87524

ОСНОВНЫЕ АСПЕКТЫ ЭКОНОМЕТРИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ

Лекция

Экономическая теория и математическое моделирование

Современная экономическая теория характеризуется широким использованием математических методов. Язык экономики все больше становится языком математики, а экономику все чаще называют одной из наиболее математизированных наук. Большинство новых методов основано на моделях, концепциях, приемах эконометрики.

Русский

2015-04-21

1.67 MB

22 чел.

PAGE  25

ЛЕКЦИЯ 1

ЛЕКЦИЯ 1

Основные аспекты эконометрического моделирования. Предмет эконометрики. Математическое моделирование и его использование в экономике. Эконометрическая модель. Проблемы спецификации, идентификации, верификации. Базовые понятия теории вероятностей. Случайные события и их вероятности. Случайные величины и их характеристики. Законы распределений случайных величин. Нормальное распределение и его значение.

  1.  
    ОСНОВНЫЕ АСПЕКТЫ
    ЭКОНОМЕТРИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ
    1. Предмет эконометрики

Современная экономическая теория характеризуется широким использованием математических методов. Язык экономики все больше становится языком математики, а экономику все чаще называют одной из наиболее математизированных наук. Большинство новых методов основано на моделях, концепциях, приемах эконометрики. Эконометрика – молодая наука, возникшая на основе слияния экономической теории, математической экономики, экономической и математической статистики. Эконометрические методы сейчас – это не только мощный инструментарий для получения новых знаний в экономике, но и широко применяемый аппарат для принятия практических решений в прогнозировании, банковском деле, бизнесе.

Предмет исследования эконометрики – экономические явления. В этом видится ее родство с экономической теорией. Но в отличие от экономической теории эконометрика делает упор на количественные, а не на качественные аспекты этих явлений. Например, экономическая теория утверждает, что спрос на товар с ростом его цены убывает. Но при этом практически неисследованным остается вопрос, как быстро и по какому закону происходит это убывание. Эконометрика отвечает на вопрос для каждого конкретного случая.

Изучение экономических процессов (взаимосвязей) в эконометрике осуществляется через математические (эконометрические) модели. В этом видится ее родство с математической экономикой. Однако эконометрика обычно отделяется от математической экономики, которая, например, не занимается изучением степени обоснованности того, что данная зависимость имеет тот или иной вид (например, то, что величина потребления является линейной возрастающей функцией дохода), – это остается для эконометрики. В математической экономике исследуются теоретические модели, основанные на определенных формальных предпосылках (линейность, выпуклость, монотонность зависимостей, конкретные формулы взаимосвязи величин). Эконометрика занимается статистической оценкой моделей на основе изучения эмпирических данных.

Одной из основных задач экономической статистики является сбор, обработка и представление экономических данных в наглядной форме: в виде таблиц, графиков, диаграмм. Эконометрика также активно пользуется этим инструментарием, но идет дальше, применяя его для анализа экономических взаимосвязей и прогнозирования.

Мощным аппаратом эконометрических исследований является аппарат математической статистики. Действительно, большинство экономических показателей носит характер случайных величин, предсказать точные значения которых практически невозможно. Вследствие этого использование методов математической статистики в эконометрике естественно и обоснованно. Однако в силу специфики получения статистических данных в экономике (например, в экономике невозможно проведение управляемого эксперимента) эконометристам приходится использовать свои собственные наработки и специальные приемы анализа, которые в математической статистике не встречаются.

Таким образом, можно сказать, что эконометрика устанавливает и исследует количественные закономерности в экономике на основе методов теории вероятностей и математической статистики, адаптированных к обработке экономических данных. Основа этих методов – корреляционно-регрессионный анализ.

Еще раз отметим, что значительный блок эконометрики составляются методы математической статистики, т.е. методы, апеллирующие к вероятностной природе анализируемых данных. Этот инструментарий применим только в случае соблюдения условий статистического ансамбля, что означает возможность многократного воспроизведения эксперимента (наблюдения) в неизменных условиях. Однако для большинства исследуемых в экономике явлений данное требование не соблюдается. Экономические процессы развиваются во времени, и каждый временной ряд уникален.

  1. Эконометрическое моделирование

Для изучения различных экономических процессов экономисты используют их упрощенные формальные описания, называемые экономическими моделями. Примерами таких моделей могут служить модели потребительского выбора, модели фирмы, модели экономического роста, модели равновесия на товарных и финансовых рынках и многие другие. Строя модели, экономисты выявляют существенные факторы, определяющие исследуемое явление и отбрасывают детали, несущественные для решения поставленной цели. Экономические модели позволяют выявить особенности функционирования экономического объекта и на основе этого предсказать будущее поведение объекта при изменении каких-либо параметров. В модели все взаимосвязи переменных могут быть оценены количественно, что позволяет получить более качественный и надежный прогноз.

Вводя символические обозначения в экономическую модель и формализируя, насколько это возможно, взаимосвязи между ними, формулируется математическая модель. Как необходимый элемент любая экономическая теория включает математические модели. Следует различать математическую структуру экономической модели и ее экономическое содержание. Отметим, что одни и те же математические модели могут быть использованы для решения совершенно различных экономических задач.

Заметим, что при рассмотрении математических моделей все переменные делятся на два класса – эндогенные и экзогенные переменные. Эндогенные переменные – это переменные, значения которых определяются внутри модели. В соответствующих математических моделях их называют еще зависимыми, результирующими или объясняемыми переменными. Экзогенные переменные – это внешние по отношению к модели переменные. Их значения определяются вне модели. В соответствующих математических моделях их называют еще независимыми, предикторными или объясняющими переменными, или регрессорами.

Закономерности в экономике выражаются в виде связей и зависимостей экономических показателей. Такие зависимости могут быть получены только путем обработки реальных статистических данных. Статистические данные в эконометрике являются основой для выявления и обоснования эмпирических закономерностей. Без конкретных количественных данных, характеризующих функционирование исследуемого экономического объекта, не всегда возможно определить практическую значимость применяемой эконометрической модели.

Эконометрические данные обычно делят на два вида: пространственные данные (cross-section data) и временные ряды (time series).

Пространственные данные – это данные, полученные по какому-либо экономическому показателю, полученные для разных однотипных объектов (фирм, регионов). При этом все данные относятся к одному и тому же моменту времени, либо их временная принадлежность несущественна. Например, данные бюджетных обследований населения в определенный момент времени.

Временные ряды – это данные, характеризующие один и тот же объект, но в различные моменты времени. Например, данные о динамике уровня инфляции за определенный период. Отличительной чертой временных данных является то, что они естественным образом упорядочены по времени, кроме того, наблюдения в близкие моменты времени часто бывают зависимыми. В результате, например, связях таких экономических показателей могут присутствовать задержки (временные лаги). Все это обуславливает необходимость специальных методов обработки и анализа временных рядов по сравнению с пространственными данными.

