87352

Комплексный чертеж точки в системе двух и трех плоскостей проекций

Контрольная

Математика и математический анализ

Для формирования комплексного чертежа используется прямоугольное проецирование на две или три взаимно-перпендикулярные плоскости проекций. Чтобы получился комплексный чертеж необходимо все плоскости проекций вместе с проекциями точки или другого геометрического образа совместить в одну...

Русский

2015-04-19

927.13 KB

14 чел.

  1.  Комплексный чертеж точки в системе двух и трех плоскостей проекций

Чертеж – это графическое изображение предмета на плоскости, полученное методом проецирования. Для формирования комплексного чертежа используется прямоугольное проецирование на две или три взаимно-перпендикулярные плоскости проекций.

Рис. 1

На рис. 1, а) показано образование проекций точки А в системе двух плоскостей проекций и 1, б) – в системе трех плоскостей проекций. Чтобы получился комплексный чертеж, необходимо все плоскости проекций вместе с проекциями точки (или другого геометрического образа) совместить в одну.

За неподвижную плоскость проекций (плоскость комплексного чертежа) принимается фронтальная плоскость проекций. Горизонтальная и профильная совмещаются с фронтальной поворотом на 90º вокруг осей X и Z соответственно. На рис. 2, а) показан поворот, который совершает горизонтальная плоскость проекций и рис. 2, б) –  образовавшийся комплексный чертеж точки А, как результат совмещения двух плоскостей проекций. На рис. 3, а) показан поворот, который совершает профильная плоскость проекций. Рис. 3, б) представляет окончательный вид комплексного чертежа точки А в системе трех плоскостей проекций.

а)                                                                     б)

Рис. 2

Координатные оси X и Z своего положения не изменили, так как они принадлежат неподвижной плоскости (фронтальной плоскости проекций, принятой за плоскость чертежа). Координатная ось Y принадлежит одновременно горизонтальной и профильной плоскостям проекций, каждая из которых совершила поворот. В результате на комплексном чертеже мы видим две оси Y.

Линии, связывающие проекции точки, являются проекциями проецирующих лучей, идущих из самой точки пространства, и называются линиями проекционной связи.

Рис. 3

1.1. Октанты

Октант – это часть пространства, ограниченная плоскостями проекций. Все пространство разделено плоскостями проекций на восемь октантов. Нумерация октантов показана на рис. 4

Рис. 4

1.2. Построение комплексного чертежа точки

Для построения какой-либо проекции точки требуются две координаты, одноименные координатным осям, лежащим в соответствующей плоскости проекций.

Правило 1

Горизонтальную проекцию точки определяют координаты X и Y.

Фронтальную проекцию точки определяют координаты X и Z.

Профильную проекцию точки определяют координаты Y и Z.

Правило 2

Горизонтальная и фронтальная проекции точки лежат на вертикальной линии проекционной связи.

Фронтальная и профильная проекции точки лежат на горизонтальной линии проекционной связи.

Горизонтальная и профильная проекции точки лежат на горизонтально-вертикальной линии проекционной связи.

Пример 1. Построить комплексный чертеж точки А(40,30,50) в системе трех плоскостей проекций. Определить октант.

Рис. 5

От начала координат, по соответствующим осям, в положительном направлении откладываем отрезки, равные заданным значениям координат (рис.5). Получаем точки АX, AY, AZ. Затем, в соответствии с парами координат (см. правило 1) проводим линии проекционной связи через построенные на осях точки. В пересечении соответствующих линий связи (см. правило 2) получаем искомые проекции точки А.

Точка А имеет все положительные координаты, следовательно, принадлежит первому октанту (см. рис. 4)

Пример 2. Построить комплексный чертеж точки В(-20,30,45) в системе трех плоскостей проекций. Определить октант.

Рис. 6

Точка В, в отличие от точки А (см. пример 1), имеет отрицательную координату Х. Значит, для построения точки ВХ следует отложить 20 мм в отрицательном направлении, т. е. вправо от начала координат. Остальные построения аналогичны предыдущему примеру.

Чтобы определить октант точки, следует, представляя расположение октантов (см. рис. 4), мысленно выстроить координатную ломаную данной точки. Т. е. последовательно, друг за другом, отложить в нужную сторону координаты данной точки. У точки В отрицательный Х, значит, «выйдя» из начала координат, движемся вправо. Координата Y положительная, следовательно, из точки ВХ движемся параллельно оси Y в положительную сторону, т. е. вперед. Координата Z также положительная, из точки В1 движемся параллельно оси Z в положительную сторону, т. е. вверх. В результате попадаем в пятый октант.

Пример 3. Построить комплексный чертеж точки С(40,-50,60) в системе трех плоскостей проекций. Определить октант.

