89067

Алгоритмы решения задач на определение среднего количества информации

Контрольная

Информатика, кибернетика и программирование

Провести кодирование по одной и блоками по две буквы, используя метод Шеннона-Фано. Сравнить эффективности кодов (величина энтропии). Данные взять из задачи 1. Алфавит передаваемых сообщений состоит из независимых букв Si. Вероятности появления каждой буквы в сообщении заданы.

Русский

2015-05-09

120.96 KB

31 чел.

МИНОБРНАУКИ РОССИИ

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

Высшего профессионального образования

«Пензенский государственный технологический университет»

(ПензГТУ)

Факультет «Информационных и образовательных технологий»

Кафедра «Информационные технологии и системы»

Дисциплина «Основы теории информации»

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА №1

Выполнил: студент группы 13ИС2Б

Чинков М.Ю.

Проверил: ст. преподаватель каф. ИТС

Пискаев К.Ю.

Пенза 2015

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ 3

1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ СРЕДНЕГО КОЛИЧЕСТВА ИНФОРМАЦИИ 4

2. ЗАВИСИМОСТЬ МЕЖДУ СИМВОЛАМИ МАТРИЦЫ УСЛОВНЫХ ВЕРОЯТНОСТЕЙ 5

3. КОДИРОВАНИЕ МЕТОДОМ ШЕННОНА-ФАНО 6

4. КОДИРОВАНИЕ АЛГОРИТМОМ ХАФФМАНА 8

5. ПРОПУСКНАЯ СПОСОБНОСТЬ КАНАЛА СВЯЗИ 11

заключение 12

список литературы 13


ВВЕДЕНИЕ

Цель данной контрольной работы – актуализация знаний в предмете «Основы теории информации».

В рамках контрольной работы было выполнено 5 заданий в соответствии с моим вариантом (вариант №23):

  1.  Определить среднее количество информации, содержащееся в сообщении, используемом три независимых символа S1, S2, S3. Известны вероятности появления символов p(S1)=p1, p(S2)=p2, p(S3)=p3. Оценить избыточность сообщения.
  2.  В условии предыдущей задачи учесть зависимость между символами, которая задана матрицей условных вероятностей P(Si / Sj).

3.  Провести кодирование по одной и блоками по две буквы, используя метод Шеннона – Фано. Сравнить эффективности кодов (величина энтропии). Данные взять из задачи 1.

4.  Алфавит передаваемых сообщений состоит из независимых букв Si. Вероятности появления каждой буквы в сообщении заданы. Определить и сравнить эффективность кодирования сообщений методом Хаффмана при побуквенном кодировании и при кодировании блоками по две буквы.

5.  Определить пропускную способность канала связи, по которому передаются сигналы Si. Помехи в канале определяются матрицей условных вероятностей P(Si / Sj). За секунду может быть передано N = 10 сигналов.

Простые вычисления и кодирования сообщений в заданиях были сделаны вручную, более сложные были сделаны с помощью среды разработки MATLAB R2014a. Формулы и решения задач были введены с помощью программы MathType.


  1.  ОПРЕДЕЛЕНИЕ СРЕДНЕГО КОЛИЧЕСТВА ИНФОРМАЦИИ

Энтропия источника – среднее количество информации в одном сообщении. Не следует путать энтропию с количеством информации в одном конкретном сообщении. Если в источнике есть множество сообщений, точно знать о каждом из них необязательно. В этом заключается преимущество среднего значения количества информации. Усреднение позволило Шеннону оценить как редкие, так и частые сообщения. Энтропия характеризует источник сообщения. Аналогично можно получить и “энтропийную характеристику сигнала”.

Задание: определить среднее количество информации, содержащееся в сообщении, используемом три независимых символа S1, S2, S3. Известны вероятности появления символов p(S1)=p1, p(S2)=p2, p(S3)=p3. Оценить избыточность сообщения. Вариант №23: p1=0.12; p2=0.13; p3=0.75.

Решение. Максимальное среднее количество информации на символ сообщения имеет место при равновероятном распределении и равно, согласно формуле.

Рассчитаем среднее количество информации на символ сообщения при заданных вероятностях по формуле, где n – число символов в алфавите, p – вероятность появления события.

Оценим избыточность сообщения по формуле.

Максимальная энтропия.

Реальная энтропия.

Избыточность сообщения.


