88383

Геометричні застосування чисел Фібоначчі

Курсовая

Математика и математический анализ

Мета курсової роботи – дослідити основні властивості послідовності Фібоначчі та деякі її застосування. Завдання дослідження: Дати означення послідовності Фібоначчі. Довести формулу Біне та інші основні властивості послідовності. Розглянути деякі геометричні застосування чисел Фібоначчі.

Украинкский

2015-04-29

143.49 KB

4 чел.

38

                                               Зміст

Вступ……………………………………………………………………............  3

  1.  Означення послідовності Фібоначчі……………………………………  4
  2.  Теоретико числові властивості чисел Фібоначчі………………………  8
  3.  Числа Фібоначчі та неперервні дроби………………………………….  18
  4.  Геометричні застосування чисел Фібоначчі…………………………..   37

Висновки………………………………………………………………………   47

Література…………………………………………………………………….   48

Додатки………………………………………………………………………..   49

                                                   Вступ

Багато числових послідовностей допускають опис з допомогою рекурентних співвідношень, які дають змогу знаходити значення наступного члена послідовності за значенням одного або декількох попередніх членів. Однією із найбільш відомих таких послідовностей є послідовність Фібоначчі. Інтерес до чисел Фібоначчі в наш час зростає тому, що їх дедалі ширше застосовують у багатьох розділах математики (в теорії чисел, в теорії наближень, в теорії вимірювань і т.п..), фізики, біології, економіки. Числами Фібоначчі цікавляться як численні любителі, так і математики-професіонали, відкриваючи все нові і нові властивості цих чисел. У США з 1936 р. видається журнал, присвячений числам Фібоніччі.

Мета курсової роботи – дослідити основні властивості послідовності Фібоначчі та деякі її застосування.

Завдання дослідження:

  1.  Дати означення послідовності Фібоначчі. Довести формулу Біне та інші основні властивості послідовності.
  2.  Розглянути деякі геометричні застосування чисел Фібоначчі.

  1.  Означення послідовності Фібоначчі

Одна із задач з  «Книги абака»  Леонардо Пізанського здобула особливу популярність у зв’язку з тим, що послідовність чисел, яка з’являється в результаті її розв’язування, має багато цікавих властивостей, а що найголовніше – неймовірним чином проявляється у найрізноманітніших областях як математики, так й інших наук. Ось ця задача:

 «Хтось помітив пару кроликів у певному місці, огородженому з усіх сторін стіною, щоб дізнатися, скільки пар кроликів народиться при цьому протягом року, якщо природа кроликів така, що через місяць пара кроликів народжує на світ другу пару, а народжують кролики на другий місяць після свого народження».

Нехай перша пара кроликів є новонародженою. Тоді на 2-ий місяць ми все ще матимемо тільки 1 пару. На 3-ій місяць ця пара дасть перше потомство і, отже, вже буде 2 пари. На четвертий місяць матимемо 2 + 1 = 3 пари (з двох наявних пар потомство дасть лише перша). На п’ятий місяць буде 3 + 2 = 5 пар, на шостий 5 + 3 = 8 (бо потомство дають тільки ті пари, які народилися не пізніше четвертого місяця) і т. д.

Розглянемо тепер числову послідовність:

                                                                                         (1)

в якій кожний член рівний сумі двох попередніх членів, тобто при будь-якому  

                                        .                                (2)

Такі послідовності, в яких кожен член визначається, як деяка функція попередніх, часто зустрічаються в математиці  і називаються рекурентними.

Звернемось тепер до важливого окремого випадку послідовності (1), коли   . Умова (2), як було тільки що зазначено, дає нам можливість вичисляти послідовно один за другим всі члени цього ряду. Неважко перевірити, що в цьому випадку  першими чотирнадцятьма його членами будуть числа                                                             1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377,                                                                                     які нам зустрічались в задачі, про кроликів.

В честь автора цієї задачі вся послідовність  (1) при   називається рядом Фібоначчі, а її члени – числами Фібоначчі.

Формула Біне

 Для доведення властивостей чисел Фібоначчі використаємо формулу Біне (фр. вчений  Ж. Біне 1786-1856). Яка стверджує, що будь-який член  послідовності чисел можна обчислити за законом, тобто

                                        ,                                       (3)

де .                                                       (4)

Для доведення формули (2) можна скористатися методом математичної індукції, врахувавши специфіку означення послідовності чисел Фібоначчі. Коротко спинимося на цьому.

Неважко переконатися, що для   формула (3) підтверджується.

Припустимо, що вона має місце для номерів   і переконаємося в її справедливості для будь-якого номера  .

Отже, нехай

Треба довести, що

Справді, не важко переконатися, що  , а тому  що й треба було довести.

Властивості чисел Фібоначчі

  1.  Будь-яка пара сусідніх чисел ряду Фібоначчі  та  задовольняє дане рівняння

                                                                              (5)

При цьому, якщо , то.

  1.  Сума  перших членів ряду Фібоначчі на 1 менша від ()-го члена того самого ряду:

  1.  Сума  квадратів чисел послідовності Фібоначчі визначається через добуток двох сусідніх членів того самого ряду:

  1.  Квадрат кожного члена ряду Фібоначчі, зменшений на добуток попереднього і наступного членів, дає поперемінно то +1, то -1:

                                                        .

