87521

ВРЕМЕННЫЕ РЯДЫ. МОДЕЛИРОВАНИЕ ОСНОВНОЙ ТЕНДЕНЦИИ

Лекция

Экономическая теория и математическое моделирование

В предыдущих лекциях были рассмотрены методы анализа, моделирования экономических взаимосвязей и систем на основе совокупности (выборки) данных по множеству однородных объектов за один и тот же момент или период времени. Можно сказать, что базой анализа и моделирования служила...

Русский

2015-04-21

4.12 MB

13 чел.

PAGE  21

ЛЕКЦИЯ 13


Рис. 9.7в

EMBED Excel.Chart.8 \s

Рис. 9.7б

Рис. 9.7а

Рис. 9.6б

Рис. 9.6в

EMBED Excel.Chart.8 \s

Рис. 9.6а 

ЛЕКЦИЯ 13

Временные ряды I. Основные элементы временных рядов. Показатели временного ряда и их исчисление. Автокорреляция уровней временного ряда. Выявление основной тенденции временного ряда. Методы сглаживания временного ряда. Аналитическое выравнивание временных рядов.

  1.  
    ВРЕМЕННЫЕ РЯДЫ
    I.
    МОДЕЛИРОВАНИЕ ОСНОВНОЙ ТЕНДЕНЦИИ
    1. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ О ВРЕМЕННЫХ РЯДАХ
      1. Основные элементы временного ряда

В предыдущих лекциях были рассмотрены методы анализа, моделирования экономических взаимосвязей и систем на основе совокупности (выборки) данных по множеству однородных объектов за один и тот же момент или период времени. Можно сказать, что базой анализа и моделирования служила пространственная совокупность (например, множество предприятий или регионов).

Не меньшую, а может даже и большую роль в эконометрике играет анализ и моделирование на базе данных по одному объекту, но на основе множества последовательных моментов или периодов времени, т.е. на основе временных рядов.

В последующих лекциях будут излагаться методы анализа, моделирования и прогнозирования на основе временных рядов, имеющих существенные особенности. Предполагается, что изучающие эконометрику знакомы из курса «Статистики» с понятием временного ряда, с требованием сопоставимости его уровней, с системой показателей динамики: темпами роста, базисными и цепными, абсолютными изменениями, ускорением, тенденцией ряда, колеблемостью (отклонением уровней от тренда) и т.п.

Временной ряд – это совокупность значений какого-либо показателя за несколько последовательных моментов или периодов времени. В отечественной литературе используют два синонима этого термина: динамический ряд» и «ряд динамики», в англоязычной литературе – «time series».

Составными элементами временных рядов являются числовые значения показателя, называемые уровнями этих рядов, и моменты или интервалы, к которым относятся уровни.

Временные ряды, образованные показателями, характеризующими экономическое явление в определенные моменты времени, называют моментными; пример такого ряда представлен в табл. 9.1.

Табл. 9.1. Списочная численность рабочих предприятия

Дата

На 1 января

На 1 февраля

На 1 марта

На 1 апреля

На 1 мая

На 1 июня

Численность

4100

4400

4200

4600

4800

4750

Если временные ряды образуются путем агрегирования за определенный промежуток (интервал) времени, то такие ряды называются интервальными временными рядами; пример такого ряда приведен в табл. 9.2.

Табл. 9.2. Фонд заработной платы рабочих предприятия

Месяц

январь

февраль

март

апрель

Фонд заработной платы, тыс. руб.

37187,5

38270,0

39380,0

42535,0

Временные ряды могут быть образованы как из абсолютных значений экономических показателей (см. табл. 9.1 и 9.2), так и из средних (табл. 9.3) или относительных величин (табл. 9.4).

Табл. 9.3. Средняя месячная заработная плата рабочих предприятия

Месяц

январь

февраль

март

апрель

Средняя заработная плата, тыс. руб.

8750

8900

8950

9050

Табл. 9.4. Среднегодовой рост месячной заработной платы рабочих предприятия

Год

1996

1997

1998

1999

Среднегодовой рост заработной
платы, %

125,3

119,7

115,4

117,5

Выделяют полный и неполные временные ряды. Полные ряды имеют место, когда даты регистрации или экономических периодов следуют друг за другом с равными интервалами. Неполные – когда принцип равных интервалов не соблюдается.

Важнейшим условием правильного формирования временных рядов является сопоставимость уровней, образующих ряд. Уровни ряда, подлежащих изучению, должны быть однородны по экономическому содержанию и учитывать существо изучаемого явления и цель исследования. Статистические данные, представленные в виде временных рядов, должны быть сопоставимы по территориям, кругу охватываемых объектов, единицам измерения, моменту регистрации, методике расчета, ценам, достоверности и т.д.

Каждый уровень временного ряда формируется под воздействием большого числа факторов, которые условно можно подразделить на три группы:

  •  факторы, формирующие тенденцию ряда;
  •  факторы, формирующие периодические колебания ряда;
  •  случайные факторы.

При различных сочетаниях этих факторов зависимость уровней временного ряда может принимать различные формы.

Большинство временных рядов экономических показателей имеет тенденцию, характеризующую совокупное долговременное воздействие множества факторов на динамику изучаемого показателя. Взятые в отдельности эти факторы могут оказывать разнонаправленное воздействие на исследуемый показатель, однако в совокупности они формируют возрастающую или убывающую тенденцию. Таким образом, под тенденцией понимается устойчивое систематическое изменение процесса в течение продолжительного времени.

