86748

Экономико-математические модели. Функция полезности Неймана – Моргенштерна

Лекция

Информатика, кибернетика и программирование

В действительности ЛПР может оказаться «субъективистом» и быть либо чрезмерно осторожным, либо склонным к рискованным решениям. В любом случае ЛПР принимает решение, стремясь максимизировать ожидаемую полезность.

Русский

2015-04-10

89.5 KB

5 чел.

Экономико-математические модели

Функция полезности Неймана – Моргенштерна

До сих пор предполагалось, что решения принимаются с позиции  «объективиста». Это означает что ЛПР, будучи трезвомыслящим человеком, откажется от игры, если ему предложат взамен сумму, равную среднестатистическому выигрышу (ожидаемую денежную оценку игры).

В действительности ЛПР может оказаться «субъективистом» и быть либо чрезмерно осторожным, либо склонным к рискованным решениям.

В любом случае ЛПР принимает решение, стремясь максимизировать ожидаемую полезность. Таким образом, полезность наряду с матрицей платежей или матрицей рисков – это еще один способ измерить привлекательность принимаемых решений.

Полезность – это некоторое  число, которое можно сопоставить каждому возможному исходу. Каждое лицо, принимающее решения, имеет свою функцию полезности, которая показывает его предпочтения к тем или иным исходам в зависимости от величины риска. Таким образом, функция полезности будет  выглядеть по-разному для людей избегающих риск и людей склонных к риску (рис. 27).

Рис.27. Функция полезности для лиц, избегающих риска
(кривая А), и лиц, склонных к риску (кривая В)

Пусть человеку, имеющему, например, 600 рублей, предлагают сыграть в лотерею, в которой он с вероятностью 50% может выиграть 200 рублей и с вероятностью 50 % проиграть 200 рублей.  Очевидно, что человек, не склонный к риску, отклонит это предложение, поскольку если он выиграет, то функция полезности увеличится на величину , а если проиграет, то уменьшится на величину .  

Иначе говоря, ущерб от потери 200 рублей для такого человека существенно больше, нежели  удовлетворение от получения  200 рублей (относительная полезность денег убывает и описывается выпуклой вверх функцией полезности).

Для человека, склонному к риску, наоборот, возможность выигрыша 200 рублей является решающим фактором. Функция полезности в этом случае является выпуклой вниз, и относительная полезность денег растет при их увеличении (кривая В).

Функцию полезности в теорию принятия решений впервые стали использовать  американские ученые Дж. Нейман и О. Моргенштерн.

Естественно встает вопрос о том, как можно определить явный вид этой функции для того или иного ЛПР? Существует несколько способов определения функции полезности. Мы рассмотрим самый простой, когда известна функциональная  зависимость  , где  – функция полезности,  –  выигрыш. В этом случае  индивидуальным является лишь один параметр, который и определяется по склонности ЛПР к риску.

Чаще  других за основу берется экспоненциальная функция. Например, при анализе решений, связанных с инвестициями, и во многих других бизнес-приложениях используется функция полезности

.     (3.36)

В этой формуле – денежная сумма, которой мы должны приписать определенное значение полезности,  – определяет меру предрасположенности к риску. График этой функции при значении параметра   изображен на рис.  27 (кривая А). Чем больше значение , тем более компания или индивидуум склонны к риску.

Есть несколько простых способов определить величину . В первом из них ЛПР предлагают либо сыграть в игру, в которой он может с вероятностью 50 %  выиграть  рублей или с той же вероятностью потерять  рублей, либо отказаться от игры вообще и «остаться при своих». Эмпирически найденная величина , при которой ЛПР откажется от игры  и будет мерилом склонности к риску в функции  полезности(3.36).

Другой способ основан на экспертной оценке. По данным американской литературы оценка  величины  для компании  составляет либо 124% величины чистой прибыли, либо 15,7%объема капитала, либо 6,4%  объема чистых продаж.

Если событие может иметь несколько исходов, то  ожидаемая полезность события равна  сумме произведений вероятностей исходов на значение их полезности.

Пример 3.17

Бизнесмен имеет функцию полезности , где  – денежный выигрыш (тыс. долларов). Он может вложить 25 тыс. долларов в строительство бара и гриля.  С вероятностью 0,5 он потеряет весь свой капитал и с той же вероятностью выиграет 32 тыс. долларов.

Будет ли менеджер инвестировать свой капитал?

Решение

Если не инвестировать капитал , то значение функции полезности будет равно .  Если инвестировать,  то с вероятностью 0,5  , и  функция полезности для этого исхода равна  . С вероятностью 0,5  выигрыш составит 32 тыс. долларов, а функция полезности для этого исхода равна  .

Таким образом, ожидаемая полезность при инвестировании составит . Поскольку полезность инвестирования оказалась выше, бизнесмен будет вкладывать капитал в строительство бара и гриля.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

66914. Театр и драматургия средневековья 46.5 KB
  Источником развития средневекового театра стали сельские игрища во время которых выделялись балагуры пересмешники нередко делавшие свое актерство профессией таких людей было принято называть гестрионами. Во Франции их называли жонглеры В России скоморохи...
66915. Правление Петра І 32 KB
  Софья планировала сместить Петра планировался заговор с целью убийства Петра. В этом же году сторонники Петра вместе с ним свергают Софью. 16971698 заграничное путешествие Петра Курляндия Польские земли Немецкие земли Голландия Великобритания на обратном пути в Австрию.
66916. Культура Московской Руси 40 KB
  Большое значение в возвышении Москвы имела удачная политика московских князей по отношению к монголотатарам. С 14 века князья демонстративно подчеркивают роль Москвы как национального лидера в борьбе с врагом. Этот храм должен был стать главной святыней Москвы.
66917. Культура и цивилизация, Теория культурогенеза 36 KB
  Второй подход характеризует цивилизацию как определённую ступень развития культуры. Первым эту точку зрения высказал Шотландский философ 18 века Адам Фергюссон в работе Опыт истории гражданского общества он разделил историю человеческой культуры на 3 стадии: дикость варварство цивилизованность.
66918. Болдинский период творчества 45 KB
  Это один из плодотворных периодов в творчестве А.С. Пушкина. Исследователи считают, что в это время в поэзии Пушкина доминируют 2 темы: тема поэта и поэзии («Румяный критик мой», «Ответ анониму»). Своеобразие этой темы заключается в том, что к традиционному видению...
66919. Опасности техносферы 175.12 KB
  К новым техносферным относятся условия обитания человека в городах и промышленных центрах производственные транспортные и бытовые условия жизнедеятельности. Практически все урбанизированное население проживает в техносфере где условия обитания существенно отличаются...
66920. Динамика антропологии как социальной науки 39 KB
  Просветительско-рационалистический идеал будущего развития культуры идея подхвачена от эпохи просвещения. Они пытались выстроить естественную историю культуры на закономерной основе пытались понять логику развития культуры. Он считал что многообразие культурных явлений можно свести к немногочисленным...
66921. МЕМБРАННЫЕ МЕХАНИЗМЫ ВОЗНИКНОВЕНИЯ И ПРОВЕДЕНИЯ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ СИГНАЛОВ 105 KB
  Для того, чтобы понять, как и почему возникает возбуждение в нервных или мышечных клетках, необходимо прежде всего уяснить основные правила обмена веществами между клеткой и окружающей её средой, поскольку ионы и небольшие молекулы одновременно растворены в водной среде клетки и во внеклеточном пространстве...