86748

Экономико-математические модели. Функция полезности Неймана – Моргенштерна

Лекция

Информатика, кибернетика и программирование

В действительности ЛПР может оказаться «субъективистом» и быть либо чрезмерно осторожным, либо склонным к рискованным решениям. В любом случае ЛПР принимает решение, стремясь максимизировать ожидаемую полезность.

Русский

2015-04-10

89.5 KB

4 чел.

Экономико-математические модели

Функция полезности Неймана – Моргенштерна

До сих пор предполагалось, что решения принимаются с позиции  «объективиста». Это означает что ЛПР, будучи трезвомыслящим человеком, откажется от игры, если ему предложат взамен сумму, равную среднестатистическому выигрышу (ожидаемую денежную оценку игры).

В действительности ЛПР может оказаться «субъективистом» и быть либо чрезмерно осторожным, либо склонным к рискованным решениям.

В любом случае ЛПР принимает решение, стремясь максимизировать ожидаемую полезность. Таким образом, полезность наряду с матрицей платежей или матрицей рисков – это еще один способ измерить привлекательность принимаемых решений.

Полезность – это некоторое  число, которое можно сопоставить каждому возможному исходу. Каждое лицо, принимающее решения, имеет свою функцию полезности, которая показывает его предпочтения к тем или иным исходам в зависимости от величины риска. Таким образом, функция полезности будет  выглядеть по-разному для людей избегающих риск и людей склонных к риску (рис. 27).

Рис.27. Функция полезности для лиц, избегающих риска
(кривая А), и лиц, склонных к риску (кривая В)

Пусть человеку, имеющему, например, 600 рублей, предлагают сыграть в лотерею, в которой он с вероятностью 50% может выиграть 200 рублей и с вероятностью 50 % проиграть 200 рублей.  Очевидно, что человек, не склонный к риску, отклонит это предложение, поскольку если он выиграет, то функция полезности увеличится на величину , а если проиграет, то уменьшится на величину .  

Иначе говоря, ущерб от потери 200 рублей для такого человека существенно больше, нежели  удовлетворение от получения  200 рублей (относительная полезность денег убывает и описывается выпуклой вверх функцией полезности).

Для человека, склонному к риску, наоборот, возможность выигрыша 200 рублей является решающим фактором. Функция полезности в этом случае является выпуклой вниз, и относительная полезность денег растет при их увеличении (кривая В).

Функцию полезности в теорию принятия решений впервые стали использовать  американские ученые Дж. Нейман и О. Моргенштерн.

Естественно встает вопрос о том, как можно определить явный вид этой функции для того или иного ЛПР? Существует несколько способов определения функции полезности. Мы рассмотрим самый простой, когда известна функциональная  зависимость  , где  – функция полезности,  –  выигрыш. В этом случае  индивидуальным является лишь один параметр, который и определяется по склонности ЛПР к риску.

Чаще  других за основу берется экспоненциальная функция. Например, при анализе решений, связанных с инвестициями, и во многих других бизнес-приложениях используется функция полезности

.     (3.36)

В этой формуле – денежная сумма, которой мы должны приписать определенное значение полезности,  – определяет меру предрасположенности к риску. График этой функции при значении параметра   изображен на рис.  27 (кривая А). Чем больше значение , тем более компания или индивидуум склонны к риску.

Есть несколько простых способов определить величину . В первом из них ЛПР предлагают либо сыграть в игру, в которой он может с вероятностью 50 %  выиграть  рублей или с той же вероятностью потерять  рублей, либо отказаться от игры вообще и «остаться при своих». Эмпирически найденная величина , при которой ЛПР откажется от игры  и будет мерилом склонности к риску в функции  полезности(3.36).

Другой способ основан на экспертной оценке. По данным американской литературы оценка  величины  для компании  составляет либо 124% величины чистой прибыли, либо 15,7%объема капитала, либо 6,4%  объема чистых продаж.

Если событие может иметь несколько исходов, то  ожидаемая полезность события равна  сумме произведений вероятностей исходов на значение их полезности.

Пример 3.17

Бизнесмен имеет функцию полезности , где  – денежный выигрыш (тыс. долларов). Он может вложить 25 тыс. долларов в строительство бара и гриля.  С вероятностью 0,5 он потеряет весь свой капитал и с той же вероятностью выиграет 32 тыс. долларов.

Будет ли менеджер инвестировать свой капитал?

Решение

Если не инвестировать капитал , то значение функции полезности будет равно .  Если инвестировать,  то с вероятностью 0,5  , и  функция полезности для этого исхода равна  . С вероятностью 0,5  выигрыш составит 32 тыс. долларов, а функция полезности для этого исхода равна  .

