884

Теорія ігор

Лабораторная работа

Информатика, кибернетика и программирование

Навчитись графічно розв’язувати задачі з теорії ігор та обирати найкращі альтернативи за різними критеріями при певному значенні критерію оптимізму.

Украинкский

2013-01-06

255.5 KB

13 чел.

Міністерство освіти і науки, молоді та спорту України

Національний університет «Львівська політехніка»

Інститут компютерних наук та інформаційних технологій

                                    

Лабораторна робота

з дисципліни „ Математичні методи дослідження операцій ”

на тему : «Теорія ігор»

                                                                                                                   Виконав:

                                                                                                                         ст. гр. КН-25

                                                                                                               Дубаньовський Я. М.

                                                                                                                    Прийняв:

                                                                                                                   Асистент

                                                                                                                             Прокопів Ю.О

                                                                       

                                                                                 

Львів 2012

                                                 Мета роботи

Навчитись графічно розвязувати задачі з теорії ігор та обирати найкращі альтернативи за різними критеріями при певному значенні критерію оптимізму.

Хід виконання роботи

Завдання 1:

Розвязати графічно гру з наступною матрицею:

 

В1

В2

В3

В4

В5

А1

16

8

10

12

4

А2

7

9

8

3

6

А3

2

9

4

1

5

А4

5

7

6

10

1

А5

3

7

9

9

3

А6

5

6

8

2

1

 

В1

В2

В3

В4

В5

а=min(Ai)

А1

16

8

10

12

4

4

А2

7

9

8

3

6

3

А3

2

9

4

1

5

1

А4

5

7

6

10

1

1

А5

3

7

9

9

3

3

А6

5

6

8

2

1

1

b=max(Bj)

16

9

10

12

6

 

Знаходимо гарантований виграш, що визначається нижньою ціною гри a = max(ai) = 4, яка вказує на максимально чисту стратегію А1. Верхня ціна гри b= min(bj) = 6.

а != b, отже ціна гри знаходиться в межах 4<=y<=6. Знаходимо розвязок гри в змішаних стратегіях. Це пояснюється тим, що гравці не можуть оголосити один одному свої справжні стратегії, вони приховують свої дії. Гру можна вирішити, якщо дозволити гравцям вибирати свої стратегії випадково (змішувати чисті стратегії).

Іноді на підставі простого розгляду матриці гри можна сказати, що деякі чисті стратегії можуть увійти в оптимальну змішану стратегію лише з нульовою ймовірністю.

Кажуть, що i-я стратегія 1-го гравця домінує його k-ю стратегію, якщо aij ≥ akj для всіх j Э N і хоча б для одного j aij > akj. У цьому випадку кажуть також, що i-я стратегія (або рядок) - домінуюча, k-я – домінуюча.

Кажуть, що j-я стратегія 2-го гравця домінує його l-ю стратегію, якщо для всіх j Э M  aij ≤ ail і хоча б для одного i aij < ail. У цьому випадку j-ю стратегію (стовпець) називають домінуючою, l-ю – домінуюча.

Стратегія А1 домінує над стратегією А4 ( всі елементи А1 >= A4), отже виключаємо 4 рядок з матриці. Імовірність:  р4=0.

Стратегія А1 домінує над стратегією А5 ( всі елементи А1 >= A5), отже виключаємо 5 рядок з матриці. Імовірність:  р5=0.

Стратегія А1 домінує над стратегією А6 ( всі елементи А1 >= A6), отже виключаємо 6 рядок з матриці. Імовірність:  р6=0.

Стратегія А2 домінує над стратегією А3 ( всі елементи А2 >= A3), отже виключаємо 3 рядок з матриці. Імовірність:  р3=0.

16

8

10

12

4

7

9

8

3

6

З позиції програшів гравця В стратегія В1 домінує над стратегією В4 (всі елементи стовпця 1 > елементів стовпця 4), отже виключаємо 1 стовпець матриці. Імовірність q=0.

З позиції програшів гравця В стратегія В2 домінує над стратегією 5 (всі елементи стовпця 2 > елементів стовпця 5), отже виключаємо 2 стовпець матриці. Імовірність q2=0.

З позиції програшів гравця В стратегія В3 домінує над стратегією 5 (всі елементи стовпця 3 > елементів стовпця 5), отже виключаємо 3 стовпець матриці. Імовірність q3=0.

12

4

3

6

Розвяжемо задачу геометрично:

М11) = (12 – 4)х1 + 4 =8х1 + 4

М21) = (3 – 6)х1 + 6 =-3х1 + 6

.

Завдання 2:

Обрати найкращі альтернативи за критеріями Вальда, Севіджа, Гурвіца, Лапласа при значенні коефіцієнту песимізму 0.5 в грі з природою, що задана матрицею:

 

П1

П2

П3

П4

П5

A1

10

25

3

6

12

A2

3

8

22

9

4

A3

12

6

21

10

9

A4

2

24

6

15

3

Критерій Лапласа:

Якщо імовірності станів природи правдоподібні, то для їхньої оцінки використовують принцип Лапласа, згідно з яким всі стани природи вважаються рівно імовірними.

q1 = q2 = ... = qn = 1/n.

qi = 1/5

Ai

П1

П2

П3

П4

П5

∑(aij)

A1

2

5

0.6

1.2

2.4

11.2

A2

0.6

1.6

4.4

1.8

0.8

9.2

A3

2.4

1.2

4.2

2

1.8

11.6

A4

0.4

4.8

1.2

3

0.6

10

pj

0.2

0.2

0.2

0.2

0.2

0

Вибираємо з (11.2; 9.2; 11.6; 10)  максимальний елемент max = 11.2

Висновок: вибираємо стратегію N=3.

