8880

Частотные характеристики цепей. Комплексные функции цепи

Контрольная

Математика и математический анализ

Частотные характеристики цепей. Комплексные функции цепи Основным методом расчета цепей синусоидального тока является метод комплексных амплитуд. В его основе лежит представление синусоидальных функций через эксп...

Русский

2013-02-19

1.02 MB

51 чел.

Частотные характеристики цепей.

Комплексные функции цепи

Основным методом расчета цепей   синусоидального тока является метод комплексных амплитуд.  В его основе лежит представление синусоидальных функций    через экспоненциальные функции мнимой частоты ƒω:

Применение экспоненциальной функции делает возможным ввести понятие комплексной функции цепи, имеющей исключительно большое значение в теории цепей. Понятие комплексной функции используется для описани линейных цепей, не содержащих независимые источники энергии.

В самом общем случае сигнал на выходе (реакция) такой цепи хвых и сигнал на ее входе (воздействие) хвх связаны линейным дифференциальным уравнением вида

где — вещественные коэффициенты, зависящие лишь от параметров цепи и ее схемы. Представим воздействие в виде экспоненты

.                            (6.2)

Реакция линейной цепи в установившемся режиме, т. е. спустя достаточно большой промежуток времени после появления воздействия, имеет всегда тот же вид, что и воздействие, т. е.

                                         (6.3)


Эти величины представляют токи или напряжения, действующие на участках цепи.

Так как дифференцирование экспоненты эквивалентно ее умножению на ƒω, после подстановки выражений (6.2) и (6.3) в формулу (6.1) получим

Комплексной функцией цепи называется отношение реакции цепи к воздействию, заданному в виде экспоненциальной функции мнимой частоты ƒω:

Порядок цепи и ее комплексной функции определяется наивысшей степенью при ƒω в знаменателе выражения (6.5).

С помощью комплексной функции легко найти изображение выходного сигнала как произведение

В зависимости от того, рассматривается реакция цепи со стороны точек приложения воздействия или же на других ее участках, комплексные функции цепи разделяют на две группы: входные и передаточные.

Пусть   на   входных   зажимах   пассивной линейной цепи (рис. 6.1) действуют напряжение      и  ток . .Выделим   в   схеме   элемент   Z2, на зажимах которого 22' действуют напряжение  и ток .

Входной функцией цепи называется отношение изображений тока и напряжения, действующих на входных зажимах. В зависимости от того, какая величина является воздействием, различают входное сопротивление и входную проводимость:

.                      (6.7)

Передаточной функцией цепи называется отношение изображений токов и напряжений, действующих на разных парах зажимов. В зависимости от того, что является воздействием, различают:

комплексные передаточные функции или коэффициенты передачи по напряжению и по току:                      

;          (6.8)

передаточные сопротивления:

       (6.9)

передаточные проводимости:

СВЯЗЬ МЕЖДУ ПАРАМЕТРАМИ ЦЕПИ

И ЕЕ КОМПЛЕКСНЫМИ ФУНКЦИЯМИ

Чтобы установить связь между параметрами цепи и ее входными и передаточными комплексными функциями, рассмотрим схему (рис. 6.2).

Пусть к входным зажимам k k' пассивной линейной цепи, не содержащей внутренние независимые источники энергии, подключен источник сигнала с э.д. с. I⅛ и внутренним сопротивлением ZBH. При этом на входе цепи действуют напряжение U⅛ и ток I⅛, а на выходе, т. е. на любом интересующем нас ее элементе Z\,— напряжение U; и ток I/. Найдем соотношения между этими напряжениями и токами. Для этого запишем систему уравнений по ме-тоду контурных токов, выбирая ⅛-й и 1-й контуры внешними:

Здесь Zjj и Zjk — контурные сопротивления; Z´kk — сумма сопротивлений элементов той части k-го контура, которая входит в состав рассматриваемой цепи и не включает внутреннее conpoтивление   ZBH   источника;        Z'kk + ZBH = Zkk — контурное   сопротивление k-го контура;   

— контурные токи.

Исключим параметры источника сигнала из системы уравнений (6.11).

