88353

Геометричний зміст аргументу похідної. Конформні відображення1-го та 2-го родів

Курсовая

Математика и математический анализ

Формула 3’ показує що аргумент похідної виражає кут повороту будьякого напрямку в даній точці внаслідок перетворення що здійснюється функцією тобто кут між початковим та відображеним напрямами. Отже перетворення що здійснюється голоморфною функцією зберігає кути за величиною та напрямом...

Украинкский

2015-04-29

445.09 KB

4 чел.

Зміст

Вступ 3

Геометричне значення модуля і аргумента похідної 5

Ізотермічні сітки 8

Лінійне відображення 9

Функція 11

Дробово-лінійне відображення 14

Степенева функція 19

Функція Жуковського 23

Показникова та логарифмічна функції 25

Теорема Рімана 28

Застосування теорії функцій комплексної змінної до вивчення фізичних явищ 29

Висновки 35

Список літератури 36

Вступ

Тема курсової роботи – геометричний зміст аргументу похідної. Конформні відображення1-го та 2-го родів.

Теорія комплексних чисел розвивалася повільно: ще в 18 столітті найбільші математики світу сперечалися про те, як знаходити логарифми комплексних чисел. Хоча за допомогою комплексних чисел вдалося отримати багато важливих фактів, що відносяться до дійсних чисел, але саме існування комплексних чисел багатьом здавалося сумнівним. Вичерпні правила дій з комплексними числами дав і в 18 столітті російський академік Ейлер - один з найвидатніших математиків всіх часів і народів. На рубежі 18 і 19 століть було зазначено Вессель (Данія) і Арганом (Франція) геометричне зображення комплексних чисел. Але на роботи Весселя і Аргана не звернули уваги, і лише в 1831 р. коли той же спосіб був розвинений великим математиком Гауссом (Німеччина), він став загальним надбанням.

Велике значення комплексних чисел в математиці і її додатках широко відомо. Особливо часто застосовуються функції комплексної змінної. Їх вивчення має самостійний інтерес. Разом з тим алгебру комплексних чисел можна успішно використовувати в елементарній геометрії, тригонометрії, теорії геометричних перетворень, а також в електротехніці і різних завданнях з механічним та фізичним змістом.

Метод комплексних чисел дозволяє вирішувати планіметричні завдання за готовими формулами прямим обчисленням, елементарними викладками. Вибір цих формул з очевидністю диктується умовами задачі та її вимогою. У цьому полягає надзвичайна простота цього методу в порівнянні з координатним, векторних і іншими методами, які вимагають від вирішального часом чималої кмітливості, тривалих пошуків, хоча готове рішення може бути дуже коротким.

У даній курсовій роботі розглядаються такі питання, як основні поняття, ізотермічні сітки, різні відображення, функція Жуковського, теорема Рімана. А також,  у кожному пункті курсової роботи наведені приклади відповідно до теми, яка  розглядається.

Мета роботи: вивчити основні означення та властивості конформних відображень 1-го та 2-го родів, розглянути відповідні теореми та приклади.

Виходячи з теми, в курсової роботи я поставила до вирішення наступні задачі:

- проаналізувати навчальну та наукову літературу за темою роботи з метою її систематизації та узагальнення;

- розглянути допоміжні визначення та теореми, які необхідні при вивченні та аналізі основних тверджень даної роботи;

- привести означення геометричного значення аргументу похідної, а також конформних відображень та навести відповідні приклади;

- вивчити види конформних відображень 1-го та 2-го родів. 

Відповідно до поставлених завдань, курсова робота складається з десяти питань (параграфів) .

У висновку підведені підсумки по роботі в цілому.

Геометричне значення модуля і аргумента похідної

Нехай задано деяку функцію

  (1)

голоморфну в якійсь області  .

Кожній точці   площини незалежної змінної  відповідає деяка точка («відображення точки ») площини функції *, через те що за формулою (1)

, ,   (1’)

і сукупності всіх точок області  відповідає деяка область  в площині  («відображення області »). При русі точки  («прообразу») уздовж         будь-якої кривої  відповідна їй точка  («образ») буде описувати в площині  деяку криву  («відображення кривої »).

Нехай задано деяку точку  в області і деяку лінію  з певним напрямком, яка виходить з точки , тобто таку, що має в точці  певну дотичну(рис.11,а); їм відповідають в площині  деяка точка  і лінія (рис.11,б).