Любые экономические данные представляют собой количественные характеристики каких-либо экономических объектов. Они формируются под действием множества факторов, не все из которых доступны внешнему контролю. Неконтролируемые факторы могут принимать случайные значения из некоторого множества значений и тем самым обусловливать случайность данных, которые они определяют. Стохастическая природа экономических данных обуславливает необходимость применения специальных адекватных им статистических методов для их анализа и обработки.

Основным элементом эконометрического исследования является анализ и построение взаимосвязей эконометрических переменных. Изучение таких взаимосвязей осложнено тем, что они, особенно в макроэкономике, не всегда являются строгими функциональными зависимостями. Во-первых, всегда очень трудно выявить все основные факторы, влияющие на данную переменную. Во-вторых, многие такие воздействия являются случайными, т.е. содержат случайную составляющую. В-третьих, экономисты, как правило, располагают ограниченным набором статистических наблюдений, которые к тому же содержат различного рода ошибки. Эконометрика позволяет строить экономические модели и оценивать их параметры, проверять гипотезы о свойствах экономических показателей и формах их связи, что, в конечном счете, служит основой для экономического анализа и прогнозирования, создавая базу для принятия обоснованных экономических решений.

Обычно полагают, что все факторы, не учтенные явно в экономической модели, оказывают на объект некоторое результирующее воздействие, величина которого не известна заранее и может быть описана как случайная величина. Для ее описания в модель добавляют (обычно аддитивным образом) случайный параметр e, интегрирующий в себе влияние всех неучтенных явно факторов. Например, в модели спроса

,

(q – количество блага, p – цена, I – доход потребителя) переменная e учитывает влияние всех прочих факторов (цен на другие товары, изменений моды, погоды и т.д.), не учтенных явно в функции спроса.

Введение случайной компоненты в эконометрическую модель приводит к тому, что взаимосвязь остальных ее переменных перестает быть строго детерминированной и становится стохастической, что и наблюдается в действительности. Это отчасти делает модель доступной для эмпирической проверки на основе статистических данных о конкретном экономическом объекте. Проверить экономическую модель – это значит, в первую очередь, определить насколько она согласуется с реальными данными об изучаемом объекте. Для этого по эмпирическим данным вычисляются различные статистические характеристики, позволяющие оценить количественно параметры модели, проанализировать надежность этих оценок, проверить различные гипотезы, лежащие в основе исследуемой модели.

Можно выделить три основных класса моделей, применяемых в эконометрике: регрессионные модели с одним уравнением, системы одновременных уравнений, модели временных рядов.

В регрессионных моделях зависимая (объясняемая) переменная y представляется в виде функции , где  – независимые (объясняющие) переменные, а  – параметры. В зависимости от вида функции  модели делятся на линейные и нелинейные. Область применения таких моделей очень широкая, можно сказать, что эта тема является стержневой в эконометрике и основной в курсе эконометрики.

Системы одновременных уравнений состоят из тождеств и регрессионных уравнений. Особенностью этих систем является то, что каждое из уравнений системы, кроме "своих" объясняющих переменных, может включать объясняемые переменные других переменных. Таким образом, мы имеем не одну зависимую переменную, а набор зависимых переменных, связанных уравнениями системы. Системы одновременных уравнений наиболее полно описывают экономический объект. Заметим, что здесь в качестве эндогенных и экзогенных переменных могут выступать лаговые (взятые в предыдущий момент времени) переменные.

К моделям временных рядов относятся модели, построенные на основе данных временных рядов. Временной ряд – это совокупность значений какого-либо показателя за несколько последовательных моментов или периодов времени. К моделям временных рядов относятся множество сложных моделей, таких, как модели адаптивного прогноза, модели авторегрессии и скользящего среднего и др.

Для пояснения сущности именно эконометрической модели и описания основных возникающих при ее построении и анализе проблем удобно разбить весь процесс моделирования на шесть основных этапов: постановочный, априорный, этап параметризации, информационный, этапы идентификации и верификации.

1-й этап (постановочный). Формулируется цель исследования, набор участвующих в модели экономических переменных.

В качестве цели эконометрического моделирования обычно рассматривают анализ исследуемого экономического объекта (процесса); прогноз его экономических показателей, имитацию развития объекта при различных значениях экзогенных переменных (отражая их случайный характер, изменение во времени), выработку управленческих решений.

При выборе экономических переменных необходимо теоретическое обоснование каждой переменной (при этом рекомендуется, чтобы число их было не очень большим и, как минимум, в несколько раз меньше числа наблюдений). Объясняющие переменные не должны быть связаны функциональной или тесной корреляционной зависимостью, т.к. это может привести к невозможности оценки параметров модели или к получению неустойчивых, не имеющим реального смысла оценок, т.е. к явлению мультиколлинеарности.

Забегая вперед, отметим, что для отбора переменных могут быть использованы различные методы, в частности процедуры пошагового отбора переменных. А для оценки влияния качественных признаков могут быть использованы фиктивные переменные. Но в любом случае определяющим при включении в модель тех или иных переменных является экономический (качественный) анализ исследуемого объекта.

2-й этап (априорный). Проводится анализ сущности изучаемого объекта, формирование и формализация априорной (известной до начала моделирования) информации.

3-й этап (параметризация). Осуществляется непосредственное моделирование, т.е. выбор общего вида модели, выявление входящих в нее связей. Основная задача, решаемая на этом этапе, – выбор вида регрессионной функции f(x) в экономической модели, в частности, возможности использования линейной модели как наиболее простой и надежной.

Весьма важной проблемой на этом этапе является проблема спецификации модели, в частности: выражение в математической форме обнаруженных связей и соотношений; установление состава экзогенных и эндогенных переменных, в том числе лаговых; формулировка исходных предпосылок и ограничений модели. От того, насколько удачно решена проблема спецификация модели, в значительной степени зависит успех всего эконометрического моделирования.

4-й этап (информационный). Осуществляется сбор необходимой статистической информации – наблюдаемых значений эконометрических переменных. Здесь могут быть наблюдения, полученные как с участием исследователя, так и без его участия.

5-й этап (идентификация модели). Осуществляется статистический анализ модели и оценка ее параметров. Реализация этого этапа посвящена основная часть курса эконометрики.

6-й этап (верификация модели). Проводится проверка истинности, адекватности модели. Выясняется, насколько удачно решены проблемы спецификации, идентификации и идентифицируемости модели, какова точность расчетов по данной модели, в конечном счете, насколько соответствует построенная модель моделируемому реальному экономическому объекту или процессу.

Математическая модель, в том числе математическая модель экономического явления или процесса, может быть сформулирована на общем (качественном) уровне, без настройки на конкретные статистические данные, т.е. она может иметь смысл и без 4-го и 5-го этапов. Но тогда она не будет эконометрической! Суть именно эконометрической модели заключается в том, что она, будучи представленной в виде набора математических соотношений, описывает функционирование конкретной экономической системы, а не системы вообще. Поэтому она обязательно "настраивается" на конкретные статистические данные, а значит предусматривает обязательную реализацию 4-го и 5-го этапов моделирования.

