86059

Прогнозная экстраполяция на основе линеаризованных трендов

Курсовая

Социология, социальная работа и статистика

В практике прогнозирования довольно часто встречаются случаи, когда трудно судить о линейности динамического исходного ряда. Используя МНК, можно построить практически любые формы нелинейной парной связи. Для этого используют линеаризующие преобразования, так как только линейные по параметрам...

Русский

2015-04-02

519.5 KB

5 чел.

PAGE  23

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБУЧЕНИЯ

Северо-Западный Заочный Технический Университет

Институт системного анализа, автоматики и управления 

кафедра системного анализа и прогнозирования

Курсовая работа
на тему:

Студента III курса

Научный руководитель:

шифр: 4880610032

Е.С. Голик

дневной формы обучения

Дунина А.О.

Санкт – Петербург

2007

«Прогнозная экстраполяция на основе линеаризованных трендов»

СОДЕРЖАНИЕ

Стр.


1. Постановка задачи

В качестве исходного динамического ряда, были взяты данные о расходной части бюджета города Москвы Российской Федерации за период с 2001 по 2006гг [2]. Данные целиком приведены в таблице 1.1.

Таблица 1.1.

Расходы (млрд. руб.)

185,374

253,114

314,949

370,715

428,067

561,187

года

2001

2002

2003

2004

2005

2006


2. Проверка гипотезы о наличии тенденции

Существует несколько способов проверки наличия тенденции.

Так как в исходной задаче отсутствует разброс уровней, мы используем метод проверки разностей средних уровней, который  позволяет нам проверить гипотезу о наличии тенденции в средних значениях динамического ряда.

Разбиваем динамический ряд на 2 части = 453,323,= 251,146.

Сумма всех значений 2113,41, число значений n=6, общая средняя х = 352,23.

(2.1)

Рассчитываем общую дисперсию по формуле (2.1) (сумма квадратов отклонений каждого значения от общей средней).

Получаем, что = 88810,957.

(2.2)

Подставляем найденные значения в формулу (2.2) и находим t раcчетное.
Получаем, что  =3,716.  Используя специальные таблицы процентных точек распределения Стьюдента, находим
t табличное. Для нашего примера: ,  = 2,7764 для Pg = 0,95 [1, с. 98].

Так, как , гипотеза о наличии тренда подтверждается.


3. Выбор по коэффициенту детерминации оптимальной прогнозной модели 

В практике прогнозирования довольно часто встречаются случаи, когда трудно судить о линейности динамического исходного ряда. Используя МНК, можно построить практически любые формы нелинейной парной связи. Для этого используют линеаризующие преобразования, так как только линейные по параметрам функции восстанавливаются с помощью метода наименьших квадратов (МНК). Широко распространены два вида преобразований: натуральный логарифм и обратное преобразование . Возможно преобразование, как зависимой переменной , так и независимой переменной  или одновременно той и другой [1, с.33].

Используем восемь наиболее часто встречающихся преобразований парных зависимостей, полученных комбинацией из индивидуальных преобразований зависимой переменной  и независимой переменной .

Качество прогнозирования проверим на основе выражения .

После вычисления коэффициентов по МНК выполняют обратные преобразования, определяют a и b, используя формулы (3.1) и (3.2).

(3.1)

(3.2)

Основным критерием выбора прогнозной модели, является коэффициент детерминации, который рассчитывается по формуле (3.3):

(3.3)


3.1. Линейная модель

Расчёт теоретических значений осуществляется по формуле (3.4).

(3.4)

Таблица 3.1.

год

2001

1

1

185,374

34363,51988

185,3740

176,5423

2002

2

4

253,114

64066,89949

506,2288

246,8191

2003

3

9

314,949

99192,62064

944,8458

317,0959

2004

4

16

370,715

137429,75951

1482,8608

387,3727

2005

5

25

428,067

183241,18526

2140,3340

457,6495

2006

6

36

561,187

314930,62449

3367,1208

527,9263

21

91

2113,4058

833224,6093

8626,7642

При помощи формул (3.1) и (3.2) рассчитываем коэффициенты a и b.
a = 106,26552, b = 70,27679.

При помощи формулы (3.3) определяем коэффициент детерминации.
= 0,97319.

Прогнозируемая величина расходной части города Москвы на 2007 год будет равна: = 598,2031 млрд. рублей.

