86247

Визуализация численных методов

Курсовая

Информатика, кибернетика и программирование

В зависимости от числа независимых переменных и типа, входящих в них производных дифференциальные уравнения делятся на две существенно различные категории: обыкновенные, содержание одну независимую переменную и производные по ней, и уравнения в частных производных, содержащие несколько...

Русский

2015-04-04

166.5 KB

1 чел.

СИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ТЕЛЕКОММУНИКАЦИЙ И ИНФОРМАТИКИ

УРАЛЬСКИЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ СВЯЗИ И ИНФОРМАТИКИ

Факультет телекоммуникаций

Визуализация численных методов

            Выполнила: студентка гр. МЕ-52                       Раздрогина Т.А.

                                                                                                    Руководитель: Минина Е.Е.

Екатеринбург, 2006

Содержание

Введение……………………………………………………………………………………3

Постановка задачи…………………………………………………………………………4

Суть используемых методов………………………………………………………………5

Описание методов решения……………………………………………………………….6

Блок схема основных процедур…………………………………………………………...8

Исходная форма……………………………………………………………………………11

Форма конечный вид………………………………………………………………………12

Листинг программы………………………………………………………………………..13

Решение задачи в MathCAD……………………………………………………………….15

Заключение………………………………………………………………………………….16


Введение.

Существует множество технических систем и технологических процессов, характеристики которых непрерывно меняются со временем t. Такие явления обычно подчиняются физическим законам, которые формируются в виде дифференциальных уравнений.

Дифференциальными называются уравнения, содержащие одну или несколько производных. Лишь очень немногие из них удаётся  решить без помощи вычислительной техники. Поэтому численные методы решения дифференциальных уравнений играют важную роль в практике инженерных расчётов.

В зависимости от числа независимых переменных и типа, входящих в них производных дифференциальные уравнения делятся на две существенно различные категории: обыкновенные, содержание одну независимую переменную и производные по ней, и уравнения в частных производных, содержащие несколько независимых переменных и производные по ним, которые называются частными.

Чтобы решить обыкновенное дифференциальное уравнение, необходимо знать значения зависимой переменой и (или) её производных при некоторых значениях независимой переменной. Если эти дополнительные условия задаются при одном значении независимой переменной, то такая задача называется задачей с начальными условиями, или задачей Коши.


Постановка задачи.

В курсовой работе необходимо решить задачу Коши для дифференциального уравнения первого порядка на отрезке [x0, xк ] с шагом h  и начальным условием y(x0)= y0 методами Эйлера и Эйлера модифицированный.

Дано дифференциальное  уравнение: (x+1)2 dy+ydx =0,

Общее уравнение: ln׀y׀= -arctg(x)+c

                               Начальные условия     x0 =0

                        xk =1.8

                         h=0.1

                      y0 =1

Численное решение задачи Коши сводится к табулированию искомой функции. Ответ должен быть получен в виде таблицы результатов. Данные таблицы визуализировать на форме в виде графиков.


Суть используемых методов.

Метод Эйлера. Иногда этот метод называют методом Рунге – Кутта первого порядка точности.

Данный метод одношаговый. Табулирование функции происходит поочерёдно в каждой точке. Для расчёта значения функции в очередном узле необходимо использовать значения функции в одном предыдущем узле.

Метод Эйлера модифицированный. Для уменьшения погрешности вычислений часто используется модифицированный метод Эйлера. Этот метод имеет так же следующие названия: метод Эйлера-Коши или метод Рунге – Кутта второго порядка точности. При использовании модифицированного метода Эйлера шаг h делится на два отрезка.


Описание методов решения.

Дано дифференциальное уравнение первого порядка

                                                      (x+1)2 dy+ydx =0

        с начальным условием

y(x0)= y0.

Выберем шаг h=0.1 и введём обозначения:

         xi = x0+h*i  и yi=y(xi)., i=1,2,3…

                         xi – узлы сетки,

                                   yi  - значение интегральной функции в узлах сетки.

