85898

ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ С ОДНИМ НЕИЗВЕСТНЫМ

Лабораторная работа

Математика и математический анализ

Всякое значение при котором называется корнем уравнения . для каждого корня уравнения существует окрестность не содержащая других корней этого уравнения. Приближенное нахождение изолированных действительных корней уравнения обычно складывается из двух этапов: отделение корней т. установление малых промежутков в которых содержится один и только один корень уравнения .

Русский

2015-03-31

255 KB

4 чел.

ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ С ОДНИМ НЕИЗВЕСТНЫМ

Пусть дано уравнение , где функция  определена и непрерывна в некотором конечном или бесконечном интервале .

Всякое значение , при котором , называется корнем уравнения .

Будем предполагать, что уравнение     имеет лишь изолированные корни, т. е. для каждого корня уравнения  существует окрестность, не содержащая других корней этого уравнения.

Приближенное нахождение изолированных действительных корней уравнения  обычно складывается из двух этапов:

  1.  отделение корней, т. е. установление малых промежутков , в которых содержится один и только один корень уравнения .
  2.  вычисление каждого отделенного корня с заданной точностью .

Для отделения корней будет полезно следующее утверждение: если - непрерывная, строго монотонная функция и , то на отрезке существует корень уравнения .

Укажем следующие три способа отделения корня для случая :

1) Составляется таблица значений функции  на промежутке изменения аргумента , и если окажется, что для соседних значений аргументов значения функции имеют разные знаки, то корень уравнения  находится между ними.

2) Строится график функции  на промежутке изменения аргумента; тогда искомые корни находятся в некоторых окрестностях точек пересечения графика с осью .

3) Уравнение  заменяется равносильным: . Строятся графики функций  и ; тогда искомые корни находятся в некоторых окрестностях проекций на ось  точек пересечения этих графиков.

Рассмотрим наиболее распространенные методы вычисления корней.

Метод бисекции (метод половинного деления)

Пусть мы отделили корень на отрезке . Разделим отрезок  пополам точкой . Если , то возможны два случая: либо  меняет знак на отрезке , либо на отрезке . Выбираем в каждом случае тот из отрезков, на котором функция меняет знак, и продолжаем процесс деления до тех пор, пока , где - точность.

Метод касательных (метод Ньютона)

Пусть мы отделили корень на отрезке . Производные  и сохраняют знак на всем интервале . Проведем касательную в точке . Для того, чтобы точка пересечения касательной с осью OX лежала внутри отрезка , касательную надо проводить в точке , где знаки  и второй производной  одинаковы. Иными словами, должно выполняться условие: для x=. Новое значение приближенного корня вычисляем по формуле:

, .

Процесс продолжаем до тех пор, пока, где - точность.

Метод хорд

Пусть мы отделили корень на отрезке . В данном методе процесс итераций состоит в том, что в качестве приближений к корню уравнения принимаются значения  точек пересечения хорды с осью абсцисс.

Метод хорд является методом исключения интервалов. Пусть f(a)=A и f(b)=B. Построим хорду AB, точкой пересечения с осью абсцисс она поделит отрезок на две части. Выбираем ту часть, на границах которой функция имеет разный знак, и снова строим хорду, находим точку её пересечения с осью абсцисс и получаем новое приближение корня. Каждое новое значение приближения корня находится по формуле:

Процесс продолжаем до тех пор, пока, где - точность.

Лабораторная работа №2

Задания: Найти корень данного уравнения  (см. таблицу) с точностью до :

  1.  методом бисекции;
  2.  методом касательных;
  3.  методом хорд.

Порядок выполнения работы:

  1.  Отделить корень уравнения.
  2.  Вычислить корень заданного уравнения методом бисекции. Для этого вычислить итерации до тех пор, пока , где - точность.
  3.  Вычислить корень заданного уравнения  методом касательных.
  4.  Сравнить результаты вычислений по методам бисекции и Ньютона по количеству итераций.
  5.  Вычислить корень заданного уравнения  методом хорд.

