87280

Границя функції в точці та на проміжку. Властивості границь. Неперервність функції в точці та на проміжку. Властивості неперервних функцій

Лекция

Математика и математический анализ

Границя функції в точці та на проміжку. Неперервність функції в точці та на проміжку. Властивості неперервних функцій План Границя функції в точці та на проміжку. Неперервність функції в точці та на проміжку.

Украинкский

2015-04-18

2.24 MB

2 чел.

Тема. Границя функції в точці та на проміжку. Властивості границь. Неперервність функції в точці та на проміжку. Властивості неперервних функцій

План

  1.  Границя функції в точці та на проміжку.
  2.  Властивості границь.
  3.  Неперервність функції в точці та на проміжку.
  4.  Властивості неперервних функцій.

  1.  Поняття границі функції в точці.

Нехай задано деяку функцію, наприклад,  f(x) = 2х – 1. Розглянемо графік цієї функції та таблицю її значень у точках, які на числовій прямій розташовані достатньо близько до числа 2.

З таблиці та графіка видно, що чим ближче аргумент х до числа 2 (це позначають х2 і кажуть, що х прямує до 2), тим ближче значення функції  f(x) = 2х – 1 до числа 3 (позначають f(x)3 і кажуть, що f(x) прямує до 3). Це записують також так: (2х – 1) = 3 (читається: «Ліміт 2х – 1 при х, що прямує до 2, дорівнює 3» і кажуть, що границя функції 2х – 1 при х, що прямує до 2 (або границя функції в точці 2), дорівнює 3.

У загальному випадку запис означає, що при  , тобто В – число, до якого прямує значення функції f(x), коли х прямує до а.

 

Запис позначень  і  за допомогою знака модуля

Позначення і його зміст

Ілюстрації

Запис за допомогою модуля

На числовій прямій точка ч знаходиться від точки а на малій відстані (менше )

Значення на числовій прямій знаходиться на малій відстані від В ( менше )

Означення границі функції в точці

Число В називається границею функції  f(x) у точці а (при х, що прямує до а), якщо для будь-якого додатного числа  знайдеться таке додатне число , що при всіх ха, які задовольняють нерівності , виконується нерівність

  1.  Властивості границь

Зміст правил граничного переходу

Запис і формулювання правил граничного переходу

Якщо f(x) = c, то при

Границя сталої функції дорівнює цій самій сталій

Якщо при

і, то

Границя суми (різниці) двох функцій дорівнює сумі (різниці) їх границь, якщо границі доданків існують

Границя добутку двох функцій дорівнює добутку їх границь, якщо границі множників існують

Сталий множник можна виносити за знак границі

(де В 0)

(де )

Границя частки двох функцій дорівнює частці їх границь, якщо границі чисельника і знаменника існують і границя знаменника не дорівнює нулю

  1.  Неперервність функції в точці та на проміжку

Функція  f(x) називається неперервною в точці а, якщо при , тобто

  1.  Властивості неперервних функцій

Якщо функція  f(x) неперервна в кожній точці деякого проміжку І, то її називають неперервною на проміжку І.

Якщо функції f(x) і g(x) неперервні  в точці а, то сума, добуток і частка неперервних в точці а функцій неперервні в точці а (частка у випадку, коли дільник g(x)0 )

Графік функції, неперервної на проміжку, - нерозривна лінія на цьому проміжку.

Всі елементарні функції неперервні в кожній точці своєї області визначення, тому на кожному проміжку з області визначення їх графіки – нерозривні лінії.

Якщо на інтервалі  функція  f(x) неперервна і не перетворюється на нуль, то вона на цьому інтервалі зберігає сталий знак.


Вправи

  1.  Розкрити зміст нерівності < .
  2.   Як зобразити - околицю точки а = - 2, якщо  =  0,5.
  3.  Розв'язати рівняння та нерівності:

1)  = 4;

2)  = 0;

3)  = -6;

4)  = х;

5)  = -х;

6)  > 0;

7)  < 0;

8)  2;

9) > 7;

10)  -5.

  1.  Чи є неперервною в кожній із точок х = -1, х = 1, х = 3 функція, графік якої зображено на рис 1

     Рис. 1

  1.  Чи є функція безперервною в кожній точці даного проміжку?
    1.  

  1.  f (x) = x5 – 3x2 + 2, (- ; + );
    1.  f (x) =,  [5; + );
    2.  f (x) =,  (0; + ).
    3.  f (x) = x2 – 3x, (- ; + );
    4.  f (x) =,  (0; + );
    5.  f (x) =,  [2; + ).
  2.  

  1.  З'ясувати, до якого числа прагне функція f (x), якщо
    1.  

  1.   f (x) =  при х 0;
    1.  f (x) = x2 – 5x + 1 при х 1;
    2.  f (x) =  при х 2;
    3.  f (x) =  при х -1;
    4.  f (x) =  при х 3.


