88944

Предмет теории вероятностей

Реферат

Физика

Для получения количественной характеристики вводится понятие случайной величины. Случайной величиной называется величина которая в результате опыта может принимать то или иное значение причем заранее известно какое именно. Функция называется случайной величиной.

Русский

2015-05-06

928 KB

1 чел.

  1.  Предмет теории вероятностей.

Теория вероятностей есть математическая наука, изучающая закономерности в случайных явлениях. Случайное явление – это такое явление, которое при неоднократном воспроизведении одного и того же опыта протекает каждый раз несколько по-иному. Эти различия обусловлены влиянием многих второстепенных факторов, сопровождающих явление.

Чтобы ответить на такие вопросы, необходимо исследовать природу и структуру случайных возмущений, воздействующих на систему, изучить реакцию системы на такие возмущения, выяснить влияние конструктивных параметров системы на вид этой реакции. Такие методы и разрабатываются в теории вероятностей. Закономерности, проявляющиеся в этой массе, оказываются практически независимыми от индивидуальных особенностей отдельных случайных явлений, входящих в массу. Эти отдельные особенности в массе как бы взаимно погашаются, нивелируются, и средний результат массы случайных явлений оказывается практически уже не случайным.

Методы теории вероятностей по природе приспособлены только для исследования массовых случайных явлений; они не дают возможности предсказать исход отдельного случайного явления, но дают возможность предсказать средний суммарный результат массы однородных случайных явлений.

  1.  Статистическое определение вероятности.

Не всегда элементарные события равновероятны. Например, когда студент идет на экзамен, четыре элементарных события — оценка 2, 3, 4, 5 — равновероятными не являются. В подобных случаях наряду с классическим используют статистическое определение вероятности. В качестве статистической вероятности события принимается относительная частота его реализации при большом числе испытаний. Если проводится n испытаний и при этом событие А реализовалось m раз, то относительная частота появления события А есть

  1.  Классическое определение вероятностей.

Когда мы хотим дать количественную оценку вероятности какого либо события, мы разлагаем все события, которые могут произойти на элементарные события. В случае, когда мысленно проводятся механические испытания, все элементарные события равновозможны, т.е. нет преимуществ в реализации одних элементарных событий перед другими. Тогда количественной оценкой вероятности события А будет являться классическое определение вероятности данного события. Определяется эта вероятность как отношение числа элементарных событий, благоприятствующих наступлению события А к общему количеству элементарных событий:

  1.  Аксиоматическое определение вероятности.

В современном математическом подходе вероятность задаётся аксиоматикой Колмогорова. Предполагается, что задано некоторое пространство элементарных событий . Подмножества этого пространства интерпретируются как случайные события. Объединение (сумма) некоторых подмножеств (событий) интерпретируется как событие, заключающееся в наступлении хотя бы одного из этих событий. Пересечение (произведение) подмножеств (событий) интерпретируется как событие, заключающееся в наступлении всех этих событий. Непересекающиеся множества интерпретируются как несовместные события (их совместное наступление невозможно). Соответственно, пустое множество означает невозможное событие.

Вероятностью называется числовая функция , заданная на множестве событий, обладающая следующими свойствами:

Неотрицательность: ,

Аддитивность: вероятность наступления хотя бы одного (то есть суммы) из попарно несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий; другими словами, если  при , то .

Конечность (ограниченность единицей): ,

  1.  Размещения с повторениями.

Пусть даны  различных видов предметов, которые можно разместить по различным местам, причем выбирать предметы можно с повторениями (т.е. можно выбрать несколько предметов одного вида). Такие выборки называются размещениями с повторениями, а их количество вычисляется по формуле: .

  1.  Размещения без повторений.

Число размещений  различных элементов по  различным позициям есть , или, в терминах факториалов, . Когда , рассматриваемая задача становится задачей о числе перестановок.

  1.  Сочетания без повторений.

Число сочетаний без повторений (n различных элементов, взятых по m) вычисляется по формуле:

  1.  Сочетания с повторениями.

Если из множества, содержащего n элементов, выбирается поочередно m элементов, причём выбранный элемент каждый раз возвращается обратно, то количество способов произвести число сочетаний с повторениями составляет  

  1.  Перестановки.

Комбинации из n элементов, которые отличаются друг от друга только порядком элементов, называются перестановками.  Перестановки обозначаются Рn, где n — число элементов, входящих в перестановку.  Формула перестановки: Рn=n!

  1.  Перестановки данного состава.

Перестановкой данного состава (k1, k2, …, km) из элементов m-членного множества X называется всякий набор, составленный из элементов множества Х так, что первый элемент повторяется k1 раз, второй элемент – k2 раз и т.д. Количество различных перестановок данного состава (k1, k2, …, km) обозначается P(k1, k2, …, km) и равно

Пример. Сколькими способами можно поставить на книжной полке 3 экземпляра учебника по алгебре, 2 экземпляра учебника по геометрии и один экземпляр учебника по математическому анализу?

