Вычислить корень заданного уравнения  методом хорд.

Данные к заданию:

варианта

Уравнение

варианта

Уравнение

1

7

2

8

3

9

4

10

5

11

6

12


Y

X

a

b

Y

X

a

b=x0

x1

Y

X

a

b

x0

A

B


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

83841. Трепанация черепа. Показания, техника выполнения, осложнения. Схема кранио-церебральной топографии Кренлейна 93.22 KB
  Локализация разрезов и костного дефекта определяется локализацией патологического процесса Показания: оперативный доступ при вмешательствах по поводу операбельных опухолей головного мозга мозговых грыж водянки мозга кисты мозга и пр Техника выполнения: 1. Осложнения: Кровотечение; Инфекция; Отек головного мозга; Повреждение мозга после чего может возникнуть: Изменения в памяти поведении мышлении речи; Проблемы со зрением; Проблемы с балансом; Проблемы кишечника и мочевого пузыря; Судороги; Паралич или слабость; Реакция...
83842. Первичная хирургическая обработка ран головы 48.42 KB
  При осмотре пациента с раной головы необходимо определить: 1 ее глубину 2 наличие в ране поврежденных артериальных сосудов 3 наличие или отсутствие повреждения костей свода черепа. Наличие или отсутствие костных повреждений необходимо уточнять не только при осмотре раны но и с использованием рентгенографии черепа и компьютерной томографии головы.
83843. Хирургическая анатомия лицевого и тройничного нерва. Разрез при гнойном паротите 50.26 KB
  Хирургическая анатомия лицевого нерва Лицевой нерв смешанный. Двигательная часть начинается от ядра лицевого нерва в Варолиевом мосту. У клеток двигательного ядра имеются многочисленные чувствительные коллатерали идущие из чувствительных ядер тройничного нерва.
83844. Кровеносные сосуды лица 50.02 KB
  Артерии Верхнечелюстная артерия является одной из двухконечных ветвей наружной сонной артерии. В первом отделе следующие ветви: 1 глубокая ушная артерия разветвляется в коже наружного слухового прохода в барабанной перепонке и в капсуле височно нижнечелюстного сустава; 2 передняя барабанная артерия проникает через каменисто барабанную щель к слизистой оболочке барабанной полости; 3 нижняя альвеолярная артерия вхожи в канал нижней челюсти и отдаёт ветви к зубам и десне нижней челюсти; её конечная ветвь подбородочная артерия...
83845. Клетчаточные пространства лица. Хирургическая тактика при флегмонах лица 52.56 KB
  выше линии соединяющей углы рта. VI Клетчаточные пространства под слизистой оболочкой мышцами и органами дна полости рта: Боковые клетчаточные пространства между языком и нижней челюстью В них окруженные клетчаткой располагаются подъязычные слюнные железы с большими выводными протоками. Гнойные процессы возникающие в межмышечных клетчаточных пространствах дна полости рта могут распространятся в пределах дна полости рта. Височноязычный промежуток сообщается с жировым телом щеки крылонебной ямкой а через круглое отверстие с полостью...
83846. Хирургическая тактика при флегмонах лица 54.42 KB
  Раскрытие и дренирование флегмон скуловой области. Раскрытие и дренирование флегмон височной области. В указанной области возможно возникновение поверхностной межапоневротической подапоневротической глубокой и разлитой флегмон. Поверхностная флегмона височной области образуется между кожей и собственной височной фасцией.
83847. Подчелюстная область, треугольник Пирогова. Перевязка язычной артерии, показания, техника выполнения 48.93 KB
  В пределах подчелюстной области залегают: подчелюстная слюнная железа лицевые артерия и вена подподбородочные артерия и вена подъязычный и челюстноподъязычный нервы лимфатические узлы и клетчатка окружающая эти образования. Последняя сообщается с клетчаткой подъязычной области крыловидночелюстного окологлоточного пространств боковой области лица и шеи. Подчелюстные лимфатические узлы являются регионарными узлами челюстнолицевой области полости рта. Треугольник Пирогова Треугольное пространство в боковой части надподъязычной...
83848. Коникотомия. Показания, техника выполнения, осложнения, их профилактика 116.46 KB
  Врач встав справа от больного указательным пальцем левой руки нащупывает бугорок перстневидного хряща и углубление между ним и нижним краем щитовидного хряща соответствующее расположению конической связки. Большим и средним пальцами левой руки фиксируют щитовидный хрящ натягивая кожу над хрящами гортани и смещая кзади грудиноключичнососцевидные мышцы с расположенными под ними шейными сосудистыми пучками второй палец находится между дугой перстневидного и нижним краем щитовидного хряща. Скальпелем проводят горизонтальный поперечный разрез...
83849. Трахеостомия. Верхняя и нижняя трахеостомия. Показания, техника операции. Осложнения и их профилактика 53.71 KB
  Трахеостомия это операция формирования искусственного наружного свища трахеи трахеостомы после вскрытия ее просвета. Рассечение стенки трахеи называется трахеотомией и она является этапом выполнения трахеостомии. Показания: Механическая асфиксия: инородные тела дыхательных путей при невозможности удалить их при прямой ларингоскопии и трахе обронхоскопии; нарушение проходимости дыхательных путей при ранениях и закрытых травмах гортани и трахеи; стенозы гортани: при инфекционных заболеваниях дифтерия грипп коклюш при...