88532

Изучении роста шероховатых поверхностей

Курсовая

Физика

При изучении роста шероховатых поверхностей широко используется концепция пространственно-временного скейлинга. Основные типы компьютерных моделей В современной литературе проанализированы различные компьютерные модели для описания формирования и роста шероховатых поверхностей...

Русский

2015-05-02

532.5 KB

11 чел.

PAGE  6

СОДЕРЖАНИЕ

[1] Характерный вид функции шероховатости  представлен на рис 3 [4]. В начальный момент времени, при формировании первых монослоев () шероховатость  возрастает пропорционально корню квадратному из времени, т.е. . При малом заполнении рост колонок является некоррелированным, что соответствует режиму случайного роста. В последующие моменты времени, при  возможен скоррелированный рост и шероховатость возрастает по закону , где .

[2]
1. Структура и свойства шероховатых поверхностей

[3]
2. Концепция пространственно-временного скейлинга

[4]
3. Основные типы компьютерных моделей

[5] 3.1. Случайное осаждение (RD)

[6] 3.2. Осаждение с поверхностной релаксацией (RDR)

[7] 3.3. Баллистическое осаждение (BD)

[8] 3.4. Смешанные модели

[9]
ЗАКЛЮЧЕНИЕ

[10]
ЛИТЕРАТУРА


ВВЕДЕНИЕ

При изучении роста шероховатых поверхностей широко используется концепция пространственно-временного скейлинга. Идея скейлинга (гипотезы подобия) не является новой, и раньше она широко использовалась в физике фазовых переходов [1]. Следует отметить, что впервые идея о возможности применения гипотезы подобия в теории фазовых переходов была высказана Паташинским и Покровским [2]. Еще раньше гипотезу подобия для объяснения «неклассических» свойств макроскопических систем в физике впервые использовали в теории турбулентности Колмогоров и Обухов (см., например, [3]).

Характерный вид функции шероховатости  представлен на рис 3 [4]. В начальный момент времени, при формировании первых монослоев () шероховатость  возрастает пропорционально корню квадратному из времени, т.е. . При малом заполнении рост колонок является некоррелированным, что соответствует режиму случайного роста. В последующие моменты времени, при  возможен скоррелированный рост и шероховатость возрастает по закону , где . 

Существуют различные классы универсальности, характеризующиеся определенными значениями скейлинговых показателей  и . Понятие класса универсальности фактически предполагает, что физическое поведение совершенно разных систем может описываться подобными математическими уравнениями.


1. Структура и свойства шероховатых поверхностей

Идеально гладких поверхностей не существует, а потому, даже внешне гладкие поверхности являются шероховатыми на микроскопическом масштабе. Шероховатые поверхности или границы раздела можно наблюдать во многих природных явлениях и процессах, например, на рис. 1 границы раздела, возникающие при росте лесного массива, распространении капли чернила на бумаге, образовании ржавчины на поверхности металла, при отрыве коры с дерева, росте лишайников.

1 Характеристики фронта роста поверхности

Для простоты рассмотрим рост так называемых (1 + 1)-поверхностей, которые образуются, например, при вертикальном осаждении частиц на линию. Шероховатость такой поверхности в определенный момент времени  можно охарактеризовать функцией высоты  фронта поверхности, где  — пространственная координата в горизонтальном направлении. Тогда средняя высота  определяется с помощью соотношения

,      (1)

где  — общая длина поверхности в горизонтальном направлении. В данном случае предполагается, что высота измеряется через единичный интервал, а величина  в горизонтальном направлении принимает дискретные значения, . Для непрерывной функции величина  вычисляется как интегральное среднее.

При условии постоянства потока осаждаемых частиц средняя высота  пропорциональна общему количеству осажденных частиц и времени, т.е. . Обычно в расчетах за единицу «компьютерного» времени принимается время, необходимое для осаждения  частиц.

Важной характеристикой поверхности является ее шероховатость , которая характеризует структуру поверхности и определяется как

.  (2)

Если переопределить вертикальную координату таким образом, чтобы , тогда .

Для определения степени корреляций положения частицы в латеральном (горизонтальном) направлении используют автокорреляционную функцию, которая определяется как

.

где .

Величина  обычно является экспоненциально убывающей функцией расстояния в латеральном направлении , т.е. , где  - корреляционная длина. Корреляционная длина  определяет пространственный масштаб при превышении которого теряется скоррелированность расположения высот в латеральном направлении.

