86786

Процедура идентификации параметров динамического объекта первого порядка на примере RL-цепи с помощью метода наименьших квадратов

Лабораторная работа

Коммуникация, связь, радиоэлектроника и цифровые приборы

Описать методику экспериментального определения параметров нагруженной RCцепи по зашумлённым сигналам датчиков с применением метода наименьших квадратов. Процессы протекающие в цепи при замыкании ключа описываются дифференциальным уравнением 1 порядка составленным по второму закону Кирхгофа...

Русский

2016-09-25

153.87 KB

7 чел.

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ

ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Институт       –  Энергетический институт

Направление –  Электроэнергетика и электротехника

Кафедра        –   Электрические сети и электротехника

Метод наименьших квадратов

Отчет по лабораторной работе

по курсу «Дополнительные главы математики»

Вариант №7

Выполнил студент  5АМ33         _________  ________     М.М. Попов

                  

Проверил, ст. преподаватель      _________ _________    А.С. Васильев

                       

  

Томск – 2013

Содержание

1 Цель работы………………………………………………………………3

2 Теоретические вопрос...………………………………………………….3

3 Результаты обработки экспериментальных данных ………………..…5

4 Индивидуальное задание………………………………………………...7

5 Решение задачи с применением метода наименьших квадратов……..7

Вывод……………………………………………………………………....13

Список литературы…………………………………………………….....13

1 Цель работы

Ознакомиться с процедурой идентификации параметров динамического объекта первого порядка на примере RL-цепи с помощью метода наименьших квадратов.

2 Теоретический вопрос

2.1 Описать методику экспериментального определения параметров нагруженной RC-цепи по зашумлённым сигналам датчиков с применением метода наименьших квадратов.

Процессы, протекающие в цепи при замыкании ключа, описываются дифференциальным уравнением 1 порядка, составленным по второму закону Кирхгофа:

                                      (1)

Решение уравнения ищется в виде суммы частного и общего решений:

                                          (2)

Для нахождения частного решения неоднородного ДУ подставим в исходное уравнение значение . Тогда оно будет выглядеть следующим образом:

Определим корень характеристического уравнения из однородного дифференциального уравнения:

Общее решение однородного уравнения:

                                    (3)

где А – постоянная интегрирования.

Общее решение неоднородного уравнения:

                            (4)

Решим задачу Коши с нулевыми начальными условиями. Для этого подставим в общее решение неоднородного ДУ значение 0. Получим:

Откуда постоянная интегрирования:

В итоге временная зависимость тока в RC-цепи при коммутации ее на источник постоянного напряжения:

                           (5)

Графическое решение дифференциального уравнения представлено на рисунке 1    

На графике обозначена также постоянная времени цепи Т, обратная модулю корня характеристического уравнения 1/λ=1/(RC).

                                                                              
                                                                                                

           

                         

 

                                                                       

Рисунок 1 – Изменение тока в RC-цепи при коммутации на источник постоянного напряжения

3 Результаты обработки экспериментальных данных при коммутации RL-цепи на источник постоянного напряжения при уровнях помех 5, 10, 20, 50%

Рисунок 2 - График зашумленного переходного процесса при 5%

Рисунок 3 - График зашумленного переходного процесса при 10%

Рисунок 4 - График зашумленного переходного процесса при 20%

Рисунок 5 - График зашумленного переходного процесса при 50%

Рисунок 6 – Совмещенные зависимости теоретического переходного процесса тока и аппроксимированной зависимости от времени при 5 и 50% зашумленности

Таблица 1. Сводная таблица погрешностей, полученных при использовании метода наименьших квадратов в зависимости от уровня зашумленности

Зашумленность

,%

,%

,%

,%

5%

3,572

0,183

3,395

0,183

10%

12,005

0,258

11,778

0,258

20%

26,282

1,234

25,372

1,219

50%

11,733

3,218

15,329

3,118

4 Индивидуальное задание

Исходные данные:

E = 25 В;

R = 13 Ом;

L = 70 мГн;

С = 140 мкФ;

Rнаг = 100 Ом.

Рисунок 7 – Схема коммутации RC-цепи на источник постоянного напряжения

5 Решение задачи с применением метода наименьших квадратов.

