86061

Найбільший спільний дільник

Лекция

Математика и математический анализ

Вивчити алгоритм Евкліда знаходження найбільшого спільного дільника многочленів; вивчити основну властивість НСД двох многочленів; вивести критерій взаємно простих многочленів...

Украинкский

2017-02-21

367.5 KB

6 чел.

Лекція № 2.

Тема.Найбільший спільний дільник.

Мета вивчання:

  • вивчити алгоритм Евкліда знаходження найбільшого спільного дільника многочленів;
  • вивчити основну властивість НСД двох многочленів;
  • вивести критерій взаємно простих многочленів.

План

  1. Найбільший спільний дільник многочленів. Алгоритм Евкліда.
  2. Основна властивість НСД многочленів.
  3. Взаємно прості многочлени та їх властивості.

Література:[13], стор.137-143, 149.

Зміст лекції

1. Нехай дано довільні ненульові многочлени  і . Многочлен  називаєтьсяспільним дільником для  і , якщо він служить дільником для кожного з цих многочленів.

Властивість V показує, що до числа спільних дільників многочленів  і  належать усі многочлени нульового степеня. Якщо інших спільних дільників ці два многочлена не мають, то вони називаютьсявзаємнопростими.

Найбільшим спільним дільником ненульових многочленів і називається такий многочлен , який є їх спільним дільником, і разом з тим сам ділиться на будь-який інший спільний дільник цих многочленів. НСД позначається так: ().

Для практичного відшукання найбільшого спільного дільника застосовується алгоритм послідовного ділення або алгоритм Евкліда. Він полягає в наступному: нехай дано многочлени  і . Ділимо  на  і одержуємо, взагалі кажучи, деяку остачу . Ділимо потім  на  і одержуємо остачу , ділимо на  і т.д. Тому що степені остач увесь час знижаються, то в цій ціпочці послідовних ділень ми повинні дійти до місця, на якому ділення виконається цілком і тому процес зупиниться.Та остача , на яку цілком ділиться попередня остача  і буде найбільшим спільним дільником многочленів  і . Цей факт сформулюємо у вигляді теореми.

Теорема (про існування НСД многочленів).НСД многочленів  і співпадає з останньою ненульовою остачею в алгоритмі Евкліда.

# Для доведення запишемо викладене вище у вигляді наступних рівностей:

(1)

Остання рівність показує, що  є дільником для . Звідси виходить, що обидва доданки правої частини передостанньої рівності діляться на , а тому  буде дільником і для . Далі, таким самим шляхом, підіймаючись угору, ми отримаємо, що  є дільником і для . Звідси, ураховуючи другу рівність, буде слідувати, що  служить дільником для , а тому, на підставі першої рівності, - і для . Таким чином,  є спільним дільником для  і .

Візьмемо тепер довільний спільний дільник  многочленів  і . Тому що ліва частина і перший доданок правої частини першої з рівностей (1) діляться на , то  також буде ділитися на . Переходячи до другого і наступних рівностей ми таким самим засобом одержимо, що на  діляться  многочлени . Нарешті, якщо вже буде доведено, що  і  діляться на , то із передостанньої рівності ми одержимо, що  ділиться  на . Таким чином,  дійсно буде найбільшим спільним дільником для  і .   #

Теорема (про єдність НСД многочленів).НСД многочленів  і  є єдиним з точністю до множника нульового степеня (число), тобто усі НСД двох даних ненульових многочленів є асоційованими многочленами.

# Нехай  і  - НСД многочленів  і , тоді, якщо  - НСД, то він повинен ділитися на , а з другого боку  - НСД, значить він повинен ділитися на , звідси слідує, що #

Отже, НСД 2 многочленів визначений лише з точністю до множника нульового степеня, тому можна умовитись, що старший коефіцієнт найбільшого спільного дільника двох многочленів буде завжди вважатися рівним одиниці.

Користуючись цією умовою, можна сказати, що два многочлени тоді і тільки тоді взаємно прості, якщо їх найбільший спільний дільник дорівнює одиниці.

Приклад. Знайти НСД многочленів  і

     

          

Відповідь: .

2.Теорема.Якщо  НСД многочленів  і , то можна знайти такі многочлени  і , що

(2)

можна вважати при цьому, якщо степінь многочленів  і  більше 0, що степінь  менше степеня , а степінь  менше степеня  (всі многочлени з кільця ).

# Доведення основане на рівностях (1). Якщо ми вважаємо, що  і позначимо , то передостання з рівностей (1) дасть:

.

Підставляючи сюди вираз  через  і  із попередньої рівності (2), одержуємо:

,

де, очевидно, . Продовжуючи підніматися вгору по рівностям (1), прийдемо, нарешті, до рівності (2). Для доведення другого твердження теореми припустимо, що многочлени і , що задовольняють рівності (2), вже знайдені, але, наприклад, степінь  більший або дорівнює степеню . Ділимо  на :

,

де степінь  менший за степінь , і підставляємо цей вираз у (2). Одержуємо рівність

.

Степінь, що стоїть при , вже менший степеня . Степінь многочлена, що стоїть у дужках, буде в свою чергу, менший степеня , тому що у протилежному випадку степінь другого додатку лівої частини був би не менший степеня добутку , а тому що степінь першого доданку менший степеня цього добутку, то уся  ліва частина мала б степінь, більший або рівний степеню , тоді як многочлен  свідомо має при наших припущеннях, менший степінь. #

Приклад 2. Знайти многочлени  і , що задовольняють рівність (2), якщо , .

# 1). Знаходимо НСД:

2). Відшукуємо  і :

Запишемо (2) у вигляді

, в результаті чого робота спроститься  степ.,  степ.,.

.

.