Рис. 7

Точка С имеет отрицательную координату Y. Известно, что на комплексном чертеже две оси Y. Одна принадлежит горизонтальной, а другая – профильной плоскости проекций. Значит, следует отложить значение координаты Y два раза. По оси YП1 откладываем 50 мм  в отрицательную сторону, т. е. вверх от начала координат. По оси YП3 откладываем те же 50 мм в отрицательную сторону, т. е. влево от начала координат. Можно отложить Y только по оси YП1, а затем выполнить построение, аналогичное показанному на рис.7.

Точка С расположена во втором октанте.

Пример 4. По двум данным проекциям точки В построить третью. Определить октант.

Рис. 8

На рис. 8 показано поэтапное построение третьей (профильной) проекции точки В. Рис. 8, а представляет собой условие задачи. Для построения профильной проекции точки нужны координаты Y и Z (см. правило 1). Эти координаты можно получить, проанализировав условие задачи.

Проведем линии проекционной связи из данных проекций точки В к соответствующим координатным осям (рис. 8, б). Линии связи, идущие из точки В1, пересекутся с осями X и Y (именно эти оси лежат в горизонтальной плоскости проекций), линии связи, идущие из В2, пересекутся с координатными осями X и Z. Таким образом, мы получили обе необходимые координаты. В данном случае и Y и Z получились отрицательными.

Для окончательного построения проекции В3 следует отложить координату Y с учетом знака на оси YП3 и провести линии проекционной связи из точек ВZ и ВYП3 до взаимного пересечения (рис. 8, в).

Точка В находится в третьем октанте.

Пример 5. Построить комплексные чертежи точек М(30, 40, 0), N(20, 0, 40), P(0,20,30). Указать октанты.

Рис. 9

У каждой из заданных точек значение одной из координат равно нулю. Координата точки определяет расстояние от этой точки до плоскости проекций, которой перпендикулярна соответствующая координатная ось. Это означает, что точки M, N, P принадлежат плоскостям проекций. Точка М принадлежит горизонтальной плоскости проекций, точка N принадлежит фронтальной плоскости проекций, а точка P принадлежит профильной плоскости проекций.

Характерной особенностью на чертеже таких точек является принадлежность двух проекций координатным осям. В отличие от точек с ненулевыми координатами, данные точки сами присутствуют на чертеже (совпадают с соответствующими проекциями, см. рис. 9).

Каждая из данных точек принадлежит сразу двум октантам. Точка М принадлежит первому и четвертому, точка N – первому и второму, точка P – первому и пятому октантам.

  1. Прямая на комплексном чертеже.

Как известно, через две точки пространства проходит единственная прямая. Значит, чтобы задать некоторую прямую на чертеже, необходимо построить проекции двух принадлежащих ей точек и соединить между собой соответствующие (рис. 14, а).

а)                                                                              б)

Рис. 14

Одно из свойств параллельного проецирования говорит о том, что проекция точки, принадлежащей прямой, принадлежит проекции этой прямой. На основании этого свойства можно сформулировать признак принадлежности точки прямой на комплексном чертеже:

Точка принадлежит прямой, если ее проекции принадлежат соответствующим проекциям прямой.

На рис. 14, б на проекциях прямой АВ показаны проекции точек С и D. Из них только точка D принадлежит прямой АВ, так как для нее выполняется признак принадлежности. У проекций точки С нет соответствия проекциям прямой, следовательно, точка С не принадлежит прямой АВ.

Пример 7. Построить точку К, принадлежащую прямой l, если ее координата Y равна 15 мм.

Координата Y участвует в образовании горизонтальной проекции точки, значит, сначала построим К1, а затем К2.

На чертеже (рис. 15) не задано начало координат, поэтому откладываем 15 мм вниз от оси Х в любом месте и проводим прямую, параллельную оси Х, до пересечения с горизонтальной проекцией прямой. Здесь находится горизонтальная проекция К1 искомой точки. Затем, в пересечении линии проекционной связи и фронтальной проекции прямой получаем К2.

Рис. 15

3.1. Следы прямой

Рис. 16


Следы прямой – это точки ее пересечения с плоскостями проекций. Горизонтальный след (точка пересечения прямой с горизонтальной плоскостью проекций) обозначается буквой
М. Фронтальный след – буквой N. Профильный след – буквой P. Каждая из этих точек принадлежит прямой, следовательно, для их проекций должен выполняться признак принадлежности на комплексном чертеже. Каждая из этих точек принадлежит соответствующей плоскости проекций, значит, проекции точек M, N и P будут иметь характерные особенности, рассмотренные в примере 5 (с. 15).

