85898

ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ С ОДНИМ НЕИЗВЕСТНЫМ

Лабораторная работа

Математика и математический анализ

Всякое значение при котором называется корнем уравнения . для каждого корня уравнения существует окрестность не содержащая других корней этого уравнения. Приближенное нахождение изолированных действительных корней уравнения обычно складывается из двух этапов: отделение корней т. установление малых промежутков в которых содержится один и только один корень уравнения .

Русский

2015-03-31

255 KB

4 чел.

ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ С ОДНИМ НЕИЗВЕСТНЫМ

Пусть дано уравнение , где функция  определена и непрерывна в некотором конечном или бесконечном интервале .

Всякое значение , при котором , называется корнем уравнения .

Будем предполагать, что уравнение     имеет лишь изолированные корни, т. е. для каждого корня уравнения  существует окрестность, не содержащая других корней этого уравнения.

Приближенное нахождение изолированных действительных корней уравнения  обычно складывается из двух этапов:

  1.  отделение корней, т. е. установление малых промежутков , в которых содержится один и только один корень уравнения .
  2.  вычисление каждого отделенного корня с заданной точностью .

Для отделения корней будет полезно следующее утверждение: если - непрерывная, строго монотонная функция и , то на отрезке существует корень уравнения .

Укажем следующие три способа отделения корня для случая :

1) Составляется таблица значений функции  на промежутке изменения аргумента , и если окажется, что для соседних значений аргументов значения функции имеют разные знаки, то корень уравнения  находится между ними.

2) Строится график функции  на промежутке изменения аргумента; тогда искомые корни находятся в некоторых окрестностях точек пересечения графика с осью .

3) Уравнение  заменяется равносильным: . Строятся графики функций  и ; тогда искомые корни находятся в некоторых окрестностях проекций на ось  точек пересечения этих графиков.

Рассмотрим наиболее распространенные методы вычисления корней.

Метод бисекции (метод половинного деления)

Пусть мы отделили корень на отрезке . Разделим отрезок  пополам точкой . Если , то возможны два случая: либо  меняет знак на отрезке , либо на отрезке . Выбираем в каждом случае тот из отрезков, на котором функция меняет знак, и продолжаем процесс деления до тех пор, пока , где - точность.

Метод касательных (метод Ньютона)

Пусть мы отделили корень на отрезке . Производные  и сохраняют знак на всем интервале . Проведем касательную в точке . Для того, чтобы точка пересечения касательной с осью OX лежала внутри отрезка , касательную надо проводить в точке , где знаки  и второй производной  одинаковы. Иными словами, должно выполняться условие: для x=. Новое значение приближенного корня вычисляем по формуле:

, .

Процесс продолжаем до тех пор, пока, где - точность.

Метод хорд

Пусть мы отделили корень на отрезке . В данном методе процесс итераций состоит в том, что в качестве приближений к корню уравнения принимаются значения  точек пересечения хорды с осью абсцисс.

Метод хорд является методом исключения интервалов. Пусть f(a)=A и f(b)=B. Построим хорду AB, точкой пересечения с осью абсцисс она поделит отрезок на две части. Выбираем ту часть, на границах которой функция имеет разный знак, и снова строим хорду, находим точку её пересечения с осью абсцисс и получаем новое приближение корня. Каждое новое значение приближения корня находится по формуле:

Процесс продолжаем до тех пор, пока, где - точность.

Лабораторная работа №2

Задания: Найти корень данного уравнения  (см. таблицу) с точностью до :

  1.  методом бисекции;
  2.  методом касательных;
  3.  методом хорд.

Порядок выполнения работы:

  1.  Отделить корень уравнения.
  2.  Вычислить корень заданного уравнения методом бисекции. Для этого вычислить итерации до тех пор, пока , где - точность.
  3.  Вычислить корень заданного уравнения  методом касательных.
  4.  Сравнить результаты вычислений по методам бисекции и Ньютона по количеству итераций.
  5.  Вычислить корень заданного уравнения  методом хорд.

Данные к заданию:

варианта

Уравнение

варианта

Уравнение

1

7

2

8

3

9

4

10

5

11

6

12


Y

X

a

b

Y

X

a

b=x0

x1

Y

X

a

b

x0

A

B


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

13070. Классный час. Как жить будем 39 KB
  Классный час Как жить будем Предварительная работа. В конце предыдущего учебного года я диагностировала уровень сформированности детского коллектива в классе при помощи методики А.Н. Лутошкина Какой у нас коллектив. Выяснилось что большинство школьников относят ...
13071. Ваше здоровье в ваших руках. Внеклассное мероприятие 44.5 KB
  Внеклассное мероприятие по теме Ваше здоровье в ваших руках для старших классов классный час Цель: Формирование здорового образа жизни. Сегодня существует целый ряд определений здоровья которые как правило содержат пять критериев определяющих здоровье человек
13072. Здоровье в саду на грядке. Внеклассное мероприятие 33.88 KB
  Конспект пробного занятия по педагогике Тема. Здоровье в саду на грядке Цель: формировать отношение к правильному питанию как составной части здорового образа жизни Основные образовательные задачи: Формировать у обучающихся правильное представление о з...
13073. НИКТО НЕ ЗАБЫТ, НИЧТО НЕ ЗАБЫТО. Внеклассное мероприятие 40 KB
  НИКТО НЕ ЗАБЫТ НИЧТО НЕ ЗАБЫТО Классный час Цели: воспитывать чувство патриотизма; прививать нравственноэстетические качества; обогащать опыт поисковой работы. Оборудование: 1. Карта России; флажки с названиями великих сражений звездочки. 2. Проигрыватель с г...
13074. Наркотики. Внеклассное мероприятие 33 KB
  Планконспект проведения классного часа Тема: Наркотики Рассказ учителя. Тема нашего сегодняшнего разговора серьезная и тяжелая: мы будем говорить о наркотиках. Как повашему что такое наркотики Ответы 5 мин.. Да ребята наркотики это беда разрушение и сме
13075. Технология подготовки и проведения классного часа 104 KB
  Технология подготовки и проведения классного часа. Классный час есть форма прямого общения воспитателя со своими воспитанниками В. П. Созонов Классный час можно назвать специально ориентированной деятельностью способствующей формированию у школьнико...
13076. Первое апреля – День смеха. План – конспект классного часа 46 KB
  План конспект классного часа в 1а классе 1 апреля День смеха. Цели: 1 способствовать развитию эмоционально-чувственной сферы детей умение осознанно выражать свои эмоции и чувства навыки эмоционального самоконтроля; знакомство с историей праздника способство...
13077. Классный час «Правила поведения в столовой» 29 KB
  Классный час Правила поведения в столовой Цель: объяснить детям правила поведения в столовой. Учитель: Ребята мы сейчас отправимся в самое вкусное место в школе. Куда же это Ученики: В школьную столовую. Проводится игра. Давайте покажем как идем в столовую В
13078. Классный час «Радуга профессий» 55 KB
  Методическая разработка классного часа в 10м классе на тему Радуга профессий Тема: определение школьниками их склонностей к той или иной профессии. Цель: знакомство учащихся с различными профессиями развитие живого интереса к многообразному миру профессий с испо