88146

МЕТОДЫ И УСТРОЙСТВА ЦИФРОВОЙ ОБРАБОТКИ СИГНАЛОВ В РАДИОПРИЕМНЫХ УСТРОЙСТВАХ

Книга

Коммуникация, связь, радиоэлектроника и цифровые приборы

К таким преобразованиям относят: аналого-цифровое преобразование аналогового сигнала поступающего с выхода линейного тракта РПрУ в цифровую форму; вычисления для линейных цифровых систем по соответствующему алгоритму дискретного аналога интеграла свертки; вычисление тех или иных нелинейных преобразований...

Русский

2015-04-26

2.06 MB

3 чел.

56

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ

РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

Технологический институт

Федерального государственного образовательного

учреждения высшего профессионального образования

«Южный федеральный университет»

В.И.Литюк

СБОРНИК РЕШЕНИЙ ЗАДАЧ

по курсу

МЕТОДЫ И УСТРОЙСТВА ЦИФРОВОЙ ОБРАБОТКИ СИГНАЛОВ

В РАДИОПРИЕМНЫХ УСТРОЙСТВАХ

Учебное пособие

Таганрог 2009


УДК 621.391.23(075.8)

Литюк В.И. Сборник решений задач по курсу «Методы и устройства цифровой обработки сигналов в радиоприемных устройствах»: Учеб. пособие. – Таганрог: Изд-во Технологического института ЮФУ, 2009. – 64 с.

ISBN .-. . . . - . . . . - .

В данном пособии приводятся основные теоретические сведения для типовых задач, с которыми наиболее часто встречаются студенты на практических занятиях и при выполнении контрольных работ. Приведены конкретные математические соотношения, позволяющие проводить решение соответствующих задач. Даются комментарии к решениям рассмотренных типовых задач, встречающихся на практике.

Пособие предназначено для студентов старших курсов радиотехнических специальностей и может быть использовано при подготовке дипломных проектов, работ, подготавливаемых для получения академических степеней «Бакалавр техники и технологий» и «Магистр техники и технологий» по направлению 552500 «Радиотехника». Пособие может быть полезным для аспирантов и специалистов, работающих в области цифровой обработки сигналов.

Ил. 22.  Библиогр.: 3 назв.

Печатается по решению редакционно-издательского совета Технологического института Южного федерального университета.

Рецензенты:

В.П.Федосов, заведующий кафедрой теоретических основ радиотехники Технологического института в городе Таганроге Южного федерального университета, д-р техн. наук, профессор.

В.П.Карелин, заведующий кафедрой математики и информатики Таганрогского института управления и экономики, д-р техн. наук, профессор.

Б.Г.Фрадкин, канд. техн. наук, главный специалист ОКБ ОАО «Таганрогский завод “Прибой”».

ISBN .-. . . . - . . . . - .    © Технологический институт

Южного федерального университета, 2009


ВВЕДЕНИЕ

В настоящее время цифровая обработка сигналов (ЦОС) позволяет решать в реальном масштабе времени все более широкий круг различных радиотехнических задач. При этом независимо от вида конкретной задачи, при обработке аналоговых сигналов, поступающих с выхода линейных трактов того или иного радиоприемного устройства (РПрУ), при реализации алгоритмов ЦОС всегда осуществляется ряд преобразований [1].

К таким преобразованиям относят:

аналого-цифровое преобразование аналогового сигнала, поступающего с выхода линейного тракта РПрУ, в цифровую форму;

вычисления для линейных цифровых систем по соответствующему алгоритму дискретного аналога интеграла свертки;

вычисление тех или иных нелинейных преобразований, в частности, выполнение операции извлечения корня квадратного из суммы квадратов квадратурных составляющих обработанного сигнала;

цифроаналоговое преобразование обработанного сигнала из цифровой формы в аналоговую.

В данном пособии рассматриваются типовые задачи, которые решаются студентами на практических занятиях и во время самостоятельной проработки курса ЦОС в соответствии с заданиями, приводимыми в [2].

1. АНАЛОГО-ЦИФРОВОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ СИГНАЛОВ

Как известно, на выходе линейного тракта РПрУ аналоговый сигнал представляет собой комплексный узкополосной случайный процесс , который может быть представлен в виде [1]

    (1.1)

где – огибающая процесса (В); – угловая частота процесса (рад/с);  – частота, которую обычно полагают равной промежуточной частоте РПрУ (Гц);  – полная фазовая процесса (рад);  – закон фазовой модуляции процесса (рад);  – начальная фаза (рад).

При многоразрядном представлении в цифровой форме процесса (1.1), частота выборок которого определяется условиями теоремы Котельникова, производится обработка реального и мнимого квадратурных отсчетов в виде

    (1.2)

Отметим, что огибающая и полная фазовая функция в выражении (1.1), описывающим сигнал в полярной системе координат, также как и квадратурные составляющие в (1.2), описывающие этот же сигнал в декартовой системе координат, связаны между собой соответствующими преобразованиями Гильберта [1].

В реальных условиях полагают, что ширина спектра обрабатываемого процесса полагается равной величине , при которой интенсивность спектральных компонент квадратурных составляющих полезного сигнала становится меньше интенсивности аддитивного шума, поступающего на обработку вместе с полезным сигналом.

В реальных условиях период дискретизации , где  коэффициент, показывающий, во сколько раз период дискретизации меньше величины, определяемой из условий выполнения теоремы Котельникова.

Очевидно, что чем ближе коэффициент  к единице, чем менее высокие требования предъявляются к аналого-цифровым преобразователям (АЦП).

В дальнейшем в рассматриваемых задачах всегда будем полагать, что величина , что соответствует идеальному случаю.

Обычно полагают, что с выхода линейного тракта РПрУ поступает помеховая реализация в виде «белого» шума, характеристики которого определяются его интенсивностью или дисперсией (Вт или В2), где (В) – величина среднеквадра-тического отклонения.

Для выбора характеристик АЦП, которые определяют качество преобразования входного процесса из аналоговой формы в цифровую, необходимо иметь ряд данных.

Обычно полагают, что сетка уровней квантования равномерно перекрывает весь динамический диапазон РПрУ. При этом величину шага квантования по амплитуде (В) обычно нормируют относительно величины среднеквадра-тического отклонения «белого» шума на выходе линейного тракта РПрУ (В), т.е. полагают, что

(В),    (1.3)

где  – числовой коэффициент, показывающий, во сколько раз величина (В) больше, равна или меньше величины (В).

Очевидно, что число уровней квантования АЦП будет

,        (1.4)

где (В) и (В) – максимальная и минимальная величины входного сигнала;  – динамический диапазон входного сигнала в разах относительно величины младшего разряда АЦП.

Связь динамического диапазона входного сигнала (раз), определяемого выражением (1.4), с разрядностью преобразования  определяется выражением

.    (1.5)

Здесь знак  в выражении (1.5) означает ближайшее большее целое число, т.е. не меньшее числа, находящегося внутри обратных квадратных скобок.

Связь динамического диапазона входного сигнала  в разах с динамическим диапазоном входного сигнала  в децибелах определяется выражением

(дБ).     (1.6)

Число децибел динамического диапазона  входного сигнала, приходящегося на один разряд [3]

.   (1.7)

Обычно вместо выражения (1.7) пользуются при расчетах приближенным значением

.     (1.8)

Тогда с учетом выражений (1.6) и (1.8) количество разрядов  АЦП можно определить по выражению

разрядов.    (1.9)

Число уровней квантования в применяемом АЦП, определяется выражением

.                (1.10)

Мощность шума квантования, вносимого АЦП в преобразуемый входной сигнал, определяется величиной

              (1.11)

где – плотность распределения амплитуды входного сигнала в пределах шага квантования АЦП, равного .

Решая выражение (1.11), получим

.               (1.12)

Используя выражение (1.12) можно определить величину  среднеквадратического отклонения  в виде

.            (1.13)

Если выбрать величину , т.е. в выражении (1.3) , то мощность шумов АЦП, добавляемых к шумам, присутствующим на выходе линейного тракта РПрУ, увеличит суммарную мощность на 8,33%.

В случае, когда , т.е. в выражении (1.3) , то суммарная мощность шумов возрастет на 2,1%.