Таким образом, ожидаемая полезность при инвестировании составит . Поскольку полезность инвестирования оказалась выше, бизнесмен будет вкладывать капитал в строительство бара и гриля.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

76756. Первая и вторая висцеральные дуги 187.99 KB
  Развитие лицевого (висцерального) черепа определяется мозгом и краниальным (глоточным) отделом первичной кишки, в котором на боковых стенках между висцеральными (жаберными) карманами появляются хрящевые висцеральные (жаберные) дуги, но особое значение для черепа имеют первые две.
76757. Кости лицевого черепа. Глазница 192.12 KB
  Подвисочная поверхность находится сзади тела образуя стенку подвисочной и крылонебной ямок состоит: из бугра верхней челюсти с задними альвеолярными отверстиями для одноименных нервов и сосудов. Глазничная поверхность занимает на теле кости верхнее положение участвуя в образовании нижней стенки глазницы. Носовая поверхность образует латеральную стенку полости носа. Небный отросток носовой гребень по медиальному краю; передняя носовая ость: окончание носового гребня впереди; верхняя носовая поверхность; нижняя небная поверхность...
76758. Височная кость 184.9 KB
  У верхушки пирамиды внутреннее отверстие сонного канала. На передней поверхности пирамиды находятся: каменисточешуйчатая щель хрящевая ростковая зона и отверстие мышечнотрубного канала; дугообразное возвышение от полукружных костных каналов лабиринта; крыша барабанной полости от среднего уха; тройничное вдавление на вершине пирамиды для одноименного нервного узла; расщелины и борозды большого и малого каменистого нервов. На задней поверхности пирамиды располагаются: внутреннее слуховое отверстие и внутренний слуховой проход для YII...
76759. Клиновидная кость 180.73 KB
  Клиновидная кость – воздухоносная состоит из тела малых и больших крыльев и крыловидных отростков. На верхней поверхности тела находится турецкое седло а в нем: гипофизарная ямка для гипофиза центральной нейроэндокринной железы; бугорок седла кпереди от ямки; спинка седла с задними наклоненными отростками кзади от ямки; сонные борозды: правая и левая с клиновидными язычками лежат по боковым поверхностям седла предназначены для внутренней сонной артерии и внутреннего сонного симпатического нерва венозного пещеристого синуса. На...
76760. Крылонёбная ямка 181.89 KB
  Ямка соседствует и имеет связи с височной и подвисочной ямами. По форме ямка узкая щель ограниченная тремя выше перечисленными костями она граничит и сообщается с полостью черепа средней черепной ямой полостями носа и рта глазницей височной и подвисочной ямами. Крылонебная ямка сообщается: с полостью рта через большой и малый небные каналы с одноименными сосудами и нервами которые снабжают твердое и мягкое небо и небные миндалины; с полостью носа через клиновиднонебное отверстие с одноименными сосудами и нервами для слизистой...
76761. Полость носа 181.99 KB
  Полость носа обладает верхней нижней и парными боковыми стенками. Верхняя стенка состоит из: носовой части лобной кости продырявленной пластинки решетчатой кости и тела клиновидной которые составляют верхнезаднюю часть стенки; парных носовых костей: право и левой образующих передневерхнюю часть стенки. Нижняя стенка включает: небные отростки верхних челюстей и горизонтальные пластинки небных костей – костное небо; носовой гребень который проходит по середине стенки в продольном направлении. Латеральные стенки правая и левая...
76762. Внутреннее основание черепа 184.16 KB
  Внутренняя граница между сводом и основанием выделяется не во всех учебниках: слепое отверстие лобной кости и основание ее глазничных отростков; соединение малых и больших крыльев клиновидной кости латеральная оконечность верхней глазничной щели стык теменноклиновидного и лобнотеменного швов; основание пирамиды височной кости и сосцевиднотеменной шов; борозда поперечного синуса крестообразное возвышение и внутренний выступ затылочной кости. Передняя черепная яма образована: по бокам глазничными частями лобной кости; в центре ...
76763. Наружное основание черепа 183.43 KB
  Наружная граница между сводом и основанием проходит по носолобному шву надглазничным краям скуловым отросткам лобной кости подвисочному гребню клиновидной по основанию скуловых отростков височных костей над наружным слуховым отверстием по верхнему краю через основание сосцевидных отростков; заканчивается по верхней выйной линии и наружному затылочному выступу. В своде по наружной поверхности выделяют передний отдел лоб лобная область с рельефом: чешуя лобной кости на ней лобные бугры правый и левый; надбровные дуги у границы с...
76764. Классификация соединений костей 181.35 KB
  Среди соединений костей различают по анатомической классификации: непрерывные когда между концами костей имеется сплошная соединительная или хрящевая а в последующем и костная ткань; прерывные соединения или суставы главными признаками которых является наличие щели полости между суставными концами костей и синовиальной оболочки в капсуле; полупрерывные соединения или симфизы когда в прослойке между костями хряща или фиброзной ткани появляется щель. В основу биомеханической классификации положены оси проводимые через соединения костей...