87523

МОДЕЛИРОВАНИЕ ПЕРИОДИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ

Лекция

Экономическая теория и математическое моделирование

При изучении тенденции временного ряда колебания уровней играли лишь роль помех, от которых следовало по возможности абстрагироваться. Однако сама колеблемость также представляет собой важный предмет статистического исследования временных рядов. Значение колеблемости многогранно.

Русский

2015-04-21

916 KB

5 чел.

PAGE  11

ЛЕКЦИЯ 14

Рис. 10.1а

ЛЕКЦИЯ 14

Моделирование периодических колебаний. Показатели интенсивности колеблемости. Построение аддитивной и мультипликативной моделей временного ряда. Методы измерения устойчивости во временных рядах. Прогнозирование на основе тренда и колеблемости.

  1.  
    ВРЕМЕННЫЕ РЯДЫ
    II.
    МОДЕЛИРОВАНИЕ ПЕРИОДИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ
    1. МОДЕЛИРОВАНИЕ СЕЗОННЫХ КОЛЕБАНИЙ
      1. Показатели интенсивности колеблемости

При изучении тенденции временного ряда колебания уровней играли лишь роль помех, от которых следовало по возможности абстрагироваться. Однако сама колеблемость также представляет собой важный предмет статистического исследования временных рядов. Значение колеблемости многогранно. Учёт колеблемости позволяет сделать прогноз более надёжным и точным.

Типы колебаний статистических показателей весьма разнообразны, но все же можно выделить три основные из них: пилообразную или маятниковую колеблемость, циклическую долгопериодическую и случайно распределенную во времени колеблемость. Их свойства и отличия друг от друга хорошо видны при графическом изображении временных рядов (рис.10.1).

Пилообразная или маятниковая колеблемость состоит в попеременных отклонениях уровней от тренда в одну и в другую сторону. Таковы автоколебания маятника. Такие автоколебания, например, можно наблюдать в динамике урожайности при невысоком уровне агротехники.

Циклическая долгопериодическая колеблемость свойственна, например, солнечной активности (10-11-летние циклы), а, значит, и связанным с ней на Земле процессом – урожайности отдельных культур в ряде районов, некоторым заболеваниям людей и растений. Для этого типа характерны редкая смена знаков отклонений и кумулятивный (накапливающийся) эффект отклонений одного знака, который может отражаться на экономике. Зато колебания хорошо прогнозируются.

Случайно распределенная во времени колеблемость – нерегулярная, хаотическая. Она может возникать при наложении (интерференции) множества колебаний с разными по длительности циклами. Но может возникать в результате столь же хаотической колеблемости главной причины существования колебаний, например суммы осадков за летний период, температуры воздуха в среднем за месяц в разные годы.


Рис. 10.1б

Рис. 10.1в

На основе качественного содержания понятия колеблемости строится и система её показателей. Показателями колебаний уровней являются: амплитуда отклонений уровней отдельных периодов или моментов от тренда (по модулю), среднее абсолютное отклонение уровней от тренда (по модулю), среднее квадратичное отклонение уровней от тренда. Относительные меры колеблемости: относительное линейное отклонение от тренда и коэффициент колеблемости.

Особенности методики вычисления средних отклонений от тренда является необходимость учета потерь степеней свободы колебаний на величину, равную числу параметров уравнения тренда. Учитывая потерю степеней свободы, основные абсолютные показатели колеблемости вычисляются по формулам:

                                         (10.1)

среднее линейное отклонение;

                                    (10.2)

среднее квадратичное отклонение.

Относительные показатели колеблемости вычисляются делением абсолютных показателей на средний уровень за весь изучаемый период.

Для правильного измерения сезонных колебаний очень важно, чтобы тренд был рассчитан правильно. Чаще всего перед расчётом сезонной составляющей исходный временной ряд выравнивают методами механического сглаживания.

Пример 10.1. Провести расчёт показателей колеблемости по результатам примера 9.2.

Решение. Тренд примем по результатам центрированной четырехуровневой скользящей средней.

