88724

Приложения понятия производной и интеграла в механике и в физике

Курсовая

Физика

Применение производной и интеграла актуальна до сих пор, так как без этих понятий многое бы для нас не было известно. Многие физические процессы описываются с помощью производной и интеграла. Эти понятия нам упрощают решения задач физики и не только, например, экономики, заранее зная уже что представляет...

Русский

2015-05-03

2.63 MB

29 чел.

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«Стерлитамакская государственная педагогическая академия им. Зайнаб Биишевой»

Факультет математики и естественных наук

Кафедра математического анализа

Курсовая работа:

«Приложения понятия производной и интеграла в механике и в физике»

                    Выполнила:

студентка группы ФМ-31

                    Давлеткулова И.Н.

                    Научный руководитель:

              к.ф.м.н. Каримов Р.Х.

Стерлитамак 2012

Содержание

Введение ………………………………………………………………………….3

ГлаваI. Понятия производной и интеграла……………………………………4

§1. Понятие прозводной………………………………………………………...4

1.1Производная как мгновенная скорость правила дифференцирования….4

1.2 Ускорение как производная от скорости………………………………….5

§2. Понятие интеграла…………………………………………………………..5

2.1 Восстановление пути по времени. Интеграл………………………………5

2.2Геометрический смысл интеграла и его применение для вычисления площадей и объемов…………………………………………………………….7

ГлаваII. Применение производных и интегралов в механике и в физике…10

§1. Применение производной в механике и в физике………………………..10

1.1 Радиоактивный распад. Дифференциальное уравнение yʹ=ky………….10

1.2 Вытекание воды. Дифференциальное уравнение yʹ=f(y)………………..13

1.3 Реактивное движение . Формула Циолковского…………………………15

§2. Применение интеграла в механике и в физике…………………………...17

2.1Схемы применения определенного интеграла……………………………17

2.2 Вычисление площадей плоских фигур……………………………………19

2.3 Вычисление длины дуги плоской кривой………………………………..24

2.4 Вычисление объема тела…………………………………………………..29

2.5 Вычисление площади поверхности вращения…………………………..31

2.6 Механические приложения определенного интеграла……………………32

Заключение ………………………………………………………………………40

Литература……………………………………………………………………….41

ВВЕДЕНИЕ

Математический анализ в виде дифференциального и интегрального исчислений был создан в XVII веке как инструмент естествознания. Его ошеломляющая эффективность стала очевидна сразу, и с тех пор он прочно вошёл в арсенал учёных и инженеров. Поэтому раннее и быстрое знакомство с этим предметом чрезвычайно полезно для школьников, а также студентов всех специальностей. При этом он должен с самого начала излагаться в связи

с его приложениями в физике и других естественных науках.

В сущности, предмет, о котором идёт речь, — это простейшие дифференциальные уравнения, возникающие в прикладных задачах. Нам необходимо показать , что с помощью них мы сможем более легче понять в механическом и физическом процессах. Нам необходимо выявить нужность именно этих двух понятий как производная и интеграл в задачах производственного типа.

 Применение производной и интеграла актуальна до сих пор, так как без этих понятий многое бы для нас не было известно. Многие физические процессы описываются с помощью производной  и интеграла. Эти понятия нам упрощают решения задач физики и не только, например, экономики, заранее зная уже что представляет собой со стороны математики. Дифференциальное и интегральное исчисление необходимо в нашей жизнедеятельности, в производственной сфере. Оно со стороны математики конкретизирует физику дает мыслить более тщательно и рационально

Целью нашей курсовой работы является нахождение приложений понятия производной и интеграла в механике и физике. Для достижения нами поставленной цело нам  необходимо поставить задачи: 1) изучить необходимую литература и отобрать нужную теорию; 2) дать определение понятиям производна и интеграл; 3) показать их применение в механике, физике ; 4) найти приложения производной и интеграла.

Глава I.  Понятия производной и интеграла

§1. Понятие прозводной

1.1 Производная как мгновенная скорость. Правила дифференцирования

Пусть какое-то тело (материальная точка) движется вдоль прямой (например, вертикальной). Обозначим через z(t)  координату этого тела вдоль данной прямой в момент  времени t. Начало координат на прямой можно выбрать произвольно. Средняя скорость движения на отрезке времени [t, tt] равна

υср(t, t+∆t)=.

Здесь Δt  - любое ненулевое действительное число. Устремляя Δt к 0 при фиксированном t, получим мгновенную скорость в момент времени t, которая в математике называется производной функции   z  по t  и обозначается z’(t), если момент t  произволен или ясно, о каком t идет речь. Таким образом, производная

z'=z'(t)==.

Представляет собой мгновенную скорость движения в момент времени t (отношение пути, пройденного за бесконечно малый промежуток времени, к величине этого промежутка с учетом знаков). Если z'(t)<0, то в момент времени t тело двигалось в сторону уменьшения координаты z.

В дальнейшем при употреблении производной какой-либо функции z(t) подразумевается, что эта производная существует (для функций, встречающихся в физике, это выполняется, как правило, всюду, за исключением, быть может, отдельных значений t). Для конкретных функций существование производных обычно легко устанавливается из правил дифференцирования, но мы не будем  специально следить за этим, чтобы не удлинять изложение.

1.2 Ускорение производная от скорости

Основная причина полезности анализа в механике состоит в том, что скорость – это производная от пройденного пути , а ускорение – производная от скорости. Первое мы уже использовали. Поясним второе. Если точк а движется вдоль прямой и ее скорость в момент времени t равна υ(t), то ускорение в этот же момент равно a(t)=υ'(t)=, так как ускорение равно скорости изменения υ(t). Второй закон Ньютона записывается для материальной точки, движущейся по прямой, в виде ma(t)=F или '(t)=F, где F – сила , которая действует на эту материальную точку. Проще всего иметь дело с силами , зависящими только от скорости. А именно, если F=f(υ), то получим уравнение '(t)=f(υ(t)), или

υ'(t)=f (υ'(t)).

§2. Понятие интеграла

2.1 Восстановление пути по времени. Интеграл

Предположим, что нам задана скорость движения по прямой во все моменты времени, например, запись показаний спидометра автомобиля, и мы хотим восстановить путь , пройденный в каждый момент времени , точнее , координату движущейся точки в любой момент времени. Это значит, что производная z'(t) известна во все моменты времени t € [t1, t2] и потребуется найти z(t) называется неопределенным интегралом функции υ(t), или первообразной функции υ(t).

