88532

Изучении роста шероховатых поверхностей

Курсовая

Физика

При изучении роста шероховатых поверхностей широко используется концепция пространственно-временного скейлинга. Основные типы компьютерных моделей В современной литературе проанализированы различные компьютерные модели для описания формирования и роста шероховатых поверхностей...

Русский

2015-05-02

532.5 KB

12 чел.

PAGE  6

СОДЕРЖАНИЕ

[1] Характерный вид функции шероховатости  представлен на рис 3 [4]. В начальный момент времени, при формировании первых монослоев () шероховатость  возрастает пропорционально корню квадратному из времени, т.е. . При малом заполнении рост колонок является некоррелированным, что соответствует режиму случайного роста. В последующие моменты времени, при  возможен скоррелированный рост и шероховатость возрастает по закону , где .

[2]
1. Структура и свойства шероховатых поверхностей

[3]
2. Концепция пространственно-временного скейлинга

[4]
3. Основные типы компьютерных моделей

[5] 3.1. Случайное осаждение (RD)

[6] 3.2. Осаждение с поверхностной релаксацией (RDR)

[7] 3.3. Баллистическое осаждение (BD)

[8] 3.4. Смешанные модели

[9]
ЗАКЛЮЧЕНИЕ

[10]
ЛИТЕРАТУРА


ВВЕДЕНИЕ

При изучении роста шероховатых поверхностей широко используется концепция пространственно-временного скейлинга. Идея скейлинга (гипотезы подобия) не является новой, и раньше она широко использовалась в физике фазовых переходов [1]. Следует отметить, что впервые идея о возможности применения гипотезы подобия в теории фазовых переходов была высказана Паташинским и Покровским [2]. Еще раньше гипотезу подобия для объяснения «неклассических» свойств макроскопических систем в физике впервые использовали в теории турбулентности Колмогоров и Обухов (см., например, [3]).

Характерный вид функции шероховатости  представлен на рис 3 [4]. В начальный момент времени, при формировании первых монослоев () шероховатость  возрастает пропорционально корню квадратному из времени, т.е. . При малом заполнении рост колонок является некоррелированным, что соответствует режиму случайного роста. В последующие моменты времени, при  возможен скоррелированный рост и шероховатость возрастает по закону , где . 

Существуют различные классы универсальности, характеризующиеся определенными значениями скейлинговых показателей  и . Понятие класса универсальности фактически предполагает, что физическое поведение совершенно разных систем может описываться подобными математическими уравнениями.


1. Структура и свойства шероховатых поверхностей

Идеально гладких поверхностей не существует, а потому, даже внешне гладкие поверхности являются шероховатыми на микроскопическом масштабе. Шероховатые поверхности или границы раздела можно наблюдать во многих природных явлениях и процессах, например, на рис. 1 границы раздела, возникающие при росте лесного массива, распространении капли чернила на бумаге, образовании ржавчины на поверхности металла, при отрыве коры с дерева, росте лишайников.

1 Характеристики фронта роста поверхности

Для простоты рассмотрим рост так называемых (1 + 1)-поверхностей, которые образуются, например, при вертикальном осаждении частиц на линию. Шероховатость такой поверхности в определенный момент времени  можно охарактеризовать функцией высоты  фронта поверхности, где  — пространственная координата в горизонтальном направлении. Тогда средняя высота  определяется с помощью соотношения

,      (1)

где  — общая длина поверхности в горизонтальном направлении. В данном случае предполагается, что высота измеряется через единичный интервал, а величина  в горизонтальном направлении принимает дискретные значения, . Для непрерывной функции величина  вычисляется как интегральное среднее.

При условии постоянства потока осаждаемых частиц средняя высота  пропорциональна общему количеству осажденных частиц и времени, т.е. . Обычно в расчетах за единицу «компьютерного» времени принимается время, необходимое для осаждения  частиц.

Важной характеристикой поверхности является ее шероховатость , которая характеризует структуру поверхности и определяется как

.  (2)

Если переопределить вертикальную координату таким образом, чтобы , тогда .

Для определения степени корреляций положения частицы в латеральном (горизонтальном) направлении используют автокорреляционную функцию, которая определяется как

.

