87814

Гидродинамическое подобие. Геометрическое и физическое подобие. Масштабные преобразования. Критерии подобия

Лекция

География, геология и геодезия

Критерий число Рейнольдса характеризует режим движения жидкости. Если задача сводится к отысканию зависимости перепада давления от остальных натуральных переменных тогда определяемый критерий критерий Эйлера а остальные два определяющие Заметим что при стационарном движении жидкости в промышленных...

Русский

2015-04-23

50.73 KB

6 чел.

8

Лекция 4

Гидродинамическое подобие. Геометрическое и физическое подобие. Масштабные преобразования. Критерии подобия.

Процессы химической технологии часто сопровождаются изменением большого числа рабочих параметров – натуральных переменных (давления скорости, температуры, вязкости, плотности, геометрических размеров и др.). Взаимосвязь между ними часто либо не поддается точному математическому описанию, либо приводит к трудно разрешимым дифференциальным уравнениям. Примером могут служить уравнения Навье – Стокса, решение которых возможно только в отдельных частных случаях. Это обстоятельство вынуждает к экспериментальному определению указанной взаимосвязи.

Исследования проводятся на моделях различного масштаба. Обобщение результатов исследования обычно проводят в форме, базирующейся на выводах теории подобия. Эта теория позволяет установить общие условия подобия явления, которые, в свою очередь, позволяют использовать полученные на моделях результаты на объектах промышленного масштаба. Рассмотрим элементы теории подобия на примере гидродинамического подобия.

Различают геометрическое и физическое подобие.

Суть геометрического подобия – это постоянство отношения любых соответствующих линейных размеров для рассматриваемых потоков.

rM1

rM2

lM1

lM2

l1

l2

d1

d2

M1

M2

  

На рисунке представлены два геометрически подобных канала, малого (модель) и большого (образец) размеров. В этих каналах текут жидкости с разными характеристиками.

- множитель геометрического подобия, l1, l2; d1, d2 –соответствующие линейные размеры.

Для сходственных точек справедливо

Точки потоков (Мi) называются сходственными.

Два физических явления подобны, если в сходственных точках геометрически подобных систем одноименные характеристики  различаются только постоянными коэффициентами (множителями подобия). Математические описания подобных систем идентичны.

Множители подобия позволяют выразить параметры натурного трубопровода (образец) через одноименные параметры модели.

Понятия о множителях подобия служит основой получения обобщенных переменных (в отличии от натуральных переменных). Путь их формирования с помощью таких множителей именуется масштабными преобразованиями. Проведем подробные масштабные преобразования уравнения Навье-Стокса для стационарного течения, полагая, что среди массовых сил действует только сила тяжести.  

Запишем уравнение Навье-Стокса относительно оси Z. Выбор этого направления обусловлен тем, что среди массовых сил действует только сила гравитации. Индекс z опустим. Имеем для подобных течений в модели и образце

(Уравнение Навье-Стокса в исходном виде

После преобразований

Модель

Образец

Причем выражения в скобках записаны в усеченном виде, поскольку структура опущенных слагаемых та же, что и оставленных (поэтому в аспекте множителей подобия и операций с ними потери информации здесь не будет).

Выразим характеристики системы 1 через множители подобия и характеристики системы 2:  ;  .

Подставив полученные произведения в уравнение Навье – Стокса для модели, получим

Примечание; вторая производная по смыслу математической операции есть частное от повторенного дважды деления дифференцируемой величины на аргумент, именно поэтому в знаменателе записывается «квадрат» аргумента.

Математические описания для обеих систем по условию подобия должны быть одинаковы. Этому условию отвечает равенство комплексов, составленных из множителей подобия (тогда эти комплексы можно сократить):

силы

вязкости

силы

инерции

силы инерции

силы

инерции

массовые

силы

силы

давления

  

Здесь под каждым комплексом записаны силы, за которые по смыслу слагаемых уравнения Навье – Стокса «отвечают» соответствующие комплексы.

Сравнивая попарно рассматриваемые силы, получают 6 равенств, из которых 3 являются независимыми и дают 3 основные обобщенные переменные (остальные 3 равенства приводят к производным обобщенным переменным, которые могут быть также получены комбинацией трех основных). Выбор равенств в качестве основных обусловлен более всего традицией; в настоящее время в качестве базы приняты силы инерции.

