87818

Уравнение поверхностей уровня жидкости, вращающейся вместе с сосудом вокруг вертикальной оси с угловой скоростью ω. Уравнение свободной поверхности уровня

Лекция

Физика

Максимальная высота подъема жидкости в сосуде H –- максимальная высота подъема жидкости параболоида вращения свободной поверхности уровня. Далее следует заменить через первоначальный уровень жидкости в сосуде при. объем жидкости в сосуде который находится в состоянии абсолютного покоя...

Русский

2015-04-23

152.61 KB

7 чел.

ЛЕКЦИЯ 2

Уравнение поверхностей уровня жидкости, вращающейся вместе с сосудом вокруг вертикальной оси с угловой скоростью ω. Уравнение свободной поверхности уровня.

Пусть имеется сосуд с жидкостью, вращающийся вокруг вертикальной оси с угловой скоростью ω. Найдем уравнение поверхностей уровня для рассматриваемого случая, воспользовавшись уравнением поверхности уровня в дифференциальном виде

.

На жидкость массой m в окрестностях произвольно взятой точки М действуют внешние массовые силы:



Найдем проекции этих сил и суммы проекций единичных массовых сил на оси координат.

Ось x



Следовательно, сумма проекций единичных массовых сил на ось x будет равна

ω

X

x

x

x

R

М


R – радиус сосуда;

r  - радиус вращения т. М;  

h – глубина погружения т. М от

свободной   

поверхности уровня.

Ось y



Следовательно, сумма проекций единичных массовых сил на ось y будет равна


Ось z



Следовательно, сумма проекций единичных массовых сил на ось z  будет равна

Подставляя найденные значения сумм проекций единичных массовых сил, получим
. Берем неопределенный интеграл полученного выражения


поэтому

уравнение поверхностей уровня (уравнение семейства параболоидов вращения)

Уравнение свободной поверхности уровня

Рассмотрим вершину параболоида вращения соответствующего свободной поверхности уровня; для нее справедливо: r=0; ; подставляя эти значения в последнее уравнение получим значение константы интегрирования для уравнения свободной поверхности уровня ,  отсюда следует  что, уравнением свободной поверхности уровня будет

Геометрический смысл высота подъема ветви параболоида вращения относительно горизонтальной плоскости  для точки на свободной поверхности уровня N(.

Максимальная высота подъема жидкости в сосуде

H – максимальная высота подъема жидкости параболоида вращения свободной поверхности уровня.

Согласно уравнения свободной поверхности уровня для точки на этой поверхности с координатами () связь между Н и R будет определяться уравнением . Далее следует заменить через первоначальный уровень жидкости в сосуде (при ).

– объем жидкости в сосуде, который находится в состоянии абсолютного покоя;

- объем жидкости в сосуде, который находится в состоянии относительного покоя; в силу закона сохранения объема жидкости получают

Откуда

или . Подставляя полученное выражение в ранее найденное для максимальной высоты подъема жидкости, получим

, откуда

– максимальная высота подъема жидкости в сосуде


Закон распределения давления внутри жидкости, вращающейся вместе с сосудом вокруг вертикальной оси с угловой скоростью ω.

 

Закон Паскаля, полученный ранее для случая абсолютного покоя жидкости, справедлив и для случая относительного покоя в любых его формах в том числе и для вращающегося сосуда; здесь h есть сумма высоты подъема ветви параболоида вращения над плоскостью  и расстояния между горизонтальными плоскостями . Т.е. .

Определение силы давления жидкости на плоскую стенку сосуда и на дно сосуда (без вывода).

ЦМ

ЦД

F

FДН

РИСУНОК      

       

                                                                              

Fплощадь смоченной боковой стенки сосуда;

hц глубина погружения центра масс площади F;

точка ЦМ – центр масс площади F;

точка ЦД – центр давления, точка приложения равнодействующей силы давления.

 – сила полного давления на боковую стенку сосуда (сила атмосферного давления + сила гидростатического давления жидкости).

Сила полного давления на дно сосуда может быть определена по формуле

Определение точки приложения силы полного давления (координаты центра давления ). Без вывода.


I0 – момент инерции площади, относительно центральной оси (ось, которая проходит через центр масс площади F)


, где a – основание прямоугольника, b – высота.

Элементы кинематики жидкости

(Основная теорема кинематики – теорема Коши-Гельмгольца. Траектория жидкостной частицы. Линии тока. Элементарная струйка. Трубка тока. Поток жидкости. Живое сечение потока. Смоченный периметр. Гидравлический радиус. Эквивалентный диаметр).

В кинематике изучают движение жидкости с точки зрения геометрии, без учета ее массы и сил, определяющих это движение

Основная теорема кинематики – теорема Коши-Гельмгольца. В этой теореме доказывают, что скорость перемещения жидкостной частицы складывается из трех скоростей:

– поступательная скорость;

– деформационная скорость;

                                                 Изменение прямых углов одной из граней за время

    

– вращательная скорость.

Траектория жидкостной частицы – это путь, пройденный жидкостной частицей за некоторый промежуток времени (S).

Линиями тока называют совокупность жидкостных частиц, векторы скоростей которых касательны к ней в данный момент времени.

Элементарная струйка. Трубка тока.

Если в движущейся жидкости в поперечном сечении выделить элементарную площадку dS и через все точки провести линии тока для данного момента времени, то получается объемный пучок линий тока, который называется элементарной струйкой, а ее боковая поверхность – поверхность трубки тока.

Поток жидкости – это совокупность элементарных струек жидкости, текущих в данном русле.

