86247

Визуализация численных методов

Курсовая

Информатика, кибернетика и программирование

В зависимости от числа независимых переменных и типа, входящих в них производных дифференциальные уравнения делятся на две существенно различные категории: обыкновенные, содержание одну независимую переменную и производные по ней, и уравнения в частных производных, содержащие несколько...

Русский

2015-04-04

166.5 KB

1 чел.

СИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ТЕЛЕКОММУНИКАЦИЙ И ИНФОРМАТИКИ

УРАЛЬСКИЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ СВЯЗИ И ИНФОРМАТИКИ

Факультет телекоммуникаций

Визуализация численных методов

            Выполнила: студентка гр. МЕ-52                       Раздрогина Т.А.

                                                                                                    Руководитель: Минина Е.Е.

Екатеринбург, 2006

Содержание

Введение……………………………………………………………………………………3

Постановка задачи…………………………………………………………………………4

Суть используемых методов………………………………………………………………5

Описание методов решения……………………………………………………………….6

Блок схема основных процедур…………………………………………………………...8

Исходная форма……………………………………………………………………………11

Форма конечный вид………………………………………………………………………12

Листинг программы………………………………………………………………………..13

Решение задачи в MathCAD……………………………………………………………….15

Заключение………………………………………………………………………………….16


Введение.

Существует множество технических систем и технологических процессов, характеристики которых непрерывно меняются со временем t. Такие явления обычно подчиняются физическим законам, которые формируются в виде дифференциальных уравнений.

Дифференциальными называются уравнения, содержащие одну или несколько производных. Лишь очень немногие из них удаётся  решить без помощи вычислительной техники. Поэтому численные методы решения дифференциальных уравнений играют важную роль в практике инженерных расчётов.

В зависимости от числа независимых переменных и типа, входящих в них производных дифференциальные уравнения делятся на две существенно различные категории: обыкновенные, содержание одну независимую переменную и производные по ней, и уравнения в частных производных, содержащие несколько независимых переменных и производные по ним, которые называются частными.

Чтобы решить обыкновенное дифференциальное уравнение, необходимо знать значения зависимой переменой и (или) её производных при некоторых значениях независимой переменной. Если эти дополнительные условия задаются при одном значении независимой переменной, то такая задача называется задачей с начальными условиями, или задачей Коши.


Постановка задачи.

В курсовой работе необходимо решить задачу Коши для дифференциального уравнения первого порядка на отрезке [x0, xк ] с шагом h  и начальным условием y(x0)= y0 методами Эйлера и Эйлера модифицированный.

Дано дифференциальное  уравнение: (x+1)2 dy+ydx =0,

Общее уравнение: ln׀y׀= -arctg(x)+c

                               Начальные условия     x0 =0

                        xk =1.8

                         h=0.1

                      y0 =1

Численное решение задачи Коши сводится к табулированию искомой функции. Ответ должен быть получен в виде таблицы результатов. Данные таблицы визуализировать на форме в виде графиков.


Суть используемых методов.

Метод Эйлера. Иногда этот метод называют методом Рунге – Кутта первого порядка точности.

Данный метод одношаговый. Табулирование функции происходит поочерёдно в каждой точке. Для расчёта значения функции в очередном узле необходимо использовать значения функции в одном предыдущем узле.

Метод Эйлера модифицированный. Для уменьшения погрешности вычислений часто используется модифицированный метод Эйлера. Этот метод имеет так же следующие названия: метод Эйлера-Коши или метод Рунге – Кутта второго порядка точности. При использовании модифицированного метода Эйлера шаг h делится на два отрезка.


Описание методов решения.

Дано дифференциальное уравнение первого порядка

                                                      (x+1)2 dy+ydx =0

        с начальным условием

y(x0)= y0.

Выберем шаг h=0.1 и введём обозначения:

         xi = x0+h*i  и yi=y(xi)., i=1,2,3…

                         xi – узлы сетки,

                                   yi  - значение интегральной функции в узлах сетки.

        Начальные условия задачи:

                                                 x0 =1

                                                 xk =1.8

                                                 y0 =1

1. Метод Эйлера

Иллюстрации к решению приведены на рисунке 1.

Проведём прямую AB через точку (x (i),y (i)) под углом α. При этом

                                       tgα = f(x(i),y(i)).                                    (1)

В соответствии с геометрическим смыслом задачи, прямая АВ является касательной к интегральной функции. Произведём замену точки интегральной функции точкой, лежащей на касательной АВ.

Тогда y(i+1)=y(i)+∆y                                                                     (2)

Из прямоугольного треугольника ABC  tgα = ∆y / h                 (3)

Приравняем правые части (1) и (3). Получим  ∆y / h =  f(x(i),y(i)).

Отсюда    ∆y = h* f(x(i),y(i)).

Подставим в это выражение формулу (2), а затем преобразуем его. В результате получаем формулу расчёта очередной точки интегральной функции:

            y(i+1) = y(i) + h* f(x(i),y(i))                                           (4).

