87808

Сгущение сеток

Лекция

Информатика, кибернетика и программирование

Конечно разностная схема (5) содержит два временных слоя: верхний и текущий T. Задача состоит в переходе от известной функции Т к искомой на верхнем слое. КРС (5) является явной потому что ее решение вычисляется по явным формулам Распишем СЛАУ в неявную схему, заменив производную по времени назад.

Русский

2015-04-23

195.04 KB

0 чел.

Сгущение сеток

  1.  Введение.

Рассмотрим сгущение сетки с помощью решения диф. ур-я.

             (1)

t=0 : T=0    (2)

x=0 : T[0]=0            (3)

x=1 : T[N]=   (4)

Уравнения (1)-(4) составляют систему , которая на каждом временном слое j представляет собой СЛАУ.

Распишем СЛАУ

   ,    (5)

.

Конечно разностная схема (5) содержит два временных слоя : верхний  и текущий T.

Задача состоит в переходе от известной функции Т к искомой  на верхнем слое.

КРС (5) является явной потому что ее решение вычисляется по явным формулам  

Распишем СЛАУ в неявную схему, заменив производную по времени назад.

, где  ;  ;

   T[0]=0;      T[N] = .

Ее можно переписать в матричном виде AT=F, где А матрица коэффициентов, Т искомая сеточная функция , F заданный вектор краевой задачи. .

AT=F

Видим, что получили 3ехдиагональную матрицу, решаем ее методом прогонки(Томаса).

Он основывается на предположении, что искомые неизвестные связаны рекуррентным соотношением:

 где  i=n-1…1

Где α,β – прогоночные коэффициенты:


  1.  Результаты

N=20 – кол-во узлов

Зеленый график – алгебраический способ сгущения

Синий график – сгущение с помощью решения ДУ


N=51 – кол-во узлов

α=2 сгущение вокруг точки 0.4

Зеленый график – алгебраический способ сгущения

Синий график – сгущение с помощью решения ДУ


N=51 – кол-во узлов

α=2 сгущение вокруг точки 0.2

Зеленый график – алгебраический способ сгущения

Синий график – сгущение с помощью решения ДУ


  1.  Приложение

Код программы в С++:

#include <iostream>

#include <fstream>

using namespace std;

const double pi=3.1415926535;

const int n=51;

double h=1.0/(n-1);

double x[n],y[n]; //y=f(x) - д.у.

double a[n],b[n]; //прогоночные коэф

double alpha=2; //показатель алгебр. сгущения/разряжения

double k(double x)

{

 if(x>=0)

 if(x<0.3)

 return 1;

 if(x>=0.3)

 if(x<=0.4)

 return 1;

 if(x>0.4)

 if(x<0.9)

 return 5;

 if(x>=0.9)

 if(x<=1)

 return 1;

}

double A(double x,double y)//x=x[i] y=x[i-1]

{

 return (k(x)+k(y))/(2*h*h);

}

double B(double x,double y)//x=x[i] y=x[i+1]

{

 return (k(x)+k(y))/(2*h*h);

}

double C(double x,double y,double z)//x=x[i+1] y=x[i] z=x[i-1]

{

 return -(k(y)+k(x))/(2*h*h) - (k(y)+k(z))/(2*h*h);

}

void progonka()

{

y[0]=0;

a[0]=0;

b[0]=0;

 for(int i=0;i<n-2;i++)

{

 a[i+1]=-B(x[i],x[i+1])/(A(x[i],x[i-1])*a[i]+C(x[i+1],x[i],x[i-1]));

 b[i+1]=(-A(x[i],x[i-1])*b[i])/(A(x[i],x[i-1])*a[i]+C(x[i+1],x[i],x[i-1]));

}

y[n-1]=1;

 

 for(int i=n-2;i>0;i--)

 y[i]=a[i]*y[i+1]+b[i];

}

void al(double z)

