87842

Элементы математической статистики. Введение в регрессионный анализ. Точечные оценки параметров генеральной совокупности по выборочным совокупностям, их свойства

Лекция

Математика и математический анализ

Нахождение доверительных интервалов для математического ожидания и дисперсии нормального распределения случайной величины В ряде задач требуется не только найти с помощью статистических данных точечную оценку для параметра распределения но и оценить ее точность и надежность так как в силу случайности...

Русский

2015-04-23

242.02 KB

4 чел.

ЛЕКЦИЯ №2

Элементы математической статистики. Введение в регрессионный анализ

Точечные оценки параметров генеральной совокупности по выборочным совокупностям, их свойства

Пусть закон распределения случайной величины X содержит неизвестный параметр . Требуется на основании опытных данных найти подходящую оценку для параметра . 

Пусть

          (1)

представляют собой n независимых копий случайной величины X,

Случайная величина

           (2)

построенная на основе статических данных (11), называется точечной оценкой параметра  

Для того, чтобы оценка имела практическую ценность, она должна обладать следующими свойствами:

  1.  Несмещенность 

Оценка называется несмещенной, если ее математическое ожидание равно оцениваемому параметру а, т.е. В противном случае (если ), оценка называется смещенной.

Естественно, в качестве оценки, т.е. приближенного значения неизвестного параметра, брать несмещенные оценки. В этом случае мы не делаем систематической ошибки в сторону завышения или занижения.

  1.  Состоятельность

Оценка называется состоятельной, если она сходится по вероятности к оцениваемому параметру при неограниченном возрастании Т.е. при или при  

Состоятельность оценки означает, что при достаточно большом числе опытов со сколько угодно большой достоверностью, отклонение оценки от истинного значения параметра по модулю меньше любого заранее выбранного числа

  1.  Эффективность

Оценки, обладающие свойством несмещенности и состоятельности при ограниченном числе опытов, могут отличаться дисперсиями. Чем меньше дисперсия оценки, тем меньше вероятность грубой ошибки при определении приближенного значения параметра. Поэтому необходимо, чтобы дисперсия оценки была минимальной, т.е. чтобы выполнялось условие:

        (3)

Оценка, обладающая свойством (3) называется эффективной, если при заданном объеме выборки имеет наименьшую дисперсию.

Условия несмещенности, состоятельности и эффективности являются условиями доброкачественности оценки, что является необходимым при обработке статистических данных.

Точечные оценки для математического ожидания и дисперсии случайной величины (СВ)

Оценка для математического ожидания СВ

Пусть исследуется СВ с математическим ожиданием  Обозначим через значения СВ, полученные в результате  независимых равноточных опытов, т.е. измерений, которые проводились в одинаковых условиях. В качестве оценки для примем среднее арифметическое наблюдаемых значений:

         (4)

- выборочная средняя. Оценка (4) является несмещенной, т.к.

Оценка (4) является состоятельной, т.к. по теореме Чебышева (частный случай): при

Эффективность оценки (4) выполняется лишь для узкого класса распределений, в частности, для нормального распределения .

Оценка для дисперсии СВ

 В качестве оценки для дисперсии рассмотрим следующую величину:

       (5)

(5) – выборочная дисперсия. Проверим ее на состоятельность и несмещенность. Преобразуем выражение (5) к другому виду:

 

 

       (6)

в (6) первый член представляет собой среднее арифметическое наблюдаемых значений случайной величины значит он сходится по вероятности к второй член сходится по вероятности к  

 

Следовательно, правая часть (6) сходится по вероятности к величине Это означает, что (6) является состоятельной оценкой.

Теперь проверим, является ли выборочная дисперсия несмещенной оценкой:

Так как дисперсия не зависит от того, в какой точке выбрать начало координат, выберем его в точке затем найдем математическое ожидание величины  

 

    (7)

Очевидно, выборочная дисперсия является смещенной оценкой. Однако, если умножить на то мы получим для оценку, обладающую свойством несмещенности, ибо:

 

Эту оценку принято называть «исправленной» выборочной дисперсией и определять формулой:

       (8)

- «исправленное» среднее квадратическое отклонение. Так как при то (8) будет также и состоятельной оценкой.

Интервальные оценки. Доверительный интервал. Нахождение доверительных интервалов для математического ожидания и дисперсии нормального распределения случайной величины

В ряде задач требуется не только найти с помощью статистических данных точечную оценку для параметра распределения, но и оценить ее точность и надежность, так как в силу случайности приближенная замена на может привести к серьезным ошибкам. Для точности оценки в математической статистике используют доверительные интервалы.

