86748

Экономико-математические модели. Функция полезности Неймана – Моргенштерна

Лекция

Информатика, кибернетика и программирование

В действительности ЛПР может оказаться «субъективистом» и быть либо чрезмерно осторожным, либо склонным к рискованным решениям. В любом случае ЛПР принимает решение, стремясь максимизировать ожидаемую полезность.

Русский

2015-04-10

89.5 KB

5 чел.

Экономико-математические модели

Функция полезности Неймана – Моргенштерна

До сих пор предполагалось, что решения принимаются с позиции  «объективиста». Это означает что ЛПР, будучи трезвомыслящим человеком, откажется от игры, если ему предложат взамен сумму, равную среднестатистическому выигрышу (ожидаемую денежную оценку игры).

В действительности ЛПР может оказаться «субъективистом» и быть либо чрезмерно осторожным, либо склонным к рискованным решениям.

В любом случае ЛПР принимает решение, стремясь максимизировать ожидаемую полезность. Таким образом, полезность наряду с матрицей платежей или матрицей рисков – это еще один способ измерить привлекательность принимаемых решений.

Полезность – это некоторое  число, которое можно сопоставить каждому возможному исходу. Каждое лицо, принимающее решения, имеет свою функцию полезности, которая показывает его предпочтения к тем или иным исходам в зависимости от величины риска. Таким образом, функция полезности будет  выглядеть по-разному для людей избегающих риск и людей склонных к риску (рис. 27).

Рис.27. Функция полезности для лиц, избегающих риска
(кривая А), и лиц, склонных к риску (кривая В)

Пусть человеку, имеющему, например, 600 рублей, предлагают сыграть в лотерею, в которой он с вероятностью 50% может выиграть 200 рублей и с вероятностью 50 % проиграть 200 рублей.  Очевидно, что человек, не склонный к риску, отклонит это предложение, поскольку если он выиграет, то функция полезности увеличится на величину , а если проиграет, то уменьшится на величину .  

Иначе говоря, ущерб от потери 200 рублей для такого человека существенно больше, нежели  удовлетворение от получения  200 рублей (относительная полезность денег убывает и описывается выпуклой вверх функцией полезности).

Для человека, склонному к риску, наоборот, возможность выигрыша 200 рублей является решающим фактором. Функция полезности в этом случае является выпуклой вниз, и относительная полезность денег растет при их увеличении (кривая В).

Функцию полезности в теорию принятия решений впервые стали использовать  американские ученые Дж. Нейман и О. Моргенштерн.

Естественно встает вопрос о том, как можно определить явный вид этой функции для того или иного ЛПР? Существует несколько способов определения функции полезности. Мы рассмотрим самый простой, когда известна функциональная  зависимость  , где  – функция полезности,  –  выигрыш. В этом случае  индивидуальным является лишь один параметр, который и определяется по склонности ЛПР к риску.

Чаще  других за основу берется экспоненциальная функция. Например, при анализе решений, связанных с инвестициями, и во многих других бизнес-приложениях используется функция полезности

.     (3.36)

В этой формуле – денежная сумма, которой мы должны приписать определенное значение полезности,  – определяет меру предрасположенности к риску. График этой функции при значении параметра   изображен на рис.  27 (кривая А). Чем больше значение , тем более компания или индивидуум склонны к риску.

Есть несколько простых способов определить величину . В первом из них ЛПР предлагают либо сыграть в игру, в которой он может с вероятностью 50 %  выиграть  рублей или с той же вероятностью потерять  рублей, либо отказаться от игры вообще и «остаться при своих». Эмпирически найденная величина , при которой ЛПР откажется от игры  и будет мерилом склонности к риску в функции  полезности(3.36).

Другой способ основан на экспертной оценке. По данным американской литературы оценка  величины  для компании  составляет либо 124% величины чистой прибыли, либо 15,7%объема капитала, либо 6,4%  объема чистых продаж.

Если событие может иметь несколько исходов, то  ожидаемая полезность события равна  сумме произведений вероятностей исходов на значение их полезности.

Пример 3.17

Бизнесмен имеет функцию полезности , где  – денежный выигрыш (тыс. долларов). Он может вложить 25 тыс. долларов в строительство бара и гриля.  С вероятностью 0,5 он потеряет весь свой капитал и с той же вероятностью выиграет 32 тыс. долларов.

Будет ли менеджер инвестировать свой капитал?

Решение

Если не инвестировать капитал , то значение функции полезности будет равно .  Если инвестировать,  то с вероятностью 0,5  , и  функция полезности для этого исхода равна  . С вероятностью 0,5  выигрыш составит 32 тыс. долларов, а функция полезности для этого исхода равна  .

Таким образом, ожидаемая полезность при инвестировании составит . Поскольку полезность инвестирования оказалась выше, бизнесмен будет вкладывать капитал в строительство бара и гриля.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

62831. МИР ДЕТСТВА В МУЗЫКЕ. МУЗЫКА И ЖИВОТНЫЙ МИР 69.47 KB
  Правильно А играться вы любите да А какие ваши любимые игрушки куклы солдатики машинки мячики и др. О куклах есть пьесы русского композитора Петра Ильича Чайковского музыка из детского альбома...
62832. СКАЗКА В МУЗЫКЕ 16.04 MB
  Ребята помните на уроке музыка и другие виды искусства мы уже говорили что музыка подобно краскам в живописи тоже может рисовать картины. картинка Ребята Сейчас я включу музыку русского композитора Римского Корсакова но название композиций...