На рис. 16 показана аксонометрическая проекция плоскостей проекций, прямой l и ее следов. По расположению следов можно судить о том, через какие октанты проходит прямая. Следы прямой являются точками перехода прямой из октанта в октант. Данная прямая l (рис. 16) проходит (слева направо) через четвертый, первый, пятый и шестой октанты.

На рис. 17 показан комплексный чертеж прямой l и ее следов.

Рис. 17

Пример 8. Построить следы данной прямой (для каждой точки три проекции). Определить октанты, через которые проходит прямая (рис. 18).

В данном примере будут показаны построения каждого следа в отдельности. При решении подобных задач следует все построения производить на одном чертеже.

Рис. 18

На рис. 19 показано построение горизонтального следа. Горизонтальный след М имеет координату Z, равную нулю. Сначала находим фронтальную проекцию точки М. Она лежит в пересечении фронтальной проекции прямой l2 (необходимо продлить) и координатной оси X. Затем по линиям проекционной связи находим горизонтальную М1 и профильную М3 проекции горизонтального следа.

Точка М имеет отрицательную координату Х и положительную координату Y, следовательно, принадлежит пятому и восьмому октантам.

Рис. 19

На рис. 20 показано построение фронтального следа. Фронтальный след N имеет координату Y равную нулю. Сначала находим горизонтальную проекцию точки N. Она лежит в пересечении горизонтальной проекции прямой l1 (необходимо продлить) и координатной оси X. Далее, по линиям проекционной связи находим фронтальную N2 и профильную   N3  проекции фронтального следа.

Рис. 20

Точка N имеет отрицательную координату X и отрицательную координату Z, следовательно, принадлежит седьмому и восьмому октантам.

На рис. 21 показано построение профильного следа. Профильный след Р имеет координату X равную нулю. Координата X  участвует в образовании и горизонтальной, и фронтальной проекций точки. Значит, можем найти обе проекции Р1 и Р2 профильного следа. Горизонтальная проекция Р1 лежит в пересечении горизонтальной проекции прямой l1 и координатной оси X. Фронтальная проекция Р2 лежит в пересечении фронтальной проекции прямой l2 и координатной оси Z. Профильную проекцию точки Р3 можно построить подобно примеру. Но следует учесть, что к этому моменту уже есть профильная проекция заданной прямой l3. Она получится при соединении точек N3 и М3. Поэтому точку Р3 следует строить из условия ее принадлежности l3.

Точка Р имеет положительную координату Y и положительную координату Z, следовательно, принадлежит первому и пятому октантам.

На рис. 22 показано построение всех следов прямой l на одном комплексном чертеже. Заданная прямая l пересекает (слева направо) сначала профильную плоскость проекций, затем горизонтальную и далее фронтальную плоскости проекций и проходит через первый, пятый, восьмой и седьмой октанты.

Рис. 22

3.2. Положение прямых относительно плоскостей проекций

Прямые могут занимать общее или частное положения относительно плоскостей проекций.

Прямая общего положения – это прямая не параллельная и не перпендикулярная ни одной из плоскостей проекций.

Прямая частного положения – это прямая параллельная или перпендикулярная какой-либо плоскости проекций (см. табл. 1 и 2).

Метрическими характеристиками прямой будем называть длину ее отрезка и углы наклона к плоскостям проекций.

Обозначения: Н.В. – натуральная величина; α – угол наклона прямой к П1; β – угол наклона к П2; γ – угол наклона к П3.

Признаком прямой уровня на комплексном трехпроекционном чертеже является параллельность двух проекций координатным осям, на двухпроекционном – параллельность одной проекции координатной оси (см. табл. 1).

Признаком проецирующей прямой на комплексном чертеже является наличие вырожденной проекции (одна из трех проекций прямой вырождается в точку) (см. табл. 2).


Таблица 1. Прямые уровня (прямые, параллельные какой-либо плоскости проекций)

Название и определение

Характерные особенности

Наглядное изображение

Комплексный чертеж

Горизонталь -  прямая, параллельная горизонтальной плоскости проекций

Постоянство координаты Z; отсутствие горизонтального следа М; проецирование метрических характеристик в натуральную величину на П1

Фронталь - прямая, параллельная фронтальной плоскости проекций

Постоянство координаты Y; отсутствие фронтального следа N; проецирование метрических характеристик в натуральную величину на П2

Профильная прямая - прямая, параллельная профильной плоскости проекций

Постоянство координаты X; отсутствие профильного следа P; проецирование метрических характеристик в натуральную величину на П3

Таблица 2. Проецирующие прямые (прямые, перпендикулярные какой-либо плоскости проекций)

Название и определение

Характерные особенности

Наглядное изображение

Комплексный чертеж

Горизонтально-проецирующая -  прямая, перпендикулярная горизонтальной плоскости проекций

