87818

Уравнение поверхностей уровня жидкости, вращающейся вместе с сосудом вокруг вертикальной оси с угловой скоростью ω. Уравнение свободной поверхности уровня

Лекция

Физика

Максимальная высота подъема жидкости в сосуде H –- максимальная высота подъема жидкости параболоида вращения свободной поверхности уровня. Далее следует заменить через первоначальный уровень жидкости в сосуде при. объем жидкости в сосуде который находится в состоянии абсолютного покоя...

Русский

2015-04-23

152.61 KB

8 чел.

ЛЕКЦИЯ 2

Уравнение поверхностей уровня жидкости, вращающейся вместе с сосудом вокруг вертикальной оси с угловой скоростью ω. Уравнение свободной поверхности уровня.

Пусть имеется сосуд с жидкостью, вращающийся вокруг вертикальной оси с угловой скоростью ω. Найдем уравнение поверхностей уровня для рассматриваемого случая, воспользовавшись уравнением поверхности уровня в дифференциальном виде

.

На жидкость массой m в окрестностях произвольно взятой точки М действуют внешние массовые силы:



Найдем проекции этих сил и суммы проекций единичных массовых сил на оси координат.

Ось x



Следовательно, сумма проекций единичных массовых сил на ось x будет равна

ω

X

x

x

x

R

М


R – радиус сосуда;

r  - радиус вращения т. М;  

h – глубина погружения т. М от

свободной   

поверхности уровня.

Ось y



Следовательно, сумма проекций единичных массовых сил на ось y будет равна


Ось z



Следовательно, сумма проекций единичных массовых сил на ось z  будет равна

Подставляя найденные значения сумм проекций единичных массовых сил, получим
. Берем неопределенный интеграл полученного выражения


поэтому

уравнение поверхностей уровня (уравнение семейства параболоидов вращения)

Уравнение свободной поверхности уровня

Рассмотрим вершину параболоида вращения соответствующего свободной поверхности уровня; для нее справедливо: r=0; ; подставляя эти значения в последнее уравнение получим значение константы интегрирования для уравнения свободной поверхности уровня ,  отсюда следует  что, уравнением свободной поверхности уровня будет

Геометрический смысл высота подъема ветви параболоида вращения относительно горизонтальной плоскости  для точки на свободной поверхности уровня N(.

Максимальная высота подъема жидкости в сосуде

H – максимальная высота подъема жидкости параболоида вращения свободной поверхности уровня.

Согласно уравнения свободной поверхности уровня для точки на этой поверхности с координатами () связь между Н и R будет определяться уравнением . Далее следует заменить через первоначальный уровень жидкости в сосуде (при ).

– объем жидкости в сосуде, который находится в состоянии абсолютного покоя;

- объем жидкости в сосуде, который находится в состоянии относительного покоя; в силу закона сохранения объема жидкости получают

Откуда

или . Подставляя полученное выражение в ранее найденное для максимальной высоты подъема жидкости, получим

, откуда

– максимальная высота подъема жидкости в сосуде


Закон распределения давления внутри жидкости, вращающейся вместе с сосудом вокруг вертикальной оси с угловой скоростью ω.

 

Закон Паскаля, полученный ранее для случая абсолютного покоя жидкости, справедлив и для случая относительного покоя в любых его формах в том числе и для вращающегося сосуда; здесь h есть сумма высоты подъема ветви параболоида вращения над плоскостью  и расстояния между горизонтальными плоскостями . Т.е. .

Определение силы давления жидкости на плоскую стенку сосуда и на дно сосуда (без вывода).

ЦМ

ЦД

F

FДН

РИСУНОК      

       

                                                                              

Fплощадь смоченной боковой стенки сосуда;

hц глубина погружения центра масс площади F;

точка ЦМ – центр масс площади F;

точка ЦД – центр давления, точка приложения равнодействующей силы давления.

 – сила полного давления на боковую стенку сосуда (сила атмосферного давления + сила гидростатического давления жидкости).

Сила полного давления на дно сосуда может быть определена по формуле

Определение точки приложения силы полного давления (координаты центра давления ). Без вывода.