где .

Величина  обычно является экспоненциально убывающей функцией расстояния в латеральном направлении , т.е. , где  - корреляционная длина. Корреляционная длина  определяет пространственный масштаб при превышении которого теряется скоррелированность расположения высот в латеральном направлении.

Можно определить также корреляционную функцию высота-высота , которая определяется как

,

но эта функция не является независимой и связана с автокорреляционной функцией соотношением .

При осаждении на неровную (холмистую) исходную поверхность вводят также характеристическую длину , соответствующую масштабу неровностей (рис. 2).

Рис. 2. К определению основных параметров, характеризующих шероховатую поверхность. Здесь  — шероховатость,   — корреляционная длина, а величина  характеризует среднее расстояние между неровностями или холмами на исходной поверхности

Важной характеристикой структуры поверхности является также среднеквадратичный наклон, определяемый как

.


2. Концепция пространственно-временного скейлинга

При изучении роста шероховатых поверхностей широко используется концепция пространственно-временного скейлинга. Идея скейлинга (гипотезы подобия) не является новой, и раньше она широко использовалась в физике фазовых переходов [1]. Следует отметить, что впервые идея о возможности применения гипотезы подобия в теории фазовых переходов была высказана Паташинским и Покровским [2]. Еще раньше гипотезу подобия для объяснения «неклассических» свойств макроскопических систем в физике впервые использовали в теории турбулентности Колмогоров и Обухов (см., например, [3]).

Характерный вид функции шероховатости  представлен на рис 3 [4]. В начальный момент времени, при формировании первых монослоев () шероховатость  возрастает пропорционально корню квадратному из времени, т.е. . При малом заполнении рост колонок является некоррелированным, что соответствует режиму случайного роста. В последующие моменты времени, при  возможен скоррелированный рост и шероховатость возрастает по закону , где . При относительно больших временах (при ) наблюдается режим насыщения и дальнейший рост  прекращается (рис. 3).

Рис. 3. Зависимость шероховатости  от времени

Максимальное значение шероховатости  также возрастает по степенному закону при увеличении размера подложки , т.е. . Величина  называется показателем шероховатости, а величина  — показателем роста. Переходное время  можно оценить, учитывая, что , откуда получим . Величина  называется динамическим показателем. Скейлинговые показатели ,  и  являются аналогами критических индексов в теории фазовых переходов.

Зависимость шероховатости  от  и  можно представить в виде следующего закона динамического скейлинга [5]

,      (3)

где  — некоторая универсальная функция, для которой справедливы Асимптотики

     при ;

 при .

Существуют различные классы универсальности, характеризующиеся определенными значениями скейлинговых показателей  и . Понятие класса универсальности фактически предполагает, что физическое поведение совершенно разных систем может описываться подобными математическими уравнениями.


3. Основные типы компьютерных моделей

В современной литературе проанализированы различные компьютерные модели для описания формирования и роста шероховатых поверхностей [4]. Здесь будут рассмотрены процессы роста осадков для некоторых простейших двумерных (1+1)-моделей осаждения. Во всех моделях предполагается, что частицы случайным образом осаждаются вдоль вертикального направления на ранее сформированный осадок (линию) и фиксируются в узлах квадратной решетки, которая содержит L колонок в горизонтальном направлении.

3.1. Случайное осаждение (RD)

В модели случайного роста (random deposition, RD) все колонки заполняются случайным образом, т.е. рост различных колонок является некоррелированным. После случайного осаждения  частиц вероятность обнаружения колонки с высотой  в осадке можно вычислить с помощью следующего соотношения

,

где величина  соответствует вероятности заполнения произвольной колонки, а  определяет число сочетаний для данного события.

Величина  является функцией распределения высот, что позволяет рассчитать среднюю высоту осадка

,      

и его шероховатость

.   

Здесь учтено определение «компьютерного» времени , а та же соотношение для среднего квадрата высоты осадка

.

В термодинамическом пределе, т.е. для бесконечной системы () из  следует, что

.        (4)

Для модели RD режим насыщения отсутствует и величина а является неопределенной, а показатель роста  равен 0,5.