Решение. Всякой расстановке указанных учебников взаимно однозначно соответствует набор из 3+2+1=6 элементов состава (3, 2, 1). Следовательно, искомое число способов равно числу размещений состава (3, 2, 1), т.е. способов.

  1.  Условная вероятность.

Условной вероятностью  называют вероятность события В, вычисленную в предположении, что событие А уже наступило. Вероятность совместного появления двух зависимых событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность второго, вычисленную при условии, что первое событие произошло, т.е. .

Пример. В урне находятся 3 белых шара и 2 черных. Из урны вынимается один шар, а затем второй. Событие В – появление белого шара при первом вынимании. Событие А – появление белого шара при втором вынимании.

Решение. Очевидно, что вероятность события А, если событие В произошло, будет .  Вероятность события А при условии, что событие В не произошло, будет .

  1.  Зависимые и независимые события.

Два события называются независимыми, если появление одного из них не изменяет вероятность появления другого. Пример. Монета брошена два раза.

События называются зависимыми, если одно из них влияет на вероятность появления другого. Пример. В ящике находятся 5 резцов: два изношенных и три новых.

Условие независимости события  от события  записывают в виде , а условие его зависимости — в виде .

  1.  Формула полной вероятности.

Если событие А может произойти только при выполнении одного из событий , которые образуют полную группу несовместных событий, то вероятность события А вычисляется по формуле . Эта формула называется формулой полной вероятности.

  1.  Формула Байеса.

, где  — вероятность события A;  — вероятность события A при наступлении события B;  — вероятность наступления события B при истинности события A;  — вероятность наступления события B.

  1.  Случайные величины. Основные понятия.

Для получения количественной характеристики вводится понятие случайной величины. Случайной величиной называется величина, которая в результате опыта может принимать то или иное значение, причем заранее известно какое именно. Измеримая функция, отображающая вероятностное пространство в пространство подмножеств некоторого (конечного) множества, называется (конечным) случайным множеством.

Пусть  — вероятностное пространство.   — это произвольное множество, элементы которого называются элементарными событиями, исходами или точками; F - случайное событие;  P - вероятность, такая что = 1. Функция  называется случайной величиной.

  1.  Дискретные случайные величины.

 Дискретной случайной величиной называется такая переменная величина, которая может принимать конечную или бесконечную совокупность значений, причем принятие ею каждого из значений есть случайное событие с определенной вероятностью.
Соотношение, устанавливающее связь между отдельными возможными значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями, называется законом распределения дискретной случайной величины. Если обозначить возможные числовые значения случайной величины Х через х
1, х2, ..., хn,..., а через рi = Р(Х = хi) вероятность появления значения хi, то дискретная случайная величина полностью определяется таблицей.

  1.  Случайные  величины общего вида.

Определение случайной величины общего вида основывается на понятии борелевского множества. Множество точек на числовой оси R называется борелевским, если оно может быть получено из множества вида {X/x < а} применением операций объединения, пересечения и дополнения.

Задана E (случайная величина общего вида), если каждому борелевскому множеству А на числовой оси R поставлено в соответствие неотрицательное число Р(А) так, что выполняются следующие условия:

1. P(R) = 1.

2.  (условие счетной аддитивности).

3. Функция F(x), определенная для любого, принадлежащего R,  равенством  называется функцией распределения случайной величины.

  1.  Функция распределения и ее свойства.

Пусть дано вероятностное пространство , и на нём определена случайная величина  с распределением . Тогда функцией распределения случайной величины  называется функция  , задаваемая формулой . То есть функцией распределения (вероятностей) случайной величины  называют функцию , значение которой в точке  равно вероятности события , то есть события, состоящего только из тех элементарных исходов, для которых .

Свойства:

 непрерывна справа: 

 не убывает на всей числовой прямой.

.

.

 либо непрерывна в точке, либо имеет в ней разрыв первого рода.

Если функция  удовлетворяет перечисленным выше свойствам, то существует вероятностное пространство и определена на нём случайная величина, такая что  является её функцией распределения.

  1.  Непрерывные случайные величины.

Случайную величину Х называют непрерывной (непрерывно распределенной) величиной, если существует такая неотрицательная функция p(t), определенная на всей числовой оси, что для всех х функция распределения случайной величины F(x) равна:

  1.  Функция плотности вероятностей.

Плотностью  вероятностей случайной величины  называют первую производную от интегральной функции распределения вероятностей  откуда дифференциал  Вероятность попадания случайной величины в промежуток определяется зависимостью

  1.  Схема Бернулли.

Схемой Бернулли называется последовательность независимых испытаний, в каждом из которых возможны лишь два исхода — «успех» и «неудача», при этом успех в каждом испытании происходит с одной и той же вероятностью  , а неудача — с вероятностью .