Насколько однозначно определена функция z(t)? Ясно , что если заменить z(t) на z(t)+C , где С – постоянная , то равенство   υ(t)= z'(t) не изменится. Смысл этого в том , что можно начать движение с любой точки. Если задать точку начала движения z(t1)=z0 , то z(t) определяется однозначно. Это можно увидеть еще таким образом: если z(t1), z(t2) – две такие функции, что z'(t1)= υ(t), z'(t2)= υ(t), то, обозначив z3(t)= z1(t)- z2(t), получим z3'(t)=0, т.е. функция z3(t) задает движение  с нулевой скоростью , откуда соответствующая точка стоит на месте, т.е. z3(t)=С , z1(t)= z2(t)+С.

Определенный интеграл. Пусть задана скорость движения υ(t) и a,b[t1, t2] , где [t1, t2] – отрезок времени, на котором рассматривается движение. Перемещение точки за время от t=a до t=b называется интегралом функции υ(t)  по отрезку [a,b] (или определенным интегралом) и обозначается  (смысл этого обозначения мы выясним ниже). Если z(t) – первообразная для функции υ(t) , то ясно, что данное перемещение равно z(b)-z(a), откуда

Эта формула называется формулой  Ньютона-Лейбница. Можно записать наоборот функцию z(t) – через определенный интеграл.

Для этого под знаком интеграла обозначим переменную t другой буквой (это не играет роли , так как результат зависит только от a и  b, но не от t). Вообще переменная, по которой происходит интегрирование (t в интеграле, написанном выше), называется переменной  интегрирования a и  b. Поэтому формула Ньютона-Лейбница может быть записана в виде  

Примем  b=t и получим   или эта формула дает запись первообразной функции в виде определенного интеграла с переменными верхним индексом. Из нее следует, что

,

т.е. производная от интеграла по переменному верхнему пределу равна значению подынтегральной функции на этом пределе.

Примеры нахождения первообразных и интегралов. Операция нахождения первообразных (или неопределенных интегралов) обратна нахождению производной. Неопределенный интеграл функции υ(t) обычно обозначается  ∫υ(t)dt .

Если z(t) – какая-то первообразная для υ(t) , то ∫υ(t)dt=z(t)+C,

где С – произвольная постоянная. Зная таблицу производных, можно найти некоторые первообразны и интегралы. Например: (tn)'=ntn-1 → ∫tn-1dt=tn+C (при n≠0), или tndt=tn+1+C (при n≠-1), (ln t)'=  (при t>0) → ∫=lnt+C(при t>0)

→∫dt+C ,

(sint)'=cost→∫costdt=sint+C,

(cost)'=-sint→∫sintdt=-cost+C

Если заданы υ(t)=υ1(t)±υ2(t),то первообразная z(t) может быть найдена по формуле z(t)=z1(tz2(t), где z1(t), z2(t) – первообразные для υ1(t),υ2(t).

2.2 Геометрический смысл интеграла и его применение для вычисления площадей и объемов

Нарисуем график скорости υ(t) и попробуем понять , как по нему восстановить перемещение z(t). Пусть сначала υ(t)=υ0=const. Тогда за время от t1 до t2 проходится путь z(t2)-z(t1)= υ0(t2-t1). Этот путь равен площади под графиком υ, лежащей между вертикальными прямыми t=t1 и t=t2 (рис.1), так как получается прямоугольник высотой υ0 и основанием t2-t1 . Оказывается, то же самое верно и в общем случае, т.е. перемещение

рис.1рис.2

равно площади по графиком υ(t) между вертикальными прямыми t=a и t=b (рис.2). По этой причине возникло обозначение интеграла через (это вытянутая буква S). Для доказательства нужно разбить отрезок [a, b] на маленькие части точками t1,t2,…tn-1: a<t1<t2<…<t2<b. Примем для удобства t0=a, tn=b. Тогда площадь S, о которой идет речь, с любой точностью можно заменить на сумму площадей прямоугольников [t0, t1], [t1, t2], … ,[tn-1, tn] и с высотами υ(t0),  υ(t1), …, υ(tn-1) (рис.3) т.е. получаем

(это сокращенное обозначение левой части). Более точная запись:

где Δtk=tk+1-tk. Можно, например, брать разбиение отрезка [a, b] на n  равных частей, так что

и тогда условие перехода  к пределу состоит просто в том, что

   

Но, с другой стороны, точно также находить путь , пройденный в промежутке от a до b, так как на маленьких участках [tk, tk+1] скорость можно считать постоянной . Итак,

Отметим соглашение о знаке площади: если кусок площади лежит под осью абцисс, то его знак считается отрицательным, так как в этом случае Δtk>0, а υ(tk)<0.

рис.3

ГлаваII. Применение производных и интегралов в механике и в физике

§1. Применение производной в механике и в физике

  1.   Радиоактивный распад. Дифференциальное уравнение yʹ=ky

Основной закон радиоактивного распада состоит в том, что отношение числа распавшихся за любой фиксированный малый промежуток времени атомов к общему числу атомов, имевшихся в начале этого промежутка времени, не зависит от общего числа атомов (если считать это общее число большим). Причина этого состоит в том, что радиоактивный распад означает распад ядер, а ядра не взаимодействуют друг с другом при обычном состоянии вещества, взаимодействуют лишь электронные оболочки. Поэтому вероятность распада данного атома не зависит от того, сколько имеется атомов. Ясно также, что количество атомов, распавшихся за малый промежуток времени Δt, пропорционально Δt.