Постоянство координат X и Y; отсутствие фронтального N и профильного Р следов; проецирование метрических характеристик в натуральную величину на П2 и П3

Фронтально-проецирующая - прямая, перпендикулярная фронтальной плоскости проекций

Постоянство координат X и Z; отсутствие горизонтального М и профильного Р следов ; проецирование метрических характеристик в натуральную величину на П1 и П3

Профильно-проецирующая - прямая, перпендикулярная профильной плоскости проекций

Постоянство координат Y и Z; отсутствие горизонтального М и фронтального N следов; проецирование метрических характеристик в натуральную величину на П1 и П2


3.3. Определение натуральной величины отрезка прямой общего положения и углов его наклона к плоскостям проекций

У прямой общего положения, в отличие от частного, метрические характеристики искажаются на комплексном чертеже. Для определения метрических характеристик следует воспользоваться способом прямоугольного треугольника.

       

Рис. 23                                                               Рис. 24

Способ заключается в том, что на комплексном чертеже отрезка прямой выстраивается прямоугольный треугольник (на рис. 23 и 24 А1В1А0), геометрически равный прямоугольному треугольнику, гипотенузой которого является сам отрезок (на рис. 23 АВК).

Правило 3

Натуральная величина отрезка прямой общего положения равна гипотенузе прямоугольного треугольника, одним из катетов которого является проекция отрезка, а другим – разность расстояний концов отрезка от соответствующей плоскости проекций.

Угол наклона прямой к плоскости проекций равен углу в прямоугольном треугольнике между катетом, являющимся проекцией, и гипотенузой.

Пример 9. Определить натуральную величину отрезка прямой и угол наклона прямой к фронтальной плоскости проекций (рис. 25).

Катетом треугольника может быть любая проекция отрезка. В этой задаче, кроме натуральной величины, требуется определить еще и угол наклона к фронтальной плоскости проекций. Поэтому следует строить треугольник, катетом которого является фронтальная проекция отрезка. Тогда вторым катетом треугольника, в соответствии с правилом, будет разность ординат концов данного отрезка АВ.

Рис. 25

3.4. Взаимное положение прямых

В пространстве две прямые могут пересекаться (иметь общую точку), быть параллельными и скрещиваться (не быть параллельными и не иметь общей точки). На рис. 26 показаны примеры этих взаимных положений. Случай а – пересекающиеся прямые, точка В принадлежит обеим прямым; случай б - параллельные прямые, соответствующие проекции взаимно параллельны; случай в – скрещивающиеся прямые.

а)                              б)                              в)

Рис. 26

Случай перпендикулярности рассмотрен в п. 6 (с. 77).

3.5. Определение видимости конкурирующих точек

Точки, принадлежащие скрещивающимся прямым и лежащие на одном проецирующем луче, называются конкурирующими. Соответствующие проекции таких точек совпадают. В месте совпадения проекций и возникает вопрос о видимости.

Направление взгляда соответствует направлению проецирования по отношению к плоскости проекций (совпадает с названиями видов в инженерной графике: «спереди», «сверху», «слева»).

                  а)                                                 б)                                          в)

Рис. 27

На рис. 27, а заданы две скрещивающиеся прямые l и m. Горизонтальные проекции этих прямых пересекаются, и необходимо решить, какая точка видна: точка А, принадлежащая прямой m, или точка В, принадлежащая прямой l. Если показать эти прямые в аксонометрии (рис. 27, б), то становится понятно, что видна точка А, которая расположена выше точки В. Видна точка, которая расположена дальше от плоскости проекций, на которой решается вопрос о видимости. 

На комплексном чертеже (рис. 27, в) следует сравнить координаты точек, определяющие расстояния от соответствующей плоскости проекций.  В данном случае это координаты Z. Для этого необходимо построить недостающие проекции конкурирующих точек. Координата Z точки А больше, следовательно, точка А видна на горизонтальной плоскости проекций.

В случае определения видимости на фронтальной проекции (рис. 28) следует сравнить координаты Y точек C и D. Координата Y точки С больше, чем координата Y точки D, следовательно, точка С является видимой на фронтальной плоскости проекций.

                а)                                                 б)                                              в)

Рис. 28

4. Плоскость на комплексном чертеже и в аксонометрии

Через три точки пространства, не лежащие на одной прямой, проходит единственная плоскость, следовательно, имея на комплексном чертеже проекции трех точек, можно считать, что задана плоскость.

     

                а)                                          б)                                       в)

     

                г)                                           д)                                       е)

Рис. 29

На рис. 29 показаны способы задания плоскости на комплексном чертеже: а -  тремя точками; б -  прямой и точкой, не принадлежащей этой прямой; в -  пересекающимися прямыми; г - плоской фигурой; д - параллельными прямыми; е - следами.