Сопоставление сил давления и инерции.

После сокращения на  и подстановки множителей подобия получают

Откуда, разводя величины с одинаковыми индексами в разные части равенства, получают для всех сходственных точек:

Смысл критерия Эйлера – соотношение сил давления и инерции.

В технологических расчетах инженера интересует прежде всего перепад давления между сходственными сечениями. Поэтому на практике используют критерий Эйлера в виде

Сопоставление массовых сил с силами инерции.

Тогда  откуда получают для всех подобных течений в сходственных точках

критерий (число) Фруда, где l – характерный (определяющий) размер.

Сопоставление сил  инерции и вязкости.

Соотносятся  соответствующие комплексы. После сокращений и подстановок получают

или

Критерий (число) Рейнольдса, где l – характерный размер (при течении жидкости в трубах – диаметр трубопровода). Критерий (число) Рейнольдса характеризует режим движения жидкости.

Равенство численных значений каждой из обобщенных переменных – является необходимым и достаточным признаком подобия для широкой группы стационарных течений.

Таким образом, масштабные преобразование позволили получить выражения обобщенных переменных (критерии подобия), число которых значительно меньше, чем натуральных. Объем эксперимента сокращается, поскольку будут варьироваться обобщенные переменные. Т.е., функциональная зависимость между физическими величинами (натуральными переменными), входящими в уравнения Навье- Стокса может быть заменена зависимостью между критериями подобия

 Явный вид этой зависимости находится на основании эксперимента. Один из этих критериев, содержащий искомую величину называется определяемым, а остальные – определяющие. Если задача сводится к отысканию зависимости перепада давления от остальных натуральных переменных, тогда определяемый критерий – критерий Эйлера, а остальные два – определяющие

Заметим, что при стационарном движении жидкости в промышленных трубопроводах роль силы тяжести мала, тогда последнее выражение упрощается

Явный вид такой зависимости

где  - числа, найденные после обработки эксперимента.

Пусть задача сводится к отысканию коэффициента гидравлического сопротивления для гидравлически гладких труб  в зависимости от остальных переменных. Согласно уравнения Дарси – Вейсбаха имеем

  С другой стороны . Приравняем правые части последних уравнений

откуда

Режимы движения реальной жидкости.

Наиболее полно исследовал явление существования двух режимов движения жидкости Рейнольдс (Рейнольдс, Рейнольдс  Осборн (23.8.1842, Белфаст, — 21.2.1912, Уотчет, Сомерсетшир), английский физик и инженер, член Лондонского королевского общества (с 1877). Окончил Кембриджский университет (1867). Профессор Манчестерского университета (1868). С 1888 возглавил Витвортовскую инженерную лабораторию. Основные труды по теории динамического подобия течений вязкой жидкости, по теории турбулентности и теории смазки. В 1876—83 экспериментально установил критерий перехода ламинарного течения в цилиндрических трубах в турбулентное) при помощи прибора, состоящего из резервуара А, в нижней части которого выведена горизонтальная прозрачная труба В. Левый конец трубы имеет плавный вход, а правый – снабжен краном С. Над резервуаром А, наполненным жидкостью, расположен бачек D с темной краской, подводимой открыванием краника E по трубке малого диаметра  во входное сечение трубы B.

C 

 

B   

 

D  

краска

 

A   

 Жидк.

E  

 

 

 

Опыты показали, что в трубах малого диаметра при небольших скоростях жидкости, подаваемая струйка краски проходила по всей длине экспериментальной трубки не размываясь. Такое параллельно – струйчатое (слоистое) течение было названо ламинарным. В трубах большого диаметра и при высоких скоростях частицы жидкости ( а с нею и краска) перемещались хаотично по различным траекториям; в результате поток интенсивно перемешивался и равномерно окрашивался. Такой режим был назван турбулентным. Рейнольдс установил, что характер течения определяется значением безразмерного комплекса, названный  впоследствии его именем. Для круглых труб критическое значение критерия Re составляет 2320. Выше было показано, что Re представляет собой соотношение сил инерции и вязкости. В случае ламинарного режима преобладают силы вязкости. В случае турбулентного режима в целом преобладают силы инерции. Однако при значениях Re в промежутке между 2320 и 10000, силы инерции и вязкости сопоставимы по величине: здесь уже нарушено слоистое течение, но хаотичность выражено еще слабо. Эти режимы течения называют переходными. Таким образом ламинарный режим характеризуется диапазоном Re=0 – 2320, переходный режим от 2320 до 10000, турбулентный режим – более 10000.