  1.  Знайти: 1) ( x3 + 2x - 1);  2) ;   3) .
  2.  Дослідити функцію f (x) =       у точці х0 = 1.
  3.  Дослідити функцію f (x) =, х  R, x 3 на безперервність у точці х = 3.
  4.  Дослідити функцію на безперервність у точках х = 0, х = -1, х = 1, якщо f (x) =       
  5.  Знайти:

1) ( x2 + x +5);

2) (4x –x3);

3) ( x2 + 3x -5);

4) ;

5) ;

6) ;

7) ( x4 - 2x + 5);

8) .

9) ;

10) ;

11) ;

12) ;

13) ;

14) ;

15) ;

16) ;

17) ;

18) ;

19) ;

20) ;

21) ;

22) ;

23) ;

24) ;

25) .


Тема.
 Приріст аргументу і приріст функцій. Задачі, які приводять до  поняття похідної. Означення похідної, механічний та геометричний зміст

План

  1.  Приріст аргументу і приріст функцій.
  2.  Задачі, які приводять до  поняття похідної.
  3.  Означення похідної.
  4.  Геометричний зміст похідної.
  5.  Механічний зміст похідної.

  1.  Приріст аргументу і приріст функції

Якщо змінна величина х змінила своє значення від х0 до х1, то різниця між її новим значенням і початковим називається приростом аргументу і позначається символом ∆х (читається: «дельта ікс»). Таким чином, ∆х = х1 - х0, звідки випливає,

що х1 = х0 + ∆х. Кажуть також, що початкове значення аргументу х0 одержало приріст ∆х.

Внаслідок цього значення функції зміниться на величину

 f(х1)  - f(х0).    

Ця різниця називається приростом функції в точці х0, відповідним до приросту ∆х, і позначається символом ∆у (читається: «дельта ігрек») або ∆f (читається: «дельта эф»).

∆у = ∆f(x)  = f(х1)  - f(х0)

∆у = f(х0 + ∆х)  - f(х0).

2. Задачі, які приводять до  поняття похідної

  1.  Миттєва швидкість руху точки вздовж прямої

х(t) – координата х точки в момент часу t

  1.  Дотична до  графіка функції

Дотичною до кривої в даній точці М називається граничне положення січної MN.

Коли точка N наближається до точки М (рухаючись по графіку функції у = f(х)), то величина кута NМТ наближається до величини кута  нахилу дотичної МА до осі Ох.

Оскільки tg NМТ = , то

tg  =

  1.  Означення похідної

у = f(х)

Похідною функції у = f(х) у точці х0 називається

Границя відношення приросту функції в точці х0 до приросту аргументу, коли приріст аргументу прямує до нуля.

Операція знаходження похідної називається диференціюванням.

  1.  Геометричний зміст похідної

Значення похідної в точці х0 дорівнює тангенсу кута нахилу дотичної до графіка функції в точці з абсцисою х0 і дорівнює кутовому коефіцієнту цієї дотичної.

(Кут відлічується від додатного напрямку осі Ох проти годинникової стрілки)

  k - кутовий коефіцієнт дотичної

- рівняння дотичної до графіка функції  у точці з абсцисою х0

  1.  Механічний зміст похідної

Похідна характеризує швидкість зміни функції при зміні аргументу

S = S (t) – залежність пройденого шляху від часу

V = S ′(t) – швидкість прямолінійного руху

a = v′(t) – прискорення прямолінійного руху

Зокрема, похідна за часом є мірою швидкості зміни відповідної функції, що може застосовуватися до найрізноманітніших фізичних величин.

Наприклад, миттєва швидкість v нерівномірного прямолінійного руху є похідна функції, яка виражає залежність пройденого шляху s від часу t.

  1.  Зв'язок між диференційованістю і неперервністю функції

Якщо функція  f(х) диференційована в точці х0, то вона неперервна в цій точці.

Якщо функція  f(х) диференційована на проміжку (тобто в кожній його точці),

то вона неперервна на цьому проміжку


Тема.
 Похідні елементарних функцій . Правила диференціювання функцій

План

  1.  Похідні елементарних функцій.
  2.  Правила диференціювання функцій.

1. Похідні елементарних функцій

1

8

2

       

9

3

10

4

, х  0

11

, a > 0,  a - стала

5

12

,

6

13

,,

a - стала

7

14

на ОДЗ правої частини формули

2. Правила диференціювання функцій

Правило

Приклад

Сталий множник можна виносити за знак похідної

Похідна суми диференційованих функцій дорівнює сумі їх похідних


Вправи

  1.   Для функції у = 2х знайдіть приріст функції ∆у, який відповідає приросту аргументу  ∆х у точці х0, якщо:

1) х0 = 2 і ∆х = 3;   2) х0 = 1,5 і ∆х = 3,5;  3) х0 = 0,5 і ∆х = 2,5.

  1.  Знайдіть приріст ∆у, який відповідає приросту аргументу ∆х у точці х0 для функції:

1) у = 3х;     2) у = х3;    3) у = х2 – х.

  1.  Користуючись схемою обчислення похідної, знайдіть похідну функції:

1) у = 3х;     2) у = -5х;    3) у = х3.

  1.  Знайдіть похідну функції:
    1.  