На рисунке 3.1. показан график зависимости теоретических показателей и исходных данных построенный на основе данных таблицы 3.1.

Рис. 3.1. График тренда

3.2. Экспоненциальная модель

Для этой модели используем преобразования: , . Расчёт теоретических значений осуществляется по формуле (3.5).

(3.5)

Таблица 3.2.

год

2001

1

1

185,374

5,222

27,27320

5,2224

196,8406

2002

2

4

253,114

5,534

30,62340

11,0677

242,3371

2003

3

9

314,949

5,752

33,09021

17,2572

298,3492

2004

4

16

370,715

5,915

34,99236

23,6617

367,3077

2005

5

25

428,067

6,059

36,71487

30,2964

452,2047

2006

6

36

561,187

6,330

40,06958

37,9803

556,7243

21

91

2113,40580

34,81339

202,76363

125,48574

При помощи формул (3.1) и (3.2) рассчитываем коэффициенты a и b.
a = 159,88572, b = 0,20794.

При помощи формулы (3.3) определяем коэффициент детерминации.
= 0,98492.

Прогнозируемая величина расходной части города Москвы на 2007 год будет равна: = 685,4018 млрд. рублей.

На рисунке 3.2. показан график зависимости теоретических показателей и исходных данных построенный на основе данных таблицы 3.2.

Рис. 3.2. График тренда


3.3. Степенная модель

Для этой модели используем преобразования:, ,. Расчёт теоретических значений осуществляется по формуле (3.6).

(3.6)

Таблица 3.3.

год

2001

1

0

0

185,374

5,22238

27,27320

0,00000

196,8406

2002

2

0,69315

0,48045

253,114

5,53384

30,62340

3,83577

242,3371

2003

3

1,09861

1,20695

314,949

5,75241

33,09021

6,31967

298,3492

2004

4

1,38629

1,92181

370,715

5,91543

34,99236

8,20053

367,3077

2005

5

1,60944

2,59029

428,067

6,05928

36,71487

9,75203

452,2047

2006

6

1,79176

3,21040

561,187

6,33005

40,06958

11,34193

556,7243

21

6,57925

9,40991

2113,40580

34,81339

202,76363

39,44993

При помощи формул (3.1) и (3.2) рассчитываем коэффициенты a и b.
a = 175,0608, b = 0,58101.

При помощи формулы (3.3) определяем коэффициент детерминации.
= 0,96472.

Прогнозируемая величина расходной части города Москвы на 2007 год будет равна: = 542,2470 млрд. рублей.

На рисунке 3.3. показан график зависимости теоретических показателей и исходных данных построенный на основе данных таблицы 3.3.

Рис. 3.3. График тренда

3.4. Первая гиперболическая модель

Для этой модели используем преобразование: . Расчёт теоретических значений осуществляется по формуле (3.7).

(3.7)

Таблица 3.4.

год

2001

1

1

1

185,374

34363,51988

185,37400

142,2631

2002

2

0,50000

0,25000

253,114

64066,89949

126,55720

319,7035

2003

3

0,33333

0,11111

314,949

99192,62064

104,98287

378,8504

2004

4

0,25000

0,06250

370,715

137429,75951

92,67880

408,4238

2005

5

0,20000

0,04000

428,067

183241,18526

85,61336

426,1678

2006

6

0,16667

0,02778

561,187

314930,62449

93,53113

437,9972

21

2,45000

1,49139

2113,40580

833224,60927

688,73736

При помощи формул (3.1) и (3.2) рассчитываем коэффициенты a и b.
a = 497,14401, b = -354,88092.

При помощи формулы (3.3) определяем коэффициент детерминации.
= 0,69624.

Прогнозируемая величина расходной части города Москвы на 2007 год будет равна: = 446,4467. млрд. рублей.

На рисунке 3.4. показан график зависимости теоретических показателей и исходных данных построенный на основе данных таблицы 3.4.

Рис. 3.4. График тренда


3.5. Вторая гиперболическая модель

Для этой модели используем преобразование: . Расчёт теоретических значений осуществляется по формуле (3.8).

(3.8)

Таблица 3.5.

