86747

ИГРЫ С НУЛЕВОЙ СУММОЙ. НЕКООПЕРАТИВНЫЕ И КООПЕРАТИВПЫЕ ИГРЫ

Лекция

Информатика, кибернетика и программирование

Интересы игроков не являются полностью противоположными, поэтому их поведение более разнообразно. Если в игре с нулевой суммой каждому игроку было невыгодно сообщать другому свою стратегию(это могло уменьшить его выигрыш), то здесь желательна координация действий с партнером или возможность влияния на его действия.

Русский

2015-04-10

220.5 KB

6 чел.

Преподаватель: Платонова Татьяна Евгеньевна

Лекция 16. Неантагонистические игры

ИГРЫ С НУЛЕВОЙ СУММОЙ. НЕКООПЕРАТИВНЫЕ И КООПЕРАТИВПЫЕ ИГРЫ.

Здесь оба участника могут и выиграть, и проиграть одновременно. Интересы игроков не являются полностью противоположными, поэтому их поведение более разнообразно. Если в игре с нулевой суммой каждому игроку было невыгодно сообщать другому свою стратегию(это могло уменьшить его выигрыш), то здесь желательна координация действий с партнером или возможность влияния на его действия.

В основе математических моделей таких игр лежат биматрицы. В биматрицах каждый элемент есть пара чисел(aij,bij).Пусть в биматрице А m строк и n столбцов. Тогда первый игрок в очередной партии может выбрать любую из m строк, а второй – любой из n столбцов. Если первый выбрал j-ю строку, а второй j-й столбец, то выигрыш первого равен aij, а второго bij. Цель каждого игрока – выиграть как можно больше, если уже не в каждой партии, то в среднем за игру.

Игры с ненулевой суммой могут быть кооперативными и некооперативными. В некооперативных играх игроки принимают решения независимо друг от друга, поскольку соглашение невозможно или запрещено правилами.

Некооперативные игры

Пример: Игра «Дилемма заключенного». Два преступника ожидают приговора суда за совершенное злодеяние. Адвокат конфиденциально предлагает каждому из преступников облегчить его участь (и даже освободить!), если он сознается и даст показания против сообщника, которому грозит попасть в тюрьму на 10 лет. Если никто не сознается, то обоим грозит заключение на год за незначительное преступление. Если сознаются оба преступника, то, с учетом чистосердечного признания, им обоим грозит по 5 лет. Каждый имеет на выбор 2 стратегии: не сознаваться или сознаваться, выдав при этом сообщника.

Имеем матрицу игры:

Второй игрок

Сознаться

Не сознаваться

Первый игрок

Сознаться

(5,5)

(0,10)

Не сознаваться

(10,0)

(1,1)

В этой игре взаимодействие игроков невозможно по условиям игры.

Один из подходов к решению некооперативных игр состоит в определении точек равновесия игры. В общем случае пара стратегий X*, Y* игрока 1 и игрока 2 называется точкой равновесия по Нэшу (уравновешенная пара стратегий), если ни одному из игроков невыгодно отклоняться от своей стратегии в одиночку, т. е.

M1(X, Y*) ≤M1 (X*, Y*), X,

M2(X*, Y) ≤M2 (X*, Y*), Y,

Например, в игре с матрицей  пары стратегий X=(1.0), Y=(1.0) и X=(0.1), Y=(0.1) являются равновесными, поскольку второму игроку не выгодно отклонятся от своей 1-й стратегии, если первый игрок придерживается 1-й стратегии, и не выгодно отклонятся от своей 2-й стратегии, если первый игрок придерживается 2-й стратегии. Надо отметить также, что выигрыши в равновесных точках различны.

Доказано, что для любой конечной некооперативной с нулевой суммой всегда существует по крайней мере одна равновесная пара смешанных стратегий. В общем случае равновесное решение может быть неединственным, и каждому из них могут сопутствовать различные значения выигрыша каждого из игроков.

В данном случае определения чистых и смешанных стратегий игроков такие же, как в матричной игре с нулевой суммой.

Пара стратегий(X1,Y1) называется подчиненный паре (X1 ,Y1), если Mj(X1, Y1)≤Mj(X,Y), j=1.2

Две пары стратегий называют взаимозаменяемыми, если каждая из них подчинена другой.