  1.  у = х8;
    1.   у = х -5;
    2.  у = х ;
    3.  у = х20;
    4.  у = х -20;
    5.  у = х ;
    6.  у = х + 3;
    7.  у = х5 - х;
    8.  у =  - х3;
    9.  у = х2 + ;
    10.  у = 2х3 + 3х;
    11.  f(x) = х2 +5x + 2;
    12.  f(x) = х4 - 2x2 - 1;
    13.  f(x) = 2 + 4х3 + 3;
    14.  f(x) = х5 + ;
    15.  f(x) = х2 + ;
    16.  f(x) =  - 3х2 + 6х – 1.

  1.  Знайдіть похідну функції:
    1.  

  1.  у = x2(х + 2);
    1.  у = x2(2х + х4);
    2.  у = (2х - 1)(1 - x2);
    3.  у = (3 + х3)(2 - x);
    4.  у = (х9 + 11)(х2 - 4);
    5.  у =  (х8 - 2);
    6.  у =  (3х2 - х);
    7.  у = (х2 - 1)(x5 + 2);
    8.  у =  (2х + 9);
    9.  у =  (х3 + 16) ;
    10.  у =
    11.  у =
    12.  у =
    13.  у =
    14.  у =
    15.  у =
    16.  у =
    17.  у =
    18.  у = .

  1.  Обчислити значення похідної   f(x)  у зазначених точках:
    1.  

  1.  f(x) = х2 +2x, х = -2; х = ;
    1.  f(x) = х4 - 4x, х = 2; х = -1;

  1.  f(x) =, х = 0; х = -3;
    1.  f(x) =, х = - ; х = 0,1.
  2.  

  1.  Знайдіть значення х, для яких похідна функції дорівнює нулю:
    1.  

  1.  f(x) = 3х2 - 6x;
    1.  f(x) = х3 + х2 + 5;
    2.  f(x) = 12х +  ;
    3.  f(x) =  - 2х2.

  1.  Розв'язати нерівність < 0, якщо:
    1.  

  1.  f(x) = 2х – х2;    2)  f(x) = х3 + 3х2;    3)  f(x) = 2х + ;   4)  f(x) =  .

  1.  Знайдіть похідну в точці х = 1 наступних функцій:
    1.  f(x) = ;
    2.  f(x) = ;
    3.  f(x) = ;
    4.  f(x) = ;
    5.  f(x) = ;
    6.  f(x) = .


Тема.
Похідна складної  функції

План

  1.  Похідна складної  функції.

1.  Нехай потрібно обчислити за даним значенням х відповідне значення z функції h, заданою формулою

z = h(х)= .

Для цього треба спочатку обчислити за даним х значення

у =f(х)= 1-х2,

а потім вже за цим у обчислити

z = g(у)=

Отже, функція f ставить у відповідність числу х число у, а функція g - числу у  число z. Говорять, що  h є складна функція, складена з функцій g і f, і пишуть:

h(х) = g (f(х)).

Щоб обчислити значення складної функції h(х) = g (f(х)) у довільній точці х, спочатку обчислюють значення у «внутрішньої» функції f  у цій точці, а потім g (у).

Яка область визначення складної функції g (f(х))?  Це - множина всіх тих х з області визначення функції f, для яких f (х) входить в область визначення функції g.

У розглянутому прикладі областю визначення функції f є вся числова пряма. Значення h(х) визначене, якщо значення f (х) належить області визначення функції  g(у) = .  Тому потрібно, щоб виконувалася нерівність в  0, тобто 1 - х2  0, і, виходить, область визначення функції g (f (х))  - це відрізок [-1; 1].

  1.  Формула похідної складної функції.

У попередніх пунктах ви навчилися знаходити похідні раціональних функцій, зокрема многочленів. Однак задача обчислення похідної функції f(х) = (2х+3)100, хоча й зводиться до знаходження похідної многочлена, вимагає дуже великого об'єму роботи: треба представити (2х+3) у вигляді многочлена та продиференціювати 101 доданок отриманої суми. Можна помітно спростити рішення цієї та інших задач.

Якщо функція f  має похідну в точці х0, а функція g має похідну в точці у0 = f(х0), то складна функція h(х) =  g (f(х))  також має похідну в точці хо, причому  

h′(хо) =  g′ (f(хо)) f′(хо).

Приклад 1. Знайдемо похідну функції h(х) = (2х+3)100.

Функцію h можна представити у вигляді складної функції h(х) = g (f(х)), де g(у) = у100,              у = f(х) =  2х+3.

Тому що  f′(х) = 2 і g′ (у) = 100у99, маємо

h′(х)  = 2* 100у99 = 200(2х+3)99.


Таблиця похідних

Похідні елементарних функцій

Похідні складних функцій

1

2

       

3

4

, х  0

, х  0

5

6

7

8

9

10

11

, a > 0,  a - стала

12

,

13

,,

a - стала

14

на ОДЗ правої частини формули


Вправи

  1.  Задайте формулами елементарні функції  f(x) і u(x), з яких складається складна функція
    1.  у = ;

  1.  у = (2х + х2)5;

  1.  у = ;

  1.  у = соs(2х - ).

