86786

Процедура идентификации параметров динамического объекта первого порядка на примере RL-цепи с помощью метода наименьших квадратов

Лабораторная работа

Коммуникация, связь, радиоэлектроника и цифровые приборы

Описать методику экспериментального определения параметров нагруженной RCцепи по зашумлённым сигналам датчиков с применением метода наименьших квадратов. Процессы протекающие в цепи при замыкании ключа описываются дифференциальным уравнением 1 порядка составленным по второму закону Кирхгофа...

Русский

2016-09-25

153.87 KB

7 чел.

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ

ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Институт       –  Энергетический институт

Направление –  Электроэнергетика и электротехника

Кафедра        –   Электрические сети и электротехника

Метод наименьших квадратов

Отчет по лабораторной работе

по курсу «Дополнительные главы математики»

Вариант №7

Выполнил студент  5АМ33         _________  ________     М.М. Попов

                  

Проверил, ст. преподаватель      _________ _________    А.С. Васильев

                       

  

Томск – 2013

Содержание

1 Цель работы………………………………………………………………3

2 Теоретические вопрос...………………………………………………….3

3 Результаты обработки экспериментальных данных ………………..…5

4 Индивидуальное задание………………………………………………...7

5 Решение задачи с применением метода наименьших квадратов……..7

Вывод……………………………………………………………………....13

Список литературы…………………………………………………….....13

1 Цель работы

Ознакомиться с процедурой идентификации параметров динамического объекта первого порядка на примере RL-цепи с помощью метода наименьших квадратов.

2 Теоретический вопрос

2.1 Описать методику экспериментального определения параметров нагруженной RC-цепи по зашумлённым сигналам датчиков с применением метода наименьших квадратов.

Процессы, протекающие в цепи при замыкании ключа, описываются дифференциальным уравнением 1 порядка, составленным по второму закону Кирхгофа:

                                      (1)

Решение уравнения ищется в виде суммы частного и общего решений:

                                          (2)

Для нахождения частного решения неоднородного ДУ подставим в исходное уравнение значение . Тогда оно будет выглядеть следующим образом:

Определим корень характеристического уравнения из однородного дифференциального уравнения:

Общее решение однородного уравнения:

                                    (3)

где А – постоянная интегрирования.

Общее решение неоднородного уравнения:

                            (4)

Решим задачу Коши с нулевыми начальными условиями. Для этого подставим в общее решение неоднородного ДУ значение 0. Получим:

Откуда постоянная интегрирования:

В итоге временная зависимость тока в RC-цепи при коммутации ее на источник постоянного напряжения:

                           (5)

Графическое решение дифференциального уравнения представлено на рисунке 1    

На графике обозначена также постоянная времени цепи Т, обратная модулю корня характеристического уравнения 1/λ=1/(RC).

                                                                              
                                                                                                

           

                         

 

                                                                       

Рисунок 1 – Изменение тока в RC-цепи при коммутации на источник постоянного напряжения

3 Результаты обработки экспериментальных данных при коммутации RL-цепи на источник постоянного напряжения при уровнях помех 5, 10, 20, 50%

Рисунок 2 - График зашумленного переходного процесса при 5%

Рисунок 3 - График зашумленного переходного процесса при 10%

Рисунок 4 - График зашумленного переходного процесса при 20%

Рисунок 5 - График зашумленного переходного процесса при 50%

Рисунок 6 – Совмещенные зависимости теоретического переходного процесса тока и аппроксимированной зависимости от времени при 5 и 50% зашумленности

Таблица 1. Сводная таблица погрешностей, полученных при использовании метода наименьших квадратов в зависимости от уровня зашумленности

Зашумленность

,%

,%

,%

,%

5%

3,572

0,183

3,395

0,183

10%

12,005

0,258

11,778

0,258

20%

26,282

1,234

25,372

1,219

50%

11,733

3,218

15,329

3,118

4 Индивидуальное задание

Исходные данные:

E = 25 В;

R = 13 Ом;

L = 70 мГн;

С = 140 мкФ;

Rнаг = 100 Ом.

Рисунок 7 – Схема коммутации RC-цепи на источник постоянного напряжения

5 Решение задачи с применением метода наименьших квадратов.

Составим схему замещения для схемы RC-цепи (рисунок 8)

Рисунок 8 – Схема замещения

Т.к. в установившимся режиме постоянный ток через конденсатор протекать не будет, то ток через резистор R и Rнаг будут равны:

где

Зашумленный переходный процесс имитируем в программной среде MathCAD. Все расчеты приведены в системе СИ. Задаем параметры цепи:

Устанавливаем уровень помех (для примера 5% от установившегося значения):

Накладываем помехи на теоретическое решение дифференциального уравнения, описывающего переходный процесс тока:

Функция rnd(x) имитирует генератор случайных чисел. Вычитание слагаемого ipomeh/2 необходимо для устранения постоянной составляющей помех и равномерного распределения их вокруг теоретической кривой.

Задаем количество точек (в примере 600), начальные условия, шаг расчета и можем наблюдать график зашумленного переходного процесса (рисунок 3).