При смешанных стратегиях игроков в биматричных играх так же, как и в матричных, возникают средние выигрыши игроков, которые, для каждого игрока вычисляются по своим матрицам:

;  

Далее будем рассматривать простейший случай, когда у каждого из игроков имеется по 2 стратегии. Тогда матрицы имеют вид:

;  

вероятности равны:

x1=x;  x2=1-x; y1=y;  y2=1-y,

а средние выигрыши вычисляются по формулам:

MA(x,y)=a11xy+a12x(1-y)+a21(1-x)y+a22(1-x)(1-y);

MB(x,y)=b11xy+b12x(1-y)+b21(1-x)y+b22(1-x)(1-y),

где 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1.

Пара стратегий (x*, y*) является уравновешенной (определяет равновесную ситуацию), если для , где ,

MA(x,y*) ≤ MA(x*,y*), MB(x*,y) ≤ MB(x*,y*)  (1)

Это означает следующее: ситуация, определяемая смешанной стратегией (x*,y*) является равновесной, если отклонение от нее одного из игроков при условии, что другой сохраняет свой выбор, приводит к уменьшению выигрыша первого. Следовательно, если равновесная ситуация существует, то отклонение от нее невыгодно самому игроку.

Теорема Нэша Всякая биматричная игра имеет хотя бы одну равновесную ситуацию (точку равновесия) в смешанных стратегиях.

Практический способ нахождения равновесной ситуации дает следующая теорема.

Теорема. Выполнение неравенств

MA(x,y*) ≤ MA(x*,y*), MB(x*,y) ≤ MB(x*,y*)

равносильно выполнению неравенств:

MA(0,y*) ≤ MA(x*,y*), MB(x*,0) ≤ MB(x*,y*),   (2)

MA(1,y*) ≤ MA(x*,y*), MB(x*,1) ≤ MB(x*,y*).

Запишем средние выигрыши в следующей форме:

MA(x,y)=(a11-a12-a21-a22)xy+(a12-a22)x+(a21-a22)y+a22,

MB(x,y)=(b11-b12-b21-b22)xy+(b12-b22)x+(b21-b22)y+b22.

В первой из формул положим сначала x=1, а потом x=0, получаем:

MA(1,y)=(a11-a12-a21-a22)y+a12+(a21-a22)y,

MA(0,y)=(a21-a22)y+a22.

Далее рассмотрим разности:

MA(x,y) - MA(1,y)= (a11-a12-a21-a22)xy+(a12-a22)x-(a11-a12-a21-a22)y +a22- a12,

MA(x,y) - MA(0,y)= (a11-a12-a21-a22)xy+(a12-a22)x.

Обозначим:

С= a11-a12-a21-a22;  α= a22-a12.

Получим:

MA(x,y) - MA(1,y)=Сxy-αx-Cy+α=Cy(x-1)-α(x-1)=(x-1)(Cy-α)

MA(x,y) - MA(0,y)=Cxy-αx=x(Cy-α)

Для ситуации равновесия эти разности неотрицательны, отсюда

(x-1)(Cy-α) ≥ 0,

x(Cy-α) ≥ 0

Из формул для функции MB(x,y) при y=1 и y=0 имеем:

MB(x,1)=(b11-b12-b21-b22)x+b12+(b21-b22)x,

MB(x,0)=(b12-a22)x+b22.

Разности  MB(x,y)- MB(x,1) и MB(x,y)- MB(x,0)

с учетом обозначений

D= b11-b12-b21-b22;  β= b22-b12,

приводятся к виду

MB(x,y)- MB(x,1)=(y-1)(Dx-β),

MB(x,y)- MB(x,0)=y(Dx-β),

и аналогично в точке равновесия эти разности неотрицательны:

(y-1)(Dx-β) ≥ 0

y(Dx-β) ≥ 0.

Для определения равновесной стратегии (x,y) необходимо и достаточно одновременное выполнение неравенств:

(x-1)(Cy-α) ≥ 0,

x(Cy-α) ≥ 0

(y-1)(Dx-β) ≥ 0    (3)

y(Dx-β) ≥ 0.

0 ≤ x ≤ 1,

0 ≤ y ≤ 1.

Пример.

, или , .

Отсюда:

С= -10 – 2 – 1 – 1= -14;  α= -1 – 2 = -3;

D= 5 + 1 + 2 + 1= 9;  β= 1 + 1 = 2;

(x-1)(-14y+ 3) ≥ 0;   (y-1)(9x-2) ≥ 0;

x(-14y+ 3) ≥ 0;    y(9x-2) ≥ 0.