  1.  Знайдіть похідну функції f(x):

  1.  f(x) = (х2 + х)3;

  1.  f(x) = (2х - 1)-5;

  1.  f(x) = (х - )4;

  1.  f(x) = ;

  1.  f(x) = ;

  1.  у = ;

  1.  у = (х2 - 2х)3;

  1.  s = (t2 – t + 1)4;

  1.  f(u) = 5(3u2 + 4 – u)4;

  1.   s = ;

  1.   у = ;

  1.   f(x) = ;

  1.  f(x) = 2 ;

  1.  у = ;

  1.  у = ;

  1.  f(t) = t2 ;

  1.  f(t) = (t - 1) ;

  1.  f(t) = (t + 1)2 ;

  1.  f(x) = .


Тема.
Похідна показникової та логарифмічної  функцій

План

  1.  Похідна показникової функції.
  2.  Похідна логарифмічної  функції.

1. Похідна показникової функції

1. Число е. У попередніх пунктах графіки показникової функції зображалися у вигляді прямих ліній ( без зламів), до яких у кожній точці можна провести дотичну. Але існування дотичної до графіка функції в точці з абсцисою хо рівносильне її диференційованості в хо. Тому природно припустити, що показникова функція диференційована у всіх точках області визначення.

Намалюємо декілька графіків функції у = ах для а, рівного 2; 2,3; 3; 3,4 (рис. 1), і проведемо до них дотичні в точці з абсцисою 0. Кути нахилу цих дотичних до осі абсцис приблизно рівні 35°, 40°, 48° і 51° відповідно, тобто зі зростанням а кутовий коефіцієнт дотичної до графіка функції          у = ах у точці М (0; 1) поступово збільшується від tg 35° до  tg  51°. Представляється очевидним, що, збільшуючи а від 2 до 3, ми знайдемо таке значення а, при яких кутовий коефіцієнт відповідної дотичної рівний 1 ( тобто кут нахилу рівний 45°). Ось точне формулювання цієї пропозиції (ми ухвалюємо без доказу):

Існує таке число, більше 2 і менше 3 (це число позначають буквою е), що показникова функція у = ех у точці 0 має похідну, рівну 1. 

Зауваження. Доведено, що число е ірраціональне, тому записується у вигляді нескінченного десяткового неперіодичного дробу. За допомогою електронних обчислювальних машин знайдене більш двох тисяч десяткових знаків числа е. Перші знаки такі: е = 2,718281828459045... .

Функцію ех часто називають експонентою.

Формула похідної показникової функції.

Теорема   1.  Функція ех диференційована в кожній точці області визначення, і

(ех) ' = ех .

Приклад1.   Знайдемо похідну функції у = е:

5х)' = е (5х)' = 5е.

Число е позитивно та відмінно від 1, тому визначені логарифми за основою е.

Визначення. Натуральним логарифмом (позначається 1n) називається логарифм за основою е:

1n x = logb x.

По основній логарифмічній тотожності для будь-якого додатного числа е1па = а. Тому ах може бути записане у вигляді

ах  = (е1па)x = еx1па.

Виведемо формулу похідної показникової функції при будь-якому значенні а.

Теорема 2. Показникова функція ах  диференційована в кожній точці області визначення, і

х)' = ах lnа.

Приклад 2. Знайдемо похідні функцій у = 2х и у = 5 .

По формулі х)'=ах lnа маємо (2х)' = 2хln2; (5-3х)'=(-3)·5-3х ln5.

 

2. Похідна логарифмічної функції

Покажемо спочатку, що логарифмічна функція диференційована в кожній точці. Графіки функцій у = loga x і у = ах симетричні відносно прямої у = х. Таким чином, показникова функція диференційована в будь-якій точці, а її похідна не обертається в нуль, графік показникової функції має негоризонтальну дотичну в кожній точці. Тому і графік логарифмічної функції має невертикальну дотичну в будь-якій точці. А це рівносильне диференційованості логарифмічної функції на її області визначення.

Похідна логарифмічної функції для будь-якого х з області визначення обчислюється за формулою

(lnх)′ =

Приклад  1. Знайдемо похідну функції у = ln (5 + 2х).

(ln (5 + 2х))′ = (5 + 2х)′  = .


Тема.
Похідна тригонометричних  функцій

План

  1.  Похідна тригонометричних  функцій.

  1.  Функція синус має похідну в будь-якій точці  

(sin x)′ = cos x

  1.  Функція косинус має похідну в будь-якій точці  

(cos x)′ = - sin x

  1.  Функція тангенс має похідну в будь-якій точці

(tg x)′ =

  1.  Функція котангенс має похідну в будь-якій точці

(ctg x)′ = -

  1.  Формула диференціювання складної функції

 (sin (аx + b))′ = a cos (аx + b)

                                    (sin u)′ = cos u ∙ u'

                                    (cos u)′ = - sin u ∙ u'

                                    (tg u)′ = ∙ u′

                                    (ctg u)′ = - ∙ u′

Приклад 1. Знайти похідну функції у = sin x + cos x + tg x + 5.

Розв’язання: у' = (sin x)′ + (cos x)′ + (tg x)′ + (5)′  = cos x - sin x + .

