86787

Интерполяция функций нелинейных систем

Домашняя работа

Коммуникация, связь, радиоэлектроника и цифровые приборы

Используемые в математических моделях функции задаются как аналитическим способом так и табличным при котором функции известны только при дискретных значениях аргументов. Поставленные проблемы решаются путем приближенной замены функции x более простой функцией х которую нетрудно вычислять при любом значении...

Русский

2016-09-25

106.37 KB

0 чел.

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ

ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Институт -  Энергетический институт

Направление  – Электроэнергетика и электротехника

Кафедра        –  ЭЭС

«ИНТЕРПОЛЯЦИЯ ФУНКЦИЙ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ»

Индивидуальное домашнее задание №7

по дисциплине «ДГМ»

                                       

Выполнила студентка гр.5АМ33     _______       _______      М.М. Попов

                                                                                                  

               

 

Проверил: ст. преподаватель            _______          _______    А.С.Васильев                                                                

Томск – 2013

Цель работы: освоить математический аппарат, алгоритмы интерполяции функций, заданных экспериментально полученными узлами, методы и алгоритмы гармонического анализа токов в нелинейных системах.

Задание 1. Интерполяция кривой намагничивания, заданной таблично

Пусть имеется катушка с тороидальным магнитопроводом.

Рис.1. Катушка с тороидальным магнитопроводом

Катушка имеет магнитный сердечник с нелинейной основной кривой намагничивания H(B), где B – магнитная индукция, Тл, H – напряжённость магнитного поля, А·м. Кривая намагничивания задана экспериментально снятыми узлами и представлена в табл. 1.

Таблица 1. Экспериментальные узлы кривой намагничивания

Вар

Основная кривая намагничивания магнитопровода катушки

7

B, Тл

0.5

0.8

0.9

1.0

1.1

1.2

1.3

1.4

1.5

H, А/м

225

375

475

575

775

1025

1405

2025

3025

Кривую намагничивания, заданную таблично следует подвергнуть интерполяции по методу, указанному в табл. 2.

Таблица 2. Метод интерполяции

Вариант

Метод интерполяции

7

Каноническими полиномами

Интерполяция каноническими полиномами

Одной из важнейших задач процесса математического моделирования является вычисление значений функций, входящих в математическое описание модели. Для сложных моделей подобные вычисления могут быть трудоемкими даже при использовании ЭВМ. При выполнении программ, реализующих основные методы вычислительной математики, большая часть времени также затрачивается на вычисление функций.

Используемые в математических моделях функции задаются как аналитическим способом, так и табличным, при котором функции известны только при дискретных значениях аргументов. Ограниченный объем памяти ПЭВМ не позволяет хранить подробные таблицы функций, желательно иметь возможность "сгущать" таблицы, заданные с крупным шагом аргумента.

Поставленные проблемы решаются путем приближенной замены функции x) более простой функцией (х), которую нетрудно вычислять при любом значении аргумента о в заданном интервале его изменения. Введенную функцию  (x) можно использовать не только для приближенного определения численных значений x), но и для проведения аналитических выкладок при теоретическом исследовании модели.

Приближение функции x) более простой функцией (х) называется аппроксимацией (от латинского approximo - приближаюсь). Близости этих функций добиваются путем введения в аппроксимирующую функцию (х) свободных параметров со, с1, ..., сn и соответствующим их выбором.

В задачах теории сплошных сред, электродинамики, электроники широко используются аппроксимации функций для описания физических параметров сред, для задания характеристик активных и пассивных элементов радиотехнических цепей и т.д. В вычислительной математике аппроксимация функций является основой для разработки многих методов и алгоритмов.

Пусть функция f (х) задана таблицей значений, полученной из эксперимента или путем вычисления в последовательности значений аргумента хо, х1 ... хn (табл. 3). Выбранные значения аргумента x называются узлами таблицы. Считаем, что узлы в общем случае не являются равноотстоящими.

Таблица 3

Введем аппроксимирующую функцию  (х, со, с1, ..., сn) так, чтобы она совпадала с табличными значениями заданной функции f (х) во всех узлах xi:

(1)

Свободные параметры ci, определяются из системы (1). Подобный

способ введения аппроксимирующей функции называется лагранжевой интерполяцией, а соотношения (1) - условиями Лагранжа [1].