Обозначим массу нераспавшегося вещества в момент времени t через y(t). За время Δt распадается y(t)−y(t+Δt) вещества. Основной закон радиоактивного распада можно записать так:

где равенство тем точнее, чем меньше Δt. Здесь коэффициент k постоянен и характеризует данное вещество: он равен вероятности распада индивидуального атома за единицу времени, при условии, что эта единица выбрана достаточно малой (по сравнению, например, с введённым ниже периодом полураспада). Найденное соотношение можно, поделив на −Δt и умножив на y(t), переписать в виде

Поскольку точность этого равенства растёт при Δt→0, переходя к пределу, мы получим точное равенство

y(t)=−ky(t), (1)

представляющее собой дифференциальное уравнение радиоактивного распада. Можно ещё произвольно задать исходное количество вещества

y(0)=y0, (2)

что представляет собой начальное условие для уравнения (1). Если окажется, что уравнение (1) с условием (2) имеет единственное решение, то можно считать, что оно правильно описывает рассматриваемый процесс. Решим уравнение (1) с начальным условием y(0)=y0>0. На некотором интервале [0, t0] будет y(t)>0. Разделив уравнение (1) на y(t), получим

В силу правила дифференцирования сложной функции и формулы (ln x)ʹ=1/x можно переписать это уравнение в виде (ln y(t))ʹ=−(kt)ʹ. Поскольку две первообразные одной функции  отличаются на постоянную, получаем lny(t)=−kt+C1, или , где C>0. Отсюда видно, что эта формула применима при всех t, так как наше рассуждение проходит всегда, пока y(t)>0. Подставляя t=0, находим C=y0 и окончательно

y(t)=y0e−kt. (3)

Таким образом, единственное решение уравнения (1) с начальным условием (2) имеет вид (3), если y0>0. Если y0<0, то можно вместо y(t) рассмотреть функцию −y(t), которая удовлетворяет тому же уравнению с начальным условием (−y0). Отсюда вновь получается формула (3).

Остаётся рассмотреть случай y0=0. В физической задаче в этом

случае y(t)≡0 (если не было никакого вещества, то ничего и не останется). Однако математическая задача о решении уравнения (1) с начальным условием (2), где y0=0, в принципе могла бы иметьрешение y(t)≠0. Можно доказать, что такого решения нет. Приведём такое доказательство, а в дальнейшем будем опускать математические подробности, если в данной физической задаче всё ясно.

Запишем y(t) в виде y(t)=z(t)e−kt. Видимо, должно оказаться тогда, что z(t)=const. Запись такого вида означает, что мы просто ввели новую неизвестную функцию z(t)=y(t)ekt. Подставим y=ze−kt в уравнение (1). Тогда получим, пользуясь формулой дифференцирования произведения, zʹe−kt+(−k)ze−kt=−kze−kt. Отсюда zʹe−kt=0 и zʹ=0, т. е. z=C=const, а это означает, что y(t)=Ce−kt. В частности, если y(0)=y0=0, то y(t)≡0. Заодно мы доказали и единственность решения уравнения (1) с начальным условием (2), хотя при y0≠0 это было ясно и раньше. Выясним смысл коэффициента k, теперь уже исходя из полученных формул. Для этого введём период полураспада T, характеризующий радиоактивный распад вещества и равный времени, за которое распадается половина вещества, имевшегося вначале. Получим y0e−kT=y0/2 или ekT=2, откуда T, или . Формула для решения приобретает вид

Итак, y(t)=y02−t/T, где T — период полураспада.

Заметим, что ln 2 легко находится, если принять во внимание, что log10 2≈0,3010,  log10 e≈0,4343, откуда

Укажем наиболее важные периоды полураспада: TU=4,5×109 лет — это величина периода полураспада наиболее распространённого изотопа урана 238U; TRa=1600 лет. Для радиоактивного изотопа углерода 14C период полураспада T14C=5700 лет . Этот изотоп используется для определения возраста ископаемых организмов так называемым радиоуглеродным методом, основанным на том, что изотоп 14C попадает в организм лишь во время его жизни, а после смерти организма просто распадается в соответствии с законом радиоактивного распада. Сравнивая количество изотопов 14C в живом организме с его количеством в изучаемом ископаемом образце, можно определить возраст ископаемого образца.

1.2 Вытекание воды. Дифференциальное уравнение yʹ=f(y)

Экспериментальный факт состоит в том, что скорость вытекания воды через небольшое отверствие равна , где g=9,8 м/с2 — ускорение свободного падения, h — высота уровня воды над отверстием (рис. ). Заметим, что v=v(h) является функцией от h, значит, по мере вытекания воды скорость вытекания уменьшается. Если попытаться вывести формулу для v из закона сохранения энергии, то получим . Коэффициент 0,6 связан с наличием вязкости.

Составим дифференциальное уравнение вытекания воды. Пусть S(h) — площадь сечения сосуда на высоте h над отверстием, а высота h=h(t) есть функция времени, описывающая вытекание. За время от t до t+Δt высота изменится на величину Δh=h(t+Δt)−h(t) (которая отрицательна!), а объём ΔV вытекшей жидкости если s — площадь сечения отверстия, через которое вытекает вода, то ясно, что ΔV≈v(h) s Δt, так как за время Δt вытекает вода того же объёма, что и цилиндр сечения s и высоты v Δt. Точность  обеих формул для ΔV возрастает с уменьшением Δt. Приравнивая найденные выражения для ΔV, получим −S(h) Δh≈v(h) s Δt. Деля на Δt и переходя к пределу при Δt→0, мы приходим к формуле −S(h)hʹ_=sv(h) или

Решим, например, такую конкретную задачу: за какое время вытечет вся вода из цилиндрического бака высотой 2 м и диаметром основания 1 м через отверстие в дне диаметром 1 см (рис. 20)? Здесь S(h)=π・(0,5)2=const (в качестве единицы возьмём метр) или (пока без чисел) S(h)=πR2, R — радиус основания бака, R=0,5 м; s=πr2 — площадь отверстия, r — радиус отверстия, r=0,005 м, , откуда получаем

Решение этого уравнения аналогично решению уравнения радиоактивного распада. Поделим обе части на . Получим

или, по формуле дифференцирования сложной функции,

откуда

Теперь определим С. Для этого воспользуемся условием h(0)=H, где H=2м- высота бака. Отсюда

В итоге получим

Момент вытекания всей воды характеризуется тем, что h=0

откуда время T вытекания всей воды можно найти из уравнения

Вычисления проведены с одной значащей цифрой, так как имен но с такой точностью даны все данные задачи. При решении с такой точностью легко обойтись без всяких вычислительных средств и целесообразно научиться делать это, чтобы в более сложных случаях уметь делать грубую прикидку ответа.

Выше решено дифференциальное уравнение ,  где a- постоянная. Более общее уравнение yʹ=f(y) решается аналогично: его решение выражается там, где f(y)≠0. А именно, запишем его в виде  Если G(y)- первообразная функции , т.е.

 , то по правилу дифференцирования сложной функции получаем (G(y(t)))ʹ=(t)ʹ, откуда G(y(t))=t+C. Из уравнения G(y)=t+C можно найти y как функцию от t.

