85898

ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ С ОДНИМ НЕИЗВЕСТНЫМ

Лабораторная работа

Математика и математический анализ

Всякое значение при котором называется корнем уравнения . для каждого корня уравнения существует окрестность не содержащая других корней этого уравнения. Приближенное нахождение изолированных действительных корней уравнения обычно складывается из двух этапов: отделение корней т. установление малых промежутков в которых содержится один и только один корень уравнения .

Русский

2015-03-31

255 KB

4 чел.

ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ С ОДНИМ НЕИЗВЕСТНЫМ

Пусть дано уравнение , где функция  определена и непрерывна в некотором конечном или бесконечном интервале .

Всякое значение , при котором , называется корнем уравнения .

Будем предполагать, что уравнение     имеет лишь изолированные корни, т. е. для каждого корня уравнения  существует окрестность, не содержащая других корней этого уравнения.

Приближенное нахождение изолированных действительных корней уравнения  обычно складывается из двух этапов:

  1.  отделение корней, т. е. установление малых промежутков , в которых содержится один и только один корень уравнения .
  2.  вычисление каждого отделенного корня с заданной точностью .

Для отделения корней будет полезно следующее утверждение: если - непрерывная, строго монотонная функция и , то на отрезке существует корень уравнения .

Укажем следующие три способа отделения корня для случая :

1) Составляется таблица значений функции  на промежутке изменения аргумента , и если окажется, что для соседних значений аргументов значения функции имеют разные знаки, то корень уравнения  находится между ними.

2) Строится график функции  на промежутке изменения аргумента; тогда искомые корни находятся в некоторых окрестностях точек пересечения графика с осью .

3) Уравнение  заменяется равносильным: . Строятся графики функций  и ; тогда искомые корни находятся в некоторых окрестностях проекций на ось  точек пересечения этих графиков.

Рассмотрим наиболее распространенные методы вычисления корней.

Метод бисекции (метод половинного деления)

Пусть мы отделили корень на отрезке . Разделим отрезок  пополам точкой . Если , то возможны два случая: либо  меняет знак на отрезке , либо на отрезке . Выбираем в каждом случае тот из отрезков, на котором функция меняет знак, и продолжаем процесс деления до тех пор, пока , где - точность.

Метод касательных (метод Ньютона)

Пусть мы отделили корень на отрезке . Производные  и сохраняют знак на всем интервале . Проведем касательную в точке . Для того, чтобы точка пересечения касательной с осью OX лежала внутри отрезка , касательную надо проводить в точке , где знаки  и второй производной  одинаковы. Иными словами, должно выполняться условие: для x=. Новое значение приближенного корня вычисляем по формуле:

, .

Процесс продолжаем до тех пор, пока, где - точность.

Метод хорд

Пусть мы отделили корень на отрезке . В данном методе процесс итераций состоит в том, что в качестве приближений к корню уравнения принимаются значения  точек пересечения хорды с осью абсцисс.

Метод хорд является методом исключения интервалов. Пусть f(a)=A и f(b)=B. Построим хорду AB, точкой пересечения с осью абсцисс она поделит отрезок на две части. Выбираем ту часть, на границах которой функция имеет разный знак, и снова строим хорду, находим точку её пересечения с осью абсцисс и получаем новое приближение корня. Каждое новое значение приближения корня находится по формуле:

Процесс продолжаем до тех пор, пока, где - точность.

Лабораторная работа №2

Задания: Найти корень данного уравнения  (см. таблицу) с точностью до :

  1.  методом бисекции;
  2.  методом касательных;
  3.  методом хорд.

Порядок выполнения работы:

  1.  Отделить корень уравнения.
  2.  Вычислить корень заданного уравнения методом бисекции. Для этого вычислить итерации до тех пор, пока , где - точность.
  3.  Вычислить корень заданного уравнения  методом касательных.
  4.  Сравнить результаты вычислений по методам бисекции и Ньютона по количеству итераций.
  5.  Вычислить корень заданного уравнения  методом хорд.

Данные к заданию:

варианта

Уравнение

варианта

Уравнение

1

7

2

8

3

9

4

10

5

11

6

12


Y

X

a

b

Y

X

a

b=x0

x1

Y

X

a

b

x0

A

B


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

84667. Разнообразие растений 18.58 KB
  Задачи: Обобщить знания учащихся о разнообразии и жизни растений. Дети называют соответствующие группы растений и в результате рядом с фотографией появляются названия групп Дети высказывают свои предположения. Изучить эти группы растений.
84668. Звуки т, т. Буква Т 18.76 KB
  Воспитательные: Воспитывать коммуникативные качества учащихся. Формировать потребности и способности к сотрудничеству при работе в парах. Развивающие: Развивать познавательный интерес, устойчивое внимание и память. Развивать интерес к самостоятельной деятельности, с целью поиска нужной информации.
84669. МНОГООБРАЗИЕ РЫБ. КЛАСС КОСТНЫЕ РЫБЫ 63.5 KB
  Цель: Продолжить работу по знакомству с многообразием рыб их приспособленностях к жизни в различных условиях водной среды; формировать умения сравнивать и описывать особенности строения рыб процессы жизнедеятельности познакомиться с наиболее распространёнными отрядами.
84670. Антонимы. Урок русского языка 18.37 KB
  Образовательные задачи: Обеспечить в ходе урока усвоение знаний по теме. Обеспечить формирование умения определять лексическое значение слова. Развивающие задачи: Развитие умения применять новые знания на практике. Формирование умения анализировать и обобщать знания по теме «Антонимы».
84671. Я и мои друзья 2.65 MB
  Цель: Осознание собственного влияния на друзей и значимости их в своей жизни. Задачи: Содействовать раскрытию участников и установлению доверительных отношений. Формировать способность чувствовать состояние другого человека, понимать его мысли и поступки.
84672. Розбір прислівника як частини мови. Систематизація вивченого про прислівник 19.3 KB
  Мета: узагальнити й систематизувати знання семикласників з розділу Прислівник його вживання і правопис сформувати цілісну систему особистих знань учнів з теми структурувати вивчений теоретичний матеріал удосконалювати орфографічні вміння й навички...
84673. Интеллектуальный конкурс «Своя игра» 52.5 KB
  Цель: повторение и обобщение изученного материала; развивать интеллектуальные способности учащихся; воспитывать уважительное отношение к истории. Сегодняшнюю встречу мы начнем словами Ильяса Есенберлина «Любовь к своему Отечеству – это то, что делает нацию нацией, а человека гражданином»
84674. Здоров’я – найцінніший скарб 87 KB
  Мета: узагальнити знання учнів про здоров’я, формувати бажання вести здоровий спосіб життя, поглибити знання учнів про шкідливі звички та їх вплив на здоров’я, виховувати почуття відповідальності за збереження свого здоров’я.