Составим схему замещения для схемы RC-цепи (рисунок 8)

Рисунок 8 – Схема замещения

Т.к. в установившимся режиме постоянный ток через конденсатор протекать не будет, то ток через резистор R и Rнаг будут равны:

где

Зашумленный переходный процесс имитируем в программной среде MathCAD. Все расчеты приведены в системе СИ. Задаем параметры цепи:

Устанавливаем уровень помех (для примера 5% от установившегося значения):

Накладываем помехи на теоретическое решение дифференциального уравнения, описывающего переходный процесс тока:

Функция rnd(x) имитирует генератор случайных чисел. Вычитание слагаемого ipomeh/2 необходимо для устранения постоянной составляющей помех и равномерного распределения их вокруг теоретической кривой.

Задаем количество точек (в примере 600), начальные условия, шаг расчета и можем наблюдать график зашумленного переходного процесса (рисунок 3).

Рисунок 9 – График зашумленного переходного процесса

Представляя, что смоделированный процесс мы получили в ходе эксперимента, определим вид приближающей функции. Визуально можно сказать, что этой функцией является экспонента. В случае экспоненциальной регрессии вида

                                        (6)

коэффициенты а0 и а1 определяются по формулам:

Так как в нашем случае приближающая функция имеет вид

то сначала находим коэффициент с, определив среднее значение полученных опытных данных в установившемся режиме:

Приведем экспериментальные данные к виду, не содержащему свободный член:

В нашем случае достаточно определить параметр а1, представляющий собой постоянную времени переходного процесса. Наибольшее количество полезной информации возможно получить из анализа переходного режима работы устройства. В связи с этим для расчета а1 необходимо взять примерно только первую половину точек (до установившегося режима, в данном случае 300):

Определим постоянную времени процесса и сравним ее с теоретической:

Найдем активное сопротивление емкости конденсатора, считая известным напряжение источника и используя найденное ранее установившееся значение тока:

Рассчитаем емкость конденсатора:

Построим совмещенные графики теоретического переходного процесса тока и аппроксимированной зависимости:

Рисунок 8 – Совмещенные зависимости теоретического переходного процесса тока и аппроксимированной зависимости от времени

Определим погрешность измерения напряжения в установившемся режиме:

Из полученных результатов можно сделать сказать о том, что при зашумленности процесса на уровне 5% от теоретического значения метод наименьших квадратов позволяет аппроксимировать экспериментальные данные и провести идентификацию RС-цепи с допустимой погрешностью (не более 5%).

Таблица 2. Сводная таблица погрешностей, полученных при использовании метода наименьших квадратов в зависимости от уровня зашумленности

Зашумленность

,%

,%

,%

,%

5%

4,367

3,729

7,805

0.427

10%

1,422

3,264

1,903

0,377

20%

10,86

2,797

13,285

0,321

50%

5,567

9,195

3,995

1,069

Вывод: Имея экспериментальные данные снятые с датчиков с различными уровнями шума, можно определить параметры  цепи, используя метод наименьших квадратов. Данная работа имитируется в программе Mathcad.

Список литературы

1. Зевеке Г.В. Ионкин П.А. Основы теории цепей. – М. Энергоатомизиздат, 1989

2. Глазырин А.С. Математическое моделирование электромеханических систем. Аналитические методы: учебное пособие / А.С. Глазырин; Национальный исследовательский Томский политехнический университет. – Томск: Изд-во Томского политехнического университета, 2010. – 204 с.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