Приклад 2. Знайти похідну функції у = х3 sin x.

Розв’язання: у' = (х3)′ sin x +  (sin x)′ х3 = 3х2 sin x + х3 cos x.

Приклад 3. Знайти похідну функції у = 10 ctg x + 5 cos x + х6 tg x.

Розв’язання: у' = 10 (ctg x)′  + 5 (cos x)′  + (х6)′ tg x + (tg x)′ х6 =

                     = - 10  - 5 sin x + 6х5 tg x + х6  =

                     = - - 5 sin x + 6х5 tg x + .

Приклад 4. Знайти похідну функції у = .

Розв’язання: у' = -  (cos x)′ = = .


Тема.
Дотична до графіка функції. Рівняння дотичної до графіка функції.

План

  1.  Дотична до графіка функції.
  2.  Рівняння дотичної до графіка функції.

1. Дотична до графіка функції

Наочне уявлення про дотичну до кривої можна отримати, виготовивши криву з цупкого матеріалу (наприклад, з дроту) і прикладаючи до кривої лінійку у вибраній точці (рис.1). Якщо ми зобразимо криву на папері, а потім будемо вирізати фігуру, обмежену цією кривою, то ножиці теж будуть напрямлені по дотичній до кривої.

Спробуємо перекласти наочне уявлення про дотичну на більш точну мову.

Нехай задана деяка крива і точка М на ній  (рис.2) Візьмемо на цій прямій іншу точку N і проведемо пряму через точки М і N. Цю пряму звичайно називають січною. Почнемо наближати точку N до точки М. Положення січної МN буде змінюватися, але при наближенні точки N до точки М воно почне стабілізуватися.

Дотичною до кривої в даній точці М називається граничне положення січної МN.

                                  Рис. 1                                                                                  Рис.2

Щоб записати це означення за допомогою формул, будемо вважати, що крива – це графік

у = f(x), а точка М, яка знаходиться на графіку, задана своїми координатами (х0; у0) = (х0; f(x0)). Дотичною є деяка пряма, яка проходить через точку М.

Щоб побудувати цю пряму, достатньо знати кут  нахилу дотичної до осі Ох.

Нехай точка N (через яку проходить січна МN) має абсцису х0 + ∆х. Коли точка N, рухаючись по графіку функції у = f(x), наближається до точки М (це буде при ), то величина кута NМТ наближається до величини кута  нахилу дотичної МА до осі Ох. Оскільки , то при  значення наближається до , тобто

2. Рівняння дотичної до графіка функції

Тангенс кута  нахилу дотичної в точці М з абсцисою х0 обчислюється за формулою . З іншого боку, . Тоді .

Нагадаємо, що в рівнянні прямої у = kх + b кутовий коефіцієнт k дорівнює тангенсу кута  нахилу прямої до осі Ох (кут відлічується від додатного напрямку осі Ох проти годинникової стрілки). Отже, якщо k – кутовий коефіцієнт дотичної, то . Тобто значення похідної в точці х0 дорівнює тангенсу кута нахилу дотичної до графіка функції в точці з абсцисою х0 і дорівнює кутовому коефіцієнту цієї дотичної.

Таким чином, якщо у = kх + b – рівняння дотичної до графіка функції у = f(x) у точці М з абсцисою х0 і ординатою f(x0)), то . Тоді рівняння дотичної можна записати так: у = · х + b. Щоб знайти значення b, врахуємо, що ця дотична проходить через точку М (х0; f(x0)). Отже, координати точки М задовольняють останньому рівнянню, тобто f(x0) = · х0 + b. Звідси

b = f(x0)х0, і рівняння  дотичної матиме вигляд

. Його зручно записати так:

Це рівняння дотичної до графіка функції у = f(x) 

у точці з абсцисою х0.


Тема.
Монотонність функції, ознаки сталості, зростання і спадання функції

План

  1.  Монотонність функції.
  2.  Необхідна і достатня умова сталості функції.

1. Монотонність функції

Достатня умова зростання функції

Достатня умова спадання функції

Якщо в кожній точці інтервалу (a;b) , то функція f(x) зростає на цьому інтервалі.

Якщо в кожній точці інтервалу (a;b) , то функція f(x) спадає на цьому інтервалі.

2. Необхідна і достатня умова сталості функції

Функція f(x) є сталою на інтервалі (a;b) тоді і тільки тоді, коли  в усіх точках цього інтервалу.


Тема. Екстремуми функції (максимальні та мінімальні значення функції). Дослідження функції на екстремуми

План

  1.  Екстремуми (максимуми і мінімуми) функції.
  2.  Критичні точки.
  3.  Необхідна і достатня умови екстремуму
  4.  Дослідження функції на екстремуми.