  1.  

  1.  
    БАЗОВЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
    1. Случайные события и их вероятности

В этой главе приводится краткий обзор основных понятий и результатов теории вероятностей, которые используются в курсе эконометрики.

Теория вероятностей исследует закономерности случайных явлений, изучает случайные величины, оценивает вероятности случайных событий.

Одно из основных понятий теории вероятностей – случайное событие. Под событием понимается любое явление, которое происходит в результате осуществления определенного комплекса условий. В теории вероятностей любое событие рассматривается как результат некоторого эксперимента, т.е. осуществления определенного комплекса условий (синонимами термина эксперимент являются опыт, испытание, наблюдение). В связи с этим часто вместо термина событие используется термин исход. Эксперимент, результат которого не предсказуем заранее в силу различных причин, называется случайным (вероятностным). В частности, любое действие в экономике по своей сути является случайным экспериментом.

Событие, которое может произойти или не произойти в условиях данного эксперимента, называется случайным. Если событие обязательно произойдет в условиях эксперимента, то оно называется достоверным. Событие, называется невозможным, если в условиях данного эксперимента оно никогда не произойдет.

Например, создание какой-либо фирмы в контексте получения прибыли является случайным экспериментом, поскольку результатом такого эксперимента может быть только случайное событие, т.е. прибыль может быть, а может и не быть. То, что спрос на бытовую технику упадет при резком снижении доходов населения, в экономике рассматривается как достоверное событие. То, что увеличение спроса на автомобили приведет к снижению их цены, рассматривается как невозможное событие.

В теории вероятностей события обычно обозначаются большими латинскими буквами, например A, B, C. Достоверное событие обозначается буквой , а невозможное событие – символом .

Следует отметить, что в теории вероятностей рассматриваются только такие эксперименты, которые можно повторить (воспроизвести) при неизменном комплексе условий произвольное число раз (по крайней мере, теоретически). В связи с этим, в теории вероятностей имеют дело с повторением испытаний двух типов: 1) повторение испытаний для одного и того же объекта; 2) испытание многих сходных объектов. Например, можно исследовать продукцию, выпущенную каким-либо одним станком за определенный период времени, а можно исследовать продукцию, выпущенную несколькими одинаковыми станками, но в фиксированный момент времени. С точки зрения теории вероятностей такие серии экспериментов эквивалентны.

Чтобы охарактеризовать вероятность события числом, нужно установить единицу измерения вероятности. Здесь поступают следующим образом: достоверному событию приписывают вероятность, равную единице; невозможному – равную нулю. Таким образом, вероятность P(A) события А должна удовлетворять следующим условиям:

1о. P(A)=1, если Адостоверное событие;

2о. P(A)=0, если Аневозможное событие;

3о. 0<P(A)<1, если Аслучайное событие.

При различных подходах к вероятности, величина P(A) может трактоваться по-разному. В экономических исследованиях часто используются статистическое определение вероятности, т.е. под вероятностью события A понимается величина

,                                                   (2.1)

где под n понимается количество наблюдений результатов эксперимента, в которых событие A встречалось ровно m раз (конечно, число наблюдений n должно быть достаточно большим).

Пример 2.1. Аналитик по инвестициям собирает данные об акциях и отмечает, выплачивались ли по ним дивиденды и увеличивались или нет акции в цене за интересующий его период времени. Собранные данные были представлены в виде таблицы:

Выплата дивидендов

Цена увеличилась

Цена не увеличилась

Итого

Производились

34

78

112

Не производились

85

49

134

Итого

119

127

246

Если акция выбрана случайно из набора в 246 акций, то чему равна вероятность того, что: а) она из числа тех акций, которые увеличились в цене; б) по ней выплачены дивиденды; в) по ней не выплачены дивиденды, и она не выросла в цене.

Решение. Используя статистическое определение вероятности, легко получаем:

а) ;

б) ;

г) .  

В задачах, использующих вероятностные количественные характеристики, приходится по вероятностям одних событий оценивать вероятности других событий. Для этого используются различные соотношения, в основе которых лежат теоремы сложения и умножения вероятностей.

События называются несовместными, если они не могут наблюдаться одновременно в одном и том же эксперименте.

Суммой событий A и B называется событие A+B, состоящее в появлении хотя бы одного из этих событий.

Вероятность суммы несовместных событий A и B равна сумме вероятностей этих событий:

.                                        (2.2)

Пример 2.2. В ходе исследования потребительского рынка проводили опрос потребителей. В частности, один из вопросов касался сорта зубной пасты, которую использует потребитель. Если известно, что 14% населения использует сорт A, а 9% – сорт B, то чему равна вероятность того, что случайно выбранный человек будет использовать одну из двух паст. (Предполагается, что в данный момент человек использует только одну пасту).

Решение. Пусть A – событие, состоящее в том, что выбранный человек использует пасту сорта A, а B – событие, состоящее в том, что выбранный человек использует пасту сорта B. Поскольку события A и B несовместные по условию задачи, то, используя теорему сложения вероятностей (2.2), получим

.

Если появление одного из событий не меняет вероятности появления другого события, то такие события называются независимыми.

Произведением событий A и B называется событие , состоящее в появлении одновременно обоих этих событий.

Вероятность произведения независимых событий A и B равна произведению вероятностей этих событий:

.                                         (2.3)

Пример 2.3. Алмазы, возможно, вскоре станут использовать в качестве полупроводников в спутниках связи. Теория предсказывает, алмазные микросхемы будут более быстродействующими, термо- радиационностойкими, что особенно важно для приборов, работающих в космосе. По оценкам экспертов, вероятности этих трех событий равны 0,9; 0,9 и 0,95 соответственно. Предполагается, что обсуждением проекта по разработке алмазных микросхем стоит вести лишь в том случае, если имеется хотя бы 70% уверенности в том, что они будут обладать всеми тремя указанными свойствами. Должен ли обсуждаться проект?

Решение. Пусть A – событие, состоящее в том, что алмазные микросхемы будут более быстродействующими, B – событие, состоящее в том, что алмазные микросхемы будут более термостойкими, C – событие, состоящее в том, что алмазные микросхемы будут более радиационностойкими. Поскольку события A, B и С независимы, то, используя теорему умножения вероятностей (2.3), получим

.

Таким образом, поскольку 0,7695>0,7, то предложенный проект следует обсуждать.

В ряде случаев вероятности появления одних событий зависят от того, произошло другое событие или нет. Такие события называются зависимыми.

Вероятность события A, вычисленная при условии, что имело место другое событие B, называется условной вероятностью события A и обозначается  или .

Вероятность произведения двух событий A и B равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную при условии, что первое событие уже имело место:

.                            (2.4)

Пример 2.4. Одна из наиболее сложных проблем рыночных исследований – отказ потребителей отвечать на вопросы о потребительских предпочтениях, либо, если опрос проводится по месту жительства, – отсутствие их дома на момент опроса. Предположим, что исследователь рынка с вероятностью в 0,94 верит, респондент согласится отвечать на вопросы анкеты, если окажется дома. Он также полагает, что вероятность того, что этот человек будет дома, равна 0,65. Имея такие данные, оцените процент заполненных анкет.