Таблица 10.1

t

yt

Четырехуровневые скользящие средние
(нецентрированные)

Четырехуровневые скользящие средние
(центрированные)

Оценка
сезонной
компоненты St

1

6,0

6,10

6,40

6,50

6,75

7,00

7,20

7,40

7,50

7,75

8,00

8,25

8,40

8,35

2

4,4

3

5,0

6,250

–1,250

1,250

1,563

4

9,0

6,450

2,550

2,550

6,503

5

7,2

6,625

0,575

0,575

0,331

6

4,8

6,875

–2,075

2,075

4,306

7

6,0

7,100

–1,100

1,100

1,210

8

10,0

7,300

2,700

2,700

7,290

9

8,0

7,450

0,550

0,550

0,303

10

5,6

7,650

–2,025

2,025

4,101

11

6,4

7,875

–1,475

1,475

2,176

12

11,0

8,125

2,875

2,875

8,266

13

9,0

8,325

0,675

0,675

0,456

14

6,6

8,375

–1,775

1,775

3,151

15

7,0

16

10,8

39,652

Амплитуда колебаний составила от –2,075 в 6 квартале до 2,875 в 12 квартале, т.е. 4,95 пункта.

Среднее линейное отклонение найдём, сложив модули , и разделив на (np):

пункта.

Среднее квадратичное отклонение уровней от тренда найдём по формуле (10.2):

 пункта.

Небольшое превышение среднее квадратичного отклонения над линейным указывает на отсутствие среди отклонений резко выделяющихся по абсолютной величине.

Среднее значение уровней за изучаемый период равно

.

Тогда коэффициент колеблемости будет равен

,

или 27,3%. Таким образом, колеблемость достаточно сильная.

  1. Построение аддитивной и мультипликативной
    тренд-сезонных моделей временного ряда

Для исследования периодических колебаний необходимо отфильтровать из временного ряда периодическую компоненту, а затем уже анализировать её динамику. Большинство методов фильтрации построено таким образом, что предварительно выделяется тренд, а затем уже периодическая компонента. Чаще всего для выделения тренда, перед расчётом периодической компоненты, используют методы механического сглаживания. Процесс выделения компоненты временного ряда: тренда (T), периодической компоненты (S) и случайной компоненты (e) называется фильтрацией. В настоящее время развивается три основных направления фильтрации компонент временного ряда: регрессионные, спектральные и итерационные.

Замечание. В прикладных пакетах анализа метод расчета сезонных компонент известен как метод Census I. Существует также усовершенствованный с помощью различных приемов метод Census II, учитывающий, например, такой циклический фактор, как эффект конца рабочей недели или эффект выходного дня.

Существует несколько основных методов моделирования сезонных и циклических колебаний. К ним относятся:

  •  расчёт сезонной компоненты и построение аддитивной или мультипликативной модели временного ряда;
  •  применение сезонных фиктивных переменных;
  •  использование рядов Фурье.

Если амплитуда сезонных колебаний не меняется во времени, то применяют аддитивную модель временного ряда следующего вида:

,                                              (10.3)

где T – трендовая компонента, S – сезонная компонента, e – случайная составляющая.

Если амплитуда сезонных колебаний со временем изменяется, то применяется мультипликативная модель временного ряда следующего вида:

.                                              (10.4)

В качестве сезонной составляющей для аддитивной модели временного ряда применяют абсолютное отклонение , а для мультипликативной – индекс сезонности . Данные сезонные компоненты должны удовлетворять следующим требованиям:

1) в случае аддитивной модели сумма всех сезонных компонент (абсолютных отклонений ) должна быть равна нулю;

2) в случае мультипликативной модели произведение всех сезонных компонент (индексов сезонности ) должно быть равно единице.

Перед расчётом сезонной компоненты исходный ряд подвергают процедуре выравнивания, обычно методами механического сглаживания. В результате получают ряд выровненных значений , который не содержит сезонной компоненты.

Абсолютное отклонение в i-м сезоне рассчитывается как среднее арифметическое отклонение фактического и сглаженного уровней ряда:

.

Индекс сезонности в i-ом сезоне рассчитывается как среднее арифметическое отношений фактического уровня ряда к сглаженному:

.

При расчете тренда временного ряда используется метод аналитического выравнивания с помощью функций времени или кривых роста. Этот метод применяется не к исходному фактическому временному ряду, а к ряду, из которого удалена сезонная компонента. Таким образом, начальные уровни ряда корректируются на величину сезонной компоненты. В случае аддитивной модели из исходных уровней вычитаются абсолютные отклонения Sai. При наличии мультипликативной модели начальные уровни временного ряда делятся на индексы сезонности Isi.

Если при построении аддитивной модели сумма всех абсолютных отклонений не равна нулю, то рассчитывают скорректированные значения сезонных компонент:

,

где L – общее количество сезонных компонент.

