86748

Экономико-математические модели. Функция полезности Неймана – Моргенштерна

Лекция

Информатика, кибернетика и программирование

В действительности ЛПР может оказаться «субъективистом» и быть либо чрезмерно осторожным, либо склонным к рискованным решениям. В любом случае ЛПР принимает решение, стремясь максимизировать ожидаемую полезность.

Русский

2015-04-10

89.5 KB

5 чел.

Экономико-математические модели

Функция полезности Неймана – Моргенштерна

До сих пор предполагалось, что решения принимаются с позиции  «объективиста». Это означает что ЛПР, будучи трезвомыслящим человеком, откажется от игры, если ему предложат взамен сумму, равную среднестатистическому выигрышу (ожидаемую денежную оценку игры).

В действительности ЛПР может оказаться «субъективистом» и быть либо чрезмерно осторожным, либо склонным к рискованным решениям.

В любом случае ЛПР принимает решение, стремясь максимизировать ожидаемую полезность. Таким образом, полезность наряду с матрицей платежей или матрицей рисков – это еще один способ измерить привлекательность принимаемых решений.

Полезность – это некоторое  число, которое можно сопоставить каждому возможному исходу. Каждое лицо, принимающее решения, имеет свою функцию полезности, которая показывает его предпочтения к тем или иным исходам в зависимости от величины риска. Таким образом, функция полезности будет  выглядеть по-разному для людей избегающих риск и людей склонных к риску (рис. 27).

Рис.27. Функция полезности для лиц, избегающих риска
(кривая А), и лиц, склонных к риску (кривая В)

Пусть человеку, имеющему, например, 600 рублей, предлагают сыграть в лотерею, в которой он с вероятностью 50% может выиграть 200 рублей и с вероятностью 50 % проиграть 200 рублей.  Очевидно, что человек, не склонный к риску, отклонит это предложение, поскольку если он выиграет, то функция полезности увеличится на величину , а если проиграет, то уменьшится на величину .  

Иначе говоря, ущерб от потери 200 рублей для такого человека существенно больше, нежели  удовлетворение от получения  200 рублей (относительная полезность денег убывает и описывается выпуклой вверх функцией полезности).

Для человека, склонному к риску, наоборот, возможность выигрыша 200 рублей является решающим фактором. Функция полезности в этом случае является выпуклой вниз, и относительная полезность денег растет при их увеличении (кривая В).

Функцию полезности в теорию принятия решений впервые стали использовать  американские ученые Дж. Нейман и О. Моргенштерн.

Естественно встает вопрос о том, как можно определить явный вид этой функции для того или иного ЛПР? Существует несколько способов определения функции полезности. Мы рассмотрим самый простой, когда известна функциональная  зависимость  , где  – функция полезности,  –  выигрыш. В этом случае  индивидуальным является лишь один параметр, который и определяется по склонности ЛПР к риску.

Чаще  других за основу берется экспоненциальная функция. Например, при анализе решений, связанных с инвестициями, и во многих других бизнес-приложениях используется функция полезности

.     (3.36)

В этой формуле – денежная сумма, которой мы должны приписать определенное значение полезности,  – определяет меру предрасположенности к риску. График этой функции при значении параметра   изображен на рис.  27 (кривая А). Чем больше значение , тем более компания или индивидуум склонны к риску.

Есть несколько простых способов определить величину . В первом из них ЛПР предлагают либо сыграть в игру, в которой он может с вероятностью 50 %  выиграть  рублей или с той же вероятностью потерять  рублей, либо отказаться от игры вообще и «остаться при своих». Эмпирически найденная величина , при которой ЛПР откажется от игры  и будет мерилом склонности к риску в функции  полезности(3.36).

Другой способ основан на экспертной оценке. По данным американской литературы оценка  величины  для компании  составляет либо 124% величины чистой прибыли, либо 15,7%объема капитала, либо 6,4%  объема чистых продаж.

Если событие может иметь несколько исходов, то  ожидаемая полезность события равна  сумме произведений вероятностей исходов на значение их полезности.

Пример 3.17

Бизнесмен имеет функцию полезности , где  – денежный выигрыш (тыс. долларов). Он может вложить 25 тыс. долларов в строительство бара и гриля.  С вероятностью 0,5 он потеряет весь свой капитал и с той же вероятностью выиграет 32 тыс. долларов.

