86787

Интерполяция функций нелинейных систем

Домашняя работа

Коммуникация, связь, радиоэлектроника и цифровые приборы

Используемые в математических моделях функции задаются как аналитическим способом так и табличным при котором функции известны только при дискретных значениях аргументов. Поставленные проблемы решаются путем приближенной замены функции x более простой функцией х которую нетрудно вычислять при любом значении...

Русский

2016-09-25

106.37 KB

0 чел.

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ

ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Институт -  Энергетический институт

Направление  – Электроэнергетика и электротехника

Кафедра        –  ЭЭС

«ИНТЕРПОЛЯЦИЯ ФУНКЦИЙ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ»

Индивидуальное домашнее задание №7

по дисциплине «ДГМ»

                                       

Выполнила студентка гр.5АМ33     _______       _______      М.М. Попов

                                                                                                  

               

 

Проверил: ст. преподаватель            _______          _______    А.С.Васильев                                                                

Томск – 2013

Цель работы: освоить математический аппарат, алгоритмы интерполяции функций, заданных экспериментально полученными узлами, методы и алгоритмы гармонического анализа токов в нелинейных системах.

Задание 1. Интерполяция кривой намагничивания, заданной таблично

Пусть имеется катушка с тороидальным магнитопроводом.

Рис.1. Катушка с тороидальным магнитопроводом

Катушка имеет магнитный сердечник с нелинейной основной кривой намагничивания H(B), где B – магнитная индукция, Тл, H – напряжённость магнитного поля, А·м. Кривая намагничивания задана экспериментально снятыми узлами и представлена в табл. 1.

Таблица 1. Экспериментальные узлы кривой намагничивания

Вар

Основная кривая намагничивания магнитопровода катушки

7

B, Тл

0.5

0.8

0.9

1.0

1.1

1.2

1.3

1.4

1.5

H, А/м

225

375

475

575

775

1025

1405

2025

3025

Кривую намагничивания, заданную таблично следует подвергнуть интерполяции по методу, указанному в табл. 2.

Таблица 2. Метод интерполяции

Вариант

Метод интерполяции

7

Каноническими полиномами

Интерполяция каноническими полиномами

Одной из важнейших задач процесса математического моделирования является вычисление значений функций, входящих в математическое описание модели. Для сложных моделей подобные вычисления могут быть трудоемкими даже при использовании ЭВМ. При выполнении программ, реализующих основные методы вычислительной математики, большая часть времени также затрачивается на вычисление функций.

Используемые в математических моделях функции задаются как аналитическим способом, так и табличным, при котором функции известны только при дискретных значениях аргументов. Ограниченный объем памяти ПЭВМ не позволяет хранить подробные таблицы функций, желательно иметь возможность "сгущать" таблицы, заданные с крупным шагом аргумента.

Поставленные проблемы решаются путем приближенной замены функции x) более простой функцией (х), которую нетрудно вычислять при любом значении аргумента о в заданном интервале его изменения. Введенную функцию  (x) можно использовать не только для приближенного определения численных значений x), но и для проведения аналитических выкладок при теоретическом исследовании модели.

Приближение функции x) более простой функцией (х) называется аппроксимацией (от латинского approximo - приближаюсь). Близости этих функций добиваются путем введения в аппроксимирующую функцию (х) свободных параметров со, с1, ..., сn и соответствующим их выбором.

В задачах теории сплошных сред, электродинамики, электроники широко используются аппроксимации функций для описания физических параметров сред, для задания характеристик активных и пассивных элементов радиотехнических цепей и т.д. В вычислительной математике аппроксимация функций является основой для разработки многих методов и алгоритмов.

Пусть функция f (х) задана таблицей значений, полученной из эксперимента или путем вычисления в последовательности значений аргумента хо, х1 ... хn (табл. 3). Выбранные значения аргумента x называются узлами таблицы. Считаем, что узлы в общем случае не являются равноотстоящими.

Таблица 3

Введем аппроксимирующую функцию  (х, со, с1, ..., сn) так, чтобы она совпадала с табличными значениями заданной функции f (х) во всех узлах xi:

(1)

Свободные параметры ci, определяются из системы (1). Подобный

способ введения аппроксимирующей функции называется лагранжевой интерполяцией, а соотношения (1) - условиями Лагранжа [1].

Задачей интерполяции в узком смысле считают нахождение приближенных значений табличной функции при аргументах x, не совпадающих с узловыми. Если значение аргумента x расположено между узлами хо < х < xn то нахождение приближенного значения функции f (х) называют интерполяцией, если аппроксимирующую функцию вычисляют вне интервала [хо, xn], то процесс называют экстраполяцией.

