88510

Обработка результатов измерений: учебно-методическое пособие

Книга

Физика

Приводится также описание вводной фронтальной лабораторной работы целью которой является выработка навыков измерения размеров тел микрометром и штангенциркулем а также обработки результатов измерений. Далее записываются основные теоретические положения и расчётные формулы и размещаются таблицы...

Русский

2015-04-30

1.46 MB

1 чел.

СМОЛЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Кафедра физики

Царева Е.А.

Физический практикум

Обработка  результатов  измерений 

учебно-методическое пособие

для студентов физико-математического факультета

специальность

«Промышленное и гражданское строительство»

Смоленск

2010

УДК 53(075.5)

Е.А. Царева Физический практикум. Обработка результатов измерений. Учебно-методическое пособие для студентов физико-математического факультета. Специальность «Промышленное и гражданское строительство»  – Смоленск: СмолГУ, 2010.- 47 с.

Пособие предназначено для студентов 1 курса физико-математического факультета, специальности «Промышленное и гражданское строительство» выполняющих лабораторные работы по курсу физики. В пособии кратко изложены основные сведения о физических измерениях, характеристиках измерительных приборов, обработке результатов и оценке погрешностей.  Приводится также  описание вводной фронтальной лабораторной работы, целью которой является выработка навыков измерения размеров тел микрометром и штангенциркулем, а также обработки результатов измерений.


ПРЕДИСЛОВИЕ (ПАМЯТКА СТУДЕНТУ)

Выполнение лабораторного практикума является одним из обязательных видов учебной работы студентов, изучающих физику. Практикум складывается из определенного числа лабораторных работ, которые должен выполнить каждый студент. Любая лабораторная работа предусматривает пять этапов активной самостоятельной учебной деятельности студента: подготовку к работе, получение допуска к ее практическому выполнению, проведение физического эксперимента, составление письменного отчета и защиту выполненной работы.

Подготовка к работе проводятся в свободное от занятий по расписанию время в учебной лаборатории, читальном зале или дома. Она включает в себя изучение теоретических сведений о явлении, которое будет наблюдаться в эксперименте, изучение методики исследования, ознакомление с экспериментальной установкой и измерительными приборами, а также заготовку письменного отчета о предстоящей работе. Учитывая, что, в силу объективных причин, студенту нередко приходится выполнять лабораторные исследования по вопросам, которые еще не были рассмотрены на лекциях, подготовительная часть работы имеет для него очень большое значение. Самостоятельная подготовка по методическим указаниям, а также другой учебной литературе, на которую в этих указаниях даются ссылки, должна быть доведена до уровня понимания используемых или проверяемых физических законов, задач исследования и методики эксперимента.

Подготовка студента к лабораторной работе кроме домашней проработки методических указаний включает и составление на отдельном листе - бланке отчета данной лабораторной работы. Для бланка обычно берётся двойной лист стандартной тетради, на котором должны быть указаны: фамилия, инициалы студента и номер его группы; номер и название работы; цель работы; принципиальная схема или рисунок установки. Далее, записываются  основные теоретические положения и расчётные формулы и размещаются  таблицы для занесения результатов измерений и  формулы для расчёта погрешностей, расчёты по формулам результатов измерений, подсчёт погрешностей измерений. В самом конце бланка должно быть оставлено место для  записи окончательного результата измерений и выводов.

В качестве примера составления отчета в конце методички приведен отчет для первой лабораторной работы (См. Приложение).

Заготовка письменного отчета предполагает не только подготовку его формы (бланка), но и внесение в отчет тех из предусмотренных им сведений, которые могут быть получены студентом еще до выполнения эксперимента (например, паспортных данных приборов).

Допуск к эксперименту проводится в форме беседы с преподавателем, в которой студент должен показать свою подготовленность к работе. Каждый студент должен иметь правильно оформленный бланк работы, знать её цель и задачи, основные расчётные формулы, порядок выполнения работы, быть знаком с используемым в работе оборудованием. Только после проверки подготовки студента к работе, он допускается к её выполнению. Беседа ведется в начале занятия или заблаговременно. Экспериментальную часть работы, т.е., измерения и обработку их результатов, студент, подучивший допуск, выполняет на занятиях по расписанию в присутствии преподавателя и лаборанта, пользуясь, в случае необходимости, их консультациями.

При выполнении лабораторной работы студенты должны соблюдать правила техники безопасности, проявлять осторожность в обращении с приборами. Категорически запрещается совершать какие-либо действия с оборудованием, не относящимся к данной работе.

Экспериментальные результаты с указанием единиц измерений физических величин должны заноситься только в таблицы, заранее приготовленные на бланке работы. В процессе работы студентам рекомендуется во избежание грубых ошибок познакомить преподавателя с результатами первых проведённых ими измерений.

Закончив работу, студенты должны представить преподавателю результаты всех измерений и расчётов (в том числе и расчётов погрешностей), а также, если это требуется в работе, построенные на отдельных листах миллиметровой бумаги графики и получить на бланке конспекта работы подпись преподавателя, а также отметку в журнале о выполнении экспериментальной и расчётной части работы. С разрешения преподавателя обработка экспериментальных результатов может быть проведена  студентом и во внеаудиторное время, но обязательно до очередного планового лабораторного занятия. На следующем лабораторном  занятии эта работа должна быть в обязательном порядке представлена преподавателю уже оформленной с окончательными расчётами и выводами, и только после этого студент может допускаться к выполнению другой лабораторной работы.

После  выполнения  студентами  двух лабораторных работ  (в соответствии с планом) выделяется специальное занятие для защиты этих работ. Студенты, успевшие полностью оформить результаты работ ранее этого занятия, могут, по договорённости с  преподавателем, защитить работы в свободное время на предыдущих занятиях.

Защита студентом выполненной лабораторной работы состоит в ответах на вопросы преподавателя или на вопросы, указанные в методических указаниях к данной лабораторной работе, касающихся как теории, так и методики проведения эксперимента, расчёта результатов  и погрешностей измерений. Защита студентом работы отмечается в журнале преподавателем с указанием даты защиты. Листок с отчетом этой защищённой работы сдаётся преподавателю.

Цикл лабораторных работ считается завершённым, если все работы цикла выполнены и защищены. Общий план лабораторных работ считается выполненным, если все циклы завершены.


§1  ФИЗИЧЕСКИЕ ИЗМЕРЕНИЯ. ВИДЫ ИЗМЕРЕНИЙ

Задачей физического эксперимента является установление и изучение связей между различными физическими величинами. При этом в процессе эксперимента часто бывает необходимо измерять эти физические величины. Измерить физическую величину – это значит сравнить её с идентичной физической величиной, принятой за единицу.

Измерением называют экспериментальное определение значения физической величины с помощью средств измерений. К средствам измерения относятся: 1) меры (гири, мерные стаканы и т.п.); 2) измерительные приборы, имеющие шкалу или цифровое табло (секундомеры, амперметры, вольтметры и т.п.); 3) измерительно-вычислительные комплексы, включающие измерительные приборы и вычислительную технику.

Чтобы измерить физическую величину, необходимо: 1) выбрать единицу измерения этой величины; 2) подобрать проградуированные в установленных единицах с необходимой точностью средства измерения; 3) выбрать наиболее целесообразную методику измерений; 4) провести с помощью имеющихся средств измерение заданной величины; 5) дать оценку допущенной при измерениях погрешности.

В зависимости от способа получения результата измерения делятся на прямые и косвенные. Прямые измерения осуществляются с помощью средств измерений, которыми непосредственно определяется исследуемая величина (например, измерение длины с помощью линейки, массы тела с помощью весов, времени с помощью секундомера). Однако не всегда прямые измерения осуществимы, удобны или имеют необходимую точность и надёжность. В этих случаях используют косвенные измерения, при которых искомое значение величины находится по известной зависимости между этой величиной и величинами, значения которых могут быть найдены путем прямых измерений. Например, объём можно вычислить по измеренным линейным размерам объекта, массу тела – по известной плотности и объёму и т.д. Таким образом, значение какой-либо величины может быть получено как путем прямых измерений, так и с помощью косвенных. К примеру, величину сопротивления провода можно определить как с помощью прибора – омметра, так и с помощью вычислений по измеренным величинам тока, протекающего через проводник, и  падения напряжения на нём. Выбор способа измерений физической величины для каждого конкретного случая решается отдельно с учётом удобства, быстроты получения результата, необходимой  точности и надёжности.

Каждый физический эксперимент состоит из подготовки исследуемого объекта и средств измерений, наблюдения за ходом эксперимента и показаниями приборов, записи отсчётов и результатов измерений.

Измерительным прибором называют устройство, позволяющее непосредственно определить значения измеряемой величины.

Каждый измерительный прибор имеет отсчетное устройство для вывода информации о результатах измерений. Простейшее отсчетное устройство состоит из шкалы и указателя.