Так как

, (6.12)

эту систему перепишем в виде:

Ее решение по правилу Крамера относительно выходного тока с последующим разложением определителя Δl по l-му столбцу дает

      (6.14)

где Δ — определитель системы;

Δl — определитель, получающийся из Δ заменой столбца, составленного   из   коэффициентов   Zkl при неизвестном , столбцом, составленным из свободных членов;

Δkl — алгебраическое дополнение элемента Zkl. Аналогично получим  решение системы  относительно тока на входе

  (6.15)


Входные и передаточные функции цепи находим в виде отношения определителей системы (6.13), составленной по методу контурных токов:

Чтобы выяснить особенности полученных функций, рассмотрим более подробно определители Δ, Δkl, Δkk.

Общее выражение для определителя п-го порядка системы уравнений (6.13) имеет вид¹

Определитель Δ, таким образом, представляет сумму n! произведений. Каждое из этих произведений содержит п множителей. Каждый из множителей является элементом определителя и есть не что иное, как соответствующее контурное сопротивление рассматриваемой цепи.

Любое контурное сопротивление, как и сопротивление любой ветви в линейной цепи с конечным числом элементов, в общем случае является рациональной функцией мнимой частоты ƒω:

.    (6.19)

где.

Так как произведения, суммы, разности и отношения рациональных функций есть также рациональные функции, то и определитель Δ — рациональная функция. То же самое можно сказать и об определителях Δkl, Δkk, которые отличаются от Δ лишь на единицу меньшим порядком.

Таким образом, убеждаемся, что как входные, так и передаточные комплексные функции цепи являются рациональными функциями переменной ƒω и в общем виде могут быть представлены в виде рациональной дроби (6.5) с вещественными коэффициентами. Важно отметить, что все коэффициенты числителя и знаменателя этой дроби вещественные, так как они зависят лишь от схемы цепи и определяются параметрами ее элементов:

Системные функции цепи полностью определяются схемой и параметрами цепи и совершенно не зависят от параметров и схемы источника входного сигнала.

1 Здесь α, ß, ..., υ пробегают все возможные n! перестановок из чисел 1, 2, ..., п; знак перед каждым членом определителя (т. е. перед каждым слагаемым) определяется числом q инверсий в каждой перестановке.


Соотношения (6.11) —(6.18) получены методом контурных токов. К аналогичным выражениям и сделанным выводам можно прийти, используя также дуальный метод — метод узловых напряжений.

Действительно, пусть в схеме (см. рис. 6.2) независимые узлы

выбраны так, что  Ùk и  Ùlузловые напряжения. Тогда можно записать систему узловых уравнений:

Здесь Yjj и Yjk узловые проводимости; Y'kkсумма прово-димостей ветвей, подходящих k-му узлу и принадлежащих рассматриваемой цепи, взятая без учета источника входного сигнала; (Y'kk+Yвн) = Ykk узловая проводимость k-гo узла;  узловые напряжения.

Учитывая, что

,                       (6.21)

исключаем   параметры   источника   сигнала   из   системы уравнений (6.20):

Решая полученную систему относительно Ùl и Ùk, с помощью соотношений (6.7) (6.10) находим функции цепи через определители системы (6.22), составленной по методу узловых напряжений:


Так как узловые проводимости

(6.26)

имеют те же свойства, что и контурные сопротивления (6.19), можно прийти к уже сформулированным выше выводам относительно свойств системных функций цепи.

Сравнивая полученные для системных функций выражения (6.16) — (6.18) и (6.23) — (6.26), нужно отметить, что входящие в них определители соответствуют уравнениям, составленным по разным методам. В первом случае они соответствуют матрице контурных сопротивлений (МКС), а во втором — матрице узловых проводимостей (МУП).

Важно заметить, что в любых случаях для входных функций

  (6.27)

а для передаточных функций

,                    (6.28)

так как

 но      (6.29)

Для описания цепи, например, системой контурных или узловых уравнений используются такие ее параметры, как контурные сопротивления или узловые проводимости. Они определяются значениями сопротивлений элементов, входящих в состав цепи. Эти параметры зависят и от выбора независимых переменных, взятых в качестве определяющих (контурные токи, узловые напряжения), и соответствующих им основных топологических элементов цепи (независимые контуры, узлы), а также от того, какая из возможных совокупностей этих величин и элементов принята для описания данной цепи. Учитывая это обстоятельство, такие параметры называют первичными.

