85947

Разложение непрерывного сигнала в обобщенный ряд Фурье

Курсовая

Математика и математический анализ

Найти отрезок ряда таким образом, чтобы энергия погрешности приближения сигнала этим отрезком не превышала 2% от энергии сигнала. Составить таблицу зависимости энергии погрешности оценки сигнала от количества слагаемых полученного отрезка ряда (от одного слагаемого до всех подcчитанных).

Русский

2015-04-01

771 KB

2 чел.

PAGE   \* MERGEFORMAT 22

Министерство Образования и Науки Украины

Севастопольский национальный технический университет

Кафедра технической кибернетики

Курсовая работа

по дисциплине

“Специальные разделы математики ”

                                                                        

         

                                                                        Студент                          Литус И.В.

                                                                        Группа                                    А-22д

                                                                        Вариант задания                       №22

                                         Руководитель             Крамарь В.А.

Дата защиты_________ Оценка        ______

                               

Севастополь-2011г.

СОДЕРЖАНИЕ

[0.0.1] 1.3 Расчет проекции сигнала Y на подпространство L в базисе x1,x2,x3

[0.0.2] Нахождение проекции сигнала Y на подпространство L{X1, X2, X3} на ортонормированном базисе

[0.0.3] Оригинал собственного стабилизированного движения.

[0.0.3.1] ПЕРЕЧЕНЬ ССЫЛОК

1 КОНЕЧНОМЕРНЫЕ ПОДПРОСТРАНСТВА НЕПРЕРЫВНЫХ СИГНАЛОВ

В задании рассматривается пространство непрерывных сигналов, заданных на отрезке времени Q =[tнач, tкон] и принимающих действительные значения R. В таблице 1 приведены отрезки времени Q в соответствии с вариантом задания и сигналы Х1, Х2, Х3, Y. В задании необходимо провести исследование конечномерного линейного подпространства сигналов L = L {X1, X2, X3}, порожденного заданными сигналами Х1, Х2, Х3. Необходимо выполнить следующие пункты задания:

  1.  Проверить на линейную зависимость сигналы Х1, Х2, Х3 с помощью матрицы Грамма, определить размерность подпространства L = L {X1, X2, X3}.
  2.  Найти ортонормированный базис подпространства L с помощью метода Грамма-Шмидта. Построить графики сигналов исходного и ортонормированного базисом подпространства L.

Найти проекцию сигнала Y на подпространство L {X1, X2, X3} двумя способами: на исходном и на ортонормированном базисах.

Вычислить энергию и норму сигнала Y, его проекции на подпространство L и его перпендикуляра L. Оценить ошибку приближения сигнала Y его проекций на L как отношения нормы перпендикуляра к норме Y, выраженное в процентах.

Построить графики сигнала Y , его проекции к подпространству L и его перпендикуляра L. Оценить ошибку приближения как отношение максимальных по модулю значений перпендикуляра  и оцениваемого сигналов, выраженное в процентах.

Таблица 1. Варианты исходных данных к заданию 1.

N

tнач

tкон

X1

X2

X3

Y

22

0

2

1

t-1

2t

2et

1.1   Проверка на линейную зависимость сигналов X1, X2, X3 с помощью

матрицы Грама.

Для того, чтобы сигналы были линейно независимы необходимо и достаточно, чтобы определитель матрицы Грама был не равен нулю.

Составим матрицу Грама:

Где выражение (хi, хi ) есть скалярное произведение непрерывных сигналов.

Скалярное произведение непрерывных сигналов вычисляется по формуле (1.1):

                                                                                                                                            (1.1)

       Составим матрицу Грама:

Так как определитель матрицы Грама отличен от нуля, то сигналы x1, x2, x3 являются линейно независимыми  и, следовательно, размерность подпространства сигналов

L = L{x1, x2, x3} равняется 3.

1.2 Определение ортонормированного базиса подпространства L с помощью метода Грамма-Шмидта. Построение графиков сигналов исходного и ортонормированного базисом подпространства L.

Расчет базисного сигнала U1.