Можно определить также корреляционную функцию высота-высота , которая определяется как

,

но эта функция не является независимой и связана с автокорреляционной функцией соотношением .

При осаждении на неровную (холмистую) исходную поверхность вводят также характеристическую длину , соответствующую масштабу неровностей (рис. 2).

Рис. 2. К определению основных параметров, характеризующих шероховатую поверхность. Здесь  — шероховатость,   — корреляционная длина, а величина  характеризует среднее расстояние между неровностями или холмами на исходной поверхности

Важной характеристикой структуры поверхности является также среднеквадратичный наклон, определяемый как

.


2. Концепция пространственно-временного скейлинга

При изучении роста шероховатых поверхностей широко используется концепция пространственно-временного скейлинга. Идея скейлинга (гипотезы подобия) не является новой, и раньше она широко использовалась в физике фазовых переходов [1]. Следует отметить, что впервые идея о возможности применения гипотезы подобия в теории фазовых переходов была высказана Паташинским и Покровским [2]. Еще раньше гипотезу подобия для объяснения «неклассических» свойств макроскопических систем в физике впервые использовали в теории турбулентности Колмогоров и Обухов (см., например, [3]).

Характерный вид функции шероховатости  представлен на рис 3 [4]. В начальный момент времени, при формировании первых монослоев () шероховатость  возрастает пропорционально корню квадратному из времени, т.е. . При малом заполнении рост колонок является некоррелированным, что соответствует режиму случайного роста. В последующие моменты времени, при  возможен скоррелированный рост и шероховатость возрастает по закону , где . При относительно больших временах (при ) наблюдается режим насыщения и дальнейший рост  прекращается (рис. 3).

Рис. 3. Зависимость шероховатости  от времени

Максимальное значение шероховатости  также возрастает по степенному закону при увеличении размера подложки , т.е. . Величина  называется показателем шероховатости, а величина  — показателем роста. Переходное время  можно оценить, учитывая, что , откуда получим . Величина  называется динамическим показателем. Скейлинговые показатели ,  и  являются аналогами критических индексов в теории фазовых переходов.

Зависимость шероховатости  от  и  можно представить в виде следующего закона динамического скейлинга [5]

,      (3)

где  — некоторая универсальная функция, для которой справедливы Асимптотики

     при ;

 при .

Существуют различные классы универсальности, характеризующиеся определенными значениями скейлинговых показателей  и . Понятие класса универсальности фактически предполагает, что физическое поведение совершенно разных систем может описываться подобными математическими уравнениями.


3. Основные типы компьютерных моделей

В современной литературе проанализированы различные компьютерные модели для описания формирования и роста шероховатых поверхностей [4]. Здесь будут рассмотрены процессы роста осадков для некоторых простейших двумерных (1+1)-моделей осаждения. Во всех моделях предполагается, что частицы случайным образом осаждаются вдоль вертикального направления на ранее сформированный осадок (линию) и фиксируются в узлах квадратной решетки, которая содержит L колонок в горизонтальном направлении.

3.1. Случайное осаждение (RD)

В модели случайного роста (random deposition, RD) все колонки заполняются случайным образом, т.е. рост различных колонок является некоррелированным. После случайного осаждения  частиц вероятность обнаружения колонки с высотой  в осадке можно вычислить с помощью следующего соотношения

,

где величина  соответствует вероятности заполнения произвольной колонки, а  определяет число сочетаний для данного события.

Величина  является функцией распределения высот, что позволяет рассчитать среднюю высоту осадка

,      

и его шероховатость

.   

Здесь учтено определение «компьютерного» времени , а та же соотношение для среднего квадрата высоты осадка

.

В термодинамическом пределе, т.е. для бесконечной системы () из  следует, что

.        (4)

Для модели RD режим насыщения отсутствует и величина а является неопределенной, а показатель роста  равен 0,5.

Для получения аналитического описания поведения случайного роста RD можно использовать также альтернативный подход. Данный подход основан на рассмотрении поведения стохастического дифференциального уравнения, пригодного к описанию модели случайного роста. Он применим только в континуальном приближении для описания поведения поверхности осадка на расстояниях, которые намного превышают размеры постоянной решетки. Стохастическое дифференциальное уравнение для модели RD имеет вид

.      (5)

где  — средняя скорость движения фронта, a  — стохастическая (шумовая) функция.

Стохастическая (шумовая) функция  обладает следующими свойствами:

;

,

где  и  — дельта-функции Дирака,  — размерность пространства а  — некоторая постоянная.

