86059

Прогнозная экстраполяция на основе линеаризованных трендов

Курсовая

Социология, социальная работа и статистика

В практике прогнозирования довольно часто встречаются случаи, когда трудно судить о линейности динамического исходного ряда. Используя МНК, можно построить практически любые формы нелинейной парной связи. Для этого используют линеаризующие преобразования, так как только линейные по параметрам...

Русский

2015-04-02

519.5 KB

3 чел.

PAGE  23

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБУЧЕНИЯ

Северо-Западный Заочный Технический Университет

Институт системного анализа, автоматики и управления 

кафедра системного анализа и прогнозирования

Курсовая работа
на тему:

Студента III курса

Научный руководитель:

шифр: 4880610032

Е.С. Голик

дневной формы обучения

Дунина А.О.

Санкт – Петербург

2007

«Прогнозная экстраполяция на основе линеаризованных трендов»

СОДЕРЖАНИЕ

Стр.


1. Постановка задачи

В качестве исходного динамического ряда, были взяты данные о расходной части бюджета города Москвы Российской Федерации за период с 2001 по 2006гг [2]. Данные целиком приведены в таблице 1.1.

Таблица 1.1.

Расходы (млрд. руб.)

185,374

253,114

314,949

370,715

428,067

561,187

года

2001

2002

2003

2004

2005

2006


2. Проверка гипотезы о наличии тенденции

Существует несколько способов проверки наличия тенденции.

Так как в исходной задаче отсутствует разброс уровней, мы используем метод проверки разностей средних уровней, который  позволяет нам проверить гипотезу о наличии тенденции в средних значениях динамического ряда.

Разбиваем динамический ряд на 2 части = 453,323,= 251,146.

Сумма всех значений 2113,41, число значений n=6, общая средняя х = 352,23.

(2.1)

Рассчитываем общую дисперсию по формуле (2.1) (сумма квадратов отклонений каждого значения от общей средней).

Получаем, что = 88810,957.

(2.2)

Подставляем найденные значения в формулу (2.2) и находим t раcчетное.
Получаем, что  =3,716.  Используя специальные таблицы процентных точек распределения Стьюдента, находим
t табличное. Для нашего примера: ,  = 2,7764 для Pg = 0,95 [1, с. 98].

Так, как , гипотеза о наличии тренда подтверждается.


3. Выбор по коэффициенту детерминации оптимальной прогнозной модели 

В практике прогнозирования довольно часто встречаются случаи, когда трудно судить о линейности динамического исходного ряда. Используя МНК, можно построить практически любые формы нелинейной парной связи. Для этого используют линеаризующие преобразования, так как только линейные по параметрам функции восстанавливаются с помощью метода наименьших квадратов (МНК). Широко распространены два вида преобразований: натуральный логарифм и обратное преобразование . Возможно преобразование, как зависимой переменной , так и независимой переменной  или одновременно той и другой [1, с.33].

Используем восемь наиболее часто встречающихся преобразований парных зависимостей, полученных комбинацией из индивидуальных преобразований зависимой переменной  и независимой переменной .

Качество прогнозирования проверим на основе выражения .

После вычисления коэффициентов по МНК выполняют обратные преобразования, определяют a и b, используя формулы (3.1) и (3.2).

(3.1)

(3.2)

Основным критерием выбора прогнозной модели, является коэффициент детерминации, который рассчитывается по формуле (3.3):

(3.3)


3.1. Линейная модель

Расчёт теоретических значений осуществляется по формуле (3.4).

(3.4)

Таблица 3.1.

год

2001

1

1

185,374

34363,51988

185,3740

176,5423

2002

2

4

253,114

64066,89949

506,2288

246,8191

2003

3

9

314,949

99192,62064

944,8458

317,0959

2004

4

16

370,715

137429,75951

1482,8608

387,3727

2005

5

25

428,067

183241,18526

2140,3340

457,6495

2006

6

36

561,187

314930,62449

3367,1208

527,9263

21

91

2113,4058

833224,6093

8626,7642

При помощи формул (3.1) и (3.2) рассчитываем коэффициенты a и b.
a = 106,26552, b = 70,27679.

При помощи формулы (3.3) определяем коэффициент детерминации.
= 0,97319.

Прогнозируемая величина расходной части города Москвы на 2007 год будет равна: = 598,2031 млрд. рублей.