  1.  ЗАВИСИМОСТЬ МЕЖДУ СИМВОЛАМИ МАТРИЦЫ УСЛОВНЫХ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

В большинстве реальных случаев появление элемента хi в сообщении зависит от того, какой элемент хj был предшествующим. Взаимосвязь элементов в сообщении характеризуется матрицей условных вероятностей.

Задание: в условии предыдущей задачи учесть зависимость между символами, которая задана матрицей условных вероятностей P(Si / Sj).

Вариант №23.

 

Решение. Рассчитаем энтропию источника по формуле.

Подставим числовые данные, используя задание 1.

Вычисление энтропии в программе MATLAB.

H2=p1*((0.7*log2(0.7)+0.3*log2(0.3)))+p2*((0.5*log2(0.5)+0.5*log2(0.5))++p3*(-(0.1*log2(0.1)+0.5*log2(0.5)+0.4*log2(0.4)));


  1.  КОДИРОВАНИЕ МЕТОДОМ ШЕННОНА-ФАНО

Кодирование Шеннона — Фано (англ. Shannon–Fano coding) — алгоритм префиксного неоднородного кодирования. Относится к вероятностным методам сжатия (точнее, методам контекстного моделирования нулевого порядка). Алгоритм Шеннона — Фано использует избыточность сообщения, заключённую в неоднородном распределении частот символов его (первичного) алфавита, то есть заменяет коды более частых символов короткими двоичными последовательностями, а коды более редких символов — более длинными двоичными последовательностями. Алгоритм был независимо друг от друга разработан Шенноном (публикация «Математическая теория связи», 1948 год) и, позже, Фано (опубликовано как технический отчёт).

Задание: провести кодирование по одной и блоками по две буквы, используя метод Шеннона – Фано. Сравнить эффективности кодов (величина энтропии). Данные взять из задачи 1.

Решение. Проведем кодирование методом Шеннона–Фэно и рассчитаем характеристики кода. Пусть исходный алфавит состоит из трех (по одной букве) и девяти (по две буквы) букв и заданы их вероятности. Проведем разбиения по алгоритму Шеннона–Фэно и составим кодовые комбинации.

xi

P(xi)

1

2

3

4

P3

0.75

0

0

1

P2

0.13

0

0

0

1

P1

0.12

0

0

0

0

Кодовые комбинации по одной букве.


xi

P(xi)

1

2

3

4

5

p3p3

0.5625

1

1

p3p2

0.0975

1

0

p2p3

0.0975

0

1

1

p3p1

0.09

0

1

0

p1p3

0.09

0

0

1

1

p2p2

0.0169

0

0

1

0

p2p1

0.0156

0

0

0

1

p1p2

0.0156

0

0

0

0

1

p1p1

0.0144

0

0

0

0

0

Кодовые комбинации по две буквы.

Рассчитаем энтропию по формуле.

Рассчитаем среднюю длину кодовой комбинации по формуле.

Рассчитаем эффективность кода, согласно формуле. 

Энтропия источника. По одной букве:

По две буквы:

 Средняя длина кодовой комбинации источника. По одной букве:

По две буквы:

Эффективность кода. По одной букве:

По две буквы:

  1.  КОДИРОВАНИЕ АЛГОРИТМОМ ХАФФМАНА

Один из первых алгоритмов эффективного кодирования информации был предложен Д. А. Хаффманом в 1952 году. Идея алгоритма состоит в следующем: зная вероятности символов в сообщении, можно описать процедуру построения кодов переменной длины, состоящих из целого количества битов. Символам с большей вероятностью ставятся в соответствие более короткие коды. Коды Хаффмана обладают свойством префиксности (то есть ни одно кодовое слово не является префиксом другого), что позволяет однозначно их декодировать. Классический алгоритм Хаффмана на входе получает таблицу частот встречаемости символов в сообщении. Далее на основании этой таблицы строится дерево кодирования Хаффмана (Н-дерево).

Задание: алфавит передаваемых сообщений состоит из независимых букв Si. Вероятности появления каждой буквы в сообщении заданы. Определить и сравнить эффективность кодирования сообщений методом Хаффмена при побуквенном кодировании и при кодировании блоками по две буквы. Вариант №23: (0,8;0,0;0,08;0,12).