Максимальная величина аналогового сигнала, которую может преобразовать в цифровой код рассчитанный АЦП, с учетом (1.10), определяется в соответствии с выражением

(В).               (1.14)

Пример 1. Рассчитать, сколько разрядов АЦП  потребуется для заданного динамического диапазона  входного сигнала. Определить погрешности, вносимые АЦП в преобразуемый сигнал (величину дисперсии (В2) и величину среднеквадратического отклонения (В)). Определить величину (В) при условии, что мВ.

Количество разрядов  в соответствии с выражением (1.9) будет

разрядов.

Определим величину дисперсии (Вт) в соответствии с выражением (1.12) при условии, что = =В

Величина среднеквадратического отклонения (В) определим в соответствии с выражением (1.13)

Максимальная величина входного сигнала (В) определим из выражения (1.14)

Таким образом, в результате расчетов получены значения:

  ; Вт; В; В.

Аналогичным образом решаются все задачи в п.10.1.3. в [2].

В том случае, когда нет возможности учесть шум, сопровождающий сигнал, как, например, в системах автоматики, то в этом случае задаются точностью  представления полезного сигнала, имеющего минимальную величину .

Например, пусть величина . Тогда, поскольку 1%=0,01<128=2-7, то , а, следовательно, минимальный сигнал преобразуется в АЦП с заданной точностью при использовании  разрядов.

Если динамический диапазон входного сигнала в этом случае равен , то потребуется еще

 

Следовательно, общее число разрядов  АЦП будет равно

.

2. ЛИНЕЙНЫЕ ЦИФРОВЫЕ СИСТЕМЫ

2.1. Линейная и круговая свертки

2.1.1. Линейная свертка. Обработка сигналов в линейных цифровых системах осуществляется по алгоритмам, являющимися дискретными аналогами интеграла свертки [1]

или при

   (2.1)

где – выходной отклик, состоящий из  отсчетов; – импульсная характеристика линейной системы, состоящая из  отсчетов; – отсчеты входного сигнала, количество которых равно ; величина ; – период дискретизации.

Выражение (2.1) для простоты обозначения переменных часто записывают в форме

.

Другая форма записи выражения (2.1) имеет вид

,

или в виде

,      (2.2)

где знак – обозначает операцию свертки.

Линейная свертка (2.1) или (2.2) также носит название апериодической и описывает работу линейных цифровых систем, работающих в режиме «скользящее» окно [1].

Пример 2. Пусть имеем последовательность , состоящую из  отсчетов в виде

.  (2.3)

Пусть также имеется последовательность , состоящая из  отсчетов в виде

.

Количество выходных отсчетов  будет равно величине

.

Используя выражение (2.1) вычислим линейную свертку для соответствующих временных значений.

2.1.2. Круговая свертка. Часто та или иная последовательность отсчетов носит периодический характер с периодом  отсчетов. Например, отсчеты в частотной области выборочного спектра входного сигнала с периодом  отсчетов, отсчеты в частотной области амплитудно-частотной характеристики (АЧХ) цифровой линейной цепи с периодом  отсчетов. Очевидно, что выходной результирующий спектр, являющийся результатом произведения соответствующих отсчетов спектра входного сигнала и АЧХ друг на друга, тоже будет периодическим с периодом  отсчетов.

Обратное преобразование Фурье выходного спектра с периодом  отсчетов также будет периодическим во временной области с периодом  отсчетов.

Выражение во временной области для круговой свертки периодического выходного результирующего спектра с периодом  отсчетов будет иметь вид

.     (2.5)

Выражение (2.4) может быть записано в виде

.      (2.6)

В выражениях (2.5) и (2.6) индексы в круглых скобках при значениях  и  обозначают, что они берутся по модулю  отсчетов.

Например, если модуль , то

Количество отсчетов во времени круговой свертки, как видно из (2.5), равно количеству отсчетов в частотной области, в то время как количество отсчетов линейной свертки в (2.1), зависит от количества отсчетов используемых при расчетах реализаций (импульсной характеристики и входного процесса), ее образующих, минус один отсчет.

Пример 3. Пусть имеем последовательность , состоящую из  отсчетов в виде (2.3)

.

Пусть также имеется последовательность , состоящая из  отсчетов в виде

.

Количество различных выходных отсчетов  для круговой свертки будет равно величине .

В выражении (2.7) видно, что выходные отсчеты для круговой свертки повторяются с периодом .

2.1.3. Пример 4. Вычислить и изобразить на рисунке линейную и круговую свертки для двух конечных последовательностей длительностью по три отсчета каждая. Здесь полагается, что величина периода дискретизации .

Первая конечная последовательность

 

Вторая конечная последовательность

Линейная свертка. Подставляя в (2.4) численные значения получаем следующие результаты

Следовательно, отсчеты линейной свертки имеют вид

.

На рис. 1 изображены отсчеты линейной свертки.

Рис. 1. Отсчеты линейной свертки

Круговая свертка. Подставляя в (2.7) численные значения получаем следующие результаты.

Далее процесс расчета повторяется.

Следовательно, отсчеты круговой свертки имеют вид

и они периодически повторяются с периодом .

На рис. 2 изображены отсчеты круговой свертки.

Рис. 2. Отсчеты круговой свертки

Видно, что отсчет  линейной свертки численно совпадает с отсчетом  круговой свертки. Это используется при вычислении спектров с использованием алгоритмов быстрого расчета коэффициентов Фурье.

Аналогичным образом решаются все задачи в п.10.1.4. в [2].

2.2. Дискретное преобразование Фурье

Вычисление отсчетов дискретного преобразования Фурье  осуществляется в соответствии с выражением

(2.8)

где  (рад) – бин, т.е. минимальный фазовый сдвиг от отсчета к отсчету за интервал времени, равный периоду дискретизации , который полагается равным единице;  – номера частотных составляющих, количество которых равно величине ; – номера отсчетов обрабатываемого сигнала  во времени; – выходной отклик в момент времени , величина которого равна значению коэффициента Фурье.

Раскрывая выражение (2.8), получим формулы для расчета каждого коэффициента Фурье, которые примут вид

(2.9)

В том случае, если

где  (рад) – начальная фаза, то видно, что сигнал представляет собой отсчеты комплексной синусоиды, амплитуда которой равна единице, т.е. огибающая сигнала имеет прямоугольную форму. Известно, что сигнал с прямоугольной огибающей имеет форму спектра в виде . При этом расположение спектра на частотной оси, форма которого , определяется частотой заполнения сигнала.

Пример 5. Вычислить дискретное преобразование Фурье сигнала     

согласно выражения (2.8) для значений  и . Величина . Изобразить на рисунке полученный спектр (в виде сплошных линий) и его огибающую (пунктиром).

Для упрощения расчетов сделаем ряд преобразований. Учтем, что на форму огибающей спектра не оказывает влияние величина начальной фазы. В рассматриваемом случае  (рад). Тогда сигнал может быть переписан в виде

.

Очевидно, что результат не изменится, если вместо сигнала  рассматривать сигнал

.

Также учтем, что  Воспользуемся выражениями (2.9) и определим величину бина для данной задачи, которая будет (рад).

На рис. 3 изображен полученный амплитудный спектр  в виде сплошных линий, что соответствует отклику соответствующих частотно-избирательных цепей, вычисляющих дискретное преобразование Фурье, а пунктирными линиями – его огибающая.

Рис. 3. Рассчитанный спектр сигнала и его огибающая

Видно, что центральная частота сигнала расположена на частоте, которая составляет одну четвертую часть частоты дискретизации.

Аналогичным образом решаются все задачи в п.10.1.5. в [2].

2.3. Связь Z-преобразования с преобразованием Лапласа

Известно, что изображение по Лапласу временных процессов, а также передаточных функций линейных цепей отображается в виде  точек в р-плоскости в ее левой части. При дискретизации происходит «размножение» этих точек с периодом . Это может быть отображено на р-плоскости в виде бесконечного множества, повторяющихся с периодом , точек.

Для сохранения прежнего количества  точек для описания дискретной функции, которую получают путем дискретизации аналоговой временной функции, описываемой  точками, вводят новую переменную  ,  расположенную в Z-плоскости.