Нас интересует выражение тенденции в форме некоторого достаточно простого уравнения, наилучшим образом аппроксимирующего фактическую тенденцию динамики. Такое уравнение называется трендом.1 Таким образом, тренд характеризует основную тенденцию временного ряда, общее направление развития или изменения данных временного ряда. В связи с этим экономико-математическая модель временного ряда, в которой развитие моделируемой экономической системы отражается через тренд ее основных показателей, называется трендовой моделью. Для выявления тренда во временных рядах, а также для построения и анализа трендовых моделей используется аппарат регрессионного анализа.

Замечание. Отличие временных экономических рядов от простых статистических совокупностей заключается, прежде всего, в том, что последовательности значений уровней временного ряда зависят друг от друга. Поэтому применение выводов и формул регрессионного анализа требует известной осторожности при анализе временных рядов, особенно при экономической интерпретации результатов анализа.

Во временных рядах экономических процессов могут иметь место более или менее регулярные колебания. Если они носят строго периодический или близкий к нему характер и завершаются в течение года, то их называют сезонными колебаниями. В тех случаях, когда период колебаний составляет несколько лет, то говорят, что во временном ряде присутствуют циклические колебания.

Колеблемость временных рядов может быть вызвана различными причинами. Во-первых, экономические показатели могут носить сезонный характер, поскольку экономическая деятельность ряда отраслей экономики зависит от времени года (например, цены на с/х. продукцию, уровень безработицы в курортных городах и т.д.) Во-вторых, при наличии больших массивов данных за длительный промежуток времени можно выявить циклические колебания, связанные с общей динамикой конъюнктуры рынка.

Тренд, сезонная и циклическая компоненты временного ряда называются регулярными (детерминированными, неслучайными) компонентами временного ряда. Основная задача теории статистики состоит в разработке методов построения трендовых моделей с учетом сезонных и циклических колебаний.

Составная часть временных рядов, остающаяся после выделения из него регулярных компонент, представляет собой случайную (нерегулярную) компоненту. Изучение случайной компоненты (точнее, стационарного временного ряда) составляет одну из основных задач эконометрики.

Таким образом, каждый уровень временного ряда формируется под воздействием тенденции (T), сезонных и (или) циклических колебаний (S) и случайной компоненты (E). Каждый уровень можно представить как функцию от этих компонент: Y=f(T,S,E). В зависимости от вида связи между этими компонентами обычно строится либо аддитивная модель

,

либо мультипликативная модель

.

Основная задача эконометрического исследования временных рядов – выявление и придание количественных выражений каждой их перечисленных компонент.

  1. Задачи и методы анализа временных рядов

Исследование временных рядов отличается от других задач анализа статистических данных как кругом представляющих интерес вопросов, так и методами, применяемыми для исследования. Поэтому наука об исследовании временных рядов – анализ временных рядов, образуют самостоятельную и весьма обширную область прикладной статистики и эконометрики.

Временные ряды, возникающие в различных предметных областях, имеют различную природу, поэтому для их изучения оказались эффективными разные методы. Исследователи придумывали и развивали многочисленные методы анализа, подходящие для изучения временных рядов в разных предметных областях. В результате анализ временных рядов превратился в довольно разветвленную науку. Из всех обширных разделов анализа временных рядов мы рассмотрим лишь те, которые полезны и важны при решении практических задач в экономике и финансах.

Обычно при практическом анализе временных рядов последовательно проходят следующие этапы:

  •  графическое представление и описание поведение временного ряда;
  •  выделение и удаление регулярных составляющих временного ряда;
  •  выделение и удаление периодических составляющих процесса (фильтрация);
  •  исследование случайной составляющей временного ряда, оставшейся после удаления регулярных составляющих;
  •  построение (подбор) математической модели для описания случайной составляющей и проверка ее адекватности;
  •  прогнозирование будущего развития процесса, представленного временным рядом;
  •  исследование взаимодействия между различными временными рядами.

Для решения указанных задач исследователями предложено огромное число различных методов. Отметим некоторые из них:

  •  корреляционный анализ позволяет выявить существенные периодические зависимости и их лаги (задержки) внутри одного процесса (автокорреляция) или между несколькими процессами (кросскорреляция);
  •  спектральный и гармонический анализ позволяет находить периодические и квазипериодические составляющие временного ряда;
  •  сглаживание и фильтрация предназначены для преобразования временных рядов с целью удаления из них сезонных колебаний;
  •  модели авторегрессии и скользящего среднего оказываются особенно полезными для описания и прогнозирования процессов, проявляющих однородные колебания вокруг среднего значения;
  •  прогнозирование позволяет на основе подобранной модели поведения временного ряда предсказывать его значения в будущем.
    1. *ПОКАЗАТЕЛИ ВРЕМЕННОГО РЯДА И МЕТОДЫ
      ИХ ИСЧИСЛЕНИЯ
      1. Показатели, характеризующие динамику временного ряда

Уровни временного ряда могут изменяться в самых разных направлениях: они могут возрастать или убывать, повторять ранее достигнутый уровень. Интенсивность их изменения бывает различной. Уровни ряда могут изменяться быстрее или медленнее. Для характеристики развития во времени применяются следующие показатели.

Анализ скорости и интенсивности развития явления во времени осуществляется с помощью статистических показателей, которые получаются в результате сравнения уровней между собой. К таким показателям относятся: а) абсолютные приросты (Dy); б) темпы роста (Тр); в) темпы прироста (DТр); г) абсолютное ускорение (D′); д) относительное ускорение (DТр).

Если каждый последующий уровень временного ряда сравнивается со своим предыдущим уровнем, то прирост называется цепным. Если же в качестве базы сравнения выступает один и тот же период, то прирост называется базисным.