Решение. Проведем кодирование методом Шеннона–Фэно.

xi

P(xi)

1

2

3

p1

0.8

1

p4

0.12

0

1

p3

0.08

0

0

1

p2

0

0

0

0

По одной букве.

xi

P(xi)

P1p1

0.64

P4p1

0.096

P1p4

0.096

P3p1

0.064

P1p3

0.064

P4p4

0.0144

P4p3

0.0096

P3p4

0.0096

P3p3

0.0064

P4p2

0

P2p4

0

P3p2

0

P2p3

0

P2p1

0

P1p2

0

P2p2

0

По две буквы.

Проведем кодирование по методу Хаффмена. Исходный алфавит состоит из нескольких букв с заданными вероятностями. Составим таблицу.

xi

P(xi)

Вспомогательный столбец

p1

0.8

0.8

p4

0.12

0.2

p3

0.08

p2

0

По одной букве.

xi

P(xi)

Вспомогательные столбцы

P1p1

0.64

0.64

P4p1

0.096

0.096

0.192

0.36

P1p4

0.096

0.096

0.168

P3p1

0.064

0.064

0.128

P1p3

0.064

0.064

0.040

P4p4

0.0144

0.0144

P4p3

0.0096

0.0096

0.0256

P3p4

0.0096

0.0160

P3p3

0.0064

P4p2

0

P2p4

0

P3p2

0

P2p3

0

P2p1

0

P1p2

0

P2p2

0

По две буквы.

Характеристики кода рассчитываются по тем же формулам, что и для кода Шеннона–Фано.

Рассчитаем энтропию по формуле.

Рассчитаем минимальную среднюю длину кодовой комбинации по формуле.

Рассчитаем эффективность кода, согласно формуле. 

Энтропия источника. По одной букве:

По две буквы:

Средняя длина кодовой комбинации источника. По одной букве:

По две буквы:

Эффективность кода. По одной букве:

По две буквы:


  1.  ПРОПУСКНАЯ СПОСОБНОСТЬ КАНАЛА СВЯЗИ

Пропускная способность — метрическая характеристика, показывающая соотношение предельного количества проходящих единиц (информации, предметов, объёма) в единицу времени через канал, систему, узел. В информатике определение пропускной способности обычно применяется к каналу связи и определяется максимальным количеством переданной или полученной информации за единицу времени.

Задание: Определить пропускную способность канала связи, по которому передаются сигналы Si. Помехи в канале определяются матрицей условных вероятностей P(Si / Sj). За секунду может быть передано N = 10 сигналов.

Вариант №23.

 

Решение. Рассчитаем условную энтропию по формуле.

Рассчитаем пропускную способность канала связи по формуле.

Условная энтропия.

Пропускная способность канала связи.


заключение

В рамках контрольной работы были изучены различные алгоритмы решения задач на определение среднего количества информации, содержащейся в сообщении, определение пропускной способности канала связи и алгоритмы кодирования сообщений (метод Шеннона-Фано, алгоритм Хаффмана).

Было выполнено 5 заданий:

1. Определить среднее количество информации, содержащееся в сообщении, используемом три независимых символа S1, S2, S3. Известны вероятности появления символов p(S1)=p1, p(S2)=p2, p(S3)=p3. Оценить избыточность сообщения.

2. В условии предыдущей задачи учесть зависимость между символами, которая задана матрицей условных вероятностей P(Si / Sj).

3.  Провести кодирование по одной и блоками по две буквы, используя метод Шеннона – Фано. Сравнить эффективности кодов (величина энтропии). Данные взять из задачи 1.

4.  Алфавит передаваемых сообщений состоит из независимых букв Si. Вероятности появления каждой буквы в сообщении заданы. Определить и сравнить эффективность кодирования сообщений методом Хаффмана при побуквенном кодировании и при кодировании блоками по две буквы.

5.  Определить пропускную способность канала связи, по которому передаются сигналы Si. Помехи в канале определяются матрицей условных вероятностей P(Si / Sj). За секунду может быть передано N = 10 сигналов.

Простые вычисления и кодирования сообщений в заданиях были сделаны вручную, более сложные были сделаны с помощью среды разработки MATLAB R2014a. Формулы и решения задач были введены с помощью программы MathType.