Решение. Пусть A – событие того, что респондент окажется дома. Вероятность этого события . Пусть B – событие того, что респондент согласится отвечать на вопросы. По условию задачи задана условная вероятность , т.е. вероятность того, что он согласится отвечать на вопросы, если он будет дома. Тогда, согласно теореме умножения вероятностей зависимых событий (2.4), вероятность того, что человек будет дома и согласится отвечать на вопросы, будет равна

,

т.е. процент заполненных анкет будет равен 61%.

Вероятность суммы совместных событий A и B равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления:

.                                 (2.5)

Пример 2.5. Вероятность того, что покупатель, собирающийся приобрести компьютер и пакет прикладных программ, приобретет только компьютер, равна 0,15. Вероятность того, что покупатель купит только пакет программ, равна 0,1. Вероятность того, что будут куплены и компьютер и пакет программ, равна 0,05. Чему равна вероятность того, что будут куплены или компьютер, или пакет программ, или компьютер и пакет программ вместе?

Решение. Пусть A – событие того, что покупатель приобретет компьютер, B – событие того, что покупатель приобретет пакет программ, тогда AB – событие того, что покупатель приобретет и компьютер, и пакет программ. Следовательно, вероятность того, что будут куплены или компьютер, или пакет программ, или компьютер и пакет программ вместе, будет равна

.

Два несовместных события A и  называются противоположными, если при эксперименте одно из них обязательно произойдет. Иначе, для противоположных событий справедливы равенства:

,     .

Вероятности противоположных событий связаны соотношением

                                               (2.6)

Вероятность появления хотя бы одного из событий A1, A2,…, An равна разности между единицей и вероятности совместного появления противоположных событий:

.                            (2.7)

Если события A1, A2,…, An независимы и их вероятности одинаковы, т.е.  и , то

.                                  (2.8)

Пример 2.6. Уличный торговец предлагает прохожим иллюстрированную книгу. Из предыдущего опыта ему известно, что в среднем один из 65 прохожих, которым он предлагает книгу, покупают ее. В течение некоторого промежутка времени он предложил книгу 20 прохожим. Чему равна вероятность того, что он продаст им хотя бы одну книгу?

Решение. Пусть Ai – событие того, что i-й прохожий купит книгу. Вероятность этого события , а противоположного события . Тогда вероятность того, что хотя бы один из 20 прохожих купят книгу, будет равна

.

Если событие B может произойти только с одним из несовместных событий A1, A2,…, An, образующих полную группу, т.е. , то вероятность события B может быть найдена по формуле полной вероятности:

.                (2.9)

Пример 2.7. Вероятность того, что новый товар будет пользоваться спросом на рынке, если конкурент не выпустит в продажу аналогичный продукт, равна 0,67. Вероятность того, что товар будет пользоваться спросом при наличии на рынке конкурирующего товара, равна 0,42. Вероятность того, что конкурирующая фирма выпустит аналогичный товар на рынок в течение интересующего нас периода, равна 0,35. Чему равна вероятность того, товар будет иметь успех?

Решение. Пусть A1 – событие того, что конкурент выпустит в продажу аналогичный продукт, A2 – событие того, что конкурент не выпустит в продажу аналогичный продукт. Поскольку эти события несовместные и образуют полную группу, то  и . По условию задачи  и . В результате по формуле полной вероятности (2.9) находим

.

  1. Случайные величины и их характеристики

Понятие случайной величины является одним из центральных понятий теории вероятностей. Под случайной величиной понимается величина, принимающая в результате испытания то или иное (но при этом только одно) возможное значение, заранее не известное, меняющееся от испытания к испытанию и зависящее от случайных обстоятельств. Случайная величина характеризует все возможные результаты случайного эксперимента с количественной стороны, однако, нельзя достоверно предсказать, какое именно значение при этом она примет.

Случайные величины обозначают обычно большими латинскими буквами, например X, Y, Z, или малыми греческими буквами, например , , , а их возможные значения – малыми латинскими буквами, например x, y, z.

Случайные величины могут быть дискретными и непрерывными. Дискретной случайной величиной (ДСВ) называют такую величину, которая принимает отдельные, изолированные значения с определенными вероятностями. Непрерывной случайной величиной (НСВ) называют такую величину, которая может принимать любое значение из некоторого конечного или бесконечного числового промежутка.

Например, можно считать, что число покупателей в магазине, побывавших там в течение дня, число автомобилей, ремонтируемых еженедельно в данной мастерской, число пассажиров, находящихся в аэропорту, являются ДСВ. Курс валют, доход, объем ВНП и т.п. обычно рассматриваются как НСВ.

Для описания случайной величины используется функция распределения – функция F(x), которая определяет вероятность того, что случайная величина X примет значение меньше, чем x, т.е.

.                                                (2.10)

На рис. 2.1 изображены характерные графики функций распределения ДСВ (рис. 2.1а) и НСВ (рис. 2б).

Из определения функции распределения вытекают следующие ее свойства:

10. Функция распределения F(x) есть неотрицательная функция, заключенная между нулем и единицей: .

20. Функция распределения F(x) есть неубывающая функция, т.е. .

30. Функция распределения F(x) изменяется от 0 до 1 при изменении x от– до +:

,     .

Для описания ДСВ на практике обычно используется закон распределения (или ряд распределения) вероятностей случайной величины – это когда каждому возможному значению случайной величины ставится в соответствие некоторая вероятность.

Закон распределения обычно записывают в виде таблицы:

X

x1

x2

xk

P

p1

p2

pk

Обычно . Обязательно .

Пример 2.8. Доход от некоторого рискованного бизнеса составляет сумму около 1000 у.е. с заданным законом распределения (знак минус означает убыток):

X

–2000

–1000

0

1000

2000

3000

P

0,1

0,1

0,2

0,2

0,3

0,1

Какой наиболее вероятностный денежный доход рискованного бизнеса? Является ли этот риск вероятностно-успешным?

Решение. Поскольку сумма всех вероятностей

0,1+0,1+0,2+0,2+0,3+0,1=1,

то представленный ряд действительно является законом распределения вероятностей случайной величины X. Наиболее вероятностный денежный доход этого бизнеса равен 2000, т.к. вероятность этого события P(X=2000)=0,3 наибольшая. Вероятность получить прибыль в этом бизнесе равна P(X>0)=0,2+0,3+0,1=0,6, а вероятность оказаться в убытке равна P(X<0)=0,1+0,1=0,2. Таким образом, этот рискованной бизнес является вероятностно-успешным.

Для описания НСВ на практике обычно используется плотность распределения вероятностей случайной величины:

.                                               (2.11)

Из определения плотности распределения вытекают следующие ее свойства:

10. .

30. .

20. .

40. .

Можно отметить, что для НСВ справедливы равенства

.

Пример 2.9. Пусть плотность распределения случайной величины X имеет вид

.