Если при построении мультипликативной модели произведение всех индексов сезонности не равна единице, то рассчитывают скорректированные значения сезонных компонент:

.

Пример 10.2. Построить аддитивную и мультипликативную модели по результатам примера 10.1.

Решение. Тренд примем по результатам центрированной четырехуровневой скользящей средней и рассчитаем сезонную составляющую для аддитивной и мультипликативной моделей.

Таблица 10.2


квартала,
t

Потребление электроэнергии,
yt

Центрирования скользящая
средняя

Оценка сезонной компоненты
Sai

Оценка индекса сезонности
Isi

1

6,0

2

4,4

3

5,0

6,250

–1,250

0,8000

4

9,0

6,450

2,550

1,3953

5

7,2

6,625

0,575

1,0868

6

4,8

6,875

–2,075

0,6982

7

6,0

7,100

–1,100

0,8451

8

10,0

7,300

2,700

1,3699

9

8,0

7,450

0,550

1,0738

10

5,6

7,650

–2,025

0,7344

11

6,4

7,875

–1,475

0,8127

12

11,0

8,125

2,875

1,3538

13

9,0

8,325

0,675

1,0811

14

6,6

8,375

–1,775

0,7881

15

7,0

16

10,8

Используем эти оценки для расчета значений сезонной компоненты S в аддитивной модели (таб. 10.2). Для этого найдем средние за каждый квартал (по всем годам) оценки сезонной компоненты S. В моделях с сезонной компонентой обычно предполагается, что сезонные воздействия за период взаимопогашаются. В аддитивной модели это выражается в том, что сумма значений сезонной компоненты по всем кварталам должна быть равна нулю.

Таблица 10.3

Расчет значений сезонной компоненты в аддитивной модели

Показатели

Год

№ квартала, I

I

II

III

IV

1

–1,250

2,550

2

0,575

–2,075

–1,100

2,700

3

0,550

–2,025

–1,475

2,875

4

0,675

–1,775

Средняя оценка сезонной компоненты для I-го квартала,

0,600

–1,958

–1,275

2,708

Скорректированная сезонная компонента,

0,581

–1,977

–1,294

2,690

Для данной модели имеем:

.

Определим корректирующий коэффициент:

.

Рассчитаем скорректированные значения сезонной компоненты как разность между ее средней оценкой и корректирующим коэффициентом k:

.

Проверим условие равенства нулю суммы значений сезонной компоненты:

.

Таким образом, получены следующие значения сезонной компоненты:

I квартал:

;

II квартал:

;

III квартал:

;

IV квартал:

.

Занесем полученные значения в таб. 10.4 для соответствующих кварталов каждого года.

Исключим влияние сезонной компоненты, вычитая ее значение из каждого уровня исходного временного ряда. Получим величины T+E=YS. Эти значения рассчитываются за каждый момент времени и содержат только тенденцию и случайную компоненту.


Таблица 4.4

Расчет выравненных значений тренда T и ошибок E в аддитивной модели

t

yt

Si

T

T+S

1

6,0

0,581

5,419

5,894

6,475

-0,475

0,2253

2

4,4

-1,977

6,337

6,081

4,104

0,296

0,0877

3

5,0

-1,294

6,294

6,268

4,974

0,026

0,0007

4

9,0

2,690

6,310

6,455

9,145

-0,145

0,0211

5

7,2

0,581

6,619

6,642

7,223

-0,023

0,0005

6

4,8

-1,977

6,777

6,830

4,853

-0,053

0,0028

7

6,0

-1,294

7,294

7,017

5,723

0,277

0,0769

8

10,0

2,690

7,310

7,204

9,894

0,106

0,0113

9

8,0

0,581

7,419

7,391

7,972

0,028

0,0008

10

5,6

-1,977

7,577

7,578

5,601

-0,001

0,0000

11

6,4

-1,294

7,694

7,765

6,471

-0,071

0,0051

12

11,0

2,690

8,310

7,953

10,643

0,357

0,1277

13

9,0

0,581

8,419

8,140

8,721

0,279

0,0780

14

6,6

-1,977

8,577

8,327

6,350

0,250

0,0625

15

7,0

-1,294

8,294

8,514

7,220

-0,220

0,0485

16

10,8

2,690

8,110

8,701

11,391

-0,591

0,3497

1,0984

Определим трендовую компоненту T данной модели. Для этого проведем аналитическое выравнивание ряда (T+E) с помощью линейного тренда. Результаты аналитического выравнивания следующие:

Таблица 10.5

ВЫВОД ИТОГОВ

Регрессионная статистика

b0

5,707

b1

0,1872

Стандартная ошибка

0,2773

R-квадрат

0,9171

Число наблюдений

16

Таким образом, имеем следующий линейный тренд:

.