Последнее условие соответствует полному отсутствию корреляций в пространстве и во времени. Стохастический шум такого типа называется белым.

В дальнейшем будет удобно рассматривать рост поверхности в системе координат, движущейся со средней скоростью фронта , в которой  и уравнение (5) можно переписать в виде

.       

Отсюда, интегрируя , можно получить  (одномерное уравнение диффузии Эйнштейна), и следующее соотношение для шероховатости

,     (4')

которое фактически совпадает с ранее полученным соотношением (4)

3.2. Осаждение с поверхностной релаксацией (RDR)

Данная модель является модификацией модели RD. В модели RDR учитывается возможность релаксации частицы в ближайшую левую или правую колонку с более низкой высотой. Учет поверхностной релаксации в модели RDR приводит к сглаживанию высоких «выступов», характерных для нескоррелированной модели RD, что фактически соответствует приближенному учету поверхностного натяжения. Данную модель можно приближенно описать с помощью стохастического дифференциального уравнения Едвардса-Вилкинсона (ЕВ), которое подобно уравнению RD (5). В уравнении ЕВ учитывается слагаемое, соответствующее наличию поверхностного натяжения [6]:

,     (6)

где  — поверхностное натяжение.

Скейлинговые показатели  и  для этой модели можно оценить из условий инвариантности уравнения (6) при растяжении системы в латеральном направлении на величину , т. е. при изменении масштаба . В данном случае из (3) следуют, что время  и высота  перемасштабируются: ;  При этом шумовое слагаемое тоже перемасштабируется: , что следует из того, что  и

Применяя данные масштабные преобразования ко всем слагаемым в уравнении (6), получим

.  

Условие инвариантности (6) и (6') соответствует равенству нулю всех степенных коэффициентов при , откуда вытекает, что , , . В частности, для двумерной модели осаждения (так называемое (1 + 1)-осаждение), , из данных соотношений получим , , .

3.3. Баллистическое осаждение (BD)

Еще одной модификацией модели RD является модель баллистического осаждения (BD). В данной модели частица фиксируется в точке первого контакта с осадком. При осаждении проверяется высота ближайших (левой и правой) колонок. Квадратная частица может прилипать боковой поверхностью к уже существующему осадку [5]. В модели баллистического осаждения учитывается возможность роста вдоль локальной нормали к поверхности. В работе [7] показано, что наличие такого механизма роста должно приводить к появлению дополнительного нелинейного слагаемого в стохастическом уравнении, который пропорционален . Появление данного слагаемого можно понять, проанализировав схему, представленную на рис. 4. Влияние нелинейного слагаемого  может приводить к уширению локальных выступов на поверхности фронта с течением времени, т.е. к усилению роста поверхности в латеральном направлении.

Рис. 4. К выводу уравнения KPZ. За время  фронт, движущийся со скоростью , продвигается на расстояние . При этом смещение поверхности в вертикальном направлении составляет , где  — катет треугольника. Учитывая подобие большого и заштрихованного треугольников, получим . Отсюда, в приближении , следует  или . В системе координат, движущей со скоростью , постоянный член  можно опустить

Обобщенное уравнение RD, в котором учитываться механизмы усиления латерального роста и поверхностного натяжения, получило название уравнения KPZ [7]. Оно обычно записывается в виде

.  (7)

где  — скорость роста вдоль локальной нормали к поверхности.

К сожалению, степенные показатели ,  и  для модели KPZ нельзя оценить, из скейлинговых соображений подобных тем, которые применялись для модели ЕВ. Более сложный анализ, основанный на применении метода ренорм-группы и флуктуационно-дисипационной теоремы к одномерному варианту уравнения (7) (т.е. для модели осаждения (1 + 1)) позволил показать (см., например [4]), что , , .

Таблица 1. Степенные показатели для простейших моделей осаждения

В табл. 1 представлены степенные показатели для рассмотренных выше простейших моделей осаждения

3.4. Смешанные модели

В смешанных моделях предполагается, что осаждаются частицы разных сортов. На рис. 5 представлена модель осаждения для бинарной системы, состоящей из частиц А и С, осаждаемых с вероятностями  и , соответственно.

