87770

ОСНОВЫ ФИНАНСОВОЙ МАТЕМАТИКИ

Лекция

Финансы и кредитные отношения

Инвестиционная математика базируется на концепции стоимости денег во времени. Старая пословица о том, что лучше синица в руке, чем журавль в небе, непосредственно касается финансов. Это означает, что сегодня деньги «стоит» больше, чем завтра

Русский

2015-04-22

156 KB

1 чел.

ТЕМА 3: ОСНОВЫ ФИНАНСОВОЙ МАТЕМАТИКИ

ПЛАН

  1.  СТОИМОСТЬ ДЕНЕГ И ВРЕМЯ
  2.  РАСЧЕТ БУДУЩЕЙ И СОВРЕМЕННОЙ СТОИМОСТИ ДЕНЕГ
  3.  РАСЧЕТ СТОИМОСТИ ДЕНЕГ С ПОМОЩЬЮ УЧЕТНОЙ СТАВКИ
  4.  ВЛИЯНИЕ ИНФЛЯЦИИ НА ПРОЦЕНТНУЮ СТАВКУ
  5.  РАСЧЕТ БУДУЩЕЙ И СОВРЕМЕННОЙ СТОИМОСТИ АННУИТЕТА

  1.  СТОИМОСТЬ ДЕНЕГ ВО ВРЕМЕНИ

Инвестиционная математика базируется на концепции стоимости денег во времени. Старая пословица о том, что лучше синица в руке, чем журавль в небе, непосредственно касается финансов. Это означает, что сегодня деньги «стоит» больше, чем завтра. Инвесторы обязательно отдадут предпочтение деньгам, которые есть сегодня, а не тем, что будут завтра, потому что это дает возможность этими деньгами заработать еще денег. Другими словами, доллар сегодня может быть инвестирован и принесет дополнительную прибыль. данный принцип является наиболее важным положением в теории финансов, на нем основан подход к оценке экономической эффективности инвестиционных проектов.

Данный принцип порождает концепцию оценки стоимости денег во времени. Суть концепции состоит в том, что стоимость денег с течением времени изменяется с учетом нормы прибыльности на денежном рынке и рынке ценных бумаг. В качестве нормы прибыльности выступает норма процента или доходность владельцев обычных и привилегированных акций.

Учитывая, что инвестирование представляет собой, как правило, длительный процесс, в инвестиционной практике обычно приходится сравнивать стоимость денег в начале их инвестирования со стоимостью денег при их возврате в виде будущей прибыли. В процессе сравнения стоимости денежных средств при их вложении и возврате принято использовать два основных понятия: настоящая (современная) стоимость денег и будущая стоимость денег.

Будущая стоимость денег представляет собой ту сумму, в которую превратятся инвестированные в настоящий момент денежные средства через определенный период времени с учетом определенной процентной ставки. Определение будущей стоимости денег связано с процессом наращения (compounding) начальной стоимости, который представляет собой поэтапное увеличение вложенной суммы путем присоединения к первоначальному ее размеру суммы процентных платежей.

Наращение стоимости (компаундинг) – процесс приведения настоящей стоимости денег к их будущей стоимости в определенном периоде путем присоединения к их первоначальной стоимости начисленной суммы процентов.

Настоящая (современная) стоимость денег представляет собой сумму будущих денежных поступлений, приведенных к настоящему моменту времени с учетом определенной процентной ставки. Определение настоящей стоимости денег связано с процессом дисконтирования (discounting) будущей стоимости, который представляет собой операцию, обратную наращению. Дисконтирование используется во многих задачах анализа инвестиций. Типичным в данном случае можно считать пример: определить, какую сумму надо инвестировать сейчас, чтобы получить, например, 1000 долл. через 5 лет.

Дисконтирование стоимости – процесс приведения будущей стоимости денег к их настоящей стоимости путем изъятия из их будущей суммы соответствующей суммы процентов (дисконта).

Таким образом, одну и ту же сумму денег можно рассматривать с двух позиций:

  1.  с позиции ее настоящей стоимости;
    1.  с позиции ее будущей стоимости.

Причем арифметически стоимость денег в будущем всегда выше.

Итак, в дальнейшем будем использовать два понятия и два соответствующих обозначения:

PV (Present Value) – современное значение денег;

FV (Future Value) – будущее значение денег.