3. Два многочлени називаютьсявзаємно простими, якщо їх НСД є многочлен нульового степеня (з точністю до постійного множника – це 1).

Теорема (критерій взаємно простих многочленів)

Два многочлени  і  є взаємно простими тоді, і тільки тоді, коли існують многочлени  і  що задовольняють умові:

.(3)

# Відомо, що для будь-яких многочленів і  існують многочлени  і , що задовольняють (2). Нехай і  взаємно прості, тобто їх НСД є многочлен нульового степеня, тоді рівність (2) буде мати вигляд: .

Навпаки, нехай  і  такі, що для них існують  і  такі, що виконується (3).

Позначимо , тоді , тоді  на підставі властивостей подільності, тоді , що можливо лише тоді, коли - многочлен нульового степеня , але в цьому випадку  і  взаємно прості.  #

Ізвластивостей взаємно простих многочленів відзначимо наступні:

1). Якщо многочлен  взаємно простий з кожним із многочленів   та , то він взаємно простий із їх добутком.

# Дійсно, існують за (3) такі многочлени  і , що

.

Помножуючи цю рівність на , одержимо:

.

Звідки слідує, що будь-який спільний дільник  і  був би дільником і для ; однак, за умови .#

2). Якщо добуток многочленів  і  ділиться на , але  і  взаємно прості, то  ділиться на .

# Дійсно, помножуючи рівність

на , одержимо:

.

Обидва доданки лівої частини цієї рівності діляться на ; на нього діляться, отож, і . #

3). Якщо многочлен  ділиться на кожний з многочленів  і , які між собою взаємно прості, то  ділиться і на їх добуток.

# Дійсно, , так що добуток, що стоїть справа, ділиться на . Тому за властивістю 2,  ділиться на , звідки .  #

Зауваження. Усі доведені властивості взаємно простих многочленів можуть бути узагальнені на випадок будь-якого скінченого числа многочленів, що задовольняють згаданим умовам.

Питання для самостійної роботи.

Виконання розрахункової роботи №2. Тема: “Подільність многочленів”.

Дробово-раціональні функції. Розклад на найпростіші дроби. ([2], стор.210-213)


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

65368. Залізобетонні фундаменти теплових агрегатів, які працюють в умовах впливу температури на основу 301 KB
  Досвід експлуатації промислових споруд що зазнають дії технологічних температур свідчить про значну деформацію основ і конструкцій їх фундаментів. Недостатня вивченість поводження цих конструкцій вимагає вдосконалювання теоретичної і експериментальної наукової...
65369. Студентська субкультура: становлення та еволюція (на матеріалах російських університетів XIX – поч. XX ст.) 173.5 KB
  Відповідно стан історіографії зумовлює подальші дослідження про студентство зокрема перед істориками постає завдання здійснити цілісний аналіз студентської субкультури Російської імперії ХІХ початку ХХ ст. В тому числі це стосується й студентства...
65370. УДОСКОНАЛЕННЯ ПРОЦЕСУ ПРОЕКТУВАННЯ КОМПЛЕКТУ ФОРМЕНОГО ОДЯГУ УЧНІВ МОЛОДШОЇ ШКІЛЬНОЇ ГРУПИ 1.01 MB
  Актуальність теми обумовлена тим, що формений одяг (ФО) для учнів молодшої шкільної групи (МШГ), який експлуатується в загальноосвітніх навчальних закладах України, має низькі показники ергономічності. Одним з основних показників ергономічності є показник динамічної...
65371. Молекулярно-генетичний аналіз роду Beta L 338.5 KB
  Дослідження останніх десятиліть у галузі молекулярної генетики суттєво розширили наше уявлення щодо молекулярної організації геному еукаріот. Одним з напрямків молекулярної генетики є аналіз та характеристика генетичного різноманіття культурних рослин і диких видів...
65372. Безпека процесів виробництва та використання на гірничих підприємствах емульсійних вибухових речовин марки «ЕРА» 393.5 KB
  Однією з проблем утилізації ракет РС22 є створення безпечних технологічних процесів направлених не на знищення енергетичного потенціалу закладеного в твердому паливі балістичних ракет а на його ефективне використання після відповідної переробки при виробництві...
65373. Акустичний метод та система контролю витоків з трубопроводів 2.79 MB
  Тематика роботи є частиною планових науководослідних програм по розвитку нафтопромислового комплексу України і базується на результатах держбюджетних науководослідних робіт Розроблення методики діагностування установок нафтогазової...
65374. УДОСКОНАЛЕННЯ ТЕХНОЛОГІЇ ШВИДКОЗАМОРОЖЕНИХ ДЕСЕРТІВ 207 KB
  Наявність в Україні різноманітної фруктової та ягідної сировини дозволяє впровадити виробництво заморожених десертів з підвищеним вмістом біологічно активних речовин: легкозасвоюваних вуглеводів органічних кислот вітамінів каротиноїдів фенольних сполук мінеральних речовин харчових волокон.
65375. Авіаційна термінологія сучасної перської мови (характеристика, класифікація, створення та засоби поповнення) 125 KB
  Мета дослідження визначення ресурсів термінотворення в авіаційній термінології сучасної перської мови далі СПМ. Предмет дослідження і поставлена мета передбачають розвязання низки конкретних завдань теоретичного та практичного характеру: характеристика стану лексичного складу авіаційної...
65376. МЕТОД НАТУРНИХ ВИПРОБУВАНЬ ПЛИТ І ОБОЛОНОК 210 KB
  Задачі досліджень: аналіз існуючих методів натурних випробувань будівельних конструкцій включаючи виявлення їх особливостей а також економічної доцільності; формування принципів і основних наукових положень які фундують послідовність планування проведення та обробки...