  1.  
  2.  
  3.    

   Спинимося, наприклад, на доведенні першої властивості.

Замінивши в рівнянні (5) невідомі  та  відповідними виразами (використовуючи формулу Біне)

отримаємо:

aбо

Групуємо члени з однаковими основами:

Замість  і  підставимо у вирази в дужках їх значення (4), дістанемо:

 або 

    Але 

              Отже, при парному   а при  непарному,

    Тим самим доведено першу властивість.

              

 

      2.Теоретико числові властивості чисел Фібоначчі

 Розглянемо деякі властивості чисел Фібоначчі, що стосуються їх подільності.

Теорема 1. Якщо п ділиться на т, то і  ділиться на  .

Доведення.

Нехай n ділиться на m,тобто n=mk. Будемо доводити методом математичної індукції по k.

Для k=1 n=m, так що в цьому випадку  ділиться на  явним чином. Припустимо тепер, що   ділиться на  , і розглянемо  . Але, оскільки  , то отримаємо

Перший доданок правої частини даної рівності, очевидно ділиться на . Другий кратний  , тобто, по індуктивному методу, також ділиться на  . Отже, на ділиться і їх сума, тобто . Цим самим теорему доведено.

Візьмемо тепер деяке число m. Якщо існує хоча б одне число Фібоначчі , що ділиться на т, то таких чисел Фібоначчі, що діляться на т можна знайти скільки завгодно. Ними будуть числа, крім , наприклад,   , …

Тому цікаво зясувати, чи можна по заданому числу т знайти хоча б одне число Фібоначчі, що на нього ділиться. Виявляється, це можна зробити.

Нехай  позначається остача від ділення k на  m. Випишемо послідовність пар таких остач від ділення чисел Фібоначчі на m:

                   , , , … , , …                                  (1)

Якщо рахувати пари  i  рівними при  i  , то число всіх різних пар остач від ділення на m рівне . Тому якщо в послідовності (1) взяти   перших членів, то серед них обов’язково знайдуться рівні.

Нехай  – перша пара, яка повториться в послідовності (1). Покажемо, що цією парою є пара . Наспраді, припустимо протилежне , тобто, що першою парою, що повторюється буде  , де . Знайдемо в (1) пару    , рівну парі . Оскільки   і  , а      і   , остачі від ділення   і  на m також повинні бути рівні, тобто   . Проте з цього слідує, що і  ,  а пара    зустрічається в послідовності (1) раніше, ніж  , і тому   не є першою повторюваною парою, а це суперечить нашому припущенню. Отже, припущення , що  не вірне, а це значить, що k =1.

Отже,  є першою повторюваною в послідовності (1) парою. Нехай вона повторилась на t-му місці (відповідно до встановленого раніше ми можемо рахувати, що 1<t<) , тобто

                                                      = .

Це означає, що і   і    при діленні на т дають в остачі одиниці. Отже, їх різниця ділиться на т націло. Але

                                         .

Отже, на т ділиться t-1 число Фібоначчі.

Ми довели, таким чином, наступну теорему.

   Теорема 2. Яке б не було ціле число т, серед перших чисел Фібоначчі знайдеться хоча б одне, яке ділиться на т.

Зауважимо, що доведена теорема не доводить нічого, про те, яке саме число Фібоначчі поділиться на т. Вона говорить тільки, про те, що перше число Фібоначчі, яке ділиться на т, не повинне бути дуже великим. Далі ми повернемось до цього запитання.

З того, що   є перша пара, що повторюється в послідовності (1), слідує, що починаючи з  , послідовність остач повторюється як би з початку. Це значить, що послідовність остач являється періодичною. Наприклад, при  т=4  цей період в послідовності остач буде наступним:

                                         1, 1, 2, 3, 1, 0.                                                               (2)

Довжина періоду в даному випадку рівна 6.  Таким чином, якщо число п має вигляд 6k+1, 6k +2 або 6k+5, то  при діленні на 4 дає в остачі  одиницю, якщо n має вигляд  6k+3, то 2, а якщо 6k+4, то 3.

Велику цікавість має запитання про арифметичну природу чисел Фібоначчі, про їх дільників. Доведемо, що при n складовій і відмінному від 4  є складове число.

Дійсно, для такого n можна написати  n= ,

де 1<<n, 1<<n і або  >2, або  >2. Нехай для визначеності >2. Тоді в силу попередньо доведеної теореми , причому 1<<, а це значить, що  – складове число.

Перш ніж продовжувати вивчення чисел Фібоначчі, нагадаємо інформацію з теорії чисел.

Поділимо a на b з остачею. Нехай при цьому частка  рівне  , а остача . Очевидно, що

                                     і       .

Зауважимо, що при  буде  .

Поділимо, далі  b  на  і позначимо частку , а остачу через . Очевидно, що  і . Оскільки, , має бути . Потім, поділивши   на  , знайдемо такі  і , що  і  . Будемо робити так, до тих пір, поки цей процес можна продовжувати.