Нехай далі:

, **, (2)

так що

                   i  .  (2’)

Візьмемо на лінії довільну точку , якій нехай відповідає точка   на , і позначимо кути утворені хордою і дотичною до  в точці  з віссю , через  та, відповідною хордою і дотичною до  в точці  з віссю  через  і . Почнемо наближати точку  до точки  уздовж лінії ; тоді точка  наближається уздовж лінії  до , причому  і  одночасно прямуватимуть до нуля.

З означення похідної

матимемо:

 

                                            ()=*,

або                         

 .   (3’)

Формула (3) показує, що границя відношення нескінченної малої віддалі між їхніми прообразами дорівнює R і не залежить від напрямку лінії c, тобто модуль похідної виражає величину зміни лінійних розмірів у точці , при перетворенні , що здійснюється функцією.

При R>1 відбувається розтяг довільно напрямленого нескінченно малого елемента, що виходить з точки , а при R<1 – стиск; при R=1 такий нескінченно малий елемент перетворюється в еквівалентний нескінченно малий елемент, що виходить з точки .

Формула (3’) показує, що аргумент похідної виражає кут повороту будь-якого напрямку в даній точці  внаслідок перетворення, що здійснюється функцією  (тобто кут між початковим та відображеним напрямами).

Нехай i  –  дві інші криві,  що відповідають одна одній, проходять через точки  і  і дотичні до яких в цих точках утворюють з осями  і  кути  і ; тоді

або  ,

тобто лінії   і  перетинаються під тим самим кутом (за величиною та напрямом), що і . Зокрема, дві взаємно ортогональні сім’ї ліній площини  перетворюються в дві також ортогональні сім’ї ліній площини .

Отже, перетворення, що здійснюється голоморфною функцією, зберігає кути (за величиною та напрямом) і призводить до сталості розтягів в усіх точках де

Таке перетворення називається конформним відображенням 1-го роду. Перетворення, що дає сталість розтягів і зберігає величини кутів, але змінює напрям їх відліку на протилежний , називається конформним відображенням 2-го роду. Таке перетворення здійснює, наприклад, функція ** (рис.12).

Взагалі, якщо є функція голоморфна в області , що дає конформне відображення 1-го роду, то функція , спряжена з даною, дає конформне відображення 2-го роду.

Ізотермічні сітки

 В різних застосуваннях при конформному відображенні, що здійснюється за допомогою формул  (1)  або  (1’), істотну роль відіграють такі лінії площини , що перетворюються в прямі, паралельні координатним осям на площині  (координатні лінії площини ). Ці лінії мають очевидно рівняння ,   (4) де  і  – довільні (дійсні) сталі, через те що перетворення  (1)  зводить ці рівняння до вигляду  , . Лінії, що визначаються рівняннями  (4)  називаються ізотермічними. Дві сім’ї ліній  (4)  (рис.13,а) , які називаються спряженими, очевидно взаємно ортогональні (крім точок, в яких  ), бо вони перетворюються в дві ортогональні сім’ї прямих площини  (рис.13,б) (дивись перший пункт курсової роботи) .

Це очевидно також і безпосередньо, оскільки кутові коефіцієнти дотичних до ліній  (4)  є:

І на підставі умов Ейлера-Даламбера (  і )  . Побудувавши на площині  сім’ї ліній (4) (рис.13,а) дістанемо, так би мовити, номограму для функції  (або для обох рівнянь   ).

Поклавши в рівняннях (1’) , дістанемо параметричні рівняння двох сімей ліній на площині :

,     (5)

,  ),  (5)

які  перейдуть в координатні лінії на площині  при оберненому перетворенні . Отже, це – також дві сім’ї ізотермічних ліній.

Лінії, які мають рівняння |=    = і які переходять в сітку полярних координат площини  також є ізотермами, через те що  - дійсна і уявна частина аналітичної функції

Лінійне відображення

Як перший приклад конформного відображення розглянемо перетворення, яке здійснює лінійна функція:

, (6)

де  - довільні комплексні числа.

Це перетворення буде конформним на всій площині ,  бо  і взаємно однозначним, оскільки

 .

 Точка  переходить в точку ; при  і вся площина  переходить в усю площину .

Розглянемо спершу кілька окремих випадків, інтерпретуючи для спрощення і  точками однієї площини.

  1.  Нехай ,  (61)   тобто

.   

 Таким чином, кожну точку ожна дістати з відповідної точки  перенесенням останньої в напрямі вектора, що відповідає числу , на віддаль, яка дорівнює його довжині.

Отже, перетворення за формулою  (6)  є перенесення точок площини на вектор (рис.14).

  1.  Нехай тепер ()

                          (    

тобто  .   