Рассмотрим первую пару неравенств. Возможны три случая:

1)        :  0 ≥ 0;

  -14y+3 ≥ 0;  y ≤ 3/14.

2)       :  -(-14y+3) ≥ 0;  y ≥ 3/14

  0 ≥ 0

3) 0 ≤ x1 :  -14y+3 ≤ 0

   -14y+3 ≥ 0

Перенесем результаты на график:

Теперь рассмотрим вторую пару неравенств. Здесь также имеем три случая:

1)       : 0 ≥ 0;

   9x-2 ≥ 0;  x ≥ 2/9.

2)       :  0 ≥ 0;

   -(9x-2) ≥ 0; x ≤ 2/9

3)    :  -9x+2 ≥ 0,

    9x-2 ≥ 0

Нанесем полученные результаты на чертеж.

Общая точка построенных зигзагов – точка равновесия – имеет координаты (2/9; 3/14);

Отсюда смешанные стратегии игроков имеют вид:

; ,

а средние выигрыши игроков  ; .

        

;

.

Стратегия игрока называется максиминной, если ее использование обеспечивает этому игроку получение максимального из минимальных выигрышей при всевозможных стратегиях другого игрока.

Кооперативные игры

Кооперативной игрой называется игра с ненулевой суммой, в которой игрокам разрешается обсуждать перед игрой свои стратегии и образовывать коалиции. Основная задача в кооперативной игре состоит в дележе общего выигрыша между членами коалиции. Решение кооперативной игры сводится к нахождению оптимальной в некотором смысле, совместной стратегии среди стратегий P=(p11,p12,…,pmn),где∑ij pij=1,pij-вероятность выбора игрока элемента (aij,bij) биматрицы. При стратегии P средний выигрыш1-го игрока M1=ij aijp ij,2-го игрока M2=ij bijpij.

В случае игры двух лиц предполагается, что игроки не могут воздействовать друг на друга, пока не придут к некоторому соглашению. Таким образом, игра определяется как множество  S в пространстве переменных M,1M1,представляющих общие выигрыши; заданы числа ν1, ν2 выигрышей, которые каждый может получить, не вступая в коалицию с партнером. Другими словами,ν1 и ν2- максиминные выигрыши соответственно 1-го и 2-го игроков. Предполагается, что S является замкнутым, выпуклым и ограниченным сверху. Точка T1 ν2)называется точкой угрозы.

Возьмем совместную чистую стратегию обоих игроков (0,….,0,p*ij,0,….,0).При этом выигрыш 1-го игрока равен aij,а второго-bij.Тогда все точки (M1,M1) є S- это точки некоторого многоугольника, являющегося выпуклой оболочкой всех точек(aij bij )

В точке (a1,b1) выигрыш M1 =a1,M2=b1; она доминирует над точкой (a,b), если aa, bb. Множество недоминируемых точек называется множеством оптимальности по Парето (ломаная СДЕ). Оно образует северо-восточную границу S. Здесь увеличение выигрыша одно из игроков возможно только пары за счет уменьшения выигрыша его партнера.

Все точки Парето-оптимального множества, находящееся одновременно выше и правее точки угрозы Т, образуют переговорные множество R(ломаная NDM). За пределами этого множества игрокам нет смысла договариваться, поскольку по крайней мере для одного из игреков не худших результатов он может достичь и в одиночку.

На переговорном множестве выделяется точка решения Нэша D, в которой достигается максимум произведения превышения выигрышей каждого из игроков над платежами, которые могут быть получены без вступления в коалицию:

max(M1- ν1) (M2- ν2).

В теории игр доказывается, что если  S выпукло, замкнуто и ограничено сверху, то точка Нэша существует и единственна. Точка Нэша представляет собой одно из возможных решений кооперативной игры, от которого нет смысла отказываться ни одному из игроков. Если стратегия Р* оптимальна , то соответствующая ей точка (М*1 ,M*2)должна принадлежать переговорному множеству R. Точка(ν1, ν2 ) є R , поэтому 1-й игрок будет стремится продвинуть свой выигрыш в право, а второй – вверх. Для разрешения этого конфликта можно использовать так называемую арбитражную схему Нэша:

- перенести начало координат в точку угрозы1, ν2 ); при этом R перейдет в R1 ;

-найти точку *¹1,M*¹2) , для которой М*¹1,M*¹2=   max(M¹1* M¹2 );

                  (M¹1 ,M¹2 ) є R¹

          - провести обратное преобразование R¹ в R; при этом точка *¹1,M*¹2)перейдет в точку Нэша *1 ,M*2), координаты которой и дадут значение оптимальных выигрышей 1-го и 2-го игроков.

