89067

Алгоритмы решения задач на определение среднего количества информации

Контрольная

Информатика, кибернетика и программирование

Провести кодирование по одной и блоками по две буквы, используя метод Шеннона-Фано. Сравнить эффективности кодов (величина энтропии). Данные взять из задачи 1. Алфавит передаваемых сообщений состоит из независимых букв Si. Вероятности появления каждой буквы в сообщении заданы.

Русский

2015-05-09

120.96 KB

59 чел.

МИНОБРНАУКИ РОССИИ

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

Высшего профессионального образования

«Пензенский государственный технологический университет»

(ПензГТУ)

Факультет «Информационных и образовательных технологий»

Кафедра «Информационные технологии и системы»

Дисциплина «Основы теории информации»

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА №1

Выполнил: студент группы 13ИС2Б

Чинков М.Ю.

Проверил: ст. преподаватель каф. ИТС

Пискаев К.Ю.

Пенза 2015

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ 3

1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ СРЕДНЕГО КОЛИЧЕСТВА ИНФОРМАЦИИ 4

2. ЗАВИСИМОСТЬ МЕЖДУ СИМВОЛАМИ МАТРИЦЫ УСЛОВНЫХ ВЕРОЯТНОСТЕЙ 5

3. КОДИРОВАНИЕ МЕТОДОМ ШЕННОНА-ФАНО 6

4. КОДИРОВАНИЕ АЛГОРИТМОМ ХАФФМАНА 8

5. ПРОПУСКНАЯ СПОСОБНОСТЬ КАНАЛА СВЯЗИ 11

заключение 12

список литературы 13


ВВЕДЕНИЕ

Цель данной контрольной работы – актуализация знаний в предмете «Основы теории информации».

В рамках контрольной работы было выполнено 5 заданий в соответствии с моим вариантом (вариант №23):

  1.  Определить среднее количество информации, содержащееся в сообщении, используемом три независимых символа S1, S2, S3. Известны вероятности появления символов p(S1)=p1, p(S2)=p2, p(S3)=p3. Оценить избыточность сообщения.
  2.  В условии предыдущей задачи учесть зависимость между символами, которая задана матрицей условных вероятностей P(Si / Sj).

3.  Провести кодирование по одной и блоками по две буквы, используя метод Шеннона – Фано. Сравнить эффективности кодов (величина энтропии). Данные взять из задачи 1.

4.  Алфавит передаваемых сообщений состоит из независимых букв Si. Вероятности появления каждой буквы в сообщении заданы. Определить и сравнить эффективность кодирования сообщений методом Хаффмана при побуквенном кодировании и при кодировании блоками по две буквы.

5.  Определить пропускную способность канала связи, по которому передаются сигналы Si. Помехи в канале определяются матрицей условных вероятностей P(Si / Sj). За секунду может быть передано N = 10 сигналов.

Простые вычисления и кодирования сообщений в заданиях были сделаны вручную, более сложные были сделаны с помощью среды разработки MATLAB R2014a. Формулы и решения задач были введены с помощью программы MathType.


  1.  ОПРЕДЕЛЕНИЕ СРЕДНЕГО КОЛИЧЕСТВА ИНФОРМАЦИИ

Энтропия источника – среднее количество информации в одном сообщении. Не следует путать энтропию с количеством информации в одном конкретном сообщении. Если в источнике есть множество сообщений, точно знать о каждом из них необязательно. В этом заключается преимущество среднего значения количества информации. Усреднение позволило Шеннону оценить как редкие, так и частые сообщения. Энтропия характеризует источник сообщения. Аналогично можно получить и “энтропийную характеристику сигнала”.

Задание: определить среднее количество информации, содержащееся в сообщении, используемом три независимых символа S1, S2, S3. Известны вероятности появления символов p(S1)=p1, p(S2)=p2, p(S3)=p3. Оценить избыточность сообщения. Вариант №23: p1=0.12; p2=0.13; p3=0.75.

Решение. Максимальное среднее количество информации на символ сообщения имеет место при равновероятном распределении и равно, согласно формуле.

Рассчитаем среднее количество информации на символ сообщения при заданных вероятностях по формуле, где n – число символов в алфавите, p – вероятность появления события.

Оценим избыточность сообщения по формуле.

Максимальная энтропия.