За  формулою ()  тобто перетворену точку   дістаємо з її прообразу , повернувши вектор   навколо нульової точки на кут  (рис.15).

Отже, перетворення ()  є поворот площини навколо початку координат на кут .

  1.  Нехай, нарешті, ,   () де є дійсне додатне число, тобто  тобто точка  перетворюється в точку , що лежить на прямій , на віддалі  від початку координат.

Це є перетворення подібності з центром подібності в нульовій точці і з модулем подібності .

Загальне перетворення (6)   можна розглянути як наслідок трьох перетворень: повороту вектора  на кут, що дорівнює  , «розтягу»  його «в  разів» і перенесення знайденої точки на вектор  (рис.16,а).

Записавши перетворення (6)  у вигляді , де  є так звана нерухома точка перетворення, можна також розглядати його як обертання навколо  на кут, що дорівнює , і перетворення подібності з центром в точці  і модулем  (рис.16,б).

Ізотермічна сітка перетворення (6)  складається, очевидно, з двох сімей паралельних прямих.

Функція

 Розглянемо перетворення, що здійснюється найпростішою дробово-раціональною функцією:

так що

Це перетворення найпростіше записати в полярних координатах; поклавши

,

за  формулою (7) дістанемо:

   (8)

Співвідношення (7) встановлює взаємно однозначну відповідність   причому точці  відповідає  і точці  відповідає ; при цьому перетворенні осі , але так, що при зміні  від  до 0  змінюється від 0 до (від 0 до ), а зміні  від  до    від  до (від  до 0).

Ізотермами в площині  є кола, що мають  рівняння:

 

Через те що рівняння будь-якого кола

 

перетворюється за  також в рівняння кола

  (при )

або в рівняння прямої

  (при ),

То, розглядаючи прямі як кола із нескінченними радіусами, можемо сказати, що перетворення (7) відображає коло на коло. Зокрема   з центром в початку координат і з радіусом, рівним одиниці («одиничне коло»),  відображається також на одичне коло  («само на себе») так, щоб кожна його точка переходить в симетричну відносно дійсної осі точку (рис.17, а і б, де відповідні лінії та області позначено однаким способом).

Перетворення (8) можна розглядати як наслідок двох конформних відображень 2-го роду, що визначаються за формулами:

При першому  з цих перетворень всяка точка , що лежить в середині одиничного кола , перетворюється в точку , що лежить зовні  на продовженні відрізка , при цьому добуток віддалей  i  дорівнює одиниці (тобто радіусові кола). Таке відображення називається перетворенням обернених радіусів-векторів, або інверсією відносно кола ; точки  і  називаються симетричними відносно кола

Друге перетворення  переводить кожну точку в точку,їй симетрично відносно осі, і називається  дзеркальним відображенням відносно дійсної осі (рис.18).

Дробово-лінійне відображення

Дробово-лінійним (також загальним лінійним, біраціональним, або коловим) відображенням називається перетворення, що здійснюється дробово-раціональною функцією:

де  – будь-які комплексні числа, причому

Це перетворення, що щільно пов’язане з геометрією М.І.Лобачевського, є конформним на всій площині , крім точки ,  через те що похідна

Скінченна і відмінна від нуля при всякому скінченному значення , крім . Перетворення (9)  також і взаємно однозначне, через те що з (9) маємо, навпаки,

тобто вся площина  переходить в усю площину , причому точками  відповідають точки .

 Переписавши формулу (9) у вигляді:

помітимо, що перетворення (9)  можна розглядати як наслідок таких чотирьох відображень: переносу , повороту з розтягом  інверсії відносно одиничного кола із дзеркальним відображенням відносно дійсної осі і переносу  .

Вкажемо на основні властивості дробово-лінійного відображення:

  1.  Оскільки зазначені чотири перетворення, з яких складається перетворення (9), всяке коло перетворюють також у коло, то ця властивість має також і відображення  (9), через що воно і називається ще коловим.
  2.  Нехай точка  описує деяке коло  l  так, що внутрішні точки його знаходяться зліва (обхід проти стрілки годинника); такий напрям обходу називатимемо додатним відносно області. Якщо точка  описує  коло , що відповідає колу  l, то при цьому, завдяки збереженню величини і напряму відліку кутів при перетворенні (9), область, на яку відображається внутрішність  l,  також має  залишитися зліва.

  Через це, якщо додатному обходові уздовж  l  відповідає додатний обхід уздовж  (рис.19), то функція (9) відображає внутрішність (зовнішність)  l  на внутрішність (зовнішність)  ; якщо ж напрями обходів l  і  протилежні, то внутрішність l   відображається на зовнішність   і навпаки (рис.20).