4.1. Следы плоскости

Следами плоскости называются линии ее пересечения с плоскостями проекций. Из этого следует, что следы плоскости – это прямые, принадлежащие соответствующим плоскостям проекций. То есть все точки, принадлежащие следам, имеют одну координату, равную 0. Две проекции (из трех) таких точек лежат на координатных осях (см. пример 5, с. 15).

Точка пересечения плоскости с координатной осью называется точкой схода следов на соответствующей оси (на рис. 30 – точка Qx).

Рис. 30

На рис. 31 показан треугольник следов плоскости Q, вершинами треугольника являются точки схода следов на осях X,Y и Z.

Точки схода следов принадлежат координатным осям, следовательно, имеют две нулевые координаты.

Рис. 31

а)                                                                         б)

Рис. 32

На рис. 32 показана плоскость Q, заданная: в случае а -  горизонтальным и фронтальным следами, в случае б -  треугольником следов. Также показаны точки M, N, P, принадлежащие  соответственно горизонтальному, фронтальному и профильному следам плоскости Q.

4.2. Прямая и точка в плоскости

Прямую и точку, принадлежащие заданной плоскости, следует строить, применяя признаки принадлежности:

  1.  Прямая принадлежит плоскости, если она проходит через две точки, лежащие в этой плоскости.
  2.  Прямая принадлежит плоскости, если она проходит через одну точку, лежащую в этой плоскости, параллельно некоторой прямой, лежащей в этой плоскости.
  3.  Точка принадлежит плоскости, если она принадлежит некоторой прямой, лежащей в этой плоскости.

Пример 10. Построить недостающую проекцию прямой l, если она принадлежит заданной плоскости (см. рис. 33, а) и рис. 34, а).

а)                                                                 б)

Рис. 33

а)                                                                 б)

Рис. 34

Для построения горизонтальной проекции прямой l воспользуемся первым признаком принадлежности (см. с. 46). Для того, чтобы получить две точки данной прямой, принадлежащие плоскости, следует продлить прямую до пересечения со сторонами треугольника (рис. 33, б) или до пересечения со следами (рис. 34, б). Затем построить горизонтальные проекции этих точек и соединить их между собой.

Пример 11. Построить недостающую проекцию точки К, принадлежащей заданной плоскости (рис. 35, а), (рис. 36, а)

а)                                              б)

Рис. 35

а)                                              б)

Рис. 36

Для построения недостающей проекции точки К воспользуемся третьим признаком принадлежности (см. с. 46). Вначале проводим произвольную прямую через заданную проекцию точки. Далее строим недостающую проекцию этой прямой (см. пример 10, с. 47). Затем строим искомую проекцию точки из условия ее принадлежности построенной прямой.

4.3. Линии особого положения в плоскости

Прямые, принадлежащие плоскости и параллельные плоскостям проекций, называются линиями особого положения в плоскости или главными линиями плоскости. Это горизонталь, фронталь и профильная прямая данной плоскости.

а)                                                                               б)

Рис. 40

На рис. 40, а показано построение горизонтали и фронтали в плоскости, заданной параллельными прямыми, на рис. 40, б – в плоскости, заданной следами. Все горизонтали заданной плоскости параллельны между собой, все фронтали  заданной плоскости также параллельны между собой. Следы плоскости являются ее горизонталью и фронталью (линиями нулевого уровня).

К линиям особого положения в плоскости относятся также линии, перпендикулярные горизонтали, фронтали и профильной прямой. Эти линии называются линиями наибольшего наклона данной плоскости к плоскостям проекций.

Прямая, принадлежащая данной плоскости и перпендикулярная горизонтали плоскости, называется линией ската.

На рис. 41 показано построение линии ската (на чертеже обозначена m) и угла наклона плоскости к горизонтальной плоскости проекций α , который равен углу наклона линии ската к горизонтальной плоскости проекций.

Горизонтальная проекция линии ската проведена перпендикулярно горизонтальной проекции горизонтали в соответствии с теоремой о проецировании прямого угла (см. с. 77)

Построение угла наклона выполнено способом прямоугольного треугольника (см. правило 3, с. 33).

Рис. 41

4.4. Положение плоскости относительно плоскостей проекций

Плоскости могут занимать общее или частное положения относительно плоскостей проекций.

Плоскость общего положения – это плоскость, не параллельная и не перпендикулярная ни одной из плоскостей проекций.

Плоскость частного положения – это плоскость, параллельная или перпендикулярная какой-либо плоскости проекций.