1. Екстремуми (максимуми і мінімуми) функції

Точки максимуму

Точки мінімуму

Точка х0 з області визначення функції f(x) називається точкою максимуму цієї функції, якщо знайдеться - окіл

0 -; х0 +  ) точки х0, такий, що для всіх хх0 з цього околу виконується нерівність

- точка максимуму

Точка х0 з області визначення функції f(x) називається точкою мінімуму цієї функції, якщо знайдеться - окіл (х0 -; х0 +  ) точки х0, такий, що для всіх хх0 з цього околу виконується нерівність

- точка мінімуму

Точки максимуму і мінімуму називаються точками екстремуму

Значення функції в точках максимум і мінімуму називаються екстремумами (максимумом і мінімумом) функції

- максимум

- мінімум

2. Критичні точки

Означення

Приклад

Критичними точками функції називаються внутрішні точки її області визначення, у яких похідна функції дорівнює нулю або не існує.

f(x) = х3 – 12х   

f´(x) = 3х2 – 12х   існує на всій області визначення

f´(x) = 0 при 3х2 – 12х  = 0, х2 = 4,

2 – критичні точки

3. Необхідна і достатня умови екстремуму

Необхідна умова екстремуму

Достатня умова екстремуму

У точках екстремуму похідна функції  f(x) дорівнює нулю або не існує

(але не в кожній точці х0 , де f´(x) = 0 або f ´(x0) не існує, буде екстремум)

Якщо функція  f(x) неперервна в точці х0 і похідна f´(x) змінює знак при переході через точку х0, то х0 - точка екстремуму функції f(x)

4. Дослідження функції на екстремуми

Приклад графіка функції у = f(х), що має екстремуми

1, х2, х3, х4, х5  - критичні точки)

Знаком «» позначено зростання функції, а знаком  «»- спадання функції.

 


Приклад

Схема

Приклад у = f(х) = 3х5 – 5х3 + 1

1. Знайти область визначення функції.

Область визначення:

2. Знайти похідну f ´(х) .

f ´(х) =15х4 – 15х2 = 15х22 - 1) =

= 15х2(х - 1) (х + 1)

3. Знайти критичні точки, тобто внутрішні точки області визначення, у яких  f ´(х) дорівнює нулю або не існує

f ´(х) існує на всій області визначення.

f ´(х) = 0 при х = 0, х = 1, х = - 1.

4. Позначити критичні точки на області визначення, знайти знак похідної і характер поведінки функції на кожному з інтервалів, на які розбивається область визначення.

5. Відносно кожної критичної точки визначити, чи є вона точкою максимуму або мінімуму, чи вона не є точкою екстремуму.

6. Записати результат дослідження (проміжки монотонності і екстремуми).

f(х) зростає на кожному з проміжків:

і  ;

f(х) спадає на .

Точки екстремуму: хmax = - 1; хmin = 1

Екстремуми: уmax = f (-1) = 3; уmin = f (1) = -1.


Тема.
Опуклість та гнучкість функції. Дослідження функції на опуклість  та точку перетину

План

  1.  Поняття другої похідної.
  2.  Поняття опуклості і точок перетину диференційованої на інтервалі (a; b) функції.
  3.  Властивість графіків опуклих функцій.
  4.  Достатні умови опуклості функції, що має другу похідну на заданому інтервалі (a; b).
  5.  Знаходження точок перегину функції, що має другу похідну на заданому інтервалі.
  6.  Дослідження функції  на опуклість і точки перегину.

1. Поняття другої похідної

Поняття

Запис

Приклад

Нехай функція у = f(х) має похідну f ´(х) в усіх точках деякого проміжку. Ця похідна, у свою чергу, є функцією аргументу х. Якщо функція        f ´(х) є диференційованою, то її похідну називають другою похідною від  f(х) і позначають  (або )

у = f(х) ,

,

.

у = х5

4

2. Поняття опуклості і точок перетину диференційованої на інтервалі (a; b) функції

Функція  f(х) називається опуклою вниз на інтервалі (a; b), якщо для будь - якої точки х0 із цього інтервалу при всіх х (a; b) і  графік функції лежить вище дотичної до цього графіка в точці ().

Функція  f(х) називається опуклою вгору на інтервалі (a; b), якщо для будь - якої точки х0 із цього інтервалу при всіх х (a; b) і  графік функції лежить нижче дотичної до цього графіка в точці ().

Точка М графіка неперервної функції f(х), у якій існує дотична і при переході через яку крива змінює напрям опуклості, називається точкою перегину графіка функції. У точці перегину графік функції переходить з одного боку дотичної до іншого.

Абсцису х0 точки М перегину  графіка функції f(х) називають точкою перегину функції f(х) . Точка х0 розділяє інтервали опуклості функції.


3. Властивість графіків опуклих функцій

Якщо функція f(х) опукла вниз на інтервалі (a; b) і М1 та М2  - точки її графіка на цьому інтервалі, то на інтервалі (х12) графік функції у = f(х) лежить нижче відрізка М1М2, тобто графік лежить нижче хорди.

Якщо функція f(х) опукла вгору на інтервалі (a; b) і М1 та М2  - точки її графіка на цьому інтервалі, то на інтервалі (х12) графік функції у = f(х) лежить вище відрізка М1М2, тобто графік лежить вище хорди.

