86247

Визуализация численных методов

Курсовая

Информатика, кибернетика и программирование

В зависимости от числа независимых переменных и типа, входящих в них производных дифференциальные уравнения делятся на две существенно различные категории: обыкновенные, содержание одну независимую переменную и производные по ней, и уравнения в частных производных, содержащие несколько...

Русский

2015-04-04

166.5 KB

1 чел.

СИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ТЕЛЕКОММУНИКАЦИЙ И ИНФОРМАТИКИ

УРАЛЬСКИЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ СВЯЗИ И ИНФОРМАТИКИ

Факультет телекоммуникаций

Визуализация численных методов

            Выполнила: студентка гр. МЕ-52                       Раздрогина Т.А.

                                                                                                    Руководитель: Минина Е.Е.

Екатеринбург, 2006

Содержание

Введение……………………………………………………………………………………3

Постановка задачи…………………………………………………………………………4

Суть используемых методов………………………………………………………………5

Описание методов решения……………………………………………………………….6

Блок схема основных процедур…………………………………………………………...8

Исходная форма……………………………………………………………………………11

Форма конечный вид………………………………………………………………………12

Листинг программы………………………………………………………………………..13

Решение задачи в MathCAD……………………………………………………………….15

Заключение………………………………………………………………………………….16


Введение.

Существует множество технических систем и технологических процессов, характеристики которых непрерывно меняются со временем t. Такие явления обычно подчиняются физическим законам, которые формируются в виде дифференциальных уравнений.

Дифференциальными называются уравнения, содержащие одну или несколько производных. Лишь очень немногие из них удаётся  решить без помощи вычислительной техники. Поэтому численные методы решения дифференциальных уравнений играют важную роль в практике инженерных расчётов.

В зависимости от числа независимых переменных и типа, входящих в них производных дифференциальные уравнения делятся на две существенно различные категории: обыкновенные, содержание одну независимую переменную и производные по ней, и уравнения в частных производных, содержащие несколько независимых переменных и производные по ним, которые называются частными.

Чтобы решить обыкновенное дифференциальное уравнение, необходимо знать значения зависимой переменой и (или) её производных при некоторых значениях независимой переменной. Если эти дополнительные условия задаются при одном значении независимой переменной, то такая задача называется задачей с начальными условиями, или задачей Коши.


Постановка задачи.

В курсовой работе необходимо решить задачу Коши для дифференциального уравнения первого порядка на отрезке [x0, xк ] с шагом h  и начальным условием y(x0)= y0 методами Эйлера и Эйлера модифицированный.

Дано дифференциальное  уравнение: (x+1)2 dy+ydx =0,

Общее уравнение: ln׀y׀= -arctg(x)+c

                               Начальные условия     x0 =0

                        xk =1.8

                         h=0.1

                      y0 =1

Численное решение задачи Коши сводится к табулированию искомой функции. Ответ должен быть получен в виде таблицы результатов. Данные таблицы визуализировать на форме в виде графиков.


Суть используемых методов.

Метод Эйлера. Иногда этот метод называют методом Рунге – Кутта первого порядка точности.

Данный метод одношаговый. Табулирование функции происходит поочерёдно в каждой точке. Для расчёта значения функции в очередном узле необходимо использовать значения функции в одном предыдущем узле.

Метод Эйлера модифицированный. Для уменьшения погрешности вычислений часто используется модифицированный метод Эйлера. Этот метод имеет так же следующие названия: метод Эйлера-Коши или метод Рунге – Кутта второго порядка точности. При использовании модифицированного метода Эйлера шаг h делится на два отрезка.


Описание методов решения.

Дано дифференциальное уравнение первого порядка

                                                      (x+1)2 dy+ydx =0

        с начальным условием

y(x0)= y0.

Выберем шаг h=0.1 и введём обозначения:

         xi = x0+h*i  и yi=y(xi)., i=1,2,3…

                         xi – узлы сетки,

                                   yi  - значение интегральной функции в узлах сетки.