Между этими двумя суммами простирается временное пространство длиною t

t

                          PV           FV

Формальное соотношение между современным и будущим значением денег можно представить с помощью показателя наращения денег V(t) и W(t). Используя эти показатели, запишем две основные формулы:

  1.  формула наращения денег: FV = PV*V(t);  V(t) – множитель наращения (>0);
  2.  формула дисконтирования:;W(t) – мн-ль дисконтирования

2. РАСЧЕТ БУДУЩЕЙ И СОВРЕМЕННОЙ СТОИМОСТИ ДЕНЕГ

В процессе наращения и дисконтирования денег рассматриваются следующие четыре взаимосвязанных фактора:

  1.  современное значение денег (PV);
  2.  будущее значение денег (FV);
  3.  время, выраженное в днях (t) или количестве периодов (n);
  4.  норма доходности (процентная ставка) – r.

Характер отношения между ними определяется способом начисления доходности или, как чаще говорят – процентов. Различают две схемы начисления процентов: простые и сложные.

Простые проценты. В схеме простых процентов начисление дохода на инвестированную сумму денег осуществляется всегда исходя из начальной суммы инвестиций.

Пусть инвестор разместил на депозитном счете 1000 грн. при процентной ставке 40 простых годовых процентов. В случае, если он не стане снимать деньги со счета, через год он будет иметь:

FV = 1000 + 400 = 1400 грн., а через два года: FV = 1000 + 400 + 400 = 1800 грн.

Таким образом, формула для начисления простых процентов имеет вид:

FVn = PV*(1 + n*r) – время измеряется в годах;

 FVn = PV*(1 + t/365*r) – время измеряется в днях.

Кредитная сделка может производится при изменяющейся процентной ставке. В таком случае существует некая временная решетка процентной ставки:

n1

n2

n3

ni

r1

r2

r3

ri

и наращение будет производиться по формуле:

,

N – общее количество значений в решетке; ni – общее количество периодов, в течение которых действует процентная ставка ri.

Дисконтирование для простых процентов осуществляется по формуле:

Сложные проценты. Сложным процентом называется сумма дохода, которая образуется в результате инвестирования денег при условии, что сумма начисленного процента не выплачивается в конце каждого периода, а присоединяется к сумме основного вклада и в следующем платежном периоде приносит доход.

Для лучшего понимания нарисуем временную линию:

Начальный депозит 100 ед.

I период

II период

III период

IV период

V период

Начисленный процент

5,0

5,25

5,51

5,79

6,08

Сумма на конец периода

105,5

110,25

115,76

121,55

127,63

Таким образом, положив в банк 100 ед. под 5% годовых, через 5 лет получим сумму 127,63 ед., т.е. в данном случае происходит начисление процентов на проценты, а именно:

В первый год:;   во второй год:    

Таким образом, общая формула для начисления сложных процентов:

Чтобы ускорить расчеты будущей стоимости широко используют специальные процентные таблицы, где уже рассчитан процентный фактор будущей стоимости FVIF = (1+r)n  за несколько лет. Если известна процентная ставка, то можно легко определить значение фактора, на которое нужно умножить величину первоначального взноса, чтобы вычислить будущую стоимость. Таблица выглядит:

Период

Процентная ставка

3%

4%

5%

6%

7%

8%

1

1,0300

1,0400

1,0500

1,0600

1,0700

1,0800

2

1,0609

1,0816

1,1025

1,1236

1,1449

1,1664

Настоящее (современное) значение стоимости определенной будущей суммы денег вычисляется с помощью формулы:

Если процентная ставка изменяется в различные периоды, т.е.

n

1

2

n

r

r1

r2

rn

В этом случае предыдущие две формулы для будущей и настоящей стоимости обобщаются следующим образом:

или:  

Зачем финансистам знать сегодняшнюю стоимость? Дело в том, что эта стоимость является основой для сравнения прибыльности различных проектов и инвестиций за определенный период. Дисконтную ставку (ставку капитализации) применяют к будущим платежам, чтобы учесть два основных фактора:

  1.  риск, связанный с делом (или объектом дисконтирования);
  2.  неопределенность, связанная с фактором времени.

При учете риска существует простое правило: высокий риск означает высокую дисконтную ставку, малый риск – низкую.