  1.  Точки симетричні відносно деякого кола  l , відображаються на точки, симетричні відносно кола , що відповідає колу  l.

Покажемо, насамперед, що пара симетричних відносно кола точок M і N характеризується тим, що пучок кіл, який проходить через них, ортогональний до l.

Справді, нехай  P  - одна з точок перетину деякого кола , що проходить через M і N , з колом  (рис.21) радіуса R. 

Оскільки, з одного боку, добуток OM*ON дорівнює квадратові відрізка дотичної до , ф з другого (на підставі симетрії точок M і N) OM*ON=R2, то радіус OP є дотичною до , яке, отже, ортогональне до . Очевидно, що й навпаки: якщо пучок кіл, що проходить через M і N, ортогональний до , то M і N – взаємно симетричні точки відносно . Через це, якщо перетворення (9) відображає точки M і N на деякі точки M1 і N1 і ортогональні до відображеного кола . Отже, точки M1 і N1 будуть взаємно симетричними відносно кола

  1.  Вважаючи в загальному випадку, що  відмінні ві нуля, перепишемо формулу (9) у вигляді:

Полярними ізотермами на площині  є кола, що мають рівняння:

через те що ці лінії відображаються за  на сітку полярних координат площини : концентричні кола

              і промені

При   матимемо рівняння прямої (осі симетрії відрізка ), що            перетворюється на рівняння кола площини з центром у точці , яке проходить через точку  (рис.22, а, б). При  і  матимемо пряму, що проходить через точки  і перетворюється в промені ,  (рис.22,а, б).

Оскільки точки  і  симетричні відносно кіл  площини ,ю то точки  і  симетричні відносно кіл (10) площини . Кола , очевидно, проходять через ці точки.

  1.  Зважаючи на те, що прямі, паралельні осям  на площині , можна розглядати як сім’ї кіл, що взаємно дотикаються в точці
  2.  Через те що перетворення (9) має три довільні параметри (відношення трьох з коефіцієнтів   до четвертого), то їх завжди можна дібрати так, щоб три довільні задані точки  відобразилися на три задані точки  площини . Цю умову, очевидно, задовольняє перетворення:

яке після розв’язання відносно набуває вигляду (9).

Таким чином, можна побудувати перетворення, яке відображає будь-яке дане коло (що визначається трьома точками ) на будь-яке інше коло (що визначається трьома точками ). Якщо, зокрема, обидві трійки точок беруться на одному колі (однакових колах площин  і ), то перетворення (11) відображає це коло само на себе.

Вкажемо, нарешті, на кілька часто вживаних окремих випадків перетворення (9).

  1.  Нехай в перетворенні (9) всі коефіцієнти будуть дійсними: тоді, відокремлюючи дійсну та уявну частини, матимемо:

Звідси легко встановимо,що перетворення (12) відображає дійсну                       вісь () на дійсну вісь () і верхню півплощину(>0) на верхню півплощину () при  і нижню  при .

  1.  Перетворення

при довільних  (дійсне) і  відображає одиничне коло  на одиничне коло , через те що при  

і точку  - на нульову точку . Якщо , то круг  відображається на круг ; якщо ж , то перетворення (13) відображає внутрішність круга (точки  на зовнішність круга (точки ).

  1.  Перетворення

відображає дійсну вісь на одиничне коло (через те що при дійсному) і верхню півплощину – на внутрішність               одиничного круга (через те що при і І( маємо  і ).

Неважко упевнитися, що вигляд (12), (13), (13) для дробово-лінійних перетворень є також і необхідним при умовах відображень, описаних в наступних пунктах.

Степенева функція

Степенева функція

 де n – ціле число, більше за одиницю, дає відображення, конформне в усіх точках площини, крім , через те що  при ; значенням  і  відповідають значення  і . Поклавши  за формулою (14) знайдемо:

звідки випливає, що в нульовій точці кути збільшуються в  разів. Крім того з (14) видно, що сітка полярних координатних ліній площини  відображається на таку ж сітку площини .

Розглядаючи сукупність точок площини , для яких , з  помітимо, що їм відповідає сукупність точок площини , для яких тобто вся площина . Отже, функція (14) відображає кут  на всю площину , а кут  на всю верхню півплощину .

Так само функція 

                                  

де m – дійсне число, більше за одиницю, означена як  а кут  на верхню півплощину

Функція

має n значень, що подаються формулою:

Вибравши значення кореня, що відповідає , так що

 дістанемо, очевидно, перетворення, що відображає всю площину  на кут .