Рисунок 9 – График зашумленного переходного процесса

Представляя, что смоделированный процесс мы получили в ходе эксперимента, определим вид приближающей функции. Визуально можно сказать, что этой функцией является экспонента. В случае экспоненциальной регрессии вида

                                        (6)

коэффициенты а0 и а1 определяются по формулам:

Так как в нашем случае приближающая функция имеет вид

то сначала находим коэффициент с, определив среднее значение полученных опытных данных в установившемся режиме:

Приведем экспериментальные данные к виду, не содержащему свободный член:

В нашем случае достаточно определить параметр а1, представляющий собой постоянную времени переходного процесса. Наибольшее количество полезной информации возможно получить из анализа переходного режима работы устройства. В связи с этим для расчета а1 необходимо взять примерно только первую половину точек (до установившегося режима, в данном случае 300):

Определим постоянную времени процесса и сравним ее с теоретической:

Найдем активное сопротивление емкости конденсатора, считая известным напряжение источника и используя найденное ранее установившееся значение тока:

Рассчитаем емкость конденсатора:

Построим совмещенные графики теоретического переходного процесса тока и аппроксимированной зависимости:

Рисунок 8 – Совмещенные зависимости теоретического переходного процесса тока и аппроксимированной зависимости от времени

Определим погрешность измерения напряжения в установившемся режиме:

Из полученных результатов можно сделать сказать о том, что при зашумленности процесса на уровне 5% от теоретического значения метод наименьших квадратов позволяет аппроксимировать экспериментальные данные и провести идентификацию RС-цепи с допустимой погрешностью (не более 5%).

Таблица 2. Сводная таблица погрешностей, полученных при использовании метода наименьших квадратов в зависимости от уровня зашумленности

Зашумленность

,%

,%

,%

,%

5%

4,367

3,729

7,805

0.427

10%

1,422

3,264

1,903

0,377

20%

10,86

2,797

13,285

0,321

50%

5,567

9,195

3,995

1,069

Вывод: Имея экспериментальные данные снятые с датчиков с различными уровнями шума, можно определить параметры  цепи, используя метод наименьших квадратов. Данная работа имитируется в программе Mathcad.

Список литературы

1. Зевеке Г.В. Ионкин П.А. Основы теории цепей. – М. Энергоатомизиздат, 1989

2. Глазырин А.С. Математическое моделирование электромеханических систем. Аналитические методы: учебное пособие / А.С. Глазырин; Национальный исследовательский Томский политехнический университет. – Томск: Изд-во Томского политехнического университета, 2010. – 204 с.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

2346. Поширення ідей Просвітництва в Західній Україні. 19.27 KB
  Мета: з’ясувати характер суспільно-політичного життя та витоки національного відродження на західноукраїнських землях наприкінці XVIII – на початку XIX ст., довести, що діяльність Руської трійці була виявом галицько-українського відродження; з’ясувати, чому альманах Русалка Дністрова називають “політичним маніфестом українства”.
2347. Російський визвольний та польський національно-визвольний рухи на українських землях у 20-30-ті роки XIX ст. 20.71 KB
  Мета: розкрити причини поширення західноєвропейських революційних ідей в Україні та створення масонських лож в Україні, проаналізувати діяльність декабристів в Україні та історичне значення декабристського руху для України, довести, що Польське повстання 1830-1831 рр. мало антиколоніальний і антифеодальний характер.
2348. Формування модерної української нації. Теорія та суспільні виклики першої половини XIX ст 37.5 KB
  Мета: провести підсумкове оцінювання знань як кінцевий етап оцінювання знань з тем Вступ. Формування модерної української нації. Теорія та суспільні виклики першої половини XIX ст., Українські землі у складі Російської та Австрійської імперій наприкінці XVIII – у першій третині XIX ст., оцінити рівень навчальних досягнень учнів та перевірити уміння застосовувати нубуті знання.
2349. Історія України у визначеннях, таблицях і схемах 7-9 класи 44.9 MB
  Київська Русь та Галицько-Волинська держава. Національно-визвольна війна та відродження Української держави. Наддніпрянська Україна в другій половині ХІХ століття. Культура України другої половині ХІХ століття.
2350. Усі уроки до курсу Всесвітня історія 9 клас 1.04 MB
  Вікторіанська Британія. Велика Французька революція кінця ХVIII ст. Франція під владою Наполеона. Модернізація Японії. Велика Британія в останній третині ХІХ ст. Завершення територіального поділу світу. Культура народів світу наприкінці ХVІІІ — у ХІХ ст.
2351. Сільське господарство та аграрні відносини на українських землях 33.5 KB
  Мета: показати процес занепаду кріпосницьких та зародження ринкових відносин в Україні у першій половині XIX ст., довести, що російський царизм намагався зміцнити феодально-кріпосницьку систему господарювання в Україні, ознайомити учнів із процесом визрівання ознак ринкової економіки в сільському господарстві, промисловості, торгівлі України.
2352. Початок промислової революції 59 KB
  Мета: дослідити занепад кріпосницьких та зародження ринкових вілносин в Україні в першій половині XIX ст., ознайомити учнів із процесом визрівання ознак ринкової економіки в промисловості, торгівлі.
2353. Повсякденне життя українців у селі та місті. 19.07 KB
  Мета: сформувати в учнів уявлення про повсякденне життя українських селян та міщан у першій половині XIX ст. Розпорядок робочого дня українських селян.
2354. Соціально-економічне становище українського населення під владою Австрійської та Російської імперій і соціальні рухи 41 KB
  Мета: проаналізувати причини розгортання селянського руху, розкрити хід і наслідки соціальної боротьби в Україні в першій половині XIX ст., довести, що колонізаторська політика Російської та Австрійської імперій на українських землях призвела до посилення національного та соціального гніту, з’ясувати форми й характер протесту українського населення.