При учете неопределенности, связанной с фактором времени, дисконтирование показывает, что величина дисконта тем больше, чем больше период, за который дисконтируется сумма. Таким образом, чем дальше во времени находится от сегодняшнего дня момент выплаты нам кокой-то суммы, тем меньше уверенности, что мы получим ее в полном объеме, значит, тем большей должна быть скидка.

При математических расчетах по аналогии с процентным фактором будущей стоимости существуют финансовые таблицы, в которых рассчитан процентный фактор сегодняшней стоимости PVIF = 1/(1+r)n. Эти таблицы показывают сегодняшнюю стоимость 1 д.е. за  определенный период n, дисконтированную в будущем на процент r за каждый период.

Рассмотрим соотношение между показателями наращения для простых и сложных процентов. С помощью алгебраических рассуждений нетрудно установить:

  •  если n<1 года, то: 1+n*r > (1+r)n, т.е. инвестировать при простых процентах более выгодно;
  •  если n >=1 года, то 1+n*r <= (1+r)n, предпочтительнее для инвестора является схема сложных процентов.

Сложные проценты могут начислять несколько раз в году (например, т), тогда годовая процентная ставка в пересчете на период будет равна r/m, а количество периодов будет равным n*m. В соответствии с исходной формулой в этом случае наращение будет производиться с помощью следующей формулы:

Формула для вычисления настоящей стоимости принимает обобщенный вид:

Значение коэффициента наращения можно было найти и по таблицам (FVIF).

Для сравнения эффективности вложения денег при различном количестве начислений процентов в году вводят понятие эффективной процентной ставки: это процентная ставка такого вложения денег, при котором начисление процентов происходит только один раз в конце года и это равносильно по конечному результату конкретной схеме начисления процентов, для которой определяется процентная ставка.

По определению эффективной процентной ставки имеем одну и ту же величину будущего значения денег, полученных:

  •  при начислении процентов т раз в году при номинальной процентной ставке r: ;
  •  при начислении процентов один раз в году при процентной ставке rэ:

.

Следовательно: = , откуда следует, что:

rэ =

  1.  РАСЧЕТ СТОИМОСТИ ДЕНЕГ С ПОМОЩЬЮ УЧЕТНОЙ СТАВКИ

В некоторых случаях в качестве базы для оценки доходности финансового инструмента используется не современное, а будущее значение. В этом случае норма доходности называется учетной ставкой (а не процентной ставкой). Наиболее распространенной областью применения учетной ставки является учет векселей. Суть учетной ставки состоит в том, что доход инвестора начисляется на сумму, подлежащую к оплате в конце срока кредитования, а не на начальную сумму.

Формулу для учетной ставки получим по аналогии с формулой для процентной ставки.

Для процентной ставки из формулы для будущей стоимости получаем:

По аналогии определяем учетную ставку d, как следующее отношение:

Отсюда легко следует формула для дисконтирования в случае использования учетной ставки для схемы простых процентов:

.

Формула для наращения с использованием учетной ставки получается путем обращения формулы для дисконтирования:

При дисконтировании с помощью учетной ставки возникает методический парадокс: дисконтированное значение может стать равным 0 или даже отрицательным. На практике такого не бывает, поскольку вексель – исключительно краткосрочный инструмент заимствования.

  1.  ВЛИЯНИЕ ИНФЛЯЦИИ НА ПРОЦЕНТНУЮ СТАВКУ

Инфляция характеризуется двумя параметрами:

  •  τ – темп инфляции (в процентах или долях единиц) – это процентное увеличение некоторой усредненной цены (например, потребительской корзины);
  •  I – индекс инфляции: I = 1 + τ.

Обычно и темп, и индекс инфляции привязывают к конкретному промежутку времени. Так, что:

xi  объем i-го ресурса; pi  pi0 – цена единицы ресурса в конце и начале периода.

Проанализируем влияние темпа инфляции на ставку доходности с помощью следующего простого примера. Пусть инвестор вкладывает 1000 грн. в некоторый финансовый инструмент, который приносит ему доходность при ставке 20% годовых, и это есть реальная доходность, т.е. доходность в предположении, что цены не изменяются и темп инфляции равен 0. В таком случае инвестор через год должен получить:

FV = 1000*(1 + 0,20) = 1200 грн.

Если темп инфляции в течение года составляет 30%, то необходимо наращенную сумму скорректировать с учетом темпа инфляции для того, чтобы сохранить ее покупательную способность:

FV = 1200*(1 + 0,30) = 1560 грн.