Таблица 3. Проецирующие плоскости (плоскости, перпендикулярные какой-либо плоскости проекций)

Название и определение

Характерные особенности

Наглядное изображение

Комплексный чертеж

Горизонтально-проецирующая -  плоскость, перпендикулярная горизонтальной плоскости проекций

Плоскость вырождается в прямую линию на горизонтальной плоскости проекций

Фронтально-проецирующая -плоскость, перпендикулярная фронтальной плоскости проекций

Плоскость вырождается в прямую линию на фронтальной плоскости проекций

Профильно-проецирующая - плоскость, перпендикулярная профильной плоскости проекций

Плоскость вырождается в прямую линию на профильной плоскости проекций

Таблица 4. Плоскости уровня (плоскости, параллельные какой-либо плоскости проекций)

Название и определение

Характерные особенности

Наглядное изображение

Комплексный чертеж

Горизонтальная плоскость -  плоскость, параллельная горизонтальной плоскости проекций

Постоянство координаты Z; отсутствие горизонтального следа; проецирование плоской фигуры в натуральную величину на П1

Фронтальная плоскость - плоскость, параллельная фронтальной плоскости проекций

Постоянство координаты Y; отсутствие фронтального следа; проецирование плоской фигуры в натуральную величину на П2

Профильная плоскость - плоскость, параллельная профильной плоскости проекций

Постоянство координаты X; отсутствие профильного следа; проецирование плоской фигуры в натуральную величину на П3

5.1 Параллельность прямой и плоскости, двух плоскостей

Признак параллельности прямой и плоскости:

Прямая параллельна плоскости, если она параллельна какой-либо прямой, лежащей в этой плоскости.

Признак параллельности двух плоскостей

Две плоскости взаимно параллельны, если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости.

Пример 14. Через заданную точку D построить прямую, параллельную плоскости АВС и горизонтальной плоскости проекций (рис. 42, а).

а)                                                                           б)

Рис. 42

Строим в плоскости АВС горизонталь (см. рис. 40, с. 51). Через проекции точки D проводим проекции искомой прямой l соответственно параллельно проекциям горизонтали (рис. 42, б).

Пример 15. Через данную точку А провести плоскость, параллельную заданной (рис. 43, а).

а)                                                                                    б)

Рис. 43

Чтобы применить признак параллельности двух плоскостей, следует перезадать плоскость пересекающимися прямыми. Для этого в данной плоскости проводим произвольную прямую, пересекающую прямые m и l. Затем через точку А (рис. 43, б) проводим пересекающиеся прямые a и b, соответственно параллельные прямым m и (1,2).

5.2. Частные случаи пересечения прямой и плоскости, двух плоскостей

Частные случаи возникают, когда один из геометрических образов находится в проецирующем положении. Признаком проецирующего положения является наличие вырожденной проекции (прямая вырождается в точку; плоскость вырождается в прямую). Это означает, что на одной из проекций ответ (общая точка или общая прямая) уже есть. Поэтому такие задачи решаются подобно задачам на принадлежность (см. пример 10, с. 46, пример 11, с. 48, пример 12, с. 49).

5.2.1 Пересечение проецирующей прямой с плоскостью общего положения

а)                                                                б)

Рис. 44

5.2.2 Пересечение прямой общего положения с проецирующей плоскостью

а)                                                                           б)

Рис. 45

5.2.3 Пересечение проецирующей плоскости  с плоскостью общего положения

а)                                                                         б)

Рис. 46

5.3. Пересечение двух плоскостей, заданных следами

Одноименные следы двух плоскостей лежат в одной и той же плоскости проекций, следовательно, пересекаются (если не параллельны). Таким образом, линия пересечения плоскостей, заданных следами, строится по точкам пересечения одноименных следов. На рис. 47 в точке М пересекаются горизонтальные следы плоскостей Т и Q, в точке N пересекаются фронтальные следы плоскостей Т и Q.

а)                                                                       б)

Рис. 47

5.4. Пересечение прямой общего положения с плоскостью общего положения

Правило 4

  1.  Заключить прямую во вспомогательную проецирующую плоскость.
  2.  Построить линию пересечения данной и вспомогательной плоскостей.
  3.  Построить общую точку в пересечении построенной линии и данной прямой.

Рис. 48

Пример 16. Построить точку пересечения прямой общего положения b с плоскостью общего положения β, заданной параллельными прямыми l и m (рис. 48, а). Определить видимость прямой.

Заданная прямая заключена во вспомогательную фронтально-проецирующую плоскость α (см рис. 49, б). Дальнейшие построения соответствуют второму и третьему пункту правила 4.

Видимость определена при помощи конкурирующих точек (см. п. 3.5, с. 35).

а)                                                          б)

Рис. 49

Пример 17. Построить точку пересечения прямой общего положения b с плоскостью общего положения β, заданной следами (рис. 50, а). Определить видимость прямой.