Задачей интерполяции в узком смысле считают нахождение приближенных значений табличной функции при аргументах x, не совпадающих с узловыми. Если значение аргумента x расположено между узлами хо < х < xn то нахождение приближенного значения функции f (х) называют интерполяцией, если аппроксимирующую функцию вычисляют вне интервала [хо, xn], то процесс называют экстраполяцией.

В более общем плане с помощью интерполяции решают широкий круг задач численного анализа - дифференцирование и интегрирование функций, нахождение нулей и экстремумов функций, решение дифференциальных уравнений и т.д. Возможность решения подобных задач обусловлена достаточно простым видом аппроксимирующей функции  (x).

Выберем в качестве аппроксимирующей функции  (x) полином Pn(х) степени n в каноническом виде

(x) = Pn(х) = со + с1х + с2х2 + ... + сn хn                                        (2)

Свободными параметрами интерполяции ci , являются коэффициенты полинома (2). Интерполяция полиномами обладает такими преимуществами, как простота вычислений их значений, дифференцирования и интегрирования.

Коэффициенты сi определим из условий Лагранжа

Pn(хi)= f I                                                                             (3)

Или

                                        (4)

Система линейных алгебраических уравнений (4) относительно свободных параметров сi- имеет решение, так как определитель системы отличен от нуля, если среди узлов xi нет совпадающих. Определитель системы (3.4) называется определителем Вандермонда и имеет аналитическое выражение [1].

Рассмотренный способ определения интерполяционного полинома не является эффективным по затратам времени и объему памяти ЭВМ. Разработаны более экономичные формы представления и способы вычисления интерполяционных полиномов.

Независимо от формы записи полинома для заданной таблицы узлов и значений функции интерполяционный полином является единственным. Это важное утверждение доказывается методом от противного. Единственность позволяет вводить интерполяционные полиномы в формах, отличных от канонической.

Source data

 

Строим матрицу коэффициентов полинома (матрицу Вандермонда) размерностью N*N.

После вызова только что показанной функции, используем найденный ею вектор коэффициентов глобального полинома c для поиска значений в ранее заданных точках xi.

Coefficient vector

Interpolating polynom in point x

1

Значения совпали с заданными yi - значит всё правильно, полином-то интерполяционный и должен проходить через все точки.

Можно сделать произвольный дискретный диапазон по x и рассчитывать полином Лагранжа в произвольной точке, вызывая функцию P(c,x). Для простоты возьмём интервал, совпадающий с минимальным и макисмальным значениями из заданных иксов - то есть, от 1.5 до 8.2 и разобъём его на N участков.

Results!

Видно, что в промежуточных точках значения полинома другие. Итак, по набору из N заданных точек (xi,yi) мы построили кривую, зависящую от xN-1 и проходящую через все точки.

Графики исходных точек и интерполирующей функции приведены на рис.2.

Рисунок 2 - Графики исходных точек и интерполирующей функции

Вывод:  

Интерполированная функция проходит через все точки, полученные экспериментально, таким образом, в узлах интерполяции условие Лагранжа выполняется. При этом на интервале от 0.5 до 0.8 Тл имеет искривление, что может быть вызвано большим диапазоном между двумя измерениями. Исходя из полученных результатов, можно сказать, что данный метод подходит для интерполяции функций, однако при большом диапазоне между узлами интерполяции интерполяционная функция может иметь значительное отклонение от аппроксимируемой кривой между узлами.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