Абсолютный прирост уровней ряда рассчитывается как разность двух уровней. Он показывает, на сколько единиц уровень одного периода больше или меньше уровня другого периода. В зависимости от базы сравнения абсолютные приросты могут быть цепными и базисными:

,     .                         (9.1)

Интенсивность изменения уровней временного ряда характеризуется темпами роста и прироста.

Темп роста – это отношение двух уровней ряда. Как и абсолютные приросты, темпы роста могут рассчитываться как в цепном, так и в базисном варианте:

,     .                     (9.2)

Темп прироста есть отношение абсолютного прироста к предыдущему уровню (цепной показатель) или к уровню, принятому за базисный (базисный показатель):

,     .           (9.3)

Между цепными и базисными показателями изменения уровней ряда существует взаимосвязь:

а) сумма цепных абсолютных приростов равна базисному приросту;

б) произведение цепных коэффициентов роста равно базисному коэффициенту роста;

в) темп прироста связан с темпом роста .

Рассмотрим пример.

Табл. 9.5. Динамика объема продукции по предприятию за 1995-1999 гг.

Годы

Произведено продукции,
тыс. шт.

Абсолютные приросты,
тыс. т.

Темпы роста, %

Темпы прироста, %

цепные

базисные

цепные

базисные

цепные

базисные

1995

20

-

-

-

100

-

-

1996

25

5

5

125

125

25

25

1997

35

10

15

140

175

40

75

1998

40

5

20

114,3

200

14,3

100

1999

50

10

30

125

250

25

150

Итого

170

30

-

-

-

-

-

В приведенном примере накопленный абсолютный прирост за 1996-1999 гг. – 30 тыс. шт. – совпадает с базисным абсолютным приростом для 1999 г. Произведение цепных показателей роста равно базисному:

, или 250% – базисный темп роста.

Деление рядом стоящих базисных коэффициентов роста друг на друга равно цепным коэффициентам роста. Так

, или 114,3% – цепной темп роста для 1998 г.

Взаимосвязь цепных и базисных показателей темпов роста позволяет при анализе, если необходимо, переходить от цепных показателей к базисным и наоборот.

Абсолютные приросты показывают скорость изменения уровней ряда в единицу времени. Если они систематически возрастают, то ряд развивается с ускорением. Величина абсолютного ускорения определяется как

,                                               (9.4)

т.е. по аналогии с цепным абсолютным приростом, но сравниваются между собой не уровни ряда, а их скорости. По табл. 9.4 ускорение имело место лишь в 1997 и в 1999 гг., когда  тыс. шт.

Если систематически растут цепные темпы роста, то ряд развивается с относительным ускорением. Относительное ускорение можно определить как разность следующих друг за другом темпов роста или прироста:

  или   .                           (9.5)

По данным табл. 9.4 относительное ускорение имело место лишь в 1997 г. – 15 процентных пунктов по сравнению с предыдущим годом.

  1. Средние показатели временного ряда

Для обобщения данных по временным рядам рассчитываются различного рода средние показатели: средний уровень ряда, средние абсолютные изменения и ускорения, средние темпы роста.

Важной характеристикой временного ряда является средний уровень ряда. В интервальном временном ряду с равноотстоящими во времени уровнями расчёт среднего уровня ряда производится по формуле простой средней арифметической (здесь и далее суммирование ведётся по всем периодам наблюдения):

.                                                (9.6)

По данным таблицы 9.5, средний  за период объём произведённой продукции составит:

Если интервальный ряд имеет неравноотстоящие во времени уровни, то средний уровень ряда (т.н. средняя хронологическая) вычисляется по формуле взвешенной арифметической средней:

,                                                (9.7)

где t – число периодов времени, в течение которых значение уровня yt не изменяется.

Например, имеются данные об остатках средств на расчётном счёте предприятия (табл. 9.6). Определить средний остаток средств на расчётном счёте в январе.

Табл. 9.6. Динамика объема продукции по предприятию за 1995-1999 гг.

Календарный период

Остаток средств,
тыс. руб. (
yi)

Период действия уровня, дней (ti)

yiti

01.01-09.01

100

9

900

10.01-14.01

350

5

1750

15.01-17.01

335

3

1005

18.01-24.01

155

7

1085

25.01-31.01

575

7

4025

Итого

-

31

8765

Исходя из данных таблицы 9.6, имеем:

Для моментного ряда с равноотстоящими уровнями средняя хронологическая рассчитывается по формуле:

,                                   (9.8)

где n – число уровней ряда.

Например, если известны товарные остатки на 1-е полугодие каждого месяца (тыс. руб.):

1.01

1.02

1.03

1.04

18

14

16

20

Тогда средне месячные товарные остатки будут равны

Средняя хронологическая для моментного временного ряда с разноотстоящими во времени уровнями вычисляется по формуле:

.                       (9.9)

Здесь n – число уровней ряда, а t1 – период времени, отделяющий i-й уровень ряда от (i+1)-го уровня.

Например, известна списочная численность рабочих организации на некоторые дни 1998 г. (чел.):

1.01

1.03

1.04

1.09

1.01.1999

1200

1100

1250

1500

1350

Тогда средняя годовая численность рабочих за 1998 г. составит

Кроме среднего уровня, при анализе и прогнозировании широко используются средние показатели изменения уровня ряда, а именно средний абсолютный прирост и средний темп роста.

Средний абсолютный прирост определяется как средняя арифметическая простая из цепных показателей из цепных приростов:

.                                            (9.10)

Так как , средний абсолютный прирост можно определить следующим образом:

,                                            (9.11)

где yn – последний уровень временного ряда, y0 – уровень, взятый за базу сравнения.