Для получения аналитического описания поведения случайного роста RD можно использовать также альтернативный подход. Данный подход основан на рассмотрении поведения стохастического дифференциального уравнения, пригодного к описанию модели случайного роста. Он применим только в континуальном приближении для описания поведения поверхности осадка на расстояниях, которые намного превышают размеры постоянной решетки. Стохастическое дифференциальное уравнение для модели RD имеет вид

.      (5)

где  — средняя скорость движения фронта, a  — стохастическая (шумовая) функция.

Стохастическая (шумовая) функция  обладает следующими свойствами:

;

,

где  и  — дельта-функции Дирака,  — размерность пространства а  — некоторая постоянная.

Последнее условие соответствует полному отсутствию корреляций в пространстве и во времени. Стохастический шум такого типа называется белым.

В дальнейшем будет удобно рассматривать рост поверхности в системе координат, движущейся со средней скоростью фронта , в которой  и уравнение (5) можно переписать в виде

.       

Отсюда, интегрируя , можно получить  (одномерное уравнение диффузии Эйнштейна), и следующее соотношение для шероховатости

,     (4')

которое фактически совпадает с ранее полученным соотношением (4)

3.2. Осаждение с поверхностной релаксацией (RDR)

Данная модель является модификацией модели RD. В модели RDR учитывается возможность релаксации частицы в ближайшую левую или правую колонку с более низкой высотой. Учет поверхностной релаксации в модели RDR приводит к сглаживанию высоких «выступов», характерных для нескоррелированной модели RD, что фактически соответствует приближенному учету поверхностного натяжения. Данную модель можно приближенно описать с помощью стохастического дифференциального уравнения Едвардса-Вилкинсона (ЕВ), которое подобно уравнению RD (5). В уравнении ЕВ учитывается слагаемое, соответствующее наличию поверхностного натяжения [6]:

,     (6)

где  — поверхностное натяжение.

Скейлинговые показатели  и  для этой модели можно оценить из условий инвариантности уравнения (6) при растяжении системы в латеральном направлении на величину , т. е. при изменении масштаба . В данном случае из (3) следуют, что время  и высота  перемасштабируются: ;  При этом шумовое слагаемое тоже перемасштабируется: , что следует из того, что  и

Применяя данные масштабные преобразования ко всем слагаемым в уравнении (6), получим

.  

Условие инвариантности (6) и (6') соответствует равенству нулю всех степенных коэффициентов при , откуда вытекает, что , , . В частности, для двумерной модели осаждения (так называемое (1 + 1)-осаждение), , из данных соотношений получим , , .

3.3. Баллистическое осаждение (BD)

Еще одной модификацией модели RD является модель баллистического осаждения (BD). В данной модели частица фиксируется в точке первого контакта с осадком. При осаждении проверяется высота ближайших (левой и правой) колонок. Квадратная частица может прилипать боковой поверхностью к уже существующему осадку [5]. В модели баллистического осаждения учитывается возможность роста вдоль локальной нормали к поверхности. В работе [7] показано, что наличие такого механизма роста должно приводить к появлению дополнительного нелинейного слагаемого в стохастическом уравнении, который пропорционален . Появление данного слагаемого можно понять, проанализировав схему, представленную на рис. 4. Влияние нелинейного слагаемого  может приводить к уширению локальных выступов на поверхности фронта с течением времени, т.е. к усилению роста поверхности в латеральном направлении.

Рис. 4. К выводу уравнения KPZ. За время  фронт, движущийся со скоростью , продвигается на расстояние . При этом смещение поверхности в вертикальном направлении составляет , где  — катет треугольника. Учитывая подобие большого и заштрихованного треугольников, получим . Отсюда, в приближении , следует  или . В системе координат, движущей со скоростью , постоянный член  можно опустить

Обобщенное уравнение RD, в котором учитываться механизмы усиления латерального роста и поверхностного натяжения, получило название уравнения KPZ [7]. Оно обычно записывается в виде

.  (7)

где  — скорость роста вдоль локальной нормали к поверхности.

