86061

Найбільший спільний дільник

Лекция

Математика и математический анализ

Вивчити алгоритм Евкліда знаходження найбільшого спільного дільника многочленів; вивчити основну властивість НСД двох многочленів; вивести критерій взаємно простих многочленів...

Украинкский

2017-02-21

367.5 KB

7 чел.

Лекція № 2.

Тема.Найбільший спільний дільник.

Мета вивчання:

  • вивчити алгоритм Евкліда знаходження найбільшого спільного дільника многочленів;
  • вивчити основну властивість НСД двох многочленів;
  • вивести критерій взаємно простих многочленів.

План

  1. Найбільший спільний дільник многочленів. Алгоритм Евкліда.
  2. Основна властивість НСД многочленів.
  3. Взаємно прості многочлени та їх властивості.

Література:[13], стор.137-143, 149.

Зміст лекції

1. Нехай дано довільні ненульові многочлени  і . Многочлен  називаєтьсяспільним дільником для  і , якщо він служить дільником для кожного з цих многочленів.

Властивість V показує, що до числа спільних дільників многочленів  і  належать усі многочлени нульового степеня. Якщо інших спільних дільників ці два многочлена не мають, то вони називаютьсявзаємнопростими.

Найбільшим спільним дільником ненульових многочленів і називається такий многочлен , який є їх спільним дільником, і разом з тим сам ділиться на будь-який інший спільний дільник цих многочленів. НСД позначається так: ().

Для практичного відшукання найбільшого спільного дільника застосовується алгоритм послідовного ділення або алгоритм Евкліда. Він полягає в наступному: нехай дано многочлени  і . Ділимо  на  і одержуємо, взагалі кажучи, деяку остачу . Ділимо потім  на  і одержуємо остачу , ділимо на  і т.д. Тому що степені остач увесь час знижаються, то в цій ціпочці послідовних ділень ми повинні дійти до місця, на якому ділення виконається цілком і тому процес зупиниться.Та остача , на яку цілком ділиться попередня остача  і буде найбільшим спільним дільником многочленів  і . Цей факт сформулюємо у вигляді теореми.

Теорема (про існування НСД многочленів).НСД многочленів  і співпадає з останньою ненульовою остачею в алгоритмі Евкліда.

# Для доведення запишемо викладене вище у вигляді наступних рівностей:

(1)

Остання рівність показує, що  є дільником для . Звідси виходить, що обидва доданки правої частини передостанньої рівності діляться на , а тому  буде дільником і для . Далі, таким самим шляхом, підіймаючись угору, ми отримаємо, що  є дільником і для . Звідси, ураховуючи другу рівність, буде слідувати, що  служить дільником для , а тому, на підставі першої рівності, - і для . Таким чином,  є спільним дільником для  і .

Візьмемо тепер довільний спільний дільник  многочленів  і . Тому що ліва частина і перший доданок правої частини першої з рівностей (1) діляться на , то  також буде ділитися на . Переходячи до другого і наступних рівностей ми таким самим засобом одержимо, що на  діляться  многочлени . Нарешті, якщо вже буде доведено, що  і  діляться на , то із передостанньої рівності ми одержимо, що  ділиться  на . Таким чином,  дійсно буде найбільшим спільним дільником для  і .   #

Теорема (про єдність НСД многочленів).НСД многочленів  і  є єдиним з точністю до множника нульового степеня (число), тобто усі НСД двох даних ненульових многочленів є асоційованими многочленами.

# Нехай  і  - НСД многочленів  і , тоді, якщо  - НСД, то він повинен ділитися на , а з другого боку  - НСД, значить він повинен ділитися на , звідси слідує, що #

Отже, НСД 2 многочленів визначений лише з точністю до множника нульового степеня, тому можна умовитись, що старший коефіцієнт найбільшого спільного дільника двох многочленів буде завжди вважатися рівним одиниці.

Користуючись цією умовою, можна сказати, що два многочлени тоді і тільки тоді взаємно прості, якщо їх найбільший спільний дільник дорівнює одиниці.

Приклад. Знайти НСД многочленів  і

     

          

Відповідь: .

2.Теорема.Якщо  НСД многочленів  і , то можна знайти такі многочлени  і , що

(2)

можна вважати при цьому, якщо степінь многочленів  і  більше 0, що степінь  менше степеня , а степінь  менше степеня  (всі многочлени з кільця ).

# Доведення основане на рівностях (1). Якщо ми вважаємо, що  і позначимо , то передостання з рівностей (1) дасть:

.

Підставляючи сюди вираз  через  і  із попередньої рівності (2), одержуємо:

,

де, очевидно, . Продовжуючи підніматися вгору по рівностям (1), прийдемо, нарешті, до рівності (2). Для доведення другого твердження теореми припустимо, що многочлени і , що задовольняють рівності (2), вже знайдені, але, наприклад, степінь  більший або дорівнює степеню . Ділимо  на :

,

де степінь  менший за степінь , і підставляємо цей вираз у (2). Одержуємо рівність

.

Степінь, що стоїть при , вже менший степеня . Степінь многочлена, що стоїть у дужках, буде в свою чергу, менший степеня , тому що у протилежному випадку степінь другого додатку лівої частини був би не менший степеня добутку , а тому що степінь першого доданку менший степеня цього добутку, то уся  ліва частина мала б степінь, більший або рівний степеню , тоді як многочлен  свідомо має при наших припущеннях, менший степінь. #

Приклад 2. Знайти многочлени  і , що задовольняють рівність (2), якщо , .