Заданная прямая заключена во вспомогательную фронтально-проецирующую плоскость α (см рис. 50, б). Следы вспомогательной плоскости показываются полностью, так как линия пересечения данной и вспомогательной плоскостей строится по общим точкам одноименных следов (см. рис. 47, с. 62).

Видимость определена при помощи конкурирующих точек ( на чертеже не показаны)

.

а)                                                                    б)

Рис. 50

Пример 18.  На изометрической проекции построить точку пересечения прямой b с плоскостью общего положения, заданной треугольником АВС (рис. 51).

а)                                                                             б)

Рис. 51

5.5. Пересечение плоскостей общего положения

Две плоскости всегда пересекаются по прямой линии. Прямая линия всегда определяется двумя точками. Следовательно, для построения линии пересечения плоскостей необходимо найти две точки, принадлежащие обеим плоскостям. Каждая из этих точек может быть найдена как точка пересечения прямой, принадлежащей одной из плоскостей, с другой плоскостью (см. правило 4 и примеры 16, с. 63 и 17, с. 64). Прямые выбираются произвольно в любой из заданных плоскостей.

Пример 19. Построить линию пересечения заданных плоскостей (рис. 52, а). Определить видимость.

Для построения линии пересечения определены две общие точки К и L. В точке К прямая l пересекает плоскость АВС, в точке L прямая m пересекает плоскость АВС (см. пример 16, с. 63).

Видимость определена при помощи конкурирующих точек (см. п. 3.5, с. 35) (на чертеже не показаны).

а)                                                                              б)

Рис. 52

Пример 20. Построить линию пересечения плоскостей, одна из которых задана следами. Определить видимость плоскостей (рис. 53).

Для построения линии пересечения заданных плоскостей определены две общие точки К и L. В точке К прямая АВ пересекает плоскость β, в точке L прямая ВС пересекает плоскость β (см. пример 17, с. 64).

Видимость определена при помощи конкурирующих точек (см. п. 3.5, с. 35) (на чертеже не показаны) (рис. 54).

Рис. 53

Рис. 54

6. Перпендикулярность прямых и плоскостей

Построение взаимно перпендикулярных прямых и  плоскостей требуется при решении многих метрических и конструктивных задач. Эти построения производятся на основе признаков перпендикулярности:

  1.  Прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум  пересекающимся прямым, принадлежащим этой плоскости.
  2.  Две плоскости взаимно перпендикулярны, если одна из них содержит прямую, перпендикулярную другой плоскости.
  3.  Две прямые взаимно перпендикулярны, если одна из них принадлежит плоскости, перпендикулярной другой прямой.

Воспользоваться этими признаками на комплексном чертеже позволяет теорема о проецировании прямого угла:

Прямой угол проецируется на плоскость проекций в натуральную величину, если одна из его сторон параллельна этой плоскости проекций, а другая не перпендикулярна.

Из этой теоремы следует, что проекции двух взаимно перпендикулярных прямых (пересекающихся или скрещивающихся) сохранят перпендикулярность:

на горизонтальной плоскости проекций – если одна из прямых является горизонталью, а другая общего положения (рис. 55, а и б);

на фронтальной плоскости проекций – если одна из прямых является фронталью, а другая общего положения (рис. 55, в и г).

Рис. 55


6.1. Перпендикулярность прямой и плоскости

В соответствии с первым признаком (с. 77) прямая будет перпендикулярна любым пересекающимся прямым плоскости, но по теореме о проецировании прямого угла на чертеже сохранится перпендикулярность только для горизонтали и фронтали (соответствующих проекций) этой плоскости.

Правило 5

Горизонтальную проекцию прямой, перпендикулярной плоскости, следует направить перпендикулярно горизонтальной проекции горизонтали плоскости, а фронтальную – перпендикулярно фронтальной проекции фронтали плоскости.

Пример 21. Построить прямую, перпендикулярную плоскости, через данную точку А.

Рис. 56

Плоскость задана параллельными прямыми общего положения m и n (рис. 56), а для построения перпендикуляра нам нужны горизонталь и фронталь этой плоскости. Выполняем построение горизонтали и фронтали (п. 4.3, с. 51), затем через проекции точки А проводим проекции прямой в соответствии с правилом 5.

Плоскость, перпендикулярную прямой, следует задавать пересекающимися прямыми, одна из которых – горизонталь, а другая – фронталь.  Эти прямые не пересекают данную прямую  l, а скрещиваются с ней, но скрещиваются под прямым углом.

Правило 6

Горизонтальную проекцию горизонтали на чертеже следует направить перпендикулярно горизонтальной проекции прямой, фронтальную проекцию фронтали – перпендикулярно фронтальной проекции прямой.