Функция распределения  имеет вид

Теорема: для любого  вероятность получить в  испытаниях  успехов равна  

  1.  Предельные теоремы Лапласа.

Локальная теорема Лапласа.

Если n – велико, а р – отлично от 0 и 1, то

 где  - функция Гаусса (табулирована).

Интегральная теорема Лапласа.

Если n – велико, а р – отлично от 0 и 1, то

P(n; k1, k2) где - функция Лапласа (табулирована).

Функции Гаусса и Лапласа обладают свойствами, которые необходимо знать при использовании таблиц значений этих функций:

а) 

б) при больших  верно .

Теоремы Лапласа дают удовлетворительное приближение при . Чем ближе значения  к 0,5, тем точнее данные формулы.

  1.  Предельная теорема Пуассона.

Пусть ,  таким образом, что, где a>0 - заданное число. Тогда для любого фиксированного k.

.

Другими словами, в описанном предельном переходе биномиальные вероятности Pn,p(k) аппроксимируются пуассоновским распределением.

  1.  Дискретные классические распределения.

Геометрический закон распределения.

Биноминальное распределение. Вероятность того, что событие A наступит ровно k раз, определяется формулой

Распределение Пуассона. См. 23.

  1.  Непрерывные классические распределения.

Равномерное распределение. Непрерывная величина  Х распределена равномерно на интервале (a, b), если все ее возможные значения находятся на этом интервале и плотность распределения вероятностей постоянна:

Для случайной величины Х , равномерно распределенной в интервале (a, b), вероятность попадания в любой интервал (x1, x2), лежащий внутри интервала (a, b), равна:

       

Непрерывная случайная величина  Х  имеет показательное распределение, если плотность распределения ее вероятностей выражается формулой:

Случайная величина  Х  имеет нормальное (гауссово) распределение, если плотность распределения ее вероятностей определяется зависимостью:

 где m = M(X). При   нормальное распределение называется стандартным.

  1.  Определение многомерной случайной величины.

Совместное рассмотрение двух или нескольких случайных величин приводит к понятию системы случайных величин. Условимся систему нескольких случайных величин обозначать . Такая система называется также многомерной случайной величиной. При изучении системы случайных величин недостаточно изучить отдельно случайные величины, составляющие систему, а необходимо учитывать связи или зависимости между этими величинами.

  1.  Функция распределения вероятностей для многомерных случайных величин.

Функцией распределения вероятностей системы двух случайных величин называется функция двух аргументов , равная вероятности совместного выполнения двух неравенств  и , т. е.

Сформулируем основные свойства функции распределения вероятностей системы двух случайных величин.

  1.  
  2.   
  3.  
  4.  Функция распределения является неубывающей функцией по каждому аргументу:
  5.  Вероятность попадания случайной точки  в произвольный прямоугольник со сторонами, параллельными координатным осям (рис. 15), вычисляется, по формуле

  1.  Законы распределения, производные от нормального закона распределений.

Все законы в вопросах 24-25.

Свойства функции .

1.

2. .

3.   

4. .

  1.  Математическое ожидание случайной величины.

Пусть задано вероятностное пространство и определённая на нём случайная величина X.,  — измеримая функция. Тогда, если существует интеграл Лебега от X по пространству, то он называется математическим ожиданием, или средним значением и обозначается EX. Если F(x) — функция распределения случайной величины, то её математическое ожидание задаётся интегралом. EX может называться как M(x).

  1.  Дисперсия и среднее квадратическое отклонение случайной величины.

– дисперсия. – среднее квадратичное отклонение.

  1.  Моменты случайной величины.

Если дана случайная величина  определённая на некотором вероятностном пространстве, то:

 начальным моментом случайной величины  где  называется величина  если математическое ожидание  определено;

 центральным моментом случайной величины  называется величина

k абсолютным и  центральным абсолютным моментами случайной величины  называется соответственно величины  и 

 факториальный момент .

  1.  Числовые характеристики системы случайных величин.

1)  математических ожиданий ,характеризующих средние значения величин;

2)  дисперсий , характеризующих их рассеивание;

3)  корреляционных моментов.

4) , где , характеризующих попарную корреляцию всех величин, входящих в систему.

  1.  Свойства математического ожидания.
  2.  Математическое ожидание числа есть само число. ;  — константа.
  3.  Математическое ожидание сохраняет неравенства, то есть если  ;
  4.  Математическое ожидание не зависит от поведения случайной величины на событии вероятности нуль, то есть если  , то .
  5.  Математическое ожидание произведения случайных величин равно произведению их математических ожиданий
  6.  Свойства дисперсии.
  7.  Дисперсия любой случайной величины неотрицательна: 
  8.  Если дисперсия случайной величины конечна, то конечно и её мат. ожидание;
  9.  Если случайная величина равна константе, то её дисперсия равна нулю: ;
  10.  Дисперсия суммы двух случайных величин равна:

, где  их ковариация;

  1.   для любых независимых или некоррелированных случайных величин;
  2.  
  3.  
  4.  
  5.  Неравенство Чебышева.

