86786

Процедура идентификации параметров динамического объекта первого порядка на примере RL-цепи с помощью метода наименьших квадратов

Лабораторная работа

Коммуникация, связь, радиоэлектроника и цифровые приборы

Описать методику экспериментального определения параметров нагруженной RCцепи по зашумлённым сигналам датчиков с применением метода наименьших квадратов. Процессы протекающие в цепи при замыкании ключа описываются дифференциальным уравнением 1 порядка составленным по второму закону Кирхгофа...

Русский

2016-09-25

153.87 KB

9 чел.

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ

ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Институт       –  Энергетический институт

Направление –  Электроэнергетика и электротехника

Кафедра        –   Электрические сети и электротехника

Метод наименьших квадратов

Отчет по лабораторной работе

по курсу «Дополнительные главы математики»

Вариант №7

Выполнил студент  5АМ33         _________  ________     М.М. Попов

                  

Проверил, ст. преподаватель      _________ _________    А.С. Васильев

                       

  

Томск – 2013

Содержание

1 Цель работы………………………………………………………………3

2 Теоретические вопрос...………………………………………………….3

3 Результаты обработки экспериментальных данных ………………..…5

4 Индивидуальное задание………………………………………………...7

5 Решение задачи с применением метода наименьших квадратов……..7

Вывод……………………………………………………………………....13

Список литературы…………………………………………………….....13

1 Цель работы

Ознакомиться с процедурой идентификации параметров динамического объекта первого порядка на примере RL-цепи с помощью метода наименьших квадратов.

2 Теоретический вопрос

2.1 Описать методику экспериментального определения параметров нагруженной RC-цепи по зашумлённым сигналам датчиков с применением метода наименьших квадратов.

Процессы, протекающие в цепи при замыкании ключа, описываются дифференциальным уравнением 1 порядка, составленным по второму закону Кирхгофа:

                                      (1)

Решение уравнения ищется в виде суммы частного и общего решений:

                                          (2)

Для нахождения частного решения неоднородного ДУ подставим в исходное уравнение значение . Тогда оно будет выглядеть следующим образом:

Определим корень характеристического уравнения из однородного дифференциального уравнения:

Общее решение однородного уравнения:

                                    (3)

где А – постоянная интегрирования.

Общее решение неоднородного уравнения:

                            (4)

Решим задачу Коши с нулевыми начальными условиями. Для этого подставим в общее решение неоднородного ДУ значение 0. Получим:

Откуда постоянная интегрирования:

В итоге временная зависимость тока в RC-цепи при коммутации ее на источник постоянного напряжения:

                           (5)

Графическое решение дифференциального уравнения представлено на рисунке 1    

На графике обозначена также постоянная времени цепи Т, обратная модулю корня характеристического уравнения 1/λ=1/(RC).

                                                                              
                                                                                                

           

                         

 

                                                                       

Рисунок 1 – Изменение тока в RC-цепи при коммутации на источник постоянного напряжения

3 Результаты обработки экспериментальных данных при коммутации RL-цепи на источник постоянного напряжения при уровнях помех 5, 10, 20, 50%

Рисунок 2 - График зашумленного переходного процесса при 5%

Рисунок 3 - График зашумленного переходного процесса при 10%

Рисунок 4 - График зашумленного переходного процесса при 20%

Рисунок 5 - График зашумленного переходного процесса при 50%

Рисунок 6 – Совмещенные зависимости теоретического переходного процесса тока и аппроксимированной зависимости от времени при 5 и 50% зашумленности

Таблица 1. Сводная таблица погрешностей, полученных при использовании метода наименьших квадратов в зависимости от уровня зашумленности

Зашумленность

,%

,%

,%

,%

5%

3,572

0,183

3,395

0,183

10%

12,005

0,258

11,778

0,258

20%

26,282

1,234

25,372

1,219

50%

11,733

3,218

15,329

3,118

4 Индивидуальное задание

Исходные данные:

E = 25 В;

R = 13 Ом;

L = 70 мГн;

С = 140 мкФ;

Rнаг = 100 Ом.

Рисунок 7 – Схема коммутации RC-цепи на источник постоянного напряжения

5 Решение задачи с применением метода наименьших квадратов.

Составим схему замещения для схемы RC-цепи (рисунок 8)

Рисунок 8 – Схема замещения

Т.к. в установившимся режиме постоянный ток через конденсатор протекать не будет, то ток через резистор R и Rнаг будут равны:

где

Зашумленный переходный процесс имитируем в программной среде MathCAD. Все расчеты приведены в системе СИ. Задаем параметры цепи:

Устанавливаем уровень помех (для примера 5% от установившегося значения):

Накладываем помехи на теоретическое решение дифференциального уравнения, описывающего переходный процесс тока:

Функция rnd(x) имитирует генератор случайных чисел. Вычитание слагаемого ipomeh/2 необходимо для устранения постоянной составляющей помех и равномерного распределения их вокруг теоретической кривой.

Задаем количество точек (в примере 600), начальные условия, шаг расчета и можем наблюдать график зашумленного переходного процесса (рисунок 3).