Комплексные функции цепи относятся к числу ее вторичных параметров. Вторичные параметры не зависят от выбора определяющих величин, выбора независимых контуров или узлов.

КОМПЛЕКСНЫЕ ФУНКЦИИ

И ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ЦЕПИ

Комплексные функции цепи представляют отношения комплексных токов и напряжений, действующих на входе и выходе цепи при синусоидальном воздействии. Как и любые комплексные числа, эти функции можно выразить в показательной или алгебраической форме через модуль и аргумент или через вещественную и мнимую части:

.        (6.30)

Здесь

Зависимость модуля K(ω) комплексной функции цепи от частоты называется ее амплитудно-частотной характеристикой (АЧХ). Величина K(ω) определяет отношение амплитуды реакции цепи к амплитуде воздействия.

Зависимость аргумента φ(ω) комплексной функции цепи от частоты называется ее фазочастотной характеристикой (ФЧХ). Величина φ(ω) определяет сдвиг по фазе реакции Непи относительно воздействия.

Зависимость   вещественной части R(ω)   от частоты   называется вещественной частотной характеристикой (ВЧХ) цепи, а зависимость мнимой части X(ω) — ее мнимой частотной характеристикой (МЧХ).

Частотные характеристики описывают свойства цепи при воздействии синусоидальных сигналов. С их помощью можно определить реакцию цепи на заданное воздействие любой частоты, а также судить о важных особенностях и возможностях использования цепи. Например, АЧХ, приведенная на рис. 6.3, характеризует цепь, обладающую .свойством пропускать сигналы только в диапазоне частот от ωc1 до ωc2. Такую цепь используют как полосовой фильтр. С помощью приведенной АЧХ можно оценить такие его качественные показатели, как равномерность характеристик в полосе пропускания (диапазон частот от ωc1 до ωc2), затухание в полосе непропускания (частоты менее ωc1 и более ωc2), крутизна характеристик на границах полосы пропускания. Кроме того, можно количественно определить граничные частоты ωc1 и ωc2, полосу пропускания П = ωc2 - ωc1и др.

Комплексная функция цепи К(ω) объединяет АЧХ и ФЧХ и поэтому часто называется амплитудно-фазовой характеристикой (АФХ). Построение АФХ можно сделать как в декартовой, так и в полярной системе координат (рис. 6.4). Откладывая по координатным осям значения R(ω) и jX(ω) или в полярной системе K(ω) и φ(ω), можно при каждом конкретном значении ω найти положение вектора K(jω). Так как его компоненты R(ω), X(ω), K(ω) и φ(ω) в общем случае являются функциями частоты, то с изменением ω положение вектора K(jω) будет меняться. При этом будут изменяться как его модуль, так и аргумент. При изменении частоты ω от 0 до  (или в более общем случае от — до +) конец вектора опишет траекторию, называемую частотным годографом, которая и представляет амплитудно-фазовую характеристику цепи (рис. 6.5). На годогрэф наносится стрелка,

показывающая направление изменения частоты, а также указываются точки, соответствующие конкретным значениям частоты ω. Годографы удобны для исследования устойчивости систем с обратной связью.

Для комплексных коэффициентов передачи K(jω) кроме алгебраической и показательной формы записи (6.30) часто, например в теории электрических фильтров, используется иная форма записи — экспоненциальная:

       (6.35)

где       

.                             (6.36)

Логарифмируя в (6.35) левую и правую части:

приходим к логарифмической частотной характеристике

.                                (6.38)

Функция α(ω) называется логарифмической амплитудно-частотной характеристикой (ЛАЧХ), а ß(ω) остается равной φ(ω) и является фазо-частотной характеристикой.

Преимущества ЛАЧХ наиболее полно проявляются при решении задач со сложными схемами и в задачах аппроксимации характеристик.