Применительно к данным табл. 9.5, имеем:

,

или, иначе,

,

т.е. ежегодно объём произведённой продукции возрастал на 7,5 тыс. ед.

Для обобщения характеристики интенсивности роста рассчитывается средний темп (коэффициент) роста по средней геометрической простой:

,                                          (9.12)

где K1, K2,…,Kn – цепные коэффициенты роста.

Применим эту формулу к данным табл. 9.5:

.

Соответственно средний темп роста равен 125,5%.

Учитывая взаимосвязь цепных и базисных темпов рост, средний темп роста можно представить следующим образом:

.                                                  (9.13)

Для рассматриваемого примера

.

При определении средних уровней временного ряда нужно иметь в виду, что средняя будет достаточно надёжной  характеристикой ряда, если она характеризует период с более или менее стабильными условиями развития. Если же за исследуемый период можно выделить этапы, в течение которых условия развития существенно менялись, то пользоваться общей средней не всегда целесообразно, а предпочтение нужно отдать средним, рассчитанным по отдельным подпериодам.

  1. АВТОКОРРЕЛЯЦИЯ УРОВНЕЙ ВРЕМЕННОГО РЯДА

В значительной части временных рядов между уровнями, особенно близко расположенных, существует взаимосвязь, т.е. значения каждого последующего уровня ряда зависят от предыдущих. Корреляционную зависимость между последовательными уровнями временного ряда называют автокорреляцией уровней ряда. Количественно ее можно измерить с помощью коэффициента корреляции между уровнями исходного временного ряда и уровнями этого ряда, сдвинутых на несколько шагов во времени. Число уровней, по которым рассчитывается коэффициент автокорреляции, называется лагом.

Определим коэффициент корреляции между рядами yt и yt-1, т.е. коэффициент автокорреляции 1-го порядка

,                                  (9.14)

где

,     .

Отметим, что расчет коэффициента автокорреляции производится по (n–1), а не по n парам наблюдений.

Определим теперь коэффициент автокорреляции 2-го порядка, коэффициент корреляции между рядами yt и yt-2, т.е.

,                             (9.15)

где

,     .

Отметим, что расчет коэффициента автокорреляции 2-го порядка уже будет производится по (n–2) парам наблюдений.

Следует учитывать, что с увеличением лага число пар значений, по которым рассчитывается коэффициент автокорреляции, уменьшается. Поэтому некоторые авторы считают целесообразным для обеспечения статистической достоверности коэффициентов автокорреляции использовать правило – максимальный порядок коэффициента автокорреляции не должен превышать n/4.

Отметим два важных свойства коэффициента автокорреляции:

Во-первых, он строится по аналогии с обычным коэффициентом корреляции и таким образом характеризует тесноту только линейной связи текущего и предыдущего уровней ряда. Поэтому по коэффициентам автокорреляции можно судить о наличии линейной (или близкой к линейной) тенденции. Для некоторых временных рядов, имеющих сильную нелинейную тенденцию (например, парабола или экспонента), коэффициенты автокорреляции уровней могут приближаться к нулю.

Во-вторых, по знаку коэффициента автокорреляции нельзя делать вывод о возрастающей или убывающей тенденции в уровнях ряда. Большинство временных рядов экономических данных содержит положительную автокорреляцию уровней, однако при этом могут иметь убывающую тенденцию.

По длинному временному ряду можно определить серию коэффициентов автокорреляции, последовательно увеличивая величину лага: r1, r2, r3, … Последовательность коэффициентов автокорреляции называется автокорреляционной функцией временного ряда. График зависимости значений коэффициентов автокорреляции от величины лага (порядка коэффициента автокорреляции) называют коррелограммой.

Анализ автокорреляционной функции и коррелограммы позволяет уточнить структуру временного ряда, выявить наличие или отсутствие в нём тенденции или периодических колебаний. Если временной ряд характеризуется чётко выраженной линейной тенденцией, то для него коэффициент автокорреляции 1-го порядка приближается к 1. Если же временной ряд содержит периодические колебания, то и автокорреляционная функция также будет содержать периодические колебания. Если временной ряд не содержит периодических колебаний, то коррелограмма представляет собой затухающую функцию, т.е. коэффициенты автокорреляции высоких порядков приближаются к нулю.

Анализ коррелограммы – это порой довольно непростая задача. Поэтому мы кратко остановимся на типичном поведении коррелограмм для некоторых классов временных рядов. Для начала рассмотрим поведение коррелограммы для некоторых нестационарных временных рядов. На графиках кроме значений самой функции, обычно указывают доверительные пределы этой функции

Для временного ряда, содержащего тренд, коррелограмма не стремится к нулю с ростом значения лага t. Ее характерное поведение изображено на рис.9.1.

          

Рис. 9.1. Коррелограмма ряда урожайности зерновых культур в СССР
с 1945 по 1989 гг. в ц/га: а) исходный временной ряд; б) его коррелограмма
.

Для временного ряда с сезонными колебаниями коррелограмма также будет содержать периодические всплески, соответствующие периоду сезонных колебаний. Это позволяет устанавливать предполагаемый период сезонности. Типичное поведение коррелограммы приведено на рис.9.2.

 

Рис. 9.2. Коррелограмма ряда месячных продаж шампанского за 7 последовательных лет в логарифмической шкале (после удаления линейного тренда): а) преобразованный исходный временной ряд; б) его коррелограмма.

Пример 9.1. Пусть имеются следующие условные данные о средних расходах на конечное потребление (yt, ден. ед.) за 8 лет:

t

1

2

3

4

5

6

7

8

yt

213

171

291

309

317

362

351

361

Найти коэффициенты автокорреляции 1-го и 2-го порядков.