В общем случае мы имеем следующее приращение инвестированной суммы:

FV = 1000*(1 + 0,20 + 0,30 + 0,20 * 0,3 ) = 1560 грн.

Или в общем случае: FV = PV(1 + r + τ + r*τ) = PV(1 + r)(1 + τ)

Экономический смысл такого пересчета: корректировке на инфляцию подвергается не только основная сумма денег, но и процентный доход инвестора:

FV = PV(1 + τ) + PV*r(1 + τ)

r = rp + τ + rp* τ = rp + IP

r – номинальная ставка(норма доходности);  rp – реальная ставка (с учетом фактора инфляции); IP -  инфляционная премия.

По причине инфляции вводятся два понятия:

  1.  Номинальная стоимость денег FVнэто объем денежной массы, которая была бы получена инвестором в будущем через определенный срок при условии, что норма доходности по контракту составляет r: .
    1.  Реальная стоимость денег FVрэто величина денежной массы, которая была получена инвестором в предположении, что цены не изменяются, и темп инфляции равен 0. Для расчета реальной стоимости денег с поправкой на темп инфляции (для исключения влияния инфляции) используется формула:

В общем случае при сопоставлении нормы доходности с темпами инфляции возможны 3 исхода:

  1.  r > τ (норма доходности выше темпа инфляции) – естественный путь инвестирования денег, деньги приносят доход, несмотря на инфляцию.
  2.  r = τ – инфляция «съедает» только доход; инвестировать бессмысленно в надежде получить доход – лучше вложить деньги в реальные активы;
  3.  r < τ – инфляция «съедает» и доход, и основной капитал, необходимо вкладывать деньги в недвижимость.

  1.  РАСЧЕТ БУДУЩЕЙ И СОВРЕМЕННОЙ СТОИМОСТИ АНУИТЕТА

В реальной практике, как правило, приходится иметь дело не с единичными суммами, а с некоторыми потоками денежных сумм, которые предприятие регулярно выплачивает или получает.

Серию из одинаковых по величине выплат, которые осуществляются через одинаковый промежуток времени, называют аннуитетом. Аннуитетом могут быть платежи или инвестиции – ежегодные, полугодичные, ежеквартальные, ежемесячные. Часто эти расчеты применяются при расчете средств, вложенных в страховые или пенсионные фонды.

Такие выплаты могут проводиться в начале или конце каждого периода. Если выплаты осуществляются в конце периода, как это обычно и делается, такую ренту называют обычной или отсроченной. Если выплаты производятся в начале периода, такую ренту называют вексельной рентой.

Различие отсроченной и вексельной рент (денежных потоков):

Денежные потоки пренумерандо  Денежные потоки постнумерандо

    Аннуитет пренумерандо    Аннуитет постнумерандо

Будущую стоимость аннуитета находят по формуле:

FVA – будущая стоимость аннуитета;

PMT – величина периодических постоянных выплат;

- процентный фактор будущей стоимости аннуитета (в таблице).

Денежные потоки принято изображать на временной линии:

                                                                            временная линия

                                                                             

Если мы будем класть на депозит на трехлетний срок по 100 д.е. в конце каждого года под 5% годовых, то после окончания трех лет мы получим 315,25 д.е.

Очень часто в финансовых расчетах возникает необходимость определения сегодняшней стоимости аннуитета. Она возникает, например, тогда, когда финансовые менеджеры стоят перед тем, что в будущем постоянно и регулярно будут поступать деньги и им необходимо определить сегодняшнюю стоимость этих поступлений.

В этом случае менеджеры могут поступить двояко:

  1.  рассчитать сегодняшнюю стоимость за каждый год, используя необходимые факторы. Но это долгое и трудное дело;
  2.  рассчитать сегодняшнюю стоимость аннуитета, используя факторы сегодняшней стоимости аннуитета. Это быстрее и легче.