Подставляя в это уравнение значения t=1,…, 16, найдем уровни T для каждого момента времени. График уравнения тренда приведен на рис. 10.2.

Найдем значения уровней ряда, полученные по аддитивной модели. Для этого прибавим к уровням T значения сезонной компоненты для соответствующих кварталов. Графически значения (T+S) представлены на рис. 4.2.

Рис. 10.2

В соответствии с методикой построения аддитивной модели расчет ошибки производится по формуле.

.

Это абсолютная ошибка. Сумма квадратов абсолютных ошибок равна 1,0984. Следовательно, средняя квадратичная абсолютная ошибка составит

.

Среднее значение уровней ряда равно

.

Сравним его с суммой квадратов абсолютных ошибок:

.

Таким образом, можно сказать, что аддитивная модель на 96,5% объясняет общую вариацию уровней временного ряда потребления электроэнергии за последние 16 кварталов.

Методика построения мультипликативной модели на первом этапе полностью совпадает с методикой построения аддитивной модели. Найдем оценки сезонной компоненты как частное от деления фактических уровней ряда на центрированные скользящие средние (таб.10.2). Используем эти оценки для расчета значений сезонной компоненты S в мультипликативной модели. Для этого найдем средние за каждый квартал (по всем годам) оценки сезонной компоненты S. В моделях с сезонной компонентой обычно предполагается, что сезонные воздействия за период взаимопогашаются. В мультипликативной модели это выражается в том, что произведение значений сезонной компоненты по всем кварталам должна быть равна единице.

Таблица 10.6

Расчет значений сезонной компоненты в мультипликативной модели

Показатели

Год

№ квартала, I

I

II

III

IV

1

0,8000

1,3953

2

1,0868

0,6982

0,8451

1,3699

3

1,0738

0,7344

0,8127

1,3538

4

1,0811

0,7881

Средняя оценка сезонной компоненты для I-го квартала,

1,0806

0,7402

0,8193

1,3730

Скорректированная сезонная компонента, Isi

1,1095

0,7600

0,8412

1,4097

Для данной модели имеем:

.

Определим корректирующий коэффициент:

.

Рассчитаем скорректированные значения сезонной компоненты, разделив ее средние оценки на корректирующий коэффициент k:

.

Проверим условие равенства нулю суммы значений сезонной компоненты:

.

Таким образом, получены следующие значения сезонной компоненты:

I квартал:

;

II квартал:

;

III квартал:

;

IV квартал:

.

Занесем полученные значения в таб. 10.6 для соответствующих кварталов каждого года.

Исключим влияние сезонной компоненты, вычитая ее значение из каждого уровня исходного временного ряда. Получим величины TE=Y/S. Эти значения рассчитываются за каждый момент времени и содержат только тенденцию и случайную компоненту.

Таблица 10.7

Расчет выравненных значений тренда T и ошибок E в мультипликативной модели

t

yt

Si

T

TS

1

6,0

1,1095

5,4078

5,661

6,2812

0,9552

-0,2812

0,0791

2

4,4

0,7600

5,7894

5,851

4,4466

0,9895

-0,0466

0,0022

3

5,0

0,8412

5,9437

6,040

5,0812

0,9840

-0,0812

0,0066

4

9,0

1,4097

6,3842

6,230

8,7824

1,0248

0,2176

0,0473

5

7,2

1,1095

6,4893

6,419

7,1224

1,0109

0,0776

0,0060

6

4,8

0,7600

6,3157

6,609

5,0228

0,9556

-0,2228

0,0496

7

6,0

0,8412

7,1325

6,798

5,7190

1,0491

0,2810

0,0790

8

10,0

1,4097

7,0935

6,988

9,8512

1,0151

0,1488

0,0221

9

8,0

1,1095

7,2104

7,177

7,9635

1,0046

0,0365

0,0013

10

5,6

0,7600

7,3684

7,367

5,5990

1,0002

0,0010

0,0000

11

6,4

0,8412

7,6080

7,557

6,3568

1,0068

0,0432

0,0019

12

11,0

1,4097

7,8029

7,746

10,9200

1,0073

0,0800

0,0064

13

9,0

1,1095

8,1117

7,936

8,8047

1,0222

0,1953

0,0381

14

6,6

0,7600

8,6841

8,125

6,1752

1,0688

0,4248

0,1805

15

7,0

0,8412

8,3212

8,315

6,9945

1,0008

0,0055

0,0000

16

10,8

1,4097

7,6610

8,504

11,9888

0,9008

-1,1888

1,4132

 

