85947

Разложение непрерывного сигнала в обобщенный ряд Фурье

Курсовая

Математика и математический анализ

Найти отрезок ряда таким образом, чтобы энергия погрешности приближения сигнала этим отрезком не превышала 2% от энергии сигнала. Составить таблицу зависимости энергии погрешности оценки сигнала от количества слагаемых полученного отрезка ряда (от одного слагаемого до всех подcчитанных).

Русский

2015-04-01

771 KB

3 чел.

PAGE   \* MERGEFORMAT 22

Министерство Образования и Науки Украины

Севастопольский национальный технический университет

Кафедра технической кибернетики

Курсовая работа

по дисциплине

“Специальные разделы математики ”

                                                                        

         

                                                                        Студент                          Литус И.В.

                                                                        Группа                                    А-22д

                                                                        Вариант задания                       №22

                                         Руководитель             Крамарь В.А.

Дата защиты_________ Оценка        ______

                               

Севастополь-2011г.

СОДЕРЖАНИЕ

[0.0.1] 1.3 Расчет проекции сигнала Y на подпространство L в базисе x1,x2,x3

[0.0.2] Нахождение проекции сигнала Y на подпространство L{X1, X2, X3} на ортонормированном базисе

[0.0.3] Оригинал собственного стабилизированного движения.

[0.0.3.1] ПЕРЕЧЕНЬ ССЫЛОК

1 КОНЕЧНОМЕРНЫЕ ПОДПРОСТРАНСТВА НЕПРЕРЫВНЫХ СИГНАЛОВ

В задании рассматривается пространство непрерывных сигналов, заданных на отрезке времени Q =[tнач, tкон] и принимающих действительные значения R. В таблице 1 приведены отрезки времени Q в соответствии с вариантом задания и сигналы Х1, Х2, Х3, Y. В задании необходимо провести исследование конечномерного линейного подпространства сигналов L = L {X1, X2, X3}, порожденного заданными сигналами Х1, Х2, Х3. Необходимо выполнить следующие пункты задания:

  1.  Проверить на линейную зависимость сигналы Х1, Х2, Х3 с помощью матрицы Грамма, определить размерность подпространства L = L {X1, X2, X3}.
  2.  Найти ортонормированный базис подпространства L с помощью метода Грамма-Шмидта. Построить графики сигналов исходного и ортонормированного базисом подпространства L.

Найти проекцию сигнала Y на подпространство L {X1, X2, X3} двумя способами: на исходном и на ортонормированном базисах.

Вычислить энергию и норму сигнала Y, его проекции на подпространство L и его перпендикуляра L. Оценить ошибку приближения сигнала Y его проекций на L как отношения нормы перпендикуляра к норме Y, выраженное в процентах.

Построить графики сигнала Y , его проекции к подпространству L и его перпендикуляра L. Оценить ошибку приближения как отношение максимальных по модулю значений перпендикуляра  и оцениваемого сигналов, выраженное в процентах.

Таблица 1. Варианты исходных данных к заданию 1.

N

tнач

tкон

X1

X2

X3

Y

22

0

2

1

t-1

2t

2et

1.1   Проверка на линейную зависимость сигналов X1, X2, X3 с помощью

матрицы Грама.

Для того, чтобы сигналы были линейно независимы необходимо и достаточно, чтобы определитель матрицы Грама был не равен нулю.

Составим матрицу Грама:

Где выражение (хi, хi ) есть скалярное произведение непрерывных сигналов.

Скалярное произведение непрерывных сигналов вычисляется по формуле (1.1):

                                                                                                                                            (1.1)

       Составим матрицу Грама:

Так как определитель матрицы Грама отличен от нуля, то сигналы x1, x2, x3 являются линейно независимыми  и, следовательно, размерность подпространства сигналов

L = L{x1, x2, x3} равняется 3.

1.2 Определение ортонормированного базиса подпространства L с помощью метода Грамма-Шмидта. Построение графиков сигналов исходного и ортонормированного базисом подпространства L.

Расчет базисного сигнала U1.

Найдем квадратичую норму сигнала X1 по формуле (1.2)     

                                                                                                                    (1.2)

норма сигнала Х1 будет равна:      

                                               

Сигнал U1 находится по формуле (1.3):

                                                                                                            (1.3)

Найдем сигнал U2. Для этого найдем вектор ошибки приближения X2, затем найдем норму сигнала ошибки и по формуле (1.3) вычислим сигнал U2:

Вектор ошибки:

Норма сигнала ошибки:

Найдем сигнал U3:

Найдем сигнал U3. Для этого найдем вектор ошибки приближения X3, затем найдем норму сигнала ошибки и по формуле (1.3) вычислим сигнал U3:

Вектор ошибки:

Норма сигнала ошибки:

Найдем сигнал U3:

Для проверки ортогональности базиса построим матрицу Грама

Найдем элементы матрицы Грамма, используя формулу (1.1)

Составим матрицу Грама:

Так как матрица Грама – единичная, то базис является ортогональным.