Рано чи пізно наш процес повинен обірватися, оскільки всі цілі додатні числа   різні, і кожне з них менше за b. Отже, їх кільність не перевищує b, і процес повинен закінчитися не пізніше b-го кроку. Обірватися він може лише на тоді, коли деяке число буде ділитися націло, тобто остача буде рівна нулю, а далі ділити на нього вже не можна.

Описаний процес називається алгоритмом Евкліда. В результаті його застосування до чисел a і  ми отримаємо таку послідовність рівностей :

                                                     ,

                                                     ,

                                                     ,

                                                        …….                                                        (3)

                                                ,

Розглянемо останній відмінний від нуля член в послідовності  і саме його візьмемо в якості  . Зрозуміло, що в частці, ним може бути і число  ( для одноманітності можна покласти, що ). Очевидно, що  ділиться на . Візьмемо тепер в (3) передостанню рівність. В її правій частині два доданки діляться на  , а тому і  ділиться на .  Аналогічним чином переконаємось послідовно ( індукція!) в тому, що на  діляться , , … і, наприкінці,   і a. Покажемо, що  є найбільшим спільним дільником  a і . Для цього нам потрібно показати, що всякий дільник a і  буде ділитися на .

Нехай   деякий спільний дільник a і . З першої рівності (3) убачаємо, що  повинен ділити . Але тоді на основі другої рівності (3)  ділить . Аналогічно ( індукція!)  доводимо, що  ділить , … ,  і, наприкінці, .

Ми довели, таким чином, що алгоритм Евкліда, застосований до натуральних чисел a і , дійсно приводить до найбільшого спільного дільника цих чисел. Цей найбільший дільник чисел a і  ми будем позначати через (a , ).

Отже, a ділиться на  тоді і тільки тоді, коли (a , )= .

В якості прикладу знайдемо ()=(6765, 610).

                                      6765=61011+55,

                                        610=5511+5,

                                            55=511.

Отже,

                                         ()=5= .

Те, що найбільшим спільним дільником двох чисел Фібоначчі знов виявилось число Фібоначчі, не випадково. В подальшому буде доведено, що так буває завжди.

Встановимо декілька простих властивостей найбільшого спільного дільника двох чисел.

Властивість 1. (а, bc) ділиться на (a, b). 

Дійсно, b, а тому і  bc, ділиться на (a, b);  a ділиться на (a, b) явним чином. Значить, по доведеному раніше (a, bc) ділиться на (a,b).

Властивість 2. (ac, bc) = (a,b)c.

Доведення.

Нехай рівність (3) описує процес знаходження (a, b). Помноживши почленно кожне з рівнянь на с, ми отримаємо систему рівностей, яка відповідає алгоритму Евкліда, застосовуваному до чисел ас і bc. Остання ненульова остача при цьому буде рівна с, тобто (a,b)c.

Властивість 3. Якщо (a,c) = 1, то (a,bc) = (a,b). 

Справді, (a,bc) на основі властивості 1 є дільником (ab, bc). Але

                              (ab, bc) = (a, c)b = 1 b = b

дана рівність має вигляд  властивості 2. Таким чином, b ділиться на (a, bc). З іншої сторони, (a, bc) є дільником a. А це значить, що (a, bc) ділить і (a, b). А так, як за властивістю 1 і (a, b) ділить (a, bc), ми отримаємо (a, b) =( a, bc).

Нехай  р просте число, тоді будь яке a  або ділиться на  р , або взаємно просте з ним. Тому, за попереднім, якщо добуток двох чисел ділиться на просте р , то хоча б один з співмножників повинен ділитися на р. Явним чином по індукції це твердження поширюється на випадок добутку будь якого числа множників.

Властивість 4. Якщо c ділиться на b, то (a, b) = (a+ c, b).

Доведення.

Нехай застосування алгоритму Евкліда до чисел a і b призводить до системи рівнянь (3). Застосуємо цей  алгоритм до чисел a+ c і b. Оскільки c ділиться на b за умовою, то ми можемо покласти  ;  перший крок алгоритму дає нам рівняння

                                      a+ c = ()b + .

Всі подальші кроки цього алгоритму дадуть нам послідовно друге, третє і т. д. рівняння системи (3). Останньою відмінною від нуля остачею, як і раніше  є  , а це значить, що (a, b) = (a+ c, b).

Властивість 5. Теорема.

Сусідні числа Фібоначчі взаємно прості.

Доведення.

Нехай припустимо протилежне твердження теоремі  і   мають деякий загальний дільник . Тоді і їх різниця  -  буде ділитися на .  А оскільки,  -  = , на  повинне ділитися і . Аналогічно показуємо ( індукція! ), що на  будуть ділитися і , і , і т.д,  на кінець, . Але  = 1, і тому на  ділитися не може. Отримана суперечність доводить теорему.

Властивість 6. Теорема.

Має місце рівність  .

Доведення.

Нехай для визначеності . Застосуємо до чисел алгоритм Евкліда:

                     ,                         де  ,

                      ,                        де  ,

                     ,                        де  ,

                     ……………………………………………

                  ,                 де   ,

                  .

Як нам вже відомо,  є найбільшим спільним дільником чисел .

Отже, ; а це означає, що

                                    ,

Або

                         ,

або, на основі властивостей чисел Фібоначчі,

                                   ,

або за властивостями 3 і 5,

                                      .