Пусть для параметра распределения случайной величины Х получена несмещенная оценка . Задаем достаточно высокую вероятность (например, ) и находим такое значение  > 0, для которого

.    (9)

Равенство (9) можно переписать в другом виде:

.     (10)

Последнее равенство (10) можно истолковать следующим образом: неизвестное значение параметра а с вероятностью попадает в интервал .

Но так как неизвестное значение параметра является неслучайной величиной, оценка этого параметра – случайной, то равенство (10) можно истолковать более точно следующим образом: интервал с высокой вероятностью покрывает неизвестный параметр .

Интервал называется доверительным интервалом; центр его находится в точке , радиус его . Вероятность называется доверительной вероятностью или надежностью.

Итак, доверительный интервал – это интервал с центром в точке и радиусом , который с высокой вероятностью (надежностью) покрывает неизвестный параметр. Найти доверительный интервал – это значит, по статистическим данным найти центр интервала и радиус его > 0.

  1.  Доверительный интервал для оценки математического ожидания нормального распределения случайной величины с известным

Пусть случайная величина X имеет нормальное распределение с неизвестным математическим ожиданием и известной дисперсией 2. Пусть произведено n независимых опытов и на основании статистических данных получено выборочное среднее:

Задаем достаточно высокую доверительную вероятность . Требуется построить доверительный интервал . Прежде всего, заметим, что случайная величина также имеет нормальное распределение . Действительно,

;

Вероятность попадания случайной величины с нормальным законом распределения в симметричный интервал с центром в точке и радиусом ε равен

      (11)

где – функция Лапласа.

Обозначая, имеем Ф(t) = /2. Затем по табл. 4 приложения находим t по значению Ф(t) = /2; отсюда находится : . Таким образом, доверительный интервал имеет вид

 .  (12)

Задача 1. Случайная величина X имеет нормальное распределение с известным =3. Найти доверительный интервал для оценки неизвестного математического ожидания а по его выборочному среднему , если известны объем выборки и .

Решение. Имеем на основании формулы (11):

t = , .

Из табл. 4 t = 1,96. Тогда . Таким образом,

.

2. Доверительный интервал для оценки математического ожидания
нормального распределения с неизвестным

В отличие от предыдущего, случайная величина X имеет нормальное распределение N (a,) с неизвестным . Пусть произведено n независимых испытаний, построены выборочная средняя и “исправленная” выборочная дисперсия S2. Требуется построить доверительный интервал для оценки математического ожидания.

Рассмотрим случайную величину

.       (13)

Распределение (13) является t – распределение или распределением Стьюдента с степенями свободы.

Действительно, по определению, если – случайная величина с нормальным распределением , а V – случайная величина, распределенная по закону 2 с k степенями свободы, то случайная величина распределена по закону Стьюдента с k степенями свободы. Случайная величина распределена по нормальному закону . Случайная величина

(14)

распределена также по нормальному закону (как линейная функция относительно нормального аргумента ) с законом .

Известно, что случайная величина

(15)

распределена по закону 2 с степенями свободы. Поэтому случайная величина T распределена по закону Стьюдента.

С ростом степеней свободы распределение Стьюдента приближается к нормальному и уже при практически не отличается от него. Следовательно, при оценке неизвестных параметров по выборке малого объема используют распределение Стьюдента (13). При построении доверительного интервала для математического ожидания речь идет о вероятности (9). Имеем

или с учетом (13)

 . (16)

Обозначая , получаем .

Таким образом, имеем

.  (17)

Значение определяется по вероятности из табл. 5 приложения распределения Стьюдента. Затем, принимая во внимание, что , находим . Таким образом, доверительный интервал для оценки математического ожидания с неизвестным  имеет вид

. (18)

Задача 2. Случайная величина X имеет нормальное распределение. По выборке объемом n = 15 найдены выборочная средняя , “исправленное” среднее квадратическое отклонение . Определить интервальную оценку математического ожидания с доверительной вероятностью .

Решение. По табл. 5 приложения находим . Тогда . По формуле (18) получим доверительный интервал

.

Замечание. Пусть производится n независимых равноточных измерений некоторой физической величины, истинное значение которой неизвестно и которая имеет нормальное распределение. Пусть – результаты отдельных измерений, рассматриваемые как независимые случайные величины с одним и тем распределением, и имеют одно и то же математическое ожидание (истинное значение измеряемой величины), одинаковые дисперсии 2 (измерения равноточные). В этом случае истинное значение измерений физической величины оценивается с помощью среднего выборочного , для которого можно построить доверительный интервал (с неизвестным ) по методу, указанному в п. 2.