        Начальные условия задачи:

                                                 x0 =1

                                                 xk =1.8

                                                 y0 =1

1. Метод Эйлера

Иллюстрации к решению приведены на рисунке 1.

Проведём прямую AB через точку (x (i),y (i)) под углом α. При этом

                                       tgα = f(x(i),y(i)).                                    (1)

В соответствии с геометрическим смыслом задачи, прямая АВ является касательной к интегральной функции. Произведём замену точки интегральной функции точкой, лежащей на касательной АВ.

Тогда y(i+1)=y(i)+∆y                                                                     (2)

Из прямоугольного треугольника ABC  tgα = ∆y / h                 (3)

Приравняем правые части (1) и (3). Получим  ∆y / h =  f(x(i),y(i)).

Отсюда    ∆y = h* f(x(i),y(i)).

Подставим в это выражение формулу (2), а затем преобразуем его. В результате получаем формулу расчёта очередной точки интегральной функции:

            y(i+1) = y(i) + h* f(x(i),y(i))                                           (4).

Из формулы (4) видно, что для расчёта каждой следующей точки интегральной функции необходимо знать значение только одной предыдущей точки. Таким образом, зная начальные условия, можно построить интегральную кривую на заданном промежутке. На рисунке погрешность вычислений для i – го шага  обозначена е.

           2. Метод Эйлера модифицированный

При использовании модифицированного метода Эйлера шаг h делится на два отрезка. Иллюстрации к решению приведены на рисунке 2.

Решение происходит в несколько этапов:

  1.  Обозначим точки: А (x(i),y(i)), C (x(i)+h/2, y(i)+h/2*f (x(i),y(i))) и B (x(i+1),y(i+1)).
  2.  Через точку А проведём прямую под углом α, где

                                        tgα = f (x(i),y(i))

  1.  На этой прямой найдём точку С (x(i)+h/2, y(i)+h/2*f(x(i),y(i))).
  2.  Через точку С проведём прямую под углом  α1, где                                             

                    tgα1 = f (x(i)+h/2,y(i)+ h/2*f (x(i),y(i)))

  1.  Через точку А проведём прямую, параллельную последней прямой.
  2.  Найдём точку  B (x(i+1),y(i+1)). Будем считать B(x(i+1),y(i+1)) решением дифференциального уравнения при x = x(i+1)
  3.  После проведения вычислений, аналогичных вычислениям, описанным в методе Эйлера, получим формулу для определения значения y(i+1):

                                 y(i+1) = y(i) + h*f(x(i)+h/2, y(i)+h/2*f(x(i),y(i))

Модифицированный Эйлер даёт меньшую погрешность. На рисунке 2 это хорошо видно. Так величина Е1 характеризует погрешность метода Эйлера, а Е – погрешность метода Эйлера модифицированного.  


Блок схема основных процедур.




Исходная форма.


Форма конечный вид


Листинг программы.

Dim X(9) As Single

Dim Y(9) As Single

Dim Y1(9) As Single

Dim Y2(9) As Single

Private Function f(t As Single, z As Single) As Single

f = -z / (1+t)2

End Function

Private Function f1(l As Single) As Single

f1 =  Exp (-atan(l)+3.14/4)

End Function

Private Sub Command1_Click()

   x0 = Val(Text1.Text)

   xk = Val(Text2.Text)

   y0 = Val(Text3.Text)

   h = Val(Text4.Text)

   MSFlexGrid1.TextMatrix(0, 0) = "X"

   MSFlexGrid1.TextMatrix(0, 1) = "Y"

   MSFlexGrid1.TextMatrix(0, 2) = "Y1"

   MSFlexGrid1.TextMatrix(0, 3) = "Y2"

   n = (xk - x0) / h

   MSFlexGrid1.Rows = n + 2

   Max = f1(X(0))

   Min = f1(X(0))