36318. Информационное обеспечение САПР 13.94 KB
  Совокупность данных используемых всеми компонентами САПР математическое программное информационное обеспечение составляет информационный фонд. Существует несколько способов ведения информационного фонда: использование файловой системы построение библиотек использование банков данных создание специализированных программадаптеров. Она обеспечивает начальный ввод крупных массивов данных хранение текстовых документов но малопригодны при обеспечении быстрого доступа к справочным данным хранении меняющихся данных ведении текущей...
36319. Методология построения ИАСУ 33.15 KB
  Подготовки производства АСТПП На 2 уровне – гибкие автоматизированные производства ГАП На 3 уровне – ГА участки ГАУ Уровни ИСУП. Решаются задачи текущего перспективного календарного и оперативного планирования производства также выполнение предприятиями производственной программы по объёму номенклатуре и колву выпуска продукции. Решаются задачи проектирования новых изделий организации технологического процесса для производства этих изделий выбор материалов инструмента комплектующих изделий технологической подготовки производства....
36320. Назовите и дайте определение динамических характеристик САУ. Приведите формулы аналитической связи между ними 39.43 KB
  Динамическая характеристика это зависимость связывающая между собой приращения входной и выходной величин в переходном режиме. К динамическим характеристикам относятся: 1.Частотные: комплексная передаточная функция – Wjw амплитудночастотная характеристика – Ww фазочастотная характеристика –w логарифмическая характеристика –Lw.
36321. Перечислите и поясните виды управления: централизованное, децентрализованное, распределённое многоуровневое 58.58 KB
  Перечислите и поясните виды управления: централизованное децентрализованное распределённое многоуровневое. В системе централизованного управления все сигналы с объекта а также все данные о технологическом процессе и о внешних воздействиях на объект поступают в центральный пункт системы управления. Достоинством этой системы управления является то что сосредоточение в одном месте всей информации об объекте даёт наиболее полно и правильно оценивать общий ход технологического процесса и принимать наиболее оптимальные и правильные...
36322. SCADA-пакеты как наиболее популярные средства для ППО САТП 13.9 KB
  Разработка современной SCD системы требует больших вложений и выполняется в длительные сроки поэтому разработчикам управляющего ППО представляется целесообразным приобретать осваивать какойлибо готовый инструментарий. SCDпакеты явлся одним из наиболее популярных срв для программирования систем автоматизации ТП и предназначены для создания интерфейсов человекмашина регистрирования и архивирования данных АСУТП Применение SCDпрограмм как средства разработки ПО для СУ. Применение SCD –программ как срва разработки ПО для СУ вызвана...
36323. Выбор технических средств измерения, контроля и отображения 12.26 KB
  Выбор технических средств измерения контроля и отображения. Конструктивные особенности агрегата – объекта контроля и режимы его работы могут иногда оказывать решающее значение на выбор ИУ. Для контроля температуры агрессивных газов и жидкостей приходиться применять ТП с защитными чехлами из специальных сталей. Из экономических соображений автоматическое измерение того или иного параметра должен использоваться прибор с наименьшей стоимостью при соблюдении всех других требований качественного контроля.
36324. Задание на проектирование, исходные данные и материалы 15.25 KB
  Задание на проектирование исходные данные и материалы Задание на проектирование систем автоматизации технологических процессов составляется генеральным проектировщиком или заказчиком с участием специализированной организации которой поручается разработка проекта. Задание на проектирование должно содержать следующие данные: наименование предприятия и задачу проекта: основание для проектирования; перечень производств цехов агрегатов установок охватываемых проектом систем автоматизации с указанием для каждого особых условий при их...
36325. Назовите задачи анализа САУ. Приведите структурную схему одноконтурной САУ и определите ее характеристики по каналам задания, возмущения и ошибок по заданию и возмущению 31.76 KB
  Задачи анализа САУ: изучение их общесистемных свойств и условий выполнения их функций и достижения заданных целей. В результате анализа констатируются свойства системы в целом и количественно оценивается степень удовлетворения требований к процессу управления. Основные задачи анализа: Установление фактов инвариантности робастности устойчивости.
36326. Задачи распределения ресурсов 32.62 KB
  Задачи распределения ресурсов Предприятие можно рассматривать в виде некоторой системы переработки ресурсов по участкам производства или операциям. В качестве ресурсов рассматривают материалы средства труда деньги. В качестве модели объекта при решении задач распределения ресурсов являются соответственно его производственная или операционная структура которая охватывает элементы потребления рассматриваемых ресурсов. Структура металлургического завода Таким образом всегда имеется комплекс операций а некоторые операции можно выполнить...