Живое сечение потока – это поверхность, проведенная через данную точку в пределах потока, перпендикулярная линиям тока.

Смоченным периметром называют длину линии, по которой жидкость в данном живом сечении соприкасается с руслом.

Гидравлический радиус (для канала с произвольным сечением) – это отношение площади живого сечения к смоченному периметру.

Для круглой трубы гидравлический радиус равен:

где d – смоченный периметр

Гидравлический радиус в два раза меньше геометрического.

Эквивалентный диаметр (для канала произвольного сечения) принимается  равным:


Плавно изменяющееся движение жидкости – это такое движение, при котором кривизна струек мала, угловое расхождение между отдельными струйками не велико, живое сечение потока плоское, перпендикулярно оси потока.

Расход жидкости – это объем жидкости, протекающей через поперечное сечение потока в единицу времени.

Средней скоростью в данном сечении потока называется такая фиктивная, но одинаковая во всех точках данного сечения скорость, при которой через сечение проходит то же количество жидкости, какое и при действительном распределении скоростей.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

53779. Незмінювані іменники 39.5 KB
  Мета: поглибити знання учнів про незмінювані іменники навчити визначати в них рід розвивати вміння вживати незмінювані іменники у звязному мовленні розвивати творче мислення виховувати бажання збагачувати свій лексикон. Лінгвістичний двобій Двоє учнів по черзі ставлять підготовлені вдома питання Яка частина мови називається іменником За чим змінюється іменник Як визначити рід іменника Які іменники належать до власних назв Як пишуться власні назви До якого роду належать назви осіб за професією чи...
53780. Общее укрепление мышечного тонуса, саморазвитие. Воспитание здоровой личности 96.5 KB
  Спина прямая руки прямые по возможности наклоны головы выполняем плавно дыхание ровное.сидя стоя на коленях на вдохе поднять руки вверх на выдохе опустить. 46 раз Следим за осанкой вдох должен быть глубоким руки опускаем плавно вниз выдох удлиненный с одновременным произнесением звуков.
53781. Решение задач. Поиск «лишнего» предмета в группе предметов 788.5 KB
  ЦЕЛЬ: повторить изученное; развивать у учеников внимание, логическое мышление, умение находить общие признаки для группы предметов, лишний предмет в группе предметов; продолжать формировать навыки работы с компьютером.
53782. Общий случай вычитания двузначных чисел с переходом через десяток. Решение задач 196 KB
  ОБОРУДОВАНИЕ: предметные рисунки с изображением сливы яблока и груши; сверток бумаги в виде указа; карта математической страны; аудиозапись сказки О рыбаке и рыбке; картинки с изображением Буратино Незнайки и Знайки совы. Буратино Показ предметного рисунка с изображением Буратино Правильно это Буратино а из какой он сказки Приключение Буратино Сейчас мы узнаем почему он плачет. Буратино потянулся Раз нагнулся два нагнулся Руки в стороны развел Видно ключик не нашел. Оказывается Буратино не может открыть тайную дверь.
53783. Чтение примеров на умножение. Название чисел при умножении. Составление таблицы умножения числа 2. Задачи на действие умножения 127.5 KB
  ЦЕЛЬ: упражнять детей в чтении и записывании примеров на умножение; учить заменять действие сложения одинаковых слагаемых действием умножения а действие умножения действием сложения; ознакомить с названиями компонентов при умножении; ознакомить с таблицей умножения числа 2; развивать математическую речь логическое мышление умение анализировать сопоставлять и делать выводы. Сегодня мы с вами продолжаем знакомиться с дествием умножения.
53784. Конспекти уроків з української літератури 117 KB
  Той хто перший виконав завдання намагається здобути більшу кількість балів. Урок – гра “Перших 12 балівâ€ Відбіркове питання: записати залежно від обсягу починаючи з найменшого: новела роман вірш оповідання романепопея. 5 балів:: â€Кам’яний хрест†В. 6 балів: До інтимної лірики належить така поезія: Хто автор а “Як я люблю оті години праціâ€; б â€œГімнâ€; в “І всетаки до тебе думка линеâ€; г “Тричі являлась мені лю ...
53785. Конспекти уроків «Музичне мистецтво» 209 KB
  Заглибимося в далеке минуле і поміркуємо, як виник цей вид мистецтва. Можливо музика народилася від співу пташок або дзюрчання струмка, а може, - від ритмічної праці людини, магічних обрядів, або від слова, мелодійної мови людини? Це було дуже давно, і ми можемо лише припустити, як жила тоді первісна людина. Цікаво, що наштовхнуло її на винахід музичних інструментів?
53786. Обобщение и систематизация знаний и умений по теме Квадратное уравнение и его корни 97 KB
  Учащиеся должны знать: определение квадратного уравнения; формулы дискриминанта корней квадратного уравнения; зависимость между значением дискриминанта и количеством корней квадратного уравнения. Учащиеся должны уметь: распознавать квадратные уравнения среди других уравнений; решать неполные квадратные уравнения по формуле корней квадратного уравнения; находить сумму и произведение корней приведенного квадратного...
53787. Конспекты занятий по математике 1.57 MB
  Из курса геометрии мы знаем что sin А = а соs А = . Затем выводилось основное тригонометрическое равенство: cos2 А sin2 А= = 1 Но есть недостатки этого метода. Если точка М числовой окружности соответствует числу t то абсциссу точки М называют косинусом числа t и обозначают cos t а ординату точки М называют синусом числа t и обозначают sin t слайд 5. Итак если М t = М х; у то х = cos t у= sin t слайд 5.