Переменная  в р-плоскости связана с переменной   в Z-плоскости соотношением [1]

,

где ; – период дискретизации (с).

Из рассмотрения величины  видно, что она состоит из модуля, равного величине  и показывающего, как изменяется амплитуда функции от отсчета к отсчету, и величины , показывающей, как изменяется фазовый угол этой амплитуды от отсчета к отсчету.

Очевидно, необходимо чтобы амплитуда сигнала уменьшалась от отсчета к отсчету. Это соответствует тому, что амплитуда процесса во времени постепенно «затухает», как происходит во всех реальных линейных системах, либо амплитуда не изменялась бы, что соответствует процессу на выходе «идеального» генератора.

Для этого необходимо, чтобы величина .

Если величина , то в этом случае амплитуда процесса будет нарастать от отсчета к отсчету, что противоречит работе реальных пассивных линейных систем.

При , т.е. тогда, когда величина , переменная . Величина обратная переменной  определяется в виде  и описывает цифровой элемент задержки, осуществляющий задержку отсчета на период дискретизации .

Таким образом, каждая точка на р-плоскости описывается в декартовой системе координат. При этом по оси абсцисс, обозначаемой действительной величиной , откладывается величина , а по оси ординат, обозначаемой мнимой величиной , откладывается величина (рад/с).

На Z-плоскости соответствующая точка описывается в полярной системе координат. При этом фазовый угол (рад) откладывается от оси абсцисс. Расстояние от точки, из которой начинается ось абсцисс, до местонахождения искомой точки по радиусу под углом  (рад), будет равно величине .

Пример 6. По заданным параметрам, полагая  (с), вычислить значения и нарисовать на рисунке взаимно-однозначное положение точек на р- и Z-плоскостях. Объяснить, почему значение  задано отрицательной величиной.

Пусть , а , т.е. .

Эти две величины определяют положение соответствующей точки на р-плоскости в декартовой системе координат в соответствии с выражениями:

по оси абсцисс, обозначаемой , величина ;

по оси ординат, обозначаемой , величина (рад/с).

Положение точки на Z-плоскости в полярной системе координат определится в соответствии с выражениями:

угол равен (рад);

величина радиуса .

На рис. 4 изображено положение рассмотренной точки  на р-плоскости, а на рис. 5 – показан ее переход в положение  на Z-плоскости.

Рис. 4. Положение точки

на р-плоскости

Рис. 5. Положение точки

на Z-плоскости

Поскольку положение точек на р-плоскости периодически повторяется, то, следовательно, на Z-плоскости эти точки накладываются друг на друга.

Аналогичным образом решаются все задачи в п.10.1.6. в [2].

2.4. Определение характеристик цифровых

элементарных ячеек

2.4.1. Как известно, основной характеристикой линейной цифровой частотно-избирательной цепи, которая также называется цифровым фильтром (ЦФ), является ее передаточная функция , которая представима в виде

         (2.10)

где – коэффициент пропорциональности; – нули; – полюса;  и  – модули  нуля и  полюса;  и  – фазовые углы  нуля и  полюса; ; – независимая переменная; – период дискретизации, определяемый из условия выполнения теоремы Котельникова; (рад/с) – круговая частота; (Гц) – частота. Для физически реализуемых систем порядки полиномов числителя и знаменателя должны быть .

Выражение (2.10) при  можно представить в виде

    (2.11)

Отношение полиномов первого порядка в (2.11) описывает передаточную функцию  цифровой комплексной ячейки первого порядка. Тогда, опуская индекс , можно записать ее передаточную функцию в виде

.           (2.12)

Числитель в выражении (2.12) описывает передаточную функцию цифровой элементарной нерекурсивной ячейки, а знаменатель – рекурсивной.

В том случае, когда в (2.11) полюса и нули являются попарно комплексно-сопряженными, передаточная функция описывает соответственно рекурсивную и нерекурсивную биквадратные ячейки, которые имеют второй порядок каждая.

Передаточная функция элементарной биквадратной ячейки имеет вид

  (2.13)

где    ; ; ; ; .

Видно, что биквадратная ячейка, описываемая выражением (2.13), представляет собой каскадное соединение элементарных ячеек первого порядка с комплексно-сопряженными нулями и полюсами.

2.4.2. Нерекурсивная ячейка первого порядка.

2.4.2.1. Существуют нерекурсивные ячейки двух видов. Передаточная функция нерекурсивной ячейки первого вида, полученная непосредственно из (2.12), будет

.           (2.14)

Импульсная характеристика (ИХ) этой ячейки определяется следующим образом.

Перепишем выражение (2.14) в виде

.

Тогда

.

Выполняя обратное Z-преобразование над последним выражением, получим дискретную форму записи в виде [1]

.             (2.15)

Поскольку работа любой цепи начинается в момент времени , то величина .

Тогда выходной отклик  из выражения (2.15) для последовательности входных данных  в каждый  момент времени будет

         (2.16)

Для определения ИХ любой цепи используется входная импульсная последовательность в виде цифровой «-функции», которая представляет собой единичную функцию  в момент времени , т.е. , длительностью (с).

Тогда, при , входные данные будут иметь вид

         (2.17)

Подавая входные отсчеты (2.17) в (2.16) получим ИХ нерекурсивной комплексной ячейки первого вида

Таким образом, ИХ нерекурсивной ячейки первого вида в соответствующие моменты времени  будет

Определим амплитудно-частотную характеристику (АЧХ) нерекурсивной ячейки. Для этого подставим в (2.14) величины  и . В результате получим

Для нахождения АЧХ необходимо найти модуль последнего выражения. По определению, модуль комплексного числа .

Тогда будем иметь

(2.18)

Очевидно, что минимальное значения выражение (2.18) примет при (рад), т.е. тогда, когда  и будет равно

        (2.19)

Максимальное значение в (2.18) будет при (рад), т.е.  и будет равно

        (2.20)

Для получения АЧХ в нормированном виде нужно выражение (2.18) разделить на (2.20), откуда

 (2.21)

На практике наиболее часто встречается случай, когда величина . Тогда выражение (2.18) примет вид

  (2.22)

Когда величина , то выражение (2.19) будет равно нулю, выражение (2.20) будет равно 2, а выражение (2.21) будет иметь вид

.            (2.23)

Из (2.23) видно, что АЧХ представляет собой половину синусоиды в диапазоне (рад) нормированной частоты , причем ее нуль находится в точке  на оси частот.

Положение нуля передаточной функции  на Z-плоскости будет:

для  – на единичной окружности;

для  – внутри единичной окружности;

фазовый угол будет равен величине .

На рис. 6 изображены формы ненормированной АЧХ нерекурсивной ячейки первого вида при различных значениях параметров  и , рассчитанные по формулам (2.18) и (2.22).

Рис. 6. Формы ненормированной АЧХ нерекурсивной ячейки первого вида

На рис. 7 изображена структурная схема нерекурсивной ячейки первого вида.

Рис.7. Структурная схема нерекурсивной ячейки

первого вида

2.4.2.2. Передаточная функция нерекурсивной ячейки второго вида, записывается в форме

.           (2.24)

Для этой ячейки ИХ определяется следующим образом.

Перепишем выражение (2.24) в виде

.

Тогда

.

Выполняя обратное Z-преобразование над последним выражением, получим дискретную форму записи в виде [1]

.             (2.25)

Тогда выходной отклик  из выражения (2.25) для последовательности входных данных  в каждый  момент времени будет

         (2.26)

Аналогично описанному выше, подавая входные данные (2.17) на (2.26) будем иметь ИХ нерекурсивной цифровой комплексной ячейки второго вида

Таким образом, ИХ нерекурсивной ячейки второго вида в соответствующие моменты времени  будет

Определим АЧХ нерекурсивной ячейки второго вида. Для этого подставим в (2.24) величины  и . В результате получим

Далее, для нахождения АЧХ необходимо найти модуль последнего выражения.

Тогда будем иметь

  (2.27)

Сравнивая (2.18) с (2.27) можно видеть, что АЧХ обоих видов нерекурсивных ячеек отличаются только знаком у параметра , т.е. если , то . Следовательно их АЧХ будут одинаковыми, только положение нулей будут смещены в противоположных направлениях относительно точки нуль на оси частот.