Реальная энтропия.

Избыточность сообщения.


  1.  ЗАВИСИМОСТЬ МЕЖДУ СИМВОЛАМИ МАТРИЦЫ УСЛОВНЫХ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

В большинстве реальных случаев появление элемента хi в сообщении зависит от того, какой элемент хj был предшествующим. Взаимосвязь элементов в сообщении характеризуется матрицей условных вероятностей.

Задание: в условии предыдущей задачи учесть зависимость между символами, которая задана матрицей условных вероятностей P(Si / Sj).

Вариант №23.

 

Решение. Рассчитаем энтропию источника по формуле.

Подставим числовые данные, используя задание 1.

Вычисление энтропии в программе MATLAB.

H2=p1*((0.7*log2(0.7)+0.3*log2(0.3)))+p2*((0.5*log2(0.5)+0.5*log2(0.5))++p3*(-(0.1*log2(0.1)+0.5*log2(0.5)+0.4*log2(0.4)));


  1.  КОДИРОВАНИЕ МЕТОДОМ ШЕННОНА-ФАНО

Кодирование Шеннона — Фано (англ. Shannon–Fano coding) — алгоритм префиксного неоднородного кодирования. Относится к вероятностным методам сжатия (точнее, методам контекстного моделирования нулевого порядка). Алгоритм Шеннона — Фано использует избыточность сообщения, заключённую в неоднородном распределении частот символов его (первичного) алфавита, то есть заменяет коды более частых символов короткими двоичными последовательностями, а коды более редких символов — более длинными двоичными последовательностями. Алгоритм был независимо друг от друга разработан Шенноном (публикация «Математическая теория связи», 1948 год) и, позже, Фано (опубликовано как технический отчёт).

Задание: провести кодирование по одной и блоками по две буквы, используя метод Шеннона – Фано. Сравнить эффективности кодов (величина энтропии). Данные взять из задачи 1.

Решение. Проведем кодирование методом Шеннона–Фэно и рассчитаем характеристики кода. Пусть исходный алфавит состоит из трех (по одной букве) и девяти (по две буквы) букв и заданы их вероятности. Проведем разбиения по алгоритму Шеннона–Фэно и составим кодовые комбинации.

xi

P(xi)

1

2

3

4

P3

0.75

0

0

1

P2

0.13

0

0

0

1

P1

0.12

0

0

0

0

Кодовые комбинации по одной букве.


xi

P(xi)

1

2

3

4

5

p3p3

0.5625

1

1

p3p2

0.0975

1

0

p2p3

0.0975

0

1

1

p3p1

0.09

0

1

0

p1p3

0.09

0

0

1

1

p2p2

0.0169

0

0

1

0

p2p1

0.0156

0

0

0

1

p1p2

0.0156

0

0

0

0

1

p1p1

0.0144

0

0

0

0

0

Кодовые комбинации по две буквы.

Рассчитаем энтропию по формуле.

Рассчитаем среднюю длину кодовой комбинации по формуле.

Рассчитаем эффективность кода, согласно формуле. 

Энтропия источника. По одной букве:

По две буквы:

 Средняя длина кодовой комбинации источника. По одной букве:

По две буквы:

Эффективность кода. По одной букве:

По две буквы:

  1.  КОДИРОВАНИЕ АЛГОРИТМОМ ХАФФМАНА

Один из первых алгоритмов эффективного кодирования информации был предложен Д. А. Хаффманом в 1952 году. Идея алгоритма состоит в следующем: зная вероятности символов в сообщении, можно описать процедуру построения кодов переменной длины, состоящих из целого количества битов. Символам с большей вероятностью ставятся в соответствие более короткие коды. Коды Хаффмана обладают свойством префиксности (то есть ни одно кодовое слово не является префиксом другого), что позволяет однозначно их декодировать. Классический алгоритм Хаффмана на входе получает таблицу частот встречаемости символов в сообщении. Далее на основании этой таблицы строится дерево кодирования Хаффмана (Н-дерево).

Задание: алфавит передаваемых сообщений состоит из независимых букв Si. Вероятности появления каждой буквы в сообщении заданы. Определить и сравнить эффективность кодирования сообщений методом Хаффмена при побуквенном кодировании и при кодировании блоками по две буквы. Вариант №23: (0,8;0,0;0,08;0,12).