   X(0)=x0

   Y1(0) = y0

   Y2(0) = y0

   For i = 0 To n

   X(i) = x0 + i * h

   Y(i) = Round(f1(X(i)))

   Y1(i + 1) = Round(Y1(i) + h * f(X(i), Y1(i)))

   Y2(i + 1) = Round(Y2(i) + h * f(X(i) + h / 2, Y2(i) + h / 2 * f(X(i), Y2(i))))

   MSFlexGrid1.TextMatrix(i + 1, 0) = X(i)

   MSFlexGrid1.TextMatrix(i + 1, 1) = Y(i)

   MSFlexGrid1.TextMatrix(i + 1, 2) = Y1(i)

   MSFlexGrid1.TextMatrix(i + 1, 3) = Y2(i)

   If Y(i) > Max Then Max = Y(i)

   If Y(i) < Min Then Min = Y(i)

   If Y1(i) > Max Then Max = Y1(i)

   If Y1(i) < Min Then Min = Y1(i)

   If Y2(i) > Max Then Max = Y2(i)

   If Y2(i) < Min Then Min = Y2(i)

   Next i

   For i = 0 To n - 1

   d = 2412 / (xk - x0)

   d1 = 3368 / (Min - Max)

   z1 = Round((X(i) - X(0)) * d + 240, 0)

   z2 = Round(3720 - Abs((Y(i) - Min) * d1), 0)

   z3 = Round((X(i + 1) - X(0)) * d + 240, 0)

   z4 = Round(3720 - Abs((Y(i + 1) - Min) * d1), 0)

   q1 = Round(3720 - Abs((Y1(i) - Min) * d1), 0)

   q2 = Round(3720 - Abs((Y1(i + 1) - Min) * d1), 0)

   o1 = Round(3720 - Abs((Y2(i) - Min) * d1), 0)

   o2 = Round(3720 - Abs((Y2(i + 1) - Min) * d1), 0)

   Picture1.Line (z1, z2)-(z3, z4)

   Picture1.Line (z1, q1)-(z3, q2)

   Picture1.Line (z1, o1)-(z3, o2)

   Next i

End Sub

Заключение

В данной курсовой работе мы решили задачу Коши для дифференциального уравнения первого порядка на отрезке [x0, xк ] с шагом h  и начальным условием y(x0)= y0 методами Эйлера и Эйлера модифицированный, предварительно тщательно ознакомившись с этими методами.

Ответ получен в виде таблицы результатов. Данные таблицы визуализированы на форме в виде графиков. Для уменьшения погрешности вычислений очень удобен модифицированный метод Эйлера.


B

О

x(i)

x(i+1)

hаавывывывысывсывсывсысысысысыссчс

y(i)

  y

x

е

y= y(x)

y(i+1)

α

A

Рис. 1

B

C

A

x

α1

α

h/2

x(i)

O

y

h

x(i+1)

E1

E

y= y(x)

Рис. 2

    Начало

x0, xk, y0, h

n = (xk – x0)/h

Max = f1(x0)

Min = f1(x0)

                                                   i = 0 … n

Y1(0) = y0

Y2(0) = y0

X(i) = x0 + i*h

      X(i), Y(i), Y1(i), Y2(i)

Y(i)>max

1

4

2

3

-

+

Y(i) = f1(X(i))

1(i+1) = Y(i)+h*f(X(i),Y(i))

Y2(i + 1) = Y2(i) + h * f(X(i) + h / 2, Y2(i) + h / 2 * f(X(i), Y(i))                              

-

+

 Max = Y(i)

4

3

Y(i)<min

 Min = Y(i)

Шаблон графика

d = 2412 / (xk - x0)

d1 = 3368 / (Max - Min)

z1 = (X(i) - X(0)) * d + 240

z2 = 3720 - (Y(i) - Min) * d1

z3 = (X(i + 1) - X(0)) * d + 240

z4 = 3720 - (Y(i + 1) - Min) * d1

  Line (z1, z2) - (z3, z4)

q1 = 3720 - (Y1(i) - Min) * d1

q2 = 3720 - (Y1(i + 1) - Min) * d1

  Line (z1, q1) - (z2, q2)