На рисунке 3.1. показан график зависимости теоретических показателей и исходных данных построенный на основе данных таблицы 3.1.

Рис. 3.1. График тренда

3.2. Экспоненциальная модель

Для этой модели используем преобразования: , . Расчёт теоретических значений осуществляется по формуле (3.5).

(3.5)

Таблица 3.2.

год

2001

1

1

185,374

5,222

27,27320

5,2224

196,8406

2002

2

4

253,114

5,534

30,62340

11,0677

242,3371

2003

3

9

314,949

5,752

33,09021

17,2572

298,3492

2004

4

16

370,715

5,915

34,99236

23,6617

367,3077

2005

5

25

428,067

6,059

36,71487

30,2964

452,2047

2006

6

36

561,187

6,330

40,06958

37,9803

556,7243

21

91

2113,40580

34,81339

202,76363

125,48574

При помощи формул (3.1) и (3.2) рассчитываем коэффициенты a и b.
a = 159,88572, b = 0,20794.

При помощи формулы (3.3) определяем коэффициент детерминации.
= 0,98492.

Прогнозируемая величина расходной части города Москвы на 2007 год будет равна: = 685,4018 млрд. рублей.

На рисунке 3.2. показан график зависимости теоретических показателей и исходных данных построенный на основе данных таблицы 3.2.

Рис. 3.2. График тренда


3.3. Степенная модель

Для этой модели используем преобразования:, ,. Расчёт теоретических значений осуществляется по формуле (3.6).

(3.6)

Таблица 3.3.

год

2001

1

0

0

185,374

5,22238

27,27320

0,00000

196,8406

2002

2

0,69315

0,48045

253,114

5,53384

30,62340

3,83577

242,3371

2003

3

1,09861

1,20695

314,949

5,75241

33,09021

6,31967

298,3492

2004

4

1,38629

1,92181

370,715

5,91543

34,99236

8,20053

367,3077

2005

5

1,60944

2,59029

428,067

6,05928

36,71487

9,75203

452,2047

2006

6

1,79176

3,21040

561,187

6,33005

40,06958

11,34193

556,7243

21

6,57925

9,40991

2113,40580

34,81339

202,76363

39,44993

При помощи формул (3.1) и (3.2) рассчитываем коэффициенты a и b.
a = 175,0608, b = 0,58101.

При помощи формулы (3.3) определяем коэффициент детерминации.
= 0,96472.

Прогнозируемая величина расходной части города Москвы на 2007 год будет равна: = 542,2470 млрд. рублей.

На рисунке 3.3. показан график зависимости теоретических показателей и исходных данных построенный на основе данных таблицы 3.3.

Рис. 3.3. График тренда

3.4. Первая гиперболическая модель

Для этой модели используем преобразование: . Расчёт теоретических значений осуществляется по формуле (3.7).

(3.7)

Таблица 3.4.

год

2001

1

1

1

185,374

34363,51988

185,37400

142,2631

2002

2

0,50000

0,25000

253,114

64066,89949

126,55720

319,7035

2003

3

0,33333

0,11111

314,949

99192,62064

104,98287

378,8504

2004

4

0,25000

0,06250

370,715

137429,75951

92,67880

408,4238

2005

5

0,20000

0,04000

428,067

183241,18526

85,61336

426,1678

2006

6

0,16667

0,02778

561,187

314930,62449

93,53113

437,9972

21

2,45000

1,49139

2113,40580

833224,60927

688,73736

При помощи формул (3.1) и (3.2) рассчитываем коэффициенты a и b.
a = 497,14401, b = -354,88092.

При помощи формулы (3.3) определяем коэффициент детерминации.
= 0,69624.

Прогнозируемая величина расходной части города Москвы на 2007 год будет равна: = 446,4467. млрд. рублей.

На рисунке 3.4. показан график зависимости теоретических показателей и исходных данных построенный на основе данных таблицы 3.4.

Рис. 3.4. График тренда


3.5. Вторая гиперболическая модель

Для этой модели используем преобразование: . Расчёт теоретических значений осуществляется по формуле (3.8).

(3.8)

Таблица 3.5.

