86786

Процедура идентификации параметров динамического объекта первого порядка на примере RL-цепи с помощью метода наименьших квадратов

Лабораторная работа

Коммуникация, связь, радиоэлектроника и цифровые приборы

Описать методику экспериментального определения параметров нагруженной RCцепи по зашумлённым сигналам датчиков с применением метода наименьших квадратов. Процессы протекающие в цепи при замыкании ключа описываются дифференциальным уравнением 1 порядка составленным по второму закону Кирхгофа...

Русский

2016-09-25

153.87 KB

10 чел.

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ

ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Институт       –  Энергетический институт

Направление –  Электроэнергетика и электротехника

Кафедра        –   Электрические сети и электротехника

Метод наименьших квадратов

Отчет по лабораторной работе

по курсу «Дополнительные главы математики»

Вариант №7

Выполнил студент  5АМ33         _________  ________     М.М. Попов

                  

Проверил, ст. преподаватель      _________ _________    А.С. Васильев

                       

  

Томск – 2013

Содержание

1 Цель работы………………………………………………………………3

2 Теоретические вопрос...………………………………………………….3

3 Результаты обработки экспериментальных данных ………………..…5

4 Индивидуальное задание………………………………………………...7

5 Решение задачи с применением метода наименьших квадратов……..7

Вывод……………………………………………………………………....13

Список литературы…………………………………………………….....13

1 Цель работы

Ознакомиться с процедурой идентификации параметров динамического объекта первого порядка на примере RL-цепи с помощью метода наименьших квадратов.

2 Теоретический вопрос

2.1 Описать методику экспериментального определения параметров нагруженной RC-цепи по зашумлённым сигналам датчиков с применением метода наименьших квадратов.

Процессы, протекающие в цепи при замыкании ключа, описываются дифференциальным уравнением 1 порядка, составленным по второму закону Кирхгофа:

                                      (1)

Решение уравнения ищется в виде суммы частного и общего решений:

                                          (2)

Для нахождения частного решения неоднородного ДУ подставим в исходное уравнение значение . Тогда оно будет выглядеть следующим образом:

Определим корень характеристического уравнения из однородного дифференциального уравнения:

Общее решение однородного уравнения:

                                    (3)

где А – постоянная интегрирования.

Общее решение неоднородного уравнения:

                            (4)

Решим задачу Коши с нулевыми начальными условиями. Для этого подставим в общее решение неоднородного ДУ значение 0. Получим:

Откуда постоянная интегрирования:

В итоге временная зависимость тока в RC-цепи при коммутации ее на источник постоянного напряжения:

                           (5)

Графическое решение дифференциального уравнения представлено на рисунке 1    

На графике обозначена также постоянная времени цепи Т, обратная модулю корня характеристического уравнения 1/λ=1/(RC).

                                                                              
                                                                                                

           

                         

 

                                                                       

Рисунок 1 – Изменение тока в RC-цепи при коммутации на источник постоянного напряжения

3 Результаты обработки экспериментальных данных при коммутации RL-цепи на источник постоянного напряжения при уровнях помех 5, 10, 20, 50%

Рисунок 2 - График зашумленного переходного процесса при 5%

Рисунок 3 - График зашумленного переходного процесса при 10%

Рисунок 4 - График зашумленного переходного процесса при 20%

Рисунок 5 - График зашумленного переходного процесса при 50%

Рисунок 6 – Совмещенные зависимости теоретического переходного процесса тока и аппроксимированной зависимости от времени при 5 и 50% зашумленности

Таблица 1. Сводная таблица погрешностей, полученных при использовании метода наименьших квадратов в зависимости от уровня зашумленности

Зашумленность

,%

,%

,%

,%

5%

3,572

0,183

3,395

0,183

10%

12,005

0,258

11,778

0,258

20%

26,282

1,234

25,372

1,219

50%

11,733

3,218

15,329

3,118

4 Индивидуальное задание

Исходные данные:

E = 25 В;

R = 13 Ом;

L = 70 мГн;

С = 140 мкФ;

Rнаг = 100 Ом.