2

o1 = 3720 - (Y2(i) - Min) * d1

o2 = 3720 - (Y2(i + 1) - Min) * d1

1

          Line (z1, o1) - (z2, o2)

     Конец

        f (t)

f = -z / 1+t2

     Конец

        f1 (l)

f1=Exp(-arctg(1)+π/4)

     Конец

+

 Max = Y1(i)

Y2(i)<min

 Min = Y2(i)

 Max = Y2(i)

+

+

+

Y2(i)>max

 Min = Y1(i)

Y1(i)<min

Y1(i)>max

i = 0 … n-1

6

6


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

18607. ИЕРАРХИЧЕСКАЯ СТРУКТУРА ПРОЕКТНЫХ УРОВНЕЙ ПРОЕКТИРОВАНИЯ 33.5 KB
  ИЕРАРХИЧЕСКАЯ СТРУКТУРА ПРОЕКТНЫХ УРОВНЕЙ ПРОЕКТИРОВАНИЯ Выполнение проектных операций и процедур в САПР основано на оперировании математических моделей ММ. С их помощью прогнозируются характеристики и оцениваются возможности предложенных вариантов схем и констр...
18608. Требования к математическим моделям и их классификация 48 KB
  Требования к математическим моделям и их классификация Под математической моделью ММ конструкции технологического процесса и его элементов понимают систему математических соотношений описывающих с требуемой точностью изучаемый объект и его поведение в производст...
18609. МЕТОДИКА ПОЛУЧЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ ЭЛЕМЕНТОВ 69 KB
  МЕТОДИКА ПОЛУЧЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ ЭЛЕМЕНТОВ Получение математических моделей элементов включает в себя следующие операции: Выбор свойств объекта которые подлежат отражению в модели. Выбор основан на анализе возможных применений модели и определяет сте
18610. Иерархия математических моделей в САПР 82.5 KB
  Иерархия математических моделей в САПР Блочноиерархический подход к проектированию радиоэлектронных средств РЭС включает в качестве своей основы иерархию математических моделей. Деление моделей по иерархическим уровням уровням абстрагирования происходит по сте
18611. Автоматизация проектирования 41 KB
  Автоматизация проектирования Проектирование процесс составления описания необходимого для создания в заданных условиях еще не существующего объекта на основе первичного описания этого объекта и или алгоритма его функционирования. Проектирование сложный спе...
18612. Стадии проектирования САПР 29 KB
  Стадии проектирования САПР В России действует государственный стандарт на стадии проектирования САПР ГОСТ 34.60190. Существует и международный стандарт на стадии жизненного цикла программной продукции ISO12207:1995. Проектирование как процесс развивающийся во вр...
18613. Признаки и принципы САПР 29.5 KB
  Признаки и принципы САПР САПР характеризуют следующие признаки: 1. Тип. 2. Разновидность. 3. Сложность объекта проектирования. 4. Уровень. 5. Комплексность автоматизации проектирования. 6. Характер. 7. Число выпускаемых проектных документов. 8. Число уровней в с...
18614. Уровни систем САПР, примеры программных продуктов 32 KB
  Уровни систем САПР примеры программных продуктов Различают 3 типа САПР: высокого среднего низкого уровня €œтяжелые€ €средние€ €легкие€ соответственно различающиеся набором опций и предлагаемым интерфейсом. Практический смысл трехуровневой классификаци...
18615. Виды обеспечения САПР. Организационное обеспечение САПР 25.5 KB
  Виды обеспечения САПР Выделяют семь видов обеспечения САПР: 1 математическое; 2 программное; 3техническое; 4 информационное; 5 лингвистическое; 6 методическое; 7 организационное. Методическое обеспечение САПР Методическое обеспечение САПР докуме...