Решение. Проведем кодирование методом Шеннона–Фэно.

xi

P(xi)

1

2

3

p1

0.8

1

p4

0.12

0

1

p3

0.08

0

0

1

p2

0

0

0

0

По одной букве.

xi

P(xi)

P1p1

0.64

P4p1

0.096

P1p4

0.096

P3p1

0.064

P1p3

0.064

P4p4

0.0144

P4p3

0.0096

P3p4

0.0096

P3p3

0.0064

P4p2

0

P2p4

0

P3p2

0

P2p3

0

P2p1

0

P1p2

0

P2p2

0

По две буквы.

Проведем кодирование по методу Хаффмена. Исходный алфавит состоит из нескольких букв с заданными вероятностями. Составим таблицу.

xi

P(xi)

Вспомогательный столбец

p1

0.8

0.8

p4

0.12

0.2

p3

0.08

p2

0

По одной букве.

xi

P(xi)

Вспомогательные столбцы

P1p1

0.64

0.64

P4p1

0.096

0.096

0.192

0.36

P1p4

0.096

0.096

0.168

P3p1

0.064

0.064

0.128

P1p3

0.064

0.064

0.040

P4p4

0.0144

0.0144

P4p3

0.0096

0.0096

0.0256

P3p4

0.0096

0.0160

P3p3

0.0064

P4p2

0

P2p4

0

P3p2

0

P2p3

0

P2p1

0

P1p2

0

P2p2

0

По две буквы.

Характеристики кода рассчитываются по тем же формулам, что и для кода Шеннона–Фано.

Рассчитаем энтропию по формуле.

Рассчитаем минимальную среднюю длину кодовой комбинации по формуле.

Рассчитаем эффективность кода, согласно формуле. 

Энтропия источника. По одной букве:

По две буквы:

Средняя длина кодовой комбинации источника. По одной букве:

По две буквы:

Эффективность кода. По одной букве:

По две буквы:


  1.  ПРОПУСКНАЯ СПОСОБНОСТЬ КАНАЛА СВЯЗИ

Пропускная способность — метрическая характеристика, показывающая соотношение предельного количества проходящих единиц (информации, предметов, объёма) в единицу времени через канал, систему, узел. В информатике определение пропускной способности обычно применяется к каналу связи и определяется максимальным количеством переданной или полученной информации за единицу времени.

Задание: Определить пропускную способность канала связи, по которому передаются сигналы Si. Помехи в канале определяются матрицей условных вероятностей P(Si / Sj). За секунду может быть передано N = 10 сигналов.

Вариант №23.

 

Решение. Рассчитаем условную энтропию по формуле.

Рассчитаем пропускную способность канала связи по формуле.

Условная энтропия.

Пропускная способность канала связи.


заключение

В рамках контрольной работы были изучены различные алгоритмы решения задач на определение среднего количества информации, содержащейся в сообщении, определение пропускной способности канала связи и алгоритмы кодирования сообщений (метод Шеннона-Фано, алгоритм Хаффмана).

Было выполнено 5 заданий:

1. Определить среднее количество информации, содержащееся в сообщении, используемом три независимых символа S1, S2, S3. Известны вероятности появления символов p(S1)=p1, p(S2)=p2, p(S3)=p3. Оценить избыточность сообщения.

2. В условии предыдущей задачи учесть зависимость между символами, которая задана матрицей условных вероятностей P(Si / Sj).

3.  Провести кодирование по одной и блоками по две буквы, используя метод Шеннона – Фано. Сравнить эффективности кодов (величина энтропии). Данные взять из задачи 1.

4.  Алфавит передаваемых сообщений состоит из независимых букв Si. Вероятности появления каждой буквы в сообщении заданы. Определить и сравнить эффективность кодирования сообщений методом Хаффмана при побуквенном кодировании и при кодировании блоками по две буквы.

5.  Определить пропускную способность канала связи, по которому передаются сигналы Si. Помехи в канале определяются матрицей условных вероятностей P(Si / Sj). За секунду может быть передано N = 10 сигналов.

Простые вычисления и кодирования сообщений в заданиях были сделаны вручную, более сложные были сделаны с помощью среды разработки MATLAB R2014a. Формулы и решения задач были введены с помощью программы MathType.