К сожалению, степенные показатели ,  и  для модели KPZ нельзя оценить, из скейлинговых соображений подобных тем, которые применялись для модели ЕВ. Более сложный анализ, основанный на применении метода ренорм-группы и флуктуационно-дисипационной теоремы к одномерному варианту уравнения (7) (т.е. для модели осаждения (1 + 1)) позволил показать (см., например [4]), что , , .

Таблица 1. Степенные показатели для простейших моделей осаждения

В табл. 1 представлены степенные показатели для рассмотренных выше простейших моделей осаждения

3.4. Смешанные модели

В смешанных моделях предполагается, что осаждаются частицы разных сортов. На рис. 5 представлена модель осаждения для бинарной системы, состоящей из частиц А и С, осаждаемых с вероятностями  и , соответственно.

Рис. 5. Модель осаждения для бинарной системы [8, 9]. Осаждение частиц А (белые квадраты) считается успешным, если они в осадке контактируют с частицами А. Неуспешное осаждение частиц показано зачеркнутым белым квадратом. Частицы С (серые квадраты) могут осаждаться в любом месте. Частицы А после успешного осаждения всегда жестко фиксируются. Частицы С после осаждения могут жестко фиксироваться [8] (а) или быть диффузионно-подвижными (б) [9]

Эта модель представляет некое обобщение модели RD, в которой частицы С могут соответствовать частицам примеси. При  модель строго соответствует модели RD. Вначале осаждаемая линия заполнена частицами А. Осаждение этих частиц считается успешным, если в осадке они контактируют с частицами А. При этом частицы С могут осаждаться в любом месте, и предыдущее условие на них не распространяется. Частицы А после успешного осаждения всегда жестко фиксируются. Частицы С после осаждения могут жестко фиксироваться [8] или быть диффузионно-подвижными [9].

Для модели I (когда частицы С диффузионно-неподвижны) образованные пространственные структуры (паттерны) имеют компактный вид. Временная зависимость ширины фронта для промежуточных времен , где показатель роста  является немонотонной функцией  (относительной доли частиц С). В режиме насыщения величина  зависит от величины  как  [8], где  — некоторая постоянная. Для модели II (когда частицы С диффузионно-подвижны) проявляется поведение, характерное для класса универсальности Эдварса-Вилкинсона, т. е.  и не зависит от . Для этой модели в режиме насыщения наблюдаются немонотонная зависимость  от  [9].

Далее в главе анализируются компьютерные алгоритмы для рассмотренных выше моделей осаждения: случайного (RD), с релаксацией (RDR) и баллистического (BD).


ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В современной литературе проанализированы различные компьютерные модели для описания формирования и роста шероховатых поверхностей [4]. Здесь будут рассмотрены процессы роста осадков для некоторых простейших двумерных (1+1)-моделей осаждения. Во всех моделях предполагается, что частицы случайным образом осаждаются вдоль вертикального направления на ранее сформированный осадок (линию) и фиксируются в узлах квадратной решетки, которая содержит L колонок в горизонтальном направлении.

Для модели I (когда частицы С диффузионно-неподвижны) образованные пространственные структуры (паттерны) имеют компактный вид. Временная зависимость ширины фронта для промежуточных времен , где показатель роста  является немонотонной функцией  (относительной доли частиц С). В режиме насыщения величина  зависит от величины  как  [8], где  — некоторая постоянная. Для модели II (когда частицы С диффузионно-подвижны) проявляется поведение, характерное для класса универсальности Эдварса-Вилкинсона, т. е.  и не зависит от . Для этой модели в режиме насыщения наблюдаются немонотонная зависимость  от  [9].

Далее в главе анализируются компьютерные алгоритмы для рассмотренных выше моделей осаждения: случайного (RD), с релаксацией (RDR) и баллистического (BD).