1.3 Реактивное движение. Формула Циолковского

Рассмотрим движение ракеты в космосе. Сначала пренебрежём всеми внешними силами, действующими на ракету. Основными параметрами, характеризующими ракету и её двигатель, являются: u0 — скорость ис течения газов из сопла ракеты относительно корпуса ракеты, для простоты считаем её постоянной, она зависит от вида применяемого топлива и составляет 2 км/с для пороха и около 4 км/с для жидкого топлива; M0 — исходная кажется по прямой линии. Пусть z(t) — координата ракеты (вдоль этой прямой) в момент времени t; v(t)=zʹ(t) — скорость ракеты в момент времени t; m(t) — масса ракеты в момент времени t (эта масса уменьшается по мере сгорания горючего). Воспользуемся законом сохранения импульса (количества движения). При этом удобно ввести мгновенную систему координат, связанную с летящей ракетой (точнее, равномерно движущуюся с той скоростью, с которой ракета движется в момент времени t). В этой системе координат скорость ракеты (и имеющегося в ней топлива) в мо-

мент времени t равна нулю. Рассмотрим момент времени t+Δt в этой же системе координат. Предположим, что за это время в ракете сгорело и вылетело из неё топливо массой −Δm=m(t)−m(t+Δt). Скорость самой ракеты (с остатками топлива увеличилась на Δv=v(t+Δt)−v(t) и в рассматриваемой системе координат стала равной Δv, в то время как скорость вылетевшего топлива равна −u0 (с учётом направления). Суммарный импульс в момент  t+Δt примерно равен −Δm(−u0)+mΔv с точностью, растущей с уменьшением Δt (здесь неточность связана с тем, что со временем меняется масса m=m(t)

и, кроме того, скорость вылета горючего в рассматриваемой системе координат будет равна u0 лишь в момент времени t, так как дальше сама ракета начнёт двигаться). Приравнивая суммарный импульс к нулю, получим 0≈−Δm(−u0)+mΔv.

Деля обе части на Δt и переходя к пределу при Δt→0, получим точное равенство 0=mʹ(t)u0+m(t) vʹ(t), откуда vʹ(t)=−u0m(t)ʹ/m(t), или vʹ(t)=(−u0lnm(t))ʹ. Отсюда

v(t)=−u0 ln m(t)+C.

Для нахождения C положим t=0 и будем считать, что v(0)=0, т. е. ракета движется без начальной скорости. Тогда получим m(0)=M0, и уравнение при t=0 примет вид 0=−u0 ln M0+C, т. е. C=u0 ln M0. Поэтому формула для v приобретает вид

v(t)=−u0 ln m(t)+u0 ln M0=u0 ln(M0/m(t)).

В момент, когда всё топливо израсходовано, получим m(t)=Mк,

v=u0 ln(M0/Mк).

Эта формула называется формулой Циолковского. Основной вывод из этой формулы: ракета может достичь скорости, большей, чем скорость истечения газов из сопла, хотя для этого отношение массы M0 ракеты с топливом к массе ракеты без топлива Mк должно быть очень велико. Для увеличения отношения M0/Mк на разных этапах полёта ракеты делают многоступенчатыми.

Проанализируем, какая сила тяги действует на летящую ракету вследствие выхлопа газов из сопла. Из формулы, полученной выше, находим

mvʹ(t)=−u0mʹ(t).

Положим μ=μ(t)=−mʹ(t), так что μ — расход топлива. Из формулы видно, что если положить u0μ=Fт, то уравнение примет вид второго закона Ньютона:

mvʹ(t)=Fт, поэтому Fт можно считать силой тяги двигателя, ибо она создаёт ускорение ракеты так, как если бы она была внешней  силой. Опишем теперь движение ракеты с учётом других действующих на неё сил. Рассмотрим, например, ракету, стартующую вертикально с поверхности Земли. В этом случае следует учесть силу тяжести. Уравнение приобретает вид

mvʹ(t)=Fт−mg=−u0mʹ(t)−mg=u0μ−mg

(положительным считается направление вверх). Чтобы ракета оторвалась от Земли, необходимо выполнение условия u0μ0−M0g>0, где μ0=μ(0) — расход топлива в начальный момент времени. Это, в частности, ограничивает массу

Далее, деля уравнение на m(t),  получим

Или (v(t))ʹ=(-u0 ln m)ʹ+(-gt)ʹ= (-u0 ln m-gt)ʹ, откуда

При t=0 имеем v=0 и m=M0, откуда C=u0 ln M0, и в итоге

Если полёт продолжался в течение времени T и масса ракеты в конце полёта оказалась равной Mк, то получим следующую скорость в конце полёта:

Здесь мы не учитывали изменения силы тяжести в зависимости

от высоты. При расчёте космических полётов это приходится учи-

тывать на ряду с сопротивлением воздуха и многоступенчатостью ракеты.

§2. Применение интеграла в механике и в физике

2.1 Схемы применения определенного интеграла

Пусть требуется найти значение какой-либо геометрической или физической величины А (площадь фигуры, объем тела, давление жидкости на вертикальную пластину и т. д.), связанной с отрезком [а; b] изменения независимой переменной х. Предполагается, что эта величина А аддитивна, т. е. такая, что при разбиении отрезка [а; b] точкой с ϵ (а; b) на части [а; с] и [с; b] значение величины А, соответствующее всему отрезку [а; b], равно сумме ее значений, соответствующих ; с] и [с;b].

Для нахождения этой величины А можно руководствоваться одной из двух схем: I схема (или метод интегральных сумм) и II схема (или метод дифференциала).

Первая схема ·базируется на определении определенного интеграла.

1. Точками х0= а, x1,.. ,xn = b разбить отрезок [а; b] на n частей. В соответствии с этим, интересующая нас величина А разобьется на n «элементарных слагаемых» ΔAi(i=1,…,n): AA1+ ΔA2+…+ΔAn.

2. Представить каждое «элементарное слагаемое» в виде произведения некоторой функции (определяемой из условия задачи), вычисленной в произвольной точке соответствующего отрезка на его длину: ΔAif(cixi

При нахождении приближенного значения ΔА; допустимы некоторые упрощения: дугу на малом участке можно заменить хордой, стягивающей ее концы; переменную скорость на малом участке можно приближенно считать постоянной и т. д.

Получим приближенное значение величины А в виде интегральной суммы :

Af(c1x1+…+ f(cnxn=(ci)

З. Искомая величина А равна пределу интегральной суммы, т.е.

i) Δxi=.