Величины   и   ß  являются  безразмерными;  α  измеряется в неперах (Нп), белах (Б) или децибелах (дБ):

Все указанные разновидности частотных характеристик могут быть легко измерены экспериментально. Соотношения частотных характеристик сведены в табл. 6.1.

Рассмотрим в качестве примеров частотные характеристики простейших rС- и rL-цепей первого порядка (рис. 6.6 и 6.7), нашедших самое широкое применение в радиоэлектронике, системах связи, автоматического регулирования и т. д. В зависимости от назначения и соотношения параметров элементов они используются в качестве фильтров нижних и верхних частот, переходных, корректирующих, дифференцирующих и интегрирующих цепочек.


Комплексную передаточную функцию по напряжению
-схемы (рис. 6.6, а) найдем как отношения:

Здесь τ=rC — постоянная времени цепи. Соответствующие характеристики приведены на рис. 6.8.

Представляя  комплексную функцию   (6.40)   в  алгебраической форме


получаем ВЧХ и МЧХ (рис. 6.9):

 (6·43)

Построение частотного годографа или АФХ цепи можно сделать в системе координат R(ω) и X(ω) или K(ω) и φ(ω), откладывая значение этих функций при каждом конкретном значении

частоты ω, взятом в диапазоне от -до +. В рассматриваемом случае годограф представляет окружность (рис. 6.10,а).

Комплексную  передаточную  функцию  гС-схемы   '(рис.   6.6,6)' находим аналогично:


Здесь

Графики   частотных   характеристик   приведены   на   рис. 6.11. В данном  случае частотный  годограф-также окружность рис. 6.10,6).

Обращаясь теперь к схемам рис. 6.7, заметим, что выражения для комплексной передаточной функции rL-цепи  (см. рис. 6.7, а)

       (6.49)

и rL-цепи (см. рис. 6.7,6)

  (6.48)

где  -постоянная   времени,  отличаются   лишь  значением постоянной τ. Поэтому частотные характеристики rL-цепей (см, рис. 6.7) будут совпадать с частотными характеристиками соответствующих rC-цепей (см. рис. 6.6).

  1.  Основна мета роботи

Основна мета роботи - засвоєння спектрального метода аналізу процесів шляхом розв‘язку задачі по визначенню реакції лінійного електричного кола на дію періодичного сигналу.

  1.  Основні відомості для розрахунку

Реакція лінійного електричного кола спектральним методом  визначається в залежності від характеру зовнішньої дії (вхідного сигналу), а саме:

  •  при неперіодичних сигналах

                                 

де - - комплексна спектральна густина, або комплексний спектр, вихідного сигналу (реакції кола);

- комплексна спектральна густина вхідного сигналу;

- комплексна передаточна функція електричного кола;

-   при періодичних сигналах

                            

де  - частота першої гармоніки спектру сигналу;

     kномер гармоніки;

   - комплексні амплітуди спектральних складових (гармонік) вихідного сигналу (реакції) кола;

 - комплексні амплітуди спектральних складових вхідного сигналу;

  - значення комплексної передаточної функції кола на частотах спектральних складових.

        Оскільки завдання полягає в аналізі проходження через  лінійне коло сигналу у вигляді періодичної послідовності прямокутних імпульсів (ПППІ), нагадаємо характерні моменти спектрального метода саме для цього випадку.

  1.  Завдання.

На вході кола діє сигнал у вигляді ПППВІ напруги з параметрами: Um= 0,25мВ; = 4мс;

T = 14мс, t0= 2мс. Знайти реакцію кола спектральним методом.

  1.  Принципова схема електричного кола.

5. Розрахуємо еквівалентну схему з двома резисторами.

Z1

Z2

Z3

Z4

Z5

Z6

12Ом

0

0,2Гн

20Ом

Z1екв = = =  2 Ом

  1.  Розраховуємо значення постійної складової та амплітуд і початкових фаз гармонічних складових сигналу на вході

Спочатку розраховуємо шпаруватість q, максимальний номер гармоніки kмакс і частоти першої та наступних гармонік

= = 4

оскільки гранична частота "ефективного" спектру  fмакс=2qF,

                                            kмакс= 2q = 8;

                                                       Гц;

Гц

Гц

Гц

Гц

Гц

Гц

Гц

Постійна складова

Амплітуда першої (основної) і подальших гармонік

В

В

В

В

0,0000085 В

0,00001025 В

0,000012 В

0,0000125 В

Початкові фази 1,2,3 гармонік розраховуємо як

                                                      ,  

а  4, 5, 6  гармонік -

                                                 .