Задача 3. По данным 16-ти независимых равноточных измерений физической величины найдено выборочное среднее и “исправленное” среднее квадратическое отклонение . Требуется оценить истинное значение случайной величины с надежностью .

Решение. Истинное значение измеряемой величины равно ее математическому ожиданию. Поэтому задача сводится к оценке математического ожидания (при неизвестном ) для нормального распределения с помощью доверительного интервала. Доверительный интервал находится с помощью формулы (18).

Используя табл. 5 приложения по =0,95 и , находим . Имеем

,

.

3. Доверительные интервалы для оценки среднего квадратического отклонения  нормального распределения

Пусть исследуемая случайная величина X генеральной совокупности распределена по закону N (a,). По статистическим данным найдено “исправленное” среднее квадратическое отклонение S. Требуется найти для него доверительный интервал с надежностью .

Требуется найти такое  > 0, чтобы выполнялось равенство

. (19)

Неравенство |-S|< с помощью ряда равносильных преобразований можно переписать в виде

.

Поэтому равенство (19) можно переписать в виде

P (|-S|<)=P (<<) = ,     (20)

где

.     (21)

Случайная величина (19) распределена по закону (имеет - распределение) с степенями свободы. Плотность вероятности -распределения с (n-1) степенями свободы имеет вид

Тогда равенство (20) можно переписать в виде. Из этого уравнения по заданным и можно найти; для этого используется табл. 6 вероятности попадания случайной величины с - распределением в заданный интервал, зависящий от . После нахождения доверительный интервал определяется равенством

. (22)

Задача.4. Количественный признак генеральной совокупности распределен по нормальному закону N (a,). По выборке объема найдено “исправленное” среднее квадратическое отклонение . Найти доверительный интервал для этой оценки с надежностью .

Решение. По табл. 6 приложения по и найдем . Доверительный интервал имеет вид I = (1,24(1–0,44);  1,24(1+0,44)) = (0,69;1,79).

Замечание. В теории измерений принято точность измерений (точность измерительной системы) характеризовать с помощью . Для оценки  используют “исправленное” среднее квадратическое отклонение . Поэтому для оценки точности измерений применяется доверительный интервал для , теория построения которого изложена выше.