Аналогічно доведемо, що

                                       = ,

                                       = ,

                                      … … … … … …  

                                         ().

Співставляючи всі ці рівності , отримаємо

                                          ),

а оскільки  ділиться на  , так, що і    ділиться на на  , то має виконуватись  . Помітивши, на кінець, що  = , ми отримаємо, те, що потрібно було.

Зокрема, із щойно доведеного слідує теорема, то її обернена теорема, буде наслідком:

Наслідок 1. Якщо   ділиться на  , то п ділиться на т. Справді, якщо  ділиться , то будемо мати,

                                                                                                   (4)

Але в доведому,

                                            .                                                    (5)

Співставиши формули (4), (5), ми отримаємо

                                               ,

Тобто  , а це значить, що .

Об’єднавши теорему 1 і наслідок 1, ми маємо :  ділиться на   тоді і тільки тоді, коли п ділиться на т.

Зважаючи на це, про подільність чисел Фібоначчі можна судити, розглядаючи подільність їх номерів.

Знайдемо, наприклад, декілька ознак подільності чисел Фібоначчі. Під ознакою подільності ми розуміємо тут ознаку, по якій можна визначити, ділиться чи ні, те чи інше число Фібоначчі на деяке дане число.

Число Фібоначчі парне тоді і тільки тоді, коли його номер ділиться на 3.

Число Фібоначчі ділиться на 3 тоді і тільки тоді, коли його номер ділиться на 3.

Число Фібоначчі ділиться на 4 тоді і тільки тоді, коли його номер ділиться на 6.

 Число Фібоначчі ділиться на 5 тоді і тільки тоді, коли його номер ділиться на 5.

Число Фібоначчі ділиться на 7 тоді і тільки тоді, коли його номер ділиться на 8.

Число Фібоначчі ділиться на 16 тоді і тільки тоді, коли його номер ділиться на 12.

Доведення всіх цих ознак подільності і всіх інших, подібних до них, легко можуть бути зроблені за допомогою об’єднання теореми і наслідку.

                       3.Числа Фібоначчі та неперервні дроби

Розглянемо вираз

                                                 ,                                             (1)

де цілі додатні числа, а  ціле натуральне число. Таким чином, відмінно від чисел  , число  може бути рівним нулю. Це особливе положення числа  ми завжди будемо мати на увазі і тому не будемо його кожен раз обговорювати.

Вираз (1) називають неперервним дробом, числа   неповними частками цього дробу, а всі неперервні дроби виду

                                                                                                        (2)

  1.  повними частками.

Іноді неперервні дроби називаються також ланцюговими дробами. Неперервні дроби знаходять застосування в самих різноманітних запитаннях математики.

Процес перевтілення деякого числа в неперервний дріб називають розкладанням цього числа в неперервний дріб.

Подивимось, як знаходиться неповна частка такого розкладу звичайного дробу .

Розглянемо для цього алгоритм Евкліда, застосований до чисел :

                                              ,                          

                                              ,                    

                                             ,                       

                                         ……….………..                                                      (3)

                                        ,                

                                                .

Перше з цих рівнянь дає нам

                                         .

Але з другого рівняння системи (3) слідує

                                          ,

а отже,

                                                 .

З третього рівняння (3) ми виведемо

і тому

Продовжуючи цей процес до кінця ( індукція!), ми, як це легко бачити, прийдемо до рівняння

По самому змісту алгоритму Евкліда . (Як би  було рівне одиниці, то було б рівне  і  поділилося б на  націло, тобто, увесь алгоритм обірвався б одним кроком раніше.) Отже, ми можемо замість  розглядати вираз  , тобто рахувати  передостанньою неповною часткою і  останньою. Таке  узгодження з’ясовується зручним для подальшого.

Ми бачимо, що всякий раціональний дріб   можна розкласти в неперервний. Покажемо, що цей розклад єдиний, тобто, що у двох рівних неперервних дробах мають бути рівними відповідні неповні частини.

Для того, щоб це довести, візьмемо два неперервні дроби, . Нехай  і  відповідно їх неповні частки. Покажемо, що з рівності  слідує, що  і т. д.  Справді,  є ціла частина числа , а ціла частина  ; тому  . Далі, неперервні дроби  можна представити відповідно у вигляді

                                            ,

де  знову неперервний дріб. Із  і  слідує, що . Отже, рівні і цілі частини чисел  , тобто . Продовжуючи ці міркування ( індукція!), впевнимось в тому, що  і т. д.

Нехай

                                                                                        

деякий неперервний дріб. Розглянемо наступні числа :

Ці числа, записані у вигляді звичайних нескоротних дробів

називаються відповідними дробами неперервного дробу . Замітимо, що перехід від   до    здійснюється заміною останньої неповної частки з числа бравших участь у побудові цього підходящого дробу, тобто , на  . Точно в тому ж самому розумінні перехід від підходящого дробу   до всіх неперервних дробів   здійснюються заміною останньої неповної частки  на   , тобто на відповідну п о в н у частку .

Важливу роль в теорії неперервних дробів відіграє наступна лема.

Лема. Для будь якого неперервного дробу (4) мають місце наступні рівності:

                                                                                        (5)

                                                                                       (6)

                                                                                (7)

Будемо доводити всі ці рівності одночасно за індукцією по k.