Шкала представляет собой совокупность меток, нанесенных поперек некоторой линии. Промежутки между метками называют делениями шкалы. Для удобства отсчета отдельные метки выделяют, увеличивая их длину или толщину, и помечают числами. 

Указатель выполняется в виде стрелки или штриха, которые могут перемещаться вдоль шкалы. В некоторых приборах вдоль шкалы перемещается световое пятно, содержащее изображение штриха.

Существуют приборы с цифровой индикацией, в которых информация об измеряемой величине выдается в виде числа, высвечиваемого посредством специального табло.

Для каждого прибора можно выделить интервал измеряемой величины, в пределах которого он может безопасно работать и давать надежные результаты. Этот интервал называют рабочим диапазоном измерений. Если подлежащая определению величина окажется меньше нижнего предела рабочего диапазона, то результат измерения будет слишком грубым или вообще показание прибора нельзя будет отличить от нулевого. Если же измеряемая величина превысит верхний предел, то прибор может быть испорчен.

Чувствительность измерительного прибора характеризует его способность реагировать на малые изменения измеряемой величины. Чувствительность определяется формулой:

=S / x ,

где S – перемещение указателя отсчетного устройства при изменении измеряемой величины на x.

Если чувствительность остается постоянной во всем рабочем диапазоне, то одинаковым изменениям величины x и в начале шкалы, и в ее конце соответствуют одинаковые перемещения указателя S. В этом случае прибор обладает шкалой с одинаковыми делениями, называемой равномерной. Если чувствительность прибора непостоянна, то на разных участках диапазона равным изменениям измеряемой величины соответствуют неравные перемещения указателя. Шкалы в этих случаях оказываются неравномерными.

Ценой деления шкалы СХ называют изменение измеряемой величины, которое вызывает перемещение указателя на одно деление. Перемещение указателя на n таких делений свидетельствует о том, что измеряемая величина изменилась на  x = nСХ.

Отсюда следует правило определения цены деления: разность значений измеряемой величины x, которое соответствует ближайшим оцифрованным меткам, следует разделить на число делений n между этими метками, то есть

СХ= x / n .

Например, цифры 7 и 8 на ученической линейке соответствуют расстояниям 7 см и 8 см от ее начала отсчета. Разность этих расстояний x = 8 см –7см = 1 см = 10 мм. Число делений между указанными метками n = 10. Следовательно,

 СХ= x / n = 10 мм /10 = 1 мм .

Встречаются приборы с неравномерными шкалами, у которых цена делений меняется при переходе от одного участка шкалы к другому. В качестве примера на рисунке 1 приведена шкала омметра. Цена деления на участке до 0,5 Ом составляет 0,05 Ом, на участке от 0,5 Ом до 2 Ом она равна 0,1 Ом. Цену делений на остальных участках определите самостоятельно и отсчитайте показание омметра, изображенного на рис. 1.

При отсчете показаний приборов следует определить цену делений прибора в том месте шкалы, где находится указатель.

При правильном отсчете луч зрения должен быть перпендикулярен плоскости шкалы. Для обеспечения этого условия электроизмерительные приборы снабжаются зеркальной шкалой. Луч зрения перпендикулярен шкале, если штрих отсчетного устройства совпадает с его изображением в зеркале.

Последовательность размещения приборов и их связь друг с другом должна быть такой, чтобы обеспечить максимальную точность и удобство проведения эксперимента. При этом установка их нулевых значений на шкале или цифровом табло имеет первостепенное значение для получения точного результата. Работа на неисправных приборах не допускается! О неисправности приборов следует немедленно сообщить преподавателю или лаборанту! Перед включением приборов необходимо удостовериться в правильности их соединения и получить разрешение на их включение у преподавателя.

Наблюдения за показаниями приборов следует проводить так, чтобы шкала или табло прибора были хорошо видны

Форма записи экспериментальных результатов должна быть чёткой и компактной. Для этого используются таблицы, приведённые в методических указаниях к каждой лабораторной работе и именно в эти таблицы, скопированные студентами на бланк работы, и следует производить запись результатов с учётом единиц измерений и цены деления прибора. При этом если заранее не задаётся необходимая точность результата, то надо стараться записать результат измерения с наибольшей возможной точностью, которую даёт прибор (т.е. записывать максимально возможное число значащих цифр). Для сокращения числа нулей в полученных значениях измеряемой величины (тех нулей, которые не являются значащими цифрами), удобно для всей строки или столбца таблицы указывать десятичный множитель 10n. Например, необходимо записать значения плотности тел (в кг/м3) с точностью до двух значащих цифр. Чтобы  не писать лишние нули, для всей строки (или столбца) таблицы, в которую заносятся значения плотности тел, перед единицей измерения ставится множитель 103. Тогда для плотности воды в соответствующей клеточке таблицы вместо 1000 будет стоять 1,0. Отметим, однако, что не следует при измерениях, во что бы то ни стало добиваться большей точности, чем это необходимо в поставленной задаче. Например, если требуется знать длину досок, приготовленных для производства тары, то не требуется проводить измерения с точностью, скажем, до микрона. Или, если при проведении косвенных измерений, значение какой-либо из измеряемых величин ограничено некоторой точностью (выраженной в определённом числе значащих цифр), то не имеет смысла стараться измерять другие величины с много большей точностью, чем эта.


§2  ПОГРЕШНОСТИ ИЗМЕРЕНИЙ ФИЗИЧЕСКИХ

ВЕЛИЧИН

По способу выражения точности результатов измерения различают абсолютную и относительную ошибки.

Абсолютной погрешностью измерения  некоторой величины x называют разность между измеренным значением x и истинным значением  a измеряемой величины:

x = a – x.      (1)

Абсолютная погрешность имеет размерность измеряемой величины и указывает на необходимую поправку в данном результате измерения.

Относительной погрешностью измерения   называют отношение абсолютной погрешности измерения к истинному значению измеряемой величины:

= x/a .       (2)

Относительная погрешность безразмерна и иногда выражается в процентах:

= (x/a)100% .      (3)

Если абсолютная погрешность определяет неточность в измерении величины безотносительно к значению самой величины, то относительная погрешность определяет, какую долю составляет погрешность от полученного результата. Например, абсолютная погрешность  в 1 грамм   (x = 1 г) при измерении массы тела в 10 кг даёт неточность всего

= (10-3/10)100% = 0,01%, в то время как такая же абсолютная погрешность в определении  массы  тела  в  10 г даёт неточность уже

= (10-3/10-2)100% = 10%.

По характеру проявления различают три вида погрешностей: грубые ошибки (промахи), систематические погрешности и случайные погрешности.

Промахи – допущенные грубые ошибки. Они могут возникать вследствие недостатка внимания экспериментатора, непредсказуемого поведения прибора (внешние наводки, нестабильность источника питания и т.д.) и множества других причин, которые практически невозможно учесть. Такие результаты измерения резко выделяются из большого ряда полученных значений, и их обычно просто отбрасывают.

Систематические погрешности связаны с факторами, действующими одинаково при многократном повторении одних и тех же измерений. Они возникают по следующим причинам:

1). Из-за погрешности метода измерений, который может не учитывать некоторых факторов, влияющих на результат измерений. Например, это – пренебрежение при измерениях длины тела её зависимостью от температуры, не принятие во внимание “потери веса” тела в воздухе из-за наличия выталкивающей силы и т.д. Во многих случаях величину и знак такой систематической погрешности можно установить и ввести соответствующие поправки. Поправка, разумеется, равна систематической погрешности измерения, взятой с обратным знаком.

2). Из-за неизвестных, не предполагаемых свойств измеряемого объекта (например, наличие пустот, несимметричность считающегося симметричным объекта и т.д.). Эти ошибки исключаются только, если провести измерения изучаемой величины другим методом и в других условиях эксперимента.

3). Из-за индивидуальных погрешностей, допускаемых в процессе измерений наблюдателем. Например, наблюдатели по-разному внимательны, обладают разной скоростью реакции, а это приводит к систематическим ошибкам при слежении за “уходом нуля” приборов, при регистрации временных интервалов секундомером и т.д. Устранить индивидуальные систематические погрешности можно только повторением этих измерений другими наблюдателями.

4). Из-за ошибок, которые вносят измерительные приборы. Эти ошибки имеет место, даже если прибор вполне исправен, отрегулирован, применяется в соответствии с правилами его эксплуатации, и отсчет показания производится правильно и с большой точностью. Она вызывается неизбежными конструктивными недостатками прибора. Погрешности измерительных приборов будут подробно разобраны в следующем разделе.

Случайные погрешности определяются сложной совокупностью причин. Они обнаруживаются при большом числе повторных измерений в виде некоторого разброса результатов, причём невозможно предсказать результат  очередного измерения. Но это не означает, что случайная погрешность не подчиняется никаким закономерностям Далее отдельно будет дано математическое обоснование определения этой ошибки.