Случайная величина в основном принимает значения близкие к своему среднему. Пусть случайная величина  определена на вероятностном пространстве  и её математическое ожидание и дисперсия конечны. Тогда , . Если , где  – стандартное отклонение и , то:

  1.  Теорема Чебышева.

Случайная величина  сходится по вероятности к величине , если при увеличении  вероятность того, что  и  будут сколь угодно близки, неограниченно приближается к единице, а это значит, что при достаточно большом  , где  - произвольно малые положительные числа.

Запишем в аналогичной форме теорему Чебышева. Она утверждает, что при увеличении  среднее арифметическое сходится по вероятности к , т. е.

.      

  1.  Теорема Бернулли.

При многократном повторении случайного эксперимента с двумя исходами относительная частота успехов приближается к вероятности успеха в одном испытании.

Рассмотрим схему Бернулли, то есть пусть дана последовательность независимых случайных величин  с вероятностью успеха  

Определим  как число успехов в первых n испытаниях:

Тогда

  1.  Центральная предельная теорема.

Сумма большого количества независимых случайных величин имеет распределение близкое к нормальному.

Пусть  бесконечная последовательность независимых одинаково распределённых случайных величин, имеющих конечное математическое ожидание и дисперсию.

. Тогда  по распределению при

Обозначив отрицание X как выборочное среднее первых n величин, то есть , мы можем переписать результат центральной предельной теоремы в следующем виде:

по распределению при 

  1.  Предмет и задачи математической статистики.

Математической статистикой называется раздел математики, занимающийся разработкой методов получения, описания и обработки опытных данных с целью выявления и изучения закономерностей случайных массовых явлений. Говорят, что «математическая статистика – это теория принятия решений в условиях неопределённости».

Предметом математической статистики является изучение случайных величин (событий, процессов) по результатам наблюдений. Задачи математической статистики:

• собрать данные и представить в удобном для обозрения и анализа виде;

• выбор и определение вида распределения для наборов случайных величин;

• дать оценку неизвестной вероятности события, оценку неизвестной функции распределения и т. п.;

• проверка правдоподобия выдвигаемой гипотезы о соответствии статистического материала теоретическим выводам.

  1.  Понятие генеральной и выборочной совокупностей. Эмпирический закон распределения.

Множество всех изучаемых объектов или возможных результатов всех наблюдений некоторой случайной величины, которые могут быть получены в данных условиях, называется генеральной совокупностью. Число N объектов (наблюдений) в совокупности называется её объёмом. Для получения хороших оценок характеристик генеральной совокупности необходимо, чтобы объекты выборки правильно представляли изучаемые признаки, т.е. выборка должна быть репрезентативной.

Множество случайно n отобранных объектов (измерений) случайной величины из генеральной совокупности называется выборочной совокупностью или просто выборкой. Число n – объём выборки (n << N). Различают следующие виды выборок:

• простая, при которой из генеральной совокупности случайным образом извлекают по одному объекту;

• механическая, когда элементы отбирают через определённый интервал;

• типическая – случайный отбор элементов из типических групп;

• серийная, в которую случайным образом отбираются не отдельные элементы, а целые группы совокупности подвергаются сплошному наблюдению.

Используют два способа образования выборки: повторный, когда случайно отобранный и уже обследованный объект, возвращается в общую совокупность и теоретически может быть повторно отобран и бесповторный, когда отобранный элемент не возвращается в общую совокупность.
 
Эмпирическая функция распределения. Пусть задана случайная выборка  наблюдений  Построим по выборке ступенчатую функцию , возрастающую скачками величины  в точках  Построенная функция называется эмпирической функцией распределения. Для задания значений в точках разрыва формально определим её так:

  1.  Метод моментов.

Метод моментов заключается в следующем: любой момент случайной величины  (например, -й) зависит функционально, от параметра . Но тогда и параметр  может оказаться функцией от теоретического -го момента. Подставив в эту функцию вместо неизвестного теоретического -го момента его выборочный аналог, получим вместо параметра  оценку . Пусть , ,  — выборка объема  из параметрического семейства распределений . Выберем некоторую функцию  так, чтобы существовал момент и функция  была обратима в области . . Тогда в качестве оценки  для  возьмем решение уравнения

  1.  Метод максимального правдоподобия.

Это метод оценивания неизвестного параметра путём максимизации функции правдоподобия. Пусть есть выборка  из распределения Po, где  - неизвестный параметр. Пусть  - функция правдоподобия, где . Точечная оценка  называется оценкой максимального правдоподобия параметра

  1.  Точечная оценка математического ожидания и среднего квадратического отклонения для нормального закона распределения.