Критерій Вальда:

Згідно з критерієм Вальда, за оптимальну стратегію приймається чиста стратегія, яка в найгірших умовах гарантує максимальний виграш, тобто

a = max(min aij)

Критерій Вальда орієнтує статистику на найбільш неблагополучні стани природи, тобто цей критерій виражає песимістичну оцінку ситуації.

Ai

П1

П2

П3

П4

П5

min(aij)

A1

10

25

3

6

12

3

A2

3

8

22

9

4

3

A3

12

6

21

10

9

6

A4

2

24

6

15

3

2

Вибираємо із (3,3,6,2) максимальний елемент max = 6.

Висновок: вибираємо стратегію N=3.

Критерій Севіджа:

Критерій мінімального ризику Севіджа рекомендує вибирати в якості оптимальної стратегії ту, при якій величина максимального ризику мінімізується в найгірших умовах, тобто забезпечується:

a = min(max rij)

Критерій Севіджа орієнтує статистику на найбільш несприятливі стани природи, тобто цей критерій виражає песимістичну оцінку ситуації.

Знаходимо матрицю ризиків.

Ризик – міра невідповідності між різними можливими результатами прийняття певних стратегій. Максимальний виграш в j-му стовпці bj = max(aij) характеризує благополучність стану природи.

1-й стовпець матриці ризиків:

r11 = 12 - 10 = 2; r21 = 12 - 3 = 9; r31 = 12 - 12 = 0; r41 = 12 - 2 = 10;

2-й стовпець матриці ризиків:

r12 = 25 - 25 = 0; r22 = 25 - 8 = 17; r32 = 25 - 6 = 19; r42 = 25 - 24 = 1;

3-й стовпець матриці ризиків:

r13 = 22 - 3 = 19; r23 = 22 - 22 = 0; r33 = 22 - 21 = 1; r43 = 22 - 6 = 16;

4-й стовпець матриці ризиків:

r14 = 15 - 6= 9; r24 = 15 - 9 = 6; r34 = 15 - 10 = 5; r44 = 15 - 15 = 0;

5-й стовпець матриці ризиків:

r15 = 12 - 12 = 0; r25 = 12 - 4 = 8; r35 = 12 - 9 = 3; r45 = 12 - 3 = 9;

Ai

П1

П2

П3

П4

П5

A1

2

0

19

9

0

A2

9

17

0

6

8

A3

0

19

1

5

3

A4

10

1

16

0

9

Ai

П1

П2

П3

П4

П5

max(aij)

A1

2

0

19

9

0

19

A2

9

17

0

6

8

17

A3

0

19

1

5

3

19

A4

10

1

16

0

9

16

Вибираємо з (19,17,19,16,) мінімальний елемент min=16

Висновок: вибираємо стратегію N=4.

Критерій Гурвіца:

Критерій Гурвіца є критерієм песимізму – оптимізму. За оптимальну приймається та стратегія, для якої виконується співвідношення:

max(si)

де si = y min(aij) + (1-y)max(aij)

При у=1 отримаєм критерій Вальде, при у=0 – оптимістичний критерій (максімакс).

Критерій Гурвіца враховує можливість як і найгіршого, так і найкращого для людини стану природи.

Вибір Y: чим гірші наслідки помилкових рішень, тим більше бажання застрахуватись від помилок, тим Y ближче до 1.

Розрахунок Si:

Згідно умови завдання коефіцієнт y=0.5;

s1 = 0.5•3+(1-0.5)•25 = 14

s2 = 0.5•3+(1-0.5)•22 = 12.5

s3 = 0.5•6+(1-0.5)•21 = 13.5

s4 = 0.5•2+(1-0.5)•24 = 13

Ai

П1

П2

П3

П4

П5

min(aij)

max(aij)

y min(aij) + (1-y)max(aij)

A1

10

25

3

6

12

3

25

14

A2

3

8

22

9

4

3

22

12.5

A3

12

6

21

10

9

6

21

13.5

A4

2

24

6

15

3

2

24

13

Вибираємо з (14,12.5,13.5,13,) максимальний елемент max=14

Висновок: вибираємо стратегію N=1.

Таким чином, у результаті рішення статистичної гри за різними критеріями частіше за інших рекомендувалася стратегія A3.

Висновок

Під час виконання цієї лабораторної роботи я навчився розвязувати графічно задачі з теорії ігор та обирати найкращі альтернативи за критеріями Вальда, Севіджа, Гурвіца та Лапласа.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

62503. Древнерусская культура (устный журнал) 23.44 KB
  Что такое культура высказывания детей Что мы на уроке должны узнать Что значит духовная культура Объясните что значит материальная культура Чем отличается духовная культура от материальной...
62510. Вернись в сказку 24.37 KB
  Задачи: В игровой форме повторить тему Сказки. Какие бывают сказки по содержанию волшебные бытовые про животных 2. Кто создает сказки 9. Сколько букв в слове сказка На каждую из букв подберите название литературной сказки.
62511. Основні географічні закономірності. Зміна часу 63.73 KB
  Аналіз карти часових поясів з метою виявлення основних географічних закономірностей. Обладнання: карта часових поясів зошит для практичних робіт з друкованими основами. Як ви вважаєте яким є призначення карти часових поясів...