год

2001

1

1

185,374

0,00539

0,00003

0,00539

204,3746

2002

2

0,25000

253,114

0,00395

0,00002

0,00790

236,6950

2003

3

0,11111

314,949

0,00318

0,00001

0,00953

281,1581

2004

4

0,06250

370,715

0,00270

0,00001

0,01079

346,1900

2005

5

0,04000

428,067

0,00234

0,00001

0,01168

450,3576

2006

6

0,02778

561,187

0,00178

0,00000

0,01069

644,1937

21

1,49139

2113,40580

0,01934

0,00007

0,05598

При помощи формул (3.1) и (3.2) рассчитываем коэффициенты a и b.
a = 0,00556, b = -0,00067.

При помощи формулы (3.3) определяем коэффициент детерминации.
= 0,93146.

Прогнозируемая величина расходной части города Москвы на 2007 год будет равна: = 1130,9678. млрд. рублей.

На рисунке 3.5. показан график зависимости теоретических показателей и исходных данных построенный на основе данных таблицы 3.5.

Рис. 3.5. График тренда

3.6. Третья гиперболическая модель

Для этой модели используем преобразования: , , , . Расчёт теоретических значений осуществляется по формуле (3.9).

(3.9)

Таблица 3.6.

год

2001

1

1

1

185,374

0,00539

0,0000291

0,00539

178,6255

2002

2

0,50000

0,25000

253,114

0,00395

0,0000156

0,00198

278,4964

2003

3

0,33333

0,11111

314,949

0,00318

0,0000101

0,00106

342,2884

2004

4

0,25000

0,06250

370,715

0,00270

0,0000073

0,00067

386,5609

2005

5

0,20000

0,04000

428,067

0,00234

0,0000055

0,00047

419,0842

2006

6

0,16667

0,02778

561,187

0,00178

0,0000032

0,00030

443,9875

21

2,45000

1,49139

2113,40580

0,01934

0,00007

0,00987

При помощи формул (3.1) и (3.2) рассчитываем коэффициенты a и b.
a = 0,00402, b = 0,00158.

При помощи формулы (3.3) определяем коэффициент детерминации.
= 0,94378.

Прогнозируемая величина расходной части города Москвы на 2007 год будет равна: = 463,6679. млрд. рублей.

На рисунке 3.6. показан график зависимости теоретических показателей и исходных данных построенный на основе данных таблицы 3.6.

Рис. 3.6. График тренда


3.7. S-образная модель

Для этой модели используем преобразования: , . Расчёт теоретических значений осуществляется по формуле (3.10).

(3.10)

Таблица 3.7.

год

2001

1

1

1

185,374

5,22238

27,27320

5,22238

167,9708

2002

2

0,50000

0,25000

253,114

5,53384

30,62340

2,76692

298,0083

2003

3

0,33333

0,11111

314,949

5,75241

33,09021

1,91747

360,7669

2004

4

0,25000

0,06250

370,715

5,91543

34,99236

1,47886

396,9408

2005

5

0,20000

0,04000

428,067

6,05928

36,71487

1,21186

420,3637

2006

6

0,16667

0,02778

561,187

6,33005

40,06958

1,05501

436,7419

21

2,45000

1,49139

2113,40580

34,81339

202,76363

13,65249

При помощи формул (3.1) и (3.2) рассчитываем коэффициенты a и b.
a = 6,27045, b = -1,14666.

При помощи формулы (3.3) определяем коэффициент детерминации.
= 0,84030.

Прогнозируемая величина расходной части города Москвы на 2007 год будет равна: = 448,82991. млрд. рублей.

На рисунке 3.7. показан график зависимости теоретических показателей и исходных данных построенный на основе данных таблицы 3.7.

Рис. 3.7. График тренда

3.8. Логарифмическая модель

Для этой модели используем преобразование: . Расчёт теоретических значений осуществляется по формуле (3.11).

(3.11)

Таблица 3.8.

год

2001

1

0

0

185,374

34363,51988

0,00000

146,2630

2002

2

0,69315

0,48045

253,114

64066,89949

175,44553

276,4618

2003

3

1,09861

1,20695

314,949

99192,62064

346,00640

352,6232

2004

4

1,38629

1,92181

370,715

137429,75951

513,92039

406,6606

2005

5

1,60944

2,59029

428,067

183241,18526

688,94694

448,5752

2006

6

1,79176

3,21040

561,187

314930,62449

1005,51176

482,8220

21

6,57925

9,40991

2113,40580

833224,60927

2729,83103

При помощи формул (3.1) и (3.2) рассчитываем коэффициенты a и b.
a = 146,263, b = 187,83715.