год

2001

1

1

185,374

0,00539

0,00003

0,00539

204,3746

2002

2

0,25000

253,114

0,00395

0,00002

0,00790

236,6950

2003

3

0,11111

314,949

0,00318

0,00001

0,00953

281,1581

2004

4

0,06250

370,715

0,00270

0,00001

0,01079

346,1900

2005

5

0,04000

428,067

0,00234

0,00001

0,01168

450,3576

2006

6

0,02778

561,187

0,00178

0,00000

0,01069

644,1937

21

1,49139

2113,40580

0,01934

0,00007

0,05598

При помощи формул (3.1) и (3.2) рассчитываем коэффициенты a и b.
a = 0,00556, b = -0,00067.

При помощи формулы (3.3) определяем коэффициент детерминации.
= 0,93146.

Прогнозируемая величина расходной части города Москвы на 2007 год будет равна: = 1130,9678. млрд. рублей.

На рисунке 3.5. показан график зависимости теоретических показателей и исходных данных построенный на основе данных таблицы 3.5.

Рис. 3.5. График тренда

3.6. Третья гиперболическая модель

Для этой модели используем преобразования: , , , . Расчёт теоретических значений осуществляется по формуле (3.9).

(3.9)

Таблица 3.6.

год

2001

1

1

1

185,374

0,00539

0,0000291

0,00539

178,6255

2002

2

0,50000

0,25000

253,114

0,00395

0,0000156

0,00198

278,4964

2003

3

0,33333

0,11111

314,949

0,00318

0,0000101

0,00106

342,2884

2004

4

0,25000

0,06250

370,715

0,00270

0,0000073

0,00067

386,5609

2005

5

0,20000

0,04000

428,067

0,00234

0,0000055

0,00047

419,0842

2006

6

0,16667

0,02778

561,187

0,00178

0,0000032

0,00030

443,9875

21

2,45000

1,49139

2113,40580

0,01934

0,00007

0,00987

При помощи формул (3.1) и (3.2) рассчитываем коэффициенты a и b.
a = 0,00402, b = 0,00158.

При помощи формулы (3.3) определяем коэффициент детерминации.
= 0,94378.

Прогнозируемая величина расходной части города Москвы на 2007 год будет равна: = 463,6679. млрд. рублей.

На рисунке 3.6. показан график зависимости теоретических показателей и исходных данных построенный на основе данных таблицы 3.6.

Рис. 3.6. График тренда


3.7. S-образная модель

Для этой модели используем преобразования: , . Расчёт теоретических значений осуществляется по формуле (3.10).

(3.10)

Таблица 3.7.

год

2001

1

1

1

185,374

5,22238

27,27320

5,22238

167,9708

2002

2

0,50000

0,25000

253,114

5,53384

30,62340

2,76692

298,0083

2003

3

0,33333

0,11111

314,949

5,75241

33,09021

1,91747

360,7669

2004

4

0,25000

0,06250

370,715

5,91543

34,99236

1,47886

396,9408

2005

5

0,20000

0,04000

428,067

6,05928

36,71487

1,21186

420,3637

2006

6

0,16667

0,02778

561,187

6,33005

40,06958

1,05501

436,7419

21

2,45000

1,49139

2113,40580

34,81339

202,76363

13,65249

При помощи формул (3.1) и (3.2) рассчитываем коэффициенты a и b.
a = 6,27045, b = -1,14666.

При помощи формулы (3.3) определяем коэффициент детерминации.
= 0,84030.

Прогнозируемая величина расходной части города Москвы на 2007 год будет равна: = 448,82991. млрд. рублей.

На рисунке 3.7. показан график зависимости теоретических показателей и исходных данных построенный на основе данных таблицы 3.7.

Рис. 3.7. График тренда

3.8. Логарифмическая модель

Для этой модели используем преобразование: . Расчёт теоретических значений осуществляется по формуле (3.11).

(3.11)

Таблица 3.8.

год

2001

1

0

0

185,374

34363,51988

0,00000

146,2630

2002

2

0,69315

0,48045

253,114

64066,89949

175,44553

276,4618

2003

3

1,09861

1,20695

314,949

99192,62064

346,00640

352,6232

2004

4

1,38629

1,92181

370,715

137429,75951

513,92039

406,6606

2005

5

1,60944

2,59029

428,067

183241,18526

688,94694

448,5752

2006

6

1,79176

3,21040

561,187

314930,62449

1005,51176

482,8220

21

6,57925

9,40991

2113,40580

833224,60927

2729,83103

При помощи формул (3.1) и (3.2) рассчитываем коэффициенты a и b.
a = 146,263, b = 187,83715.