Точечная оценка математического ожидания.

 Задана случайная величина Х: х1, х2,…, хn, так как М(Х) не найти, то для математического ожидания случайной величины Х естественно предложить среднее арифметическое её наблюденных значений.

  . Так как , то оценка несмещенная.

Если исследуемая случайная величина Х имеет конечную дисперсию, то эта оценка будет состоятельной, так как

.

Точечная оценка среднеквадратического отклонения. Определяется из выражения

Величина характеризует разброс отдельных результатов измерения относительно среднего арифметического значения X. Оценка среднего квадратичного отклонения среднеарифметического соответственно равна

  1.  Свойства точечных оценок.

Точечная оценка характеристики θ – некоторая функция  результатов наблюдений, значения которой близки к неизвестной характеристике θ генеральной совокупности.

1. Оценка называется несмещенной, если ее математическое ожидание равно оцениваемому параметру:  здесь  оцениваемый параметр, а “крышка” – знак оценки.

2. Оценка называется эффективной, если обладает минимальной дисперсией в данном классе оценок (чем меньше оценка варьируется от опыта к опыту, тем она эффективнее).

3. Оценка называется состоятельной, если она сходится по вероятности к оцениваемому параметру с увеличением объема выборки:

Несмещенные и эффективные оценки всегда состоятельны.

  1.  Интервальная оценка математического ожидания для нормального закона распределения в случае известного .

Ищется интервал [Θ1, Θ2], в котором mx может находиться с доверительной вероятностью  γ. Предполагая, что предварительно определена точечная оценка mx – выборочное среднее, в качестве статистики для получения Θ1 = Θ1(x1, x2, …, xn) и Θ2 =  Θ2 (x1, x2, …, xn) традиционно рассматривается нормированное выборочное среднее

z =  .

Случайная величина z имеет распределение:

1. нормальное (z  N(0, 1)), если выборка берется из нормальной генеральной совокупности;

2. асимптотически нормальное (z  ~N(0, 1)), если генеральная совокупность имеет распределение, отличное от нормального.

Оценка в данном случае формируется на основе неравенства.

P[ <  z  < ] = P[– <  z  < ] = γ, откуда

    δ <   mx  <   +  δ, δ = .

Таким образом, границы доверительного интервала, найденные первым путем, могут быть определены по следующим выражениям:

Θ1   – ; Θ2   + .

  1.  Интервальная оценка математического ожидания для нормального закона распределения в случае неизвестного .

Итак, Х~N(а,σ), числовые значения ни а, ни σ2 не известны. По случайной выборке найдем эффективную оценку параметра а:  и оценку параметра σ2.

Построение интервальной оценки для а основано на статистике, которая при случайной выборке из генеральной совокупности Х~N(а,σ) имеет распределение Стьюдента с (n  1) степенью свободы независимо от значения параметра а и как функция параметра а непрерывна и строго монотонна.

С учетом неравенства и симметричности двусторонних критических границ распределения Стьюдента будем иметь.

Решая неравенство

относительно а, получим, что с вероятностью 1 – α выполняется неравенство

, и ошибка оценки  при неизвестном значении параметра σ2где число  находят по таблице Стьюдента при k = п  1 и р = α.

  1.  Точечная оценка дисперсии.

Точечная оценка для дисперсии.

Так как дисперсия определяется через математическое ожидание, то для дисперсии естественно предложить оценку:

 или , что соответствует записи дисперсии в виде . Предложенная оценка дисперсии состоятельна (1-е уравнение) и не является несмещенной (2-е уравнение).

  1.  Интервальная оценка дисперсии для нормального закона распределения.

Интервальная оценка дисперсии (среднего квадратичного отклонения) при известном математическом ожидании.

Эффективной оценкой дисперсии в этом случае является

.

Для интервальной оценки дисперсии основу составляет статистика, которая имеет распределение χ2 с n степенями свободы независимо от значения параметра σ2 и как функция параметра σ2 > 0 непрерывна и строго монотонна.

Интервальная оценка дисперсии (среднего квадратичного отклонения) при неизвестном математическом ожидании.

Наилучшей точечной оценкой дисперсии в этом случае является .

Построение интервальной оценки для σ2 основано на статистике , которая при случайной выборке из генеральной совокупности ~ имеет распределение χ2 с (n–1) степенью свободы.

  1.  Проверка гипотез: классификация гипотез.

Пусть в эксперименте доступна наблюдению случайная величина , распределение которой  известно. Тогда любое утверждение, касающееся  называется статистической гипотезой. Гипотезы различают по виду предположений, содержащихся в них:

  •  Статистическая гипотеза, однозначно определяющая распределение , то есть , где  какой-то конкретный закон, называется простой.
  •  Статистическая гипотеза, утверждающая принадлежность распределения  к некоторому семейству распределений , то есть вида , называется сложной.