Указанный «метод сумм», как видим, основан на представлении интеграла как о сумме бесконечно большого числа бесконечно малых слагаемых.

Схема I была применена для выяснения геометрического и физического смысла определенного интеграла .

Вторая схема представляет собой несколько видоизмененную схему I называется «метод дифференциала» или «метод отбрасывания бесконечно малых высших порядков»:

1) на отрезке [а;b] выбираем произвольное значение х и рассматриваем переменный отрезок [а; х]. На этом отрезке величина А становится функцией х: А = А(х), т. е. считаем, что часть искомой величины А есть неизвестная функция А(х), где х ϵ [а; b] - один из параметров величины А;

2) находим главную часть приращения ΔА при изменении х на малую величину Δх = dx, т. е. находим дифференциал dA функции А = А(х): dA= =f(x)dx, где f(x), определяемая из условия задачи, функция переменной х (здесь также возможны различные упрощения);

3) считая, что dA≈ ΔА при Δх→ 0, находим искомую величину путем интегрирования dA в пределах от а до b:

2.2 Вычисление площадей плоских фигур

Прямоугольные координаты

Как уже было установлено (см. «геометрический смысл определенного интеграла»), площадь криволинейной трапеции, расположенной «выше» оси абсцисс (f(x)≥0), равна соответствующему определенному интегралу:

                                                      или                                 (1)

Формула (1) получена путем применения схемы I – метода сумм. Обоснуем формулу (1), используя схему II. Пусть криволинейная трапеция ограничена линиями у = f(x)≥0, х = а, х = b, y=0 (см. рис. 1). Для нахождения площади S этой трапеции проделаем следующие операции:

                       Рис.1

1. Возьмем произвольное х ϵ [а; b] и будем считать, что S=S(х).

2. Дадим аргументу х приращение Δх = =dx (х + Δх ϵ [а; b]). Функция S =S(х) получит приращение ΔS, представляющее собой площадь «элементарной криволинейной трапеции» (на рисунке она выделена). Дифференциал площади dS главная часть приращения ΔS при Δx→0, и, очевидно, он ра

вен площади прямоугольника с основанием dx и высотой y: dS=y*dx.

3. Интегрируя полученное равенство в пределах от х = а до х = b, получаем

Отметим, что если криволинейная трапеция расположена «ниже» оси Ох (f(х) < 0), то ее площадь может быть найдена по формуле

Формулы (1) и (2) можно объединить в одну:

Площадь фигуры, ограниченной кривыми y=f1(x) и y=f2(x), прямыми x=a и x=b (при условии f2(x)≥ f1(x)( (см.рис.2), можно найти по формуле

21=2f1(x))dx.

Если плоская фигура имеет «сложную»  форму (см. рис.3), то прямыми, параллельными оси Оу, ее следует разбить на части так, чтобы можно было бы применить уже известные формулы.

 

                        рис.3                                   рис.4

Если криволинейная трапеция ограничена прямыми у = с и у = d, осью Оу и непрерывной кривой х =φ(x) (см. рис.4), то ее площадь находится по формуле

И, наконец, если криволинейная трапеция ограничена кривой, заданной параметрически

t ϵ[α, β]

прямыми х = а и х = b и осью Ох, то площадь ее находится по формуле

                               рис.5                                                                    рис.6

Пример1. Найти площадь фигуры, ограниченной осью Ох и графиком функции у = х2 - 2х при х ϵ [0; 3].

Решение: Фигура имеет вид, изображенный на рисунке 5. Находимее площадь S:

Пример2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной эллипсом х = acost, у =bsint.

Решение: Найдем сначала   площади S. Здесь х изменяется от 0

до а, следовательно, t изменяется от  до 0 (см. рис.6). Находим:

Таким образом,

 . Значит, S ab.

Полярные координаты

Найдем площадь криволинейного сектора , т. е. плоской фигуры,

ограниченной непрерывной линией r = r( φ) и двумя лучами φ =α и φ =β

(α<β),где r и φ- полярные координаты (см. рис.7). Для решения задачи используем схему II – метод дифференциала.

1. Будем считать часть искомой площади S как функцию угла φ, т. е. S= =S(φ), где αφβ (если φ= α, то S(α)=0, если φ=β, то S(β)=S).

2. Если текущий полярный угол φ получит приращение Δφ= dφ,

то приращение площади ΔS равно площади «элементарного криволинейного сектора» ОАВ.

Дифференциал dS представляет собой главную часть приращения

при ΔS dφ→0 и равен площади кругового сектора ОАС (на рисунке

она заштрихована) радиуса r с центральным углом dφ. Поэтому

3. Интегрируя полученное равенство в пределах от φ =α до φ = β, получим искомую площадь

рис.7                              рис.8

Пример3. Найти площадь фигуры, ограниченной «трехлепестковой розой» r=а cos 3φ (см. рис.8).

Решение: Найдем сначала площадь половины одного лепестка «розы», т. е.   часть всей площади фигуры:

Следовательно, S= .

2.3 Вычисление дуги плоской кривой

Прямоугольные координаты

Пусть в прямоугольных координатах дана плоская кривая АВ, уравнение которой у=f(x), где а≤ х≤b.

Под длиной дуги АВ понимается предел, к которому стремится длина ломаной линии, вписанной в эту дугу, когда число звеньев ломаной неограниченно возрастает, а длина наибольшего звена ее стремится к нулю.

Покажем, что если функция у= f(x) и ее производная у'=f(х) непрерывны на отрезке [а; b], то кривая АВ имеет длину, равную

Применим схему I (метод сумм).

1.Точками х0, xn=b (x0<…<xn) разобьем отрезок [а; b] на n частей (см.рис.9). пусть этим точкам соотетствуют точки М0=A,…,Mn=B на кривой AB. Проведем хорды М0М1,…,Мn-1Мn, длины которых оюозначим соответственно через ΔL1,…, ΔLn. Получим ломаную М0М1 Мn-1Мn, длина которой равна

рис.9

2. Длину хорды (или звена ломаной) ΔLi  можно найти по теореме Пифагора из треугольника с катетами Δxi и Δyi:

где  Δxi=xi-xi-1, Δyi=f(xi)-f(xi-1)По теореме Лагранжа о конечном приращении функции Δyi=fʹ(cixi, где ciϵ(xi-1, xi). Поэтому

 

а длина всей ломаной М0М1 Мn-1Мn равна

3. Длина l кривой АВ, по определению, равна

Заметим, что при ΔLi→0 также и Δxi→0. Функция  непрерывна на отрезке [а; b], так как, по условию, непрерывна функция fʹ(x). Следовательно, существует предел интегральной суммы (4), когда maxΔxi→0:

Таким образом,

в сокращенной записи

Если уравнение кривой АВ задано в параметрической форме

 αtβ,

где x(t) и y(t) - непрерывные функции с непрерывными производными и      х( ) = а, х(β) = b , то длина l кривой АВ находится по формуле

Формула (5) может быть получена из формулы (3) подстановкой

х = x(t), dx = xʹ(t) dt,

Пример 4. Найти длину окружности радиуса R.