Наглядной иллюстрацией систематических и случайных ошибок могут служить результаты стрельбы из различных видов оружия, в том числе на спортивных соревнованиях. Так, если имеется только систематическая ошибка (сбит прицел, неправильное прицеливание или расчеты), то все пули (снаряды, стрелы, бомбы и т.д.) попадут в одно и то же место, но смещенное от центра мишени или цели. Наоборот, если существуют только случайные ошибки, то будет значительный разброс в местах попадания («плохая кучность»), но усредненное отклонение от центра мишени (или цели) будет стремиться к нулю. Реально, конечно, наблюдаются оба вида ошибок, но один из них обычно существенно преобладает над другим.


§3  ПОГРЕШНОСТИ ИЗМЕРИТЕЛЬНЫХ ПРИБОРОВ

Погрешность измерительных приборов вносит, как уже было сказано, неизбежную ошибку, которую нельзя устранить с помощью поправок. Эта погрешность измеряемой величины уже «заложена» при изготовлении прибора и поэтому может быть оценена до начала измерений.

Так, погрешность штангенциркулей, микрометров и некоторых других измерительных инструментов иногда наносят на самом приборе или указывают в прилагаемом к ним паспорте. Например, у штангенциркулей погрешность 0,1мм (с нониусом в 10 делений)  и 0,05 мм (с нониусом в 20 делений). Предельная погрешность микрометров  - 0,01мм.

Жидкостные термометры измеряют температуру с точностью до цены деления шкалы.

На измерительных приборах, имеющих шкалы измерения (стрелочные, зайчиковые и т.д.) обычно указывается класс точности прибора . В этом случае цена деления и пределы измерения шкалы согласована с классом точности прибора. Если на приборе указано, предположим, число 0,5 ( = 0,5), то это означает, что показания прибора правильны с точностью до 0,5 % от всей действующей шкалы прибора. При этом абсолютная приборная ошибка измерения  xпр будет одинакова по всей шкале прибора:

xпр = xmax  /100 = xmax 0,5 /100,   (4)

где xmax – предельное значение шкалы прибора, если нулевая отметка находится на краю шкалы, или xmax равно сумме конечных значений шкалы прибора по обе стороны от нуля, если нулевая отметка находится где-то в середине шкалы прибора. (Иногда число, определяющее класс точности прибора, обведено кружочком – тогда это число определяет приборную относительную ошибку пр, выраженную в процентах).

Обычно, электроизмерительные приборы характеризуются классом точности    от  0,05 до 4,0.

На рисунке 2 приведена шкала милливольтметра с классом точности 2,0, измеряющего напряжение от 0 до 50 мВ. Приборная абсолютная ошибка измерений, полученных с помощью такого милливольтметра

V =50 2,0/100 = 1,0 мВ.

Если же у измерительного прибора нет паспорта и не указан класс точности, то погрешность можно принять равной половине цены деления шкалы.  Например, предельная погрешность металлических линеек при измерении длины равна 0,5 мм, для пластмассовых линеек допускается погрешность до 1 мм.

В некоторых приборах стрелка перемещается не плавно, а “скачками” (например, как у ручного секундомера). В этом случае погрешность прибора принимается равной величине “скачка” (цене деления шкалы).

Так как обычно приборная  абсолютная ошибка одинакова по всей шкале прибора, то для снижения относительной ошибки рекомендуется проводить измерения на том приборе (или для многопредельных приборов – на том пределе измерения), максимальное значение шкалы которого не на много превышает значение измеряемой величины. Конечно, эта рекомендация относится к приборам  и шкалам одного класса точности.

Приборные погрешности  xпр , как и сами значения x измеряемых с помощью приборов величин, должны быть округлены и правильно записаны. Приборные абсолютная xпр и относительная пр  ошибки округляются с точностью до двух значащих цифр, если первая значащая цифра равна 1, и до одной значащей цифры, если она больше единицы. Значащими цифрами называют все цифры числа, кроме тех нулей, с которых начинается число. Например, у числа 0, 0127 три значащих цифры: 1,2 и 7. Нули, стоящие в середине и в конце числа, являются значащими. Например, после округления числа 2, 398 до сотых получим 2,40. Здесь все цифры значащие.

Последняя из оставляемых цифр увеличивается на 1, если следующая за ней первая отбрасываемая цифра больше или равна 5. Если же первая отбрасываемая цифра меньше 5, то последняя из оставляемых цифр не изменяется. Сами же значения измеряемой величины x округляются до того же порядка величины, что и значения абсолютной погрешности xпр, если x и xпр при этом выражены в одинаковых единицах измерения.

Так, если полученные при вычислении значения приборных погрешностей составляют, например, в одном случае: 1,255 мм, а в другом случае: 2, 455 мм, то, округляя их, в первом случае следует записать: xпр = 1,3 мм , а во втором –xпр = 2 мм. В том случае когда результат измерения составил, скажем, x = 40,7 мм , правильной будет запись:

в первом случае   x  = (40,7 1,3) мм,

во втором случае  x =  (41  2) мм.


§4  СЛУЧАЙНЫЕ ПОГРЕШНОСТИ ИЗМЕРЕНИЙ

Если повторять несколько раз измерения одной и той же физической величины (например,  массы или, скажем, времени падения груза), стараясь при этом сохранить все условия опыта постоянными, то, тем не менее, полученные результаты будут несколько отличаться друг от друга (конечно, для результатов каждого измерения необходимо записать достаточное количество значащих цифр). Тому существует множество разных причин, которые практически невозможно учесть. Например,  неточности в фиксации времени включения и выключения секундомера, которые, кстати, важны для точного определения интервалов времени не только при физических измерениях, но и на спортивных соревнованиях. Как уже указывалось ранее, соответствующие ошибки называют случайными погрешностями.

Со случайными разбросами значений некоторых величин мы встречаемся и в повседневной жизни, например, многократно отмечая время, которое требуется, чтобы доехать до нужного пункта. Случайные величины важны для многих разделов естествознания, например, в молекулярной физике при изучении скорости теплового движения молекул газа или в ядерной физике  при изучении закономерностей радиоактивности. Для количественного описания всех таких случайных величин используют хорошо разработанные методы теории вероятностей.

Наиболее вероятное значение любой случайной величины х, а нашем случае результатов нескольких последовательных её измерений (x1, x2, x3…xn), будем определять как среднее арифметическое значение по формуле:

,    (5)

где n – число измерений.

Несмотря на то, что  является наиболее вероятным значением, оно все же не совпадает с истинным значением а измеряемой величины. Но можно установить интервал значений, за пределы которого с наперед заданной вероятностью ρ не будет выходить значение х. Этот интервал называют доверительным интервалом. А вероятность попадания значений называется доверительной вероятностью или надежностью.

Доверительная вероятность ρ(Δx) в случае непрерывного  распределения значений x определяется как:

,       (6)

где  P(x) – плотность вероятности реализации значений x в диапазоне от x до x + dx, причем знаменатель в этом выражении обычно принимается равным 1 (условие нормировки).

В теории вероятностей строго обосновывается, что с той же вероятностью ρ(Δx) за пределы этого интервала не будут выходить средние значения x, определенные в различных сериях измерений, в том числе проводимых разными экспериментаторами или на разных, но однотипных установках.

Эти две величины (доверительный интервал и доверительная вероятность) однозначно определяют отличие измеренного значения x от истинного значения физической величины a..

Для определения доверительного интервала помимо  необходимо найти среднюю квадратичную ошибку измерений в данной серии опытов,  которая определяется по следующей формуле:

.      (7)

Вычисление средней квадратичной, а не, как часто делается, средней арифметической ошибки  измерений:

,     (8)

позволяет более корректно определить затем доверительный интервал.

Путем увеличения числа повторных измерений можно добиться заметного уменьшения случайной ошибки окончательного результата измерений.

Таким образом, при n , 0 и случайную ошибку измерения можно в принципе сделать столь угодно малой величиной, что однако потребует бесконечно долгого процесса измерения.

Определение доверительного интервала для случайной ошибки и, соответственно, отличие среднего значения  от истинного значения этой величины а для заданного значения доверительной вероятности (x) очевидно требует знания конкретного вида функции распределения Pi(xi) реализации определенных значений xi.

Рассмотрим вначале наиболее простой для математической обработки, но сложный для практического осуществления случай достаточного большого числа измерений. Строго говоря, для этого необходимо, чтобы n и дискретная функция распределения Pi(xi) переходила в непрерывную функцию плотности вероятности P(x). Однако, как будет показано далее, для этого достаточно n100 или даже n30. При этом обычно реализуется функция нормального распределения или функция Гаусса, названная так в честь великого немецкого математика, впервые установившего вид этой функции:

.                                        (9)

Здесь использована новая величина – среднестатистический предел среднеквадратичной ошибки одного измерения при очень большом количестве измерений. Квадрат этой величины 2, однозначно определяющей ширину функции распределения для ошибок измерения и вообще распределения случайных величин, называют нормой или дисперсией распределения.

