85898

ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ С ОДНИМ НЕИЗВЕСТНЫМ

Лабораторная работа

Математика и математический анализ

Всякое значение при котором называется корнем уравнения . для каждого корня уравнения существует окрестность не содержащая других корней этого уравнения. Приближенное нахождение изолированных действительных корней уравнения обычно складывается из двух этапов: отделение корней т. установление малых промежутков в которых содержится один и только один корень уравнения .

Русский

2015-03-31

255 KB

4 чел.

ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ С ОДНИМ НЕИЗВЕСТНЫМ

Пусть дано уравнение , где функция  определена и непрерывна в некотором конечном или бесконечном интервале .

Всякое значение , при котором , называется корнем уравнения .

Будем предполагать, что уравнение     имеет лишь изолированные корни, т. е. для каждого корня уравнения  существует окрестность, не содержащая других корней этого уравнения.

Приближенное нахождение изолированных действительных корней уравнения  обычно складывается из двух этапов:

  1.  отделение корней, т. е. установление малых промежутков , в которых содержится один и только один корень уравнения .
  2.  вычисление каждого отделенного корня с заданной точностью .

Для отделения корней будет полезно следующее утверждение: если - непрерывная, строго монотонная функция и , то на отрезке существует корень уравнения .

Укажем следующие три способа отделения корня для случая :

1) Составляется таблица значений функции  на промежутке изменения аргумента , и если окажется, что для соседних значений аргументов значения функции имеют разные знаки, то корень уравнения  находится между ними.

2) Строится график функции  на промежутке изменения аргумента; тогда искомые корни находятся в некоторых окрестностях точек пересечения графика с осью .

3) Уравнение  заменяется равносильным: . Строятся графики функций  и ; тогда искомые корни находятся в некоторых окрестностях проекций на ось  точек пересечения этих графиков.

Рассмотрим наиболее распространенные методы вычисления корней.

Метод бисекции (метод половинного деления)

Пусть мы отделили корень на отрезке . Разделим отрезок  пополам точкой . Если , то возможны два случая: либо  меняет знак на отрезке , либо на отрезке . Выбираем в каждом случае тот из отрезков, на котором функция меняет знак, и продолжаем процесс деления до тех пор, пока , где - точность.

Метод касательных (метод Ньютона)

Пусть мы отделили корень на отрезке . Производные  и сохраняют знак на всем интервале . Проведем касательную в точке . Для того, чтобы точка пересечения касательной с осью OX лежала внутри отрезка , касательную надо проводить в точке , где знаки  и второй производной  одинаковы. Иными словами, должно выполняться условие: для x=. Новое значение приближенного корня вычисляем по формуле:

, .

Процесс продолжаем до тех пор, пока, где - точность.

Метод хорд

Пусть мы отделили корень на отрезке . В данном методе процесс итераций состоит в том, что в качестве приближений к корню уравнения принимаются значения  точек пересечения хорды с осью абсцисс.

Метод хорд является методом исключения интервалов. Пусть f(a)=A и f(b)=B. Построим хорду AB, точкой пересечения с осью абсцисс она поделит отрезок на две части. Выбираем ту часть, на границах которой функция имеет разный знак, и снова строим хорду, находим точку её пересечения с осью абсцисс и получаем новое приближение корня. Каждое новое значение приближения корня находится по формуле:

Процесс продолжаем до тех пор, пока, где - точность.

Лабораторная работа №2

Задания: Найти корень данного уравнения  (см. таблицу) с точностью до :

  1.  методом бисекции;
  2.  методом касательных;
  3.  методом хорд.

Порядок выполнения работы:

  1.  Отделить корень уравнения.
  2.  Вычислить корень заданного уравнения методом бисекции. Для этого вычислить итерации до тех пор, пока , где - точность.
  3.  Вычислить корень заданного уравнения  методом касательных.
  4.  Сравнить результаты вычислений по методам бисекции и Ньютона по количеству итераций.
  5.  Вычислить корень заданного уравнения  методом хорд.

