86786

Процедура идентификации параметров динамического объекта первого порядка на примере RL-цепи с помощью метода наименьших квадратов

Лабораторная работа

Коммуникация, связь, радиоэлектроника и цифровые приборы

Описать методику экспериментального определения параметров нагруженной RCцепи по зашумлённым сигналам датчиков с применением метода наименьших квадратов. Процессы протекающие в цепи при замыкании ключа описываются дифференциальным уравнением 1 порядка составленным по второму закону Кирхгофа...

Русский

2016-09-25

153.87 KB

9 чел.

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ

ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Институт       –  Энергетический институт

Направление –  Электроэнергетика и электротехника

Кафедра        –   Электрические сети и электротехника

Метод наименьших квадратов

Отчет по лабораторной работе

по курсу «Дополнительные главы математики»

Вариант №7

Выполнил студент  5АМ33         _________  ________     М.М. Попов

                  

Проверил, ст. преподаватель      _________ _________    А.С. Васильев

                       

  

Томск – 2013

Содержание

1 Цель работы………………………………………………………………3

2 Теоретические вопрос...………………………………………………….3

3 Результаты обработки экспериментальных данных ………………..…5

4 Индивидуальное задание………………………………………………...7

5 Решение задачи с применением метода наименьших квадратов……..7

Вывод……………………………………………………………………....13

Список литературы…………………………………………………….....13

1 Цель работы

Ознакомиться с процедурой идентификации параметров динамического объекта первого порядка на примере RL-цепи с помощью метода наименьших квадратов.

2 Теоретический вопрос

2.1 Описать методику экспериментального определения параметров нагруженной RC-цепи по зашумлённым сигналам датчиков с применением метода наименьших квадратов.

Процессы, протекающие в цепи при замыкании ключа, описываются дифференциальным уравнением 1 порядка, составленным по второму закону Кирхгофа:

                                      (1)

Решение уравнения ищется в виде суммы частного и общего решений:

                                          (2)

Для нахождения частного решения неоднородного ДУ подставим в исходное уравнение значение . Тогда оно будет выглядеть следующим образом:

Определим корень характеристического уравнения из однородного дифференциального уравнения:

Общее решение однородного уравнения:

                                    (3)

где А – постоянная интегрирования.

Общее решение неоднородного уравнения:

                            (4)

Решим задачу Коши с нулевыми начальными условиями. Для этого подставим в общее решение неоднородного ДУ значение 0. Получим:

Откуда постоянная интегрирования:

В итоге временная зависимость тока в RC-цепи при коммутации ее на источник постоянного напряжения:

                           (5)

Графическое решение дифференциального уравнения представлено на рисунке 1    

На графике обозначена также постоянная времени цепи Т, обратная модулю корня характеристического уравнения 1/λ=1/(RC).

                                                                              
                                                                                                

           

                         

 

                                                                       

Рисунок 1 – Изменение тока в RC-цепи при коммутации на источник постоянного напряжения

3 Результаты обработки экспериментальных данных при коммутации RL-цепи на источник постоянного напряжения при уровнях помех 5, 10, 20, 50%

Рисунок 2 - График зашумленного переходного процесса при 5%

Рисунок 3 - График зашумленного переходного процесса при 10%

Рисунок 4 - График зашумленного переходного процесса при 20%

Рисунок 5 - График зашумленного переходного процесса при 50%

Рисунок 6 – Совмещенные зависимости теоретического переходного процесса тока и аппроксимированной зависимости от времени при 5 и 50% зашумленности

Таблица 1. Сводная таблица погрешностей, полученных при использовании метода наименьших квадратов в зависимости от уровня зашумленности

Зашумленность

,%

,%

,%

,%

5%

3,572

0,183

3,395

0,183

10%

12,005

0,258

11,778

0,258

20%

26,282

1,234

25,372

1,219

50%

11,733

3,218

15,329

3,118

4 Индивидуальное задание

Исходные данные:

E = 25 В;

R = 13 Ом;

L = 70 мГн;

С = 140 мкФ;

Rнаг = 100 Ом.

Рисунок 7 – Схема коммутации RC-цепи на источник постоянного напряжения

5 Решение задачи с применением метода наименьших квадратов.

Составим схему замещения для схемы RC-цепи (рисунок 8)

Рисунок 8 – Схема замещения

Т.к. в установившимся режиме постоянный ток через конденсатор протекать не будет, то ток через резистор R и Rнаг будут равны:

где

Зашумленный переходный процесс имитируем в программной среде MathCAD. Все расчеты приведены в системе СИ. Задаем параметры цепи:

Устанавливаем уровень помех (для примера 5% от установившегося значения):

Накладываем помехи на теоретическое решение дифференциального уравнения, описывающего переходный процесс тока:

Функция rnd(x) имитирует генератор случайных чисел. Вычитание слагаемого ipomeh/2 необходимо для устранения постоянной составляющей помех и равномерного распределения их вокруг теоретической кривой.

Задаем количество точек (в примере 600), начальные условия, шаг расчета и можем наблюдать график зашумленного переходного процесса (рисунок 3).