Для обоснования применимости формулы Гаусса необходимо выполнение трех положений, а именно:

— ошибки измерения могут принимать непрерывный ряд значений,

— при достаточно большом числе измерения ошибки одинаковой абсолютной величины, но разного знака, встречаются одинаково часто

— большие ошибки наблюдается реже, чем  меньшие.

Тогда измеренные значения величины x, будут находиться внутри доверительного интервала (- xx ≤ + x) с доверительной вероятностью (x), определяемой по формуле:

.     (10)

При этом, чем больше требуется доверительная вероятность (x)  и, соответственно, надежность того, что измеренные значения x отличаются от истинного значения этой величины а не более, чем на x, тем шире по отношению к становится доверительный интервал. Так, если, например, требуется, чтобы (x) = 0,7; 0,95; 0,98 или 0,999, то соответствующие доверительные интервалы будут равны ; 2; 2,3 или 3,3.

Для выбора конкретного значения доверительной вероятности (x), определяющей значения доверительного интервала x, необходимо понимать, насколько опасен выход за пределы этого интервала, вероятность которого, очевидно, равна 1– (x). Такие задачи возникают на практике, например, при отбраковке изделий, выпускаемых в машиностроительной промышленности, по их габаритам  или другим параметрам.

Реально очень трудно осуществить (по причинам большой длительности и малой продуктивности) вышеуказанный идеализированный случай, требующий, чтобы число измерений было, по крайней мере, больше тридцати. Поэтому необходимо рассмотреть реальный, но более сложный для анализа случай относительно небольшого числа измерений (3 n 10). Интуитивно понятно, что в этом случае возникают повышенные требования к доверительному интервалу  ( - x ;  + x) при заданном значении (x), то есть он становится шире. Увеличение числа измерений, наоборот, сужает этот интервал.

На опыте часто измеряют физические величины, которые могут принимать лишь дискретные значения, а число этих измерений конечно. В ряде случаев вероятность реализации определенных значений таких величин хорошо описывается распределением Пуассона (знаменитый французский  математик и физик).

Для многих лабораторных работ, когда число измерений не велико, распределение погрешностей описывается еще более сложными, специальными гамма–функциями (распределение Стьюдента или “t”– распределение. “Стьюдент” – это псевдоним английского математика Уильяма Сита Госсета.). Для такого распределения с высокой точностью вычислены так называемые коэффициенты Стьюдента t, представленные в таблице 1. Они определяют отношение доверительного интервала x к средней квадратичной ошибке  для данной серии измерений и определенных значений n и (x), то есть:

     (11)

где  - так называемая среднеквадратичная или стандартная ошибка отдельного измерения;   - коэффициент Стьюдента.

Среднеквадратичная ошибка определяется на основании результатов повторных измерений путем вычисления по формуле

      (12)

Коэффициент Стьюдента зависит от требуемой, надежности доверительного интервала и от числа измерения. Его значения для  и различных  вычислены и приводятся в справочниках в виде таблицы (табл. 1). Каждое значение  располагается в таблице на пересечении строки, соответствующей числу измерений , и столбика, соответствующего заданной надежности . Например, при  и  (90%) коэффициент Стьюдента имеет значение .


                                  Коэффициенты Стьюдента
t.        Таблица №1.

n

(число измер.)

Доверительная вероятность

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

0,95

0,98

0,99

0,999

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21-24

25

26-27

28

29

30

40

60

120

0,16

0,14

0,14

0,13

0,13

0,13

0,13

0,13

0,13

0,13

0,13

0,13

0,13

0,13

0,13

0,13

0,13

0,13

0,13

0,13

0,13

0,13

0,13

0,13

0,13

0,13

0,13

0,13

0,13

0,33

0,29

0,28

0,27

0,27

0,27

0,26

0,26

0,26

0,26

0,26

0,26

0,26

0,26

0,26

0,26

0,26

0,26

0,26

0,26

0,26

0,26

0,26

0,26

0,26

0,26

0,25

0,25

0,25

0,51

0,45

0,42

0,41

0,41

0,40

0,40

0,40

0,40

0,40

0,40

0,40

0,39

0,39

0,39

0,39

0,39

0,39

0,39

0,39

0,39

0,39

0,39

0,39

0,39

0,39

0,39

0,39

0,39

0,73

0,62

0,58

0,57

0,56

0,55

0,55

0,54

0,54

0,54

0,54

0,54

0,54

0,54

0,54

0,54

0,53

0,53

0,53

0,53

0,53

0,53

0,53

0,53

0,53

0,53

0,53

0,53

0,52

1,00

0,82

0,77

0,74

0,73

0,72

0,71

0,71

0,70

0,70

0,70

0,70

0,69

0,69

0,69

0,69

0,69

0,69

0,69

0,69

0,69

0,68

0,68

0,68

0,68

0,68

0,68

0,68

0,67

1,38

1,06

0,98

0,94

0,92

0,90

0,90

0,90

0,88

0,88

0,87

0,87

0,87

0,87

0,87

0,86

0,86

0,86

0,86

0,86

0,86

0,86

0,86

0,86

0,85

0,85

0,85

0,85

0,84

2,0

1,3

1,3

1,2

1,2

1,1

1,1

1,1

1,1

1,1

1,1

1,1

1,1

1,1

1,1

1,1

1,1

1,1

1,1

1,1

1,1

1,1

1,1

1,1

1,1

1,1

1,0

1,0

1,0

3,1

1,9

1,6

1,5

1,5

1,4

1,4

1,4

1,4

1,4

1,4

1,4

1,4

1,3

1,3

1,3

1,3

1,3

1,3

1,3

1,3

1,3

1,3

1,3

1,3

1,3

1,3

1,3

1,3

6,3

2,9

2,4

2,1

2,0

1,9

1,9

1,9

1,8

1,8

1,8

1,8

1,8

1,8

1,8

1,7

1,7

1,7

1,7

1,7

1,7

1,7

1,7

1,7

1,7

1,7

1,7

1,7

1,6

12,7

4,3

3,2

2,8

2,6

2,4

2,4

2,3

2,3

2,2

2,2

2,2

2,2

2,1

2,1

2,1

2,1

2,1

2,1

2,1

2,1

2,1

2,0

2,0

2,0

2,0

2,0

2,0

2,0

31,8

7,0

4,5

3,7

3,4

3,1

3,0

2,9

2,8

2,8

2,7

2,7

2,7

2,6

2,6

2,6

2,6

2,6

2,5

2,5

2,5

2,5

2,5

2,5

2,5

2,4

2,4

2,4

2,3

63,7

9,9

5,8

4,6

4,0

3,7

3,5

3,4

3,3

3,2

3,1

3,1

3,0

3,0

2,9

2,9

2,9

2,9

2,9

2,8

2,8

2,8

2,8

2,8

2,8

2,7

2,7

2,6

2,6

636,6

31,6

12,9

8,6

6,9

6,0

5,4

5,0

4,8

4,6

4,5

4,3

4,2

4,1

4,0

4,0

4,0

3,9

3,9

3,8

3,7

3,7

3,7

3,7

3,7

3,6

3,5

3,4

3,3

Из таблицы 1 следует, что при доверительной вероятности (x) 0,7 доверительный интервал x всегда несколько превышает значение , но для (x) = 0,7 по мере увеличения числа измерений  n стремится к этому значению, причем их различие становится незначительным (меньше 10%) уже при n 7. Аналогичное, но более медленное уменьшение t наблюдается и для более высоких значений  (x)= 0,95;  0,98; 0,999. Для этих значений , чтобы достаточно приблизиться к предельным значениям  t (2; 2,3; 3,3), соответствующим функции Гаусса, необходимо значительно большее число измерений (n 15, 20 и 40). В большинстве лабораторных работ число измерений (3  n 10), а доверительная вероятность (x) принимается равной 0,95, так что соответствующие коэффициенты Стьюдента изменяются от 4,3 до 2,3. Если значения доверительной вероятности не указаны, то её обычно выбирают равной 0,68 – 0,7.

В практике лабораторных исследований часто указывают лишь среднеквадратичную ошибку , полагая тем самым

        (13)

что соответствует теоретическому выводу (11) при условии . Такому условию, согласно табл.1, при разных  отвечают разные значения доверительной вероятности . Эти значения приведены в табл.2. Из таблицы видно, что уже при двух повторных измерениях надежность доверительного интервала (14) составляет 61%, а, начиная ,она оказывается выше 90% (более чем в 90 из 100 серий по 5 измерений в каждой среднее значение  обличается от "истинного" не более чем на ).

Для стандартного доверительного интервала зависимость надежности интервала от числа измерений в серии задается таблицей 2.

