86787

Интерполяция функций нелинейных систем

Домашняя работа

Коммуникация, связь, радиоэлектроника и цифровые приборы

Используемые в математических моделях функции задаются как аналитическим способом так и табличным при котором функции известны только при дискретных значениях аргументов. Поставленные проблемы решаются путем приближенной замены функции x более простой функцией х которую нетрудно вычислять при любом значении...

Русский

2016-09-25

106.37 KB

0 чел.

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ

ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Институт -  Энергетический институт

Направление  – Электроэнергетика и электротехника

Кафедра        –  ЭЭС

«ИНТЕРПОЛЯЦИЯ ФУНКЦИЙ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ»

Индивидуальное домашнее задание №7

по дисциплине «ДГМ»

                                       

Выполнила студентка гр.5АМ33     _______       _______      М.М. Попов

                                                                                                  

               

 

Проверил: ст. преподаватель            _______          _______    А.С.Васильев                                                                

Томск – 2013

Цель работы: освоить математический аппарат, алгоритмы интерполяции функций, заданных экспериментально полученными узлами, методы и алгоритмы гармонического анализа токов в нелинейных системах.

Задание 1. Интерполяция кривой намагничивания, заданной таблично

Пусть имеется катушка с тороидальным магнитопроводом.

Рис.1. Катушка с тороидальным магнитопроводом

Катушка имеет магнитный сердечник с нелинейной основной кривой намагничивания H(B), где B – магнитная индукция, Тл, H – напряжённость магнитного поля, А·м. Кривая намагничивания задана экспериментально снятыми узлами и представлена в табл. 1.

Таблица 1. Экспериментальные узлы кривой намагничивания

Вар

Основная кривая намагничивания магнитопровода катушки

7

B, Тл

0.5

0.8

0.9

1.0

1.1

1.2

1.3

1.4

1.5

H, А/м

225

375

475

575

775

1025

1405

2025

3025

Кривую намагничивания, заданную таблично следует подвергнуть интерполяции по методу, указанному в табл. 2.

Таблица 2. Метод интерполяции

Вариант

Метод интерполяции

7

Каноническими полиномами

Интерполяция каноническими полиномами

Одной из важнейших задач процесса математического моделирования является вычисление значений функций, входящих в математическое описание модели. Для сложных моделей подобные вычисления могут быть трудоемкими даже при использовании ЭВМ. При выполнении программ, реализующих основные методы вычислительной математики, большая часть времени также затрачивается на вычисление функций.

Используемые в математических моделях функции задаются как аналитическим способом, так и табличным, при котором функции известны только при дискретных значениях аргументов. Ограниченный объем памяти ПЭВМ не позволяет хранить подробные таблицы функций, желательно иметь возможность "сгущать" таблицы, заданные с крупным шагом аргумента.

Поставленные проблемы решаются путем приближенной замены функции x) более простой функцией (х), которую нетрудно вычислять при любом значении аргумента о в заданном интервале его изменения. Введенную функцию  (x) можно использовать не только для приближенного определения численных значений x), но и для проведения аналитических выкладок при теоретическом исследовании модели.

Приближение функции x) более простой функцией (х) называется аппроксимацией (от латинского approximo - приближаюсь). Близости этих функций добиваются путем введения в аппроксимирующую функцию (х) свободных параметров со, с1, ..., сn и соответствующим их выбором.

В задачах теории сплошных сред, электродинамики, электроники широко используются аппроксимации функций для описания физических параметров сред, для задания характеристик активных и пассивных элементов радиотехнических цепей и т.д. В вычислительной математике аппроксимация функций является основой для разработки многих методов и алгоритмов.

Пусть функция f (х) задана таблицей значений, полученной из эксперимента или путем вычисления в последовательности значений аргумента хо, х1 ... хn (табл. 3). Выбранные значения аргумента x называются узлами таблицы. Считаем, что узлы в общем случае не являются равноотстоящими.

Таблица 3

Введем аппроксимирующую функцию  (х, со, с1, ..., сn) так, чтобы она совпадала с табличными значениями заданной функции f (х) во всех узлах xi:

(1)

Свободные параметры ci, определяются из системы (1). Подобный

способ введения аппроксимирующей функции называется лагранжевой интерполяцией, а соотношения (1) - условиями Лагранжа [1].

Задачей интерполяции в узком смысле считают нахождение приближенных значений табличной функции при аргументах x, не совпадающих с узловыми. Если значение аргумента x расположено между узлами хо < х < xn то нахождение приближенного значения функции f (х) называют интерполяцией, если аппроксимирующую функцию вычисляют вне интервала [хо, xn], то процесс называют экстраполяцией.

В более общем плане с помощью интерполяции решают широкий круг задач численного анализа - дифференцирование и интегрирование функций, нахождение нулей и экстремумов функций, решение дифференциальных уравнений и т.д. Возможность решения подобных задач обусловлена достаточно простым видом аппроксимирующей функции  (x).

Выберем в качестве аппроксимирующей функции  (x) полином Pn(х) степени n в каноническом виде

(x) = Pn(х) = со + с1х + с2х2 + ... + сn хn                                        (2)

Свободными параметрами интерполяции ci , являются коэффициенты полинома (2). Интерполяция полиномами обладает такими преимуществами, как простота вычислений их значений, дифференцирования и интегрирования.