Рис. 5. Модель осаждения для бинарной системы [8, 9]. Осаждение частиц А (белые квадраты) считается успешным, если они в осадке контактируют с частицами А. Неуспешное осаждение частиц показано зачеркнутым белым квадратом. Частицы С (серые квадраты) могут осаждаться в любом месте. Частицы А после успешного осаждения всегда жестко фиксируются. Частицы С после осаждения могут жестко фиксироваться [8] (а) или быть диффузионно-подвижными (б) [9]

Эта модель представляет некое обобщение модели RD, в которой частицы С могут соответствовать частицам примеси. При  модель строго соответствует модели RD. Вначале осаждаемая линия заполнена частицами А. Осаждение этих частиц считается успешным, если в осадке они контактируют с частицами А. При этом частицы С могут осаждаться в любом месте, и предыдущее условие на них не распространяется. Частицы А после успешного осаждения всегда жестко фиксируются. Частицы С после осаждения могут жестко фиксироваться [8] или быть диффузионно-подвижными [9].

Для модели I (когда частицы С диффузионно-неподвижны) образованные пространственные структуры (паттерны) имеют компактный вид. Временная зависимость ширины фронта для промежуточных времен , где показатель роста  является немонотонной функцией  (относительной доли частиц С). В режиме насыщения величина  зависит от величины  как  [8], где  — некоторая постоянная. Для модели II (когда частицы С диффузионно-подвижны) проявляется поведение, характерное для класса универсальности Эдварса-Вилкинсона, т. е.  и не зависит от . Для этой модели в режиме насыщения наблюдаются немонотонная зависимость  от  [9].

Далее в главе анализируются компьютерные алгоритмы для рассмотренных выше моделей осаждения: случайного (RD), с релаксацией (RDR) и баллистического (BD).


ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В современной литературе проанализированы различные компьютерные модели для описания формирования и роста шероховатых поверхностей [4]. Здесь будут рассмотрены процессы роста осадков для некоторых простейших двумерных (1+1)-моделей осаждения. Во всех моделях предполагается, что частицы случайным образом осаждаются вдоль вертикального направления на ранее сформированный осадок (линию) и фиксируются в узлах квадратной решетки, которая содержит L колонок в горизонтальном направлении.

Для модели I (когда частицы С диффузионно-неподвижны) образованные пространственные структуры (паттерны) имеют компактный вид. Временная зависимость ширины фронта для промежуточных времен , где показатель роста  является немонотонной функцией  (относительной доли частиц С). В режиме насыщения величина  зависит от величины  как  [8], где  — некоторая постоянная. Для модели II (когда частицы С диффузионно-подвижны) проявляется поведение, характерное для класса универсальности Эдварса-Вилкинсона, т. е.  и не зависит от . Для этой модели в режиме насыщения наблюдаются немонотонная зависимость  от  [9].

Далее в главе анализируются компьютерные алгоритмы для рассмотренных выше моделей осаждения: случайного (RD), с релаксацией (RDR) и баллистического (BD).


ЛИТЕРАТУРА

  1.  Булавин Л. А., Сысоев В.М. Физика фазовых переходов. — К.: ВПУ «Ки' евский университет», 2000. — 420 с.
  2.  Паташинский А.З., Покровский В. Л. Флуктуационная теория фазовые переходов. — М.: Наука, 1982. — 382 с.
  3.  Рабинович М. И., Сущик М.М. Регулярная и хаотическая динамика структур в течениях жидкости // Успехи физических наук. — 1990. — Т. 160, №1. - С. 3-64.
  4.  Barabasi A. -L., Stanley Н. Е. Fractal concepts in surface growth. — Cambridge: University Press, 1995. - 392 p.
  5.  Family F. and Vicsek T. Scaling of the active zone in the Eden process on percolation networks and the ballistic deposition model // J. Phys. A. — 1985. - V. 18. - P. L75-L81.
  6.  Edwards S.F. and Wilkinson D R. The surface statistics of a granular aggregate // Proc. R. Soc. London A. - 1982. - V. 381. - P. 17-31.
  7.  Kardar M., Parisi G. and Zhang Y.C. Dynamic scaling of growing interfaces 11 Phys. Rev. Lett. - 1986. - V. 56. - P. 889-892.
  8.  Wang W., Cerdeira H.A. Kinetic growth of randomlike and ballisticlike deposition models // Phys. Rev. E. - 1993. - V. 47. - P. 3357-3361.
  9.  Wang W. Cerdeira H.A. Surface growth of two kinds of particle deposition models 11 Phys. Rev. E. - 1995. - V. 52. - P. 6308-6313.
  10.  Meakin P. Ballistic deposition onto inclined surfaces // Phys. Rev. A. — 1988. - V. 38. - P. 994-1004.
  11.  Nieuwenhuizen J. H. and. Haanstra H. B. Microfractography of thin films // Philips Tech. Rev. - 1966. - V. 27. - P. 87-91.
  12.  Bulavin L.A., Lebovka N. /., Starchenko V. Y., Vygornitskii N. V. Interparti- cle interaction and structure of deposits for competitive model in (2 + 1) dimensions // Physica A. - 2003. - V. 328. - P. 505-512.
  13.  Lebovka N. I., Manna S. S., Tarafdar S. and Vygornitskii N. V. Percolation in deposits for competitive models in (l + l)-dimensions // Physica A. — 2004. — V. 33 - P. 385-391.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