На рис. 8 изображены формы ненормированной АЧХ нерекурсивной ячейки второго вида при различных значениях параметров  и .

Рис. 8. Формы ненормированной АЧХ нерекурсивной ячейки второго вида

На рис. 9 изображена структурная схема нерекурсивной ячейки второго вида.

Рис.9. Структурная схема нерекурсивной ячейки

второго вида

2.4.3. Рекурсивная ячейка. Передаточная функция рекурсивной ячейки, полученная непосредственно из (2.12), будет

.           (2.28)

Для этой ячейки ИХ определяется аналогично тому, как определялась ИХ для нерекурсивной ячейки, т.е. полагаем, что

.

Отметим, что для устойчивой работы рекурсивной ячейки необходимо, чтобы выполнялось условие  или .

Далее, производя простейшие операции, получаем

,

откуда, производя обратное Z-преобразование, будем иметь отсчеты временной функции в виде

.           (2.29)

Поскольку работа любой цепи начинается в момент времени , то величина .

Выходной отклик  из выражения (2.29) для последовательности входных данных  в каждый  момент времени будет

         (2.30)

Подавая входные данные (2.17) на (2.30), получим

(2.31)

Таким образом, ИХ рекурсивной ячейки в соответствующие моменты времени  будет

Видно, что отсчеты ИХ в (2.31) рекурсивной ячейки представляют собой геометрическую прогрессию со знаменателем прогрессии .

АЧХ рекурсивной ячейки определяется аналогично тому, как определялась для нерекурсивных ячеек.

.   (2.32)

Далее, для нахождения АЧХ определим модуль выражения (2.32) в виде

 (2.33)

Максимальное и минимальное значения АЧХ рекурсивной ячейки будут при значениях  и при значениях  в выражении (2.33)

   и   .

Нормированная АЧХ будет иметь вид

   (2.34)

На рис. 10 изображена нормированная АЧХ рекурсивной ячейки.

Рис. 10. Нормированная АЧХ рекурсивной ячейки

На рис. 11. изображена структурная схема цифровой комплексной рекурсивной ячейки первого порядка.

Рис. 11. Структурная схема цифровой комплексной рекурсивной ячейки первого порядка

Пример 7. По передаточной функции цифрового фильтра на Z-плоскости  где , записать последовательность отсчетов для его ИХ, рассчитать и построить АЧХ, нарисовать на Z-плоскости положение полюса, нарисовать его структурную схему.

.

Производя обратное Z-преобразование над последним выражением, получаем

Подавая входные данные  в соответствующие моменты времени и учитывая, что , будем иметь

      (2.35)

Подавая входные данные (2.17) на (2.30), получим

     (2.36)

Таким образом, из выражения (2.36) видно, что отсчеты ИХ рекурсивной ячейки в моменты времени  будут

АЧХ рекурсивной ячейки будет

.    (2.37)

Определим модуль АЧХ рекурсивной ячейки, которая описывается выражением (2.37)

Максимум будет на частоте  (рад) и равен величине

.

Минимум будет на частоте  (рад) и равен величине

.

Для нормированного случая

Вид нормированной АЧХ изображен на рис. 10 пунктиром. Там же изображено положение полюса для этого случая.

Структурная схема рекурсивной ячейки изображена на рис. 11, причем для рассматриваемого примера используется второй выход.

Аналогичным образом решаются все задачи в п.10.1.7. в [2].

2.5. Определение характеристик цифровых фильтров

Как известно, для синтеза того или иного вида ЦФ используется ряд этапов [1].

Первый этап заключается в выборе требуемого вида АЧХ идеального фильтра, а именно: нижних частот (ФНЧ), верхних частот (ФВЧ), полосового (ПФ) и режекторного (РФ).

Второй этап заключается в выборе требуемого вида аппроксимации АЧХ, а именно: полиномом Баттерворта (максимально гладкая АЧХ как в полосе пропускания, так и в полосе задержания), полиномом Чебышева I-го типа (пульсации в полосе пропускания и максимальная гладкость в полосе задержания), полиномом Чебышева II-го типа (максимальная гладкость в полосе пропускания и пульсации в полосе задержания) и эллиптическими функциями (пульсации в полосе пропускания и в полосе задержания).

Третий этап заключается в определении вида используемых при построении ЦФ элементарных ячеек.

Четвертый этап заключается в определении порядка аппроксимирующей АЧХ функции и производится вычисление коэффициентов полиномов, однозначно связанных с положением полюсов и нулей на Z-плоскости, по которым определяются коэффициенты конкретных элементарных ячеек.

Пятый этап связан с определения требуемого уровня параллелизма входных данных, зависящих от частоты дискретизации и быстродействия используемых цифровых функциональных узлов.

Шестой этап связан с синтезом распараллеленных структур соответствующих элементарных ячеек.

Седьмой этап связан с настройкой полученного в результате расчетов ЦФ.

Как правило, первый, второй и третий этапы определяются при формирования технического задания и задаются. Четвертый этап определяет все электрические параметры фильтров. Пятый и шестой этапы необходимы тогда, когда недостаточна производительность и быстродействие используемой элементной базы. Седьмой этап характерен для этапа изготовления ЦФ.

Предварительный расчет ЦФ заключается в определении его порядка по заданному виду аппроксимирующей АЧХ функции. Для этого необходимо иметь информацию по следующим параметрам:

тип фильтра – ФНЧ, ФВЧ, ПФ или РФ;

вид аппроксимации АЧХ – полиномом Баттерворта, Чебышева I-го или II-го типов, эллиптическими функциями;

частота дискретизации  в Гц или период дискретизации  в секундах;

частота настройки  в Гц (для ПФ и РФ);

величина затухания  на крайней частоте полосы пропускания;

величина затухания  на крайней частоте переходной полосы;

ширина полосы пропускания  на уровне  в Гц (для ФНЧ и ПФ);

ширина переходной полосы  на уровне  в Гц (для ФНЧ и ПФ);

ширина полосы режекции  на уровне  в Гц (для ФВЧ и РФ);

ширина переходной полосы  на уровне  в Гц (для ФВЧ и РФ).

Расчет порядка ЦФ осуществляется по выражениям, приводимым на стр. 166-170 в [1].

Пример 8. По заданным параметрам ЦФ рассчитать его порядок  и представить его структурную схему в виде каскадного включения звеньев, изображенных в виде квадратов. Нарисовать качественную картину АЧХ рассчитанного ЦФ.

Параметры ЦФ.

тип фильтра – РФ;

вид аппроксимации АЧХ – полином Баттерворта;

частота дискретизации Гц;

частота настройки Гц;

величина ;

величина ;

ширина полосы режекции =1570 Гц на уровне ;

ширина переходной полосы =3140 Гц на уровне .

В  соответствии  с  выражениями,  приводимыми  в  [1]  на стр. 167 в табл. 6.1, определяем нормированные параметры

Гц;

Гц.

Далее  используем  выражения,  приводимые  в  [1]  на  стр. 168 в табл. 6.2, для определения величины .

Следовательно, порядок режекторного ЦФ должен быть равен ближайшему большему целому числу, т.е.

.

На рис. 12. изображена структурная схема рассчитанного цифрового РФ в виде каскадного соединения 3-х квадратов.

Рис. 12. Структурная схема рассчитанного режекторного ЦФ, выполненная в виде каскадного соединения квадратов

На рис.13 изображена качественная картина АЧХ рассчитанного цифрового РФ.

Рис. 13. Качественная картина АЧХ рассчитанного цифрового режекторного фильтра

Аналогичным образом решаются все задачи в п.10.1.7. в [2].


2.6. Определение структур цифровых фильтров по их разностным уравнениям

Как было показано выше, по передаточной функции ЦФ можно определить его разностное уравнение. Очевидно, что требование определить передаточную функцию по разностному уравнению ЦФ является обратной задачей.

Определение передаточной функции по ЦФ по его разностному уравнению осуществляется в следующем порядке.

Первый этап. Записывается разностное уравнение цифровой линейной цепи.

Второй этап. Производится операция вычисления прямого Z-преобразования. В результате получается уравнение, содержащее входные и выходные величины, которые соответственно задержаны друг относительно друга и перемножены на те или иные весовые коэффициенты.