Так само функція  означена як  при дійсному значенні , відображає всю площину на кут  площини .

Розглянемо кілька прикладів.

ПРИКЛАД 1.Півкруг верхньої півплощини з центром в початку координат і радіусом, рівним одиниці, відобразити на верхню півплощину.

За функцію, що відображає відрізок  на дійсну додатну піввісь, можна прийняти

 

Справді, при зміні  від , зростаючи, набирає всіх дійсних значень від 0 до . Через те що рівняння  перетворюється в рівняння уявної осі  а нерівність , що характеризує внутрішні точки одиничного кола, перетворюється в нерівність , яка характеризує точки правої площини , то звідси виводимо, що функція (16) відображає  півколо одиничного радіуса, яке лежить у верхній півплощині, на додатну половину осі , а відповідний півкруг – на перший квадрат (рис.23 а,б).

 

Для відображення ж останнього на верхню півплощину (рис.23,в) користуємося степеневою функцією , так що остаточно шукане перетворення буде:

ПРИКЛАД 2. Сектор (рис.24, а) відобразити на верхню півплощину.

Перетворення  відобразить сектор на півкруг одиничного радіуса, що лежить у верхній півплощині (рис.24, б), тому шуканою функцією буде:

ПРИКЛАД 3.Область, обмежену дугами двох кіл, які перетинаються під кутом  («двокутник з кутом , ; (рис.25,а)), відобразити на верхню півплощину.

Нехай  – вершини двокутника. Перетворення

відобразить точки  на , дуги кіл – на промені, що виходять з початку координат, а двокутник – на внутрішність кута, що дорівнює  і має вершину в початку (рис.25,б).

Перетворення  відобразить цей кут на деяку півплощину. Нарешті, помножимона  , де  залежить від розміщення двокутника, можна досягти того, що ця півплощина стане верхньою півплощиною обмеженою дійсною віссю. Остаточно:

ПРИКЛАД 4. Двокутник з вершинами в точках  дійсної осі і кутом  (рис.26, а) відобразити на одиничний круг.

Перетворення:

відобразить двокутник на кут, рівний  , бісектрисою якого буде від’ємна половина дійсної осі в площині  (рис.26, б); перетворення:

приведе  до суміщення однієї із сторін кута з додатною половиною дійсної осі (рис.26, в). Функція

перетворить кут у верхню півплощину. Нарешті, перетворення   (при , ) відобразить півплощину на одиничний круг, так що

Функція Жуковського

Розглянемо тепер раціональну функцію

яка має численні застосування і, зокрема, відіграє значну роль в аеродинамічних дослідженнях славетного російського вченого М.Є.Жуковського.

Ця функція є аналітичною на всій площині  і голоморфною в усякій області, яка не містить точок  і  (полюсів функції).  і відокремивши в (19) дійсні та уявні частини, дістанемо:

         При   звідси матимемо:

отже, колу  площини  буде відповідати «подвійний» відрізок  дійсної осі площини .

         Взагалі, колами  площини  за  відповідатимуть в площині  еліпси з рівняннями:

півосями    і фокусами в точках дійсної осі, абсциси яких дорівнюють

         Координатними осями площини

відповідатимуть відрізки дійсної осі Взагалі промені відмінне від згаданих значень) площини  відобразяться за  на гіперболи з рівнянням:

конфокальні з еліпсами (20).

     Отже, сітка полярних координат площини  відобразиться на сітку конфокальних еліпсів та гіпербол (рис.27, а, б).

      При зміні  у рівнянні (20) від 1 до 0 або від 1 до  еліпс розширюватиметься і опише всю площину  з розміром . Отже, внутрішності одиничного круга та його зовнішності відповідає вся площина  з розміром . Уся площина  відображається на дволисту ріманову поверхню, що відповідає двозначності оберненої функції

яка має точки розгалуження  та .

Показникова та логарифмічна функції

  1.  Перетворення, що здійснюється показниковою функцією

тобто

є конформним на всій площині *, через те що похідна (= не перетворюється в нуль ні при якому скінченному значенні .

Поклавши , замінимо (21) двома рівностями:

Звідси видно, що сітка координатних ліній декартових координат

площини   відображається на сітку полярних координат площини  (ізотерми на площині ):

На площині  ізотермами є лінії, що мають рівняння:

Розглянемо в площині  смугу, що обмежена дійсною віссю і                   прямою :

За  точкам цієї смуги відповідає на площині  сукупність точок, координати яких задовольняють нерівності:

тобто функція (21) відображає смугу на всю площину  (з виключеним початком координат), причому дійсної осі  відповідатиме додатна половина осі .