4. Достатні умови опуклості функції, що має другу похідну на заданому інтервалі (a; b)

Умова опуклості вниз

Умова опуклості вгору

Якщо на інтервалі (a; b) двічі диференційована  функція f(х) має додатну другу похідну (тобто  при всіх х (a; b)), то її графік на інтервалі (a; b) спрямований опуклістю вниз.

Якщо на інтервалі (a; b) двічі диференційована  функція f(х) має від’ємну другу похідну (тобто  при всіх х (a; b)), то її графік на інтервалі (a; b) спрямований опуклістю вгору.

5. Знаходження точок перегину функції, що має другу похідну на заданому інтервалі

Необхідна умова

Достатня умова

У точках перегину функції f(х)  її друга похідна дорівнює нулю або не існує.

Нехай функція f(х) має на інтервалі (a; b) другу похідну. Тоді, якщо  змінює знак при переході через х0, де х0 (a; b), то х0 - точка перегину функції f(х).

6. Дослідження функції  на опуклість і точки перегину

Схема

Приклад

1. Знайти область визначення функції.

Дослідіть функцію f(х)  = х4 – 4х3 – 18х2  + 1 на опуклість і точки перегину.

  1.  Область визначення: D(f) = R.

Функція f(х) неперервна в кожній точці своєї області визначення (як многочлен).

2. Знайти другу похідну.

2.

3. Знайти внутрішні точки області визначення, у яких друга похідна дорівнює нулю або  не існує

3.  існує і неперервна на всій області  визначення функції f(х). 

12(х2 – 2х - 3) = 0; х1 = - 1; х2 = 3

4. Позначити одержані точки на області визначення функції, знайти знак другої похідної і характер поведінки функції на кожному з інтервалів, на які розбивається область визначення.

5. Записати потрібний результат дослідження (інтервали і характер опуклості і точки перегину).

На інтервалах і графік функції спрямовано опуклістю вниз (), а на інтервалі  - опуклістю вгору (). Точки перегину:  х = -1 і х = 3 (у цих точках  змінює знак).


Тема.
Застосування похідної до побудови графіків функцій

План

  1.  Схема дослідження функції для побудови її графіка.

 

Схема

Приклад

Побудуйте графік функції .

1. Знайти  область визначення функції.

1. Область визначення: D(f) =

2. З’ясувати, чи є функція парною або непарною (чи періодичною).

2. Функція f(х) ні парна, ні непарна, оскільки і , і не періодична.

3. Знайти точки перетину графіка з осями координат (якщо їх можна знайти).

3. На осі Оу значення х = 0, тоді у = 0.

На осі Ох значення у = 0: , х2 – 5х = 0, х(х - 5) = 0.

Тоді х = 0, х = 5 – абсциси точок перетину графіка з віссю Ох.

4. Знайти похідну і критичні точки функції.

4. .

Похідна існує на всій області визначення функції f(х). Отже, функція f(х) неперервна в кожній точці своєї області визначення.

.

При  маємо х2 + 8х – 20 = 0,  х1 = 2, х2 = -10 – критичні точки.

5. Знайти проміжки зростання і спадання та точки екстремуму

(і значення функції в цих точках).

5. Позначимо критичні точки на області визначення і знайдемо знак похідної та характер поведінки функції на кожному з інтервалів, на які розбивається область визначення (див. рисунок).

Отже, функція зростає на кожному з проміжків  та  і спадає на проміжках  та . Оскільки в критичній точці (- 10) похідна змінює знак з «+» на «-», то х = - 10 – точка максимуму, а в критичній точці 2 похідна змінює знак з  «-» на «+», тому х = 2 – точка мінімуму. Отже,

, тоді ;

, тоді .

6. Визначити поведінку функції на кінцях проміжків області визначення і знайти асимптоти графіка функції (вертикальні, горизонтальні і похилі).

6.

При  зліва , а при  справа (тобто , ). Отже, пряма х = - 4 – вертикальна асимптота.

Оскільки

,  то при

, тоді , тобто пряма у = х – 9 – похила асимптота.

7. Знайти другу похідну і дослідити функцію на опуклість і точки перегину (і значення функції в цих точках).

7. .

Оскільки , то знак другої похідної може змінитися лише в точці х = -4. Одержуємо такі знаки  другої похідної і відповідний характер опуклості (див. рисунок).

8. Знайти координати додаткових точок графіка функції (якщо необхідно уточнити його поведінку).

9. На основі проведеного дослідження побудувати графік функції.


Тема.
Найбільше і найменше значення функції

План

  1.  Найбільше і найменше значення функції, неперервної на відрізку.
  2.  Знаходження найбільшого і найменшого значень функції, неперервної на відрізку.
  3.  Знаходження найбільшого чи найменшого значення функції, неперервної на інтервалі.
  4.  Задачі на знаходження найбільшого чи найменшого значення функції.

1. Найбільше і найменше значення функції, неперервної на відрізку

Властивість

Якщо функція неперервна на відрізку і має на ньому скінченне число критичних точок, то вона набуває найбільшого і найменшого значення на цьому відрізку або в критичних точках, які належать цьому відрізку, або на кінцях відрізка.