Пример 22. Построить плоскость, перпендикулярную прямой l, через данную точку А (рис. 57).

Рис. 57

6.2. Перпендикулярность двух плоскостей

Плоскость, перпендикулярную данной плоскости, строят по второму признаку (с. 77). Можно задать эту плоскость так, чтобы одна из ее прямых удовлетворяла условиям перпендикулярности к заданной плоскости (см. пример 23), способ задания плоскости может быть любым. Или можно выбрать в данной плоскости произвольную прямую и перпендикулярно ей задать искомую плоскость (см. пример 22)

Пример 23. Построить плоскость, перпендикулярную данной плоскости, через данную точку А ( рис. 58).

Рис. 58

В данном примере искомая плоскость задана пересекающимися прямыми l и g. Прямая l  проведена перпендикулярно данной плоскости (см. правило 5, с. 78). Прямая g задана произвольно.

6.3. Перпендикулярность двух прямых

Прямую, перпендикулярную данной прямой, строят с применением третьего признака (см. с. 77). Все прямые, перпендикулярные данной прямой и проходящие через заданную точку пространства, принадлежат плоскости, перпендикулярной данной прямой и проходящей через эту точку.


Пример 24. Даны прямая l и точка D (рис. 59). Построить отрезок DK, перпендикулярный данной прямой и пересекающий ее.

Рис. 59

Через точку D задаем плоскость, перпендикулярную прямой l (см. пример 22, с. 79). Отрезок DK принадлежит этой плоскости. Следовательно, точка К должна быть определена как точка пересечения прямой l  с построенной плоскостью (см правило 4, с. 63).


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

934. Тепловой баланс 558.5 KB
  Температура внутренней поверхности кладки. Потери теплоты через футеровку. Потери теплоты через окна. Теплота экзотермических реакций. Температура уходящих из томильной зоны газов. Потери теплоты с охлаждающей жидкостью. Температуру внутренней поверхности стен.
935. Рекуператор. Поверхность нагрева металлического петлевого рекуператора 97.5 KB
  Определение поверхности нагрева металлического петлевого рекуператора для подогрева воздуха. Коэффициент теплоотдачи конвекцией от труб рекуператора к воздуху. Отношение коэффициентов теплоотдачи на стороне воздуха и продуктов сгорания.
936. Горелки томильных печей 54.5 KB
  Для осуществления равномерного нагрева свода принимаем шахматное расположение горелок на своде печи с шагом по длине 1463 мм и 1410 мм по ширине. Тогда в методической зоне будет 4, в сварочной 7 и томильной 3 горелки.
937. Газодинамические расчеты газо-воздушных трактов 118.5 KB
  Скорость движения дымовых газов в начале печи. Скорость движения продуктов горения в вертикальном канале. Потери давления на повороте из дымохода в вертикальный канал. Средняя температура дыма по длине трубы.
938. Разработка маршрутно-операционного технологического процесса изготовления детали Крышка 378 KB
  Технический анализ чертежа детали и его корректировка в соответствие со стандартами ЕСКД. Составление технологического маршрута обработки, включая термические и контрольные операции. Расчет суммарной погрешности выполнения одного операционного размера, с учетом действия различных технологических факторов.
939. Управление делами Аппарата Администрации Смоленской области г. Смоленск, площадь им. Ленина, 1 311.5 KB
  Общая характеристика Аппарата Администрации Смоленской области. Основные задачи и функции протокольного отдела. Управление делами Аппарата Администрации Смоленской области. Функциональное содержание управленческой деятельности на примере протокольного отдела Управления делами Аппарата Администрации Смоленской области.
940. Исследование основных параметров и схем включения операцион-ных усилителей 231.5 KB
  В ходе работе были определены параметры операционного усилителя К140УД7 на лабораторном стенде и его зарубежного аналога uA741C в среде моделирования Microcap9: коэффициент усиления ОУ без обратной связи, входные токи, входное напряжение смещения, коэффициент ослабления синфазного сигнала.
941. Транспортування небезпечних вантажів автомобільним видом транспорту 2.2 MB
  Визначення перспективного напрямку удосконалення існуючої схеми перевезень легкозаймистих речовин у Угорщину та Румунію. Аналіз українського законодавства в області автомобільних перевезень небезпечних вантажів. Оцінка техніко-економічної ефективності розроблених технологічних рішень.
942. Отечественная история от начала до конца ХХ века 683 KB
  Происхождение и ранняя история восточных славян (расселение, занятия, общественное устройство, религия). Объединение русских земель и образование Московского государства. Государственное реформирование при первых Романовых. Либеральные реформы 60- 70 гг. XIX века. Столыпинская аграрная реформа и ее итоги. Новая экономическая. политика (1921-28г.:причины, содержание, противоречия) НЭП.