При помощи формулы (3.3) определяем коэффициент детерминации.
= 0,87222.

Прогнозируемая величина расходной части города Москвы на 2007 год будет равна: =511,7772. млрд. рублей.

На рисунке 3.8. показан график зависимости теоретических показателей и исходных данных построенный на основе данных таблицы 3.8.

Рис. 3.8. График тренда


3.9. Обратнологарифмическая модель

Для этой модели используем преобразования: , . Расчёт теоретических значений осуществляется по формуле (3.12).

(3.12)

Таблица 3.9.

год

2001

1

0

0

185,374

0,00539

0,0000291

0,00000

186,4895

2002

2

0,69315

0,48045

253,114

0,00395

0,0000156

0,00274

249,3916

2003

3

1,09861

1,20695

314,949

0,00318

0,0000101

0,00349

310,6929

2004

4

1,38629

1,92181

370,715

0,00270

0,0000073

0,00374

376,3239

2005

5

1,60944

2,59029

428,067

0,00234

0,0000055

0,00376

450,0681

2006

6

1,79176

3,21040

561,187

0,00178

0,0000032

0,00319

535,8657

21

6,57925

9,40991

2113,40580

0,01934

0,00007

0,01692

При помощи формул (3.1) и (3.2) рассчитываем коэффициенты a и b.
a = 0,00536, b = -0,00195.

При помощи формулы (3.3) определяем коэффициент детерминации.
=0,99664.

Прогнозируемая величина расходной части города Москвы на 2007 год будет равна: = 638,8309. млрд. рублей.

На рисунке 3.9. показан график зависимости теоретических показателей и исходных данных построенный на основе данных таблицы 3.9.

Рис. 3.9. График тренда

3.10. Выбор оптимальной прогнозной модели

Сравним между собой все полученные коэффициенты детерминации, для этого сведём их в одну таблицу 3.10.

Таблица 3.10.

Модель

Линейная

0,973

Экспоненциальная

0,985

Степенная

0,965

Первая гиперболическая

0,696

Вторая гиперболическая

0,931

Третья гиперболическая

0,944

S-образная

0,840

Логарифмическая

0,872

Обратнологарифмическая

0,997

Оптимальной прогнозной моделью стала обратнологарифмическая модель, так как коэффициент детерминации является для неё максимальным:  = 0,997.


4. Обоснование периода упреждения прогноза

Период упреждения прогноза — отрезок времени от момента, для которого имеются последние статистические данные об изучаемом объекте, до момента, к которому относится прогноз.

В качестве меры рассеяния наблюдений вокруг линии регрессии принимается общераспространенная характеристика – дисперсия. Ее оценка равна сумме квадратов отклонений, деленной на число степеней свободы и имеет вид:

(4.1)

где n – число наблюдений;

m – число параметров уравнения тренда (для линейного тренда m=2) [1, c. 30].

Оценка дисперсии прогноза (доверительный интервал), осуществленного на основании линейного тренда:

(4.2)

где задано (в данном расчете равно 7);

 среднее значение независимой переменной t [1, c. 31].

Период упреждения прогноза:

(4.3)

где значение t статистики Стьюдента (в данном случае = 1,5332) [1, с. 26].

Рассчитаем  для нашего примера, для этого составим таблицу 4.1.

Таблица 4.1.

год

2001

1

185,374

186,4895

1,24435

2002

2

253,114

249,3916

13,85951

2003

3

314,949

310,6929

18,11115

2004

4

370,715

376,3239

31,45752

2005

5

428,067

450,0681

484,05510

2006

6

561,187

535,8657

641,15762

1189,88526

Для нашего примера применяя формулы (4.1), (4,2) и (4,3) получаем, что: = 14,0112,  = 19,1430 и = 7,5301.


5. Получение точечного и интервального значения прогноза

По виду представления прогнозы подразделяются на точечные и интервальные.

Интервальный прогноз – это прогноз, результат которого представлен в виде доверительного интервала характеризующего объекта прогнозирования для заданной вероятности через осуществление прогноза.

Точечный прогноз – это прогноз, результат которого представлен в виде единственного значения характеристики объекта прогнозирования без указания доверительного интервала [1, с. 16].