Данные к заданию:

варианта

Уравнение

варианта

Уравнение

1

7

2

8

3

9

4

10

5

11

6

12


Y

X

a

b

Y

X

a

b=x0

x1

Y

X

a

b

x0

A

B


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

23343. Создание структуры базы данных в СУБД FoxPro 118.5 KB
  Лабораторная работа №2: Создание структуры базы данных в СУБД FoxPro По дисциплине: Базы данных. Цели работы: изучить типы данных FoxPro; научиться создавать структуру базы данных; заполнить таблицы данными. Задание: Создайте структуру базы данных в соответствии с вашей темой расчетнографического задания. Изучите возможности среды СУБД FoxPro for Windows для создания структуры базы данных.
23344. Сортировка и индексирование баз данных 87 KB
  Лабораторная работа №3: Сортировка и индексирование баз данных По дисциплине: Базы данных. Задание: Выполните сортировку по одному полю базы данных содержащей не менее 15 записей. Повторите сортировку для полей содержащих разные типы данных. Просмотрите результат сортировки в новой базе данных.
23345. рогнозирование периодичности технического обслуживания (межремонтной цикла tM ) для ансамбля однотипных мащин 44 KB
  16 ТМ 93 98 102 Данные для расчетов: Варианты 1 2 3 tk время измерения выходного параметра час 10 10 10 up предельное значение 100 150 200 u1 измеренные значения 9.5 155 21 u2 измеренные значения 12 165 19 u3 измеренные значения 11 14 23 u4 измеренные значения 105 145 22 u5 измеренные значения 85 15 17 u6 измеренные значения 9 15 20 u7 измеренные значения 95 135 21 u8 измеренные значения 10 157 15 u9 измеренные значения 105 153 24 u10 измеренные значения 95 15 18.
23346. Прогнозирование параметра технического состояния конкретного элемента по его реализации 78 KB
  Устинова Основы эксплуатации техники ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 5 Прогнозирование параметра технического состояния конкретного элемента по его реализации Выполнил: Студент группы ВЕ187 Устюжанцев А. Этап 1 Аппроксимация изменения параметра степенной функцией вида: u0t = v0 t 1 Построить графики опытных данных и усредненной аппроксимирующей кривых Указание: Использовать метод МНК реализованный в Excel Этап 2 Определение...
23347. Определение точечных оценок для мат.ожидания и дисперсии выборки 120 KB
  ожидания и дисперсии выборки. Проверка выборки на обнаружение грубых погрешностей. При обнаружении промахов они отбрасываются из выборки после чего все вычисления начиная с п. Проверка выборки на нормальность.
23348. Найти точечные оценки для ресурса 247.5 KB
  Проверяемая гипотеза состоит в том что результат измерения Xk не содержит грубой погрешности. Для проверки гипотезы составим величины = 1504454 ; = 2772253; 4 Для обнаружения грубых погрешностей используется критерий Романовского заключающийся в том что промахами считаются те измерения для которых выполняется неравенство: 5 После выброса промахов из выборки все расчеты по пп. Напоминание Интервальная оценка...
23349. Определение долговечности машины по оптимальному технико-экономическому критерию 44.5 KB
  Для трех величин первоначальной стоимости машины S руб и двух значений n n=n1 n=n2 данные для которых указаны в таблице определить оптимальную долговечность машины. z1 = S t руб ч Вычислить функцию z1t для области времен t =[10 1000 ] час с шагом 10час. n = 2 n = 2 n = 2 n=3 n=3 n=3 S1 S2 S3 S1 S2 S3 Долговечность час 320 450 1000 40 50 80 Удельные затраты руб час 32625 4572222 10100 20600 32600 94600 Провести анализ...
23350. Свободные колебания в R - L - C контуре 2.98 MB
  Цель работы: изучение влияния сопротивления электрического контура на характер свободных колебаний в нем и параметры затухания. Величина называется частотой затухающих колебаний. При  02 0 период затухающих колебаний практически можно вычислять по формуле : при этом погрешность вычисления периода будет менее 2 . 2 приведен график изменения заряда конденсатора от времени уравнение 4 из которого видно что амплитуда затухающих колебаний уменьшается во времени по экспоненциальному закону со скоростью определяемой...
23351. ЯВЛЕНИЕ РЕЗОНАНСА В ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОМ КОЛЕБАТЕЛЬНОМ КОНТУРЕ 207.5 KB
  2 Поскольку уравнение 2 можно записать в виде: 3 где =R 2L величина называемая коэффициентом затухания 02 = 1 LC собственная частота колебаний контура. При малых коэффициентах затухания 0 можно считать что резонансная частота приблизительно равна собственной частоте колебаний контура. Параметры резонансной кривой очень удобно выражать через величину добротности контура Q.