Смуга  за формулою (21)  відображається на верхню півплощину , причому прямій  відповідатиме від’ємна половина осі .

  1.  Обернена функція

як уже було з’ясовано в попередньому розділі, вона є нескінченнозначною і має точки розгалуження  і . При тому значенні логарифма, для якого коефіцієнт при уявній одиниці змінюється від 0 до , функція (22), навпаки, відображує всю площину  (крім точки ) на смугу .

ПРИКЛАД 1. Відображення смуги на одиничний круг.

Нехай на площині  задано смугу ширини , обмежену двома паралельними прямими, що утворюють з віссю  гострий кут комплексна координата основи перпендикуляра, опущеного з початку координат на найближчу пряму (рис.28,а).

Трансляція  перетворює найближчу до початку () межу смуги у пряму, що проходить через початок () (рис.28, б); поворот

перетворить межі смуги у прямі  (рис.28,в).

Перетворення подібності  відобразить смугу на смугу ширини  (рис.28, г); функція  відобразить одержану смугу на верхню півплощину, і, нарешті, функція   перетворить цю півплощину в одиничний круг.

ПРИКЛАД 2. Відображення двокутника з кутом, рівним нулеві, на одиничний круг.

Нехай в площині  задано область, обмежену двома колами, що мають внутрішній дотик в точці  (рис.29), тобто двокутник з кутом, рівним нулеві.

Дробово-лінійне перетворення

відобразить кола на паралельні прямі, а двокутник на смугу, дальше перетворення якої на одиничний круг з’ясовано в прикладі 1.

Теорема Рімана

       Одна з найважливіших результатів теорії функцій комплексної змінної, що відіграє основнк роль в теорії комплексних відображень, є теорема Рімана. Нехай на площині  дано однозв`язну область , яка не є всією замкнутою площиною (тобто площинною з нескінченно віддаленою точкою) або всією площиною з одyією виключеною точкою, наприклад, нескінченно віддаленою).

      Теорема Рімана(1851р.) Існує єдина цілком певна голоморфна в  функція , яка відображає ( взаємно однозначна ) область  на одиничний круг так, що довільно заданим точці в  і напряму в цій точці будуть відповідати нульова точка і додатний напрям дійної осі.

      Якщо контур області , є просто замкнута лінія, то ця функція  буде неперервною аж до області  і відобразить цей контур на коло одиничного круга. Обернена функція тоді буде неперервною в замкнутому крузі.

         Функція , що залежить від трьох дійсних довільних сталих, цілком визначається і іншими умовами , наприклад ;

              а) заданням трьох точок контура області  і відповідних трьох точок одиничного кола;

         б) задання двох точок — внутрішньої точки і точки  контура області і відповідних їм — внутрішньої точки одиничного круга і точок одиничного кола.

      Якщо    і  – дві голоморфні функції, що відображають однозвязні області  і  площин  і на одиничний круг  то, виключивши , дістанемо функцію , яка відображає область на область . Таким чином, всяку однозвязну область можна комфортно відобразити  на іншу довільну однозвязну область.

       Многозв’язну область, неможливо взаємно однозначно і неперервно  відобразити на однозначну. Навіть не всякі дві області однієї і тієї самої зв’язності ( у випадку многозв’язних областей) можна комфортно відобразити одна на одну. Проте всяку зв’язну область можна відобразити на площину з  розмірами, що є відрізками паралельних прямих, причому деякі з цих розмірів, що можуть вироджуватись в точку.

Застосування теорії функцій комплексної змінної до вивчення фізичних явищ

 

Застосування теорії аналітичних функцій комплексної змінної до вивчення фізичних явищ ґрунтується на тісному зв’язку цих функцій з гармонічними функціями. Гармонічні функції відіграють фундаментальну роль в різноманітних теоретичних і прикладних питаннях: в теорії притягання, в теорії пружності, в задачах про рівновагу електрики на провідниках, в аеро- та гідромеханіці та теорії теплопровідності, при вивченні стаціонарних рухів рідини, тепла, електричного струму та ін.

    Так у гідромеханіці «потенціальний рух» рідини характеризується двома спряженими гармонічними функціями, які називаються потенціалом швидкостей і функцією течії рідини; в теорії теплопровідності таку саму роль відіграють температуру і функція течії тепла. Такі ж самі функції характеризують плоске електростатичне або магнітне поле.