Доведемо їх спочатку для :

Оскільки числа   взаємно прості, дріб    нескоротний. Дріб   нескоротний за визначенням, а у рівних нескоротних дробах рівні чисельники і знаменники. Отже,   і  . Далі,

                                                                         (8)

Найбільший спільний дільник чисел   і    на основі властивості 4 попереднього пункту рівний (  і на основі тієї ж властивості  рівний  , тобто 1. Отже, дріб, рівності (8) справа, нескоротний, і тому

і

Рівність

перевіряється без праці.

Цим основу індукції доведено.

Припустимо тепер, що рівності (5), (6) і (7) справедливі, і розглянемо підходящий дріб

                                                                                             (9)

Перехід від   до    по зробленому раніше зауваженню здійснюється заміною   у виразі для   на  ; оскільки у виразі для , ,  величина  не входить, ми маємо

або, згадуючи індуктивні припущення (5) і (6),

                                                                                           (10)

Доведемо нескоротність дробів, що стоять в (10) з права. Для цього достатньо показати, що їх чисельники і знаменники взаємно прості.

Припустимо, що числа   і    мають нескоротний загальний дільник . Тоді вираз

Також повинний поділитися на . Але за індуктивним припущенням (7) цей вираз рівний   і ділитися на  не може.

Отже, права частина (10) нескоротна, і (10) є, таким чином, рівнянням двох нескоротних дробів. Отже,

і

Для завершення доведення індуктивного переходу нам залишається показати, що

                                                                  (11)

Але на увазі щойно доведеного

і (11) слідує безпосередньо з індуктивного припущення (7). Цим індуктивний перехід обгрунтований і вся лема доведена.

Наслідок.

                                                                                             (12)

Доведення очевидне.

Оскільки неповні частки неперервних дробів є цілими додатніми числами, з доведеної леми слідує, що

                                                                                             (13)

Це просте, але важливе зауваження ми в подальшому ще уточнимо.

В ході доведеної вище леми ми здійснили перехід від рівності (10) до рівності (11). Якщо, однаково, замінивши в (10) неповну частку  на повну частку , то як було сказано вище, ми отримаємо дріб  :

                                                                                              (14)

Тепер ми можемо дещо доповнити сформульоване раніше твердження, про єдині розклади числа в неперервний дріб.

Лема. Нехай в (14) дріб    є передостаннім, ий підходящий дріб до  , а Тоді є підходящий дріб до , а  відповідною повною часткою.

Доведення.

Розкладемо дріб    в неперервний :

За умовою ми маємо

де   третій з кінця підходящий дріб до   . Заміна тут   на   приведе нас справа до

що за (14) рівне . Відповідно,

                                                             (15)

і отримали, те, що потрібно було. В ході доведення не була згадана умова . В дійсності воно використовується в самому написанні виразу (15): у випадку  неповну частку  слідувало б замінити на більше число.

Застосуємо тепер лему записану вище для описання всіх неперервних дробів з неповними частками, рівними одиниці. Для таких дробів має місце наступна теорема.

Теорема.

Якщо неперервний дріб має п неповних часток і кожна з цих неповних часток рівна одиниці, то дріб рівний .

Доведення.

Позначимо неперервний дріб з п одиничними неповними частками через . Очевидно,

є послідовними підходящими дробами .

Нехай

Оскільки

і

має бути Далі, Тому

          Аналогічно  і  , так, що . Отже,

                                                       .                                                    (16)

         Оскільки значення неперервного дробу є границею послідовності підходящих до нього дробів, підходящі дроби повинні наближатися до значення свого неперервного дробу, і можна говорити про швидкість такого наближення.  В сутності, йдеться, про те наскільки точно можна описати дійсні числа раціональними дробами, знаменники яких не дуже великі.

           Наближення дійсного числа його підходящими дробами є найбільш точним в розумінні наступного твердження.

 Теорема Лежандра.

 Нехай будь яке число, а  деякий нескоротний дріб. Передостанній підходящий дріб при розкладі   позначимо через   .

 Тоді для того, щоб   був підходящим дробом до  , необхідно і достатньо виконання нерівності

                                                                                               (17)

 Доведення.

Необхідність.

 Нехай

                                                     ,  

відповідно n-тий і  n-1-ший підходящий дріб до . Тоді вводячи в розглядувану n+1-шу повну частку ( яке більше одиниці) , ми згідно (7) маємо

             (18)

Достатність.

 Нехай виконується (17). Виберемо число , для якого буде

Тоді в силу (7) ми отримаємо

            

якщо  Тим самим    є підходящим дробом до ,  відповідна повна частка.

В позначеннях, що були вище Тому, якщо

                                                                                                    (19)

то    є підходящим дробом до  . Разом з тим, що ця умова не є необхідною для того, щоб дріб    був підходящий : не всі підходящі дроби числа  володіють властивостями (19). Разом з тим ми маємо «досить багато» підходящих дробів до які нерівність (19) задовольняють. Точне формулювання цього міститься в наступній теоремі.

 Теорема Валена.

 Якщо  будь яке число, то з двох підходящих дробів  з сусідніми номерами хоча б один    задовольняє нерівність

 Доведення.