       Построим графики сигналов исходного и ортонормированного базисов подпространства L.

       

Исходный базис:

Рисунок 1.1- Зависимость сигналов X1,X2,X3 от независимой переменной t

Ортонормированный базис:

Рисунок 1.2-Зависимость сигналов U1,U2,U3 от независимой переменной t

1.3 Расчет проекции сигнала Y на подпространство L в базисе x1,x2,x3

Найдем проекцию сигнала Y на подпространство L {X1, X2, X3} на исходном базисе:

Найдем скалярные произведения по формуле 1:

Решая данную систему уравнений , находим коэффициенты :

Нахождение проекции сигнала Y на подпространство L{X1, X2, X3} на ортонормированном базисе

Как видно проекции сигнала Y на подпространство L в обоих базисах равны.

1.4 Вычисление энергии и нормы сигнала Y, его проекции на подпространство L и его перпендикуляра L. Оценка ошибки приближения сигнала Y его проекций на L как отношения нормы перпендикуляра к норме Y, выраженной в процентах.

Найдем энергию и норму сигнала Y

Найдем  энергию и норму проекции сигнала Y на подпространство L

Вычислим энергию и норму ошибки сигнала Y на подпространство L

Рассчитаем ошибку приближения сигнала  Y его перпендикуляра на подпространство L

1.5 Графики сигнала Y(t), его проекции на подпространство L и его перпендикуляра

Рисунок 1.3


2 РАЗЛОЖЕНИЕ НЕПРЕРЫВНОГО СИГНАЛА В ОБОБЩЕННЫЙ РЯД ФУРЬЕ

  1.  Найти отрезок ряда таким образом, чтобы энергия погрешности приближения сигнала этим отрезком не превышала 2% от энергии сигнала. Составить таблицу зависимости энергии погрешности оценки сигнала от количества слагаемых полученного отрезка ряда (от одного слагаемого до всех подcчитанных).

Построить график сигнала X(t), а также всех его приближений отрезками ряда, приведенными в таблице предыдущего пункта. Отдельно построить графики сигналов погрешности приближения сигнала отрезками ряда и провести их исследование, применяя при этом в качестве критерия ошибки  приближения Чебышевскую (равномерную) норму.

Вариант задания:

№ п/п

Сигнал X(t)

Ряд

tнач

tкон

22

Фурье

Коэффициенты для разложения в ряд Фурье:

                                            

,        где     T=tкон-tнач=       

   Следовательно, ряд Фурье представлен формулой:

  

2.1  Нахождение отрезка ряда, удовлетворяющего заданным требованиям

Ряд Фурье:

        

Ошибка приближения в общем случае равна:

 следовательно, можно записать:

Найдем энергии:

             Энергия сигнала:

             Энергия ошибки приближения:

             

Оценка:

                          

,

Где  X(t)  -cигнал

       X2(t)-разложение в ряд Фурье

       X3(t)-ошибка

Ошибка > 2%

     

Где  X(t)  -cигнал

       X2(t)-разложение в ряд Фурье

       X3(t)-ошибка

Ошибка > 2%

  

Где  X(t)  -cигнал

       X2(t)-разложение в ряд Фурье

       X3(t)-ошибка

Ошибка > 2%

    

Где  X(t)  -cигнал

       X2(t)-разложение в ряд Фурье

       X3(t)-ошибка

Ошибка > 2%

Где  X(t)  -cигнал

       X2(t)-разложение в ряд Фурье

       X3(t)-ошибка

Ошибка > 2%

Где  X(t)  -cигнал

       X2(t)-разложение в ряд Фурье

       X3(t)-ошибка

   

 Энергия погрешности приближения сигнала этим отрезком не превышает 2% от энергии сигнала.

