87818

Уравнение поверхностей уровня жидкости, вращающейся вместе с сосудом вокруг вертикальной оси с угловой скоростью ω. Уравнение свободной поверхности уровня

Лекция

Физика

Максимальная высота подъема жидкости в сосуде H - максимальная высота подъема жидкости параболоида вращения свободной поверхности уровня. Далее следует заменить через первоначальный уровень жидкости в сосуде при. объем жидкости в сосуде который находится в состоянии абсолютного покоя...

Русский

2015-04-23

152.61 KB

10 чел.

ЛЕКЦИЯ 2

Уравнение поверхностей уровня жидкости, вращающейся вместе с сосудом вокруг вертикальной оси с угловой скоростью ω. Уравнение свободной поверхности уровня.

Пусть имеется сосуд с жидкостью, вращающийся вокруг вертикальной оси с угловой скоростью ω. Найдем уравнение поверхностей уровня для рассматриваемого случая, воспользовавшись уравнением поверхности уровня в дифференциальном виде

.

На жидкость массой m в окрестностях произвольно взятой точки М действуют внешние массовые силы:



Найдем проекции этих сил и суммы проекций единичных массовых сил на оси координат.

Ось x



Следовательно, сумма проекций единичных массовых сил на ось x будет равна

ω

X

x

x

x

R

М


R – радиус сосуда;

r  - радиус вращения т. М;  

h – глубина погружения т. М от

свободной   

поверхности уровня.

Ось y



Следовательно, сумма проекций единичных массовых сил на ось y будет равна


Ось z



Следовательно, сумма проекций единичных массовых сил на ось z  будет равна

Подставляя найденные значения сумм проекций единичных массовых сил, получим
. Берем неопределенный интеграл полученного выражения


поэтому

уравнение поверхностей уровня (уравнение семейства параболоидов вращения)

Уравнение свободной поверхности уровня

Рассмотрим вершину параболоида вращения соответствующего свободной поверхности уровня; для нее справедливо: r=0; ; подставляя эти значения в последнее уравнение получим значение константы интегрирования для уравнения свободной поверхности уровня ,  отсюда следует  что, уравнением свободной поверхности уровня будет

Геометрический смысл высота подъема ветви параболоида вращения относительно горизонтальной плоскости  для точки на свободной поверхности уровня N(.

Максимальная высота подъема жидкости в сосуде

H – максимальная высота подъема жидкости параболоида вращения свободной поверхности уровня.

Согласно уравнения свободной поверхности уровня для точки на этой поверхности с координатами () связь между Н и R будет определяться уравнением . Далее следует заменить через первоначальный уровень жидкости в сосуде (при ).

– объем жидкости в сосуде, который находится в состоянии абсолютного покоя;

- объем жидкости в сосуде, который находится в состоянии относительного покоя; в силу закона сохранения объема жидкости получают

Откуда

или . Подставляя полученное выражение в ранее найденное для максимальной высоты подъема жидкости, получим

, откуда

– максимальная высота подъема жидкости в сосуде


Закон распределения давления внутри жидкости, вращающейся вместе с сосудом вокруг вертикальной оси с угловой скоростью ω.

 

Закон Паскаля, полученный ранее для случая абсолютного покоя жидкости, справедлив и для случая относительного покоя в любых его формах в том числе и для вращающегося сосуда; здесь h есть сумма высоты подъема ветви параболоида вращения над плоскостью  и расстояния между горизонтальными плоскостями . Т.е. .

Определение силы давления жидкости на плоскую стенку сосуда и на дно сосуда (без вывода).

ЦМ

ЦД

F

FДН

РИСУНОК      

       

                                                                              

Fплощадь смоченной боковой стенки сосуда;

hц глубина погружения центра масс площади F;

точка ЦМ – центр масс площади F;

точка ЦД – центр давления, точка приложения равнодействующей силы давления.

 – сила полного давления на боковую стенку сосуда (сила атмосферного давления + сила гидростатического давления жидкости).

Сила полного давления на дно сосуда может быть определена по формуле

Определение точки приложения силы полного давления (координаты центра давления ). Без вывода.


I0 – момент инерции площади, относительно центральной оси (ось, которая проходит через центр масс площади F)


, где a – основание прямоугольника, b – высота.

Элементы кинематики жидкости

(Основная теорема кинематики – теорема Коши-Гельмгольца. Траектория жидкостной частицы. Линии тока. Элементарная струйка. Трубка тока. Поток жидкости. Живое сечение потока. Смоченный периметр. Гидравлический радиус. Эквивалентный диаметр).

