87818

Уравнение поверхностей уровня жидкости, вращающейся вместе с сосудом вокруг вертикальной оси с угловой скоростью ω. Уравнение свободной поверхности уровня

Лекция

Физика

Максимальная высота подъема жидкости в сосуде H –- максимальная высота подъема жидкости параболоида вращения свободной поверхности уровня. Далее следует заменить через первоначальный уровень жидкости в сосуде при. объем жидкости в сосуде который находится в состоянии абсолютного покоя...

Русский

2015-04-23

152.61 KB

8 чел.

ЛЕКЦИЯ 2

Уравнение поверхностей уровня жидкости, вращающейся вместе с сосудом вокруг вертикальной оси с угловой скоростью ω. Уравнение свободной поверхности уровня.

Пусть имеется сосуд с жидкостью, вращающийся вокруг вертикальной оси с угловой скоростью ω. Найдем уравнение поверхностей уровня для рассматриваемого случая, воспользовавшись уравнением поверхности уровня в дифференциальном виде

.

На жидкость массой m в окрестностях произвольно взятой точки М действуют внешние массовые силы:



Найдем проекции этих сил и суммы проекций единичных массовых сил на оси координат.

Ось x



Следовательно, сумма проекций единичных массовых сил на ось x будет равна

ω

X

x

x

x

R

М


R – радиус сосуда;

r  - радиус вращения т. М;  

h – глубина погружения т. М от

свободной   

поверхности уровня.

Ось y



Следовательно, сумма проекций единичных массовых сил на ось y будет равна


Ось z



Следовательно, сумма проекций единичных массовых сил на ось z  будет равна

Подставляя найденные значения сумм проекций единичных массовых сил, получим
. Берем неопределенный интеграл полученного выражения


поэтому

уравнение поверхностей уровня (уравнение семейства параболоидов вращения)

Уравнение свободной поверхности уровня

Рассмотрим вершину параболоида вращения соответствующего свободной поверхности уровня; для нее справедливо: r=0; ; подставляя эти значения в последнее уравнение получим значение константы интегрирования для уравнения свободной поверхности уровня ,  отсюда следует  что, уравнением свободной поверхности уровня будет

Геометрический смысл высота подъема ветви параболоида вращения относительно горизонтальной плоскости  для точки на свободной поверхности уровня N(.

Максимальная высота подъема жидкости в сосуде

H – максимальная высота подъема жидкости параболоида вращения свободной поверхности уровня.

Согласно уравнения свободной поверхности уровня для точки на этой поверхности с координатами () связь между Н и R будет определяться уравнением . Далее следует заменить через первоначальный уровень жидкости в сосуде (при ).

– объем жидкости в сосуде, который находится в состоянии абсолютного покоя;

- объем жидкости в сосуде, который находится в состоянии относительного покоя; в силу закона сохранения объема жидкости получают

Откуда

или . Подставляя полученное выражение в ранее найденное для максимальной высоты подъема жидкости, получим

, откуда

– максимальная высота подъема жидкости в сосуде


Закон распределения давления внутри жидкости, вращающейся вместе с сосудом вокруг вертикальной оси с угловой скоростью ω.

 

Закон Паскаля, полученный ранее для случая абсолютного покоя жидкости, справедлив и для случая относительного покоя в любых его формах в том числе и для вращающегося сосуда; здесь h есть сумма высоты подъема ветви параболоида вращения над плоскостью  и расстояния между горизонтальными плоскостями . Т.е. .

Определение силы давления жидкости на плоскую стенку сосуда и на дно сосуда (без вывода).

ЦМ

ЦД

F

FДН

РИСУНОК      

       

                                                                              

Fплощадь смоченной боковой стенки сосуда;

hц глубина погружения центра масс площади F;

точка ЦМ – центр масс площади F;

точка ЦД – центр давления, точка приложения равнодействующей силы давления.

 – сила полного давления на боковую стенку сосуда (сила атмосферного давления + сила гидростатического давления жидкости).

Сила полного давления на дно сосуда может быть определена по формуле

Определение точки приложения силы полного давления (координаты центра давления ). Без вывода.


I0 – момент инерции площади, относительно центральной оси (ось, которая проходит через центр масс площади F)


, где a – основание прямоугольника, b – высота.

Элементы кинематики жидкости

(Основная теорема кинематики – теорема Коши-Гельмгольца. Траектория жидкостной частицы. Линии тока. Элементарная струйка. Трубка тока. Поток жидкости. Живое сечение потока. Смоченный периметр. Гидравлический радиус. Эквивалентный диаметр).

В кинематике изучают движение жидкости с точки зрения геометрии, без учета ее массы и сил, определяющих это движение

Основная теорема кинематики – теорема Коши-Гельмгольца. В этой теореме доказывают, что скорость перемещения жидкостной частицы складывается из трех скоростей:

– поступательная скорость;

– деформационная скорость;

                                                 Изменение прямых углов одной из граней за время

    

– вращательная скорость.