Найти значение постоянной C. Чему равна вероятность того, что данная случайная величина примет значение, лежащее на интервале (0;1)?

Решение. Чтобы функция f(x) была плотностью распределения, должны выполняться два условия: 10 и 20. Из первого условия имеем C0. По второму условию интеграл

должен быть равен 1. Отсюда C=1.

Искомая вероятность может быть найдена при помощи свойства 30. В нашем случае

. 

Функция распределения содержит достаточно полную информацию о случайной величине. Действительно, функция распределения одновременно указывает на то, какие значения может принимать случайная величина и с какими вероятностями. Однако судить об основных особенностях случайной величины только по виду функции распределения довольно трудно. Еще труднее сравнивать случайные величины. В связи с этим вводят более простые характеристики случайной величины, определяемые только одним числом. Хотя числовые характеристики не дают полного представления о случайной величине, однако они в сжатой форме выражают наиболее важные черты распределения.

Условно числовые характеристики разделяют на два класса: характеристики положения (математическое ожидание, мода, медиана, начальные моменты) и характеристики рассеивания (дисперсия, среднее квадратичное отклонение, центральные моменты). Важнейшими из них являются математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратичное отклонение.

Математическое ожидание характеризует среднее ожидаемое значение случайной величины, т.е. приближенно равно ее среднему значению. Для решения многих задач достаточно знать эту величину. Например, при оценивании покупательской способности населения вполне может хватить знания среднего дохода. При анализе выгодности двух видов деятельности можно ограничиться сравнением их средних прибыльностей.

Математическое ожидание ДСВ определяется следующим образом

.                        (2.12)

Математическое ожидание НСВ находится по формуле

.                                     (2.13)

Из определения математического ожидания вытекают следующие ее свойства:

10. , где С – постоянная величина.

20. .

30. .

40. , если X и Y – независимые случайные величины.

Для дальнейшего анализа случайных величин знания одного лишь математического ожидания недостаточно. Существуют отличные друг от друга случайные величины, имеющие одинаковые математические ожидания. Например, средний уровень жизни в Швеции и США приблизительно одинаков, однако разброс в доходах в этих странах существенно отличается. Акции двух компаний могут приносить в среднем одинаковые дивиденды, однако вложение денег в одну из них может быть гораздо более рискованной операцией, чем в другую. Следовательно, нужна числовая характеристика, которая оценивает разброс возможных значений случайной величины относительно ее математического ожидания. Такой наиболее распространенной характеристикой является дисперсия.

Дисперсией называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания:

,                                             (2.14)

где . Раскрыв скобки и используя свойства математического ожидания, получим формулу, которая довольно часто используется для вычисления дисперсии:

,                                            (2.15)

Из определения дисперсии вытекают следующие ее свойства:

10. , где С – постоянная величина.

20. .

30. , если X и Y – независимые случайные величины.

Дисперсия имеет размерность, равную квадрату размерности случайной величины, что не всегда удобно при исследовании случайной величины. Для того чтобы представить разброс значений случайной величины в тех же единицах, что и сама случайная величина, вводится числовая характеристика – среднее квадратичное отклонение.

Средним квадратичным отклонением (СКО) называется квадратный корень из дисперсии:

.                                              (2.16)

Чтобы оценить разброс значений случайной величины в процентах относительно ее среднего значения, вводится коэффициент вариации, рассчитываемый по формуле:

.                                        (2.17)

Пример 2.10. По данным примера 2.8 определить, чему равен на длительный период средний доход от рассмотренного бизнеса? Какова мера риска вложений в такое предприятие?

Решение. Средний доход от рассмотренного бизнеса за длительный период равен математическому ожиданию:

 у.е.

Мерой риска вложений в рискованное предприятие может служить среднее квадратичное отклонение. Вычислим дисперсию по формуле (2.15), предварительно найдем

.

Тогда

.

Следовательно, СКО будет равна

 у.е.

Коэффициент вариации в данном случае равен

.

Таким образом, разброс значений случайной величины достаточно большой, следовательно, рассматриваемый бизнес имеет очень высокий уровень риска. 

Пример 2.11. По данным примера 2.9 вычислить математическое ожидание и дисперсию?

Решение. По определению

.

Однако этот интеграл равен нулю, т.к. подынтегральная функция является нечетной. Таким образом

.

Вычислим теперь

.

Применяя интегрирование по частям, получим

.

Таким образом, дисперсия будет равна

. 

  1. Нормальное распределение и его значение

Большинство случайных величин подчиняется определенному закону распределения, зная который можно предвидеть вероятности попадания исследуемой случайной величины в определенный интервал. Такое предсказание весьма желательно при анализе экономических показателей, ведь в этом случае появляется возможность осуществить продуманную политику с учетом возможности возникновения той или иной ситуации. Законов распределения достаточно много, поэтому мы ограничимся рассмотрением лишь тех законов, которые наиболее активно встречаются в экономической теории, особенно в эконометрике.

Одним из наиболее часто встречающихся распределений является нормальное распределение (его еще называют распределением Лапласа-Гаусса, или просто распределением Гаусса.). Оно играет огромную роль в теории вероятностей и ее приложениях.

Плотность нормального распределения имеет вид

,                                     (2.18)

а функция нормального распределения имеет вид

.                        (2.19)

Если a=0, s=1, то получим

,                                     (2.20)

                             (2.21)

стандартное нормальное распределение. Эту функцию можно записать в виде

,

где

                                        (2.22)

есть функция Лапласа.

Между произвольной функцией нормального распределения и стандартным распределением (соответственно и функцией Лапласа) существует взаимосвязь:

.                               (2.23)

Для плотности нормального распределения имеем

.                                               (2.24)

Для плотности стандартного нормального распределения j(x) и функции Лапласа F(x) существуют обширные таблицы. Однако здесь нужно иметь в виду, что иногда вместо рассмотренных функций используют функци.

.

Отметим, что для нормального распределения

M[X] = a,       D[X] = s2,

т.е. нормальное распределение характеризуется двумя параметрами: a, имеющим смысл математического ожидания, и s, имеющим смысл среднего квадратичного отклонения.

Вероятность того, что нормально распределенная случайная величина X примет значение, принадлежащее интервалу (a, b), имеет вид

.                          (2.25)

Вероятность того, что отклонение случайной величины X от математического ожидания по абсолютной величине меньше заданного положительного числа d, равна

.                                      (2.26)

В частности, если d=3s, то

P(|Xa|<3s) = 2F(3) = 0,9973.

Это равенство показывает, что во многих практических вопросах при рассмотрении нормального распределения можно пренебречь возможностью отклонения случайной величины от a больше, чем 3s. Это есть т.н. правило «трех сигм».