Пример: игра”Семейный спор” в кооперативном варианте. Муж  и жена каждый вечер решают проблему, как провести досуг. Имеются только 2 вида развлечения : Балет и Футбол. Жена предпочитает Белеет, муж- футбол. Супруги привязаны друг к другу, поэтому посещение любимого зрелища в одиночку доставляет им меньше удовольствия. Чем присутствие на нем вдвоем.

Матрица выигрышей имеет вид:

Жена

балет

футбол

Муж

футбол

(1,4)

(0,0)

балет

(2,2)

(4,1)

Точка Т(2;2)-“точка угрозы”: “вместо того, чтобы более ⅔ свободного времени проводить на футболе, я буду ходить на балет (с мужем или без него не важно) – ничего не потеряю.” Аналогично звучит угроза мужа.

 

На линии DE(переговорное множество) Муж и Жена могут договорится, но при этом, во избежание взаимных угроз, ни одному из развлечений они должны уделять более половины своих свободных вечеров.

Ящик Эджворта.

Рассмотрим экономику в которой имеются два субъекта: Игрок1 и Игрок2, и 2 товара – х1 и х2

Каждый из игроков имеет свою функцию полезности на заданных наборах товаров : u112) и

u222). Товары имеются в количествах W1и W2.Обозначим:

W=(W1/W2)-вектор – столбец объемов товаров;

X(X1/X2)-объем товаров у 1-го участника;

W-X объем товаров у 2-го участника

В начальный момент Игрок 1 располагает товарами в количестве C=(C1/C2) 2-й игрок – в количестве W-C. Вопрос: могут ли игроки путем обмена товарам улучшить свое  положение, т.е. увеличить значения функций полезности по сравнению с начальным уровнем?

Для наглядного представления экономики с двумя игроками и двумя товарами используется так называемый ящик Эджворта. Это прямоугольник на плоскости. Здесь длина горизонтальной оси, соответствующей 1-му товару, равна W1,а длина вертикальной оси ,соответствующей 2-му товару, равна W2. Выделенное пространство является множеством всех возможных распределений имеющихся товаров между игроками.

Точка О –начало координат для 1-го игрока, точка Ω- начало координат для 2-го игрока.

На выделенном пространстве представлены также два семейства кривых безразличия, принадлежащих каждому из игроков.

Рассмотрим задачу эффективного распределения товаров между игроками. Это распределение должно быть Парето – оптимальным, т.е. таким, чтобы нельзя было улучшить положение одного из игроков, не ухудшая при этом положение партнера.

В случае двух игроков надо зафиксировать полезность одного игрока и искать максимум функции полезности другого игрока. В ящике Эджворта такое решение находится в точке, где кривые безразличия касаются друг друга. Задаваясь различными полезностями для 1-го игрока, можно получить множество точек касания кривых безразличия. Это множество Парето – оптимальных распределений в пространстве товаров называется контрактным множеством, поскольку в общем случае игрокам имеет смысл договорится между собой именно на этом наборе эффективных распределений.   

Рассмотрим на ящике Эджворта точку начального распределения товаров между игроками. Проведем через эту точку кривые безразличия обоих игроков.

Если эти две кривые не касаются  друг друга, т.е. начальное распределение товаров не является Парето – оптимальным, то в своем пересечении они образуют область, внутри которой оба игрока могут увеличивать свою полезность. Внутри этой области оказывается и часть конкретного множества.

Распределение Х называется допустимым, если Х≥С‚W–X≥W–С(оба распределения предпочтительнее начального).ядром экономики обмена при начальном состоянии называется множество допустимых по Парето распределений. Это и есть заштрихованная область на ящике Эджворта. Игрокам имеет смысл вести переговоры относительно распределений на контрактном множестве, а с учетом начального распределения – относительно участка контрактного множества, заключенного между двумя кривыми безразличия. Эти кривые аналогичны точке угрозы в теории кооперативных игр, их называют линиями угрозы. Ограниченный ими участок на контрактном множестве по аналогии с играми называются переговорным множеством.  

Линии угрозы означают, что за их пределами одному из игроков незачем вести переговоры – ему лучше оставаться в ситуации начального распределения. Точка Нэша, соответствующая максимуму произведения приращения полезностей игроков по сравнению с начальной ситуацией,  будет оставаться внутри переговорного множества.