Найдем квадратичую норму сигнала X1 по формуле (1.2)     

                                                                                                                    (1.2)

норма сигнала Х1 будет равна:      

                                               

Сигнал U1 находится по формуле (1.3):

                                                                                                            (1.3)

Найдем сигнал U2. Для этого найдем вектор ошибки приближения X2, затем найдем норму сигнала ошибки и по формуле (1.3) вычислим сигнал U2:

Вектор ошибки:

Норма сигнала ошибки:

Найдем сигнал U3:

Найдем сигнал U3. Для этого найдем вектор ошибки приближения X3, затем найдем норму сигнала ошибки и по формуле (1.3) вычислим сигнал U3:

Вектор ошибки:

Норма сигнала ошибки:

Найдем сигнал U3:

Для проверки ортогональности базиса построим матрицу Грама

Найдем элементы матрицы Грамма, используя формулу (1.1)

Составим матрицу Грама:

Так как матрица Грама – единичная, то базис является ортогональным.

       Построим графики сигналов исходного и ортонормированного базисов подпространства L.

       

Исходный базис:

Рисунок 1.1- Зависимость сигналов X1,X2,X3 от независимой переменной t

Ортонормированный базис:

Рисунок 1.2-Зависимость сигналов U1,U2,U3 от независимой переменной t

1.3 Расчет проекции сигнала Y на подпространство L в базисе x1,x2,x3

Найдем проекцию сигнала Y на подпространство L {X1, X2, X3} на исходном базисе:

Найдем скалярные произведения по формуле 1:

Решая данную систему уравнений , находим коэффициенты :

Нахождение проекции сигнала Y на подпространство L{X1, X2, X3} на ортонормированном базисе

Как видно проекции сигнала Y на подпространство L в обоих базисах равны.

1.4 Вычисление энергии и нормы сигнала Y, его проекции на подпространство L и его перпендикуляра L. Оценка ошибки приближения сигнала Y его проекций на L как отношения нормы перпендикуляра к норме Y, выраженной в процентах.

Найдем энергию и норму сигнала Y

Найдем  энергию и норму проекции сигнала Y на подпространство L

Вычислим энергию и норму ошибки сигнала Y на подпространство L

Рассчитаем ошибку приближения сигнала  Y его перпендикуляра на подпространство L

1.5 Графики сигнала Y(t), его проекции на подпространство L и его перпендикуляра

Рисунок 1.3


2 РАЗЛОЖЕНИЕ НЕПРЕРЫВНОГО СИГНАЛА В ОБОБЩЕННЫЙ РЯД ФУРЬЕ

  1.  Найти отрезок ряда таким образом, чтобы энергия погрешности приближения сигнала этим отрезком не превышала 2% от энергии сигнала. Составить таблицу зависимости энергии погрешности оценки сигнала от количества слагаемых полученного отрезка ряда (от одного слагаемого до всех подcчитанных).

Построить график сигнала X(t), а также всех его приближений отрезками ряда, приведенными в таблице предыдущего пункта. Отдельно построить графики сигналов погрешности приближения сигнала отрезками ряда и провести их исследование, применяя при этом в качестве критерия ошибки  приближения Чебышевскую (равномерную) норму.

Вариант задания:

№ п/п

Сигнал X(t)

Ряд

tнач

tкон

22

Фурье

Коэффициенты для разложения в ряд Фурье:

                                            

,        где     T=tкон-tнач=       

   Следовательно, ряд Фурье представлен формулой:

  

2.1  Нахождение отрезка ряда, удовлетворяющего заданным требованиям

Ряд Фурье:

        

Ошибка приближения в общем случае равна:

 следовательно, можно записать:

Найдем энергии:

             Энергия сигнала:

             Энергия ошибки приближения:

             

Оценка:

                          

,

Где  X(t)  -cигнал

       X2(t)-разложение в ряд Фурье

       X3(t)-ошибка

Ошибка > 2%

     

Где  X(t)  -cигнал

       X2(t)-разложение в ряд Фурье

       X3(t)-ошибка

Ошибка > 2%

  