Законы ламинарного движения жидкости в горизонтальной круглой трубе. 

Закон распределения касательного напряжения внутреннего трения (Т)

 Будем анализировать закономерности течения ньютоновской жидкости на участке длиной l горизонтальной (исключается из рассмотрения влияние сил тяжести) трубы постоянного радиуса R (исключается появление сил инерции). Пусть жидкость движется стационарно слева направо в направлении оси x под действием разности давлений . В противоположном направлении движению жидкости действуют касательные напряжения трения.

Выделим внутри трубы соосный цилиндр текущим радиусом r. Задача анализа состоит в определении закона распределения касательного напряжения трения по радиусу трубы и в определении текущей (локальной) скорости на этом радиусе. Анализ будем проводить в терминах баланса действующих сил в соответствии с действительным направлением этих сил относительно оси x (в терминах ОБС направления действующих сил принималось положительным всегда (см. выше). На левое торцевое сечение выделенного цилиндра действует сила давления . На правое торцевое сечение –    сила давления     .           На боковой поверхности цилиндра действует сила трения .

               

R

r

l

x

 

          

Поскольку движение является установившимся и равномерным, то силы давления уравновешиваются силами трения, т.е. сумма действующих сил равна 0. Тогда

. Следовательно,    -

 - закон распределения напряжения трения по радиусу трубы, характерное для всех течений в круглой трубе, когда преобладают силы вязкости (ламинарный режим). Графическая интерпретация этого закона показана на рисунке. На оси трубы  приосевые слои жидкости движутся с одинаковой скоростью, радиальный градиент скоростей при  r = 0  отсутствует, поэтому силы трения здесь не возникают. На стенках трубы (r = R) напряжение трения – наибольшее:  .

Закон распределения локальной скорости жидкости по сечению (радиусу) трубы.

 Напряжение трения по формуле Ньютона записывют в цилиндрических координатах в виде , с другой стороны имеем только что полученное выражение закона распределения трения по радиусу трубы . Приравняем правые части этих выражений. Получим
 

После разделения переменных и интегрирования получим:


Примечание: при выводе учитывается эффект прилипания жидкости; это значит что у стенки скорость жидкости равна 0.


Геометрической интерпретацией этого уравнения является параболоид вращения. Т.е., при ламинарном режиме течения жидкости в круглой трубе скорость в ее сечении распределяется по параболоиду вращения (см. рис. выше).

Максимальная скорость жидкости

При  скорость принимает максимальное значение

Расход жидкости при ламинарном движении жидкости (формула Пуазейля-Гагена)

dr

r

Выделим в поперечном сечении трубы элементарное кольцевое живое сечение потока , радиусом r и шириной dr; очевидно, что Элементарный расход через это кольцо:

Но

После подстановки:

Проинтегрируем это выражение:


После приведения к общему знаменателю, получаем формулу Пуазейля-Гагена

И тогда средняя по сечению скорость будет равна отношению расхода к полному поперечному сечения потока, т.е.

Отношение между максимальной и средней скоростями

Максимальная скорость выше средней в два раза.