Решение. Вычислим коэффициент автокорреляции 1-го порядка, для этого составим таблицу, содержащую промежуточные вычисления:

t

yt

yt+1

yty1

yt+1y2

(yty1)(yt+1y2)

(yty1)2

(yt+1y2)2

1

213

2

171

213

-137,857

-74,714

10299,898

19004,592

5582,224

3

291

171

-17,857

-116,714

2084,184

318,878

13622,224

4

309

291

0,143

3,286

0,469

0,020

10,796

5

317

309

8,143

21,286

173,327

66,306

453,082

6

362

317

53,143

29,286

1556,327

2824,163

857,653

7

351

362

42,143

74,286

3130,612

1776,020

5518,367

8

361

351

52,143

63,286

3299,898

2718,878

4005,082

2162

2014

20544,714

26708,857

30049,429

Поскольку

,   ,

то

,   .

Тогда

Полученное значение свидетельствует о тесной зависимости между расходами на конечное потребление текущего и непосредственно предшествующего годов и, следовательно, о наличии во временном ряде расходов на конечное потребление линейной тенденции (рис. 9.3).

Рис. 9.3

Вычислим коэффициент автокорреляции 2-го порядка, для этого составим таблицу, содержащую промежуточные вычисления:

t

yt

yt+2

yty3

yt+2y4

(yty3)(yt+2y4)

(yty3)2

(yt+2y4)2

1

213

2

171

3

291

213

-40,833

-64,167

2620,139

1667,361

4117,361

4

309

171

-22,833

-106,167

2424,139

521,361

11271,361

5

317

291

-14,833

13,833

-205,194

220,028

191,361

6

362

309

30,167

31,833

960,306

910,028

1013,361

7

351

317

19,167

39,833

763,472

367,361

1586,694

8

361

362

29,167

84,833

2474,306

850,694

7196,694

1991

1663

9037,167

4536,833

25376,833

Поскольку

,   ,

то ,   . Тогда

Полученный результат еще раз подтверждает вывод о том, что временной ряд расходов на конечное потребление содержит линейную тенденцию.

Пример 9.2. Имеются поквартальные условные данные об объемах потребления электроэнергии жителями региона.

Таблица 9.7

Номер
квартала

Потребление электроэнергии
жителями региона, млн. кВт
ч

Номер
квартала

Потребление электроэнергии
жителями региона, млн. кВт
ч

1

6,0

9

8,0

2

4,4

10

5,6

3

5,0

11

6,4

4

9,0

12

11,0

5

7,2

13

9,0

6

4,8

14

6,6

7

6,0

15

7,0

8

10,0

16

10,8

Построить автокорреляционную функцию временного ряда.

Решение. Для расчета коэффициентов автокорреляции исходного временного ряда составим таблицу (табл. 9.8):

Таблица 9.8

t

yt

yt-1

yt-2

yt-3

yt-4

yt-5

yt-6

1

6,0

2

4,4

6,0

3

5,0

4,4

6,0

4

9,0

5,0

4,4

6,0

5

7,2

9,0

5,0

4,4

6,0

6

4,8

7,2

9,0

5,0

4,4

6,0

7

6,0

4,8

7,2

9,0

5,0

4,4

6,0

8

10,0

6,0

4,8

7,2

9,0

5,0

4,4

9

8,0

10,0

6,0

4,8

7,2

9,0

5,0

10

5,6

8,0

10,0

6,0

4,8

7,2

9,0

11

6,4

5,6

8,0

10,0

6,0

4,8

7,2

12

11,0

6,4

5,6

8,0

10,0

6,0

4,8

13

9,0

11,0

6,4

5,6

8,0

10,0

6,0

14

6,6

9,0

11,0

6,4

5,6

8,0

10,0

15

7,0

6,6

9,0

11,0

6,4

5,6

8,0

16

10,8

7,0

6,6

9,0

11,0

6,4

5,6

Определим коэффициент корреляции между рядами yt и yt-1, т.е. коэффициент автокорреляции 1-го порядка. Отметим, что расчет коэффициента автокорреляции производится по 15, а не по 16 парам наблюдений. Составим таблицу для расчета коэффициента автокорреляции 1-го порядка (таб. 9.9):

Таблица 9.9

t

yt

yt-1

1

6,0

2

4,4

6,0

-2,987

-1,067

3,186

8,920

1,138

3

5,0

4,4

-2,387

-2,667

6,364

5,696

7,111

4

9,0

5,0

1,613

-2,067

-3,334

2,603

4,271

5

7,2

9,0

-0,187

1,933

-0,361

0,035

3,738

6

4,8

7,2

-2,587

0,133

-0,345

6,691

0,018

7

6,0

4,8

-1,387

-2,267

3,143

1,923

5,138

8

10,0

6,0

2,613

-1,067

-2,788

6,830

1,138

9

8,0

10,0

0,613

2,933

1,799

0,376

8,604

10

5,6

8,0

-1,787

0,933

-1,668

3,192

0,871

11

6,4

5,6

-0,987

-1,467

1,447

0,974

2,151

12

11,0

6,4

3,613

-0,667

-2,409

13,056

0,444

13

9,0

11,0

1,613

3,933

6,346

2,603

15,471

14

6,6

9,0

-0,787

1,933

-1,521

0,619

3,738

15

7,0

6,6

-0,387

-0,467

0,180

0,150

0,218

16

10,8

7,0

3,413

-0,067

-0,228

11,651

0,004

Среднее

110,8

106

9,813

65,317

54,053

По данным таблицы находим

,     .

Используя формулу (9.14), находим

.

