87823

Первообразная функция. Понятие неопределенного интеграла

Лекция

Математика и математический анализ

Основной задачей дифференциального исчисления является нахождение производной или дифференциала данной функции. Интегральное исчисление решает обратную задачу нахождение самой функции по ее производной или дифференциалу. Функция называется первообразной функцией для функции на промежутке если в каждой точке этого промежутка.

Русский

2015-04-23

628.5 KB

1 чел.

ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ  ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ.

НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ.

Первообразная функция. Понятие неопределенного интеграла.

Основной задачей дифференциального исчисления является нахождение производной или дифференциала данной функции. Интегральное исчисление решает обратную задачу — нахождение самой функции по ее производной или дифференциалу.

Функция  называется первообразной функцией для функции на промежутке  , если в каждой точке  этого промежутка .

Например,  является первообразной для функции , так как .

Следует отметить, что для заданной функции ее первообразная определена неоднозначно. Дифференцируя, нетрудно убедиться, что все функции , где   — некоторое число, являются первообразными для функции .

Аналогично в общем случае, если — некоторая первообразная для , то, поскольку , функции вида , где  - произвольное число, также являются первообразными для .  

Совокупность всех первообразных для функции на промежутке называется неопределенным интегралом от функции и обозначается , где   — знак интеграла,   — подынтегральная функция,  — подынтегральное выражение. Таким образом,

 

где  — некоторая первообразная для , — произвольная постоянная.

Например,  - первообразная для функции , то .

Операция нахождения неопределенного интеграла от некоторой функции называется интегрированием этой функции.

Основные свойства неопределенного интеграла.

1. Производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции, т.е,

.

2. Дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению, т.е.

.

3. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен этой функции с точностью до постоянного слагаемого, т.е.

 

где  — произвольное число.

4. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла, т.е.

 

где  — произвольное число.

5. Интеграл от алгебраической суммы двух функций равен такой же сумме интегралов от этих функций, т.е.

 

Перечислим интегралы от элементарных функций, которые в дальнейшем мы будем называть табличными:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

Пример .  Найти .

Решение.

=.

Интегрирование заменой переменных (подстановкой).

Одним из основных методов интегрирования является метод замены переменной (или метод подстановки), описываемый следующей формулой:

 

где  — функция, дифференцируемая на рассматриваемом промежутке.

Пример. Найти .

Решение.

.

Следует отметить, что новую переменную можно не выписывать явно (в таких случаях говорят о преобразовании функции под знаком дифференциала или о введении постоянных и переменных под знак дифференциала). Например,

 

Тогда

 Пример . Найти .

Решение.

.

 

Интегрирование по частям.

Пусть и  — дифференцируемые функции. По свойству дифференциала

или

.

Интегрируя левую и правую части последнего равенства, получаем формулу интегрирования по частям для неопределенного интеграла

.

Пример . Найти .

Решение.

.

Пример . Найти .

Решение.

.

Пример. Найти .

Положим  Тогда  и  Применяя формулу интегрирования по частям, получаем

 

Повторное применение формулы интегрирования по частям приводит к табличному интегралу. Действительно, положим теперь  Тогда  Следовательно,

 

ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ.

Задача о площади криволинейной трапеции. Пусть на отрезке задан неотрицательная функция . Требуется найти площадь  криволинейной трапеции, ограниченной кривой , прямыми ,  и осью абсцисс .

 

Наметим общий подход к решению этой задачи. Введем в рассмотрение некоторую ломаную, которая расположена достаточно близко к кривой  на . Фигура под ломаной состоит из трапеций (прямоугольников), и ее площадь  (равная сумме площадей этих трапеций) может быть вычислена с использованием известных формул планиметрии. Поскольку ломаная выбрана достаточно близко к кривой , то справедливо приближенное равенство . Это равенство оказывается тем более точным, чем ближе расположена ломаная к исходной кривой. Поэтому естественно за искомую площадь  взять предел площади под ломаной в предположении неограниченного приближения ломаной к заданной кривой.

Понятие интегральной суммы. Пусть на  задана функция . Разобьем отрезок  на  элементарных отрезков точками : .

На каждом отрезке  разбиения выберем некоторую точку  и положим , где . Сумму вида

 

будем называть интегральной суммой для функции  на .

Очевидно, что интегральная сумма зависит как от способа разбиения отрезка  точками , так и от выбора точек  на каждом из отрезков разбиения , .

Геометрический смысл интегральной суммы состоит в том, что она равна площади под ломаной, образованной на каждом из отрезков  прямой , параллельной оси абсцисс.

Для избранного разбиения отрезка  на части обозначим через  максимальную из длин отрезков ,  где.

Пусть предел интегральной суммы  при стремлении  к нулю существует, конечен и не зависит от способа выбора точек ,... и точек . Тогда этот предел называется определенным интегралом от функции  на , обозначается , а сама функция  называется интегрируемой на отрезке , т.е.

.

При этом число  называется нижним пределом, число  — его верхним пределом; функция  — подынтегральной функцией, выражение  - подынтегральным выражением, а задача о нахождении  — интегрированием функции  на отрезке .

Несмотря на сходство в обозначениях и терминологии, определенный и неопределенный интегралы существенно различные понятия: в то время как  представляет семейство функций,   есть определенное число.

Во введенном определении определенного интеграла  предполагается, что . По определению положим

 .

Геометрический смысл определенного интеграла. Понятие определенного интеграла введено таким образом, что в случае, когда функция  неотрицательна на отрезке , где ,  численно равен площади под кривой  на .

Теорема. (Достаточное условие существования определенного интеграла)

Если функция   непрерывна на отрезке , то она интегрируема на этом отрезке.