Где  X(t)  -cигнал

       X2(t)-разложение в ряд Фурье

       X3(t)-ошибка

Ошибка > 2%

    

Где  X(t)  -cигнал

       X2(t)-разложение в ряд Фурье

       X3(t)-ошибка

Ошибка > 2%

Где  X(t)  -cигнал

       X2(t)-разложение в ряд Фурье

       X3(t)-ошибка

Ошибка > 2%

Где  X(t)  -cигнал

       X2(t)-разложение в ряд Фурье

       X3(t)-ошибка

   

 Энергия погрешности приближения сигнала этим отрезком не превышает 2% от энергии сигнала.

    Составим таблицу зависимости энергии погрешности оценки сигнала от количества слагаемых полученного ряда:

Энергия

погрешности

Количество слагаемых

0,271

1

0,112

2

0,076

3

0,076

4

0,063

5

0,046

6

По табличным значениям построим график зависимости погрешности энергии от количества слагаемых ряда Фурье:

3 ПРИМЕНЕНИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ЛАПЛАСА К РЕШЕНИЮ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

  1.  Найти изображение Y(s)  решений систем дифференциальных уравнений при значении коэффициентов уравнений, начальных условиях и внешних возмущениях, приведенных в таблицах 3 , 4. Выделить в этих изображениях составляющие:

- вызванными начальными условиями – изображение собственного движения;

- вызванные внешним возмущением (отдельно f1 и f2 ) – изображения вынужденного движения.

Представить на комплексной плоскости расположение особых точек изображений и по ним сделать выводы о характере решений.

  1.  По изображениям,  полученным в пункте 1 найти оригиналы собственного и вынужденного движений. Построить графики на отрезке времени  0 < t < 100 секунд этих процессов и сравнить с выводами о характере процессов, сделанными в пункте 1.

Найти коэффициенты обратной связи, обеспечивающие значение собственных чисел системы дифференциальных уравнений, заданные в таблице 5. Подставить полученные значения в уравнения.

Выполнить пункты 1, 2 настоящего задания теперь для системы с обратной связью, описывающей движение стабилизированного самолета.

Таблица 3.

N

ayf

afg

agg

agu

Y0

f0

g0

22

2,6

0,055

-0,075

0,075

40

0

-1

 

Таблица 4

N

f1(t)

f2(t)

22

1(t-25)-1(t-30)

Sin 0.25t

 

Таблица 5.

N

Собственные числа систем уравнений

S1, S2

S3

22

-0.15

-0.075

3.1  Решение системы дифференциальных уравнений, и разложение движения самолета на собственное и вынужденное.

Исходная система уравнений выглядит следующим образом:

Для нахождения решения преобразуем по Лапласу исходную систему уравнений. Преобразованием по Лапласу называют функцию комплексной переменной , определяемую соотношением . Получим систему линейных алгебраических уравнений следующего вида:

Из последнего уравнения СЛАУ выразим функцию g(S).

Полученное выражение для g(S) подставим во второе уравнение СЛАУ и выразим из него f(S):

Подставим это выражение в первое уравнение СЛАУ и получим изображение функции y(t):

В полученном изображении выделим изображения собственного и вынужденного движений самолета:

В задании приведены 2 вида внешних возмущений: ступенчатое (функция f1(t)) и гармоническое (функция f2(t)).

Найдем их изображения и подставим в изображение вынужденного движения.

Тогда

Для исследования характера собственного движения найдем особые точки его изображения:

S1 = 0 - полюс кратности 2.

S2=-0,075 - простой полюс.

С учетом кратности полюсов оригинал будет выглядеть следующим образом:. Следовательно, система является неустойчивой. Отсутствие комплексных корней характеристического многочлена говорит об апериодическом характере движения системы.

Найдем особые точки вынужденного движения для первого случая.

S1 =-0.075 - простой полюс.

S2 = 0 полюс кратности 2.