В более общем плане с помощью интерполяции решают широкий круг задач численного анализа - дифференцирование и интегрирование функций, нахождение нулей и экстремумов функций, решение дифференциальных уравнений и т.д. Возможность решения подобных задач обусловлена достаточно простым видом аппроксимирующей функции  (x).

Выберем в качестве аппроксимирующей функции  (x) полином Pn(х) степени n в каноническом виде

(x) = Pn(х) = со + с1х + с2х2 + ... + сn хn                                        (2)

Свободными параметрами интерполяции ci , являются коэффициенты полинома (2). Интерполяция полиномами обладает такими преимуществами, как простота вычислений их значений, дифференцирования и интегрирования.

Коэффициенты сi определим из условий Лагранжа

Pn(хi)= f I                                                                             (3)

Или

                                        (4)

Система линейных алгебраических уравнений (4) относительно свободных параметров сi- имеет решение, так как определитель системы отличен от нуля, если среди узлов xi нет совпадающих. Определитель системы (3.4) называется определителем Вандермонда и имеет аналитическое выражение [1].

Рассмотренный способ определения интерполяционного полинома не является эффективным по затратам времени и объему памяти ЭВМ. Разработаны более экономичные формы представления и способы вычисления интерполяционных полиномов.

Независимо от формы записи полинома для заданной таблицы узлов и значений функции интерполяционный полином является единственным. Это важное утверждение доказывается методом от противного. Единственность позволяет вводить интерполяционные полиномы в формах, отличных от канонической.

Source data

 

Строим матрицу коэффициентов полинома (матрицу Вандермонда) размерностью N*N.

После вызова только что показанной функции, используем найденный ею вектор коэффициентов глобального полинома c для поиска значений в ранее заданных точках xi.

Coefficient vector

Interpolating polynom in point x

1

Значения совпали с заданными yi - значит всё правильно, полином-то интерполяционный и должен проходить через все точки.

Можно сделать произвольный дискретный диапазон по x и рассчитывать полином Лагранжа в произвольной точке, вызывая функцию P(c,x). Для простоты возьмём интервал, совпадающий с минимальным и макисмальным значениями из заданных иксов - то есть, от 1.5 до 8.2 и разобъём его на N участков.

Results!

Видно, что в промежуточных точках значения полинома другие. Итак, по набору из N заданных точек (xi,yi) мы построили кривую, зависящую от xN-1 и проходящую через все точки.

Графики исходных точек и интерполирующей функции приведены на рис.2.

Рисунок 2 - Графики исходных точек и интерполирующей функции

Вывод:  

Интерполированная функция проходит через все точки, полученные экспериментально, таким образом, в узлах интерполяции условие Лагранжа выполняется. При этом на интервале от 0.5 до 0.8 Тл имеет искривление, что может быть вызвано большим диапазоном между двумя измерениями. Исходя из полученных результатов, можно сказать, что данный метод подходит для интерполяции функций, однако при большом диапазоне между узлами интерполяции интерполяционная функция может иметь значительное отклонение от аппроксимируемой кривой между узлами.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

59132. Сценарій КВК. У вінок Кобзареві 38.5 KB
  Обирається склад журі. Журі оцінює. Слово надається журі за три конкурси. виступ Оцінює журі.
59133. Узагальнення вивченого про наголос, наголошені й ненаголошені голосні 36.5 KB
  Тому він підготував вам розминку Мозкова атака З чого складається наше мовлення Які ви знаєте речення за метою висловлювання З чого складається речення На що можемо поділити слова Який склад називається наголошеним Який звук називається наголошеним...
59136. Україна під час другої світової війни 75 KB
  Сьгодні православний світ відзначає свято Покрова Пресвятої Богородиці яка з давніх давен є покровителькою землі нашої але очевидно не випадково так співпало що в цей день наша країна відзначає ще одне величне та воїстину героїчне свято День визволення України...
59138. Радянсько - німецькі договори 1939 р. і західноукраїнські землі 35 KB
  Повідомлення: Героїчна праця громадян України в тилу; Україна в планах окупантів; КорсуньШевченківська битва 1944 р; Примусове виселення з Криму до східних районів СРСР татар греків вірмен; Втрати України у війні. Виступ на семінарі: Культура України в роки війни: Освіта наука; Література і мистецтво...
59139. Україно, ти моя молитва! 40 KB
  Iй учень: Рідний край це наша Україна Найкраща в світі дорога земля. IIй учень: Я буду вчитись щоб знання здобути Нові зробити в світі відкриття. IIIй учень: Тепло долонь і розуму і серцю Я Україні милій віддаю. Люблю твої поля річки й джерельця Люблю Вітчизну дорогу мою IVй учень...