Таблица 2

Зависимость надежности (доверительной вероятности) стандартного доверительного интервала от числа измерений в серии

Число измерений n

2

3

4

5

7

8

9

11

17

Надежность ρ

0,61

0,78

0,86

0,91

0,96

0,97

0,98

0,99

0,999

Из таблицы видно, что уже при двух повторных измерениях надежность доверительного интервала составляет 61%, а начиная  с пяти повторений, она оказывается выше 90%.

Тогда в качестве оценки случайной ошибки сл удобно принять среднеквадратичную ошибку, вычисляемую по формуле (6) на основании ограниченного числа измерений n, определяемого по таблице 2.

Полная абсолютная погрешность среднего арифметического  оценивается с  учетом его  и случайной и систематической погрешностей.

 (14)

Таким образом, окончательный результат измерений с указанием доверительной вероятности в лабораторных практикумах следует представлять в виде:

,    (15)

где за скобкой указывают единицу измерения данной величины, как правило, в общепринятой международной системе единиц (СИ).

При этом необходимо, чтобы среднее значение  и полная абсолютная погрешность x были записаны в одних и тех же единицах и с одинаковой точностью. Доверительный интервал x обычно записывают в виде двух (реже одной) значащих цифр, округляя последующие цифры. Если число n измерений совсем невелико (менее 5 – 6), что имеет место в большинстве лабораторных работ, то достаточно округления доверительного интервала до первой значащей цифры, и только если она является единицей – до двух. При большем числе измерений n  10, как правило, следует оставлять одну значащую цифру, если только она больше трёх. При ещё большем числе измерений (n  30 и более) оставляются две значащие цифры.  Предварительные вычисления   и  следует проводить, разумеется, с несколько более высокой точностью.

§5  ПОРЯДОК ОБРАБОТКИ РЕЗУЛЬТАТОВ ПРЯМЫХ ИЗМЕРЕНИЙ ФИЗИЧЕСКОЙ ВЕЛИЧИНЫ

Можно рекомендовать следующий порядок обработки результатов прямых измерений физической величины х:

  1.  В соответствии с заданной вероятностью ρ доверительного интервала по таблице 1 определить необходимое число повторных измерений n и в соответствии с этим составить таблицу для записи результатов.
  2.  Провести независимые измерения в одних и тех же условиях n раз и записать результат хi каждого измерения в заготовленную таблицу.
  3.  Используя микрокалькулятор или компьютер, вычислить и записать в таблицу значение среднего арифметического  и среднеквадратичной ошибки . При отсутствии вычислительной техники для расчета этих величин можно воспользоваться формулами (5) и (6).
  4.  Оценить систематическую погрешность .
  5.  Оценить абсолютную погрешность х. Для этого сравнить между собой и . Если  одна из этих погрешностей в три и более раз превышает другую, то последняя из этих погрешностей  будет очень слабо влиять на общую точность измерения и ею можно пренебречь. Исходя из этих соображений, обычно и выбирается необходимое число измерений n. Поскольку  нет никакого смысла стремиться получить случайную погрешность значительно меньше приборной ошибки. В тех случаях, когда погрешности различаются менее чем в три раза вычисление абсолютной ошибки производить по формуле (8).
  6.  Вычислить относительную погрешность

  1.  Если целью данного исследования было определение  только этой величины, то можно записывать результат, относительную погрешность и доверительную вероятность в виде:

  = …%;  ρ= …%.

Всё вышеуказанное справедливо, прежде всего, для прямых измерений, когда на опыте непосредственно измеряется интересующая нас физическая величина.

§6  ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ КОСВЕННЫХ ИЗМЕРЕНИЙ

При косвенных измерениях, когда эта величина определяется по известной формуле, в которую входят несколько других измеряемых на опыте независимых величин, необходимо провести дополнительный анализ общей погрешности измерения. Если искомая величина y = (x1, x2….xk) является известной функцией нескольких непосредственно измеряемых величин xi, то её среднее значение определяется, как. В общем случае формулы для расчета погрешностей косвенных измерений можно получить путем дифференцирования расчетной формулы:

,       (16)

.      (17)

Для некоторых простейших соотношений формулы для расчета погрешностей приведены в таблице 3.

Таблица 3.

Некоторые формулы погрешностей косвенных измерений.

Вид соотношения

Квадрат абсолютной

погрешности

Квадрат относительной

погрешности

Y = a + b

Y =  a - b

Y = a·b

Y = a/b

Y=

Y =

§7  ПОСТРОЕНИЕ И ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ГРАФИКОВ ПРИ ОБРАБОТКЕ РЕЗУЛЬТАТОВ.

При выполнении лабораторных исследований часто применяют графический метод обработки результатов измерений. Обязательной частью этого метода является построение графика, который отражает взаимосвязь найденных на опыте численных значений одной физической величины с численными значениями другой величины.

Графики функций строят на миллиметровой бумаге, причём разметка осей координат выбирается удобной по масштабу и состоит из равноотстоящих и не слишком частых меток. Не обязательно, чтобы на осях был отмечен ноль как начало координат: следует использовать именно интервал полученных экспериментальных значений.

Масштаб по осям должен соответствовать погрешностям измерений.  Обычно масштабы выбирают таким образом, чтобы полным ошибкам величин, откладываемых по осям, соответствовали отрезки, не меньшие, чем стороны ячейки используемой координатной сетки (т.е. для миллиметровой бумаги 1 мм). При этом масштаб должен быть удобным для использования. Например, при полной ошибке измерения времени равной 0,23с масштаб для оси времени определяется так:

.

В этом случае удобно взять масштаб, при котором 1 секунде соответствует отрезок 5 мм или 10 мм. При этом желательно добиваться того, чтобы экспериментальная кривая располагалась в центральной части графика. На осях указываются обозначения физических величин и единицы их измерений. Для больших или малых значений величин N следует откладывать их по осям без множителя 10n, а у соответствующей оси сделать обозначение N10-n. Дополнительные метки, которые соответствовали бы координатам экспериментальных точек, на осях не выделяют (на осях координат указывают только масштабные единицы). Примеры оформления осей приведены на рисунке 3. Разумеется, аналогичные шкалы строятся и вдоль вертикальных осей. Отмечать на координатных осях значения, соответствующие экспериментальным точкам, не следует.

На графике необходимо отмечать сами экспериментальные точки (если кривых несколько – можно для экспериментальных точек использовать разные обозначения: крестики, кружочки, треугольники и т.д., а кривые проводить разными по цвету или виду линиями: штриховыми, штрихпунктирными и т.д.). Точки лучше отмечать карандашом, чтобы можно было легко исправить ошибку, допущенную при построении графика. Когда все экспериментальные точки построены, проводят плавную линию так, чтобы точки наиболее компактно группировались вблизи нее, не обязательно принадлежа ей. График подписывают, определяя построенные зависимости и условия их получения.

При построении графиков недопустимо рисовать изломанную кривую, точно проходящую через все экспериментальные точки: следует провести такую плавную линию, чтобы отклонение экспериментальных точек от нее в разные стороны приблизительно одинаковым.

Для вычерчивания прямолинейных графиков удобно применять прозрачную пластмассовую линейку, а для построения кривых линий – прозрачное лекало. Каждый график сопровождается необходимыми записями: вверху указывается фамилия студента и название работы, к которой относится данный график,  по осям указываются масштабы величин Х и Y.

Удобно строить графики в таких координатах, чтобы функция имела линейный характер (эти координаты следует выбирать на основании вида функции y=f(x)). В этом случае график представляет собой прямую линию. Линейная зависимость между величинами Х и Y выражается уравнением вида

Y = аХ + b

где  a и b  - постоянные (не зависящие от  Х и Y) коэффициенты.  Довольно часто определение этих постоянных и составляет основную задачу лабораторного исследования.

Существует несколько способов определения величин a и b .

А)  Метод натянутой нити

Для построения графика один конец прозрачной линейки закрепляется в точке с координатами (Х0, Y0). Линейку слегка поворачивают так, чтобы экспериментальные точки располагались относительно ее ребра сверху и снизу примерно в одинаковом количестве, и проводят линию. Точки A и В с координатами (XA, YA) и  (XB, YB)  следует выбирать на прямой линии, поскольку экспериментальные точки имеют естественный разброс вследствие погрешностей  прямых измерений X и Y. Среднее значение  по формуле:

.    (18)

Для вычисления относительной погрешности  с помощью графика поступают следующим образом:

  •  рабочий участок графика (участок, охватывающий все экспериментальные точки) делят на три  равные части (рис.4);
  •  проводят дополнительную прямую 1  так, чтобы в левой части рабочего участка выше прямой 1 лежало вдвое больше точек, чем под этой прямой, а в правой части – наоборот;
  •  по формуле, аналогичной (18), вычисляют угловой коэффициент  a1  прямой 1;
  •  проводят  дополнительную прямую 2 так, в левой части ниже прямой 2 находилось вдвое больше   экспериментальных точек, чем под этой прямой, а в правой части – наоборот;
  •  вычисляют угловой коэффициент a2  прямой 2;
  •  находят случайную погрешность величины a по формуле

,       (19)

  •  где nколичество всех экспериментальных точек на графике;
  •  вычисляют относительную систематическую погрешность величины a: ;
  •  находят систематическую погрешность величины a:

;      (20)

  •  зная  и , обычным образом вычисляют абсолютную погрешность , затем – относительную погрешность .