Например, каждому кто занимался измерениями, встречался с ситуацией, когда появляется «дикое значение». В связи с этим возникает проблема: исключать это значение или его следует оставить. Так, при разработке норматива времени для изготовления одной детали проделали следующие измерения: 5,0; 4,8; 5,2; 5,3; 5,0; 6,1. Последнее число сильно отличается от других. В связи с этим возникает вопрос, не скрыта ли здесь ошибка в измерениях. Вычислим среднее значение  и среднее квадратичное отклонение s=0,46. После этого построим «трехсигмовый» интервал: (4,84; 6,61). Поскольку значение x=6,1 не выходит за пределы трехсигмовой зоны, то его нельзя считать «диким».

Пример 2.12. Рост мужчин определенной возрастной категории описывается нормальным закон распределения с математическим ожиданием a=165 см и средним квадратичным отклонением s=5 см. Какую долю костюмов 3-го роста (170-176 см) следует предусмотреть в общем объеме производства для данной возрастной категории?

Решение. Пусть X – рост в сантиметрах представителя данной возрастной категории. Тогда по формуле (2.46), где a=170 см и b=176 см, находим

.

Далее, по таблицам для функции Лапласа, находим

и .

Отметим, что функция Лапласа является нечетной функцией, т.е. . В результате получаем

,

т.е. доля костюмов 3-го роста должна составлять приблизительно 14,5% общего объема производства для данной категории мужчин. 

Пример 2.13. Коробки с конфетами упаковываются автоматически. Вес коробки – нормально распределенная случайная величина. Известно, что их средний вес равен 540 г, а также что 5% коробок имеют вес, меньший 500 г. Каков процент коробок, вес которых отличается от среднего не более чем на 30 г по абсолютной величине?

Решение. Пусть X – вес коробки, имеющий нормальное распределение с известным параметром a=540 неизвестным параметром s. Среднее квадратичное отклонение s найдем из условия . Поскольку X – нормально распределенная величина, то

.

В результате получаем

.

Тогда

.

Таким образом, приблизительно у 78% коробок вес отличается от среднего значения 540 г не более чем на 30 г. 

Отметим еще одно важное свойство нормального распределения: линейная комбинация произвольного числа нормальных случайных величин имеет нормальное распределение. При этом, если  и  – независимые случайные величины, то , где  и .

При изучении теории вероятностей приходится использовать понятия случайного события и случайной величины. При этом нельзя уверенно заранее предсказать результат испытания, в котором может появиться или не появится то или иное событие. Однако при неоднократном повторении испытаний могут наблюдаться определенные закономерности. Суть этих закономерностей заключается в свойстве устойчивости: некоторые характеристики случайных событий и случайных величин при неограниченном увеличении числа испытаний становятся практически не случайными.

Например, любой газ состоит из огромного числа молекул, находящихся в непрерывном хаотическом движении (броуновском движении). Про каждую отдельную молекулу нельзя сказать, с какой скоростью она будет двигаться и в каком направлении. Однако основные характеристики газа – давление, температура, вязкость и др. – определяются не замысловатым поведением одной молекулы, а их совокупным действием. Так, давление газа равно суммарному воздействию молекул, ударившихся о пластину единичной площади в единицу времени. Число ударов и скорости ударившихся молекул меняются от случая к случаю, однако в силу «закона больших чисел» давление – величина постоянная, что подтверждается в физических экспериментах с очень большой точностью.

Для практики очень важно знание условий, при выполнении которых совокупное действие очень многих случайных причин приводит к неслучайному результату. Эти условия указываются в теоремах, носящих название предельных. По смыслу их можно разбить на две группы, одна из которых называется законом больших чисел, а другая – центральной предельной теоремой.

Под законом больших чисел не следует понимать какой-то один общий закон, связанный с большими числами. Закон больших чисел – это обобщенное название нескольких теорем, из которых следует, что при неограниченном увеличении числа испытаний средние величины стремятся к некоторым постоянным величинам. Другими словами, закон больших чисел – это общий принцип, в силу которого совместное действие случайных факторов приводит, при весьма общих условиях, к результату, почти не зависящему от случая и может быть предсказан с большой долей определенности.

Существует много различных теорем, относящихся к группе теорем, носящих название «закона больших чисел». Наиболее важная из них – это теорема Чебышева:

При неограниченном увеличении числа n независимых испытаний «средняя арифметическая наблюдаемых значений случайной величины сходится по вероятности к ее математическому ожиданию»1, т.е. для любого положительного e

.                                      (2.27)

Выражение (2.27), т.е. «сходимость по вероятности», мы также будем обозначать следующим образом

Итак, хотя отдельные значения случайной величины могут принимать значения, далекие от математического ожидания, средняя арифметическая наблюдаемых значений этой случайной величины с возрастанием n с вероятностью, близкой к 1, принимает значения, близкие к постоянному числу, равному математическому ожиданию.

Из теоремы Чебышева вытекает весьма важный практический вывод. Он состоит в том, что неизвестное нам значение математического ожидания случайной величины мы вправе заменить средним арифметическим значением, полученным по достаточно большому числу опытов. При этом, чем больше проведено опытов для вычисления, тем с большей вероятностью (надежностью) можно ожидать, что связанная с этой заменой ошибка  не превзойдет заданную величину e. Отметим, что закон больших чисел является обоснованием выборочного метода, являющегося одним из основным методов статистики.

Теоремы закона больших чисел касаются вопросов приближения некоторых случайных величин к определенным предельным значениям, независимо от их закона распределения. Другая группа теорем, относящихся к центральной предельной теореме, устанавливают связь между законом распределения суммы случайных величин и нормальным распределением. Суть центральной предельной теоремы заключается в следующем:

Если случайная величина X представляет собой сумму очень большого числа независимых случайных величин, влияние каждой из которых на всю сумму ничтожно мало, то X имеет распределение, близкое к нормальному.

Исключительная важность центральной предельной теоремы объясняется тем, что она дает теоретическое объяснение следующему, многократно подтвержденному практикой, наблюдению: если исход случайного эксперимента определяется большим числом случайных факторов, влияние каждого из которых пренебрежимо мало, то такой эксперимент хорошо аппроксимируется нормальным распределением с соответствующим образом подобранными математическим ожиданием и дисперсией.

Центральная предельная теорема имеет огромное практическое значение, поскольку многие случайные величины можно рассматривать как сумму отдельных независимых слагаемых. Например, ошибки различных измерений, отклонения размеров деталей, изготовляемых при неизменном технологическом режиме, распределение числа продаж некоторого товара, объемов прибыли от реализации однородного товара различными производителями, валютные курсы, рост, вес животных и растений данного вида, отклонения точки падения снаряда от цели и т.д. могут рассматриваться как суммарный результат большого числа слагаемых и потому приближенно следовать нормальному закону распределения.

Приведем две простейшие теоремы, относящиеся к центральным предельным теоремам. Пусть {Xn} – последовательность взаимно независимых случайных величин, имеющих конечные математические ожидания M[Xi]=ai и дисперсии D[Xi]=si2. Введем обозначение .

Теорема Ляпунова. Если для последовательности взаимно независимых случайных величин {Xn} выполняется условие (условие Ляпунова):

,                                        (2.28)

то для функции распределения Fn(x) нормированной суммы

                                         (2.29)

имеет место равенство

.