Рисунок 7 – Схема коммутации RC-цепи на источник постоянного напряжения

5 Решение задачи с применением метода наименьших квадратов.

Составим схему замещения для схемы RC-цепи (рисунок 8)

Рисунок 8 – Схема замещения

Т.к. в установившимся режиме постоянный ток через конденсатор протекать не будет, то ток через резистор R и Rнаг будут равны:

где

Зашумленный переходный процесс имитируем в программной среде MathCAD. Все расчеты приведены в системе СИ. Задаем параметры цепи:

Устанавливаем уровень помех (для примера 5% от установившегося значения):

Накладываем помехи на теоретическое решение дифференциального уравнения, описывающего переходный процесс тока:

Функция rnd(x) имитирует генератор случайных чисел. Вычитание слагаемого ipomeh/2 необходимо для устранения постоянной составляющей помех и равномерного распределения их вокруг теоретической кривой.

Задаем количество точек (в примере 600), начальные условия, шаг расчета и можем наблюдать график зашумленного переходного процесса (рисунок 3).

Рисунок 9 – График зашумленного переходного процесса

Представляя, что смоделированный процесс мы получили в ходе эксперимента, определим вид приближающей функции. Визуально можно сказать, что этой функцией является экспонента. В случае экспоненциальной регрессии вида

                                        (6)

коэффициенты а0 и а1 определяются по формулам:

Так как в нашем случае приближающая функция имеет вид

то сначала находим коэффициент с, определив среднее значение полученных опытных данных в установившемся режиме:

Приведем экспериментальные данные к виду, не содержащему свободный член:

В нашем случае достаточно определить параметр а1, представляющий собой постоянную времени переходного процесса. Наибольшее количество полезной информации возможно получить из анализа переходного режима работы устройства. В связи с этим для расчета а1 необходимо взять примерно только первую половину точек (до установившегося режима, в данном случае 300):

Определим постоянную времени процесса и сравним ее с теоретической:

Найдем активное сопротивление емкости конденсатора, считая известным напряжение источника и используя найденное ранее установившееся значение тока:

Рассчитаем емкость конденсатора:

Построим совмещенные графики теоретического переходного процесса тока и аппроксимированной зависимости:

Рисунок 8 – Совмещенные зависимости теоретического переходного процесса тока и аппроксимированной зависимости от времени

Определим погрешность измерения напряжения в установившемся режиме:

Из полученных результатов можно сделать сказать о том, что при зашумленности процесса на уровне 5% от теоретического значения метод наименьших квадратов позволяет аппроксимировать экспериментальные данные и провести идентификацию RС-цепи с допустимой погрешностью (не более 5%).

Таблица 2. Сводная таблица погрешностей, полученных при использовании метода наименьших квадратов в зависимости от уровня зашумленности

Зашумленность

,%

,%

,%

,%

5%

4,367

3,729

7,805

0.427

10%

1,422

3,264

1,903

0,377

20%

10,86

2,797

13,285

0,321

50%

5,567

9,195

3,995

1,069

Вывод: Имея экспериментальные данные снятые с датчиков с различными уровнями шума, можно определить параметры  цепи, используя метод наименьших квадратов. Данная работа имитируется в программе Mathcad.

Список литературы

1. Зевеке Г.В. Ионкин П.А. Основы теории цепей. – М. Энергоатомизиздат, 1989

2. Глазырин А.С. Математическое моделирование электромеханических систем. Аналитические методы: учебное пособие / А.С. Глазырин; Национальный исследовательский Томский политехнический университет. – Томск: Изд-во Томского политехнического университета, 2010. – 204 с.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