        Начальные условия задачи:

                                                 x0 =1

                                                 xk =1.8

                                                 y0 =1

1. Метод Эйлера

Иллюстрации к решению приведены на рисунке 1.

Проведём прямую AB через точку (x (i),y (i)) под углом α. При этом

                                       tgα = f(x(i),y(i)).                                    (1)

В соответствии с геометрическим смыслом задачи, прямая АВ является касательной к интегральной функции. Произведём замену точки интегральной функции точкой, лежащей на касательной АВ.

Тогда y(i+1)=y(i)+∆y                                                                     (2)

Из прямоугольного треугольника ABC  tgα = ∆y / h                 (3)

Приравняем правые части (1) и (3). Получим  ∆y / h =  f(x(i),y(i)).

Отсюда    ∆y = h* f(x(i),y(i)).

Подставим в это выражение формулу (2), а затем преобразуем его. В результате получаем формулу расчёта очередной точки интегральной функции:

            y(i+1) = y(i) + h* f(x(i),y(i))                                           (4).

Из формулы (4) видно, что для расчёта каждой следующей точки интегральной функции необходимо знать значение только одной предыдущей точки. Таким образом, зная начальные условия, можно построить интегральную кривую на заданном промежутке. На рисунке погрешность вычислений для i – го шага  обозначена е.

           2. Метод Эйлера модифицированный

При использовании модифицированного метода Эйлера шаг h делится на два отрезка. Иллюстрации к решению приведены на рисунке 2.

Решение происходит в несколько этапов:

  1.  Обозначим точки: А (x(i),y(i)), C (x(i)+h/2, y(i)+h/2*f (x(i),y(i))) и B (x(i+1),y(i+1)).
  2.  Через точку А проведём прямую под углом α, где

                                        tgα = f (x(i),y(i))

  1.  На этой прямой найдём точку С (x(i)+h/2, y(i)+h/2*f(x(i),y(i))).
  2.  Через точку С проведём прямую под углом  α1, где                                             

                    tgα1 = f (x(i)+h/2,y(i)+ h/2*f (x(i),y(i)))

  1.  Через точку А проведём прямую, параллельную последней прямой.
  2.  Найдём точку  B (x(i+1),y(i+1)). Будем считать B(x(i+1),y(i+1)) решением дифференциального уравнения при x = x(i+1)
  3.  После проведения вычислений, аналогичных вычислениям, описанным в методе Эйлера, получим формулу для определения значения y(i+1):

                                 y(i+1) = y(i) + h*f(x(i)+h/2, y(i)+h/2*f(x(i),y(i))

Модифицированный Эйлер даёт меньшую погрешность. На рисунке 2 это хорошо видно. Так величина Е1 характеризует погрешность метода Эйлера, а Е – погрешность метода Эйлера модифицированного.  


Блок схема основных процедур.




Исходная форма.


Форма конечный вид


Листинг программы.

Dim X(9) As Single

Dim Y(9) As Single

Dim Y1(9) As Single

Dim Y2(9) As Single

Private Function f(t As Single, z As Single) As Single

f = -z / (1+t)2

End Function

Private Function f1(l As Single) As Single

f1 =  Exp (-atan(l)+3.14/4)

End Function

Private Sub Command1_Click()

   x0 = Val(Text1.Text)

   xk = Val(Text2.Text)

   y0 = Val(Text3.Text)

   h = Val(Text4.Text)

   MSFlexGrid1.TextMatrix(0, 0) = "X"

   MSFlexGrid1.TextMatrix(0, 1) = "Y"

   MSFlexGrid1.TextMatrix(0, 2) = "Y1"

   MSFlexGrid1.TextMatrix(0, 3) = "Y2"

   n = (xk - x0) / h

   MSFlexGrid1.Rows = n + 2

   Max = f1(X(0))