Приклади

2. Знаходження найбільшого і найменшого значень функції, неперервної на відрізку

Схема

Приклад

Знайдіть найбільше і найменше значення функції f(х) = х2 – 12х + 12 на відрізку .

1. Впевнитися, що заданий відрізок входить до області визначення функції f(х).

Область визначення заданої функції – всі дійсні числа (D(f) = R), отже, заданий відрізок входить до області визначення функції f(х).

2. Знайти похідну .

= 3х2 - 12

3. Знайти критичні точки: = 0 або не існує.

існує на всій області визначення функції f(х) (отже, функція f(х) неперервна на заданому відрізку).

= 0;

2 – 12 = 0 при х = 2 або х = - 2.

4. Вибрати критичні точки, які належать заданому відрізку.

Заданому відрізку належить лише критична точка х = 2 .

5. Обчислити значення функції в критичних точках і на кінцях відрізка.

f(1) = 1;            f(2) = -4;        f(3) = 3.

6. Порівняти одержані значення функції і вибрати з них найменше і найбільше.

,

.

3. Знаходження найбільшого чи найменшого значення функції, неперервної на інтервалі

Властивість

Ілюстрація

Якщо неперервна функція f(х) має на заданому інтервалі тільки одну точку екстремуму х0 і це точка мінімуму, то на заданому інтервалі функція набуває свого найменшого значення в точці х0.

Якщо неперервна функція f(х) має на заданому інтервалі тільки одну точку екстремуму х0 і це точка максимуму, то на заданому інтервалі функція набуває свого найбільшого значення в точці х0.

4. Задачі на знаходження найбільшого чи найменшого значення функції

Схема

Приклад

Є дріт довжиною 100 м. Потрібно огородити ним прямокутну ділянку найбільшої площі. Знайдіть розміри ділянки.

1. Одну з величин, яку потрібно знайти (або величину, за допомогою якої можна дати відповідь на питання задачі), позначити через х

(і за змістом задачі на класти обмеження на х).

Нехай ділянка має форму прямокутника АВСD (див. рисунок) із стороною АВ = х (м). Враховуючи, що дріт буде натягнуто по периметру прямокутника, одержуємо:

2АВ + 2ВС = 100.

Тобто 2х + 2ВС = 100, звідси

ВС = 50 – х (м).

Оскільки довжина кожної  сторони прямокутника – додатне число, то .

2. Ту величину, про яку говориться, що вона найбільша або найменша, виразити як функцію від х.

Площа прямокутника:

3. Дослідити одержану функцію на найбільше чи найменше значення (найчастіше за допомогою похідної).

Дослідимо функцію за допомогою похідної. Похідна існує при всіх дійсних значеннях х (отже,  - неперервна функція на заданому проміжку).  - критична точка

У точці х = 25  змінює знак з плюса на мінус (див. рисунок), отже, х = 25 – точка максимуму. Враховуючи, що неперервна функція має на заданому інтервалі (0; 50) тільки одну точку екстремуму х = 25 і це точка максимуму, то на заданому інтервалі функція набуває свого найбільшого значення в точці

х = 25.

4. Впевнитися, що одержаний результат має зміст для початкової задачі.

Отже, площа огородженої ділянки буде найбільшою, якщо сторони прямокутника будуть: АВ = х = 25 (м), ВС = 50 – х  = 25 (м), тобто коли ділянка буде мати форму квадрата із стороною 25 м.

 


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

54973. Легка атлетика 56 KB
  Мета: Розвиток основних фізичних якостей та рухових здібностей, підвищення рівня фізичної підготовності учнів.
54974. Макроэкономическое равновесие. Модель «изъятия – издержки» 17.67 KB
  Важным инструментом прогнозирования является разработанный В.Леонтьевым межотраслевой равновесный баланс, позволяющий анализировать экономику, как национальную, так и отдельных регионов и на основе этого вырабатывать адекватные меры.
54975. Полтавская битва 64.5 KB
  Карл XII вторгся в Польшу занял Варшаву и посадил на трон своего ставленника Станислава Лещинского. После того как Карл XII занял Саксонию Август II вынужден был заключить с ним мир. Что таким образом произошло с Северным союзом Петр I прекрасно осознавал что теперь все силы Карл XII обрушит на Россию. Карл XII подошел к русской границе.
54979. Засоби виразності обємної пластики: статика, динаміка. Композиція «Цирк» 7.65 MB
  Мета: Розширити знання про статику та динаміку в образотворчому мистецтві ознайомити з анімалістичним жанром у скульптурі Вчити передавати форми у русі у стані спокою визначити характер руху людей та тварин використовувати пластичні можливості матеріалу...
54980. Особливості внутрішньої будови плазунів. Розмноження. Сезонні явища у житті плазунів 136.5 KB
  Сезонні явища у житті плазунів. Особливості внутрішньої будови плазунів. Сезонні явища у житті плазунів.
54981. Розв’язування вправ на знаходження площ паралелограм та трапеції 231 KB
  Мета: Поглибити знання учнів з теми «Площі паралелограма та трапеції» продовжити формувати вміння знаходити площі трапеції, паралелограма, ромба, використовуючи вивчені властивості й формули;...