Таблица П4

Таблица значений функции

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0,0

0,3989

0,3989

0,3989

0,3988

0,3986

0,3984

0,3982

0,3980

0,3977

0,3973

0,1

3970

3965

3961

3956

3951

3945

3939

3932

3925

3918

0,2

3910

3902

3894

3885

3876

3867

3857

3847

3836

3825

0,3

3814

3802

3790

3778

3765

3752

3739

3726

3712

3697

0,4

3683

3668

3652

3637

3621

3605

3589

3572

3555

3538

0,5

3521

3503

3485

3467

3448

3429

3410

3391

3372

3352

0,6

3332

3312

3292

3271

3251

3230

3209

3187

3166

3144

0,7

3123

3101

3079

3056

3034

3011

2989

2966

2943

2920

0,8

2897

2874

2850

2827

2803

2780

2756

2732

2709

2685

0,9

2661

2637

2613

2589

2565

2541

2516

2492

2468

2444

1,0

0,2420

0,2396

0,2371

0,2347

0,2323

0,2299

0,2275

0,2251

0,2227

0,2203

1,1

2179

2155

2131

2107

2083

2059

2036

2012

1989

1965

1,2

1942

1919

1895

1872

1849

1826

1804

1781

1758

1736

1,3

1714

1691

1669

1647

1626

1604

1582

1561

1539

1518

1,4

1497

1476

1456

1435

1415

1394

1374

1354

1334

1315

1,5

1295

1276

1257

1238

1219

1200

1182

1163

1145

1127

1,6

1109

1092

1074

1057

1040

1023

1006

0989

0973

0957

1,7

0940

0925

0909

0893

0878

0863

0848

0833

0818

0804

1,8

0790

0775

0761

0748

0734

0721

0707

0694

0681

0669

1,9

0656

0644

0632

0620

0608

0596

0584

0573

0562

0551

2,0

0,0540

0,0529

0,0519

0,0508

0,0498

0,0488

0,0478

0,0468

0,0459

0,0449

2,1

0440

0431

0422

0413

0404

0396

0387

0379

0371

0363

2,2

0355

0347

0339

0332

0325

0317

0310

0303

0297

0290

2,3

0283

0277

0270

0264

0258

0252

0246

0241

0235

0229

2,4

0224

0219

0213

0208

0203

0198

0194

0189

0184

0180

2,5

0175

0171

0167

0163

0158

0154

0151

0147

0143

0139

2,6

0136

0132

0129

0126

0122

0119

0116

0113

0110

0107

2,7

0104

0101

0099

0096

0093

0091

0088

0086

0084

0081

2,8

0079

0077

0075

0073

0071

0069

0067

0065

0063

0061

2,9

0060

0058

0056

0055

0053

0051

0050

0048

0047

0046

3,0

0,0044

0,0043

0,0042

0,0040

0,0039

0,0038

0,0037

0,0036

0,0035

0,0034

3,1

0033

0032

0031

0030

0029

0028

0027

0026

0025

0025

3,2

0024

0023

0022

0022

0021

0020

0020

0019

0018

0018

3,3

0017

0017

0016

0016

0015

0015

0014

0014

0013

0013

3,4

0012

0012

0012

0011

0011

0010

0010

0010

0009

0009

3,5

0009

0008

0008

0008

0008

0007

0007

0007

0007

0006

3,6

0006

0006

0006

0005

0005

0005

0005

0005

0005

0004

3,7

0004

0004

0004

0004

0004

0004

0003

0003

0003

0003

3,8

0003

0003

0003

0003

0003

0002

0002

0002.

0002

0002

3,9

0002

0002

0002

0002

0002

0002

0002

0002

0001

0001


Таблица П4

Таблица значений функции

x

Ф (x)

x

Ф (x)

x

Ф (x)

x

Ф (x)