Рисунок 9 – График зашумленного переходного процесса

Представляя, что смоделированный процесс мы получили в ходе эксперимента, определим вид приближающей функции. Визуально можно сказать, что этой функцией является экспонента. В случае экспоненциальной регрессии вида

                                        (6)

коэффициенты а0 и а1 определяются по формулам:

Так как в нашем случае приближающая функция имеет вид

то сначала находим коэффициент с, определив среднее значение полученных опытных данных в установившемся режиме:

Приведем экспериментальные данные к виду, не содержащему свободный член:

В нашем случае достаточно определить параметр а1, представляющий собой постоянную времени переходного процесса. Наибольшее количество полезной информации возможно получить из анализа переходного режима работы устройства. В связи с этим для расчета а1 необходимо взять примерно только первую половину точек (до установившегося режима, в данном случае 300):

Определим постоянную времени процесса и сравним ее с теоретической:

Найдем активное сопротивление емкости конденсатора, считая известным напряжение источника и используя найденное ранее установившееся значение тока:

Рассчитаем емкость конденсатора:

Построим совмещенные графики теоретического переходного процесса тока и аппроксимированной зависимости:

Рисунок 8 – Совмещенные зависимости теоретического переходного процесса тока и аппроксимированной зависимости от времени

Определим погрешность измерения напряжения в установившемся режиме:

Из полученных результатов можно сделать сказать о том, что при зашумленности процесса на уровне 5% от теоретического значения метод наименьших квадратов позволяет аппроксимировать экспериментальные данные и провести идентификацию RС-цепи с допустимой погрешностью (не более 5%).

Таблица 2. Сводная таблица погрешностей, полученных при использовании метода наименьших квадратов в зависимости от уровня зашумленности

Зашумленность

,%

,%

,%

,%

5%

4,367

3,729

7,805

0.427

10%

1,422

3,264

1,903

0,377

20%

10,86

2,797

13,285

0,321

50%

5,567

9,195

3,995

1,069

Вывод: Имея экспериментальные данные снятые с датчиков с различными уровнями шума, можно определить параметры  цепи, используя метод наименьших квадратов. Данная работа имитируется в программе Mathcad.

Список литературы

1. Зевеке Г.В. Ионкин П.А. Основы теории цепей. – М. Энергоатомизиздат, 1989

2. Глазырин А.С. Математическое моделирование электромеханических систем. Аналитические методы: учебное пособие / А.С. Глазырин; Национальный исследовательский Томский политехнический университет. – Томск: Изд-во Томского политехнического университета, 2010. – 204 с.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

7743. Арттерапия как психокоррекционный метод 220 KB
  Арттерапия как психокоррекционный метод. ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА МЕТОДА Арттерапия возникла в 30-е годы нашего века. Первый урок применения арттерапии относится к попыткам коррекции эмоционально-личностных проблем детей, эмигрировавших в США из...
7744. Методы поведенческой коррекции 157 KB
  Методы поведенческой коррекции. Метод систематической десенсибилизации и сенсибилизации В 1958 г. вышла книга австрийского психотерапевта Д. Вольпе Психотерапия реципрокным торможением. В теории реципрокного торможения Вольпе речь идет о тормо...
7745. Психодрама как психокоррекционный метод 128.5 KB
  Психодрама как психокоррекционный метод. Описание метода Психодрама - это метод групповой работы, представляющий ролевую игру, в ходе которой используется драматическая импровизация как способ изучения внутреннего мира участников группы, и...
7746. Индивидуальная психокоррекция 107.5 KB
  Индивидуальная психокоррекция. Показания к индивидуальной психокоррекции Психокоррекция на практике применяется в двух формах: индивидуальной и групповой. В случае индивидуальной психокоррекционной работы психолог работает с клиентом один на один...
7747. Групповая психокоррекция 244.5 KB
  Групповая психокоррекция. Специфика групповой формы психокоррекции Специфика групповой психокоррекции заключается в Целенаправленном использовании групповой динамики, т.е. всей совокупности взаимоотношений и взаимодействий, возникающих между участ...
7748. Виды коррекционных групп 439 KB
  Виды коррекционных групп. Тренинговые группы и социально-психологический тренинг Работа тренинговых групп История создания тренинговых групп (Т-групп) тесно связана с именем К. Левина. Работая сначала в лаборатории, затем в полевых условиях, К. Л...
7749. Групповая дискуссия как метод групповой работы 83.5 KB
  Групповая дискуссия как метод групповой работы Дискуссия от латинского discussion (рассмотрение, исследование): 1) способ организации совместной деятельности с целью интенсификации процесса принятия решения в группе 2) метод обучения, повыша...
7750. Психокоррекция семейных отношений 111.5 KB
  Психокоррекция семейных отношений Семья как объект психокоррекционного воздействия Вопросы оказания психологической помощи семье в нашей стране имеют давнюю историю. В настоящее время отмечается повышение интереса к проблемам, связанным с семьей...
7751. Педагогика в системе современного человекознания 207.5 KB
  Педагогика в системе современного человекознания. Возникновение и развитие педагогической науки. Свое название педагогика получила от функции, которую в Древней Греции исполняли рабы, специально приставленные к молодым людям из аристократическ...