Решение: Найдем  часть ее длины от точки (0; R) до точки (R; 0) (см рис .10). Так как , то

         рис.10

Значит, l = 2πR. Если уравнение окружности записать в параметрическом виде х = R cos t, y = R sin t (0 ≤ t ≤ 2π), то

Вычисление длины дуги может быть основано на применении метода

дифференциала. Покажем, как можно получить формулу (3),

применив схему II (метод дифференциала).

1. Возьмем произвольное значение х ϵ [а; b] и рассмотрим переменный отрезок [а; х]. На нем величина l становится функцией от х, т. е.

l = l(x) (l(a) = 0 и l(b) = l).

2. Находим дифференциал dl функции l = l(x) при изменении х на малую величину Δх = dx: dl = l'(x) dx. Найдем l'(x), заменяя бесконечно малую дугу ᵕМN хордой Δl, стягивающей эту дугу (см. рис. 11):

Стало быть,  

3. Интегрируя dl в пределах от а до b, получаем

Равенство называется формулой дифференциала дуги в прямоугольных координатах.

Последняя формула представляет собой теорему Пифагора для бесконечно малого треугольника МСТ (см.рис.12)

                                     рис.11                                                   рис.12

Полярные координаты.

Пусть кривая АВ задана уравнением в полярных координатах r = r(φ), α ≤ φ ≤β . Предположим, что r(φ) и r'(φ) непрерывны на отрезке [α, β].

Если в равенствах х = r cos φ, y= r sin φ, связывающих полярные и декартовы координаты, параметром считать угол φ, то кривую АВ можно задать параметрически  

Тогда

 

Поэтому

Применяя формулу (5), получаем

              рис.13                                                                                рис.14

Пример 5. Найти длину кардиода r=a(1+cos φ).

Решение: Кардиода  r=a(1+cos φ) имеет вид, изображенный на рисунке 13. Она симметрична относительно полярной оси . Найдем половину длины кардиоды:

Таким образом,  . Значит, l=8a.

2.4 Вычисление объема тела

Вычисление объема тела по известным площадям параллельных сечений

Пусть требуется найти объем V тела, причем известны площади S сечений этого тела плоскостями, перпендикулярными некоторой оси, например оси Ох: S = S(x), а ≤ х ≤ b.

Применим схему II (метод дифференциала).

1. Через произвольную точку x ϵ [а; b] проведем плоскость П, перпендикулярную оси Ох (см. рис. 14). Обозначим через S(x) площадь

сечения тела этой плоскостью; S(x) считаем известной и непрерывно изменяющейся при изменении х . Через v(x) обозначим объем части тела, лежащее левее плоскости П. Будем считать, что на отрезке [а; х] величина v есть функция от x, т. е. v = v(x) (v(a) = О, v(b) = V).

2. Находим дифференциал dV функции v = v(x). Он представляет собой «элементарный слой» тела, заключенный между параллельными плоскостями, пересекающими ось Ох в точках х и x+Δx, который приближенно может быть принят за цилиндр с основанием S(x) и высотой dx. Поэтому дифференциал объема dV = S(x) dx.

3. Находим искомую величину V путем интегрирования dA в пределах

от а до b:

Полученная формула называется формулой объема тела по площади nараллельных  сечений.

Пример 6. Найти объем эллипсоида  

Решение: Рассекая эллипсоид плоскостью, параллельной плоскости Oyz и на расстоянии х от нее (-а ≤ х ≤ а), получим эллипс (см. рис. 15):

Рис.15                                     рис.16                                                  рис.17

Площадь этого эллипса равна  Поэтому, по формуле (6), имеем

Объем тела вращения

Пусть вокруг оси Ох вращается криволинейная трапеция, ограниченная непрерывной линией у = f(x) ≥ 0, отрезком (-а ≤ х ≤ b) и прямыми х = а и х = b (см . рис .16). Полученная от вращения фигура называется телом вращения. Сечение этого тела плоскостью, перпендикулярной оси Ох, проведенной через произвольную точку х оси Ох (х ϵ [а;b]), есть круг с радиусом у = f(x). Следовательно, S(x) = πy2.

Применяя формулу (6) объема тела по площади параллельных сечений, получаем

Если криволинейная трапеция ограничена графиком непрерывной

Функции x = φ(у) ≥ 0 и прямыми х = 0, y = с, у = d (с < d), то объем тела, образованного вращением этой трапеции вокруг оси Оу, по аналогии с формулой (7), равен

Пример 7. Найти объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линиями  , x=0,   вокруг оси Oy (см. рис. 17).

Решение: По формуле (8) находим:

2.5 Вычисление площади поверхности вращения

Пусть кривая АВ является графиком функции у = f(x) ≥ , где х ϵ [а ; b], а функция у = f(x) и ее производная у' = f'(x) непрерывны на этом отрезке . Найдем площадь S поверхности, образованной вращением кривой АВ вокруг оси Ох.

Применим схему II (метод дифференциала).

         рис.18

1. Через произвольную точку х ϵ [а; b] проведем плоскость П, перпендикулярную оси Ох. Плоскость П пересекает поверхность вращения

по окружности с радиусом у = f(x) (см. рис. 18). Величина S поверхности части фигуры вращения, лежащей левее плоскости, является

функцией от x, т. е. s = s(x) (s(a) = 0 и s(b) = S).

2. Дадим аргументу х приращение Δx = dx. Через точку х + dx ϵ [а; b] также проведем плоскость, перпендикулярную оси Ох. Функция s = s(x) получит приращение Δs, изображенного на рисунке в виде «пояска».