0,00

0,0000

0,24

0,0948

0,48

0,1844

0,72

0,2642

0,01

0,0040

0,25

0,0987

0,,49

0,1879

0,73

0,2673

0,02

0,0080

0,26

0,1026

0,50

0,1915

0,74

0,2703

0,03

0,0120

0,27

0,1064

0,51

0,1950

0,75

0,2734

0,04

0,0160

0,28

0,1103

0,52

0,1985

0,76

0,2764

0,05

0,0199

0,29

0,1141

0,53

0,2019

0,77

0,2794

0,06

0,0239

0,30

0,1179

0,54

0,2054

0,78

0,2823

0,07

0,0279

0,31

0,1217

0,55

0,2088

0,79

0,2852

0,08

0,0319

0,32

0,1255

0,56

0,2123

0,80

0,2881

0,09

0,0359

0,33

0,1293

0,57

0,2157

0,81

0,2910

0,10

0,0398

0,34

0,1331

0,58

0,2190

0,82

0,2939

0,11

0,0438

0,35

0,1368

0,59

0,2224

0,83

0,2967

0,12

0,0478

0,36

0,1406

0,60

0,2257

0,84

0,2995

0,13

0,0517

0,37

0,1443

0,61

0,2291

0,85

0,3023

0,14

0,0557

0,38

0,1480

0,62

0,2324

0,86

0,3051

0,15

0,0596

0,39

0,1517

0,63

0,2357

0,87

0,3078

0,16

0,0636

0,40

0,1554

0,64

0,2389

0,88

0,3106

0,17

0,0675

0,41

0,1591

0,65

0,2422

0,89

0,3133

0,18

0,0714

0,42

0,1628

0,66

0,2454

0,90

0,3159

0,19

0,0753

0,43

0,1664

0,67

0,2486

0,91

0,3186

0,20

0,0793

0,44

0,1700

0,68

0,2517

0,92

0,3212

0,21

0,0832

0,45

0,1736

0,69

0,2549

0,93

0,3238

0,22

0,0871

0,46

0,1772

0,70

0,2580

0,94

0,3264

0,23

0,0910

0,47

0,1808

0,71

0,2611

0,95

0,3289

0,96

0,3315

1,37

0,4147

1,78

0,4625

2,36

0,4909

0,97

0,3340

1,38

0,4162

1,79

0,4633

2,38

0,4913

0,98

0,3365

1,39

0,4177

1,80

0,4641

2,40

0,4918

0,99

0,3389

1,40

0,4192

1,81

0,4649

2,42

0,4922

1,00

0,3413

1,41

0,4207

1,82

0,4656

2,44

0,4927

1,01

0,3438

1,42

0,4222

1,83

0,4664

2,46

0,4931

1,02

0,3461

1,43

0,4236

1,84

0,4671

-2,48

0,4934

1,03

0,3485

1,44

0,4251

1,85

0,4678

2,50

0,4938

1,04

0,3508

1,45

0,4265

1,86

0,4686

2,52

0,4941

1,05

0,3531

1,46

0,4279

1,87

0,4693

2,54

0,4945

1,06

0,3554

1,47

0,4292

1,88

0,4699

2,56

0,4948

1,07

0,3577

1,48

0,4306

1,89

0,4706

2,58

0,4951

1,08

0,3599

1,49

0,4319

1,90

0,4713

2,60

0,4953

1,09

0,3621

1,50

0,4332

1,91

0,4719

2,62

0,4956

1,10

0,3643

1,51

0,4345

1,92

0,4726

2,64

0,4959

1,11

0,3665

1,52

0,4357

1,93

0,4732

2,66

0,4961

1,12

0,3686

1,53

0,4370

1,94

0,4738

2,68

0,4963

1,13

0,3708

1,54

0,4382

1,95

0,4744

2,70

0,4965

1,14

0,3729

1,55

0,4394

1,96

0,4750

2,72

0,4967

1,15

0,3749

1,56

0,4406

1,97

0,4756

2,74

0,4969

1,16

0,3770

1,57

0,4418

1,98

0,4761

2,76

0,4971

1,17

0,3790

1,58

0,4429

1,99

0,4767

2,78

0,4973

1,18

0,3810

1,59

0,4441

2,00

0,4772

2,80

0,4974

Окончание таблицы П4

x

Ф (x)

x

Ф (x)

x

Ф (x)

x

Ф (x)

1,19

0,3830

1,60

0,4452

2,02

0,4783

2,82

0,4976

1,20

0,3849

1,61

0,4463

2,04

0,4793

2,84

0,4977

1,21

-0,3869

1,62

0,4474

2,06

0,4803

2,86

0,4979

1,22

0,3883

1,63

0,4484

2,08

0,4812

2,88

0,4980

1,23

0,3907

1,64

0,4495

2,10

0,4821

2,90

0,4981

1,24

0,3925

1,65

0,4505

2,12

0,4830

2,92

0,4982

1,25

0,3944

1,66

0,4515

2,14

0,4838

2,94

0,4984

1,26

0,3962

1,67

0,4525

2,16

0,4846

2,96

0,4985

1,27

0,3980

1,68

0,4535

2,18

0,4854

2,98

0,4986

1,28

0,3997

1,69

0,4545

2,20

0,4861

3,00

0,49865

1,29

0,4015

1,70

0,4554

2,22

0,4868

3,20

0,49931

1,30

0,4032

1,71

0,4564

2,24

0,4875

3,40

0,49966

1,31

0,4049

1,72

0,4573

2,26

0,4881

3,60

0,499841

1,32

0,4066

1,73

0,4582

2,28

0,4887

3,80

0,499928

1,33

0,4082

1,74

0,4591

2,30

0,4893

4,00

0,499968

1,34

0,4099

1,75

0,4599

2,32

0,4896

4,50

0,499997

1,35

0,4115

1,76

0,4608

2,34

0,4904

5,00

0,499997

1,36

0,4131

1,77

0,4616

Таблица П5

Таблица значений t= t (, n)

 

n

0,95

0,99

0,999

n

0,95

0,99

0,999

5

2,78

4,60

8,61

20

2,093

2,861

3,883

6

2,57

4,03

6,86

25

2,064

2,797

3,745

7

2,45

3,71

5,96

30

2,045

2,756

3,659

8

2,37

3,50

5,41

35

2,032

2,720

3,600

9

2,31

3,36

5,04

40

2,023

2,708

3,558

10

2,26

3,25

4,78

45

2,016

2,692

3,527

11

2,23

3,17

4,59

50

2,009

2,679

3,502

12

2,20

3,11

4,44

60

2,001

2,662

3,464

13

2,18

3,06

4,32

70

1,996

2,649

3,439

14

2,16

3,01

4,22

80

1,001

2,640

3,418

15

2,15

2,98

4,14

90

1,987

2,633

3,403

16

2,13

2,95

4,07

100

1,984

2,627

3,392

17

2,12

2,92

4,02

120

1,980

2,617

3,374

18

2,11

2,90

3,97

1,960

2,576

3,291

19

2,10

2,88

3,92


Таблица П6

Таблица значений q= q (, n)