Более простой вид имеет следующая теорема.

Теорема Леви-Линдеберга. Если независимые случайные величины {Xn} имеют одинаковые функции распределения, где M[Xi]=a, D[Xi]=s2, то функция Fn(x) нормированной суммы:

                                       (2.30)

имеет место равенство

.

Дополнение 1.
ИСТОРИЯ РАЗВИТИЯ ЭКОНОМЕТРИКИ

Как наука эконометрика прошла сложный путь зарождения и выделения в самостоятельную область знания. Первые работы по эконометрике появились в конце XIX-начале XX веков. В 1897 г. появилась работа одного из основателей математической школы в экономической теории В. Парето, посвященная статистическому изучению доходов населения в разных странах. В самом начале XX в. вышло несколько работ английского статистика Гукера, в которых он применил корреляционно-регрессионные методы, разработанные Ч. Пирсоном и его школой, для изучения взаимосвязей экономических показателей, в частности – влияния числа банкротств на товарной бирже на цену зерна. В дальнейшем появилось огромное число работ как по развитию теории математической статистики, так и по практическому применению этих методов в экономическом анализе. К началу 30-х годов XX в. сложились предпосылки для выделения эконометрики в отдельную науку. К этому времени был накоплен большой материал по использованию математических и статистических методов в экономической теории.

В 1912 г. И. Фишер попытался создать группу ученых для стимулирования развития экономической теории путем ее связи со статистикой и математикой. Но тогда эту группу создать не удалось. В 1930 г. по инициативе И. Фишера (1867-1947), Р. Фриша (1895-1973), Я. Тинбергера (1903-1995), Й. Шумпетера (1883-1950), О. Андерсена (1887-1960) и других ученых на заседании Американской ассоциации развития науки (США) было создано эконометрическое общество, на котором норвежский ученый Р. Фриш дал новой науке название – "эконометрика". С 1933 г. под редакцией Р. Фриша стал издаваться журнал "Эконометрика", который и сейчас играет важную роль в развитии эконометрической науки. В 1941 г. появился первый учебник по эконометрике, который был создан Я. Тинбергером.

С тех пор эконометрика бурно развивалась. Свидетельством всемирного признания эконометрики стало присуждение премий по эконометрике за разработки в этой области: премия 1969 г. была присуждена Р. Фришу и Я. Тинбергену за разработку математических методов анализа экономических моделей; премия 1980 г.Л. Клейну за создание эконометрических моделей и их применение к анализу экономических колебаний и экономической политике; премия 1981 г.Дж. Тобин за анализ финансовых рынков и их взаимосвязи с расходами, занятостью и ценами; его главный вклад в эконометрику состоит в создании регрессии с цензурированной зависимой переменной, которую по его имени называют тобит.

Премия 1989 г.Т. Хаавельмо за прояснение вероятностных основ эконометрики и анализ одновременных экономических структур. Он продемонстрировал, что если формулировать экономические теории в терминах теории вероятностей, то можно применять методы статистического оценивания для проверки экономических теорий и использования их в прогнозировании. Он также указал, что из-за взаимосвязи экономических переменных следует оценивать такие соотношения как систему (т.е. использовать системы одновременных уравнений).

Премия 1995 г.Р. Лукас за развитие и применение гипотезы рациональных ожиданий и трансформацию макроэкономического анализа с помощью этой гипотезы. Основной вклад Лукаса в эконометрику получил название «критики Лукаса». Он показал, что обычные способы оценивания макроэкономических функций, описывающих поведение неправительственного сектора экономики, дают неадекватные результаты из-за применения режимов экономической политики. Он также предложил способ решения этой проблемы.

Премия 2000 г.Дж. Хекману за развитие теории и методов анализа селективных выборок и Д. Макфаддену за развитие теории и методов анализа моделей дискретного выбора, т.е. выбора решения из конечного числа альтернатив.

Премия 2003 г.Р. Энглу за методу анализа экономических временных рядов с меняющейся волативностью и К. Грейнджер за методы анализа экономических временных рядов с общими трендами (коинтеграция). Грейнждер создал метод статистического анализа, позволяющий отслеживать потенциальные долгосрочные связи, скрытые краткосрочными колебаниями. Он ввел термин «коинтеграция» для обозначения стационарной комбинации нестационарных переменных. Грейджер и Энгл разработали методы для практического приложения концепции коинтеграции. Предложенные Энглом методы учёта волатильности получили наиболее широкое применение при анализе финансовых рынков.

Широкому внедрению эконометрических методов способствовало появление во второй половине XX в. электронных вычислительных машин и в частности персональных компьютеров. Компьютерные эконометрические пакеты сделали эти методы более доступными и наглядными, т.к. наиболее трудоемкую (рутинную) работу по расчету различных статистик, параметров, характеристик, построению таблиц и графиков в основном стал выполнять компьютер.

Дополнение 2.
ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ, СВЯЗАННЫХ С НОРМАЛЬНЫМ

Распределение Пирсона (2-распределение)

Пусть независимые случайные величины U1, U2, …, Uk описываются стандартным нормальным распределением: . Тогда распределение суммы квадратов этих величин

                                     (2.31)

называется 2 распределением Пирсона с k степенями свободы (читается «хи-квадрат»). В явном виде плотность функции этого распределения имеет вид

                                     (2.32)

где  – гамма-функция; в частности, G(n+1)=n!.

Распределение Пирсона определяется одним параметром – числом степеней свободы k. Числовые характеристики распределения Пирсона:

Если случайные величины 2(k1) и 2(k2) независимы, то

.

Отметим, что с увеличением числа степеней свободы распределение Пирсона постепенно приближается к нормальному.

Распределение Пирсона применяется для нахождения интервальных оценок и проверки статистических гипотез. При этом активно используется таблица критических точек 2-распределения. В таблицах для распределения Пирсона обычно в левом столбце приведены различные числа степеней свободы k. В верхней строчке указаны вероятности (уровни значимости) a попадания рассматриваемой величины в «правый хвост» распределения 2 (см. рис. 2.2,а).

     

Критическая точка  отыскивается на пересечении столбца с заданной вероятностью a и строки, соответствующей числу степеней свободы k. Например, . Другими словами, . Отметим, что часто таблицы приводятся для двусторонних критических точек  и . В этом случае предполагается, что вероятности попадания рассматриваемой случайной величины c2 в оба «хвоста» распределения одинаковы и равны половине уровня значимости a, т.е. a/2 (рис.2.2,б).