Третий этап. Приводятся подобные относительно входных и выходных изображений на Z-плоскости, причем с левой стороны уравнения собираются члены, содержащие выходные величины, а с правой стороны относительно знака равенства – входные величины.

Четвертый этап. Формируется передаточная функция на Z-плоскости, на основе которой реализуется структурная схема.

Пример 9. По разностному уравнению написать передаточную функцию на Z-плоскости и нарисовать структурную схему соответствующей цифровой линейной цепи.

.

Анализ выражения показывает, что в его правой части отсутствуют члены, описывающие задержанную обратную связь, т.е. разностное уравнение соответствует нерекурсивной линейной цепи.

Подвергая последнее выражение прямому Z-преобразова-нию, будем иметь

Тогда передаточная функция будет

            (2.38)

Следовательно, структурная схема линейного цифрового нерекурсивного фильтра реализуется в прямой форме в соответствии с выражением (2.38), так, как показано на рис. 14.

Рис. 14. Структурная схема линейного цифрового нерекурсивного фильтра третьего порядка в прямой форме

Анализ выражения (2.38) показывает, что его правая часть представляет собой кубическое уравнение с целочисленными коэффициентами по переменной .

Тогда передаточную функцию можно записать в виде

.               (2.39)

Структурная схема линейного цифрового фильтра по выражению (2.39) представляет собой каскадное соединение элементарных цифровых нерекурсивных ячеек первого порядка первого вида с параметром  и изображена на рис. 15.

Рис. 15. Структурная схема линейного цифрового нерекурсивного фильтра в виде каскадного соединения элементарных ячеек

Аналогичным образом решаются все задачи в п.10.2.2. в [2].

2.7. Определение характеристик цифровых линейных цепей по их структурным схемам

Очевидно, что определение характеристик цифровых линейных цепей по их структурным схемам тоже относится к обратным задачам, относительно случая реализации структурной схемы по параметрам уравнений.

Определение характеристик цифровых линейных цепей по их структурным схемам осуществляется за ряд этапов.

Первый этап заключается в определении вида анализируемой структурной схемы, которые могут быть рекурсивными, нерекурсивными и рекурсивными с прямыми связями.

Второй этап заключается в отыскании передаточной функции на Z-плоскости цифровой линейной цепи.

Третий этап осуществляет переход от передаточной функции на Z-плоскости к разностному уравнению, описывающему работу цифровой линейной цепи последовательно во времени.

Четвертый этап посвящен расчету АЧХ линейной цифровой цепи по ее передаточной функции на Z-плоскости.

Пример 10. По структурной схеме, которая изображена на рис. 16, записать  выражение  для  передаточной  функции  на  Z-плоскости, разностное уравнение и рассчитать АЧХ данной цифровой линейной системы (цифрового фильтра).

Рис. 16. Структурная схема цифровой биквадратной ячейки с прямыми и обратными связями

Передаточная функция на Z-плоскости цифровой биквадратной ячейки с прямыми и обратными связями описывается выражением (2.13).

Подставляя в выражение (2.13) весовые коэффициенты, величины которых изображены на входах сумматоров, и с учетом связи весовых коэффициентов с величинами  передаточная функция примет вид

 (2.40)

Разностное уравнение получается следующим образом.

Подвергая обратному Z-преобразованию последнее выражение, получим разностное уравнение в виде

Рассчитаем АЧХ рассмотренной цифровой линейной цепи. Видно, что в уравнении (2.40) имеется произведение двух одинаковых сомножителей в числителе и в знаменателе для заданных величин весовых коэффициентов, т.е.

АЧХ числителя описывается выражением (2.18), знаменатель – выражением (2.33). Тогда в ненормированном виде АЧХ записывается в виде

           (2.41)

Подставляя значения величин  последнее выражение примет вид

В нормированном виде выражение (2.41) запишется следующим образом

откуда, подставляя значения величин  получим

            (2.42)

Изменяя независимую переменную  в диапазоне от 0 до 2p (рад) или от  до  в выражении (2.42), получим АЧХ цифровой линейной цепи, которая изображена на рис. 17.

Рис. 17. Рассчитанная нормированная АЧХ цифровой

линейной цепи

Аналогичным образом решаются все задачи в п.10.2.3. в [2].

3. РАСЧЕТ ПАРАМЕТРОВ ЦИФРОВОГО ЧАСТОТНОГО ДИСКРИМИНАТОРА

Основной особенностью цифрового частотного дискриминатора (ЦЧД), реализующего обработку бинарно-квантованных сигналов в режиме работы «скользящее» окно, является возможность достаточно простого управления крутизной дискриминационной характеристики (ДХ) [1].

На рис. 18 представлен пример ДХ ЦЧД.

Рис. 18. Идеальная (прямая) и реальная (ступенчатая) дискриминационные характеристики

Расчет параметров цифрового частотного дискриминатора (ЦЧД), осуществляется по следующим выражениям.

Крутизна дискриминационной характеристики (ДХ) (В/Гц) определяется из следующего выражения

              (3.1)

где (В/Гц) – коэффициент, характеризующий крутизну ДХ; (В) – величина напряжения, приходящаяся на один разряд; (Гц) – вес одного разряда; (Гц) – половина ширины раскрыва ДХ ЦЧД, определяемая емкостью реверсивного счетчика; (Гц) – разность частот между частотой входного сигнала  и опорной частотой;  – величина, определяющая  количество  состояний реверсивного счетчика;  – величина, определяющая количество разрядов реверсивного счетчика.

Максимальное напряжение (В) на выходе ДХ ЦЧД определяется в соответствии с выражением

(В),   

откуда

(В).                 (3.2)

Как известно, точное значение той или иной частоты соответствует середине интервала (Гц). Очевидно, что нахождение частоты в любой точке частотной оси, соответствующей весу того или иного разряда, равновероятно. Отсюда, выражение для плотности распределения вероятностей ошибки определения частоты внутри одного разряда, будет

.

Учитывая то обстоятельство, что математическое ожидание равно нулю, а критерием точности является среднеквадратическая величина

(Гц),

где  – дисперсия частоты, то имеем

(Гц).     (3.3)

Относительная погрешность измерения

.                 (3.4)

Относительная погрешность (%) будет минимальна при (Гц) и будет увеличивается по мере приближения входной частоты к опорной.

Абсолютное значение погрешности измерения (Гц) зависит от диапазона анализа (Гц) и числа разрядов .

Максимальная величина диапазона (раскрыва ДХ) будет

(Гц),

откуда

(Гц).                  (3.5)

Пример 11. Рассчитать крутизну ДХ  (В/Гц) ЦЧД, определить вес одного разряда  (Гц), среднеквадратическую погрешность (Гц), и относительную погрешность (%) для двух значений максимальной частоты линейного участка ДХ (Гц) и (Гц). Полагаем, что число разрядов реверсивного счетчика , а максимальное выходное напряжение (В).

Определим количество состояний реверсивного счетчика

.

Определим, используя (3.2), величину

.

Определим, используя (3.5), величины веса одного разряда  и

(Гц);

(Гц).

Крутизна ДХ   с учетом (3.1) будет

(В/Гц)=199,885(мкВ/Гц);

(В/Гц)=333,151(мкВ/Гц).

С учетом (3.3), величины среднеквадратической погреш-ности  будут

Относительная  погрешность, с учетом (3.4), будет

;

.

Аналогичным образом решаются все задачи в п.10.1.9. в [2].

4. ЦИФРОАНАЛОГОВОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ СИГНАЛОВ

После цифровой обработки сигналов в соответствии с тем или иным алгоритмом, как правило, полученный результат преобразуют в аналоговую форму для дальнейшего использования. При этом на выходе устройства, осуществляющего подобные преобразования и называемого цифроаналоговым преобразователем (ЦАП), если не предпринимать каких-либо действий, будет последовательность ступенчатых отсчетов.

