86748

Экономико-математические модели. Функция полезности Неймана – Моргенштерна

Лекция

Информатика, кибернетика и программирование

В действительности ЛПР может оказаться «субъективистом» и быть либо чрезмерно осторожным, либо склонным к рискованным решениям. В любом случае ЛПР принимает решение, стремясь максимизировать ожидаемую полезность.

Русский

2015-04-10

89.5 KB

5 чел.

Экономико-математические модели

Функция полезности Неймана – Моргенштерна

До сих пор предполагалось, что решения принимаются с позиции  «объективиста». Это означает что ЛПР, будучи трезвомыслящим человеком, откажется от игры, если ему предложат взамен сумму, равную среднестатистическому выигрышу (ожидаемую денежную оценку игры).

В действительности ЛПР может оказаться «субъективистом» и быть либо чрезмерно осторожным, либо склонным к рискованным решениям.

В любом случае ЛПР принимает решение, стремясь максимизировать ожидаемую полезность. Таким образом, полезность наряду с матрицей платежей или матрицей рисков – это еще один способ измерить привлекательность принимаемых решений.

Полезность – это некоторое  число, которое можно сопоставить каждому возможному исходу. Каждое лицо, принимающее решения, имеет свою функцию полезности, которая показывает его предпочтения к тем или иным исходам в зависимости от величины риска. Таким образом, функция полезности будет  выглядеть по-разному для людей избегающих риск и людей склонных к риску (рис. 27).

Рис.27. Функция полезности для лиц, избегающих риска
(кривая А), и лиц, склонных к риску (кривая В)

Пусть человеку, имеющему, например, 600 рублей, предлагают сыграть в лотерею, в которой он с вероятностью 50% может выиграть 200 рублей и с вероятностью 50 % проиграть 200 рублей.  Очевидно, что человек, не склонный к риску, отклонит это предложение, поскольку если он выиграет, то функция полезности увеличится на величину , а если проиграет, то уменьшится на величину .  

Иначе говоря, ущерб от потери 200 рублей для такого человека существенно больше, нежели  удовлетворение от получения  200 рублей (относительная полезность денег убывает и описывается выпуклой вверх функцией полезности).

Для человека, склонному к риску, наоборот, возможность выигрыша 200 рублей является решающим фактором. Функция полезности в этом случае является выпуклой вниз, и относительная полезность денег растет при их увеличении (кривая В).

Функцию полезности в теорию принятия решений впервые стали использовать  американские ученые Дж. Нейман и О. Моргенштерн.

Естественно встает вопрос о том, как можно определить явный вид этой функции для того или иного ЛПР? Существует несколько способов определения функции полезности. Мы рассмотрим самый простой, когда известна функциональная  зависимость  , где  – функция полезности,  –  выигрыш. В этом случае  индивидуальным является лишь один параметр, который и определяется по склонности ЛПР к риску.

Чаще  других за основу берется экспоненциальная функция. Например, при анализе решений, связанных с инвестициями, и во многих других бизнес-приложениях используется функция полезности

.     (3.36)

В этой формуле – денежная сумма, которой мы должны приписать определенное значение полезности,  – определяет меру предрасположенности к риску. График этой функции при значении параметра   изображен на рис.  27 (кривая А). Чем больше значение , тем более компания или индивидуум склонны к риску.

Есть несколько простых способов определить величину . В первом из них ЛПР предлагают либо сыграть в игру, в которой он может с вероятностью 50 %  выиграть  рублей или с той же вероятностью потерять  рублей, либо отказаться от игры вообще и «остаться при своих». Эмпирически найденная величина , при которой ЛПР откажется от игры  и будет мерилом склонности к риску в функции  полезности(3.36).

Другой способ основан на экспертной оценке. По данным американской литературы оценка  величины  для компании  составляет либо 124% величины чистой прибыли, либо 15,7%объема капитала, либо 6,4%  объема чистых продаж.

Если событие может иметь несколько исходов, то  ожидаемая полезность события равна  сумме произведений вероятностей исходов на значение их полезности.

Пример 3.17

Бизнесмен имеет функцию полезности , где  – денежный выигрыш (тыс. долларов). Он может вложить 25 тыс. долларов в строительство бара и гриля.  С вероятностью 0,5 он потеряет весь свой капитал и с той же вероятностью выиграет 32 тыс. долларов.

Будет ли менеджер инвестировать свой капитал?

Решение

Если не инвестировать капитал , то значение функции полезности будет равно .  Если инвестировать,  то с вероятностью 0,5  , и  функция полезности для этого исхода равна  . С вероятностью 0,5  выигрыш составит 32 тыс. долларов, а функция полезности для этого исхода равна  .

Таким образом, ожидаемая полезность при инвестировании составит . Поскольку полезность инвестирования оказалась выше, бизнесмен будет вкладывать капитал в строительство бара и гриля.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

35786. Вышивка крестом. Летний букет 51.5 KB
  История русской вышивки.Оформление вышивки. Схема вышивки. Основной задачей данного проекта является создание картины посредством вышивки крестом в эстетических и практических целях.
35788. МОЙ ВЫБОР. Рабочая тетрадь проекта по профессиональному самоопределению 102 KB
  И мы надеемся рабочая тетрадь Мой выбор поможет Вам в этом так как проблема выбора профессии рано или поздно встаёт перед любым человеком. Правильный выбор профессии можно назвать той ступенькой которая поможет Вам добиться творческих успехов достичь поставленных целей найти смысл своей жизни. Только серьёзные размышления о своём месте в жизни и активная деятельность по выбору профессии приведут Вас к верному решению. Основная цель рабочей тетради помочь Вам понять себя свои особенности цели в жизни и на основе этого сделать...
35789. Мой выбор. Творческий проект По самоопределению 92 KB
  Обоснование выбора профессии Профессиональное самоопределение важный и ответственный шаг в жизни каждого человека. Но осуществить добровольный выбор профессии очень не просто. Общая характеристика профессии. Общение с людьми также важно в профессии журналист.
35790. Лялька - мотанка 3.57 MB
  Коли нам запропонували теми для творчого проекту, я вирішила обрати саме «Лялька - мотанка в українському стилі». Адже мотанка — прадавній оберіг українського народу. Вона несе в собі сонячну енергетику, тепло людських рук, любов і турботу, з якою створена. Головне призначення ляльки — берегти душу свого власника від зла й нечистих помислів.
35791. Творческий проект «Сорочка» 5.51 MB
  Расчет себестоимости изготовления изделия План Изготовления изделия Изготовления изделия и проверка качества Самооценка и оценка 1.Задачи Провести исследование и разработать эскиз моего проектного изделия. Изготовить выкройку швейного изделия. Подобрать ткань для изделия.
35792. Выбор профессии 168 KB
  Появление профессии Определение интересов и склонностей Обоснование выбора Алгоритм профессион. самопределения Формула профессии Выявление индивидуальных характер. Выбор профессии это большая ответственность которую очень важно осознать как можно раньше.
35794. Кружка. Творческий проект 158.5 KB
  4 Технологическая карта № детали № операции Название операции Эскиз Инструмент и приспособления 1 1 Выбрать заготовку с учётом припуска на обработку Линейка 2 Прострогать базовую сторону Верстак рубанок 3 Разметить и прострогать заготовку по толщине Линейка рубанок карандаш 4 Разметить и прострогать по ширине Линейка рубанок карандаш 5 Отторцевать заготовку Угольник карандаш подкладка 6 Разметить и отпилить заготовку по длине Верстак линейка угольник карандаш ножовка 7 Разметить заготовку по чертежу Линейка угольник карандаш...