На практике обычно требуется проверить какую-то конкретную и как правило простую гипотезу , которую принято называть нулевой. При этом параллельно рассматривается противоречащая ей гипотеза , называемая конкурирующей или альтернативной.

  1.  Проверка гипотез: основные понятия.

Часто делают выборку, чтобы определить аргументы против гипотезы относительно генеральной совокупности. Этот процесс известен как проверка гипотез (или проверка значимости), он представляет количественную меру аргументов против определенной гипотезы.

Установлено 5 стадий при проверке гипотез:

  1.  Определение нулевой () и альтернативной гипотезы  ()  при исследовании. Определение уровня значимости критерия.   
  2.  Отбор необходимых данных из выборки.
  3.  Вычисление значения статистики критерия, отвечающей .
  4.  Вычисление критической области, проверка статистики критерия на предмет попадания в критическую область. 
  5.  Интерпретация достигнутого уровня значимости р и результатов.

Выделяют 3 вида критических областей:  двустороняя: , левосторонняя: , правосторонняя: .

Традиционно полагают, если р < 0,05, (альфа=0,05) то аргументов достаточно, чтобы отвергнуть нулевую гипотезу. Напротив, если р > 0,05, то аргументов недостаточно, чтобы отвергнуть нулевую гипотезу.

  1.  Проверка гипотезы о равенстве дисперсии заданной величине.

Для проверки гипотезы  о равенстве дисперсии нормально распределенной случайной величины заданному числу рекомендуется использовать статистику

.

Можно показать, что эта статистика при условии, что верна гипотеза H0, распределена по закону c2 с п-1 степенями свободы. Критическая область уровня  при двусторонней альтернативе  состоит из двух промежутков:  и , где  и  - квантили порядка  и  распределения  с п-1 степенями свободы. Для альтернативы  критическая область имеет вид , а для альтернативы - соответственно, .

  1.  Проверка гипотезы о равенстве математического ожидания заданной величине.

  1.  Проверка гипотезы о равенстве дисперсий двух нормально распределенных выборок.

  1.  Выборочный коэффициент корреляции.

Выборочный коэффициент корреляции – показатель тесноты связи двух величин. Если зависимость между переменными менее тесная, то коэффициент корреляции должен быть меньше, так как точки корреляционного поля дальше отстоят от линии регрессии, чем точки поля с более тесной связью.

Коэффициент корреляции принимает значения на отрезке [—1;1]. Выборочный коэффициент корреляции вводится исходя из оценки близости точек корреляционного поля к прямой регрессии Y по X. Выборочный коэффициент корреляции не следует рассматривать как строгую меру взаимосвязи переменных.

где  - выборочные дисперсии величин X и Y, Kкорреляционный момент  случайных величин X и Y  = . Если случайные величины X и Y независимы, то их корреляционный момент .

  1.  Выборочное уравнение регрессии.

Если по выборке  требуется определить оценки  выборочного уравнения регрессии, то вводится в рассмотрение и минимизируется функция:

.

Необходимым условием существования минимума данной функции двух переменных является равенство нулю ее частных производных по неизвестным параметрам :

;

выразив из последних соотношений коэффициенты, получим окончательно:

 ;   

  1.  Метод наименьших квадратов для определения параметров уравнения регрессии.

Метод наименьших квадратов служит для оценки неизвестных величин по результатам измерений, содержащим случайные погрешности.

Процесс выражения данных состоит из двух этапов: на первом выбирают вид искомой формулы, а на втором для данной формулы подбирают параметры.

В соответствии с идеей метода наименьших квадратов необходимо минимизировать сумму, где xi,yi – значения опытных данных; – значение функции, взятое на эмпирической зависимости в точке xi;n – число опытов.

                                     

В случае линейной эмпирической формулы сумма принимает вид

,                                

а в случае квадратической зависимости следующий вид:

.                    

Минимум обе функции имеют в тех точках, в которых частные производные обращаются в нуль. В результате для определения параметров получают нормальную систему линейных уравнений. В случае линейной эмпирической зависимости (y = ax + b) составляют нормальную систему двух уравнений с двумя неизвестными a и b:

                              

В случае квадратической зависимости (y = ax2 + bx +c) нормальная система состоит из трех уравнений с тремя неизвестными:

              

  1.  Выборочный метод оценивания числовых характеристик случайных величин.

По выборке можно оценить параметры распределения случайной величины. Оценка –  найденное по выборке число, которое в последующем используется вместо оцениваемого параметра. Оценка, выраженная одним числом (точкой на числовой оси) называется точечной.

Точечная оценка должна обладать определенными свойствами (см. на 44). Оценкой математического ожидания является среднее арифметическое. Оценкой дисперсии является выборочная оценка дисперсии генеральной совокупности (см.48).