Известно, что одиночный сигнал прямоугольной формы длительности  имеет спектральную плотность, огибающая которой описывается функцией вида  вдоль частотной оси. Эта функция обращается в нуль на оси абсцисс в точках  или , где  Между этими точками располагаются боковые лепестки (БЛ). При этом уровень первого БЛ нормированной по амплитуде спектральной плотности равен 0,2122 от максимального значения, равного единице, и располагается на частоте  или , т.е. в середине между точками  или  и  или  на частотной оси. Уровень второго БЛ равен 0,1273, т.е. примерно в 2 раза меньше чем первый БЛ и располагается на частоте  или , т.е. в середине между точками  или  и  или  на частотной оси. Уровень каждого следующего БЛ уменьшается примерно в 2 раза при увеличении номера БЛ на единицу.

Известно, что сигнал, поступающий на цифровую обработку, подвергается дискретизации перед квантованием. При этом моменты времени появления сигнала, как и его окончания, в интервалах между выборками случайны. Они могут находиться в любой точке на временной оси между выборками. Следовательно, плотности распределения вероятностей момента времени появления и момента времени окончания сигнала между выборками могут быть приняты равновероятными. В этом случае математическое ожидание момента времени начала сигнала и момента времени его окончания равно середине временного интервала между выборками.

Отсюда следует, что если задано количество отсчетов  сигнала, взятых с периодом повторения , то длительность аналогового сигнала  будет определяться соотношением

(с).                              (4.1)

При этом предполагается, что сигнал имеет прямоугольную форму огибающей во времени.

4.1. Получение непрерывного сигнала из дискретного

Как указывалось выше, на выходе ЦАП формируются последовательности прямоугольных импульсов, амплитуды которых зависят от соответствующих кодовых комбинаций на его входе. Для получения сглаженных реализаций, которые точно восстанавливали бы аналоговый сигнала по его выборкам, необходимо применение аналоговых фильтров, у которых форма ИХ была бы вида  и существовала бы в бесконечных временных границах. Очевидно, что реальных аналоговых устройств, обладающих подобными ИХ, не существует.

Поэтому используют те или иные аналоговые виды ФНЧ. Для предварительного получения тех или иных характеристик реальных ФНЧ используются «идеальные» ФНЧ. Эти ФНЧ обладают «идеальной» АЧХ, т.е. такой АЧХ, у которой в пределах полосы пропускания коэффициент передачи равен единице, а в полосе задержания – нулю. Отметим, что ИХ таких «идеальных» ФНЧ имеют вид . Такая аппроксимация позволяет определить необходимую частоту среза ФНЧ, которая может быть в дальнейшем использована соответствующим образом для решения задачи аппроксимации АЧХ тем или иным полиномом и нахождения требуемых параметров сглаживающего фильтра.

На рис. 19 в качественном виде изображена АЧХ «идеального» ФНЧ и спектральная плотность сигнала прямоугольной формы.

Рис. 19. АЧХ «идеального» ФНЧ и спектральная плотность сигнала прямоугольной формы

Пример 12. Для получения непрерывного сигнала из дискретного используется восстанавливающий «идеальный» ФНЧ. Определить частоту среза ФНЧ, если на его входе видеоимпульс  в виде последовательности из  отсчетов и интервалом дискретизации с. В качестве наивысшей частоты ,  взять ту точку на частотной оси, когда спектральная плотность обращается в нуль и при  значение спектральной плотности меньше 0,1 от ее максимального значения.

Используя выражение (4.1) определим длительность видеоимпульса

Учитывая замечания, сделанные выше, можно сделать вывод, что точка, где спектральная плотность импульса длительности 0,6 мс обращается в нуль и после которой уровень БЛ будет меньше 0,1 от ее максимального значения, равного единице, будет располагаться между вторым и третьим БЛ, т.е. будет равна величине  (рад/с)  или

(Гц).

Аналогичным образом решаются все задачи в п.10.2.4. в [2].

4.2. Определение интервала дискретизации

В ряде задач встречается случай, когда необходимо выбрать интервал выборок  аналогового сигнала с учетом требований к сохранению формы сигнала с одной стороны и не слишком сильного «проигрыша» временному интервалу, выбираемому из условий выполнения теоремы Котельникова. Напомним, что основным условием, необходимым для точного выполнения требований теоремы Котельникова является ограниченность ширины спектра обрабатываемого сигнала. В реальных случаях сигналы имеют конечную длительность, а, следовательно, ширина спектра не ограничена.

Очевидно, что в этом случае представление непрерывного сигнала последовательностью отсчетов будет сопровождаться ошибкой. Величина этой ошибки будет определяться той частью спектра, которая соответствует частотам выше некоторой граничной частоты, выбираемой из тех или иных соображений. Уменьшение ошибки достигается уменьшением временного интервала между соседними выборочными значениями сигнала.

Такие задачи встречаются при преобразовании цифровых звуковых сигналов, записанных на компакт-дисках, в аналоговую форму с заранее заданным уровнем искажений. Очевидно, что уменьшение временного интервала между выборками приводит к удорожанию аппаратуры, что является нежелательным.

Поэтому следует выбирать временной интервал  хотя и меньшим, но максимально близким по величине к величине временного интервала, определяемого из условий выполнения теоремы Котельникова для той или иной задачи.

Для определения величины временного интервала  используется представление, что ФНЧ, применяемый для «сглаживания» выборочных отсчетов, является «идеальным» и имеет частоту среза . Видно, что подобная задача является «обратной» относительно задачи, рассмотренной выше в п.4.1.

Пример 13. Интервал дискретизации выбирается из условия , где  – граничная частота для сигнала с ограниченным спектром. Выбрать интервал дискретизации прямоугольного импульса длительностью  и определить необходимое число отсчетов . В качестве наивысшей частоты взять ту точку на частотной оси, когда спектральная плотность обращается в нуль и за которой величина спектральной плотности не превышает 0,1 от максимального нормированного значения (т.е. менее 0,1).

Исходя из ранее сделанных замечаний, видно, что точка на частотной оси, когда спектральная плотность обращается в нуль и за которой величина спектральной плотности не превысит 0,1 от максимального нормированного значения, располагается между вторым и третьим БЛ, а, следовательно, будет равна величине

(рад/с),

или

(Гц).

Тогда величина , определяющая временной интервал между выборками будет

(с).

Количество отсчетов  будет

.

Аналогичным образом решаются все задачи в п.10.2.5. в [2].

4.3. Согласованная фильтрация

Как известно, максимальное отношение сигнал/шум  достигается на выходе того или иного фильтра, называемого согласованным для заданного входного сигнала , при выполнении условия, а именно:

                (4.2)

Здесь обозначено – АЧХ согласованного фильтра (СФ); – амплитудно-частотный спектр (АЧС) входного сигнала ; – коэффициент пропорциональности; – фазочастотная характеристика СФ; – фазочастотный спектр входного сигнала ; – несущая частота входного сигнала (рад/с); – момент времени окончания входного сигнала на входе СФ и численно равный длительности входного сигнала (с).

Видно, что АЧХ СФ является комплексно-сопряженной функцией относительно функции, описывающей амплитудно-фазочастотный спектр обрабатываемого входного сигнала .

Во временной области работа СФ описывается интегралом свертки (2.1) в виде

 

При этом вид ИХ СФ описывается выражением

   ...........  (4.3)

Количество отсчетов выходного сигнала равно величине , связанной с количеством отсчетов входного сигнала  и количеством отсчетов ИХ СФ  выражением

             (4.4)

Известно, что преобразование Фурье интеграла свертки имеет вид

Для СФ, учитывая вышеизложенное и выражение (4.2), огибающую амплитудно-фазочастотного спектра, т.е. амплитудно-частотный спектр (АЧС), можно записать в виде

            (4.5)

Для входного прямоугольного импульса  длительности  форма АЧС , как указывалось выше, описывается функцией вида .

Тогда из выражения (4.5) видно, что форма АЧС выходного сигнала будет описываться функцией в виде

Тогда очевидно, что для видеоимпульса прямоугольной формы максимум первого БЛ располагается на частотной оси между точкой  или  и точкой  или  в точке  или . Амплитуда первого БЛ будет равна 0,045 от максимального значения, равного единице.

Максимум второго БЛ будет располагаться на частотной оси между точкой  или  и точкой  или  в точке  или . Амплитуда второго БЛ будет равна 0,0162 от максимального значения, равного единице.