Данные к заданию:

варианта

Уравнение

варианта

Уравнение

1

7

2

8

3

9

4

10

5

11

6

12


Y

X

a

b

Y

X

a

b=x0

x1

Y

X

a

b

x0

A

B


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

32989. Общественное сознание и его структура 17.1 KB
  Конец формы Общественное сознание и его структура. Если сознание есть во многом продут социальный есть порождение общественных отношений то что такое общественные отношения общественное сознание Какова их структура Механизм работы И здесь наблюдаются определенные отличия индивидуального сознания и общественного сознания. Вопервых индивидуальное сознание имеет границы жизни обусловленные жизнью конкретного человека. Общественное же сознание может охватывать жизнь множества поколений.
32990. Структура общественного сознания и его основные формы 15.45 KB
  Обыденное и теоретическое сознание.Общественное сознание это совокупность идей взглядов и оценок свойственных данному обществу в осознании им собственного бытия.Индивидуальное сознание это совокупность идей взглядов чувств свойственных конкретному человеку.ОБЩЕСТВЕННОЕ СОЗНАНИЕ складывается на основе сознаний отдельных людей но не является их простой суммой.
32991. Философия истории 29.45 KB
  заключается ли он в самой ткани исторического события или он следствие нашей позднейшей его интерпретации Имеет ли история направление Кто является творцом истории Как возможно историческое событие Важнейшее отличие философии истории от истории состоит в том что если историю интересует причины определенных конкретных событий то философия истории анализирует общие закономерности исторического процесса в целом. в таких работах как âЭкономическофилософские рукописи 1844 годаâ âСвятое семействоâ âНемецкая идеологияâ а в...
32992. Марксистская концепция общественного развития 22.24 KB
  Подобно Гегелю марксисты рассматривают мировую историю как единый закономерный процесс а исторический материализм призван изучать наиболее общие законы развития человеческого общества. Естественно что вначале эти идеи выступали как гипотезы а затем по мере развития социальной науки сами основоположники и их последователи в первую очередь советские обществоведы превратили ее в хорошо структурированную и аргументированную социальную теорию. В своем основном труде Капитал Маркс осуществил детальный анализ капиталистического общества...
32993. Как выглядит цивилизационная модель философии истории Освальда Шпенглера 16.52 KB
  Ожидается как он полагал появление русскосибирской культуры. В основе каждой культуры лежит душа а культура это символическое тело жизненное воплощение этой души. Так непредсказуемое неспланированное рождение конкретной культуры он связывает с хаотическим проявлением таинственности душевной жизни. Зато поэтапное становление культуры проходящей как и человек свои возрастные ступени Шпенглер склонен связывать со спиралью.
32994. ТИПЫ СОЦИАЛЬНОЙ ДИНАМИКИ 41.62 KB
  Конт который и ввел этот термин в научный оборот подразумевал под ним однонаправленные поступательные процессы общественного развития исключающие скачки и перерывы. Между тем понятие социальная динамика отражает определенную и весьма существенную сторону общественного развития в целом. ЦИКЛИЧЕСКИЙ ТИП СОЦИАЛЬНОЙ ДИНАМИКИ В общественной жизни широко распространены циклические процессы имеющие собственную логику развития и специфические формы реализации. Они не могут быть сведены к случайным и кратковременным явлениям в наступательном...
32996. Интерфейс для офисного служащего 276.5 KB
  Выводится критерий для оценки качества интерфейса. Создается прототип интерфейса с шаблонами основных частозаполняемых документов для офисного служащего, удовлетворяющий полученному критерию. Проводится пилотный эксперимент для оценки работоспособности интерфейса.
32997. Философская концепция человека 20.64 KB
  Б Жизнь человека подчиняется биологическим законам Биоорганизация человека есть результат развития длинного ряда его предков животное обезъяналюди гомениды современный человек Человек в отличие от животных имеет такие биологические структуры которые служат материальными предпосылками для развития чисто человеческих особенностей: возникают органы позволяющие человеку трудиться рука мозг и прямая походка 2. Человек обладает качественными надбиологическими образованиями которые формируют социальную характеристику человека....