   Min = f1(X(0))

   X(0)=x0

   Y1(0) = y0

   Y2(0) = y0

   For i = 0 To n

   X(i) = x0 + i * h

   Y(i) = Round(f1(X(i)))

   Y1(i + 1) = Round(Y1(i) + h * f(X(i), Y1(i)))

   Y2(i + 1) = Round(Y2(i) + h * f(X(i) + h / 2, Y2(i) + h / 2 * f(X(i), Y2(i))))

   MSFlexGrid1.TextMatrix(i + 1, 0) = X(i)

   MSFlexGrid1.TextMatrix(i + 1, 1) = Y(i)

   MSFlexGrid1.TextMatrix(i + 1, 2) = Y1(i)

   MSFlexGrid1.TextMatrix(i + 1, 3) = Y2(i)

   If Y(i) > Max Then Max = Y(i)

   If Y(i) < Min Then Min = Y(i)

   If Y1(i) > Max Then Max = Y1(i)

   If Y1(i) < Min Then Min = Y1(i)

   If Y2(i) > Max Then Max = Y2(i)

   If Y2(i) < Min Then Min = Y2(i)

   Next i

   For i = 0 To n - 1

   d = 2412 / (xk - x0)

   d1 = 3368 / (Min - Max)

   z1 = Round((X(i) - X(0)) * d + 240, 0)

   z2 = Round(3720 - Abs((Y(i) - Min) * d1), 0)

   z3 = Round((X(i + 1) - X(0)) * d + 240, 0)

   z4 = Round(3720 - Abs((Y(i + 1) - Min) * d1), 0)

   q1 = Round(3720 - Abs((Y1(i) - Min) * d1), 0)

   q2 = Round(3720 - Abs((Y1(i + 1) - Min) * d1), 0)

   o1 = Round(3720 - Abs((Y2(i) - Min) * d1), 0)

   o2 = Round(3720 - Abs((Y2(i + 1) - Min) * d1), 0)

   Picture1.Line (z1, z2)-(z3, z4)

   Picture1.Line (z1, q1)-(z3, q2)

   Picture1.Line (z1, o1)-(z3, o2)

   Next i

End Sub

Заключение

В данной курсовой работе мы решили задачу Коши для дифференциального уравнения первого порядка на отрезке [x0, xк ] с шагом h  и начальным условием y(x0)= y0 методами Эйлера и Эйлера модифицированный, предварительно тщательно ознакомившись с этими методами.

Ответ получен в виде таблицы результатов. Данные таблицы визуализированы на форме в виде графиков. Для уменьшения погрешности вычислений очень удобен модифицированный метод Эйлера.


B

О

x(i)

x(i+1)

hаавывывывысывсывсывсысысысысыссчс

y(i)

  y

x

е

y= y(x)

y(i+1)

α

A

Рис. 1

B

C

A

x

α1

α

h/2

x(i)

O

y

h

x(i+1)

E1

E

y= y(x)

Рис. 2

    Начало

x0, xk, y0, h

n = (xk – x0)/h

Max = f1(x0)

Min = f1(x0)

                                                   i = 0 … n

Y1(0) = y0

Y2(0) = y0

X(i) = x0 + i*h

      X(i), Y(i), Y1(i), Y2(i)

Y(i)>max

1

4

2

3

-

+

Y(i) = f1(X(i))

1(i+1) = Y(i)+h*f(X(i),Y(i))

Y2(i + 1) = Y2(i) + h * f(X(i) + h / 2, Y2(i) + h / 2 * f(X(i), Y(i))                              

-

+

 Max = Y(i)

4

3

Y(i)<min

 Min = Y(i)