С учетом кратности полюсов оригинал будет выглядеть следующим образом:. Следовательно, система является неустойчивой. Отсутствие комплексных корней характеристического многочлена говорит об апериодическом характере движения системы.

Найдем особые точки вынужденного движения для второго случая

S1 = 0 –полюс кратности 2.

S2 =-0.075 – простой полюс.

S3,4 = ± 0.25j– пара мнимых комплексно-cопряженных корней.

          

Оригинал вынужденного движения будет иметь следующий вид:

. Система является неустойчивой. Наличие комплексных корней говорит о колебательном характере движения системы.

Для нахождения функций собственного и вынужденного движений системы необходимо выполнить для изображений обратное преобразование Лапласа.

Рисунок 3.1 – Собственное движение самолета

               

Рисунок 3.2 –Вынужденное движение самолета (1 случай)

Рисунок 3.3 – Вынужденное движение самолета (2 случай)

3.2.Решение системы дифференциальных уравнений с учетом коэффициентов обратной связи, разложение движения самолета на собственное и вынужденное. Нахождение коэффициентов обратной связи.

В систему вводится еще одно уравнение с коэффициентами обратной связи вида:

В результате получается система следующего вида:

Перейдем к СЛАУ при помощи преобразования Лапласа:

Подставим выражение для u(S) в третье уравнение и выразим оттуда g(S):

                             (3.1)

Подставим формулу (3.1) во второе уравнение и выразим f(S):

                   (3.2)

Формулу (3.2) подставим в первое уравнение и получим после несложных преобразований выражение для y(S):

(3.3)

В соответствии с данными варианта задания преобразуем выражение (3.3) к следующему виду:

(3.4)        

По условию знаменатель данного выражения  имеет корни S1,2 =,

S3 = -0.075.

С учетом этого знаменатель может быть представлен в следующем виде:

Так как полученное выражение для знаменателя и исходное тождественно равны, то для нахождения коэффициентов обратной связи можно приравнять коэффициенты при одинаковых степенях S. Получим СЛАУ следующего вида:

                                           (3.5)

Решив систему (3.5), получим значения коэффициентов обратной связи.

Учитывая рассчитанные коэффициенты обратной связи выражение для y(S) можно записать в виде:


                                (3.6)

Выражение (3.6) разобьем на собственное и вынужденное движение:

 

Изображения функции v(S) представляются в следующем виде:

Тогда изображение вынужденного движения примет вид:

Оригинал собственного стабилизированного движения.

S=-0.075 – простой полюс

S=-0.015 – полюс кратности 2.

Выполняя обратное преобразование Лапласа, получим:

 

Рисунок 3.4 – Собственное движение самолета

Оригинал вынужденного стабилизированного движения (случай 1)

S=0 – простой полюс.

S= - 0.075 – простой полюс.

S= - 0.015 – полюя кратности 2.

 

Рисунок 3.5 – Вынужденное движения самолета (1 случай).

Оригинал вынужденного стабилизированного движения (случай 2)

S=-0.075 – простой полюс

S=-0.015 – полюс кратности 2.

S2,3=±0.25j – комплексные корни

Рисунок 3.6 – Вынужденное движения самолета(2 случай)

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В ходе выполнения курсовой работы закрепили полученный в лекциях материал о независимости сигналов, о рядах Фурье, о разложение  непрерывного сигнала в обобщенный ряд Фурье, о приемах решения систем дифференциальных уравнений операторным методом. Были получены такие результаты:

  •  При исследовании поведения сигнала в ортонормированном и исходном базисах, он ведет себя одинаково и  в исходном и в ортонормированном. Это подтверждает то теоретическое положение, что проекция любого сигнала одинакова во всех любых базисах.
  •  При исследовании разложения сигнала в ряд Фурье, было замечено, что ошибка разложения, оцененная через норму Чебышева, стремится к нулю. Таким образом, мы практически убедились в соответствии ряда Фурье сигналу, который этим рядом представляется.
  •  При исследовании преобразования Лапласа, применительно к решению систем дифференциальных уравнений, было замечено, что с введением стабилизирующих коэффициентов, колебательные процессы в системе становятся установившимися, а процессы, стремящиеся к бесконечности, устанавливаются.