Распределение Стьюдента (t-распределение)

Пусть U –стандартная нормально распределенная случайная величина, U=N(0,1), а 2 – случайная величина, имеющая 2-распределение с k степенями свободы, причем U и 2 независимые величины. Тогда распределение величины

                                                   (2.33)

называется распределением Стьюдента (t-распределением) с k степенями свободы. В явном виде плотность функции распределения Стьюдента имеет вид

                         (2.34)

Числовые характеристики распределения Стьюдента:

Отметим, что с возрастанием числа степеней свободы распределение Стьюдента быстро приближается к нормальному, причем при n>30 распределение Стьюдента

Распределение Стьюдента применяется для нахождения интервальных оценок, а также при проверке статистических гипотез. При этом активно используется таблица критических точек распределения Стьюдента. В таблицах для распределения Стьюдента обычно в левом столбце указаны числа степеней свободы k, а в верхней строчке – вероятности (уровни значимости) a попадания рассматриваемой величины в «правый хвост» распределения Стьюдента (см. рис. 2.3,а).

     

Критическая точка  отыскивается на пересечении столбца с заданной вероятностью a и строки, соответствующей числу степеней свободы k. Например, . Другими словами, .

Отметим, что иногда таблицы распределения Стьюдента приводятся для двусторонних критических точек , определяемых из условия  (рис.2.3,б).

Распределение Фишера (F-распределение)

Пусть 2(k1) и 2(k2) – независимые случайные величины, имеющие 2-распределение соответственно с k1 и k2 степенями свободы. Распределение величины

                                            (2.35)

называется распределением Фишера (F-распределением) со степенями свободы k1 и k2. В явном виде плотность распределения Фишера имеет вид

                     (2.38)6

Распределение Фишера определяется двумя параметрами – числами степеней свободы k1 и k2. Числовые характеристики распределения Фишера:

Отметим, что между случайными величинами, имеющими нормальное распределение, распределение Пирсона, Стьюдента и Фишера, имеют место соотношения:

Распределение Фишер используется при проверке статистических гипотез, в дисперсионном и регрессионном анализах. При этом активно используется таблица критических точек распределения Фишера. Таблицы критических точек распределения Фишера обычно приводятся для различных значений вероятности (уровня значимости) a попадания рассматриваемой величины в «правый хвост» распределения Фишера (см. рис. 2.4).

Критическая точка  отыскивается в таблице с заданной вероятностью a на пересечении столбца и строки, соответствующих числам степеней свободы k1 и k2. Например, . Другими словами, .

Логнормальное распределение

Непрерывная случайная величина X имеет логарифмически-нормальное (сокращено логнормальное) распределение, если ее логарифм подчинен нормальному распределению. Плотность логнормального распределения имеет вид

                                        (2.37)

Для логнормально распределенной случайной величины X

.                                     (2.38)

Логнормальное распределение используется для описания распределения доходов, банковских вкладов, месячной заработной платы, посевных площадей под разные культуры, долговечных изделий в режиме износа и старения и т.д.


ЛЕКЦИЯ 1                                                                                                                          3

Глава 1. ОСНОВНЫЕ АСПЕКТЫ  ЭКОНОМЕТРИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ    3

§1.1. Предмет эконометрики                                                                                                    3

§1.2. Эконометрическое моделирование                                                                                        4

Глава 2. БАЗОВЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ                                         7

§2.1. Случайные события и их вероятности                                                                            7

§2.2. Случайные величины и их характеристики                                                                          11

§2.3. Нормальное распределение и его значение                                                                          15

Дополнение 1. История развития эконометрике                                                                          20

Дополнение 2. Законы распределения, связанные с нормальным                                       22

1 Смысл выражения « сходится по вероятности к a» заключается в том, что вероятность того, что  будет сколь угодно мало отличаться от a, неограниченно приближается к единице с ростом числа n.

PAGE  24

Глава 2. БАЗОВЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

43517. Проектирование цифрового счетчика 454 KB
  Дополнительные требования: предусмотреть управление реверсом и индикацию направления счета Теоретическая часть Счетчиком называется последовательное устройство предназначенное для счета входных импульсов и фиксации их числа в двоичном коде. В цифровых схемах счетчики могут выполнять следующие микрооперации над кодовыми словами: 1 установка в исходное состояние запись нулевого кода; 2 запись входной информации в параллельной форме; 3 хранение информации; 4 выдача хранимой информации в параллельной форме; 5 инкремент ...
43518. Развитие коммуникативных способностей личности подростка в процессе обучения искусству 97.5 KB
  Влияние обучения искусству на развитие коммуникативных способностей личности подростка. Изучение театральных основ и развитие личности. Внутренние факторы – это состояние отношение качество личности круг умений и навыков которые необходимы в общении.
43519. Технологические процессы и оборудование 468 KB
  Котёл предназначен для получения горячей воды с температурой до 150° С и давлением 2,25 МПа в отдельно стоящих котельных для использования в системах отопления, вентиляции и горячего водоснабжения объектов промышленного и бытового назначений и на ТЭЦ в качестве пиково-резервных источников тепла.
43520. Технология производства хлористого калия методом растворения-кристаллизации 426 KB
  Осветление горячего насыщенного щелока от глинистых и солевых частиц. Охлаждение осветленного насыщенного щелока за счет самоиспарения под вакуумом и кристаллизация хлористого калия. Сгущение хлоркалиевой пульпы с целью отделения основной массы маточного щелока от кристаллов хлористого калия. Нагрев растворяющего щелока.
43521. НАПРЯМИ ТА ПРОПОЗИЦІЇ ЩОДО ВДОСКОНАЛЕННЯ ПРОФЕСІЙНОГО ПІДБОРУ ПЕРСОНАЛУ НА ПІДПРИЄМСТВІ 276.5 KB
  Якщо чисельність персоналу менша від нормативної, кадрового потенціалу стає недостатньо для розв’язання нагальних проблем розвитку організації. Планові перетворення виробничої та управлінської бази організації в цьому разі не забезпечуються достатньою професійною й інтелектуальною підтримкою наявних кадрів.
43522. Оценка эффективности затрат на предупреждение аварии и обучение нештатных АСФ 521 KB
  Основная причина и прогнозирование масштаба аварии. Технологический способ локализации аварии. Расчет сил и средств локализации аварии. Задание на учение и решение руководителя по ликвидации аварии.
43523. Облік операцій з фінансової оренди (лізингу) підприємства 816.5 KB
  Виходячи з вищесказаного була вибрана тема курсової роботи – Облік операцій з фінансової оренди лізингу підприємства. Тема оренди та лізингу є однією з найбільш актуальних як для великих підприємств так і для невеликих фірм. Оскільки подібні угоди не допускають можливості дострокового припинення оренди правильне визначення величини періодичної плати забезпечує власникові повне відшкодування...
43524. Расчёт и конструирование асинхронных двигателей 730 KB
  Расчёт обмоток статора Расчёт размеров зубцовой зоны статора и воздушного зазора Сердечники статора и ротора собраны из штампованных листов электротехнической стали толщиной Обмотка короткозамкнутого ротора и закорачивающие кольца выполняются алюминиевыми обмотка статора медной.
43525. Социальные конфликты современной России 162.5 KB
  Социальная неоднородность общества, различие в уровне доходов, власти, престиже и т.д. нередко приводят к конфликтам. Конфликты являются неотъемлемой частью общественной жизни. Это обуславливает пристальное внимание социологов к исследованию конфликтов.