58. Цепи Маркова: основные понятия.

Цепь Маркова — последовательность случайных событий с конечным или счётным числом исходов, характеризующаяся тем, что при фиксированном настоящем будущее независимо от прошлого.

Процесс в каждый момент времени находится в одном из  состояний. При этом, если он находится в состоянии с номером , то он перейдет в состояние  с вероятностью . Матрицу  называют матрицей переходов. На матрицу переходов накладываются следующие условия:  и . Такая матрица называется стохастической. Марковскую цепь можно представить в виде графа, в котором вершины — это состояния процесса, а ребра — переходы между состояниями, и на ребре из  в  написана вероятность перехода из  в , то есть .

Марковскую цепь в любой момент времени  можно охарактеризовать вектором-строкой  — распределением вероятностей по состояниям цепи ( — вероятность цепи в момент времени  быть в состоянии ). Если  — текущее распределение вероятностей, то можно узнать распределение на следующем шаге, умножив вектор на матрицу перехода: .

Для того, чтобы узнать распределение вероятностей через  шагов, нужно умножить  на матрицу перехода, возведённую в степень : . Для марковской цепи иногда задают начальное распределение , хотя во многих классах марковских цепей распределение по прошествии большого периода времени от него не зависит (такое распределение называют предельным).

59. Классификация возможных состояний цепи Маркова.

Возвратное состояние — это состояние марковской цепи, посещаемое ею бесконечное число раз.

Пусть  — однородная цепь Маркова с дискретным временем. Состояние  называется достижимым из состояния , если существует  такое, что

.

Периодическое состояние — это такое состояние цепи Маркова, которое навещается цепью только через промежутки времени, кратные фиксированному числу.

Поглощающее состояние — состояние, из которого нельзя попасть ни в какое другое;  — поглощающее состояние, если .

60. Понятие случайной функции (случайного процесса).

Случайный (вероятностный, стохастический) процесс — семейство случайных величин, индексированных некоторым параметром.

Пусть дано вероятностное пространство . , где  произвольное множество, называется случайной функцией. Если , то параметр  может интерпретироваться как время. Тогда случайная функция  называется случайным процессом. Если множество  дискретно, например , то такой случайный процесс называется случайной последовательностью. Если , где , то параметр  может это точка в пространстве, тогда случайную функцию называют случайным полем.

61. Пуассоновский процесс.

Пуассоновский процесс - самый важный точечный процесс. Чем сложнее процесс, тем лучше Пуассоновский процесс будет служить для него общей моделью.

Характеристики Пуассоновского процесса: стационарность; независимость во все моменты времени; простота (ординарность). Из этих свойств можно получить другие свойства, которые являются достаточными, чтобы определить Пуассоновский процесс. Два самых важных:

  •  числовое представление: число событий в пределах временного интервала фиксированной длины имеет Пуассоновское распределение. Поэтому процесс называют Пуассоновским процессом;
  •  представление с помощью интервала: интервал времени  между последовательными событиями является экспоненциально распределенным.

62. Уравнения Колмогорова.

Пусть S={S1,S2,…Sn}.  pi(t) - вероятность того, что в момент t система S будет находиться в состоянии . Поставим задачу – определить для любого t pi(t). Вместо переходных вероятностей Pij введем в рассмотрение плотности вероятностей перехода 

.

Если не зависит от t, говорят об однородной цепи, иначе - о неоднородной. Пусть нам известны для всех пар состояний (задан размеченный граф состояний). Зная размеченный граф состояний можно определить p1(t),p2(t)..pn(t) как функции времени. Эти вероятности удовлетворяют определенного вида дифференциальным уравнениям, уравнениям Колмогорова.

Правила составления уравнений Колмогорова. В левой части каждого уравнения стоит производная вероятности состояния, а правая часть содержит столько членов, сколько стрелок связано с данным состоянием. Если стрелка направлена из состояния, соответствующий член имеет знак минус, если в состояние - знак плюс. Каждый член равен произведению плотности вероятности перехода, соответствующего данной стрелке, умноженной на вероятность того состояния, из которого исходит стрелка. p1+p2+p3+p4=1 и можно обойтись тремя уравнениями.

63. Зависимые и независимые случайные величины.

