89067

Алгоритмы решения задач на определение среднего количества информации

Контрольная

Информатика, кибернетика и программирование

Провести кодирование по одной и блоками по две буквы, используя метод Шеннона-Фано. Сравнить эффективности кодов (величина энтропии). Данные взять из задачи 1. Алфавит передаваемых сообщений состоит из независимых букв Si. Вероятности появления каждой буквы в сообщении заданы.

Русский

2015-05-09

120.96 KB

28 чел.

МИНОБРНАУКИ РОССИИ

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

Высшего профессионального образования

«Пензенский государственный технологический университет»

(ПензГТУ)

Факультет «Информационных и образовательных технологий»

Кафедра «Информационные технологии и системы»

Дисциплина «Основы теории информации»

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА №1

Выполнил: студент группы 13ИС2Б

Чинков М.Ю.

Проверил: ст. преподаватель каф. ИТС

Пискаев К.Ю.

Пенза 2015

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ 3

1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ СРЕДНЕГО КОЛИЧЕСТВА ИНФОРМАЦИИ 4

2. ЗАВИСИМОСТЬ МЕЖДУ СИМВОЛАМИ МАТРИЦЫ УСЛОВНЫХ ВЕРОЯТНОСТЕЙ 5

3. КОДИРОВАНИЕ МЕТОДОМ ШЕННОНА-ФАНО 6

4. КОДИРОВАНИЕ АЛГОРИТМОМ ХАФФМАНА 8

5. ПРОПУСКНАЯ СПОСОБНОСТЬ КАНАЛА СВЯЗИ 11

заключение 12

список литературы 13


ВВЕДЕНИЕ

Цель данной контрольной работы – актуализация знаний в предмете «Основы теории информации».

В рамках контрольной работы было выполнено 5 заданий в соответствии с моим вариантом (вариант №23):

  1.  Определить среднее количество информации, содержащееся в сообщении, используемом три независимых символа S1, S2, S3. Известны вероятности появления символов p(S1)=p1, p(S2)=p2, p(S3)=p3. Оценить избыточность сообщения.
  2.  В условии предыдущей задачи учесть зависимость между символами, которая задана матрицей условных вероятностей P(Si / Sj).

3.  Провести кодирование по одной и блоками по две буквы, используя метод Шеннона – Фано. Сравнить эффективности кодов (величина энтропии). Данные взять из задачи 1.

4.  Алфавит передаваемых сообщений состоит из независимых букв Si. Вероятности появления каждой буквы в сообщении заданы. Определить и сравнить эффективность кодирования сообщений методом Хаффмана при побуквенном кодировании и при кодировании блоками по две буквы.

5.  Определить пропускную способность канала связи, по которому передаются сигналы Si. Помехи в канале определяются матрицей условных вероятностей P(Si / Sj). За секунду может быть передано N = 10 сигналов.

Простые вычисления и кодирования сообщений в заданиях были сделаны вручную, более сложные были сделаны с помощью среды разработки MATLAB R2014a. Формулы и решения задач были введены с помощью программы MathType.


  1.  ОПРЕДЕЛЕНИЕ СРЕДНЕГО КОЛИЧЕСТВА ИНФОРМАЦИИ

Энтропия источника – среднее количество информации в одном сообщении. Не следует путать энтропию с количеством информации в одном конкретном сообщении. Если в источнике есть множество сообщений, точно знать о каждом из них необязательно. В этом заключается преимущество среднего значения количества информации. Усреднение позволило Шеннону оценить как редкие, так и частые сообщения. Энтропия характеризует источник сообщения. Аналогично можно получить и “энтропийную характеристику сигнала”.

Задание: определить среднее количество информации, содержащееся в сообщении, используемом три независимых символа S1, S2, S3. Известны вероятности появления символов p(S1)=p1, p(S2)=p2, p(S3)=p3. Оценить избыточность сообщения. Вариант №23: p1=0.12; p2=0.13; p3=0.75.

Решение. Максимальное среднее количество информации на символ сообщения имеет место при равновероятном распределении и равно, согласно формуле.