{

 for(int i=0;i<n;i++)

 if(x[i]<z)

  y[i]=z*(1-pow((z-x[i])/z,alpha));

 else

  y[i]=z+pow((x[i]-z)/(1-z),alpha)*(1-z);

}

void main()

{

 ofstream fd("1.txt");

 ofstream fa("2.txt");

 for(int i=0;i<n;i++)

 x[i]=i*h;

progonka();

 for(int i=0;i<n;i++) //запись ду

 fd<<h*i<<"\t"<<y[i]<<endl;

al(0.2);

 for(int i=0;i<n;i++) //запись ал

 fa<<h*i<<"\t"<<y[i]<<endl;

 system("pause");

}


Код программы в Matlab:

A = load('1.txt'); % считываем данные

x1 = A(:,1); % первый столбец

y1 = A(:,2); % второй столбец

 

B = load('2.txt'); % считываем данные

x2 = B(:,1); % первый столбец

y2 = B(:,2); % второй столбец

 

plot(x1,y1,x2,y2) % рисуем

%axis([0  1  0  1])


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

81620. Формирование и развитие психологических познавательных процессов в онтогенезе человека 60.33 KB
  Согласно теории деятельности высшие психические процессы восприятие внимание память мышление рассматриваются как особые формы внутренних действий для памяти это анемические действия направленные на запоминание материала для мышления это умственные действия направленные...
81621. Імпресіонізм в мистецтві 909.5 KB
  Головне досягнення імпресіонізму це художнє дослідження поведінки кольору і світла в атмосфері, дослідження і передача на полотні їх взаємодії. Вони прагнули показати, що, наприклад, добре освітлений сонцем предмет яскравіше, ніж той же предмет при кімнатному освітленні.
81622. Развивающее обучение дошкольников и школьников 50.78 KB
  Важное место в структуре педагогического процесса занимает процесс обучения в ходе которого усваиваются знания умения и навыки формируются личностные качества позволяющие человеку адаптироваться к внешним условиям и проявить свою индивидуальность.
81623. Анализ тематической группы пословиц и поговорок, включающих в свою структуру личные имена 378.5 KB
  Тематическая группа пословиц с антропонимами, насчитывающая десятки языковых единиц, заинтересовала меня. Я решила исследовать их, изучить, прослеживается ли характеристика конкретного имени в тех пословичных выражениях, в которых употреблено данное имя человека.
81624. Национально-психологические особенности финнов 48.09 KB
  Для любого человека естествен интерес к представителям других народов. Привлекают их необычный внешний облик, специфика действий, поведения и образа жизни. И мы начинаем задумываться об особенностях психологии представителей других этнических общностей, хотим их осмыслить.
81625. Гидротермальные источники и их использование 26.37 KB
  В последнее время грязелечение использование грязей с лечебной целью вновь пользуется большой популярностью. В состав грязей также входят ферменты и гормоны витамины и антибиотики. Механизм действия лечебных грязей обусловлен ее свойствами.
81626. Роль питания в повышении работоспособности 55.04 KB
  Поэтому оптимальное удовлетворение потребностей организма при физических нагрузках представляет собой важную предпосылку для решения задач восстановления работоспособности человеческого организма. Первая функция заключается в снабжении организма энергией.
81627. Пролежни, их лечение и профилактика 37.89 KB
  Пролежень - некроз кожи с подкожным жировым слоем и других мягких тканей (например, слизистой оболочки), развивающийся вследствие длительного сдавливания, нарушения местного кровообращения и нервной трофики.
81628. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ МУЛЬТИМЕДИА 54.68 KB
  Мультимедиа продукты можно разделить на несколько категорий в зависимости от того, на какие группы потребителей они ориентированы. Одна предназначена для тех, кто имеет компьютер дома, - это обучающие, развивающие программы, всевозможные энциклопедии и справочники, графические программы, простые музыкальные редакторы и т.п.