Определим теперь коэффициент автокорреляции 2-го порядка, коэффициент корреляции между рядами yt и yt-2. Отметим, что расчет коэффициента автокорреляции 2-го порядка уже будет производиться по 14 парам наблюдений. Составим таблицу для расчета коэффициента автокорреляции 2-го порядка (таб. 9.10):

Таблица 9.10

t

yt

yt-2

1

6,0

2

4,4

3

5,0

6,0

-2,600

-1,071

2,786

6,760

1,148

4

9,0

4,4

1,400

-2,671

-3,740

1,960

7,137

5

7,2

5,0

-0,400

-2,071

0,829

0,160

4,291

6

4,8

9,0

-2,800

1,929

-5,400

7,840

3,719

7

6,0

7,2

-1,600

0,129

-0,206

2,560

0,017

8

10,0

4,8

2,400

-2,271

-5,451

5,760

5,159

9

8,0

6,0

0,400

-1,071

-0,429

0,160

1,148

10

5,6

10,0

-2,000

2,929

-5,857

4,000

8,577

11

6,4

8,0

-1,200

0,929

-1,114

1,440

0,862

12

11,0

5,6

3,400

-1,471

-5,003

11,560

2,165

13

9,0

6,4

1,400

-0,671

-0,940

1,960

0,451

14

6,6

11,0

-1,000

3,929

-3,929

1,000

15,434

15

7,0

9,0

-0,600

1,929

-1,157

0,360

3,719

16

10,8

6,6

3,200

-0,471

-1,509

10,240

0,222

Среднее

106,4

99

-31,120

55,760

54,049

По данным таблицы находим

,     .

Используя формулу (9.15), находим

.

Аналогичным образом рассчитываем коэффициенты автокорреляции 3-го и более высоких порядков. (Заметим, что в программе Exel коэффициенты корреляции рассчитываются при помощи функции КОРРЕЛ). В результате получим автокорреляционную функцию исходного временного ряда. Ее значения и коррелограмма приведены в таб. 9.11.

Таблица 9.11

Лаг

Коэффициент автокорреляции
уровней временного ряда

Коррелограмма

1

0,1651548

2

-0,5668734

3

0,1135581

4

0,9830252

5

0,1187113

6

-0,7220463

7

-0,0033676

8

0,9738481

Анализ значений автокорреляционной функции позволяет сделать вывод о наличии в изучаемом временном ряде, во-первых, линейной тенденции, во-вторых, сезонных колебаний периодичностью в четыре квартала. Данный вывод подтверждается и графическим анализом структуры ряда (см. рис. 9.1).

Рис. 9.4

Пример 9.3. Инвестиции в основной капитал России за 1996-1999 гг. характеризуется следующими данными:

Таблица 9.12

Номер
квартала

Год

Инвестиции,
трлн. руб.

Номер
квартала

Год

Инвестиции,
трлн. руб.

1

1996

57,8

9

1998

71,9

2

75,2

10

83,9

3

85,2

11

107,1

4

157,8

12

139,5

5

1997

73,2

13

1999

95,2

6

85,4

14

127,0

7

108,9

15

182,6

8

141,3

16

254,5

Построить автокорреляционную функцию временного ряда.

Решение. Из рис. 9.5 видно, что ряд развивается периодически: рост инвестиций в начале года и спад их в I квартале, т.е. повторение движения уровней ряда из года в год с лагом в четыре квартала.

Рис. .5

Эту же величину подтверждает и автокорреляционная функция:

Таблица 9.13

Лаг

Коэффициент автокорреляции
уровней временного ряда

Коррелограмма

1

0,470592

2

0,037307

3

0,028097

4

0,702999

5

-0,05731

6

-0,2916

7

-0,04014

8

0,747767

9

0,121037

10

-0,07538

11

0,178292

12

0,953762

Коэффициенты автокорреляции систематически возрастают через интервал лага, равный четырём. Вместе с тем следует иметь в виду, что при увеличении лага уменьшается число наблюдений, на которых базируется значение коэффициента автокорреляции. Поэтому коэффициенты автокорреляции высоких порядков оказываются менее сопоставимыми и менее надёжными, чем коэффициенты автокорреляции с меньшей величиной лага. Так в нашем примере r12=0,953762 базируется всего на четырёх наблюдениях, и на его величине вряд ли можно придавать особое экономическое значение: он приведён только для подтверждения вывода, что коэффициенты автокорреляции приобретают существенные значения лишь при интервале запаздывания, кратном четырём.

  1. МЕТОДЫ СГЛАЖИВАНИЯ ВРЕМЕННОГО РЯДА

После того как установлено наличие тенденции в ряду динамики, производится ее описание с помощью методов сглаживания и выравнивания. Это связано с тем, что обычно тенденция развития экономического явления во времени искажается влиянием резких периодических и случайных колебаний. В связи с этим выбор того или иного уравнения тренда трудно обосновать. С целью более чёткого выявления тенденции развития исследуемого процесса производят механическое сглаживание отдельных уровней временного ряда с использованием фактических значений соседних уровней.

Суть методов механического сглаживания заключается в следующем. Берётся несколько близлежащих уровней временного ряда и вместо них образуется новый уровень: либо простым суммированием уровней, либо их усреднением. Наиболее простыми и распространёнными методами механического сглаживания являются методы скользящей средней. Рассмотрим их.

  1. Метод простой скользящей средней

Сглаживание временного ряда с помощью скользящей средней заключается в том, что вычисляется средний уровень из определённого числа первых по порядку уровней ряда, затем – средний уровень из такого же числа уровней, начиная со второго, далее – начиная с третьего и т.д. Таким образом, при расчётах среднего уровня как бы «скользят» по ряду от его начала к концу, каждый раз отбрасывая один уровень в начале и добавляя один следующий. Отсюда название – скользящая средняя. Каждое звено скользящей средней – это средний уровень за соответствующий период, который относится к середине выбранного периода.