    Составим таблицу зависимости энергии погрешности оценки сигнала от количества слагаемых полученного ряда:

Энергия

погрешности

Количество слагаемых

0,271

1

0,112

2

0,076

3

0,076

4

0,063

5

0,046

6

По табличным значениям построим график зависимости погрешности энергии от количества слагаемых ряда Фурье:

3 ПРИМЕНЕНИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ЛАПЛАСА К РЕШЕНИЮ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

  1.  Найти изображение Y(s)  решений систем дифференциальных уравнений при значении коэффициентов уравнений, начальных условиях и внешних возмущениях, приведенных в таблицах 3 , 4. Выделить в этих изображениях составляющие:

- вызванными начальными условиями – изображение собственного движения;

- вызванные внешним возмущением (отдельно f1 и f2 ) – изображения вынужденного движения.

Представить на комплексной плоскости расположение особых точек изображений и по ним сделать выводы о характере решений.

  1.  По изображениям,  полученным в пункте 1 найти оригиналы собственного и вынужденного движений. Построить графики на отрезке времени  0 < t < 100 секунд этих процессов и сравнить с выводами о характере процессов, сделанными в пункте 1.

Найти коэффициенты обратной связи, обеспечивающие значение собственных чисел системы дифференциальных уравнений, заданные в таблице 5. Подставить полученные значения в уравнения.

Выполнить пункты 1, 2 настоящего задания теперь для системы с обратной связью, описывающей движение стабилизированного самолета.

Таблица 3.

N

ayf

afg

agg

agu

Y0

f0

g0

22

2,6

0,055

-0,075

0,075

40

0

-1

 

Таблица 4

N

f1(t)

f2(t)

22

1(t-25)-1(t-30)

Sin 0.25t

 

Таблица 5.

N

Собственные числа систем уравнений

S1, S2

S3

22

-0.15

-0.075

3.1  Решение системы дифференциальных уравнений, и разложение движения самолета на собственное и вынужденное.

Исходная система уравнений выглядит следующим образом:

Для нахождения решения преобразуем по Лапласу исходную систему уравнений. Преобразованием по Лапласу называют функцию комплексной переменной , определяемую соотношением . Получим систему линейных алгебраических уравнений следующего вида:

Из последнего уравнения СЛАУ выразим функцию g(S).

Полученное выражение для g(S) подставим во второе уравнение СЛАУ и выразим из него f(S):

Подставим это выражение в первое уравнение СЛАУ и получим изображение функции y(t):

В полученном изображении выделим изображения собственного и вынужденного движений самолета:

В задании приведены 2 вида внешних возмущений: ступенчатое (функция f1(t)) и гармоническое (функция f2(t)).

Найдем их изображения и подставим в изображение вынужденного движения.

Тогда

Для исследования характера собственного движения найдем особые точки его изображения:

S1 = 0 - полюс кратности 2.

S2=-0,075 - простой полюс.

С учетом кратности полюсов оригинал будет выглядеть следующим образом:. Следовательно, система является неустойчивой. Отсутствие комплексных корней характеристического многочлена говорит об апериодическом характере движения системы.

Найдем особые точки вынужденного движения для первого случая.

S1 =-0.075 - простой полюс.

S2 = 0 полюс кратности 2.

С учетом кратности полюсов оригинал будет выглядеть следующим образом:. Следовательно, система является неустойчивой. Отсутствие комплексных корней характеристического многочлена говорит об апериодическом характере движения системы.

Найдем особые точки вынужденного движения для второго случая

S1 = 0 –полюс кратности 2.

S2 =-0.075 – простой полюс.

S3,4 = ± 0.25j– пара мнимых комплексно-cопряженных корней.

          

Оригинал вынужденного движения будет иметь следующий вид:

. Система является неустойчивой. Наличие комплексных корней говорит о колебательном характере движения системы.

Для нахождения функций собственного и вынужденного движений системы необходимо выполнить для изображений обратное преобразование Лапласа.

Рисунок 3.1 – Собственное движение самолета

               

Рисунок 3.2 –Вынужденное движение самолета (1 случай)

Рисунок 3.3 – Вынужденное движение самолета (2 случай)

3.2.Решение системы дифференциальных уравнений с учетом коэффициентов обратной связи, разложение движения самолета на собственное и вынужденное. Нахождение коэффициентов обратной связи.

В систему вводится еще одно уравнение с коэффициентами обратной связи вида:

В результате получается система следующего вида:

Перейдем к СЛАУ при помощи преобразования Лапласа:

Подставим выражение для u(S) в третье уравнение и выразим оттуда g(S):

                             (3.1)

Подставим формулу (3.1) во второе уравнение и выразим f(S):

                   (3.2)

Формулу (3.2) подставим в первое уравнение и получим после несложных преобразований выражение для y(S):

(3.3)

В соответствии с данными варианта задания преобразуем выражение (3.3) к следующему виду:

(3.4)        

По условию знаменатель данного выражения  имеет корни S1,2 =,

S3 = -0.075.