Свойства определенного интеграла.

  1.  Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла, т.е.

  1.  Интеграл от алгебраической суммы двух функций равен такой же сумме интегралов от этих функций, т.е.

  1.  Если отрезок интегрирования разбит на части, то интеграл на всем отрезке равен сумме интегралов для каждой из возникших частей, т.е.

  1.  Если на отрезке , то и

,

т.е. обе части неравенства можно почленно интегрировать.

Основная теорема интегрального исчисления  – формула  Ньютона-Лейбница.

Теорема. Пусть функция  непрерывна на отрезке  и  — любая первообразная для  на . Тогда определенный интеграл от функции   на  равен приращению первообразной  на этом отрезке, т.е.

 

Нахождение определенных интегралов с использованием формулы Ньютона—Лейбница  осуществляется в два шага: на первом шаге, используя технику нахождения неопределенного интеграла, находят некоторую первообразную  для подынтегральной функции ; на втором применяется собственно формула Ньютона—Лейбница — находится приращение первообразной, равное искомому интегралу. В связи с этим введем обозначение для приращения первообразной, которое удобно использовать при записи решений. По определению положим

 

Вычисление определенного интеграла заменой переменных и по частям.

Теорема. Пусть функция  имеет непрерывную производную на отрезке , , и функция  непрерывна в каждой точке  вида , где .

Тогда справедливо следующее равенство

Эта формула носит название формулы замены переменной в определенном интеграле.

Теорема. Пусть функции  и  имеют непрерывные производные на отрезке . Тогда

 где .

Эта формула  называется формулой интегрирования по частям для определенного интеграла.

Вычисление площадей плоских фигур.

Пусть функция  неотрицательна и непрерывна на отрезке . Тогда по геометрическому смыслу определенного интеграла площадь  под кривой  на численно равна определенному интегралу , т.е. .

Теорема. Пусть на отрезке  заданы непрерывные функции  и  такие, что . Тогда площадь фигуры, заключенной между кривыми  и , на отрезке  вычисляется по формуле

 


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

79151. Учение пятидесятников о крещении Духом Святым 11.87 KB
  Внешним признаком КДС для большинства пятидесятников является говорение на иных языках. обладают даром говорения на языках. Учение пятидесятников о КДС которое обязательно должно сопровождаться внешним проявлением в виде говорения на иных языках не находит подтверждение в Св. Так в день пятидесятницы крестилось около 3000 человек но они не говорили на языках Деян.
79152. Пятидесятнические теории говорения иными языками 14.2 KB
  Из Деяний следует что апостолы говорил на национальных языках но в послании к 1Кор. Правда сейчас теория говорения на смешанных языках не получила своего распространения. Писания о предназначении дара говорения на иных языках. Широкое распространение дара говорение на иных языках в ранний период церковной истории было вызвано необходимостью проповедью христианства в языческом и многоязычном мире который требовал знамений служивших для религиозного сознания верующего человека подтверждением истинности какой либо доктрины.
79154. Сущность и происхождение учения теософов 35.48 KB
  Своим возникновением совеременное движение теософов обязано Елене Петровне Блаватской прим №1. Естественно что с этих пор индуизм и буддизм стали приобретать всё большее значение в системе теософов и антихристианские настроения Елены Блаватской сменились открытой враждебностью к евангельской вере. Секта теософов разделяется на несколько организаций некоторые из которых стали независимыми от Мадрасского центра.
79155. Происхождение Вселенной 18.16 KB
  Так краеугольным камнем ее теософии является фраза: Все ведущее к единству есть добро; все ведущее к разъединению есть зло. Всегда ли разъединение есть зло А как быть тогда с разотождествлением добра и злаЧеткое разделение этих категорий и выбор между ними главный принцип зороастрийской религии. С точки зрения зороастризма смешение добра и зла есть искажение божественной истины и любое учение пропагандирующее смешение этих понятий объявляется еретическим подобно тому как манихейское учение искажающее сущность зороастризма и...
79157. Сектоведение как дисциплина 25.13 KB
  Сектоведение как самостоятельная академическая дисциплина по Уставу духовных академий появилась в 1912 г. Сектоведение изучает краткую историю вероучение культ и практику религиозных движений отпадших от православной Церкви или исповедующих идеи осужденные и несогласные с ее догматическим сознанием. Задача Сектоведение имеет Задачу раскрытие православного учения сообразуясь с заблуждениями еретиков. Сектоведение изучает краткую историю вероучение культ и практику религиозных движений отпадших от православной Церкви или исповедующих идеи...
79158. Историко-филологическое определение термина секта 24.74 KB
  Историко-филологическое определение термина секта Существует два мнения о происхождении термина секта: sequor secutus sum sequī следовать за кем-либо в чем-либо; seco secui sectum secre срезать стричь отсекать разделять расщеплять. Слово секта в словарях буквально значит или учение доктрина. Первоначально термин секта никакого оценочного значения в себе не содержал и оскорбляющего значения не нес. Слово секта в классической латыни 1й век использовалось для обозначения образа мыслей образа знаний типа поведения; в...
79159. Католический подход к сектантству 11.34 KB
  Католический подход к сектантству определение секты современный понятийно терминологический аппарат представление о природе сектантства Блж. Иероним секта = ересь но в Новом Завете это направление определенной религиозной мысли или академический термин как у ап. Но в целом термин этот был не определен на Западе и он не нашел себе широко развития но когда западное христианство разделилось то слово секта в разных экклезиологиях термин получил разные понимания. Именно в этот период нами был заимствован этот термин и именно в этом...