21991. Западная Европа в конце XI в. 30 KB
  Отношения между представителями класса феодалов в государствах Западной Европы строились по принципу т. На ее вершине находился император король который считался верховным сеньором всех феодалов их сюзереном – главой феодальной иерархии. Среди церковных феодалов тоже существовала иерархия по рангу занимаемой ими должности: папа римский кардиналы архиепископы епископы аббаты приоры кюре викарий. Многие из них были вассалами светских феодалов по своим земельным владениям и наоборот.
21992. Западные славяне 61.5 KB
  начинается серия войн с Византией велись они с переменным успехом но в целом удачно для Болгарии. престиж Болгарии как международной державы был высок. Послов Болгарии за императорским столом сажали выше чем послов германского императора Оттона I. в Болгарии появилось богомильское движение дуализм.
21993. Индия в IV-VI-VII-XII вв. 50 KB
  Упадок империи Гуптов в Индии явился рубежом отделяющим древность от средневековья. Индии. вождем эфталитов стал Торомана который овладел Гандхарой – областью на северозападе Индии затем двинулся в пределы самой империи. Инд частью Центральной Индии совр.
21994. Индия в XII-XVII вв. 74.5 KB
  Завоеванные индийские земли были включены в состав гос. земель державы Гуридов и Мухаммед Гури как их верховный собственник стал раздавать эти земли в условное феодальное держание икта своим военачальникам поставив над ними в качестве наместника Кутбаддина Айбека. Военачальники которым он роздал индийские земли в феодальное держание отказались признать нового правителя Газни своим господином и создали на территории Северной Индии собственное государство получившее название по имени своей столицы – Делийский султанат 12061526 гг....
21995. Иран в V-VII – X- XIII вв. 50.5 KB
  Сасанидский Иран – крупнейшее государство Передней Азии. Эти изделия вывозились в страны Средиземноморья Азии Китай. Азии. Азии.
21996. Средневековая культура 107 KB
  Не откажите прислать с подателем сего письма деньги а также туфли и чулки. появилось деление на семестры – большой ординарный учебный период – magnus ordinaries – с октября день св. Поскольку смех был изгнан из официальной жизни то поэтому появились праздники дураков которые проводились на Новый год день невинноубиенных младенцев Богоявление Иванов день. Здесь и страдающий Христос окруженный мальчикамиангелами; Тайная вечеря где присутствовал и Фома Аквинский борьба архангела Михаила с демонами источник бьющий вином гроб...
21997. Средневековый город 107.5 KB
  – речь идет о функциях и свойствах города его месте в средневековом обществе. В средние века официально городом считалось поселение получившее от властей статус города закрепленный особыми грамотами имеющее внешние атрибуты – стены ров укрепления много улиц жителей ратушу собор церкви большие здания порт рынки административные учреждения скопление властей уличную толпу. Существует свыше десятка теорий происхождения средневекового города: романистическая идея непрерывного развития города от римских времен до нового времени...
21998. Столетняя война (1137-1453) 60.5 KB
  Можно рассматривать и как феодальную войну за наследство земли но и как освободительную борьбу о стороны Франции и как первый общеевропейский международный конфликт. Но во Франции сославшись на LXIX титул Lex Salica лилии не прядут престол отдали представителю боковой линии французского дома Капетингов – племяннику Филиппа Красивого – Филиппу Валуа Филипп VI 13281350 и кузену Карла IV. Эдуард III начал войну в которую втянулись империя Фландрия Арагон Португалия – на стороне Англии Кастилия Шотландия папство – на стороне...
21999. Страны Северной Европы в XVI-первой половине XVII вв. 120.5 KB
  В Швеции в 1570е гг. Это было основным занятием населения в прибрежных областях Швеции и Финляндии особенно на севере. среди натуральных податей Северной Швеции до 60 составляла рыба. власти поощряли возделывание заброшенных земель но в Швеции начался конфликт изза королевских лесов которые были захвачены крестьянамилесокрадами.