 Візьмемо два сусідні підходящі дроби    і    і оцінимо суму

                                                                                (20)

Помічаючи, що на основі вищесказаних міркувань, що стоять під знаком модуля числа повинні бути різних знаків і згадуючи, що похідна двох різних чисел менша половини суми їх квадратів, ми отримаємо

Отже, хоча б одне із складових  доданків повинне бути менше відповідного доданку в (20) справа, тобто,

                                       або   ,

а це і потрібно було довести.

Як би ми замінили нерівність (19) на ще більш сильну, збільшивши в ній коефіцієнти на , то в нас виявиться ще менше шансів отримати задовольняючі йому підходящі дроби. Тим не менше при помірному збільшенні цього коефіцієнта таких можливостей буде ще доволі багато.

 Теорема Бореля.

Якщо  будь яке число, то з будь яких трьох послідовних його підходящих дробів хоча б одне    задовольняє умову

                                                                                                  (21)

 Доведення.

Візьмемо три послідовних підходящих дроби до числа  :

                                                                                                    (22)

Як було з’ясовано в (18),

                                                   (23)

Тому, позначаючи для зручності  через с, ми можемо, враховуючи (23), переписати (21), як

або

Далі будемо доводити теорему від супротивного. Не дотримуючись нерівності (21) ні для одного з підходящих дробі (22) значить

                                                                                                 (24)

                                                                                                (25)

                                                                                                 (26)

Проте

так що з (24) слідує

або

                                                                 (27)

Перемножуючи цю нерівність почленно з (25), ми отримаємо

або, припускаючи

і згадуючи, що  , ми маємо

тобто, для додатних ,

звідки

Замітимо, що верхня границя для  виявляється рівною Тому зрозуміло, що якщо , то

                                                                                                             (28)

Проте якщо , то з (22) слідує

тобто

оскільки

і

що суперечить (28). Отже, Оскільки, одначе, величини   і    входять в нерівності (22) і (23) рівноправно, аналогічні міркування дають нам

                                                                                                             (29)

За тими ж міркуваннями з (26), (27) слідує, що

                                                                                           (30)

 Далі зауважимо, що

тобто,

Оскільки,  ціле натуральне число, звідси слідує, що . Але тоді

і із (30) слідує

звідки

Разом з (29) це дає нам

чого, очевидно, не може бути, оскільки дріб    раціональний, а число    є нераціональним.

Встановлені в теоремах Валена і Бореля факти можуть скласти враження, ніби то подальше збільшення коефіцієнтів при   в формулах (19)  і  (21)  змусить лише вибирати потрібний підходящий дріб    із більш довгих серій підходящих дробі. Це враження, одначе, виявляється хибним. В дійсності вся картина змінюється дуже різко.

Підкреслимо, що в наступних міркуваннях число  вже не виникає в ході доведення, а стає разом з своїми підходящими дробами тим прикладом, який визначає всю ситуацію.

 Теорема Гурвіца.

 Якщо  , то існують числа w, для яких нерівність

                                                                                                      (30)

Виконується лиш для кінцевого числа нескоротних дробів   .

(Згідно теореми Лежандра всі такі дроби    повинні бути підходящими для числа .)

Доведення.

 В якості числа  можна взяти   . Нехай   і

Тоді за теоремою Валена    повинне бути підходящим дробом до . Покладемо    і напишемо знову, як в (23),

                                          

Крім того, згідно (16) в нашому випадку  , а . Отже,

причому    відрізняється від    на деяке , становляться з ростом n скільки завгодно малим.

Тому ми маємо

Таким чином, якщо взяти  , то при досить великому n буде , так, що

Отже, в умовах    нерівність (30) буде при  виконується лише для кінцевого числа підходящих дробів з не дуже великими номерами.

Залишається відкритим питанням про те, чи існують інші, відмінні від числа  ,  числа  , для яких нерівність (30) виконується лише для кінцевого числа підходящих дробів.

                4.Геометричні застосування чисел Фібоначчі

 Поділимо відрізок  АВ  одиничної довжини (рис.1) на дві частини так, щоб більша з його частин була середнім пропорційним між меншою його частиною і всім відрізком.

                                                                                              

Позначимо для цього шукану довжину великої частини відрізка через х. Очевидно, довжина його меншої частини при цьому буде рівна , і умова нашої задачі дає нам пропорцію

                                                                                                                (1)

звідки

                                                                                                           (2)

Додатнім коренем (2) є   так що відношення в пропорції (1) рівні

кожне. Такий поділ (точкою  називається поділ в середньому і крайньому відношеннях . Його часто називають також золотим поділом або золотим діленням.

Якщо взяти від’ємний корінь рівняння (2), то подільна точка  буде поза відрізком АВ (такого роду ділення в геометрії називають зовнішнім діленням), як це видно з рис.1. Легко показати, що тут ми маємо справу з золотим перерізом :

Фактична побудова точки, що ділить відрізок золотим перерізом, здійснюється без труднощів

 

Нехай  ; відновимо з точки  А перпендикуляр і візьмемо точку , для якої  (рис.2).