Точечный прогноз на 2007 год, согласно обратнологарифмической модели будет составлять = 638,8309. млрд. рублей.

Получим интервальную оценку для этого прогноза.

При доверительной вероятности равной 0,9 и  n – m = 4 значение  t—статистики Стьюдента равно = 1,5332.

(5.1)

Используя = 14,0112 и  = 19,1430 рассчитанные в третьей главе, получаем что = 29,35.
Таким образом, интервальный прогноз, записанный в стандартной форме, на 2007 год составит: .


Заключение

В ходе первоначального анализа, была подтверждена гипотеза о наличии тренда методом проверки разностей средних уровней.

В ходе исследования были применены различные модели.

Прогнозной была выбрана обратнологарифмическая модель, так как коэффициент детерминации для неё являлся максимальным:  = 0,997.

Найден период упреждения = 7,5301.

Получены прогнозы расходной части бюджета города Москвы Российской Федерации на 2007:

точечный= 638,8309. млрд. рублей, интервальный млрд. рублей.


Источники информации

1. Голик Е.С. Теория и методы прогнозирования; Учеб.-метод. пособие. СПб. РИО СЗТУ, 2002.

2. Официальный сервер правительства МосквыМосква в зеркале цифр, фактов, событий. Интернет ресурс (http://www.mos.ru/).


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

45670. Виды рекламы и их характеристика 36 KB
  Реклама – любая форма неличного представления товаров оплаченная точно установленным заказчиком. Ассоциация маркетологов США 1948 По Закону о Рекламе: Реклама – это распространяемая в любой форме с помощью любых средств информация о физическом или юридическом лице товарах услугах идеях или начинаниях рекламная информация которая предназначена для неопределенного круга лиц и призвана информировать или поддерживать интерес к этим физическим или юридическим лицам товарам идеям или начинаниям и способствовать реализации товаров идей и...
45672. Креатив. Формы творческих идей 36 KB
  Формы творческих идей В основе многих креативных идей лежат яркие запоминающиеся фразы – слоганы. Формирование творческих идей Под формированием творческой идеи подразумевается процесс получения оригинальной идеи. 1 мозговой штурм для определения общего стратегического направления рекламной кампании; 2 релаксация; 3 результаты мозгового штурма перерабатываются посредством индивидуального построения ассоциаций; 4 обсуждение готовых идей коллективом творческой группы. Основные свойства метода: разделение процессов генерации и критики во...
45674. Политическая и социальная реклама 36 KB
  Политическая и социальная реклама. Политическая реклама используется как инструмент пропаганды определенных политических идей партий деятелей и т. Как и коммерческая реклама реклама политическая благодаря своей многотиражности многообразию возможности повторения лаконизму и эмоциональности обладает значительными возможностями воздействия на массовое сознание. Политическая реклама не только оправдана – она крайне необходима в нашем обществе.
45675. Рекламный бюджет организации 33.5 KB
  Интуитивный метод Первый метод интуитивный. Метод остаточных средств Еще один метод близкий к интуитивному метод остаточных средств или все что нам по карману. Остаточный метод не учитывает того что на разных этапах развития перед компанией могут стоять разные цели и задачи на достижение которых может просто не хватить средств. Процент от продаж Третьим в рейтинге популярности рекламодателей идет метод определения рекламного бюджета как процента от объема продаж иногда как процента от выручки или товарооборота.
45677. Рекламный текст как коммуникативная единица. Специфика рекламной коммуникации. Методика анализа рекламного текста 41.5 KB
  Рекламный текст как коммуникативная единица. Методика анализа рекламного текста. Сегодня не существует единства понимания что есть рекламный текст. Под рекламным текстом чаще подразумевают только его вербальный компонент.
45678. Разработка концепции и идеи рекламной кампании. Оценка эффективности рекламной кампании 40.5 KB
  Информативная реклама: преобладает на основном этапе выведения товара на рынок когда стоит задача создания первичного спроса. Увещевательная реклама: приобретает особую значимость на этапе роста когда перед фирмой встает задача формирования избирательного спроса. Напоминающая реклама: чрезвычайно важна на этапе зрелости чтобы заставить потребителей вспомнить о товаре. импульсивная подача – СМИ используются периодически через равные интервалы независимо от времени года; неравномерные импульсы – реклама размещается через неравные интервалы...