Сегодняшняя стоимость аннуитета есть не что иное как дисконтирование денежных потоков и определяется по формуле:


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

25304. Физиологические реакции живого организма 39 KB
  Раздражение Раздражителем живой клетки или организма как целого может оказаться любое изменение внешней среды или внутреннего состояния организма если оно достаточно велико возникло достаточно быстро и продолжается достаточно долго. Клетки значительно более чувствительны по отношению к своим адекватным раздражителям чем к неадекватным. Возбудимость Некоторые клетки и ткани нервная мышечная и железистая специально приспособлены к осуществлению быстрых реакций на раздражение.
25305. Стресс 33.5 KB
  0004 ГОМЕОСТАЗ Внутренняя среда организма в которой живут все его клетки это кровь лимфа межтканевая жидкость. Ее характеризует относительное постоянство гомеостаз различных показателей так как любые ее изменения приводят к нарушению функций клеток и тканей организма особенно высокоспециализированных клеток центральной нервной системы. Способность сохранять гомеостаз в условиях постоянного обмена веществ и значительных колебаний факторов внешней среды обеспечивается комплексом регуляторных функций организма. существовать и двигаться...
25306. Адаптация 28 KB
  У человека адаптация выступает как свойство организма которое обеспечивается автоматизированными самонастраивающимися саморегулирующимися системами сердечнососудистой дыхательной выделительной и др. Адаптация это эффективная и экономная адекватная приспособительная деятельность организма к воздействию факторов внешней среды. Чем выше уровень интеграции координированности сложных регуляторных процессов тем эффективнее адаптация.
25307. Природа потенциала покоя 28.5 KB
  Согласно этой теории биоэлектрические потенциалы обусловлены неодинаковой концентрацией ионов К' N3' СГ внутри и вне клетки и различной проницаемостью для них поверхностной мембраны. Протоплазма нервных и мышечных клеток содержит в 3050 раз больше ионов калия в 810 раз меньше ионов натрия и в 50 раз меньше ионов хлора чем внеклеточная жидкость. На структурных элементах мембраны фиксируются различные ионы что придает стенкам ее пор тот или иной заряд и тем самым затрудняет или облегчает прохождение через них ионов. Так предполагается...
25308. Потенциал действия 37.5 KB
  Потенциал действия может быть зарегистрирован двояким способом: с помощью электродов приложенных к внешней поверхности волокна внеклеточное отведение и с помощью микроэлектрода введенного внутрь протоплазмы внутриклеточное отведение. Долгое время физиологи полагали что потенциал действия представляет собой лишь результат кратковременного исчезновения той разности потенциалов которая существует в покое между наружной и внутренней сторонами мембраны. Однако точные измерения проведенные с помощью внутриклеточных микроэлектродов...
25309. Законы раздражения 44 KB
  Механизм раздражающего действия тока при всех видах стимулов в принципе одинаков однако в наиболее отчетливой форме он выявляется при использовании постоянного тока прямоугольной формы. При использовании в качестве раздражителя электрического тока порог выражается в единицах силы тока или напряжения. Существует два способа подведения электрического тока к ткани: внеклеточный и внутриклеточный. Недостаток этого метода заключается в значительном ветвлении тока: только часть его проходит через мембраны клеток часть же ответвляется в...
25310. Строение и классификация нейронов 35.5 KB
  Место отхождения аксона от тела нервной клетки называют аксонным холмиком. Дендриты это многочисленные ветвящиеся отростки функция которых состоит в восприятии импульсов приходящих от других нейронов и проведении возбуждения к телу нервной клетки. В центральной нервной системе тела нейронов сосредоточены в сером веществе больших полушарий головного мозга подкорковых образований мозжечка мозгового ствола и спинного мозга.
25311. Строение и работа синапсов 28 KB
  Они образуются концевыми разветвлениями нейрона на теле или отростках другого нейрона. В структуре синапса различают три элемента: 1пресинаптическую мембрану образованную утолщением мембраны конечной веточки аксона; 2синаптическую щель между нейронами; 3постсинаптическую мембрану утолщение прилегающей поверхности следующего нейрона. В большинстве случаев передача влияния одного нейрона на другой осуществляется химическим путем.Для возбуждения нейрона необходимо чтобы ВПСП достиг порогового уровня.
25312. Рефлекс. Рефлекторный процесс 63.5 KB
  У животных обладающих нервной системой развился особый тип реакций рефлексы. Рефлексы это реакции организма происходящие при обязательном участии нервной системы в ответ на раздражение воспринимающих нервных окончаний рецепторов. Павлова делят на две большие группы: на рефлексы безусловные и условные. Безусловные рефлексы это врожденные наследственно передающиеся реакции организма.