п

n

0,95

0,89

0,999

0,95

0,99

0,999

5

1,37

2,67

5,64

20

0,37

0,58

0,88

6

1,09

2,01

3,88

25

0,32

0,49

0,73

7

0,92

1,62

2,98

30

0,28

0,43

0,63

8

0,80

1,38

2,42

35

0,26

0,38

0,56

9

0,71

1,20

2,06

40

0,24

0,35

0,50

10

0,65

1,08

1,80

45

0,22

0,32

0,46

11

0,59

0,98

1,60

50

0,21

0,30

0,43

12

0,55

0,90

1,45

60

0,188

0,269

0,38

13

0,52

0,83

1,33

70

0,174

0,245

0,34

14

0,48

0,78

1,23

80

0,161

0,226

0,31

16

0,46

0,73

1,15

90

0,151

0,211

0,29

16

0,44

0,70

1,07

100

0,143

0,198

0,27

17

0,42

0,66

1,01

150

0,115

0,160

0,211

18

0,40

0,63

0,96

200

0,099

0,136

0,185

19

0,39

0,60

0,92

250

0,089

0,120

0,162

Таблица П7

Критические точки распределения 2

Число степеней свободы

Уровень значимости

0,01

0,025

0,05

0,95

0,975

0,89

1

6,6

5,0

3,8

0,0039

0,00098

0,00016

2

9,2

7,4

6,0

0,103

0,051

0,020

3

11,3

9,4

7,8

0,352

0,216

0,115

4

13,3

11,1

9,5

0,711

0,484

0,297

5

15,1

12,8

11,1

1,15

0,831

0,554

6

16,8

14,4

12,6

1,64

1,24

0,872

7

18,5

16,0

14,1

2,17

1,69

1,24

8

20,1

17,5

15,5

2,73

2,18

1,65

9

21,7

19,0

16,9

3,33

2,70

2,09

10

23,2

20,5

18,3

3,94

3,25

2,56

11

24,7

21,9

19,7

4,57

3,82

3,05

12

26,2

23,3

21,0

5,23

4,40

3,57

13

27,7

24,7

22,4

5,89

5,01

4,11

14

29,1

26,1

23,7

6,57

5,63

4,66

15

30,6

27,5

25,0

7,26

6,26

5,23

16

32,0

28,8

26,3

7,96

6,91

5,81

17

33,4

30,2

27,6

8,67

7,56

6,41

18

34,8

31,5

28,9

9,39

8,23

7,01

19

36,2

32,9

30,1

10,1

8,91

7,63

20

37,6

34,2

31,4

10,9

9,59

8,26

21

38,9

35,5

32,7

11,6

10,3

8,90

22

40,3

36,8

33,9

12,3

11,0

9,54

23

41,6

38,1

35,2

13,1

11,7

10,2

24

43,0

39,4

36,4

13,8

12,4

10,9

25

44,3

40,6

37,7

14,6

13,1

11,5

26

45,6

41,9

38,9

15,4

13,8

12,2

27

47,0

43,2

40,1

16,2

14,6

12,9

28

48,3

44,5

41,3

16,9

15,3

13,6

29

49,6

45,7

42,6

17,7

16,0

14,3

30

50,9

47,0

43,8

18,5

16,8

15,0


Таблица П8

Критические точки распределения Стьюдента

Число

степеней

свободы k

Уровень значимости  (двусторонняя критическая область)