25313. Свойства нервных центров 39 KB
  Проведение волны возбуждения от одного нейрона к другому через синапс происходит в большинстве нервных клеток химическим путем с помощью медиатора а медиатор содержится лишь в пресинаптической части синапса и отсутствует в постсинаптической мембране. В связи с этим поток нервных импульсов в рефлекторной дуге имеет определенное направление от афферентных нейронов к вставочным и затем к эфферентным мотонейронам или вегетативным нейронам. Суммация возбуждения В ответ на одиночную афферентную волну идущую от рецепторов к нейронам в...
25314. Торможение в центральной нервной системе 28.5 KB
  Сеченовым опыт: у лягушки делали разрез головного мозга на уровне зрительных бугров и удаляли большие полушария после этого измеряли время рефлекса отдергивания задних лапок при погружении их в раствор серной кислоты.раздражение на эту область мозга то время рефлекса резко удлиняется. На основании этого он пришел к заключению что в таламической области мозга у лягушки существуют нервные центры оказывающие тормозяшие влияния на спинномозговые рефлексы. мозга наряду с возбуждающими нейронами существуют и тормозящие аксоны кот.
25315. Строение мышечного волокна 32 KB
  В состав волокна входят его оболочка сарколемма жидкое содержимое саркоплазма ядро митохондрии рибосомы сократительные элементы миофибриллы а также замкнутая система продольных трубочек и цистерн расположенных вдоль миофибрилл и содержащих ионы Са2 саркоплазматический ретикулум. Поверхностная мембрана клетки через равные промежутки образует поперечные трубочки входящие внутрь мышечного волокна по которым внутрь клетки проникает потенциал действия при ее возбуждении. Миофибриллы тонкие волокна содержащие 2 вида...
25316. Физиология спинного мозга 30 KB
  В составе серого вещества спинного мозга человека насчитывают около 13. Из них основную массу 97 представляют промежуточные клетки вставочные или интернейроны которые обеспечивают сложные процессы координации внутри спинного мозга. Среди мотонейронов спинного мозга выделяют крупные альфамотонейроны имелкие гаммамотонейроны.
25317. Значение промежуточного мозга 33 KB
  Она формирует положительные и отрицательные эмоции со всеми двигательными вегетативными и гормональными их компонентами. Электрические раздражения различных участков лимбической системы через вживленные электроды выявили наличие центров удовольствия формирующих положительные эмоции и неудовольствия формирующих отрицательные эмоции. ФИЗИОЛОГИЯ ЭМОЦИЙ Эмоции это выражение реакции возбуждения от фр. Если этой мобилизации оказывается недостаточно для отражения опасности или удовлетворения внутренней потребности вспыхивают стенические...
25318. Ретикулярная формация ствола мозга 40 KB
  Дейтерс впервые описавший ее строение во второй половине прошлого столетия назвал ее сетчатой или ретикулярной формацией. Близкие по структуре к ретикулярной формации ядра имеются и в таламусе; нервные волокна идущие от них к коре образуют так называемые неспецифические пути. Физиологическое значение ретикулярной формации было выявлено в сравнительно недавнее время путем исследования изменений электрической активности больших полушарий и спинного мозга в опытах с точно локализованным разрушением или раздражением разных участков...
25319. Мозжечок 56.5 KB
  Полушария мозжечка делят па переднюю долю и заднюю долю; последнюю разделяют еще на две части. Филогенетически наиболее молодым образованием мозжечка является передняя часть задней доли новый мозжечок; она достигает максимального развития у человека и высших обезьян. Верхняя поверхность полушарий мозжечка состоит из серого вещества толщиной от 1 до 25 мм называемого корой мозжечка. В белом веществе мозжечка составляющем основную его массу находятся скопления серого вещества ядра мозжечка.
25320. Промежуточный мозг и подкорковые ядра 54 KB
  Функционально все ядра таламуса делят на две большие группы специфические и неспецифические. Специфические ядра таламуса имеют прямые связи с определенными участками коры больших полушарий. Неспецифические же ядра в большинстве случаев передают сигналы в подкорковые ядра от которых импульсы поступают одновременно в разные отделы коры.
25321. Кора больших полушарий головного мозга 27.5 KB
  Ритмы электроэнцефалограммы. Альфаритм это ритмические колебания потенциала почти синусоидальной формы частотой 8 13 в секунду с амплитудой до 50 мкв. Альфаритм отчетливо выражен если испытуемый человек находится в условиях физического и умственного покоя лежа или сидя в удобном кресле с расслабленной мускулатурой и закрытыми глазами при отсутствии внешних раздражений. Многие исследователи считают что существует две области коры в которых альфаритм имеет наибольшую амплитуду и характеризуется большим постоянством: одна из них...