Расчет  при ламинарном режиме в горизонтальной трубе

Ранее было показано, что для горизонтального трубопровода справедливо

 

Но согласно уравнению Дарси - Вейсбаха

Приравняем правые части этих двух уравнений:

Выразим :

Средняя скорость ламинарного потока:

откуда

Приравнивая правые части для выражений перепада давлений, получим




 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

85166. Внешняя политика Речи Посполитой. Войны и социальные конфликты второй половины XVII - первой половины XVIII веков 31.49 KB
  Тридцатилетняя война 16181648 В 1618г. началась война в которой приняли участие десятки государств. РП не смогла помешать объединению Бранденбурга и Пруссии и неудачно закончилась война со Швецией что явилось одной из крупных неудач в её внешней политике. Казацкокрестьянская война 16481651 Богдан Хмельницкий хотел создать независимую Украину и поднял восстание в 1648 г.
85167. Социально-экономическое развитие белорусских земель в составе Речи Посполитой 30.48 KB
  В экономике белорусских земель шло укрепление и развитие феодальных отношений. Экономическому прогрессу белорусских земель во вп 16пп 17 вв. увеличилось до 36 млн чел росли посевные площади поголовье скота увеличился средний земельный надел крестьян.
85168. Особенности конфессиональных отношений на территории Беларуси в составе Речи Посполитой. Реформация и контрреформация. Берестейская уния 30.78 KB
  В разных странах Европы возникает движение против господства католической церкви РеформацияОбщественнополитическое и идеологическое движение направленное против римскокатолической церкви и её роли в политической системе общества. Результат Контрреформации: усиливается экономическое могущество и политическое влияние католической церкви. В рамках Контрреформации проводилось объединение православной и католической церкви. Она объединила православную и католическую церкви в единую Грекоуниатскую церковь.
85169. Политический кризис и разделы Речи Посполитой. Включение белорусских земель в состав Российской империи 29.27 KB
  При поддержке России победу одержал Станислав Август Понятовский. 1ый раздел произошёл в 1772 К России отошли восточная часть Белоруссии по Западной Двине и Верхнему Днепру 1788г. 2ой раздел 23 января 1793 К России отошли Центральная Белоруссия с Минском Правобережная Украина часть шляхта приняло участие в восстании под руководством Костюшко попытка сохранить независимость РП. 3ий раздел 24 октября 1795 К России отошли Литва Западная Белоруссия Волынь Курляндия; Поляки утратили свою государственность.
85170. Культура и этническая структура белорусских земель в составе Речи Посполитой 28.63 KB
  традиции эпохи Просвещения стали оказывать существенное влияние на повседневную жизнь белорусского общества это было связано с переменами в системе образования расширено преподавания современных языков и естествознания. Влияние эпохи Просвещения ощущалось и в театральной жизни страны. Барокко и рококо под влиянием Просвещения стали постепенно уступать место классицизму основанному на традициях античности и Ренессанса.
85171. Политика российского самодержавия и общественно-политические движения в Беларуси (конец XVIII - первая половина XIX в.) 33.21 KB
  После присоединения Беларуси к РИ правительство провело ряд мер по закреплению своего влияния на присоединённые земли. В Беларуси были созданы губернии: Белорусская Минская и Литовская. Господствующее положение в Беларуси заняла православная церковь у которой оказывалась полная государственная поддержка.
85172. Социально-экономическое развитие белорусских земель в условиях кризиса феодально-крепостнической системы (первая половина XIX в.) 28.12 KB
  В условиях разложения феодальнокрепостнической системы царское правительство пошло на экономические реформы с целью приспособления существующей системы хозяйственных отношений к нуждам рынка а также повышения государственных доходов. Реформа была проведена только среди государственных крестьян. Она предусматривала: проведение подробного описания всех государственных имений и строгое определение повинностей государственных крестьян в зависимости от их хозяйственного положения прекращение сдачи государственных земель в аренду; ликвидацию...
85173. Культура Беларуси в первой половине XIX в.) 27.14 KB
  Беларусь имела автономия в плане культурного развития. Отчётливо это проявилось в системе образования. 1803г – создан Виленский учебный округ, в состав кот входили школы Беларуси, Литвы, Украины.
85174. Буржуазные реформы 1860-1880 гг. в Российской империи и особенности их проведения в белорусских губерниях 29.45 KB
  Крестьяне получали гражданские права могли заниматься промыслами торговать приобретать имущество поступать на учебу и на службу; помещики не могли продавать и судить крестьян. Однако крестьяне не сразу становились лично свободными. Помещики признавались собственниками всей земли которая принадлежала им до реформы а крестьяне получали небольшие наделы в пользование которые должны были выкупить на протяжении 9 лет. Купить свой земельный надел крестьяне могли только путем заключения выкупной сделки.