Найдем дифференциал площади ds, заменяя образованную между сечениями фигуру усеченным конусом, образующая которого равна dl, а радиусы оснований равны у и у + dy. Площадь его боковой поверхности рaвна ds = π(y+y+dy)dl=ydl+πdydl. Отбрасывая произведение dy dl как бесконечно малую высшего порядка, чем ds, получаем dl=2πydl , или, так как   

3. Интегрируя полученное равенство в пределах от х = а до х = b, получаем

Если кривая АВ задана параметрическими уравнениями х =  x(t), у= y(t),  t1tt2, то формула (9) для площади поверхности вращения принимает вид

Пример 8. Найти площадь поверхности шара радиуса R.

Решение: Можно считать, что поверхность шара образована вращением полуокружности  , -RxR, вокруг оси Ох. По формуле (9) находим

2.6 Механические приложения определенного

интеграла

Работа переменной силы

Пусть материальная точка М перемещается вдоль оси Ох под действием переменной силы F = F(х) , направленной параллельно этой оси. Работа, произведенная силой при перемещении точки М из положения х = а в положение х = b (а < b), находится по формуле

Пример .10. Какую работу нужно затратить, чтобы растянуть

пружину на 0,05 м, если сила 100 Н растягивает пружину на 0,01 м?

Решение : По закону Гука упругая сила, растягивающая пружину,

пропорциональна этому растяжению х, т. е . F = kx, где k – коэффициент пропорциональности. Согласно условию задачи, сила  F = 100 Н растягивает пружину на х = 0,01 м; следовательно, 100 = k·0,01, откуда k = 10000; следовательно, F = 10000х.

Искомая работа на основании формулы (10) равна 0,05 м

Путь пройденный телом.

Пусть материальная точка перемещается по прямой с переменной

скоростью v = v(t). Найдем путь S, пройденный ею за промежуток

времени от t1 до t2 .

Решение: Из физического смысла производной известно, что при движении точки в одном направлении «скорость прямолинейного движения равна производной от пути по времени», т. е.  Отсюда

следует, что dS = v(t) dt. Интегрируя полученное равенство в пределах от t1 до t2, получаем

Отметим, что эту же формулу можно получить, пользуясь схемой

I или II применения определенного интеграла.

Пример 12. Найти путь, пройденный телом за 4 секунды от

начала движения, если скорость тела v(t) = 10t + 2 (м/с).

Решение: Если v(t) = 10t + 2 (м/с), то путь, пройденный телом от начала движения (t = 0) до конца 4-й секунды, равен

Давление жидкости на вертикальную пластинку

По закону Паскаля давление жидкости на горизонтальную пластину

равно весу столба этой жидкости, имеющего основанием пластинку,

а высотой - глубину ее погружения от свободной поверхности жидкости,

т. е. P=gγSh, где g - ускорение свободного падения, γ - плотность жидкости, S - площадь пластинки, h - глубина ее погружения.

По этой формуле нельзя искать давление жидкости на вертикально

погруженную пластинку, так как ее разные точки лежат на разных глубинах.

Пусть в жидкость погружена вертикально пластина, ограниченная

линиями х = а, х = b, y1= f1(х) и y2 = f2(x); система координат выбрана так, как указано на рисунке 19. Для нахождения давления Р жидкости на эту пластину применим схему II (метод дифференциала).

                                    рис.19                                                    рис.20

1. Пусть часть искомой величины Р есть функция от х: р = р(х), т. е. р = р(х) - давление на часть пластины, соответствующее отрезку [а; х] значений переменной х, где х ϵ [а; b] (р(а) = 0, р(b) = Р).

2. Дадим аргументу х приращение Δх = dx. Функция р(х) получит приращение  Δр (на рисунке - полоска-слой толщины dx). Найдем дифференциал dp этой функции . Ввиду малости dx будем приближенно считать полоску прямоугольником, все точки, которого находятся на одной глубине х, т. е. пластинка эта – горизантальная.

Тогда по закону Паскаля  dp=(y2-y1)dxx

3. Интегрируя полученное равенство в пределах от х = а до х = b,

Получим

Пример 12. Определить величину давления воды на полукруг, вертикально погруженный в жидкость, если его радиус R, а центр О находится на свободной поверхности воды (см. рис. 20).

Решение: Воспользуемся полученной формулой для нахождения давления жидкости на вертикальную пластинку. В данном случае пластинка

ограничена линиями ,, x=0, x=R. Поэтому

Вычисление статических моментов и координат центра тяжести

плоской кривой

Пусть на плоскости Оху задана система материальных точек M1(x1;y1),…,Mn(xn;yn) соответственно с массами ml,…,mn ·

Статистическим моментом Sx системы материальных точек относительно оси Ох называется сумма произведений масс этих точек на их ординаты (т. е. на расстояния этих точек от оси Ох):

Аналогично определяется статистический  момент Sy этой системы относительно оси Оу:

Если массы распределены непрерывным образом вдоль некоторой

кривой, то для выражения статического момента понадобится интегрирование.

Пусть у = f (х) (а ≤ х ≤ b) - это уравнение материальной кривой АВ. Будем считать ее однородной с постоянной линейной плотностью γ (γ = const).

Для произвольного х ϵ [а; b] на кривой АВ найдется точка с координатами (х; у). Выделим на кривой элементарный участок длины dl, содержащий точку (х; у). Тогда масса этого участка равна, dl. Примем этот участок dl приближенно за точку, отстоящую от оси Ох на расстоянии у. Тогда дифференциал статического момента dSx ( «элементарный момент») будет равен γdl у, т. е   (см. рис.21)

Отсюда следует, что статический момент Sx кривой АВ относительно

оси Ох равен

Аналогично находим Sy:

Статические моменты Sx и Sy кривой позволяют легко установить положение ее центра тяжести (центра масс).

Центром тяжести материальной плоской кривой у = f(x), х ϵ [а; b] называется точка плоскости, обладающая следующим свойством: если в этой точке сосредоточить всю массу m заданной кривой, то статический момент этой точки относительно любой координатной оси будет равен статическому моменту всей кривой у = f(x) относительно той же оси. Обозначим через Cс ; yс) центр тяжести кривой АВ.

Из определения центра тяжести следуют равенства  mс = Sx и

m*yс = Sx или γlxc=Sy и γlyc=Sx. Отсюда

        рис.21                                                рис.22                                                         рис.23

Пример 13. Найти центр тяжести однородной дуги окружности

х2 + у2 = R2, расположенной в первой координатной четверти (см.рис. 22)

Решение: Очевидно, длина указанной дуги окружности равна , т. е. l=. Найдем статический момент ее относительно оси Ох. Так как уравнение дуги есть    , то (γ=const)

Стало быть,

Так как данная дуга симметрична относительно биссектрисы первого

координатного угла, то хс = yс=. Итак, центр тяжести имеет координаты  (; ).