Будет ли менеджер инвестировать свой капитал?

Решение

Если не инвестировать капитал , то значение функции полезности будет равно .  Если инвестировать,  то с вероятностью 0,5  , и  функция полезности для этого исхода равна  . С вероятностью 0,5  выигрыш составит 32 тыс. долларов, а функция полезности для этого исхода равна  .

Таким образом, ожидаемая полезность при инвестировании составит . Поскольку полезность инвестирования оказалась выше, бизнесмен будет вкладывать капитал в строительство бара и гриля.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

24734. ПИТАНИЕ ДЕТЕЙ ПЕРВОГО ГОДА ЖИЗНИ. Искусственное и смешанное вскармливание 97 KB
  Слайд 2 Причины перевода ребенка на ИВ: гипо менее 1 5 суточного объема или агалактия у матери; самовольный перевод матерью ребенка на ИВ; противопоказания со стороны матери для лактации; отсутствие у ребенка матери; противопоказания со стороны ребенка врожденные нарушения обмена веществ – галактоземия фенилкетонурия и т. Причины перевода ребенка на ИВ: гипо менее 1 5 суточного объема или агалактия у матери самовольный перевод матерью ребенка на ИВ противопоказания со стороны матери для лактации отсутствие у ребенка матери...
24735. Внутриутробное инфицирование 204.5 KB
  Слайд 1 Роль плацентарного барьера в развитии внутриутробного инфицирования: фетоматеринские трансфузии развиваются более чем в 50 всех беременностей; трансплацентарный пассаж эритроцитов наблюдается уже в четвертойвосьмой неделе гестации; эмбриопатии патология плода 3 – 10 нед беременности заканчивается либо гибелью эмбриона либо формированием врожденных пороков развития; при инфицировании в ранний фетальный период до 28 нед. беременности чаще возникает гипотрофия плода с низкой массой тела при рождении; при позднем инфицировании...
24737. Перечислить и дать характеристику основным причинам сложности программного обеспечения. Общие признаки любой сложной системы; приемы борьбы со сложностью ПО 328 KB
  Модульность это представление системы в виде совокупности обособленных сегментов связь между которыми обеспечивается посредством связей между классами определяемыми в этих сегментах. Ещё бывает динамический полиморфизм при котором реализация функциичлена класса выбирается в зависимости от фактического типа указателя на объект через который она вызывается. Общее понятие класса языка С. Синтаксис описания класса.
24738. Теория языков программирования и методы трансляции 233.96 KB
  Если синтаксический анализ предназначен для распознавания и проверки правильности различных конструкций языка с точки зрения их синтаксиса структуры то семантический анализ предназначен для контроля этих конструкций с точки зрения их смыслового содержания. Фаза генерации кода предназначена для перевода промежуточной программы на машинный язык мы будем предполагать коды Ассемблера. Языки...
24739. Системы искусственного интеллекта. Модель логики предикатов первого порядка 418.5 KB
  Задаваемые при описании формальной системы правила вывода называют также правилами вывода заключений т. Различают два типа правил вывода. Правила вывода. Правила вывода устанавливают отношения на множестве формул исчисления высказываний.
24740. Линейные списки – стеки, очереди, деки. Набор процедур для работы со связанным стеком, очередью 1.08 MB
  Способы обхода бинарного дерева. Древовидная структура – это конечное множество содержащее один или более узлов n такое что: 1 имеется один специально обозначенный узел называемый корнем данного дерева. Линия связи между парой узлов дерева называется обычно ветвью. Те узлы которые не ссылаются ни на какие другие узлы дерева называются листьями или терминальными вершинами рис.
24741. English Speaking Countries 17.49 KB
  The Commonwealth of Australia territories are the continent of Australia the island of Tasmania and number of smaller islands. Australia has an area of nearly eight million square kilometres. The population of Australia is over sixteen million people.
24742. Outstanding people of Russia Federation 16.41 KB
  The names of Russian scientists and writers poets composers and painters are worldfamous Pushkin Lermontov Chehov Levitan. It is almost impossible to name a branch of science in the development of which the Russian scientists haven't played the greatest role. Works of our Russian writes and poets are translated into many languages.