ПЕРЕЧЕНЬ ССЫЛОК

1. Математические основы теории автоматического управления/ Под  ред.Чемоданова Б.К., т.1,2. - М.:Высшая школа, 1977.

2. Коршунов Ю.М. Математические основы кибенетики. -М.: Энегоиздат, 1987.

3. Агpанович Г.А.,Гpушун А.И. Методические указания к выполнению куpсовой pаботы по дисциплине "Математические основы теоpии систем" для студентов специальности "автоматика и упpавление в технических системах".- Севастополь, 1993.

4. Агранович Г.А., Крамарь В.А. Практикум к курсу "Математические основы теории систем". - Изд. СевГТУ, Севастополь, 1997.

5. Агранович Г.А., Крамарь В.А. Методические указания к выполнению контрольных работ по дисциплине "Специальные разделы математики". - Изд. СевГТУ,


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

10549. Методы воспитания. Императивные и игровые методы воспитания 78 KB
  Тема: Методы воспитания План. Понятие о методах воспитания. 2. Императивные и игровые методы воспитания. 1. Понятие о методах воспитания. Для формирования культурных отношений нормированных необходимо включать человека во взаимодействие с окружаю...
10550. Методика формирования коллектива из группы 146 KB
  Тема: Методика формирования коллектива из группы План 1. Примитивные межличностные реакции и их предпосылки. 2. Устройство и правила примитивной группы. 3. Методика формирования коллектива 4. Коллектив и личность Литература 1. Аникеева Н. П. Учителю о психолог...
10551. Адаптация, дезадаптация и реадаптация человека 77 KB
  Тема. Адаптация дезадаптация и реадаптация человека 1. Адаптация человека ее место и роль в социальном развитии социализации 2. Дезадаптация человека ее причины предупреждение и преодоление 3. Взаимосвязь адаптации и социализации дезадаптации и десоциализации их...
10552. Детская субкультура и социокультурный мир ребенка, подростка 92.5 KB
  Тема. Детская субкультура и социокультурный мир ребенка подростка 1. Истоки формирования понятий детскаясубкультура и социокультурный мир ребенка 2. Особенности проявления и необходимость учетасоциокультурного мира ребенка подростка ЛИТЕРАТУРА 1. Корча
10553. Социальные отклонения, их причины и пути преодоления 98.5 KB
  Тема. Социальные отклонения их причины и пути преодоления 1. Норма и патология в социальном развитии человекапричины социальных отклонений 2. Основные направления социальнопедагогической деятельности по профилактике и преодолению девиантного поведения детей и под
10554. Трудновоспитуемые дети: сущность, причины, проблемы 129.5 KB
  Тема. Трудновоспитуемые дети: сущность причины проблемы Понятие трудновоспитуемый в социальной педагогике; Типичные группы трудновоспитуемых и особенности воспитательной работы с ними Формы проявления трудновоспитуемое и проблемы воспитания трудно...
10555. Педагогика семейного воспитания 170.5 KB
  Тема. Педагогика семейного воспитания. План. Семья – социальный институт формирования личности. Воспитание детей в различных по структуре семьях. Ошибки семейного воспитания. Литература Аллан Фромм Азбука для родителей Лениздат 1999. Бендж
10556. Организация работы социального педагога с семьей 130 KB
  Тема. Организация работы социального педагога с семьей. План. Социальный статус семьи. Организация социальнопедагогической помощи семье. Формы социальнопедагогической помощи семье. Литература Азаров Ю. П. Семейная педагогика. М. 1989. ...
10557. Социально-педагогическая деятельность с детьми, оставшимися без попечения родителей 133 KB
  Тема. Социальнопедагогическая деятельность с детьми оставшимися без попечения родителей План. 1. Сущность причины пути решения проблем детей оставшихся без попечения родителей. Работа социального педагога с приемной семьей. 3. Работа социального педаг