Из формулы (4) видно, что для расчёта каждой следующей точки интегральной функции необходимо знать значение только одной предыдущей точки. Таким образом, зная начальные условия, можно построить интегральную кривую на заданном промежутке. На рисунке погрешность вычислений для i – го шага  обозначена е.

           2. Метод Эйлера модифицированный

При использовании модифицированного метода Эйлера шаг h делится на два отрезка. Иллюстрации к решению приведены на рисунке 2.

Решение происходит в несколько этапов:

  1.  Обозначим точки: А (x(i),y(i)), C (x(i)+h/2, y(i)+h/2*f (x(i),y(i))) и B (x(i+1),y(i+1)).
  2.  Через точку А проведём прямую под углом α, где

                                        tgα = f (x(i),y(i))

  1.  На этой прямой найдём точку С (x(i)+h/2, y(i)+h/2*f(x(i),y(i))).
  2.  Через точку С проведём прямую под углом  α1, где                                             

                    tgα1 = f (x(i)+h/2,y(i)+ h/2*f (x(i),y(i)))

  1.  Через точку А проведём прямую, параллельную последней прямой.
  2.  Найдём точку  B (x(i+1),y(i+1)). Будем считать B(x(i+1),y(i+1)) решением дифференциального уравнения при x = x(i+1)
  3.  После проведения вычислений, аналогичных вычислениям, описанным в методе Эйлера, получим формулу для определения значения y(i+1):

                                 y(i+1) = y(i) + h*f(x(i)+h/2, y(i)+h/2*f(x(i),y(i))

Модифицированный Эйлер даёт меньшую погрешность. На рисунке 2 это хорошо видно. Так величина Е1 характеризует погрешность метода Эйлера, а Е – погрешность метода Эйлера модифицированного.  


Блок схема основных процедур.




Исходная форма.


Форма конечный вид


Листинг программы.

Dim X(9) As Single

Dim Y(9) As Single

Dim Y1(9) As Single

Dim Y2(9) As Single

Private Function f(t As Single, z As Single) As Single

f = -z / (1+t)2

End Function

Private Function f1(l As Single) As Single

f1 =  Exp (-atan(l)+3.14/4)

End Function

Private Sub Command1_Click()

   x0 = Val(Text1.Text)

   xk = Val(Text2.Text)

   y0 = Val(Text3.Text)

   h = Val(Text4.Text)

   MSFlexGrid1.TextMatrix(0, 0) = "X"

   MSFlexGrid1.TextMatrix(0, 1) = "Y"

   MSFlexGrid1.TextMatrix(0, 2) = "Y1"

   MSFlexGrid1.TextMatrix(0, 3) = "Y2"

   n = (xk - x0) / h

   MSFlexGrid1.Rows = n + 2

   Max = f1(X(0))

   Min = f1(X(0))

   X(0)=x0

   Y1(0) = y0

   Y2(0) = y0

   For i = 0 To n

   X(i) = x0 + i * h

   Y(i) = Round(f1(X(i)))

   Y1(i + 1) = Round(Y1(i) + h * f(X(i), Y1(i)))

   Y2(i + 1) = Round(Y2(i) + h * f(X(i) + h / 2, Y2(i) + h / 2 * f(X(i), Y2(i))))

   MSFlexGrid1.TextMatrix(i + 1, 0) = X(i)

   MSFlexGrid1.TextMatrix(i + 1, 1) = Y(i)

   MSFlexGrid1.TextMatrix(i + 1, 2) = Y1(i)

   MSFlexGrid1.TextMatrix(i + 1, 3) = Y2(i)

   If Y(i) > Max Then Max = Y(i)

   If Y(i) < Min Then Min = Y(i)

   If Y1(i) > Max Then Max = Y1(i)

   If Y1(i) < Min Then Min = Y1(i)

   If Y2(i) > Max Then Max = Y2(i)

   If Y2(i) < Min Then Min = Y2(i)

   Next i

   For i = 0 To n - 1

   d = 2412 / (xk - x0)

   d1 = 3368 / (Min - Max)

   z1 = Round((X(i) - X(0)) * d + 240, 0)

   z2 = Round(3720 - Abs((Y(i) - Min) * d1), 0)

   z3 = Round((X(i + 1) - X(0)) * d + 240, 0)

   z4 = Round(3720 - Abs((Y(i + 1) - Min) * d1), 0)

   q1 = Round(3720 - Abs((Y1(i) - Min) * d1), 0)

   q2 = Round(3720 - Abs((Y1(i + 1) - Min) * d1), 0)

   o1 = Round(3720 - Abs((Y2(i) - Min) * d1), 0)

   o2 = Round(3720 - Abs((Y2(i + 1) - Min) * d1), 0)

   Picture1.Line (z1, z2)-(z3, z4)

   Picture1.Line (z1, q1)-(z3, q2)

   Picture1.Line (z1, o1)-(z3, o2)

   Next i

End Sub

Заключение

В данной курсовой работе мы решили задачу Коши для дифференциального уравнения первого порядка на отрезке [x0, xк ] с шагом h  и начальным условием y(x0)= y0 методами Эйлера и Эйлера модифицированный, предварительно тщательно ознакомившись с этими методами.