Таким образом, игроки могут улучшить свое первоначальное положение, обмениваясь товарами.

Паутинообразная модель взаимодействия производителей и потребителей.

Эта модель позволяет исследовать устойчивость цен и объемов товаров на рынке, описываемом традиционными кривыми спроса и предложения при наличие запаздывания во времени (лага) .

Пусть производители (например, зерновая ферма) определяют предложения товара в текущем периоде на основе цен, установившемся в предшествующем периоде, т.е. Qs(t) = St(Pt-1).Таким образом, в функцию предложения  вклинивается временной лаг продолжительностью в одну единицу времени. (Решение об объеме производства принимается с учетом текущих цен, но но производственный цикл имеет определенную продолжительность, и  соответствующее этому решению предложение появится на рынке по окончанию данного цикла)

Кривая спроса характеризует зависимость объема спроса на товар от цены товара в данном периоде, т.е. (Qd(t) = Dt(Pt) . Таким образом , динамику цены можно описать системой уравнений:

{

Qstd=St (Pt-1),

Qdtd=D St (Pt),

Qdt=Qst

Или одним уравнением Dt(Pt)= St (Pt-1).

Из этого уравнения можно найти значение цены Pt в текущий момент времени по известному значению Pt-1 в предшествующий момент времени. Схема решения очень проста: 

Q0→Р0=D-1(Q0)→Q1=S(P0)→Р1= D-1(Q1) →Q2= S(P0)→….( D-1 -обратная функция спроса). Рассмотрим паутинообразную модель, в которой функции спроса и предложения линейны:

S(p)= A+Bpt-1; D(p)=C-Ept; S(p)=D(p)/

Здесь В>0, т.к. функция предложения возрастающая; E>0,т.к. функция спроса убывающая; С>А>0,т.е. D(0)>S(0) >0;при нулевой цене спрос превышает предложение. Уравнение имеет вид:C-Ept=A+Bpt-1

Найдем сначала равновесную цену р* и равновесный объем производства Q*. Они должны удовлетворять уравнениям:

C-Ep*=A+Bp*=Q*,откуда p*=C-A/B+E, Q*=BC+AE/B+E.

Теперь  исследуем случай, когда начальная точка не совпадает с равновесной. Решим ее графически. Имеют место три случая:

  1.  Если кривая предложения наклонена круче, чем кривая спроса, то равновесие на таком рынке будет устойчивым.
  2.  Если кривая спроса наклонена круче, чем кривая предложения, то равновесие на таком рынке будет неустойчивым.
  3.  При равном наклоне кривых спроса и предложения цен на рынке будут испытывать регулярные колебания  с постоянной амплитудой.

Выразим pt через pt-1 , имеем рекуррентное соотношение:

Применяем это соотношение, находим:

В последнем выражении в квадратных скобках записана сумма геометрической прогрессии. Здесь

где ,

следовательно,


Очевидно, при В/Е<1, рt→C-A/B+E=p*,в этом случае кривая предложения имеет более крутой наклон, чем кривая спроса : равновесие является устойчивым. Если В/Е<1, равновесие неустойчиво , т.к. (В/Е)t→∞,процесс расходится .При В/Е=1, В=Е, значения pt чередуются вокруг равновесного значения .

Таким образом , определяющим для устойчивости данной системы является менее сильная, сглаживающая реакция на изменение цены той функции, которая имеет временной лаг, т.е. функции предложения.

В реальности при В/Е>1 бесконечно возрастающих колебании не будет, т.к. при больших отклонениях от равновесия линейного приближение ставится нереалистичным . Здесь больше подходит нелинейная модель, в которой устанавливаются нелинейные колебания большой, но конечной амплитуды которые являются прообразом экономических циклов подъема и спада производства.

Пример.  Найдите множество Парето, максиминые выигрыши игроков, переговорное множество и решение Нэша для игры с матрицей.

(

(6,4) (1,2)

)

(7,1) (3,5)

 Решение. Построим выпуклую оболочку точек элементов биматрицы: это четырехугольник ABCD точки которого есть выигрыши 1-го и 2-го игроков при совместной стратегии Р=(р11122122).

Множество Парето-это ломанная DAC.