 

 

 

 

 

1,9334

Определим трендовую компоненту T данной модели. Для этого проведем аналитическое выравнивание ряда (TE) с помощью линейного тренда. Результаты аналитического выравнивания следующие:

Таблица 10.8

ВЫВОД ИТОГОВ

Регрессионная статистика

b0

5,472

b1

0,1895

Стандартная ошибка

0,3135

R-квадрат

0,8987

Число наблюдений

16

Таким образом, имеем следующий линейный тренд:

.

Подставляя в это уравнение значения t=1,…, 16, найдем уровни T для каждого момента времени. График уравнения тренда приведен на рис. 4.3.

Найдем значения уровней ряда, полученные по аддитивной модели. Для этого прибавим к уровням T значения сезонной компоненты для соответствующих кварталов. Графически значения (TS) представлены на рис. 10.3.

Рис. 10.3

В соответствии с методикой построения мультипликативной модели расчет ошибки производится по формуле

.

Для того чтобы сравнить мультипликативную модель и другие модели временного ряда, можно также использовать сумму квадратов абсолютных ошибок. Абсолютные ошибки для мультипликативной модели определяются так

.

В данной модели сумма квадратов абсолютных ошибок равна 1,9934. Следовательно, средняя квадратичная абсолютная ошибка составит

,

т.е. она больше, чем для аддитивной модели. Среднее значение уровней ряда равно

.

Сравним его с суммой квадратов абсолютных ошибок:

.

Таким образом, можно сказать, что мультипликативная модель на 95,2% объясняет общую вариацию уровней временного ряда потребления электроэнергии за последние 16 кварталов.

PAGE  4

Глава 10. МОДЕЛИРОВАНИЕ ПЕРИОДИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

78388. Предохранители установлены в цепях регулирования и управления тепловозом 151.47 KB
  Расцепитель состоит из реле коромысла рейки и механизма свободного расцепления. Реле расцепителя с гидравлическим замедлением представляет собой электромагнитную систему с двумя подвижными частями: якорем 9 и плунжером. Промежуточные и специальные реле применяют для дистанционного управления и защиты электрических цепей. На тепловозе 2ТЭ116 устанавливают различные типы реле и датчиковреле в зависимости от выполняемых функций напряжения втягивающей катушки и количества контактов.
78390. Понятие о электрической схеме, условные обозначения схемы 32.24 KB
  Электрические схемы по ГОСТ. Структурные схемы используются для общего ознакомления с электропередачей тепловоза. Функциональные схемы представляют для объяснения принципов работы электрических машин аппаратов отдельных систем.
78393. Тепловоз 2ТЭ116 588.91 KB
  После этого от автоматического выключателя А В подается питание на контактор маслопрокачивающего насоса КМН и блок пуска дизеля БПД следующей цепи: плюс от АУ по проводам 16841685 через замкнутый блокировки крана машиниста БУ по проводам 1686 1687 через замкнутый контакт реверсивного механизма контроллера машиниста ВОН по провода 1696 через замкнутый на нулевой позиции контакт 4 контроллеры машиниста по провода 1699 через замкнутый контакт кнопки ПД1 по проводам 1702 1703 1704 через уравнительный резистор СУ по провода 1706 через...
78395. Электрическая цепь трогание с места 37.54 KB
  Для примера рассмотрим цепь второй группы тяговых электродвигателей: плюс главного генератора общая шина 1 замкнутые контакты и катушка дугогашения контактора КП2 S2 кабель 13 обмотка якоря и дополнительных полюсов тягового электродвигателя 3 кабель 14 обмотка якоря и дополнительных полюсов тягового электродвигателя 4 кабель 15 замкнуты пальцы и сегменты реверсора Р Р Z кабель 18 обмотка возбуждения электродвигателя 3 кабель 17 обмотка возбуждения электродвигателя 4 кабель 16 замкнуты пальцы и сегменты реверсора Р Р Z кабель...