Тоді

  Проводячи з , як з центра, дугу через  до перерізу з  в точку , ми отримуємо

Наприкінці, провівши через  дугу з центром в , ми знайдемо шукану точку . Точку зовнішнього поділу  можна знайти з умови

Золотий переріз досить часто зустрічається в геометрії. Наприклад, для квадрата, вписаного в півкруг (див.рис.2), точка С ділить золотим перерізом відрізок АВ.

Сторона    правильного десятикутника (рис.3), вписаного в круг радіуса , як відомо, рівна

тобто,

                                 

                                                рис.3

 Таким чином,

Іншими словами,  рівна більшій частині радіуса круга, розділеного золотим перерізом.

Практично при вирахуванні   можна замість  брати відношення сусідніх чисел Фібоначчі і рахувати наближенно, що  є    або навіть  .

Розглянемо правильний п’ятикутник. Його діагоналі складають правильний зірковий  п’ятикутник (рис.4).

                                                   (рис.4)

 Кут , а кут . Отже, за теоремою синусів

Оскільки, очевидно, що , повинне бути

і точка С ділить відрізок    золотим перерізом.

Але тоді, за означенням золотого перерізу,

Зауваживши, що , ми отримаємо

Таким чином, серед відрізків

кожен наступний в  раз більше попереднього.

Нехай тепер відношення сторін прямокутника рівна  (Такі прямокутники ми будемо для кратності називати прямокутниками золотого перерізу.) Доведемо, що, вписавши в прямокутник золотого перерізу найбільший можливий квадрат , ми знову отримаємо прямокутник золотого перерізу.

Справді,

за умовою , так, як квадрат.

Отже,

Але  , так, що

Природа дає нам багаточисельні приклади розміщень однорідних предметів, що описують числа Фібоначчі.

В різноманітності спіральних розміщень малих частин рослин зазвичай можна проглянути два сімейства спіралей. В одному з цих сімейств спіралі завиваються по годинниковій стрілці, а в другому  проти. Числа спіралей  того і іншого типів часто становляться сусідніми числами Фібоначчі.

Прямокутники золотого перерізу виглядають «пропорційно» і приємні на вигляд. Речами, що мають таку форму, зручно користуватись. Тому, багатьом «прямокутним» предметам нашого побуту (книгам, сірниковим коробкам, валізам і т.п.) часто застосовується саме така форма.

Різноманітними філософами – математиками давнини і середньовіччя зовнішня краса прямокутників золотого перерізу і інших фігур, в яких спостерігається ділення в середніх і крайніх відношеннях, зводилась в естетичний і навіть філософський принцип. Золотим перерізом і ще деякими числовими відношення намагались не тільки описати, але і пояснити прояви природи і навіть загального життя, а з самим числом   і з його підходящими дробами проводились різного роду містичні «операції». Розуміється подібні «теорії» нічого спільного з наукою не мають.

Числа Фібоначчі з’являються також в запитаннях, зв’язаних з дослідженням шляхів в різних геометричних конфігураціях. Розглянемо, наприклад, мережу шляхів, зображену на рис.5 (такі шляхи в математиці прийнято називати орієнтованими графами), і підрахуємо число шляхів, якими можна, рухаючись вздовж стрілок, перейти з вершини А або вершини В в вершину .

                                                     рис.5

Позначимо числа таких шляхів відповідно через . Зрозуміло, що при початку руху, як з точки А, так і з точки В, в вершину  можна попасти двома способами : через вершину  з наступним кроком вздовж похилого ребра і через вершину  з наступним кроком вздовж горизонтального ребра.

Отже,

Нам залишається зауважити, що і   звідки зразу слідує, що .

Розглянемо деяку множину позицій R гри на графі Г (або на будь якому іншому орієнтованому графі). Воно може мати (або не мати) наступні властивості:

 Будь який хід в позиції, що належить R, виходить за межі R. По деяким досить глибоким причинам, в які ми не маємо змоги заглянути, ця властивість в множині позицій в грі (і в графі) називається внутрішньою стійкістю.

  В будь якій позиції, що не належить R, існує хід, що приводить в позицію з R. Ця властивість R називається його зовнішньою стійкістю.

Множина позицій в іграх на орієнтованих графах, які є одночасно внутрішніми і зовнішніми стійкими, мають більше значення в іграх, пов’язаних з поступовим переміщенням по вершинам графа. Такі множини називаються називаються розв’язками цих ігор (а також розв’язок графом цих ігор). Якщо фішка в ході ігри виявляється в позиції, що належить розв’язку, то гравець, чия черга ходу, приречений всі наступні ходи «намагатися відійти від розв’язку» : який би хід він не зробив, за властивістю внутрішньої стійкості він виведе фішку за межі розв’язку; але тоді за властивістю зовнішньої стійкості противник зуміє наступним ходом повернути фішку у розв’язок.

В розглядуваній нами грі Г будь яка партія закінчується переходом фішки в початок координат, і гравець, що приведе її туди, виграє. Отже, якщо розв’язок гри містить початок координат, то гравець, що має наступний хід в одній із позицій, що належать цьому розв’язку позиції, виграє.  Отже, цей розв’язок складається з позицій, що виграють.

Все сказане дає нам основу досліджувати досить детально запитання, що стосуються розв’язку гри, що містять початок координат.

Перш за все встановимо єдність такого розв’язку.

 Лема.