                Задача визначення гармонічної функції в певній області за даними граничними умовами (в найпростішому випадку – за даними її значеннями на контурі області) зводиться до задачі визначення ( з точністю до сталого доданка ) голоморфної в даній області функції, що задовольняє на контурі відповідні умови (наприклад, за даними на контурі значеннями її дійсної частини).

                  Рух рідини називається плоским  ( або плоскопаралельним), коли всі  частини рідини, що лежить в певний момент в якійсь площині  , під час руху залишаюьбся в тій самій площині і рух в усіх площинах, паралельних площині , однаковий з рухом у цій площині. Нехай — проекції швидкості в даній точці; тоді при умові нестисливості рідини  та відсутності вихрів  , буде існувати така функція   ,

 що

   причому  

          Функція називається потенціалом швидкостей,а спряжена з нею функція  така що

називається функцією течії. Різниця   виражає кількість рідини, що протікає за одиницю часу через циліндричну поверхню з одиничною висотою, яка має напрямною деяку лінію, що сполучає точки   і твірні, перпендикулярні до площини  .

            Аналітична функція

називається комплесним потенціалом течії, а її похідна

 комплексною швидкістю; вектору ж швидкості рідини відповідає комплексний вираз

 Таким чином, розглядуваній течії рідини відповідає в певній області аналітична функція і, навпаки, будь-якій аналітичній функції   відповідає певна кліматично можлива картинка руху при зазначених умовах ( ідеальної рідини).

Лінії ізометричної сітки, що мають рівняння   називають еквіпотенціалами, а лінії з рівняннями відповідають лініям течії. В кожній точці поля течії вектор швидкості напрямлений по дотичній по лінії течії, яка проходить через цю точку;отже , лінії другої сім’ї є траєкторіями частинок рідини.

  Якщо замість   розглядати комплексний потенціал , то лінії течії стануть  еквіпотенціалами і навпаки. Отже, екзотермічна сітка кожної аналітичної функції дає дві можливі картини течії рідини.

  Розглянемо тепер кілька найпростіших прикладів.

 Приклад 1. Лінійна функція

є комплексним потенціалом у випадку поступального руху рідини в площині  (рис.30).

Рівняння сім’ї еквіпотенціалей мають вигляд:

а рівняння ліній течії:

Проекції швидкості будуть:

ПРИКЛАД 2. Функція

характеризує течію з диполем в нульовій .

Лінії течії

є кола, що мають центри на осі  і дотикаються до осі , а еквіпотенціалі

є кола, що мають центри на осі  і дотикаються до осі  (рис.31).

ПРИКЛАД 3. Функція

де  дійсне додатне число, характеризує рух рідини з джерелом інтенсивності  в нульовій точці (при обході нульової точки в додатному напрямі  дістає приріст ,  збільшується на ). Лінії течії  є промені, що виходять з початку координат,ю а еквіпотенціалі кола з центром в початку координат (рис.32).

Комплексна швидкість дорівнює

При  рідина тече до нульової точки, яка тоді називається стоком.

ПРИКЛАД 4. Функція

як і попередня, визначає рух рідини всюди, крім точки . Тепер лінії течії  концентричні кола, з центром в нульовій точці, а еквіпотенціалі  промені, що виходять з цієї точки (рис.33)

Швидкість течії в точці  і напрямлена вздовж дотичної до відповідного кола. Така течія називається потоком вихру, а число  інтенсивність вихру, або циркуляцією потоку навколо точки .

При  частинки рідини рухаються за стрілкою годинника.

ПРИКЛАД 5. У випадку функції Жуковського

лінії течії мають рівняння

і, отже, взагалі, є лініями 3-го порядку. При  це рівняння розпадається на рівняння одиничного кола  і осі   . Якщо розглядатимемо частину площини зовні цього дотичного кола, то можна вважати, що одна з ліній течії складається з відрізків  і  осі  і даного кола. Тоді матимемо картину течії рідини зовні кола з обтіканням цього кола (рис.34).

Комплексна швидкість

дорівнює нулеві в точках  і дорівнює    при

Висновки

Багато задач курсу математики  можна витончено і просто вирішувати за допомогою комплексних чисел. Однак, значення комплексних чисел полягає не тільки у витонченості і стислості вирішення завдань за допомогою цих чисел, хоча і це дуже суттєво. Не менш важливо й те, що в результаті застосування комплексних чисел при вирішенні завдань не рідко виявляються нові деталі, вдається зробити цікаві узагальнення та внести уточнення, які підказуються аналізом отриманих формул і співвідношень.