Как видно из (4.3), форма ИХ СФ для входного сигнала прямоугольной формы также будет иметь прямоугольную форму. Следовательно, отклик СФ на входной импульс с прямоугольной огибающей примет вид треугольного импульса с количеством отсчетов, определяемых выражением (4.4).

На рис. 20,а изображена огибающая прямоугольного видеоимпульса, на рис. 20,б изображена огибающая ИХ СФ для прямоугольного видеоимпульса, а на рис. 20,в изображена треугольная огибающая отклика СФ на воздействие входного видеоимпульса прямоугольной формы.

На рис. 21,а изображен АЧС входного видеоимпульса прямоугольной формы, на рис. 21,б изображена АЧХ СФ для обработки видеоимпульса прямоугольной формы, а на рис. 21,в изображен АЧС выходного сигнала треугольной формы.

а)

а)

б)

б)

в)

в)

Рис. 20. Формы входного сигнала, ИХ СФ и выходного сигнала

Рис 21. Формы АЧС входного сигнала, АЧХ СФ и АЧС выходного сигнала

Пример 14. Импульс прямоугольной формы длительностью (с) проходит СФ. Определить интервал дискретизации  и число отсчетов  для импульса на выходе СФ, полагая , и при условии, что наивысшая  является та точка на частотной оси, когда спектральная плотность равна нулю и после которой величина нормированной спектральной плотности меньше 0,04. Привести огибающую ИХ СФ, огибающую его АЧХ, виды сигналов на входе и выходе СФ и их спектры.

Определим, предварительно, величину (рад/с).

Из сделанных выше замечаний следует, что величина

(рад/с),

поскольку нулевая точка для заданных условий расположена между первым и вторым БЛ выходного АЧС обработанного в СФ сигнала.

Интервал дискретизации будет

(с).

Определим, предварительно, величину

.

Тогда, учитывая выражение (4.4) найдем величину

.

Форма входного сигнала, форма ИХ СФ и форма выходного сигнала такие же, как и изображенные на рис. 20, а форма АЧС входного сигнала, АЧХ СФ и АЧС выходного сигнала изображены на рис. 21.

Очевидно, что для каждой конкретной задачи необходимо будет на соответствующих рисунках (в контрольных работах или при выполнении домашнего задания) подставить соответствующие цифровые данные, соответствующие заданному варианту.

Аналогичным образом решаются все задачи в п.10.2.6. в [2].


5. ПРИМЕНЕИЕ АППАРАТА ЦЕПЕЙ МАРКОВА

ДЛЯ АНАЛИЗА ЦИФРОВЫХ УСТРОЙСТВ

В том случае, когда обработке подвергаются процессы, представленные в бинарно-квантованной форме, для анализа эффективности разработанных цифровых устройств, применяют математический аппарат цепей Маркова [3]. Аппарат цепей Маркова позволяет описывать состояния, в которых находятся те или иные цифровые узлы.

5.1. Пуассоновские потоки

Одним из видов марковских процессов являются разрывные процессы, которые представляют собой пуассоновские потоки событий [3]. Эти процессы лежат в основе теории надежности и теории массового обслуживания и имеют непосредственное отношение к описанию работы различных радиотехнических систем.

Пусть система имеет конечное число состояний . Под воздействием пуассоновских потоков из любого состояния  возможен переход в соседние состояния  и . Переход из состояния  в состояние  означает, например, поступление на суммирующий вход реверсивного счетчика (РС) единицы, а переход из состояния  в состояние  означает поступление единицы на его вычитающий вход. При этом полагается, что интенсивности появления единиц на входах РС представляют собой стационарные пуассоновские процессы.

Обозначим интенсивность потока, переводящего систему из состояния  в состояние , через , а интенсивность потока, переводящего систему из состояния  в состояние , через .

На рис. 22 изображен процесс, развивающейся в такой системе, в виде графа состояний. Здесь учтено, что в том случае, когда РС заполнен, то добавление по суммирующему входу единицы переводит все его разряды в нулевое состояние, а в случае, когда РС находится в нулевом состоянии, то появление на его вычитающем входе единицы переводит все его разряды в единичное состояние.

Рис. 22. Процесс перехода из состояния в состояние в виде графа в реверсивном счетчике

В те моменты времени, когда по обоим входам РС не поступают сигналы или когда сигналы поступают по обоим входам одновременно, его состояние не изменяется и обозначается через .

В работе [3] приводится вывод выражения, позволяющего определить для стационарного случая финальную вероятность в соответствии с выражением

.

Последнее выражение является рекуррентным, т.е. оно позволяет выразить значение вероятности  через предыдущие значения в виде

              (5.1)

Вероятность , через которую выражаются вероятности всех остальных состояний, находится из условия нормировки [3]

Из последнего выражения следует, что

Видно, что по заданным интенсивностям  и  определяются финальные вероятности  при заданной конечной величине . Отметим, что для РС вероятность нахождения первого разряда в одном из двух положений (нуль или единица) в момент включения будет .

Пример 15. На входы РС с  состояниями поступают по двум входам в виде пуассоновского потока последовательности импульсов. Вероятность нахождения первого разряда счетчика в одном из состояний  Вероятность перехода из состояния, в котором счетчик находится в  испытании в состояние на единицу большее в  испытании равно , а на единицу меньше равно . Определить вероятность  нахождения реверсивного счетчика в состоянии , где  для величин

Очевидно, что следует воспользоваться выражением (5.1). Из него видно, что , а величина . Также видно, что . Тогда величины  будут

Следовательно, независимо от числа испытаний  система находится в финитном состоянии, которое зависит только от статистических характеристик процессов на ее входах.

Аналогичным образом решаются все задачи в п.10.2.7. в [2].

5.2. Вычисление финальных вероятностей

Как показано в [3], вычисление финальных вероятностей нахождения цифровой системы в том или ином состоянии достаточно просто реализуется при известном начальном распределении и заданной матрице перехода.

В этом случае, для описания цифровой системы используется матрица вероятности перехода системы  из состояния в состояние, величины элементов которой зависят от моментов времени . Когда отсутствует зависимость величин вероятностей перехода системы из одного состояния в другое состояние от момента времени , т.е. , то такие цепи Маркова называются однородными.

Основной особенностью однородных матриц вероятностей перехода  является то, что сумма вероятностей в каждой ее строке равна единице. Это объясняется тем, что если количество строк матрицы соответствует количеству состояний, то элементы каждой строки описывают вероятность пребывания соответствующего элемента цифровой системы в том или ином состоянии.

В том случае, когда в рассматриваемой цифровой системе отсутствуют поглощающие состояния, т.е. состояния, при достижении которых (или которого) система перестает изменяться под воздействием соответствующих сигналов, то такие системы описываются цепями Маркова, называемыми эргодическими [3].

Однако полной характеристикой системы, описываемой однородными эргодическими цепями Маркова, является ее описание при помощи финальной матрицы вероятностей , которая определяется в виде

,

где – вектор-строка начальных состояний цифровой системы; – количество шагов, за которое система из первоначального состояния, описываемого , перейдет в финальное состояние, описываемое матрицей .

Как показано в [3], после определенного числа шагов  финальное состояние системы полностью определяется величиной , т.е.

.                   (5.2)

Выражение (5.2) показывает, что цифровая система через определенное число шагов «забывает» свое первоначальное состояние  и ее финальное состояние  полностью зависит от элементов матрицы вероятностей перехода .

Пример 16. Рассмотрим, на числовом примере, как изменяются матрицы перехода и безусловные вероятности состояний с ростом числа  в выражении (5.2) [3].

Положим, что нужно определить финальные вероятности цифровой системы.

Для этого воспользуемся соотношением (5.2).

Пусть матрица вероятностей перехода  из состояния в состояние задается в виде

Последовательно возводя эту матрицу во вторую, третью, четвертую и пятую степени, получаем

Видно, что после пятой итерации матрица перехода  вырождается в матрицу, полностью определяемую матрицей-строкой.

Согласно теореме Маркова [3], финальные вероятности для этого примера равны

 ,

откуда матрица финальных вероятностей будет

.

Видно, что сумма этих вероятностей равна единице.