В кинематике изучают движение жидкости с точки зрения геометрии, без учета ее массы и сил, определяющих это движение

Основная теорема кинематики – теорема Коши-Гельмгольца. В этой теореме доказывают, что скорость перемещения жидкостной частицы складывается из трех скоростей:

– поступательная скорость;

– деформационная скорость;

                                                 Изменение прямых углов одной из граней за время

    

– вращательная скорость.

Траектория жидкостной частицы – это путь, пройденный жидкостной частицей за некоторый промежуток времени (S).

Линиями тока называют совокупность жидкостных частиц, векторы скоростей которых касательны к ней в данный момент времени.

Элементарная струйка. Трубка тока.

Если в движущейся жидкости в поперечном сечении выделить элементарную площадку dS и через все точки провести линии тока для данного момента времени, то получается объемный пучок линий тока, который называется элементарной струйкой, а ее боковая поверхность – поверхность трубки тока.

Поток жидкости – это совокупность элементарных струек жидкости, текущих в данном русле.

Живое сечение потока – это поверхность, проведенная через данную точку в пределах потока, перпендикулярная линиям тока.

Смоченным периметром называют длину линии, по которой жидкость в данном живом сечении соприкасается с руслом.

Гидравлический радиус (для канала с произвольным сечением) – это отношение площади живого сечения к смоченному периметру.

Для круглой трубы гидравлический радиус равен:

где d – смоченный периметр

Гидравлический радиус в два раза меньше геометрического.

Эквивалентный диаметр (для канала произвольного сечения) принимается  равным:


Плавно изменяющееся движение жидкости – это такое движение, при котором кривизна струек мала, угловое расхождение между отдельными струйками не велико, живое сечение потока плоское, перпендикулярно оси потока.

Расход жидкости – это объем жидкости, протекающей через поперечное сечение потока в единицу времени.

Средней скоростью в данном сечении потока называется такая фиктивная, но одинаковая во всех точках данного сечения скорость, при которой через сечение проходит то же количество жидкости, какое и при действительном распределении скоростей.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

11007. Рационалистическая метафизика 17 века (Декарт, Спиноза, Лейбниц) 38 KB
  Рационалистическая метафизика 17 века Декарт Спиноза Лейбниц Рационализм направление признающее разум основой познания и поведения людей. Начал складывать в результате развития математики и естествознания. Исходит из идеи естественного порядка. Утверждает опр
11008. Полемика славянофилоф и западников в русской философии 74 KB
  Полемика славянофилоф и западников в русской философии Своеобразным направлением в русской философии явилось славянофильство ярким представиетелм которого были А.С.Хомяков 18041860 и И.В.Киреевский 18061856 оказавшие значительное воздействие на развитие русской мыс
11009. Истоки философии. Хронология и краткая характеристика основных этапов 46 KB
  Тема. Истоки философии Хронология и краткая характеристика основных этапов. Причины возникновения философии являются и причиной её развития. Данный вопрос является дискуссионным. Основные этапы развития мировой философии преимущественно связываются только с развит...
11010. Гносеология или теория познания 55 KB
  Гносеология. Гносеология или теория познания это раздел философии в котором изучаются природа познания и его возможности отношение знания к реальности выявляются условия достоверности и истинности познания. Термин Гносеология происходит от греческих слов g...
11011. Закономерности исторического развития техники 46 KB
  Закономерности исторического развития техники. Проблема периодизации. Предметная сторона Т. Техника и наука. Т как деятельность. ФТ выделяет общие закономерности и стадии исторической эволюции Т потом это будет конкретизировано в истории Т. В отличие...
11012. Социальная роль техники 47 KB
  Социальная роль техники. Техника как основа социального прогресса. Информационное общество. Понятие техногенной цивилизации. Антитехницизм и его основания. Рассмотрены различные периодизации истории техники. Каждая новая стадия в развитии техники в
11013. Техника и наука в контексте культуры 58 KB
  Техника и наука в контексте культуры Специфика техники как феномена культуры. Технические науки как тип наук. В имеющихся определениях техники обнаруживается существенно общий смысловой срез: по отношению к человеку техника является вопервых воплощ
11014. Философия техники как область исследований 63 KB
  Философия техники как область исследований. ФТ в структуре философского знания. Проблема определения Т. Ответить на вопрос что такое ФТ можно с двух сторон: показав как он выделяется из философии вообще и рассмотрев что такое Т как основной объект ее
11015. Этика науки и техники 51 KB
  Этика науки и техники. Этика науки и техники как этика ответственности. Внутренняя и внешняя этика науки и техники. Проблема этической размерности научной деятельности и технического творчества обозначилась в ХХ в.: достаточно долго этические проблемы на...