Рассмотрим матрицу выигрышей 1-го игрока (1-е элементы биматрицы):

(р и (1-р) – вероятности стратегий 1-го игрока ). Тогда максиминный выигрыш 1-го игрока равен:

ν1=max {min(6p+7(1­p);p+3(­p))}=0≤p≤1

ν1=max { min(7­p;3­2p)}=0≤p≤1

Значение максимума определим из графика :

Очевидно, ν1=3.

Аналогично найдем максиминный выигрыш 2-го игрока . Рассмотрим матрицу выигрышей 2-го игрока:

(q и (1-q) – вероятности стратегий 2-го игрока ).

ν2=мах{min(4q+2(­q);q+5(1­q))}=0≤q≤1

ν2=мах{2+2q;5-4q}=0≤q≤1

Рассмотрим график:

Здесь надо найти точку пересечения прямых из уравнения:

2+2q=5-4q;

6q=3;q=1/2.

Отсюда ν2=2+2∙1/2=3

Следовательно , переговорное множество – это ломанная DAK; точка К (6∙1/3;3)

Далее используем алгоритм Нэша: переносим начало координат в точку (3;3), при этом произойдет замена переменных:M1′=M1­3;M2′=M2­3; переговорное множество DAK перейдет в D′A′K′-это отрезок прямой M2′=2-1/3M1′ между точками D′(0;2) и A′(3;1) и отрезок прямой M2′=10-3 M1′ между точками A′(3;1) и  D′(3∙1/3;0). Т.к. R′ состоит из двух отрезков, то M1*′∙M2*′= мах; (M1′,M2′)єR′

(M1′∙M2′)= mах {0≤M1′≤3 (M1′(2-1/3 M1′));

max {3≤M1′≤3∙1/3 (M1′(10-3M1′))}=3;( в точкеA′)

При этом M2′)= 3; M2′=1. проведем обратное преобразование , получим решение Нэша M1*=6; M2*=4, которому соответствует совместная оптимальная стратегия р*=(1;0;0;0).


x=1

x=0

0<x<1

=> 

y

x

1

0

3/14

2/9

у=1

у=0

<у<1

=> 

2/9

7/9

2/9

7/9

3/14

3/14

11/14

11/14


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

55610. Индуизм и другие культы Дравидии 224 KB
  Влево вправо бегают глаза ищут бегают по всей вселенной и возникает эта ось и вокруг оси идёт вращение – это все кто ищет. Почему возникает Потому что перед тем как встретить того кто едет надо приготовления делать.
55611. Релігія та культурне життя середньовічної Європи 230 KB
  Мета: з’ясувати роль християнської церкви в середньовічному суспільстві; установити зв'язок між церквою та державною владою; охарактеризувати католицькі чернечі ордени та їх вплив на суспільне життя; розвивати вміння досліджувати суспільні явища та події; формувати навички мовленнєвих компетентностей.
55612. Сказка – цепочка. Русская народная сказка «Репка» 44.5 KB
  Русская народная сказка Репка Цели урока: познакомить с понятием сказкицепочки; совершенствовать технику чтения развивать речь пополнять словарный запас учить глубоко и полно анализировать и оценивать прочитанное...
55613. Бойові дії у 1915-1916 роках 37.5 KB
  Мета. Показати хід бойових дій у 1915 – 1916 роках, охарактеризувати основні битви цього періоду, спираючись на різні джерела; формувати вміння аналізувати історичні документи, простежити причинно-наслідкові зв’язки.
55614. Виховний захід до Дня пам’яті жертв політичних репресій 1937 – 1938 р.р 307 KB
  Ведучий: Проблема реальної спрямованості та кількісних параметрів політичних репресій за радянських часів значною мірою ще й досі залишається білою плямою в історичній науці. Ведучий: Фізичне знищення співгромадян світогляд яких відрізнявся від комуністичного розпочалося відразу після жовтневого перевороту 1917 р.
55616. Let’s have a rest 49 KB
  Yesterday was a Kate, his little sister in front of TV watching a cat and a mouse running one after the other. Then father came he was watching car racing for an hour. When Bill came back from the walk, his grandfather was busy day in Bill’s family. Bill wanted to watch TV, but couldn’t. When he came home from school, he saw watching a program about feeding hungry crocodiles. In the evening his mother and granny were watching some boring story about a poor girl.
55617. Eating out (We are creating the restaurant) 928 KB
  Hello everyone! Today we are not at a common school. We are in an unusual business school. And we are creating our own restaurants. One restaurant will be a fast food restaurant. The other one will be a very expensive restaurant. But before doing this we should determine what type of eater you are.