Вычисление статических моментов и координат центра тяжести

плоской фигуры

Пусть дана материальная плоская фигура (пластинка), ограниченная

кривой у = f(x) ≥ 0 и прямыми y = 0, х = а , х = b (см . рис. 23).

Будем считать, что поверхностная плотность пластинки постоянна

(γ = const) . Тогда масса всей пластинки paвнa γS, т. е.

Выделим элементарный участок пластинки в виде бесконечно узкой вертикальной полосы и будем приближенно считать его прямоугольником. Тогда масса его равна γуdx. Центр тяжести ё прямоугольника лежит на пересечении диагоналей прямоугольника. Эта точка C отстоит от оси Ох на x,  а от оси Оу на х (приближенно; точнее на

расстоянии х + ½Δx). Тогда для элементарных статических моментов относительно осей Ох и Оу выполнены соотношения

Следовательно,

По аналогии с плоской кривой получаем , обозначив координаты

центра тяжести плоской фигуры (пластинки) через С (хс ; ус), что mхс = Sy, mус = Sх. Отсюда

                                                                  или

Пример 14. Найдем координаты центра тяжести полукруга х22  ≤  R2, y ≥ 0 (γ= const) (см. рис. 24).

Решение: Очевидно (ввиду симметрии фигуры относительно оси Оу), что хс = 0. Площадь полукруга равна   Находим Sх:

Стало быть,

Итак, центр тяжести имеет координаты С (0;).


            рис.24

Заключение

   В нашей курсовой работе мы достигли нашей цели , решили нами поставленные задачи т.е. нашли приложения понятия производной и интеграла в механике и физике.

Нами были решены поставленные задачи мы изучив необходимую литературу  дали определение производной интеграла. Также нашли большую неразрывную  связь физики с математикой. Привели примеры задач практического характера. Выяснили какая большая выгода от производных и интегралов в физике и механике. Нам необходимо уметь применять их на практике при решении сложных механических и физических задач.

 Мы узнали, что производная является мгновенной скоростью, интеграл принимается для вычисления площади и объемов: площади плоских фигур, длина дуги плоской кривой, вычисление объема тела, вычисление статических моментов и координат центра тяжести плоской фигуры и т.д.

Литература

  1.  Конспект лекций по высшей математике: полный курс / Д.Т. Письменный.- 4-е изд.-М.: Айрис-пресс, 2006.-608 с: ил. -(Высшее образование)
  2.  М.А. Шубин. Математический анализ для решения физических задач.
  3.  Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления.
  4.  Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления.

 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

39841. Закрепление навыков создания чертежа и трехмерной модели на примере плоской детали Шаблон 2.6 MB
  Вспомогательная прямая выберите команду Параллельная прямая; в строке параметров объекта включите режим Одна прямая − и простановку точек пересечения; по запросу в строке сообщений выберите вспомогательную горизонтальную прямую; сместите курсор немного ВЫШЕ этой прямой; введите в строке параметров поле Расстояние расстояние между прямыми равным высоте пластины – число 50; нажмите клавишу Еnter; создайте объект еще раз нажмите Еnter или нажмите кнопку...
39842. Сборочные чертежи. Болтовые и шпилечные соединения 580.5 KB
  Болтовые и шпилечные соединения 6 Работа № 22 Сборочные чертежи. Болтовые и шпилечные соединения Цель работы: изучение и выполнение типовых соединений деталей: болтовое и шпилечное. На сборочных чертежах резьбовые соединения вычерчивают по относительным размерам. В первой части работы вы выполните чертеж болтового соединения по относительным размерам.
39843. Приемы работы с инструментом Окружность 916.5 KB
  – поле выбора стиля линии окружности Примечание. Две оси симметрии окружности в системе КОМПАС–3D LT формируются как один элемент который называется макроэлементом. Построение окружности по центру и точке на ней Постройте на листе фрагмента окружность радиусом 15 мм. Центр окружности должен находиться в начале координат фрагмента.
39844. Форма и формообразование. Параллелепипед 1.19 MB
  Толщина стенок коробки – 4 мм. Нужная нам заготовка коробки построена рис. Так как коробка должна закрываться крышкой то снимем на глубину 30 мм от верхней грани коробки слой материала толщиной 2 мм. Выделите верхнюю грань коробки.
39845. Форма и формообразование. Призма. Операция сечение плоскостью 7.65 MB
  Операциясечение плоскостью Цель работы: Построение моделей: призмы и пирамиды. Модель правильной трехгранной призмы Задание 1. Создание модели твердотельной трехгранной призмы Создайте правильную треугольную призму. Основание призмы вписано в окружность радиусом 40 мм.
39846. Форма и формообразование. Тела вращения. Операция Выдавливание 2.9 MB
  Тела вращения. Тела вращения. Тела вращения. Операция Выдавливание Цель работы: Построение моделей с помощью операции вращения: цилиндрический стакан конус шар.
39847. Организуем компьютерное рабочее место 1.23 MB
  Настройка параметров новых документов. Настройка параметров системы КОМПАС3D LT означает выбор параметров оформления чертежа в соответствии с Единой системой конструкторской документации ЕСКД которые наилучшим образом соответствуют выбранному вами формату чертежа. Ранее вы уже познакомились с некоторыми принципами настройки параметров системы см.
39848. ЭКОНОМИКА, И УПРАВЛЕНИЕ ПРОИЗВОДСТВОМ 718.5 KB
  Именно на этом уровне создается нужные обществу товары и услуги, выпуск необходимой продукции. На предприятии сосредоточены наиболее квалифицированные кадры. Здесь решаются вопросы экономного расходования ресурсов, применение высокопроизводительной техники, технологии.
39849. Назначение и принцип действия изделия, сборочной единицы, в которую входит деталь 758 KB
  Форма детали позволяет получать заготовку простой формы с минимальными припусками.25 Диаметр отверстия шпинделя мм 55 Внутренний конус шпинделя Морзе 6 Частота вращения шпинделя мин –1 12.1000 Частота вращения шпинделя мин.9 Скорость быстрых перемещений суппорта мм мин.