# 1). Знаходимо НСД:

2). Відшукуємо  і :

Запишемо (2) у вигляді

, в результаті чого робота спроститься  степ.,  степ.,.

.

.

3. Два многочлени називаютьсявзаємно простими, якщо їх НСД є многочлен нульового степеня (з точністю до постійного множника – це 1).

Теорема (критерій взаємно простих многочленів)

Два многочлени  і  є взаємно простими тоді, і тільки тоді, коли існують многочлени  і  що задовольняють умові:

.(3)

# Відомо, що для будь-яких многочленів і  існують многочлени  і , що задовольняють (2). Нехай і  взаємно прості, тобто їх НСД є многочлен нульового степеня, тоді рівність (2) буде мати вигляд: .

Навпаки, нехай  і  такі, що для них існують  і  такі, що виконується (3).

Позначимо , тоді , тоді  на підставі властивостей подільності, тоді , що можливо лише тоді, коли - многочлен нульового степеня , але в цьому випадку  і  взаємно прості.  #

Ізвластивостей взаємно простих многочленів відзначимо наступні:

1). Якщо многочлен  взаємно простий з кожним із многочленів   та , то він взаємно простий із їх добутком.

# Дійсно, існують за (3) такі многочлени  і , що

.

Помножуючи цю рівність на , одержимо:

.

Звідки слідує, що будь-який спільний дільник  і  був би дільником і для ; однак, за умови .#

2). Якщо добуток многочленів  і  ділиться на , але  і  взаємно прості, то  ділиться на .

# Дійсно, помножуючи рівність

на , одержимо:

.

Обидва доданки лівої частини цієї рівності діляться на ; на нього діляться, отож, і . #

3). Якщо многочлен  ділиться на кожний з многочленів  і , які між собою взаємно прості, то  ділиться і на їх добуток.

# Дійсно, , так що добуток, що стоїть справа, ділиться на . Тому за властивістю 2,  ділиться на , звідки .  #

Зауваження. Усі доведені властивості взаємно простих многочленів можуть бути узагальнені на випадок будь-якого скінченого числа многочленів, що задовольняють згаданим умовам.

Питання для самостійної роботи.

Виконання розрахункової роботи №2. Тема: “Подільність многочленів”.

Дробово-раціональні функції. Розклад на найпростіші дроби. ([2], стор.210-213)


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

84869. Слова протилежні за значенням (антоніми). Спостереження за роллю антонімів 66 KB
  Розвивати мовленнєві здібності учнів, лексичний запас, вміння аналізувати, характеризувати, класифікувати мовний матеріал, формувати та висловлювати власну думку; вчити працювати в групах. Виховувати почуття взаємодопомоги, взаємодії, товаришування, партнерства, прищеплювати любов до природи.
84870. А вже весна, а вже красна 72.5 KB
  В перший клас приходять діти, які мають обмежений словниковий запас, слабо розвинену дрібну моторику, неадекватні емоції і т.п. У багатьох дітей спостерігаються стійкі порушення мовлення. Щоб робота шкільного логопеда стала більш ефективнішою, йому потрібен тісний зв’язок з вчителем початкових класів.
84871. Розповідні речення. Інтонація при читанні розповідних речень. Розділові знаки в кінці розповідних речень. Слова, близькі за значенням 38 KB
  Дати учням уявлення про розповідне речення; розвивати навички інтонування розповідних речень з крапкою або знаком оклику в кінці; виховувати почуття любові до своєї Вітчизни. Сьогодні ми з вами побуваємо у містечку Речення. Вони хочуть допомогти вам у вивченні речення і розповісти багато нового і цікавого.
84872. Пом’якшені приголосні. Відсутність ь знака після букв приголосних, що не мають пари м’яких. Правильна вимова твердих, м’яких і пом’якшених приголосних 2.16 MB
  Мета уроку: Формувати комунікативну компетентність, контрольно-оцінювальну діяльність. З’ясувати, після яких букв в українській мові пишеться ь. Удосконалювати вимову твердих, м’яких і пом’якшених приголосних. Поповнювати словниковий запас. Розвивати мовлення, пам’ять.
84873. Донбас – мій рідний край 541.5 KB
  Мета: Формувати в учнів інтерес до навчання; вчити розповідати про символи нашої Української держави, Донецького краю та їх значення; розвивати прагнення бути свідомим громадянином України, її патріотом. Розвивати пізнавальні інтереси. Виховувати бажання наполегливо оволодівати знаннями, любов до школи.
84874. Note on Tracking from the ART List by Armin Winkler 29 KB
  Imagine you are playing ball with the dog, and the dog decides to stalk a bird instead. You can just yell harsh and loud enough to have the dog come back and leave the bird alone, but also leave the ball.
84875. Obedience tracking theory 27.5 KB
  The best advice I have EVER gotten in tracking is you can not track too much. I used to track twice maybe three times a week. Now I track at least 5 times a week and I am very happy with the results.
84876. Schutzhund Tracking 82 KB
  Some dogs are naturally inclined to air scent, others you will see naturally explore their surroundings with their noses very close to the ground from a young age. For Schutzhund, the dog is expected to follow a footstep trail with a deep nose (nose very close to the ground) and to indicate articles along the way.
84877. ATTENTION BEGINNING OR POTENTIAL TRACKERS 29.5 KB
  To gin the TD title dog must pss one KC trcking test which is usully bout qurter mile in length with three to five turns ged between onehlf nd one hour old nd glove t the end. I wnt the dog to WNT to find the glove t the end of the trck.