список литературы

  1.  Зверева Е.Н. Сборник примеров и задач по основам теории информации и кодирования сообщений/ Е.Н. Зверева, Е.Г.Лебедько. – СПб: НИУ ИТМО, 2014. – 76 с.
  2.  Калинцев С.В. Методические указания к контрольной работе по курсу «Теория кодирования»/ С.В.Калинцев. –2012. – 20 с.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

47845. Финансы железнодорожного транспорта 95 KB
  Сущность финансов железнодорожного транспорта Централизация управления финансами на железнодорожном транспорте ВВЕДЕНИЕ Транспортный комплекс состоит из большого количества взаимосвязанных отраслей и представляет собой особую транспортную отрасль производства обладающую общностью законов развития однородностью производственных процессов и назначением создаваемой продукции. Поэтому стратегия развития транспорта должна строиться с учетом неразрывности двух его функций: как поставщика услуг необходимых для развития экономики так и...
47846. ЗАКОН ХАРДИ-ВАЙНБЕРГА 622 KB
  ЧАСТОТА ГЕНА А и а рассматриваемые аллели N количество диплоидных особей 2N – количество генов D – количество особей с доминантными аллелями АА Н количество гетерозиготных особей Аа R – количество рецессивных особей аа D H R = N D H R структура популяции D H R доля или частота гена доля или частота гена а СЛУЧАЙНОЕ СКРЕЩИВАНИЕ структура популяции частота скрещиваний УСТАНОВЛЕНИЕ РАВНОВЕСИЯ формула теоретической популяции ; экспериментальная популяция
47847. Аспекты информатизации в цивилизации 817.5 KB
  Дробные числа переводятся аналогично но деление на группы проводится двигаясь вправо от десятичной точки и записывая недостающие нули являющиеся значащими. На каждом шаге деления получают цифры числа в системе S начиная с младшей. Отдельно для целой и дробной части числа в произвольной системе счисления.
47848. ПРИКЛАДНІ АСПЕКТИ ЗДІЙСНЕННЯ ІНВЕСТУВАННЯ В ЛЮДСЬКИЙ ПОТЕНЦІАЛ ТОВ «КРИЖАНА ФУДС» 413.77 KB
  Метою випускної кваліфікаційної роботи є розкриття теоретичних та практичних аспектів формування та функціонування ефективного інвестиційного поля для матеріальних та психологічних вкладень в людський капітал, а також визначення напрямів покращення його функціонування у ТОВ »Крижана Фудс».
47849. Модусы иронии в творчестве Евгения Замятина и пародия как средство выражения авторской позиции 159.5 KB
  Дать определение понятий «ирония» и «пародия» с точки зрения Ю.Н. Тынянова; привести классификацию иронико-комических модусов, выделенных в творчестве Е.И. Замятина; интерпретировать авторскую позицию через анализ приёмов иронически-пародийного модуса в книге «Нечестивые рассказы»; рассмотреть особенности комически-пародийного модуса в цикле «Чудеса».
47850. Элементарная логика 244.5 KB
  Логические операции можно объединить с помощью одного понятия – умозаключения или рассуждения. Форма понятия: Т. Форма понятия: круг символизирует любую совокупность предмета а каждая точка внутри символизирует отдельно взятые предметы. 1 суждение – 2 понятия.
47851. Высшая математика 4.3 MB
  Султанаев Высшая математика Курс лекций для студентов всех специальностей очной и заочной форм обучения...
47852. Менеджмент. Общее управление и менеджмент 207 KB
  Общее управление это управленческая деятельность и процессы связанные с разработкой концепции и стратегии развития организации постановкой ее цели планированием организационной деятельностью координированием контролем а при необходимости и корректировкой ранее принятых решений. Необходимо обеспечить наиболее правильное соотношение между цетролизацией и декзентролизацией в зависимости от конкретных условий; вознаграждение персонала; порядок;и инициатива персонала; корпоративный дух преданность организации; единство...
47853. Лекции по правоведению. Власть, политика и право 214 KB
  Предписание права суть таковым: честно жить – другим не вредить каждому своё отдавать. Пентаграмма Схема истинного познания Вещь предмет Образ идея Идеат научный предмет Идеал осознанный предмет Дух энергия синергия познание ведение Цель польза utilit Средства instrumenti процесс Способ механизм процедура стандарт Метод техника opertio Принцип основные положения Слово термин характер характеристика Понятие свойства Категория признак Феноме явление ноомен бытие Концепт этимон Форма структура конструкция...