список литературы

  1.  Зверева Е.Н. Сборник примеров и задач по основам теории информации и кодирования сообщений/ Е.Н. Зверева, Е.Г.Лебедько. – СПб: НИУ ИТМО, 2014. – 76 с.
  2.  Калинцев С.В. Методические указания к контрольной работе по курсу «Теория кодирования»/ С.В.Калинцев. –2012. – 20 с.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

44059. Разработка бизнес-плана по производству кондитерских изделий ООО «Бансес» 251.5 KB
  Важнейшей задачей разработки бизнеспланов является проблема привлечения и обоснования инвестиций и кредитов в том числе зарубежных необходимых для осуществления проектов технического перевооружения и реконструкции предприятий. 1337580 руб. 5788080 руб. Общая стоимость проекта по производству кондитерских изделий 936671 руб.
44060. Психологізм творчості Михайла Коцюбинського 475 KB
  Зображення процесів внутрішнього життя героїв у дитячих оповіданнях письменника За обєкт дослідження обрано дитячу та малу прозу Михайла Коцюбинського Цвіт яблуні Сон Що записано в книгу життя В дорозі Дорогою ціною Дебют Лялечка Ft morgn Харитя Ялинка Маленький грішник Intermezzo як найпоказовішу з погляду психологічного зображення зрілості авторської концепції. Із метою ширшого обґрунтування останньої комплексного розгляду художнього психологізму залучено інформацію про особисте життя...
44061. Расчет преобразовательного агрегата 2.27 MB
  Совместно с американскими специалистами были проанализированы достоинства и недостатки электроэнергетики России и США. Специалисты отрасли умели управлять ЕЭС и знали как её оптимально приспособить к рынку.
44062. Податковий контроль 290 KB
  Визначення поняття методика податкового контролю Податковий контроль властивий будь якій державі. Податковий контроль як один із елементів державного регулювання особливо в умовах нестабільної економічної ситуації має стати обєктивною передумовою подальшого розвитку підприємств сприяти удосконаленню податкового механізму через вияв економіко організаційного механізму оподаткування. У здійсненні податкового процесу чільне місце посідає саме контроль за формуванням і практичною реалізацією системи оподаткування в...
44063. Вплив соціально-психологічних факторів на мотивації поведінки неформальної молоді 588.5 KB
  В даній роботі виконано завдання щодо виявлення на основі тестування впливу соціальнопсихологічних факторів на мотивації поведінки неформальної молоді. Обєкт дослідження поведінка неформальної молоді Предмет дослідження вплив соціально-психологічних факторів на мотивації поведінки неформальної молоді Мета дослідження виявити соціальнопсихологічні фактори що впливають на мотивацію поведінки неформ молоді Завдання дослідження: аналіз сучасних досліджень впливу соцпсихол фактор на мотивац повед неформальн молодівизначення...
44064. Конкурентоспособность торговой организации ООО «Первая компьютерная компания» 727 KB
  Организационно-экономическая характеристика предприятия Оценка конкурентоспособности предприятия Предмет исследования конкурентоспособность торгового предприятия. Исходя из поставленных целей можно сформировать следующие задачи: исследование теоретических и методологических основ оценки конкурентоспособности фирмы; обоснование комплексного подхода к обеспечению конкурентоспособности товара; анализ деятельности сети магазинов Первая компьютерная компания; разработка мероприятий по повышению...
44065. АНАЛИЗ БУХГАЛТЕРСКОЙ ОТЧЕТНОСТИ И ФИНАНСОВЫХ РЕЗУЛЬТАТОВ ХОЗЯЙСТВЕННОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ 629 KB
  Анализ финансовых результатов деятельности предприятия Оценка имущественного положения предприятия Оценка ликвидности и платежеспособности вероятности банкротства предприятия Анализ деловой активности и рентабельности предприятия ООО Компания Альянс.
44066. Реалізація засобів моделювання обєкту для MMOPRG засобами Javascript 4.04 MB
  JavaScript - об'єктно-орієнтована скрипкова мова програмування. Являється діалектом мови ECMAScript. JavaScript частіше за все використовується в браузерах як мова сценаріїв для надання інтерактивності веб сторінкам. Тобто за допомогою JavaScript можливо міняти сторінку після того як вона повністю завантажилась у браузер.