При помощи формулы (3.3) определяем коэффициент детерминации.
= 0,87222.

Прогнозируемая величина расходной части города Москвы на 2007 год будет равна: =511,7772. млрд. рублей.

На рисунке 3.8. показан график зависимости теоретических показателей и исходных данных построенный на основе данных таблицы 3.8.

Рис. 3.8. График тренда


3.9. Обратнологарифмическая модель

Для этой модели используем преобразования: , . Расчёт теоретических значений осуществляется по формуле (3.12).

(3.12)

Таблица 3.9.

год

2001

1

0

0

185,374

0,00539

0,0000291

0,00000

186,4895

2002

2

0,69315

0,48045

253,114

0,00395

0,0000156

0,00274

249,3916

2003

3

1,09861

1,20695

314,949

0,00318

0,0000101

0,00349

310,6929

2004

4

1,38629

1,92181

370,715

0,00270

0,0000073

0,00374

376,3239

2005

5

1,60944

2,59029

428,067

0,00234

0,0000055

0,00376

450,0681

2006

6

1,79176

3,21040

561,187

0,00178

0,0000032

0,00319

535,8657

21

6,57925

9,40991

2113,40580

0,01934

0,00007

0,01692

При помощи формул (3.1) и (3.2) рассчитываем коэффициенты a и b.
a = 0,00536, b = -0,00195.

При помощи формулы (3.3) определяем коэффициент детерминации.
=0,99664.

Прогнозируемая величина расходной части города Москвы на 2007 год будет равна: = 638,8309. млрд. рублей.

На рисунке 3.9. показан график зависимости теоретических показателей и исходных данных построенный на основе данных таблицы 3.9.

Рис. 3.9. График тренда

3.10. Выбор оптимальной прогнозной модели

Сравним между собой все полученные коэффициенты детерминации, для этого сведём их в одну таблицу 3.10.

Таблица 3.10.

Модель

Линейная

0,973

Экспоненциальная

0,985

Степенная

0,965

Первая гиперболическая

0,696

Вторая гиперболическая

0,931

Третья гиперболическая

0,944

S-образная

0,840

Логарифмическая

0,872

Обратнологарифмическая

0,997

Оптимальной прогнозной моделью стала обратнологарифмическая модель, так как коэффициент детерминации является для неё максимальным:  = 0,997.


4. Обоснование периода упреждения прогноза

Период упреждения прогноза — отрезок времени от момента, для которого имеются последние статистические данные об изучаемом объекте, до момента, к которому относится прогноз.

В качестве меры рассеяния наблюдений вокруг линии регрессии принимается общераспространенная характеристика – дисперсия. Ее оценка равна сумме квадратов отклонений, деленной на число степеней свободы и имеет вид:

(4.1)

где n – число наблюдений;

m – число параметров уравнения тренда (для линейного тренда m=2) [1, c. 30].

Оценка дисперсии прогноза (доверительный интервал), осуществленного на основании линейного тренда:

(4.2)

где задано (в данном расчете равно 7);

 среднее значение независимой переменной t [1, c. 31].

Период упреждения прогноза:

(4.3)

где значение t статистики Стьюдента (в данном случае = 1,5332) [1, с. 26].

Рассчитаем  для нашего примера, для этого составим таблицу 4.1.

Таблица 4.1.

год

2001

1

185,374

186,4895

1,24435

2002

2

253,114

249,3916

13,85951

2003

3

314,949

310,6929

18,11115

2004

4

370,715

376,3239

31,45752

2005

5

428,067

450,0681

484,05510

2006

6

561,187

535,8657

641,15762

1189,88526

Для нашего примера применяя формулы (4.1), (4,2) и (4,3) получаем, что: = 14,0112,  = 19,1430 и = 7,5301.


5. Получение точечного и интервального значения прогноза

По виду представления прогнозы подразделяются на точечные и интервальные.

Интервальный прогноз – это прогноз, результат которого представлен в виде доверительного интервала характеризующего объекта прогнозирования для заданной вероятности через осуществление прогноза.

Точечный прогноз – это прогноз, результат которого представлен в виде единственного значения характеристики объекта прогнозирования без указания доверительного интервала [1, с. 16].