Б)  Метод наименьших квадратов

Метод наименьших квадратов — один из методов теории ошибок для оценки неизвестных величин по результатам измерений, содержащим случайные ошибки. Он также  применяется также для приближенного представления заданной функции другими (более простыми) функциями и часто оказывается полезным при обработке результатов экспериментов.

Когда искомая величина может быть измерена непосредственно, как, например, длина прямой или угол, то, для увеличения точности измерение производится много раз, и за окончательный результат берут среднее арифметическое результатов отдельных измерений. Это правило основывается на соображениях теории вероятности; легко показать, что сумма квадратов отклонений отдельных измерений от среднего арифметического будет меньше, чем сумма квадратов отклонений отдельных измерений от какой бы то ни было другой величины. Само правило представляет, следовательно, простейший случай метода наименьших квадратов.

В этом случае среднее значение   вычисляют по формуле по формуле:

,       (21)

где  ,         ,

,           

Среднеквадратичные погрешности найденных по формулам (21) параметров оцениваются по формулам

,          (22)

Однако, вместо формул (21) и (22) можно воспользоваться программой MathCAD на ПК.

При вычислениях косвенно измеряемых величин часто в качестве множителей используются математические и физические табличные данные. В таблицах эти данные записываются только верными цифрами. Цифра приближенного числа называется верной, если абсолютная погрешность числа не превышает одной единицы того разряда, которому принадлежит данная цифра. В противном случае цифра называется сомнительной.  Исходя из этого, абсолютную погрешность таких величин принимают равной половине единицы наименьшего разряда. Если  взять ускорение свободного падения 9,8 м/с2, то абсолютная погрешность величины не превышает 0,05 м/с2, а если ее взять равной 9,814, то тогда погрешность будет 0,0005 м/с2. Если плотность бензина указана 0,70·103кг/м3, то абсолютную погрешность можно взять равной 0,005·103кг/м3.


§8  ЗАПИСЬ РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ.

Проводя расчеты при обработке результатов измерений, в особенности с использованием вычислительной техники, мы получаем результат, как правило, с большим количеством значащих цифр. Очевидно, что высокая точность вычислений не может сама по себе привести к увеличению точности результата измерений. Например, погрешность измерения скорости тела равна , а вычисление самой скорости с использованием калькулятора дало значение v=0,5603025035 (м/с). Такая запись означает, что скорость измерена с погрешностью 0,0000000005= 5·10-10(м/с), что абсурдно, так как реальная погрешность измерения значительно выше. Для того чтобы не делать таких ошибок все цифры в окончательной записи результата должны быть обоснованными. При этом следует соблюдать следующие правила:

  •  Результат измерений и расчетов не должен записываться с большим числом десятичных знаков, чем их имеется в абсолютной погрешности.
  •  Абсолютная  погрешность округляется до одной значащей цифры (или до двух, если первая цифра оказалась единицей).
  •  Полученный результат лучше записывать в стандартной форме, т.е. в виде произведения числа, лежащего между единицей и десятью, и числа, представляющего собой степень десяти. Например, число 365 можно записать в виде 3,65·102.

В таблице 3 приведены примеры верной и  неверной записи результатов.


Таблица3.

Примеры верной и неверной записи результатов измерений

Неверная

Верная

1.

2.

3.

4.

1.

2.

3.

4.

Прогресс физики и других разделов естествознания во многом определяется точностью экспериментов. В настоящее время достигнута поразительная точность при измерении ряда физических величин (расстояние, время и др.). Так, с помощью молекулярных генераторов и стандартов частоты удается осуществить такие молекулярные часы, что их ошибка составляет всего одну секунду за 106 лет, т.е. относительная погрешность равна 10-12%.

С очень высокой точностью измерена и такая важнейшая физическая величина как скорость распространения света в вакууме с=(299792458,0 1,2)м/с.

При обычных измерениях, например в физическом практикуме, конечно, не удается достичь таких прецизионных точностей измерений, которые во многом определяются погрешностью используемых приборов. Вместе с тем при работе в практикуме нужно стремиться к уменьшению ошибок измерения, правильно производить их оценки и грамотно оформлять промежуточные и окончательные результаты измерений.


КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

  1.  Расскажите о прямых и косвенных измерениях.
  2.  Что такое чувствительность приборов и пределы измерений?
  3.  Что такое цена делений? Как определить цену делений шкалы?
  4.  Абсолютная и относительные погрешности. Их смысл и значение.
  5.  Расскажите о систематических погрешностях.
  6.  Как оцениваются погрешности приборов?
  7.  Расскажите о случайных ошибках. Как их можно уменьшить?
  8.  Расскажите о среднем значении измеряемой величины и о средней квадратичной погрешности отдельного измерения.
  9.  Как находится полная погрешность измерения?
  10.  Расскажите о порядке обработки результатов прямых измерений.
  11.  Как определяются наилучшее значение и погрешность при косвенных измерениях?
  12.  Расчетная формула имеет вид x = A B / (C + D), где A, B, C – независимо измеренные величины. Как подсчитать погрешность косвенного измерения величины x? Укажите различные алгоритмы вычислений.
  13.  Какова погрешность табличных данных?
  14.  Как следует округлять результаты измерений?
  15.  Как рассчитать масштаб при построении графиков?
  16.  Расскажите о методе натянутой нити.
  17.  Расскажите о методе наименьших квадратов.


Лабораторная работа №1

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЛОТНОСТИ ОДНОРОДНОГО ТВЁРДОГО ТЕЛА ПРАВИЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ФОРМЫ.

Цели работы:

  1.  Изучить устройство штангенциркуля и научиться измерять линейные размеры тела  с  его помощью.
  2.  Изучить устройство микрометра и научиться измерять линейные размеры тела с  его помощью.
  3.  Изучить правила пользования весами и научиться измерять массу тел с помощью технических или электронных весов  ВЛТЭ-1100.

Приборы и принадлежности: технические весы с разновесом или электронные весы, штангенциркуль, микрометр, однородное твёрдое тело.

ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ВВЕДЕНИЕ.

Плотностью однородного тела называется физическая величина численно равная массе, заключённой в единице объёма этого тела.

Плотность однородного тела  вычисляется по формуле:

    ,

где  - плотность,  - масса тела,  - его объём.

а)    ИЗМЕРЕНИЕ МАССЫ.

Измерение массы на технических весах.

В работе с техническими весами следует руководствоваться следующими обязательными правилами (см. паспорт к весам):

1. При помощи регулируемых ножек установить весы по имеющемуся на них отвесу.

2. Освободить коромысло весов с ненагруженными чашками и убедиться в том, что оно свободно качается, причём стрелка-указатель колеблется около нулевого деления шкалы (равновесие регулируется винтами, расположенными на обоих концах коромысла). В нерабочем состоянии коромысло весов фиксируется (арретируется) в таком положении при котором опорные призмы оказываются не нагруженными. Фиксация и освобождение коромысла производится при помощи специального приспособления называемого арретиром. Арретир включается и выключается поворотом рукоятки, расположенной на передней стороне основания весов.

3. Любое изменение нагрузки весов производится только тогда, когда весы арретированы (зафиксированы).

4. Взвешиваемое тело и гири помещать на середину чашек весов.

5. Брать гири и ставить их назад в гнёзда ящика разновеса только пинцетом. Для больших гирь можно использовать специальную салфетку.

Измерение массы на электронных весах:

  1.  При помощи регулируемых ножек установить весы горизонтально по имеющемуся на них уровню.
  2.  Включить весы и дать им немного прогреться.  В ненагруженном состоянии показания весов должны быть нулевые.
  3.  Поставить груз в центр чашки весов и записать показания.

Задания:

  1.  Измерьте  массу тела с помощью электронных или технических весов и запишите результат в таблицу. Провести все необходимые прямые изменения с надёжностью не ниже ρ= 0,90 .
  2.  Оцените погрешность измерения массы на весах с помощью паспорта прибора и набора гирь (для технических весов). Запишите ее в таблицу.
  3.  Найдите относительную погрешность измерения массы по формуле m= m/m . и занесите ее в таблицу.

б)   ИЗМЕРЕНИЕ ШТАНГЕНЦИРКУЛЕМ.