Звичайно, дана робота не може вмістити в себе всі теореми і задачі, до того ж багато з них ще не сформульовані. Тут розглянуті лише деякі теми, по кожній з яких були представлені завдання та їх вирішення. Хочеться відзначити і те, що  темі, яка розглядається  в цій роботі, приділено досить мало уваги, тому вона таїть у собі багато прихованого і невідомого, що дає прекрасну можливість для подальшої роботи над нею

Підводячи підсумки, можна зробити висновок: метод комплексних чисел у застосуванні до вирішенні завдань з курсу математики можна давати не тільки студентам вищих навчальних закладів, а й старшим школярам на факультативних заняттях. Так як цей метод простий у застосуванні, використовує апарат комплексних чисел, що, безумовно, повинно зацікавити учнів, які захоплюються математикою.

Список літератури 

1. Давидов М.О. Курс математичного аналізу Т.3 – К.: «Вища школа», 1992. 

2. Соколов Ю.Д. Елементи теорії функцій комплексної змінної – К.: «Радянська школа», 1954.

3. Маркушевич А. І. Теорія аналітичних функцій. - Т.2, М.: Просвещение, 1977.

4. Шкіль М.І. Математичний аналіз Т.2 – К.: «Вища школа», 1954.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

24720. Малая группа 44 KB
  Цели: овладение знаниями по таким вопросам как определение малой группы и ее границы классификация малых групп социальнопсихологические характеристики малой группы. Ключевые понятия: малая группа команда организованные – спонтанные группы открытые – закрытые группы группы членства и референтные группы коллектив структура и развитие малой группы социометрия лидерство групповые нормы конформность групповая сплоченность. Минимальный размер малой группы – 2 чел. Количественные признаки малой группы – ее нижние и верхние границы –...
24721. Характер 42 KB
  Задачи: определение понятия характер структуры характера его черт взаимосвязи с темпераментом. Ключевые понятия: характер отношение волевые интеллектуальные эмоциональные качества темперамент структура характера черты характера потребности установки интересы акцентуации характера. Структура характера свойства характера зависящие друг от друга связанные друг с другом и образующие целостную организацию. В структуре характера выделяют 2 группы черт: к 1 группе относятся черты выражающие направленность личности устойчивые...
24722. Сознание 44 KB
  Задачи: определение понятия сознание функции сознания слои сознания по Зинченко В. психические состояния человека состояния сознания. Ключевые понятия: понятие сознание слои сознания функции сознания психические состояния человека: определение измерения характеристики виды; состояния сознания. Слои сознания по Зинченко В.
24723. Я-ОБРАЗ 52.5 KB
  Общение с собой: Начало психологии активности. Основы общей психологии. Элементы практической психологии.
24725. Предметная область психологии 71.5 KB
  занятие контрольнодиагностические задания Цели: теоретическое и практическое овладение знаниями знакомство с наукой психология связь психологии с другими науками Ключевые понятия: психология как наука предмет психологии задачи психологии. Методология и методы психологии: методология – наука о методах. психологии харакны след принципы: В основе лежат постулаты диалектического материализма Принцип развития психика – непрерывно изменяющ.
24726. Человек как предмет общей психологии 35.5 KB
  Предложите и обоснуйте проект проведения лекции по теме Человек как предмет общей психологии Тема: человек как предмет общей психологии лекция. Цель: человек как предмет общей психологии. Ключевые понятия: объект психологии; предмет психологии; модельное описание психического облика человека: лингвистическая картина психического облика человека описание состава человеческой души: Аристотель Платон Плотин; ингредиенты психического облика; психика. Основные тезисы и краткое их доказательство: Первым и важнейшим объектом психологии...
24727. ТЕМПЕРАМЕНТ 43.5 KB
  Адресат: студенты 1го курса психологического факультета Цели: знакомство студентов с понятием темперамент раскрытие этого понятия через его определение и свойства с помощью темперамента показать психологические личностные различия. Задачи: определение темперамента история представлений о темпераменте свойства темперамента. Ключевые понятия: темперт темпераментные свойства типы ВНД типы темпта.
24728. Личность 41 KB
  Задачи: определение подходов к пониманию личности понятия личность подходов выявляющих ядро личности закономерностей развития личности направления исследования личности. Ключевые понятия: личность; система смыслов черт планов отношений; индивид субъект деятельности индивидуальность; биологическое и социальное социализация личности. и краткое их доказательство: В психологии имеются разные подходы к пониманию личности: она м. Подходы выявляющие ядро личности можно систематизировать след.