0,10

0,05

0,02

0,01

0,002

0,001

1

6,31

12,7

31,82

63,7

318,3

637,0

2

2,92

4,30

6,97

9,92

22,33

31,6

3

2,35

3,18

4,54

5,84

10,22

12,9

4

2,13

2,78

3,75

4,60

7,17

8,61

5

2,01

'2,57

3,37

4,03

5,89

6,86

6

1,94

2,45

3,14

3,71

5,21

5,96

7

1,89

2,36

3,00

3,50

4,79

5,40

8

1,88

2,31

2,90

3,36

4,50

5,04

9

1,83

2,26

2,82

3,25

4,30

4,78

10

1,81

2,23

2,76

3,17

4,14

4,59

11

1,80

2,20

2,72

3,11

4,03

4,44

12

1,78

2,18

2,68

3,05

3,93

4,32

13

1,77

2,16

2,65

3,01

3,85

4,22

14

1,76

2,14

2,62

2,98

3,79

4,14

15

1,75

2,13

2,60

2,95

3,73

4,07

16

1,75

2,12

2,58

2,92

3,69

4,01

17

1,74

2,11

2,57

2,90

3,65

3,96

18

1,73

2,10

2,55

2,88

3,61

3,92

19

1,73

2,09

2,54

2,86

3,58

3,88

20

1,73

2,09

2,53

2,85

3,55

3,85

21

1,72

2,08

2,52

2,83

3,53

3,82

22

1,72

2,07

2,51

2,82

3,51

3,79

23

1,71

2,07

2,50

2,81

3,49

3,77

24

1,71

2,06

2,49

2,80

3,47

3,74

25

1,71

2,06

2,49

2,79

3,45

3,72

26

1,71

2,06

2,48

2,78

3,44

3,71

27

1,71

2,05

2,47

2,77

3,42

3,69

28

1,70

2,05

2,46

2,76

3,40

3,66

29

1,70

2,05

2,46

2,76

3,40

3,66

30

1,70

2,04

2,46

2,75

3,39

3,65

40

1,68

2,02

2,42

2,70

3,31

3,55

60

1,67

2,00

2,39

2,66

3,23

3,46

120

1,66

1,98

2,36

2,62

3,17

3,37

180

1,64

1,96

2,33

2,58

3,09

3,29

0,05

0,025

0,01

0,005

0,001

0,0005

Уровень значимости  (односторонняя критическая область)


Таблица П9

Критические точки F-распределения Фишера-Снедекора

(k1 число степеней свободы большей дисперсии,

k2 число степеней свободы меньшей дисперсии)