Штангенциркуль представляет собой прибор для измерения линейных размеров тел. Он состоит из штанги 1 с измерительными губками 2 и 3, подвижной рамки 4 с измерительными губками 5 и 6 и рейки.

При измерении наружного размера тело помещают между губками 3 и 6. Губки 2 и 5 используются при измерении внутренних размеров, а рейка - при измерении глубин. Вдоль штанги нанесена шкала с миллиметровыми делениями. На скошенном краю рамки, скользящей по штанге, нанесена маленькая вспомогательная шкала, называемая нониусом и предназначенная для увеличения точности измерения в несколько раз. Использование нониуса основано на том, что факт совпадения двух штрихов или несовпадения наш глаз фиксирует хорошо. Оценить же расстояние между двумя штрихами гораздо сложнее. Ширина делений на нониусе делается на 0,1 (0,05) короче, чем ширина делений основной шкалы.

Рассмотрим случай, когда начало нониуса совпадает с одним из делений основной шкалы (рис.6). Тогда первое деление нониуса отстаёт от ближайшего деления шкалы справа на 0,1 мм, второе на 0,2 мм, ... , седьмое на 0,7 мм и т.д.

При сдвиге нониуса вправо на 0,2 мм, лучше всего с делением основной шкалы совпадёт второе деление, при сдвиге на 0,6 мм совпадает шестое деление нониуса и т.д. Таким образом, в любом положении только одно из делений нониуса совпадёт с одним делением основной шкалы.

Минимальное изменение длины, регистрируемое нониусом, равно его точности . Поэтому можно рассматривать как цену деления штангенциркуля.

Эта же величина принимается за систематическую погрешность штангенциркуля.

Перейдём к измерению с помощью нониуса. На рис. 7 видно, что расстояние, на которое сдвинулось нулевое деление нониуса равно диаметру измеряемого цилиндра. В нашем случае оно 2 мм <  < 3 мм. Т.к. деления основной шкалы везде одинаковые и совпало 6-е деление нониуса, значит, нониус сдвинут вправо на 0,6 мм от пятого деления основной шкалы. Следовательно .

Всегда легко определить целое число миллиметров, число же десятых долей определяется на основании совпадения делений нониуса и основной шкалы. Мы рассмотрели простой наглядный случай, когда ширина делений основной шкалы (1мм) отличалась от ширины делений нониуса на 0,1 мм. Возможны нониусы с шириной 1,9 мм; 2,9 мм; 1,95 мм и др.

Задания:   

  1.  Изучить устройство штангенциркуля.
  2.  Определите ширину делений нониуса, основной шкалы. Чему равна ошибка прибора h? Занесите ее в таблицу.
  3.  Измерьте с помощь штангенциркуля линейные размеры тела. Результаты занесите в таблицу. Провести все необходимые прямые изменения с надёжностью не ниже ρ= 0,90
  4.  По формуле (5) вычислите среднее арифметическое измеренных значений и занесите его в таблицу.
  5.  Найдите случайную ошибку либо по формуле , где n число измерений, либо с помощью калькулятора, имеющего функцию статистических расчетов. Запишите ее в таблицу.
  6.  По формуле (8) найдите полную ошибку h измерений, а по формуле (2) относительную ошибку. Занесите их в таблицу.

в)   ИЗМЕРЕНИЕ МИКРОМЕТРОМ.

Микрометр - это прибор для измерения линейных размеров тел при помощи микрометрического винта. Шаг  микрометрического винта с высокой точностью постоянен по всей его длине. Для измерительных целей микрометрический винт соединен с корпусом барабана, при вращении которого, происходит поступательное перемещение микровинта. Причем малое перемещение винта сопровождается поворотом барабана на значительный угол. Если по окружности барабана равномерно нанесено  делений, то при повороте барабана на одно деление винт смещается на мм, где  - шаг винта в мм. Величина  называется точностью микрометрического винта.

Микрометр для измерения наружных размеров (рис.8) состоит из скобы 1 жёстко соединённый с трубкой 2 и подвижного торца микрометрического винта 3 с барабаном 4. На скобе размещены  упор 5 и стопор 6. На поверхности трубки вдоль её образующей расположена шкала 7, а внутри проходит микрометрический винт. На скошенном срезе его барабана нанесена круговая шкала 8. Измеряемый предмет зажимают между упором 5 и торцом 3 путём вращения барабана. Вращать барабан следует только за фрикционную головку (трещотку). Непосредственно перед зажимом предмета вращение должно быть медленным. Когда нажим на предмет достигает нормальной величины, трещотка, проскальзывая, издает щелчки. Вращение барабана без использования трещотки может вывести прибор из строя.

Шаг микровинта чаще всего равен 0,5 мм. Таким образом, чтобы сместиться на 1 мм необходимо сделать два полных оборота микрометрического винта. Для удобства отсчёта шкалу обычно раздваивают (рис.9). Её выполняют в виде двух параллельных шкал с ценой деления 1 мм, сдвинутых относительно друг друга на 0,5 мм. Сделав один полный оборот микровинт смещается на одно деление по верхней шкале, завершив второй попадает на деление нижней. По нижней части шкалы отсчитываются целые миллиметры, а по верхней, в случае видимости деления, дополнительные 0,5 мм. Указателем для отсчёта служит кромка барабана.

Указателем для отсчёта показаний круговой шкалы 8 служит горизонтальная черта, разделяющая линейную шкалу 7. Круговая шкала содержит 50 делений (реже 100). Для удобства отсчёта деления пронумерованы. Микрометры изготовляются так, чтобы погрешность прибора не превышала точности микрометрического винта.

Показание микрометра складывается из отсчета по основной шкале с точностью до 0,5 мм и отсчета сотых долей миллиметра по шкале барабана. На рисунке 9 показано положение отсчетного устройства при d = 8,23 мм. На рисунке 10 показание микрометра d = 7,73 мм.

Необходимо быть особенно внимательными, когда показания прибора незначительно отличаются от целого или полуцелого числа миллиметров. В этом случае из-под барабана уже видна метка соответствующего деления. Когда учитывать показавшееся деление, а когда нет? Как правило, метка начинает выступать из-под края барабана тогда, когда на нем около 40 делений. В этом случае мы еще только приближаемся к данному значению, но не достигли его. Учитывать ее надо с того момента, когда показание круговой шкалы достигнет 50 делений. Исходя из этого, можно сформулировать следующее правило учета показавшейся метки: «Выглядывающую» из под барабана метку не учитывают, если на круговой шкале мы находимся в конце шкалы и учитывают, если на круговой шкале менее 20 делений (начало шкалы).

Задания:

  1.  Изучить устройство микрометра и научиться правильно производить отсчёт его показаний. (Нужно чётко различать такие показания как 2,95 мм, 2,45 мм и 3,45 мм, 5,48 мм и 5,98 мм, 4,96 мм и 5,04 мм).
  2.  Определите ошибку прибора и занести ее в таблицу.
  3.  Измерьте с помощью микрометра диаметры предмета. (не менее 5 раз каждый). Запишите результаты в таблицу.
  4.  По данным измерений найдите среднее арифметическое значение. Запишите его в таблицу.
  5.  Определите случайную и полную квадратичную погрешность измерения величины.
  6.  Используя средние значения, измеренных величин, найдите плотность материала, из которого изготовлено тело.
  7.  По таблице 4 плотностей определите, из какого материала изготовлен образец.
  8.  Используя расчетную формулу и таблицу2 запишите формулу для относительной  погрешности измерения плотности . Покажите ее преподавателю и если она верна проведите расчеты.
  9.  Найдите абсолютную погрешность измерения плотности по формуле  = 
  10.  Запишите полученный результат в стандартной форме.

Таблица 4.

Таблица плотностей твердых тел

Материал

Материал

Свинец

11,35

Чугун

6,600-7,200

Медь

8,960

Дюралюминий

2,700-2,900

Титан

4,500

Текстолит

1,300-1,400

Алюминий

2,700

Эбонит

1,100-1,200

Плексиглас

1,180

Резина

0,910-1,400

Бронза

8,200-8,900

Пробка

0,220-0,260

Сталь

7,700-7,900

Береза

0,60-0,65

Латунь

8,300-8,700

Ясень

0,72-0,75


КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ.

  1.  Что такое плотность вещества? В чем ее физический смысл?
  2.  Что характеризует плотность свойство тела или свойства вещества?
  3.  Как изменяется плотность тела при изменении температуры?
  4.  Что называется абсолютной погрешностью? Что является источником систематических и случайных погрешностей? Почему относительная погрешность лучше характеризует качество измерений, чем абсолютная? Примеры.
  5.  Как пользоваться микрометром, штангенциркулем, весами?
  6.  Какова погрешность отсчёта при измерении этими приборами?
  7.  Каковы  правила округления результатов вычислений. Привести примеры.
  8.  Что называется стандартной формой записи приближенного числа?
  9.  Что означает такая запись: ?
  10.   Какие цифры называют верными в приближённом числе, какие сомнительными?
  11.   Какие ошибки допущены в следующей записи конечного результата измерения объёма: ?
  12.   Как узнать есть ли в отливке внутренние пустоты (раковины), если известен материал, из какого она изготовлена?