Рисунок 9 – График зашумленного переходного процесса

Представляя, что смоделированный процесс мы получили в ходе эксперимента, определим вид приближающей функции. Визуально можно сказать, что этой функцией является экспонента. В случае экспоненциальной регрессии вида

                                        (6)

коэффициенты а0 и а1 определяются по формулам:

Так как в нашем случае приближающая функция имеет вид

то сначала находим коэффициент с, определив среднее значение полученных опытных данных в установившемся режиме:

Приведем экспериментальные данные к виду, не содержащему свободный член:

В нашем случае достаточно определить параметр а1, представляющий собой постоянную времени переходного процесса. Наибольшее количество полезной информации возможно получить из анализа переходного режима работы устройства. В связи с этим для расчета а1 необходимо взять примерно только первую половину точек (до установившегося режима, в данном случае 300):

Определим постоянную времени процесса и сравним ее с теоретической:

Найдем активное сопротивление емкости конденсатора, считая известным напряжение источника и используя найденное ранее установившееся значение тока:

Рассчитаем емкость конденсатора:

Построим совмещенные графики теоретического переходного процесса тока и аппроксимированной зависимости:

Рисунок 8 – Совмещенные зависимости теоретического переходного процесса тока и аппроксимированной зависимости от времени

Определим погрешность измерения напряжения в установившемся режиме:

Из полученных результатов можно сделать сказать о том, что при зашумленности процесса на уровне 5% от теоретического значения метод наименьших квадратов позволяет аппроксимировать экспериментальные данные и провести идентификацию RС-цепи с допустимой погрешностью (не более 5%).

Таблица 2. Сводная таблица погрешностей, полученных при использовании метода наименьших квадратов в зависимости от уровня зашумленности

Зашумленность

,%

,%

,%

,%

5%

4,367

3,729

7,805

0.427

10%

1,422

3,264

1,903

0,377

20%

10,86

2,797

13,285

0,321

50%

5,567

9,195

3,995

1,069

Вывод: Имея экспериментальные данные снятые с датчиков с различными уровнями шума, можно определить параметры  цепи, используя метод наименьших квадратов. Данная работа имитируется в программе Mathcad.

Список литературы

1. Зевеке Г.В. Ионкин П.А. Основы теории цепей. – М. Энергоатомизиздат, 1989

2. Глазырин А.С. Математическое моделирование электромеханических систем. Аналитические методы: учебное пособие / А.С. Глазырин; Национальный исследовательский Томский политехнический университет. – Томск: Изд-во Томского политехнического университета, 2010. – 204 с.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

5518. Christmas Story. Сценарий 113 KB
  Сценарий ChristmasStory Действующие лица: Мама – Малярчук Татьяна Папа - Карачёв Иван Дети – Анна Страхова и Евгения Шуракова Санта Клаус – Андрей Русанов Сказочные эльфы: Первый эльф - Светлана Сипетина Второй эльф ...
5519. Экономика Нидерландов 127.36 KB
  Географическое положение Голландия - маленькая страна. Почти всю ее можно увидеть из окна самолета. По площади она меньше Московской области. Королевство Нидерландов занимает территорию в 41,5 тыс. кв. км, 40% которой ниже ур...
5520. Изучение нормативного метода учета затрат и калькулирования себестоимости продукции 145 KB
  Управленческий учет - процесс, происходящий внутри фирмы с использованием функций учета, планирования, контроля и оценки её деятельности, организационной работы, стимулирования и информационных связей по координированию действий. Акту...
5521. Формирование национальной культуры в эпоху колониальных поселений в Америке 537 KB
  Сегодня, говоря о Соединенных Штатах Америки, многие представляют себе современное, мощное государство с высоким уровнем жизни населения и устоявшимися демократическими институтами. Но все ли в порядке в этой стране, имеют ли граждане США...
5522. Проектирование поворотного крана на неподвижной основе с электромагнитным захватом 819.5 KB
  Цель работы - спроектировать поворотный кран на неподвижной основе с электромагнитным захватом. В настоящем курсовом проекте приведены расчёты по проектированию крана настенного и расчеты параметров электромагнитного захвата. Проект состоит из ...
5523. Физико-математические принципы построения и концептуальный анализ первичных уравнений современной полевой теории электромагнетизма 449.5 KB
  Физико-математические принципы построения и концептуальный анализ первичных уравнений современной полевой теории электромагнетизма Известно, что в теории электричества базовой физической характеристикой материального тела является его электрический...
5524. Воля. Лекционное занятие. Методический проект. Проявления волевого поведения на практике 120 KB
  Воля Аудитория: студенты 2 курса дневного отделения факультета психологии. Обоснование темы: Волевые способности есть у каждого человека, лишь степень их развития может быть разной. Без воли человек не был бы те, кем является, а именно, разумным сущ...
5525. Климатическое описание воздушных трасс субарктической зоны 108 KB
  Климатическое описание воздушных трасс субарктической зоны. Введение. При организации воздушных рейсов различной протяженности должны быть обеспечены безопасность, высокая регулярность и экономичность полетов. В решении этих задач важную роль играет...
5526. Розрахунок аерації промислових будівель 115.82 KB
  Аерація промислових будівель Аерація - це організована та керована загальнообмінна природна вентиляція. При аераци зовнішнє повітря поступає у приміщення крізь відчинені нижні отвори - фрамуги вікон. Внутрішнє відпрацьоване повітря, що виносить...