I0 – момент инерции площади, относительно центральной оси (ось, которая проходит через центр масс площади F)


, где a – основание прямоугольника, b – высота.

Элементы кинематики жидкости

(Основная теорема кинематики – теорема Коши-Гельмгольца. Траектория жидкостной частицы. Линии тока. Элементарная струйка. Трубка тока. Поток жидкости. Живое сечение потока. Смоченный периметр. Гидравлический радиус. Эквивалентный диаметр).

В кинематике изучают движение жидкости с точки зрения геометрии, без учета ее массы и сил, определяющих это движение

Основная теорема кинематики – теорема Коши-Гельмгольца. В этой теореме доказывают, что скорость перемещения жидкостной частицы складывается из трех скоростей:

– поступательная скорость;

– деформационная скорость;

                                                 Изменение прямых углов одной из граней за время

    

– вращательная скорость.

Траектория жидкостной частицы – это путь, пройденный жидкостной частицей за некоторый промежуток времени (S).

Линиями тока называют совокупность жидкостных частиц, векторы скоростей которых касательны к ней в данный момент времени.

Элементарная струйка. Трубка тока.

Если в движущейся жидкости в поперечном сечении выделить элементарную площадку dS и через все точки провести линии тока для данного момента времени, то получается объемный пучок линий тока, который называется элементарной струйкой, а ее боковая поверхность – поверхность трубки тока.

Поток жидкости – это совокупность элементарных струек жидкости, текущих в данном русле.

Живое сечение потока – это поверхность, проведенная через данную точку в пределах потока, перпендикулярная линиям тока.

Смоченным периметром называют длину линии, по которой жидкость в данном живом сечении соприкасается с руслом.

Гидравлический радиус (для канала с произвольным сечением) – это отношение площади живого сечения к смоченному периметру.

Для круглой трубы гидравлический радиус равен:

где d – смоченный периметр

Гидравлический радиус в два раза меньше геометрического.

Эквивалентный диаметр (для канала произвольного сечения) принимается  равным:


Плавно изменяющееся движение жидкости – это такое движение, при котором кривизна струек мала, угловое расхождение между отдельными струйками не велико, живое сечение потока плоское, перпендикулярно оси потока.

Расход жидкости – это объем жидкости, протекающей через поперечное сечение потока в единицу времени.

Средней скоростью в данном сечении потока называется такая фиктивная, но одинаковая во всех точках данного сечения скорость, при которой через сечение проходит то же количество жидкости, какое и при действительном распределении скоростей.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

63690. Правовая культура общества 57.12 KB
  Отражая уровень правовой цивилизованности общества и включая в себя прогрессивные достижения зарубежных правовых систем правовая культура объединяет все что создано человечеством в правовой сфере: право юридическую науку правосознание правотворчество правоприменение...
63691. Правовое воспитание 112.49 KB
  Правовое воспитание представляет собой особую форму деятельности государства его органов и должностных лиц общественных объединений трудовых коллективов направленную на формирование в сознании людей уважения к праву позитивных знаний взглядов поведенческих ориентаций...
63692. Правовое государство, гражданское общество, личность 287.21 KB
  Он выделил законодательную власть и исполнительную, которая включает в себя три разновидности власти – внутреннюю правительственную (исполнительную) и внешнюю правительственную (федеративную, то есть союзную и международную, так как она обращена к проблемам...
63693. Правовой статус личности: понятие, структура, виды, принципы 209.64 KB
  Правовой статус личности это правовое положение человека отражающее его фактическое состояние во взаимоотношениях с обществом и государством Перевалов В. Под правовым статусом личности в широком смысле понимается юридически закрепленное положение...
63694. Основные категории статистики 173.31 KB
  Основные категории статистики Статистика оперирует определенными категориями т. Задача статистики установить общие свойства единиц совокупности изучить имеющиеся взаимосвязи и закономерности развития. Задача статистики используя адекватную систему показателей дать...
63697. ЛОГІКА ПРАВА 335.5 KB
  Логiка в структурi права i право як логiчна система. Форомальна логiка юридична логiка дiалектична логiка права. Логiка норми права.