Самым простым методом механического сглаживания является метод простой скользящей средней. Алгоритм расчёта по этому методу следующий.

1) Определяется интервал сглаживания, т.е. число m (m<n) входящих в него уровней. Если необходимо сгладить мелкие беспорядочные колебания, то интервал сглаживания берут по возможности большим; интервал сглаживания уменьшают, если нужно сохранить более мелкие колебания. При прочих равных условиях интервал сглаживания рекомендуется брать нечётным; обычно, 3, 5 или 7.

2) Вычисляется среднее значение уровней, образующих интервал сглаживания. Это будет сглаженное значение уровня ряда, находящегося в середине интервала сглаживания. При условии, что m нечётное число, применяется формула

,                                                (9.16)

где .

Определение скользящей средней по чётному числу уровней временного ряда несколько сложнее, т.к. средняя может быть отнесена только к середине между двумя уровнями, находящимися в середине интервала сглаживания.

Если число членов скользящей средней обозначить через 2m, то серединным будет уровень, относящийся к m+½ члену ряда. Например, средняя, найденная для четырёх членов, относится к середине между вторым и третьим уровнями, следующая средняя – к середине между третьим и четвёртым, и т.д.

Чтобы ликвидировать такой сдвиг, применяют т.н. центрирование, которое заключается в нахождении средней из двух смежных скользящих средних для отнесения полученного уровня к определенному исходному уровню.

В результате процедуры сглаживания получают nm+1 сглаженных уровней ряда. При этом первые p и последние p уровней теряются (не сглаживаются).

Простая скользящая средняя даёт представление об общей тенденции поведения временного ряда – основной тенденции (тренде) и циклической компоненте. Сделаем несколько замечаний о её свойствах.

1. При применении метода скользящей средней выбор величины интервала сглаживания должен делаться из содержательных соображений и привязываться к периоду сезонных колебаний. Если процедура скользящей средней используется для сглаживания несезонного ряда, то чаще всего величину интервала сглаживания выбирают нечётной.

2. Соседние уровни скользящих средних сильно коррелированны, т.к. в их формировании участвуют одни и те же уровни исходного рядя. Это может приводить к тому, что ряд скользящих средних может содержать периодические компоненты («псевдоколебания»), отсутствующие в исходном ряде. Это явление носит название эффекта Слуцкого-Юла.

3. Метод простой скользящей средней вполне приемлем, если тенденция временного ряда близка к прямой линии. В этом случае не искажается динамика исследуемого явления. Однако когда тенденция временного ряда носит явно нелинейный характер, использовать для сглаживания ряда метод простой скользящей средней нецелесообразно, т.к. простая скользящая средняя может привести к значительным искажениям исследуемого процесса. В этих случаях более надёжным является использование взвешенной скользящей средней.

4. Отметим, что вместо средней арифметической можно использовать медиану значений, попавших в интервал (окно) сглаживания. Такой метод называется медианным сглаживанием. Его преимущество состоит в том, что результаты сглаживания становятся более устойчивыми к выбросам (т.е. к резко выделяющимся данным). Однако при отсутствии резких выбросов при медианном сглаживании получаются более изогнутые кривые, что является основным недостатком данного метода.

Пример 9.4. Провести сглаживание по методу простой скользящей средней по данным временных рядов примеров 9.2 и 9.3.

Решение. Покажем расчёт 3-х, 5-ти и 4-х уровневых средних на данных примера 9.2.

Таблица 9.14

t

yt

Трехуровневые скользящие средние

Пятиуровневые скользящие средние

Четырехуровневые скользящие средние (нецентрированные)

Четырехуровневые скользящие средние (центрированные)

1

6,0

6,10

6,40

6,50

6,75

7,00

7,20

7,40

7,50

7,75

8,00

8,25

8,40

8,35

2

4,4

6,0

3

5,0

5,13

6,32

6,250

4

9,0

6,13

6,08

6,450

5

7,2

7,07

6,40

6,625

6

4,8

7,00

7,40

6,875

7

6,0

6,00

7,20

7,100

8

10,0

6,93

6,88

7,300

9

8,0

8,00

7,20

7,450

10

5,6

7,87

8,20

7,650

11

6,4

6,67

8,00

7,875

12

11,0

7,67

7,72

8,125

13

9,0

8,80

8,00

8,325

14

6,6

8,87

8,88

8,375

15

7,0

7,53

16

10,8

Как видим из рис. 9.6а-в четырехкратная скользящая средняя даёт плавное изменение уровней ряда. Это связано с тем, что период скольжения в данном случае совпадает с периодом сезонных колебаний.

Покажем расчёт 3-х, 5-ти и 4-х уровневых средних на данных примера 9.3.

Таблица 9.15

t

yt

Трехуровневые скользящие средние

Пятиуровневые скользящие средние

Четырехуровневые скользящие средние (нецентрированные)

Четырехуровневые скользящие средние (центрированные)

1

57,8

94

97,85

100,4

106,325

102,2

101,875

101,5

101,05

100,6

106,425

117,2

136,075

164,825

2

75,2

72,73

3

85,2

106,07

89,84

95,93

4

157,8

105,40

95,36

99,13

5

73,2

105,47

102,1

103,36

6

85,4

89,17

113,32

104,26

7

108,9

111,87

96,14

102,04

8

141,3

107,37

98,28

101,69

9

71,9

99,03

102,62

101,28

10

83,9

87,63

108,74

100,83

11

107,1

110,17

99,52

103,51

12

139,5

113,93

110,54

111,81

13

95,2

120,57

130,28

126,64

14

127

134,93

159,76

150,45

15

182,6

188,03

16

254,5

Как видим из рис. 9.7а-в четырехкратная скользящая средняя даёт более плавное изменение уровней ряда. Это также связано с тем, что период скольжения совпадает с периодом сезонных колебаний.