С учетом этого знаменатель может быть представлен в следующем виде:

Так как полученное выражение для знаменателя и исходное тождественно равны, то для нахождения коэффициентов обратной связи можно приравнять коэффициенты при одинаковых степенях S. Получим СЛАУ следующего вида:

                                           (3.5)

Решив систему (3.5), получим значения коэффициентов обратной связи.

Учитывая рассчитанные коэффициенты обратной связи выражение для y(S) можно записать в виде:


                                (3.6)

Выражение (3.6) разобьем на собственное и вынужденное движение:

 

Изображения функции v(S) представляются в следующем виде:

Тогда изображение вынужденного движения примет вид:

Оригинал собственного стабилизированного движения.

S=-0.075 – простой полюс

S=-0.015 – полюс кратности 2.

Выполняя обратное преобразование Лапласа, получим:

 

Рисунок 3.4 – Собственное движение самолета

Оригинал вынужденного стабилизированного движения (случай 1)

S=0 – простой полюс.

S= - 0.075 – простой полюс.

S= - 0.015 – полюя кратности 2.

 

Рисунок 3.5 – Вынужденное движения самолета (1 случай).

Оригинал вынужденного стабилизированного движения (случай 2)

S=-0.075 – простой полюс

S=-0.015 – полюс кратности 2.

S2,3=±0.25j – комплексные корни

Рисунок 3.6 – Вынужденное движения самолета(2 случай)

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В ходе выполнения курсовой работы закрепили полученный в лекциях материал о независимости сигналов, о рядах Фурье, о разложение  непрерывного сигнала в обобщенный ряд Фурье, о приемах решения систем дифференциальных уравнений операторным методом. Были получены такие результаты:

  •  При исследовании поведения сигнала в ортонормированном и исходном базисах, он ведет себя одинаково и  в исходном и в ортонормированном. Это подтверждает то теоретическое положение, что проекция любого сигнала одинакова во всех любых базисах.
  •  При исследовании разложения сигнала в ряд Фурье, было замечено, что ошибка разложения, оцененная через норму Чебышева, стремится к нулю. Таким образом, мы практически убедились в соответствии ряда Фурье сигналу, который этим рядом представляется.
  •  При исследовании преобразования Лапласа, применительно к решению систем дифференциальных уравнений, было замечено, что с введением стабилизирующих коэффициентов, колебательные процессы в системе становятся установившимися, а процессы, стремящиеся к бесконечности, устанавливаются.

ПЕРЕЧЕНЬ ССЫЛОК

1. Математические основы теории автоматического управления/ Под  ред.Чемоданова Б.К., т.1,2. - М.:Высшая школа, 1977.

2. Коршунов Ю.М. Математические основы кибенетики. -М.: Энегоиздат, 1987.

3. Агpанович Г.А.,Гpушун А.И. Методические указания к выполнению куpсовой pаботы по дисциплине "Математические основы теоpии систем" для студентов специальности "автоматика и упpавление в технических системах".- Севастополь, 1993.

4. Агранович Г.А., Крамарь В.А. Практикум к курсу "Математические основы теории систем". - Изд. СевГТУ, Севастополь, 1997.

5. Агранович Г.А., Крамарь В.А. Методические указания к выполнению контрольных работ по дисциплине "Специальные разделы математики". - Изд. СевГТУ,


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

28260. Эффект Плацебо 162.71 KB
  Про эффект плацебо. О важности впечатления которое производит врач. Плацебо терапия. Зачем глотать таблетку, если можно съесть конфетку. Фальшивки помогают вырабатывать гормон счастья. Плацебо вместо операции
28263. Функции внимания, его характеристики и методы диагностики 40.5 KB
  Функции внимания его характеристики и методы диагностики. Функции внимания: функция отбора значимых воздействий которые соответствуют потребностям данной деятельности; функция игнорирования других несущественных контролирующих воздействий; функция удержания сохранения выполняемой деятельности пока не будет достигнута цель т. Виды внимания: непроизвольное непреднамеренное произвольное преднамеренное Выделяют еще послепроизвольное внимание. Поддержание устойчивого произвольного внимания зависит от ряда условий.
28264. Операциональная природа мышления как процесса отражения связей иотношений. Виды мыслительных операций 62 KB
  Операциональная природа мышления как процесса отражения связей иотношений. Этот вид мышления онтогенетическиявляется первым. Понятие – единица мышления выражающая общие и наиболее существенные признаки предметов и явлений действительности. Это основной вид мышления.