Точечный прогноз на 2007 год, согласно обратнологарифмической модели будет составлять = 638,8309. млрд. рублей.

Получим интервальную оценку для этого прогноза.

При доверительной вероятности равной 0,9 и  n – m = 4 значение  t—статистики Стьюдента равно = 1,5332.

(5.1)

Используя = 14,0112 и  = 19,1430 рассчитанные в третьей главе, получаем что = 29,35.
Таким образом, интервальный прогноз, записанный в стандартной форме, на 2007 год составит: .


Заключение

В ходе первоначального анализа, была подтверждена гипотеза о наличии тренда методом проверки разностей средних уровней.

В ходе исследования были применены различные модели.

Прогнозной была выбрана обратнологарифмическая модель, так как коэффициент детерминации для неё являлся максимальным:  = 0,997.

Найден период упреждения = 7,5301.

Получены прогнозы расходной части бюджета города Москвы Российской Федерации на 2007:

точечный= 638,8309. млрд. рублей, интервальный млрд. рублей.


Источники информации

1. Голик Е.С. Теория и методы прогнозирования; Учеб.-метод. пособие. СПб. РИО СЗТУ, 2002.

2. Официальный сервер правительства МосквыМосква в зеркале цифр, фактов, событий. Интернет ресурс (http://www.mos.ru/).


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

59440. Сценарій свята: Наша мова солов’їна 96 KB
  Поетична грань живе у слові, і слово немислиме без неї, як немислима річка без води. “Рідна мова дорога людині як саме життя” – говорить народна мудрість. Адже без мови не може існувати народ та його культура. Рідне слово порівнюють з хлібом, мову називають солов’їною, дивом калиновим.
59441. Сценарій свята: Україно! Це твої символи 30 KB
  Ознайомити учнів з історією України її символами виховувати в них національну свідомість розуміння своєї причетності до долі України. Карта України Акт проголошення незалежності на плакатах зображення герба України прапора на столі хліб на вишитому рушнику...
59442. Сценарій: Урок математики з інсценуванням та елементами гри 58.5 KB
  І знову дзвоник запрошує в клас, У царство логіки, краси і сили. Багато тут цікавого для нас У зоряні хвилин ми відкрили.
59443. Сценарій вечора на тему: “А нумо, хлопці”, присвячений Дню Вітчизни 32 KB
  В змаганнях приймає участь вся команда Кожний учасник дістає по чотири дощечки. Перемагає та команда яка швидше прийшла до фінішу. В його відсутності команда противника договорюється що будуть робити показувати. Повернувшись він відгадує що протилежна команда показує городні роботи.
59444. Сценарій вечора на тему: Нумо, дівчата 37 KB
  Стрибок через козла ноги нарізно біг по колоді біг по коридору з 6 обручів на віддалі 23 м два кувирки вперед біг стрибки з скакалкою. €œВеселі старти Стрибки з скакалкою: 1. Стрибки і біг з перешкодами: Стрибок через козла кувирок вперед...
59445. Cценарій: Інтелектуальна гра — КВК 45.5 KB
  Котра команда назбирає в своїй; карбничці більше фішок та і буде переможцем. Та от дружбу ціним більше Сперечатися не будем. Завдання: з поданих літер за 1 хв скласти якомога більше слів АБИ брат краб бант танк кат раб кабан.
59446. Сценарій: Інтелектуально-розважальна гра “Калейдоскоп” 49 KB
  Все починається зі слова. Шевченко: Ну що здавалося б слова Слова та голос більш нічого. На цій станції наші гравці покажуть який словарний запас української мови вони мають. Команди зачитують слова чиє слово буде останнє той і переміг.
59447. Cценарій святкової лінійки: Спорт, туризм, здоровя 26.5 KB
  Що тільки людина посіє - те й пожне. Порушиш правила здоровя - пожнеш хворобу. Тому сьогодні особливо важливо сформувати потребу в здоровому способі життя, а також в задоволенні від повноцінного життя.
59448. Сценарій концерту, присвячений Дню Вчителя: Учителю, ти є і будеш вічно! 50 KB
  Всім у цей день веселитись Сміятись співати на жарт не скупитись. Хай кращою буде учительська Доля Щоб добре вам всім працювалось у школі Рятує хай ангел-спаситель всіх вас Щасливі й здорові були щоб весь час.