Траектория жидкостной частицы – это путь, пройденный жидкостной частицей за некоторый промежуток времени (S).

Линиями тока называют совокупность жидкостных частиц, векторы скоростей которых касательны к ней в данный момент времени.

Элементарная струйка. Трубка тока.

Если в движущейся жидкости в поперечном сечении выделить элементарную площадку dS и через все точки провести линии тока для данного момента времени, то получается объемный пучок линий тока, который называется элементарной струйкой, а ее боковая поверхность – поверхность трубки тока.

Поток жидкости – это совокупность элементарных струек жидкости, текущих в данном русле.

Живое сечение потока – это поверхность, проведенная через данную точку в пределах потока, перпендикулярная линиям тока.

Смоченным периметром называют длину линии, по которой жидкость в данном живом сечении соприкасается с руслом.

Гидравлический радиус (для канала с произвольным сечением) – это отношение площади живого сечения к смоченному периметру.

Для круглой трубы гидравлический радиус равен:

где d – смоченный периметр

Гидравлический радиус в два раза меньше геометрического.

Эквивалентный диаметр (для канала произвольного сечения) принимается  равным:


Плавно изменяющееся движение жидкости – это такое движение, при котором кривизна струек мала, угловое расхождение между отдельными струйками не велико, живое сечение потока плоское, перпендикулярно оси потока.

Расход жидкости – это объем жидкости, протекающей через поперечное сечение потока в единицу времени.

Средней скоростью в данном сечении потока называется такая фиктивная, но одинаковая во всех точках данного сечения скорость, при которой через сечение проходит то же количество жидкости, какое и при действительном распределении скоростей.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

52855. Енергозбереження – почнемо з себе 83.5 KB
  Розширення індивідуального екологічного простору розвиток емпатії до природних об'єктів; Форма заняття: заняття студії Заняття розраховане на учнів 910 класу Обладнання: таблиці з зображенням будови атмосфери комп’ютер підключений до мережі Інтернет свічка лампа розжарювання лампа енергозберігаюча лампа 20 21 Вт; лампа розжарювання 100 Вт; настільна лампа зі стандартним цоколем; кімнатний термометр; годинник кольорові стікери з зображенням пір року. Мета етапу – сфокусувати увагу учнів на проблемі й викликати інтерес до...
52856. Енергосистема України. Споживання електроенергії. Енергозбереження 158 KB
  Споживання електроенергії. Мета: показати утворення енергосистеми України поєднання великих електростанцій і ліній електропередач; формувати вміння і навички встановлення відповідності у секторних діаграмах на основі аналізу статистичної інформації розширювати уміння усвідомлення власної значущості та можливості впливати на загальну енергозалежність країни; сформувати вміння аналізувати зміни частки різних видів електростанцій у загальному обсязі виробництва електроенергії в Україні. Символічним є те...
52857. Вулиця, на якiй я живу 30 KB
  My name is Semen. I live with my family in a big town. I live in Rivna street. My street is long. There are many green trees and flowers in our street. You can see many big houses and new shops in our street. My school is in our street too. In Rivna street you can always see many trams,buses and cars. In our street there are many men,women and children. My street is clean and nice. I like it very much
52858. About myself. My Biographical time-line 48 KB
  Мета уроку:систематизація пройденого лексико–граматичного матеріалу; формування комунікативних навичок усного мовлення; формування навичок аудіювання через прослуховування тексту з метою виділення ключової інформації; - biography to be born ballet primary school secondary school university to cheer to clap
52859. Освіта в Англії 192 KB
  Great Britain does not have a written constitution, so there are no constitutional provisions for education. The system of education is determined by the National Education Acts. It has many different faces, but one goal. Its aim is to realize the potential of all, for the good of the individual and the country. It embraces two educational purposes: first it gives a general education to all children, and second, it selects the most able and gives them more advanced education.
52861. What do you do? 47.5 KB
  James is lazy. He doesn’t like going to school. He has a quick shower every morning. He puts on his clothes, watches a cartoon. He never does his morning exercises to the radio. He eats bread and honey for breakfast. He has tea or coffee with a bar of chocolate. He never cleans his teeth. He catches the bus to school. He arrives at school late.
52862. Формування ключових та предметних компетентностей молодших школярів у контексті викликів сьогодення 90 KB
  Велику роль у цьому відіграють навчальні ігри. Їх використання підвищує інтерес дітей до навчання, сприяє створенню сприятливого психологічного клімату на уроці та розвитку активності учнів, а також дозволяє сконцентрувати увагу на головному – опануванні мовленнєвими навичками