37869. Простейшие средства отладки в среде DELPHI. Программирование циклических алгоритмов 124.5 KB
  Вывод: изучил простейшие средства отладки в среде DELPHI. Научился программировать циклические алгоритмы.
37870. Сравнение репрезентативности случайной, механической и серийной выборок из генеральной совокупности 91.5 KB
  Обычно считается что чтобы иметь право судить о генеральной совокупности по выборке выборка должна быть образована случайно. Это можно достичь различными способами наиболее распространенными: собственнослучайная выборка; механическая; типическая; серийная. Собственнослучайная выборка Существует два подхода к решению данной задачи: Простая случайная выборка с возвращением объект извлекается из генеральной совокупности случайным образом и перед извлечением следующего возвращается обратно Например после отбора деталей на...
37871. Проектування цифрових автоматів з пам’яттю 1.6 MB
  Цифровий автомат – це пристрій, який здійснює приймання, зберігання і перетворення дискретної інформації за деяким алгоритмом.
37872. Устройства сопряжения аналоговых и цифровых сигналов 157.5 KB
  Основными устройствами осуществляющими преобразование информационных сигналов в дискретные последовательности импульсов и наоборот являются аналогоцифровые преобразователи АЦП цифроаналоговые преобразователи ЦАП и устройства выборки и хранения УВХ которые могут входить и в состав АЦП. Данная лабораторная работа не преследует цели обучения проектированию преобразователей: в настоящее время производится большое количество самых разнообразных микросхем ЦАП и АЦП. Цифроаналоговые преобразователи Назначение ЦАП преобразование...
37873. Введення, редагування, копіювання, переміщення та видалення інформації. Вставка/видалення клітин. Форматування даних 221.5 KB
  Відформатуйте текст у таблиці Excel: розташуйте назву своєї спеціальності посередині блоку клітин С20:Н20 колір шрифту червоний фон клітини жовтий. введіть у будьяку клітину назву факультету змініть орієнтацію тексту обраміть клітину подвійною лінією фон клітини бірюзовий. Виконайте над вмістом клітини наступні операції. а Скопіюйте вміст клітини В6 до іншої клітини за допомогою: панелі інструментів; головного меню; контекстного меню; засобу âПеретащитьиоставитьâ правою кнопкою миші; засобу...
37874. Простые типы данных и основные операторы работы с данными в Java программе 212 KB
  Краткие теоретические сведения Простые типы Простые типы в Jv не являются объектноориентированными они аналогичны простым типам большинства традиционных языков программирования. Для каждого типа строго определены наборы допустимых значений и разрешенных операций. Например если значение переменной типа byte равно в шестнадцатиричном виде 0х80 то это число 1. В языке имеется 4 целых типа занимающих 1 2 4 и 8 байтов в памяти.
37875. Система моделирования электронных устройств Electronics Workbench; Исследование дифференциального усилителя 224.5 KB
  Тогда при одинаковых входных сигналах U1 и U2 токи транзисторов также будут одинаковы а это означает что разность потенциалов между коллекторами будет равна нулю. Этот случай когда оба входных сигнала одинаковы как по амплитуде так по фазе называется режимом усиления синфазного сигнала. Важной характеристикой ДУ является коэффициент подавления синфазного сигнала который показывает во сколько раз коэффициент усиления дифференциального входного сигнала приложенного между входами каскада больше коэффициента усиления синфазных сигналов...
37876. Навчитися визначати комплексний коефіцієнт передачі чотириполюсника аналітично та за допомогою осцилографа 832 KB
  Лабораторне заняття 2 2 тиждень ДОСЛІДЖЕННЯ ЕНЕРГЕТИЧНИХ ХАРАКТЕРИСТИК ДЖЕРЕЛА ПОСТІЙНОЇ НАПРУГИ Мета роботи: Встановити експериментальним шляхом за допомогою програми Electronics WorkBench наступні залежності: 1. Залежність потужності Pr що виділяється у внутрішньому опорі джерела напруги від величини опору навантаження; 3. Залежність коефіцієнта корисної дії η джерела напруги від величини опору навантаження. Хід роботи: Джерело постійної напруги представлено як джерело ерс величиною Е з внутрішнім опором r.