 Для гри Г існує не більше одного розв’язку, що містить початок координат.

Доведення.

 Припустимо, що протилежне твердження лемі, є два таких розв’язки, R i S, причому деяка позиція  з S не належить R. По зовнішній стійкості R з позиції   можна перейти в деяку позицію . Але за внутрішньою стійкістю S позиція  не може належати S. Отже, по зовнішній стійкості S ми можемо з  перейти в деяку позицію  з S, яка ( в силу внутрішньої стійкості R) не може належати R. Повторюючи цей процес досить довго, ми отримаємо послідовність позицій  яка закінчується початком координат і в якій кожна позиція належить лиш одному з розв’язків R або S. Отже, і початок координат повинен належати тільки R або тільки S, і ми отримаємо протиріччя.

«Характеристична» властивість розв’язку гри R, що містить початок координат, описується наступною теоремою.

Теорема.

 Нехай R  множина позицій в грі Г, якій належать наступні властивості :

  1.  позиція (0, 0) належить R;
  2.  якщо належить R, то і належить R;
  3.  для будь якого натурального знайдеться рівно одне натуральне , для якого  належить R;
  4.  для будь якого натурального  знайдеться рівно одна пара чисел  з R, для якої ;
  5.  якщо позиції  і належать R, причому , то  і .

Тоді множина R є розв’язком гри Г.

 Доведення.

 Зауважимо для початку, що як слідує з 3), кожне натуральне число є координатою рівно в одній симетричній парі ( властивість 2)) позиції з R.

 Перейдемо до встановлення властивостей внутрішньої і зовнішньої стійкості множини R.

а) Внутрішня стійкість. Нехай  належить R. Якщо зменшити  або, то виникає пара, поєднуючи з  ( відповідно з ) інше число, і тому за 3) не належить R. Якщо ж зменшити одночасно і однаково  і, то буде відмінне від  пара з цією ж різницею координат і не могутня в силу 4) належить R.

б) Зовнішня стійкість. Нехай  не належить R.

 Якщо , від цієї вершини можна перейти до вершини (0, 0) , яка по 1) належить R.

 Якщо , то по 3) знайдеться таке с, що  належить R, а по 4) знайдуться такі , що   і   належить R. Тоді при від можна перейти до , зменшив  при   має місце , так, що по 5) має бути , і зменшення кожної з координат позиції на  дає нам позицію .

Подвійна стійкість встановлена, і R виявляється розв’язком.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

7791. Педагогические Взгляды французских материалистов XVIII века 33 KB
  Педагогические Взгляды французских материалистов XVIII века Педагогические идеи Клода Адриана Гельвеция Гельвеций прославился как автор книги Об уме, которая вышла в 1758 г. и вызвала яростные нападки со стороны всех сил реакции, правя...
7792. Педагогическая технология Руссо 31.5 KB
  Педагогическая технология Руссо Основу педагогических взглядов Руссо составляет теория естественного воспитания, которая тесно связана с его социальными взглядами, с его учением о естественном праве Руссо утверждал, что человек родится совершенным, ...
7793. Педагогическая деятельность и теория Яна Амоса Коменского 36 KB
  Педагогическая деятельность и теория Яна Амоса Коменского О роли воспитания, его целях и задачах Взгляды Коменского на ребенка, его развитие и воспитание коренным образом отличались от средневековых представлений. Вслед за гуманистами эпохи Возрожде...
7794. Педагогическая мысль и школа в период Французской буржуазной революции XVIII века 43 KB
  Педагогическая мысль и школа в период Французской буржуазной революции XVIII века В 70-х годах XVIII века во Франции создалась революционная ситуация. В недрах феодального общества выросли и созрели формы нового, капиталистического уклада. О...
7795. Педагогическая мысль эпохи Возрождения 37.5 KB
  Педагогическая мысль эпохи Возрождения Наиболее ярко педагогическая мысль эпохи Возрождения представлена трудами итальянских, немецких и французских ученых-гуманистов. Среди итальянских гуманистов эпохи Возрождения особенно выделяется Витторино да Ф...
7796. Педагогическое сознание Гербарта (цели, средства) 43 KB
  Педагогическое сознание Гербарта (цели, средства) Педагогическое сознание Гербарта впитало и переработало многие передовые идеи той эпохи французских мыслителей 18 века, немецкой классической философии, филантропистов, Песталоцци, что и позволило ем...
7797. Послереформенные изменения в России (вторая половина 19 века) 27.5 KB
  Послереформенные изменения в России (вторая половина 19 века) Новые условия хозяйственной и общественной жизни пореформенной России настоятельно требовали подготовлённых и грамотных людей. Необходимо было значительно расширить базу народного образов...
7798. Просвещение абсолютизма 41 KB
  Просвещение абсолютизма Просвещённый абсолютизм - политика, проводимая во второй половине XVIII века рядом монархических стран Европы и направленная на устранение остатков средневекового строя в пользу капиталистических отношений. Основы просве...
7799. Развитие системы образования в России в начале 20 века 32 KB
  Развитие системы образования в России в начале 20 века Основным типом школы в России к началу ХХ века, как и раньше, была начальная школа, отличавшаяся пестротой не только по ведомственной принадлежности, но и по срокам и содержанию обучения. Самыми...