        Результати подальших обчислень об‘єднаємо в таблиці. В цю таблицю внесемо також результати розрахунків АЧХ і ФЧХ кола, а також АЧС и ФЧС  сигналу на виході.

        За результатами розрахунків побудуємо спектри сигналу на вході кола

6.2 Розраховуємо амплітудно - частотну і фазо - частотну характеристики кола.

В відповідності з визначенням комплексного коефіцієнта передачі напруги

             

       Представимо  в показниковій формі

         =

де         -   амплітудно – частотна характеристика;

     -  фазо - частотна характеристика.

   Підставляючи в отримані співвідношення частоти спектральних складових вхідного сигналу,  обчислимо  значення амплітудно – частотної та фазо – частотної характеристик в діапазоні частот, що відповідає ефективній ширині спектра. Результати розрахунків занесемо в таблицю.

   Графіки АЧХ та ФЧХ досліджуваного кола  приведені на рисунку

= 0

6.3 Розраховуємо амплітудно – частотний та фазо - частотний спектри  сигналу на виході кола

 Для АЧС:

                       

  Для ФЧС:

                           

  6.4. На завершення будуємо амплітудно – частотний та фазо – частотний спектри сигналу на виході кола.

 

      Таким чином, спектри сигналу на виході досліджуваного кола суттєво відрізняються від спектрів сигналу на вході. Зміни в спектрах обумовлені частотними властивостями кола, тобто частотною залежністю модуля і аргументу комплексного коефіцієнта передачі  напруги кола.

Рекомендована  література

1. Попов В. П. Основы теории цепей. М.: Высшая  школа, 1985.

2. Лосев А. К. Теория линейных электрических цепей. М.: Высш. шк., 1987.

3. Добротворский И. Н. Теория электрических цепей. М.: Радио и связь, 1989.

4. Шебес М.Р. Теория линейных электрических цепей в упражнениях и задачах. – М: Высшая школа, 1973.

5. Атабеков Г.И. Теоретические основы электротехники, ч. 1. – М: Энергия, 1970.

PAGE  3


Z1

Z2

Z3

Z4

Z5

Z6

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

Umkвх,

  мВ

0.4

0.002125

0.00225

0.012

       0          71        142        284         568            1136        2272        4544       f, Гц

Ψk,вх,

  рад

       53

     10

      1,2

      21

       0          71        142        284         568            1136        2272        4544       f, Гц

Umkвых,

  мВ

       0          71        142        284         568            1136        2272        4544       f, Гц

       0          71        142        284         568            1136        2272        4544       f, Гц


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

62908. Путешествие по городу Здоровячков 152.03 KB
  Если человек питается разнообразной здоровой пищей то он остается здоровым до глубокой старости но вокруг нас столько разнообразных вкусностей что просто трудно выбрать здоровые правильные продукты.
62909. Чума 20 века - СПИД (профилактика заболевания СПИДом) 28.87 KB
  Но каждый понимает что простыми беседами до сердца ребят не достучаться. Рассказать же что вас ждет мы обязаны. Все мы уже знаем что страшная болезнь под названием СПИД прочно вошла с нами в 21 век.
62910. Travelling to the United Kingdom of Great Britain and Northern Ireland 103.52 KB
  There is the Atlantic Ocean on the north and the North Sea on the east. The English Channel, which is about 21 miles, separates the UK from the continent. There are four countries in the United Kingdom: England, Scotland, Wales and Northern Island.
62915. Детская полька 1.7 MB
  Цель занятия: Найчить дтей танцевать Детскую польку Задачи занятия: 1 Образовательная: Расширить представление и получить знания о Чешских танцах 2 Развивающая: Способствовать...