ЛИТЕРАТУРА:

  1.  Зайдель А.Н. Ошибки измерения физических величин.- М.: Наука, 1974.
  2.  Лабораторные занятия по физике./Под ред. А.Д.Гольдина.- М.: Наука, 1983.
  3.  Лабораторный практикум по общей физике./Под ред. Е.М.Гершензона и Н.М.Малова.- М.: Просвещение, 1985.
  4.  Методические указания к лабораторным занятиям по физике. Вводные сведения о физических измерениях и обработке результатов.- Смоленск, 1986.
  5.  Лаврова И.В. Курс физики. - М.: Просвещение, 1981.
  6.  Енохович А.С. Справочник по физике и технике.- М.: Просвещение 1989.- 224с.
  7.  Дмитриева В.Ф., Прокофьев В.Л. Основы физики6 Учебное пособие для студентов вузов. – М.: Высшая школа, 2001.- 527с.
  8.  Никифоров Г.Г. Погрешности измерений при выполнении лабораторных работ по физике. 7-11 кл.- М.: Дрофа, 2004.-112с.: ил.
  9.  Методические указания к лабораторным занятиям по физике: Механика. Выпуск первый. – Смоленск, 1987.
  10.  Методические указания к лабораторным занятиям по физике: Механика. Выпуск второй. – Смоленск, 1990.


Приложение 

11

Б/Х

Отчет Петрова Николая Ивановича

Работа №1

Определение плотности твердого тела правильной геометрической формы

 Цели работы:

  1.  Изучить устройство штангенциркуля и научиться измерять линейные размеры тела  с  его помощью.
  2.  Изучить устройство микрометра и научиться измерять линейные размеры тела с  его помощью.
  3.  Изучить устройство технических весов и научиться измерять массу тел.

Приборы и принадлежности: технические весы с разновесом или электронные весы, штангенциркуль, микрометр, однородное твёрдое тело.

Основные характеристики измерительных приборов:

Название, тип, марка, заводской номер и др.

Класс или класс точности

Пределы измерения

Цены делений шкал, нониусов

Погрешность прибора

от

до

Штангенциркуль

0

125мм

0,1мм;1мм

0,1мм

Микрометр

1

0

25мм

0,01мм;1мм

0,01мм

Электронные весы ВЛТЭ-1100

0,5г

1100г

0,03г

3)Схема экспериментальной установки и основные расчетные формулы:

          

,      ,    


Результаты измерений и их обработка:

№ п/п

m·10-3кг

d·10-3м

h·10-3м

1.

2.

3.

4.

5.

64,24

64,24

64,24

46,98

47,11

46,99

46,92

47,03

33,2

33,0

33,1

32,9

33,1

64,24

47,01

33,07

0,03

0,01

0,1

0

0,07

0,11

0,03

0,07

0,15

5·10-4

0,0014

0,005

, поэтому м.

  

(При вычислении ρ значение числа бралось по калькулятору =3,1415926, поэтому  0).

 Основные итоги работы. Ответы на вопросы и задания.

  1.  Изучил устройство штангенциркуля  и микрометра и научился пользоваться этими приборами.
  2.  Измерил плотность материала цилиндра:
  3.  ,    
  4.  По таблице плотностей твердых тел определил, что это плотность эбонита. Следовательно, данный образец изготовлен из эбонита.

Работу выполнил: (Подпись студента)                      (дата)

Работа защищена: (Подпись преподавателя)           (Дата)

ОГЛАВЛЕНИЕ

[1]
ПРЕДИСЛОВИЕ (ПАМЯТКА СТУДЕНТУ)

[2]
§1  ФИЗИЧЕСКИЕ ИЗМЕРЕНИЯ. ВИДЫ ИЗМЕРЕНИЙ

[3]
§2  ПОГРЕШНОСТИ ИЗМЕРЕНИЙ ФИЗИЧЕСКИХ

[4] ВЕЛИЧИН

[5]
§3  ПОГРЕШНОСТИ ИЗМЕРИТЕЛЬНЫХ ПРИБОРОВ

[6] §5  ПОРЯДОК ОБРАБОТКИ РЕЗУЛЬТАТОВ ПРЯМЫХ ИЗМЕРЕНИЙ ФИЗИЧЕСКОЙ ВЕЛИЧИНЫ

[7] §6  ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ КОСВЕННЫХ ИЗМЕРЕНИЙ

[8] §7  ПОСТРОЕНИЕ И ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ГРАФИКОВ ПРИ ОБРАБОТКЕ РЕЗУЛЬТАТОВ.

[9]
§8  ЗАПИСЬ РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ.

[10]
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

[11]
Лабораторная работа №1

[12] а)    ИЗМЕРЕНИЕ МАССЫ.

[13] б)   ИЗМЕРЕНИЕ ШТАНГЕНЦИРКУЛЕМ.

[14] в)   ИЗМЕРЕНИЕ МИКРОМЕТРОМ.

[15]
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ.

[16]
ЛИТЕРАТУРА:

[17]
Приложение

[18] ОГЛАВЛЕНИЕ


Основная шкала

l1

Y

X

I

II

III

Рис.4

1

2

А

В

Рис. 5

5

4

2

3

6

0

Нониус

1

2

l2

5

0

совпали

Рис. 7

0

1

2

d

1

3

4,8

5

2,7

6

Рис.8

4

3

2

1

5

0

Рис.10

0,4

R, 103 Ом

6

4

2

0

h, 10-2 м

Рис.9

Рис. 6

h

d

Рис.2

Рис. 1

10

5

4

3

2

1

0,5

0,4

0,3

0,2

0,1

0

W

0,5

0,6

0,7

t, с

0

2

6

4

x, мм

8

10

12

14

16

18

Рис. 3


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

27. Дослідження теоретичної та практиченої бази ТОВ Універсалпродукт 324.5 KB
  Характеристика організаційно-економічної діяльності ТОВ Універсалпродукт, загальна характеристика та напрямки діяльності. Оцінка маркетингової діяльності ТОВ Універсалпродукт, оцінка факторів макросередовища підприємства.
28. Философия сознания. Сознание как объект науки и высшая форма отражения 21.06 KB
  Сознание как объект науки и высшая форма отражения, определение сущности сознания. Психология, социология, кибернетика, логика и этология как связующие элементы изучения сознания. Эволюция разных форм биологического отражения, синтез материального и идеального.
29. Экономика городского строительства и хозяйства 98.4 KB
  Оценка экономической эффективности предприятий ЖКХ, анализ эффективности инвестиций в разработку и реализацию проекта. Действующая нормативная база: ГЭСНы, ФЕРы, ТЕРы, оценка экономической эффективности предприятий.
30. Основні поняття міжнародного ринку 154.5 KB
  Міжнародний ринок є найбільш затратним та найбільш привабливим для інвестування, головні показники щодо аналізу законодавчої бази країни, на ринок якої планується вихід. Практична значимість теорії життєвого циклу товару в міжнародного маркетингу.
31. Математические основы теории сетей 986.5 KB
  Операции удаления вершин или ребер графа могут изменить количество компонент связности. В связи с этим выделяются следующие вершины и ребра. Разбиение множества ребер графа на циклы, по своей сути, является важным специальным случаем следующей конструкции, устанавливающей тесную связь между графами и векторными пространствами над конечными полями.
32. Изучение основных технико-экономических показателей барабанного разгужателя 1.7 MB
  Разработка схем комплексной механизации и определение их технико-экономических параметров, описание устройства и принципа работы барабанного разгружателя. Механизация и комплексная автоматизация технологических участков и всего производственного процесса.
33. Схемотехническое проектирование фильтра и корректирующего устройства. АЧХ и ФЧХ функционального узла 1.99 MB
  Принципиальная схема, АЧХ и ФЧХ проектируемого фильтра, переходные процессы скорректированного фильтра и функционального узла, расчет электрических параметров, реализация фильтра на основании резисторов, конденсаторов и операционных усилителей.
34. Анализ финансового состояния изучаемого предприятия 1.47 MB
  Увеличение коэффициента оборачиваемости и уменьшение оборотного периода, изменение капитализированной прибыли. Объем уровня переменных затрат на единицу продукции, анализ динамики производства и реализации товара.
35. Разработка автоматизированной информационной системы результатов спортивных мероприятий в НТТИ 1.47 MB
  Выбор архитектуры программно–технологической реализации автоматизированной информационной системы (АИС) и используемой системой управления базой данных (СУБД). Анализ и планирование требований к программному продукту, требования к аппаратному и программному обеспечению.