См. вопросы 12 и 54.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

21250. АУДИТОРСЬКИЙ РИЗИК ТА ОЦІНКА СИСТЕМИ ВНУТРІШНЬОГО КОНТРОЛЮ Й АУДИТУ 111.5 KB
  Ризик системи внутрішнього контролю. ОЦІНКА СИСТЕМИ ВНУТРІШНЬОГО КОНТРОЛЮ Й АУДИТУ Організація внутрішнього контролю й аудиту. Мета та завдання вивчення системи внутрішнього контролю й аудиту.
21251. ОЦІНКА ОБСТАНОВКИ В НАДЗВИЧАЙНИХ СИТУАЦІЯХ 709.5 KB
  За масштабами тривалістю й уражаючою дією на людей і сільськогосподарське виробництво особливо небезпечним є радіоактивне забруднення і хімічне зараження. Радіаційні аварії на РНО можуть бути двох видів : коли викид радіонуклідів у навколишнє середовище відбувається внаслідок аварії або теплового вибуху та зруйнування РНО; коли аварія відбувається внаслідок вибухової ядерної реакції в цьому випадку зараження навколишнього середовища було таким як при наземному ядерному вибуху. Це може призвести до радіоактивного зараження місцевості і...
21252. АУДИТОРСЬКІ ДОКАЗИ 75 KB
  СУТНІСТЬ ТА ВИДИ АУДИТОРСЬКИХ ДОКАЗІВ Сутність аудиторських доказів відповідно до МСА 500 501. Поняття аудиторських доказів. Достатність і відповідність аудиторських доказів. Види аудиторських доказів.
21253. СТІЙКІСТЬ РОБОТИ ПРОМИСЛОВИХ ОБ’ЄКТІВ У НАДЗВИЧАЙНИХ СИТУАЦІЯХ 152 KB
  Основи стійкості роботи промислових підприємств Під стійкістю роботи промислових підприємств об’єктів розуміють їх можливість в умовах надзвичайних ситуацій мирного і воєнного часу виробляти продукцію в запланованому обсязі і номенклатурі а при слабких пошкодженнях відновлювати виробництво в мінімальні терміни. Стійкість роботи промислового підприємства складається із : стійкості інженернотехнічного комплексу будівель споруд систем енерго газо водозабезпечення технологічного обладнання і т. до дії зовнішніх факторів при аваріях...
21254. Підготовка населення по цивільній обороні 82 KB
  Організація навчання населення з цивільної оборони Одним із основних завдань цивільної оборони що визначені Законом України Про Цивільну оборону України є підготовка і передпідготовка керівного складу Цивільної оборони її органів управління та сил навчання населення вмінню застосувати засоби індивідуального захисту та дій у надзвичайних ситуаціях. Підготовка керівного складу Метою навчання цієї категорії є підготовка до управління силами ЦО своїх об’єктів у випадку стихійного лиха або аварії. Підготовка проводиться на курсах ЦО в...
21255. Облік витрат та калькулювання собівартості продукції тваринництва 250 KB
  Собівартість окремих видів сільськогосподарської продукції визначається виходячи з витрат віднесених на відповідний вид групу тварин. Розрахунок собівартості продукції у тваринництві здійснюється в такій послідовності: розподіляють між окремими об'єктами обліку витрати на утриманняосновних засобів визначають собівартість робіт та послуг допоміжних виробництв та списують калькуляційні різниці між фактичною та плановою їх собівартістю списують частину витрат бджільництва на сільськогосподарські культури що запилюються списують з витрат...
21256. Облік інших операцій на сільськогосподарських підприємствах 279.5 KB
  За дебетом субрахунку 234 обліковуються всі витрати по виконанню робіт та послугу розрізі типової номенклатури статей. За дебетом рахунку відображаються прямі матеріальні трудові та інші прямі витрати а також загально виробничі витрати за кредитом – списання собівартості виготовлених виробів вартість послуг на ремонти техогляди та ін. Усі витрати по капітальному та поточному ремонтах основних засобів по виготовленню запасних частин та інших роботах що виконують майстерні обліковуються за статтями: 1 витрати на оплату праці 2 паливо і...
21257. Загальна характеристика автотранспортних підприємств. Облік рухомого складу транспортних засобів 486.5 KB
  Послуги пасажирського автомобільного транспорту поділяють на послуги з перевезення пасажирів автобусами в таксі та легкових автомобілях на замовлення. Таксі – легковий автомобіль обладнаний розпізнавальним ліхтарем оранжевого кольору який встановлюється на даху автомобіля діючим таксометром сигнальним ліхтарем із зеленим та червоним світлом розташованим у верхньому правому кутку лобового скла і який має нанесені композиції з квадратів розташованих у шаховому порядку на дверцятах автомобіля з лівого та правого боків призначений для...
21258. Облік запасів в автотранспортних підприємствах 245.5 KB
  Облік паливномастильних матеріалів Облік наявності й руху палива яке купується для експлуатації транспортних засобів ведеться на субрахунку 203 Паливо рахунку 20 Виробничі запаси . Відображення в обліку операцій з придбання паливномастильних матеріалів залежить від способу їх придбання. Підприємства отримують паливномастильні матеріали за укладеними договорами з автозаправними станціями АЗС за безготівковим розрахунком та за готівку зі складів або на АЗС. Облік паливномастильних матеріалів проводиться працівниками комірниками з...