Шаблон графика

d = 2412 / (xk - x0)

d1 = 3368 / (Max - Min)

z1 = (X(i) - X(0)) * d + 240

z2 = 3720 - (Y(i) - Min) * d1

z3 = (X(i + 1) - X(0)) * d + 240

z4 = 3720 - (Y(i + 1) - Min) * d1

  Line (z1, z2) - (z3, z4)

q1 = 3720 - (Y1(i) - Min) * d1

q2 = 3720 - (Y1(i + 1) - Min) * d1

  Line (z1, q1) - (z2, q2)

2

o1 = 3720 - (Y2(i) - Min) * d1

o2 = 3720 - (Y2(i + 1) - Min) * d1

1

          Line (z1, o1) - (z2, o2)

     Конец

        f (t)

f = -z / 1+t2

     Конец

        f1 (l)

f1=Exp(-arctg(1)+π/4)

     Конец

+

 Max = Y1(i)

Y2(i)<min

 Min = Y2(i)

 Max = Y2(i)

+

+

+

Y2(i)>max

 Min = Y1(i)

Y1(i)<min

Y1(i)>max

i = 0 … n-1

6

6


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

6955. Рационалистическая философия Декарта. Учение о субстанции 96 KB
  Рационалистическая философия Декарта. Учение о субстанции Декарт - основоположник рационализма, значение его философии. Основоположником рационализма считается Рене Декарт (1596 – 1650) - видный французский философ и ученый математик....
6956. Спиноза: учение о субстанции 26 KB
  Б. Спиноза: учение о субстанции Слабым пунктом учения Декарта был неопределенный статус субстанций: с одной стороны, подлинным бытием обладала только бесконечная субстанция - Бог, а конечные, то есть сотворенные, субстанции находились в зависим...
6957. Дільниця технічного обслуговування та поточного ремонту автомобілів КАВЗ-3270 ТА ПАЗ-32054 549 KB
  Важливі науково-технічні відкриття привели до корінних змін у структурі світової економіки, індустріалізації побуту включили у сферу виробництва і збуту нові моделі машин, устаткування, нові матеріали і технології змінили організацію вир...
6958. Визначення зусилля і питоме зусилля об’ємного осаджування циліндричної заготовки d=200мм і висотою h=300мм, інженерним методом розрахунків 147.5 KB
  Теоретичні відомості Осадкою називають технологічну операцію, за допомогою якої зменшують висоту заготівки з одночасним збільшенням її поперечних розмірів. У технологічних процесах кування осадка застосовуємся, як основна так і попередня операція...
6959. Економіка праці та соціально-трудових відносин 703 KB
  Тема1 Ринок праці в економічній системі План лекції: 1.Поняття ринку праці, його елементи і функції 2.Структура, типи і сегменти ринків праці 3.Теоретичні основи аналізу ринку праці Рекомендована література до теми: 1. Богиня Д. П. Основи економік...
6960. Проектирование винтового горизонтального конвейера 248 KB
  Задание Спроектировать винтовой горизонтальный конвейер со следующими параметрами: Производительность Q = 4 т/ч Длина конвейера L = 15 м Транспортируемый материал– зола сухая. Рис.1 Схема винтового конвейера...
6961. Экономика предприятия. Учебный курс 1.58 MB
  В учебном пособии Экономика предприятий дается представление о производственном предприятии как целостной организационно-экономической и социальной системе. Подробно рассмотрены темы, касающиеся обоснования потребности предприятия в основных ресурса...
6962. Назначение режима резания при сверлении, зенкеровании и развертывании 143 KB
  Назначение режима резания при сверлении, зенкеровании и развертывании Цель работы: изучить методику назначения режимов резания по таблицам нормативов. Ознакомиться и приобрести навыки работы с нормативами. Задание: На вертикально-сверлильном станке ...
6963. Серебренный век в русском искусстве 1.4 MB
  Введения Тема меня заинтересовала сразу, потому что считал серебренный век одна из важнейших частей нашей культурной истории России. Задача как можно больше рассказать и пояснить о особенностях серебренного века. Описать каждую из отраслей серебренн...