Уровень значимости =0,01

k1

k2

1

2

1

4

5

6

7

8

9

10

11

12

1

4052

4999

5403

5625

5764

5889

5928

5981

6022

6056

6082

6106

2

98,49

99,01

99,17

99,25

99,30

99,33

99,34

99,36

99,38

99,40

99,41

99,42

3

34,12

30,81

29,46

28,71

28,24

27,91

27,67

27,49

27,34

27,23

27,13

27,05

4

21,20

18,00

16,69

15,98

15,52

15,21

14,98

14,80

14,66

14,54

14,45

14,37

5

16,26

13,27

12,06

11,39

10,97

10,67

10,45

10,27

10,15

10,05

9,96

9,89

6

13,74

10,92

9,78

9,15

8,75

8,47

8,26

8,10

7,98

7,87

7,79

7,72

7

12,25

9,55

8,45

7,85

7,46

7,19

7,00

6,84

6,71

6,62

6,54

6,47

8

11,26

8,65

7,59

7,01

6,63

6,37

6,19

6,03

5,91

5,82

5,74

5,67

9

10,56

8,02

6,99

6,42

6,06

5,80

5,62

5,47

5,35

5,26

5,18

5,11

10

10,04

7,56

6,55

5,99

5,64

5,39

5,21

5,06

4,95

4,85

4,78

4,71

11

9,86

7,20

6,22

5,67

5,32

5,07

4,88

4,74

4,63

4,54

4,46

4,40

12

9,33

6,93

5,95

5,41

5,06

4,82

4,65

4,50

4,39

4,30

4,22

4,16

13

9,07

6,70

5,74

5,20

4,86

4,62

4,44

4,30

4,19

4,10

4,02

3,96

14

8,86

6,51

5,56

5,03

4,69

4,46

4,28

4,14

4,03

3,94

3,86

3,80

15

8,68

6,36

5,42

4,89

4,56

4,32

4,14

4,00

3,89

3,80

3,73

3,67

16

8,53

6,23

5,29

4,77

4,44

4,20

4,03

3,89

3,78

3,69

3,61

3,55

17

8,40

6,11

5,18

4,67

4,34

4,10

3,93

3,79

3,68

3,59

3,52

3,45

Уровень значимости =0,05

k1

k2

1

2

з

4

5

6

7

8

9

io

11

12

1

161

200

216

225

230

234

237

239

241

242

243

244

2

18,51

19,00

19,16

19,25

19,30

19,33

19,36

19,37

19,38

19,39

19,40

19,41

3

10,13

9,55

9,28

9,12

9,01

8,94

8,88

8,84

8,81

8,78

8,76

8,74

4

7,71

6,94

6,59

6,39

6,26

6,16

6,09

6,04

6,00

5,96

5,93

5,91

5

6,61

5,79

5,41

5,19

5,05

4,95

4,88

4,82

4,78

4,74

4,70

4,68

6

5,99

5,14

4,76

4,53

4,39

4,28

4,21

4,15

4,10

4,06

4,03

4,00

7

5,59

4,74

4,35

4,12

3,97

3,87

3,79

3,73

3,68

3,63

3,60

3,57

8

5,32

4,46

4,07

3,84

3,69

3,58

3,50

3,44

3,39

3,34

3,31

3,28

9

5,12

4,26

3,86

3,63

3,48

3,37

3,29

3,23

3,18

3,13

3,10

3,07

10

4,96

4,10

3,71

3,48

3,33

3,22

3,14

3,07

3,02

2,97

2,94

2,91

11

4,84

3,98

3,59

3,36

3,20

3,09

3,01

2,95

2,90

2,86

2,82

2,79

12

4,75

3,88

3,49

3,26

3,11

3,00

2,92

2,85

2,80

2,76

2,72

2,69

13

4,67

3,80

3,41

3,18

3,02

2,92

2,84

2,77

2,72

2,67

2,63

2,60

14

4,60

3,74

3,34

3,11

2,96

2,85

2,77

2,70

2,65

2,60

2,56

2,53

15

4,54

3,68

3,29

3,06

2,90

2,79

2,70

2,64

2,59

2,55

2,51

2,48

16

4,49

3,63

3,24

3,01

2,85

2,74

2,66

2,59

2,54

2,49

2,45

2,42

17

4,45

3,59

3,20

2,96

2,81

2,70

2,62

2,55

2,50

2,45

2,41

2,38



 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

41359. Исследование магнитооптического зеркального гальванометра 500.5 KB
  Лабораторная работа №138 Исследование магнитооптического зеркального гальванометра . Измерение сопротивления гальванометра. На схеме: При R=R получаем RG=R если при замыкании и размыкании ключа показания гальванометра не меняются. Определение средней чувствительности и градуировка гальванометра.
41361. Работа ионизационного манометра 266 KB
  Цель работы: Изучить работу ионизационного манометра зависимость ионного тока от изменения различных параметров ток накала напряжение на сетке между катодом и анодом. Таблица зависимости ионного тока от тока накала. мА 300В 50В 260В 50В 300В 33В 29 665 650 651 28 655 642 649 20 631 635 632 18 628 630 628 14 620 622 622 9 609 615 609 5 590 596 589 0 540 540 522 Таблица зависимости ионного тока от напряжения между катодом и анодом . 13 33В 12 50В 13 50В 75 30 5 70 30 65 29 45 28 60 28 ...
41362. Изучение работы форвакуумного насоса 99.5 KB
  Цель работы: определить предельный вакуум и скорость откачки ротационного насоса. Форвакуумная установка: где Б1 – баллон; Б2 – калибровочный баллон (Vк = 2,4 л.); К1 – К7 – краны; РМ – разница давлений (мм.масл.ст.). Для нахождения объема установки используем следующую формулу:
41363. Градуирование электроизмерительных приборов с помощью потенциометра собранного из двух магазинов сопроти 159 KB
  Градуирование электроизмерительных приборов с помощью потенциометра собранного из двух магазинов сопротивления Приборы приспособления: вольтметр магазины сопротивлений – нормальный элемент – реостаты ключи– гальванометр батарея вольтметр.
41364. Определение эдс в термопаре 200.5 KB
  Схема для измерения малых эдс: где g – гальванометр класс точности 05; АВ – реохорд rАВ = 12  01 Ом lАВ = 1 м.; 1 – источник тока для реохорда 15 В; Э – эталонная эдс элемент Вестона 101795 В; х – измеряемая эдс; r1 – реостат для регулировки цены деления реохорда; r2 – сопротивление; r3 – реостат; М1 – опорный спай термопары 00С; М2 – рабочий спай термопары.
41365. Определение коэффициента поверхностного натяжения жидкостей 224.5 KB
  Задание 1: метод компенсации разности давлений поверхностного слоя жидкости. d – плотность жидкости налитой в манометр в данном случае это вода и d = 10 г см. Задание 2: метод отрыва пузыря внутри жидкости. Установка: где Т – насос; Б – бутыль для создания давления; Н – разность высот жидкости в двух коленах манометра; D – глубина на которую опущен капилляр радиус которого равен 002 см.
41366. Определение удельной теплоёмкости жидкости методом лучеиспускания 68 KB
  Определение водяного эквивалента калориметра M0 – масса калориметра M1 масса калориметра с холодной водой MI=M1M0 – масса холодной воды TI – температура холодной воды M2 – масса калориметра с горячей и холодной водой T – температура смеси MII=M2M1 – масса горячей воды TII – температура горячей воды M0= 179 г M1= 297 г MI = 118 г TI = 23 C M2 = 332 г Т = 31 С MII = 35 г ТII = 61 С II Основные измерения...
41367. Градуирование электроизмерительных приборов с помощью потенциометра собранного из двух магазинов сопротивления 50.5 KB
  Цель работы: проградуировать вольтметр. Приборы и приспособления: вольтметр , магазины сопротивлений – 4, нормальный элемент – 1, реостаты – 4, ключи –3 , гальванометр – 1, батарея на 2.5-3 В, источник постоянного напряжения для питания градуируемого прибора.