ЛИТЕРАТУРА

  1.  Булавин Л. А., Сысоев В.М. Физика фазовых переходов. — К.: ВПУ «Ки' евский университет», 2000. — 420 с.
  2.  Паташинский А.З., Покровский В. Л. Флуктуационная теория фазовые переходов. — М.: Наука, 1982. — 382 с.
  3.  Рабинович М. И., Сущик М.М. Регулярная и хаотическая динамика структур в течениях жидкости // Успехи физических наук. — 1990. — Т. 160, №1. - С. 3-64.
  4.  Barabasi A. -L., Stanley Н. Е. Fractal concepts in surface growth. — Cambridge: University Press, 1995. - 392 p.
  5.  Family F. and Vicsek T. Scaling of the active zone in the Eden process on percolation networks and the ballistic deposition model // J. Phys. A. — 1985. - V. 18. - P. L75-L81.
  6.  Edwards S.F. and Wilkinson D R. The surface statistics of a granular aggregate // Proc. R. Soc. London A. - 1982. - V. 381. - P. 17-31.
  7.  Kardar M., Parisi G. and Zhang Y.C. Dynamic scaling of growing interfaces 11 Phys. Rev. Lett. - 1986. - V. 56. - P. 889-892.
  8.  Wang W., Cerdeira H.A. Kinetic growth of randomlike and ballisticlike deposition models // Phys. Rev. E. - 1993. - V. 47. - P. 3357-3361.
  9.  Wang W. Cerdeira H.A. Surface growth of two kinds of particle deposition models 11 Phys. Rev. E. - 1995. - V. 52. - P. 6308-6313.
  10.  Meakin P. Ballistic deposition onto inclined surfaces // Phys. Rev. A. — 1988. - V. 38. - P. 994-1004.
  11.  Nieuwenhuizen J. H. and. Haanstra H. B. Microfractography of thin films // Philips Tech. Rev. - 1966. - V. 27. - P. 87-91.
  12.  Bulavin L.A., Lebovka N. /., Starchenko V. Y., Vygornitskii N. V. Interparti- cle interaction and structure of deposits for competitive model in (2 + 1) dimensions // Physica A. - 2003. - V. 328. - P. 505-512.
  13.  Lebovka N. I., Manna S. S., Tarafdar S. and Vygornitskii N. V. Percolation in deposits for competitive models in (l + l)-dimensions // Physica A. — 2004. — V. 33 - P. 385-391.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

66834. ХВИЛЬОВА І КВАНТОВА ОПТИКА, ФІЗИКА АТОМА, ОСНОВИ КВАНТОВОЇ МЕХАНІКИ, ФІЗИКА АТОМНОГО ЯДРА 351.5 KB
  Матеріал розділів поділено на параграфи. На початку кожного з них подано короткий перелік формул і законів, які стосуються розв'язування задач певної теми. Ці формули дозволяють студентові скласти уявлення про обсяг теоретичного матеріалу, який необхідно опрацювати...
66835. ОСНОВИ КВАНТОВОЇ МЕХАНІКИ. ЯДЕРНА ФІЗИКА 490 KB
  Атом водню за теорією Бора Основні формули Момент імпульсу електрона на стаціонарних орбітах: L = m vn rn = nħ n = 123.1 де m маса електрона rn радіус орбіти vn швидкість електрона на орбіті n головне квантове число ħ постійна Дірака: ħ= h 2 де h постійна Планка. Енергія електрона що знаходиться на nй орбіті...
66837. Построение продольного и поперечного профилей трассы 1.23 MB
  По результатам нивелирования вычисляют высотные отметки точек трассы. Отметки используют для построения продольного и поперечных профилей. В табл. 61 приведены отметки реперов, пикетных точек и точек поперечного створа по трассе, соединяющей Бетонный завод с Песчаным карьером.
66838. Измерительные приборы 658 KB
  Принципиальная схема автоматического уравновешенного моста В измерительную схему входят: R1 R2 и R3 резисторы образующие три плеча мостовой схемы четвертое плечо образовано: Rt сопротивление термометра; Rр сопротивление реохорда; Rш шунт реохорда служащий для подгонки сопротивления...
66840. ОЦЕНКА ВЕРОЯТНОСТИ БАНКРОТСТВА ОРГАНИЗАЦИИ НА ОСНОВЕ НЕЙРОННОЙ СЕТИ 456.5 KB
  Вопросы определения вероятности дефолта и оценки кредитоспособности предприятия являются актуальными как для самого предприятия так и для его основных контрагентов в наибольшей степени для кредитных организаций и всех чье будущее финансовое положение...