Ответ получен в виде таблицы результатов. Данные таблицы визуализированы на форме в виде графиков. Для уменьшения погрешности вычислений очень удобен модифицированный метод Эйлера.


B

О

x(i)

x(i+1)

hаавывывывысывсывсывсысысысысыссчс

y(i)

  y

x

е

y= y(x)

y(i+1)

α

A

Рис. 1

B

C

A

x

α1

α

h/2

x(i)

O

y

h

x(i+1)

E1

E

y= y(x)

Рис. 2

    Начало

x0, xk, y0, h

n = (xk – x0)/h

Max = f1(x0)

Min = f1(x0)

                                                   i = 0 … n

Y1(0) = y0

Y2(0) = y0

X(i) = x0 + i*h

      X(i), Y(i), Y1(i), Y2(i)

Y(i)>max

1

4

2

3

-

+

Y(i) = f1(X(i))

1(i+1) = Y(i)+h*f(X(i),Y(i))

Y2(i + 1) = Y2(i) + h * f(X(i) + h / 2, Y2(i) + h / 2 * f(X(i), Y(i))                              

-

+

 Max = Y(i)

4

3

Y(i)<min

 Min = Y(i)

Шаблон графика

d = 2412 / (xk - x0)

d1 = 3368 / (Max - Min)

z1 = (X(i) - X(0)) * d + 240

z2 = 3720 - (Y(i) - Min) * d1

z3 = (X(i + 1) - X(0)) * d + 240

z4 = 3720 - (Y(i + 1) - Min) * d1

  Line (z1, z2) - (z3, z4)

q1 = 3720 - (Y1(i) - Min) * d1

q2 = 3720 - (Y1(i + 1) - Min) * d1

  Line (z1, q1) - (z2, q2)

2

o1 = 3720 - (Y2(i) - Min) * d1

o2 = 3720 - (Y2(i + 1) - Min) * d1

1

          Line (z1, o1) - (z2, o2)

     Конец

        f (t)

f = -z / 1+t2

     Конец

        f1 (l)

f1=Exp(-arctg(1)+π/4)

     Конец

+

 Max = Y1(i)

Y2(i)<min

 Min = Y2(i)

 Max = Y2(i)

+

+

+

Y2(i)>max

 Min = Y1(i)

Y1(i)<min

Y1(i)>max

i = 0 … n-1

6

6


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

77199. Формирование кадровой политики 1.21 MB
  Осуществление в настоящее время преобразований в формах и методах управления, организационных структурах, направленных на стимулирование предприимчивости и развитие рыночных отношений предприятий с разными формами собственности, часто недостаточно эффективно и не достигает поставленных целей.
77200. Психологические условия формирования имиджа руководителя 1.09 MB
  В процессе деятельности у руководителя существует необходимость формировать о себе позитивное мнение в окружающем его социуме. Причины для этого могут быть разные. Это стремление к карьерному росту, принятие новой должности, желание занять более высокий социальный статус в коллективе...
77201. Выборы Президента РФ 871 KB
  Граждане Российской Федерации обладающие пассивным избирательным правом могут быть выдвинуты кандидатами непосредственно либо в составе списка кандидатов в соответствии с настоящим Федеральным законом иным законом.
77202. Вредители бобовых культур 86.5 KB
  Основные вредители гороха и меры борьбы с ними. Основные вредители люпина и система защитных мероприятий. Вредители многолетних бобовых трав. Интегрированная система защиты бобовых культур от вредителей...
77203. Формирование кадровой политики предприятия связи ОАО Липеком 739.5 KB
  Кадры управления менеджеры и их роль в процессе деятельности предприятия. Общая характеристика управления кадрами. Статья приложения структуры управления Липекома и статья приложения аудиторской проверки сканированы и отпечатаны с оригинала.
77204. Автоматизация отслеживания состояния покрытия автомобильных дорог 249.5 KB
  Общеизвестно что состояние дорожного покрытия на протяжённых участках автомобильных дорог как на территории Российской Федерации так и в некоторых других странах далеко от идеального. Характер и численность дефектов покрытия разнятся: на некоторых участках автомобилист может столкнуться...
77205. Декомпозиция временных рядов в СУБД Oracle 102 KB
  Целью данной работы являлось создание пакета процедур и функций с помощью которых можно было бы легко и эффективно манипулировать временными рядами в СУБД ORCLE. Для хранения информации о рядах создает отдельная таблица Timeseries в которой хранятся имя или идентификатор ряда...
77206. Разработка программного обеспечения системы программно-аппаратной защиты ПО 381.5 KB
  Данная курсовая работа является частью проекта по разработке системы программно-аппаратной защиты ПО. Данный комплекс представляет собой комбинированную систему, предназначенную для защиты коммерческого программного обеспечения от несанкционированного использования или для защиты...