Количество шагов перехода цифровой системы из первоначального состояния в финальное состояние равно

.

Аналогичным образом решается задача в п.10.2.8. в [2].


ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В данном учебном пособии приводятся теоретические сведения и примеры решения типовых задач, которые наиболее часто встречаются как на практических занятиях, так и при выполнении контрольных работ. Решения всех задач основано на изложенной соответствующей методике. Тем не менее, в некоторых случаях следует либо применять известные методы, позволяющие упрощать полученные уравнения и сводить их к известным решениям, либо требуют, в случае необходимости, обращения к работе [1] для более полной предварительной проработки необходимого теоретического материала. Следует отметить, что задачи в [2] составлены так, чтобы их решения сводились к решению либо простейших, либо они отличаются друг от друга только числовыми данными.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Литюк В.И., Литюк Л.В. Методы цифровой многопроцессорной обработки ансамблей радиосигналов. – М.: СОЛОН-ПРЕСС, 2007. – 592 с.

2. Литюк В.И. Методические указания к выполнению контрольных работ по курсам «Методы и устройства цифровой обработки сигналов в радиоприемных устройствах» и «Обработка цифровых сигналов». – Таганрог: Изд-во ТРТУ, 1999. – 21 с.

3. Казаков В.А. Введение в теорию марковских процессов и некоторые радиотехнические задачи. – М.: Сов. радио, 1973. – 232 с.


ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение.............................................................................................3

1. Аналого-цифровое преобразование сигналов............................3

2. Линейные цифровые системы......................................................8

2.1. Линейная и круговая свертки................................................8

2.2. Дискретное преобразование Фурье.....................................15

2.3. Связь Z-преобразования с преобразованием Лапласа.......18

2.4. Определение характеристик цифровых

         элементарных ячеек..............................................................20

2.5. Определение характеристик цифровых фильтров.............35

2.6. Определение структур цифровых фильтров

      по их разностным уравнениям.............................................39

2.7. Определение характеристик цифровых

         линейных цепей по их структурным схемам......................41

3. Расчет параметров цифрового

   частотного дискриминатора.......................................................44

4. Цифроаналоговое преобразование сигналов............................48

4.1. Получение непрерывного сигнала из дискретного...........49

4.2. Определение интервала дискретизации..............................51

4.3. Согласованная фильтрация..................................................52

5. Применение аппарата цепей Маркова для

   анализа цифровых устройств.....................................................57

5.1. Пуассоновские потоки..........................................................57

5.2. Вычисление финальных вероятностей...............................60

Заключение......................................................................................63

Библиографический список...........................................................63


ДЛЯ ЗАМЕТОК


ДЛЯ ЗАМЕТОК


Литюк Виктор Игнатьевич

СБОРНИК РЕШЕНИЙ ЗАДАЧ

по курсу

МЕТОДЫ И УСТРОЙСТВА ЦИФРОВОЙ ОБРАБОТКИ СИГНАЛОВ

В РАДИОПРИЕМНЫХ УСТРОЙСТВАХ

Учебное пособие

Ответственный за выпуск Литюк В.И.

Редактор            

Корректор           

ЛР № 020565 от 23 июня 1997 г.

Подписано к печати   г.

Формат 60х841/16. Печать офсетная.

Бумага офсетная. Усл.-п.л.- 4,1. Уч.-изд.л.- 4,05.

Тираж       экз. Заказ №      .

C

 

Издательство Технологического института

Южного федерального университета

ГСП 17А, Таганрог, 28, Некрасовский, 44

Типография Технологического института

Южного федерального университета

ГСП 17А, Таганрог, 2, Энгельса, 1



 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

78516. Основные характеристики и особенности организации современных операционных систем 26.5 KB
  Типы ОС: общие специальные и специализированные бортовой автокомпьютер CISCO – управление коммутаторами и маршрутизаторами Общая характеристика Windows XP. Windows XP объединяет в себе лучшие качества предыдущих версий Windows: надежность стабильность и управляемость – от Windows 2000 простой и понятный интерфейс а также технологию Plug Ply – от Windows 98. В Windows XP появился новый более эффективный интерфейс пользователя включающий новые возможности группировки и поиска документов новый внешний вид возможность быстрого...
78517. Основные задачи системного администрирования и их практическая реализация 33 KB
  Важнейшей сферой профессиональной деятельности специалистов в области информационных технологий является управление администрирование функционированием ОС как отдельных компьютеров так и их групп объединенных в вычислительные сети. Системное администрирование в общем случае сводится к решению следующих основных задач: управление и обслуживание пользователей вычислительной системы – создание и поддержка учетных записей пользователей управление доступом пользователей к ресурсам; управление и обслуживание ресурсов вычислительной системы –...
78518. Понятие, назначение и основные принципы организации распределенной обработки информации. Архитектура, свойства и характеристики распределенных систем 29.5 KB
  Понятие назначение и основные принципы организации распределенной обработки информации. Под распределенной обработкой информации понимается комплекс операций с информацией проводимый на независимых но связанных между собой ВМ предназначенных для выполнения общих задач. Возможность взаимодействия вычислительных систем при реализации распределенной обработки информации определяют как их способность к совместному использованию данных или к совместной работе с использованием стандартных интерфейсов. Целью распределенной обработки информации...
78519. Концепции и механизмы практической реализации распределенной обработки информации 27 KB
  Концепции и механизмы практической реализации распределенной обработки информации. Одним из исторически первых механизмов реализации распределенной обработки информации является механизм удаленного вызова процедур RPC который поддерживает синхронный режим коммуникаций между двумя прикладными модулями клиентом и сервером. RPC реализует в распределенной среде принципы традиционного структурного программирования. Применение объектно-ориентированного подхода способствует значительному усовершенствованию механизмов организации распределенной...
78520. Эволюция технических средств в обработке информации. Классификация, структурное построение и основные параметры вычислительных машин 28 KB
  Классификация структурное построение и основные параметры вычислительных машин. Предшественниками вычислительных машин были механические и электромеханические счетные устройства. Эта машина во многом была прообразом современных универсальных вычислительных машин. Лебедевым независимо от фон Неймана были сформулированы более детальные и полные принципы построения электронных цифровых вычислительных машин которые были применены при создании первых отечественных разработок ВМ Первый период 19451955.
78521. Основные аппаратные составляющие и перифирийные устройства компьютеров, их назначение, типы, принципы функционирования и характеристики 33 KB
  Процессор является основным вычислительным устройством ВМ в задачу которого входит исполнение находящейся в памяти машины программы. Процессор является основным вычислительным узлом ПК в задачу которого входят исполнение находящейся в памяти программы. сам по себе процессор и остальные элементы контроллеры памяти интерфейсы шины КЭШ память...
78522. Вычислительные системы: общие понятия, классификация, структурные схемы, характеристики 159.5 KB
  Одним из эффективнейших направлений развития вычислительной техники стало построение так называемых многомашинных вычислительных систем ММВС Принципиальным отличием ММВС от многопроцессорных ВМ является то что входящие в состав ММВС отдельные ВМ или и отдельные так называемые вычислительные модули ВМод включающие центральный процессор основную память интерфейсное устройство и возможно дисковую память имеют свою собственную основную память. Вычислительные машины или и вычислительные модули связываются между собой посредством...
78523. Понятие и классификация вычислительных сетей. Модель многоуровневого сетевого взаимодействия 27 KB
  COWS – кластар рабочих станций NOWS – сеть рабочих станций Основной классифицирующей характеристикой ВС является их масштабная территориальная характеристика: локальные вычислительные сети и глобальные вычислительные сети ГВС и региональные городские РВС. Сети отделов. Сети кампусов изначально преследовали цель объединения нескольких мелких локальных сетей в одну. Корпоративные сети в рамках одного предприятия.
78524. Физический уровень сетевых телекоммуникаций: общие понятия, типы и характеристики линий связи, методы передачи данных 27 KB
  Физический уровень сетевых телекоммуникаций: общие понятия типы и характеристики линий связи методы передачи данных Физ. В зависимости от типа физической среды передачи информации линии связи могут быть либо кабельными проводными либо беспроводными электромагнитные волны. в оптоволоконном кабеле для передачи данных используются световые импульсы. малую надежность передачи информации.