Коэффициенты сi определим из условий Лагранжа

Pn(хi)= f I                                                                             (3)

Или

                                        (4)

Система линейных алгебраических уравнений (4) относительно свободных параметров сi- имеет решение, так как определитель системы отличен от нуля, если среди узлов xi нет совпадающих. Определитель системы (3.4) называется определителем Вандермонда и имеет аналитическое выражение [1].

Рассмотренный способ определения интерполяционного полинома не является эффективным по затратам времени и объему памяти ЭВМ. Разработаны более экономичные формы представления и способы вычисления интерполяционных полиномов.

Независимо от формы записи полинома для заданной таблицы узлов и значений функции интерполяционный полином является единственным. Это важное утверждение доказывается методом от противного. Единственность позволяет вводить интерполяционные полиномы в формах, отличных от канонической.

Source data

 

Строим матрицу коэффициентов полинома (матрицу Вандермонда) размерностью N*N.

После вызова только что показанной функции, используем найденный ею вектор коэффициентов глобального полинома c для поиска значений в ранее заданных точках xi.

Coefficient vector

Interpolating polynom in point x

1

Значения совпали с заданными yi - значит всё правильно, полином-то интерполяционный и должен проходить через все точки.

Можно сделать произвольный дискретный диапазон по x и рассчитывать полином Лагранжа в произвольной точке, вызывая функцию P(c,x). Для простоты возьмём интервал, совпадающий с минимальным и макисмальным значениями из заданных иксов - то есть, от 1.5 до 8.2 и разобъём его на N участков.

Results!

Видно, что в промежуточных точках значения полинома другие. Итак, по набору из N заданных точек (xi,yi) мы построили кривую, зависящую от xN-1 и проходящую через все точки.

Графики исходных точек и интерполирующей функции приведены на рис.2.

Рисунок 2 - Графики исходных точек и интерполирующей функции

Вывод:  

Интерполированная функция проходит через все точки, полученные экспериментально, таким образом, в узлах интерполяции условие Лагранжа выполняется. При этом на интервале от 0.5 до 0.8 Тл имеет искривление, что может быть вызвано большим диапазоном между двумя измерениями. Исходя из полученных результатов, можно сказать, что данный метод подходит для интерполяции функций, однако при большом диапазоне между узлами интерполяции интерполяционная функция может иметь значительное отклонение от аппроксимируемой кривой между узлами.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

35946. Постмодернизм как теоретико-литературная проблема. Постмодернизм в современном литературном процессе 51.5 KB
  Естественно в этой связи самой важной чертой постмодернистской поэтики оказывается так называемая интертекстуальность. Интертекст особое пространство схождений бесконечного множества цитатных осколков разных культурных эпох. В таком качестве интертекстуальность не может являться чертой мировосприятия художника и никак не характеризует его собственный мир. Интертекстуальность в постмодернизме бытийная характеристика эстетически познаваемой реальности.
35947. Основное общее образование – вторая ступень общего образования 51 KB
  Федеральный компонент государственного стандарта общего образования направлен на приведение содержания образования в соответствие с возрастными особенностями подросткового периода когда ребенок устремлен к реальной практической деятельности познанию мира самопознанию и самоопределению. Федеральный компонент направлен на реализацию следующих основных целей: формирование целостного представления о мире основанного на приобретенных знаниях умениях навыках и способах деятельности; приобретение опыта разнообразной деятельности индивидуальной...
35949. Синтетическая теория эволюции 50.5 KB
  Она представляет собой учение об эволюции органического мира разработанное на основе данных современной генетики экологии и классического дарвинизма. В разработку синтетической теории эволюции внесли вклад многие ученые. Основные положения синтетической теории эволюции в общих чертах можно выразить следующим образом: Материалом для эволюции служат наследственные изменения мутации как правило генные и их комбинации.
35950. Роман Ф.М. Достоевского «Бедные люди» 42 KB
  Достоевский возмущен тем что для маленького человека главное в жизни вещь Акакий Акакиевич в Шинели Гоголя. Достоевский пишет Антишинель. Достоевский наделяет героя амбициозностью. Достоевский в течение написания романа сам становится писателем.
35952. Коммуна 41.5 KB
  Членами Коммуны были избраны 86 человек. Среди членов Коммуны были служащие врачи журналисты адвокаты рабочие. По многим вопросам неоякобинцы и бланкисты голосовали вместе образуя большинство Коммуны. Более плодотворной оказалась деятельность Коммуны в области удовлетворения насущных социальноэкономических требований парижан.
35953. Стратегии и методы исследования психического развития ребенка 41.5 KB
  Стратегия формирования психических процессов активного вмешательства построения процесса с заданными свойствами экспериментально-генетический метод метод экспериментально вызванного генеза Выготский метод поэтапно=планомерного формирования умственных понятий и образов. Благодаря стратегии формирования психических функций удается проникнуть в суть развития психики. Леонтьева: всякая деятельность выступает как сознательное действие затем как операция и по мере формирования становится функцией. Теория формирования умственных...