1 Понятие об уравнении тенденции временного ряда было введено в статистику английским ученым Гукером в 1902 г. Он предложил называть такое уравнение трендом (the trend).

PAGE  20

Глава 9. ВРЕМЕННЫЕ РЯДЫ I. МОДЕЛИРОВАНИЕ ТЕНДЕНЦИИ


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

20605. Принципы функционирования систем сотовой связи 490 KB
  Свое название они получили в соответствии с сотовым принципом организации связи согласно которому зона обслуживания территория города или региона делится на ячейки соты. Эти системы подвижной связи появившиеся сравнительно недавно являются принципиально новым видом систем связи так как они построены в соответствии с сотовым: принципом распределения частот по территории обслуживания территориальночастотное планирование и предназначены для обеспечения радиосвязью большого числа подвижных абонентов с выходом в телефонную сеть общего...
20606. Абонентские терминалы СПРС и ПСС 360.5 KB
  В верхней части аппарата обычно располагаются световой индикатор светодиод отображающий режим работы режим ожидания вызов включено и источник звукового сигнала звонок. При получении вызова о чем абонент оповещается звуковым сигналом звонком он манипулирует теми же клавишами. Во всех аппаратах на дисплее отображаются уровень принимаемого сигнала и степень разряда аккумуляторной батареи в большинстве из них имеется подсветка дисплея и клавиатуры. К стационарному аппарату обычно бывает возможно подключить телефонный аппарат...
20607. Методы формирования речевых сигналов в слуховой системе 103 KB
  В некоторых восточных языках например в китайском изменение частоты основного тона важный информативный параметр речи. Звуки речи в которых присутствует основной тон называются вокализованными. Темп – характеризует скорость речи количество слов произнесённых в определённый временной промежуток. Темп речи в норме по своим временным и пространственным характеристикам соответствует органическим темповым и ритмическим параметрам присущим речевому и зрительному потоку информации человека.
20608. Слуховое восприятие речевых сигналов и оценка качества их звучания 335.5 KB
  Как правило слуховое восприятие речи у пожилых людей нарушается в большей степени чем чистых тонов. Среди существующих методов не утратили своего значения камертональные опыты или пробы и установление восприятия разговорной и шепотной речи. Наиболее распространенными способами оценки слуха в диагностики тугоухости являются измерение порогов слышимости чистых тонов и разборчивость записанной на ленте магнитофона и воспроизводимой через аудиометр речи определенной интенсивности см. являются гиперакузия заключающаяся в повышенной...
20609. Простой генератор кода 37 KB
  Данные вычисленные результаты находятся в регистрах как можно дальше и перенос их в память осуществляется только при необходимости использовать этот регистр. a:= bc b в регистр Ri c в регистр Rj. 2 b в регистр Ri c в памяти ADD Ri с.
20610. Распределение и назначение регистров. Счетчики использования регистров 52.5 KB
  Пример: Переменная Регистр b R0 d R1 a R2 e R3 B0: MOV R0b MOV R1d MOV R2a MOV R3e B1: MOV R2 R0 ADD R2c SUB R1 R0 MOV R3 R2 ADD R3f B2: SUB R2 R1 MOV f R2 B3: MOV R0 R1 ADD R0f MOV R3 R2 SUB R3c B4: MOV R0 R1 ADD R0c.
20611. Оптимизация базовых блоков c помощью дагов 88 KB
  1 t1:=4i t2:=a[t1] t3:=4i t4:=b[t3] t5:=t2t4 t6:=prodt5 prod:=t6 t7:=i1 i:=t7 i =20 goto1 Поочередно рассматривается каждая инструкция блока. e:=ab f:=ec g:=fd n:=ab i:=ic j:=ig = e:=ab f:=ec g:=fd i:=ic j:=ig Локальная оптимизация устранение лишних инструкций MOV R0a MOV a R0 устранение недостижимого кода if а = 1 goto L1 goto L2 L1: L2: = if а = 1 goto L2 goto L1 L1: goto L2 = goto L2 3.
20612. Использование динамического программирования при генерации кода 137.5 KB
  Пример: Пусть дана инструкция вида: add R1 R0 она может быть представлена в виде: R1:= R1 R0 Алгоритм динамического программирования разделяет задачу генерации оптимального кода для некоторого выражения на подзадачи генерации оптимального кода для подвыражений из которых состоит выражение Ei. Если E:=E1 E2 то генерация кода E разбивается на генерацию кода E1 и генерацию кода E2. Композиция получаемых элементов кода осуществляется в зависимости от типа вхождения подвыражений в основное выражение.
20613. Устранение общих подвыражений 92 KB
  2 Удаление бесполезного кода Допустим имеем следующую последовательность инструкций 3 Оптимизация циклов Пример 1: Пусть имеем цикл while i n2 Возможно модернизировать в следующую последовательность инструкций t:=n2 while i t Пример 2: while i t a:=b2 при условии что b не изменяется в теле цикла данную последовательность инструкций можно заменить на: a:=b2 while i t Метод перемещения кода заключается в выносе перед циклом выражений не изменяющихся в процессе его выполнения. 4 Переменные индукции и снижение стоимости 5 Оптимизация...