Рассчитаем среднее количество информации на символ сообщения при заданных вероятностях по формуле, где n – число символов в алфавите, p – вероятность появления события.

Оценим избыточность сообщения по формуле.

Максимальная энтропия.

Реальная энтропия.

Избыточность сообщения.


  1.  ЗАВИСИМОСТЬ МЕЖДУ СИМВОЛАМИ МАТРИЦЫ УСЛОВНЫХ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

В большинстве реальных случаев появление элемента хi в сообщении зависит от того, какой элемент хj был предшествующим. Взаимосвязь элементов в сообщении характеризуется матрицей условных вероятностей.

Задание: в условии предыдущей задачи учесть зависимость между символами, которая задана матрицей условных вероятностей P(Si / Sj).

Вариант №23.

 

Решение. Рассчитаем энтропию источника по формуле.

Подставим числовые данные, используя задание 1.

Вычисление энтропии в программе MATLAB.

H2=p1*((0.7*log2(0.7)+0.3*log2(0.3)))+p2*((0.5*log2(0.5)+0.5*log2(0.5))++p3*(-(0.1*log2(0.1)+0.5*log2(0.5)+0.4*log2(0.4)));


  1.  КОДИРОВАНИЕ МЕТОДОМ ШЕННОНА-ФАНО

Кодирование Шеннона — Фано (англ. Shannon–Fano coding) — алгоритм префиксного неоднородного кодирования. Относится к вероятностным методам сжатия (точнее, методам контекстного моделирования нулевого порядка). Алгоритм Шеннона — Фано использует избыточность сообщения, заключённую в неоднородном распределении частот символов его (первичного) алфавита, то есть заменяет коды более частых символов короткими двоичными последовательностями, а коды более редких символов — более длинными двоичными последовательностями. Алгоритм был независимо друг от друга разработан Шенноном (публикация «Математическая теория связи», 1948 год) и, позже, Фано (опубликовано как технический отчёт).

Задание: провести кодирование по одной и блоками по две буквы, используя метод Шеннона – Фано. Сравнить эффективности кодов (величина энтропии). Данные взять из задачи 1.

Решение. Проведем кодирование методом Шеннона–Фэно и рассчитаем характеристики кода. Пусть исходный алфавит состоит из трех (по одной букве) и девяти (по две буквы) букв и заданы их вероятности. Проведем разбиения по алгоритму Шеннона–Фэно и составим кодовые комбинации.

xi

P(xi)

1

2

3

4

P3

0.75

0

0

1

P2

0.13

0

0

0

1

P1

0.12

0

0

0

0

Кодовые комбинации по одной букве.


xi

P(xi)

1

2

3

4

5

p3p3

0.5625

1

1

p3p2

0.0975

1

0

p2p3

0.0975

0

1

1

p3p1

0.09

0

1

0

p1p3

0.09

0

0

1

1

p2p2

0.0169

0

0

1

0

p2p1

0.0156

0

0

0

1

p1p2

0.0156

0

0

0

0

1

p1p1

0.0144

0

0

0

0

0

Кодовые комбинации по две буквы.

Рассчитаем энтропию по формуле.

Рассчитаем среднюю длину кодовой комбинации по формуле.

Рассчитаем эффективность кода, согласно формуле. 

Энтропия источника. По одной букве:

По две буквы:

 Средняя длина кодовой комбинации источника. По одной букве:

По две буквы:

Эффективность кода. По одной букве:

По две буквы:

  1.  КОДИРОВАНИЕ АЛГОРИТМОМ ХАФФМАНА

Один из первых алгоритмов эффективного кодирования информации был предложен Д. А. Хаффманом в 1952 году. Идея алгоритма состоит в следующем: зная вероятности символов в сообщении, можно описать процедуру построения кодов переменной длины, состоящих из целого количества битов. Символам с большей вероятностью ставятся в соответствие более короткие коды. Коды Хаффмана обладают свойством префиксности (то есть ни одно кодовое слово не является префиксом другого), что позволяет однозначно их декодировать. Классический алгоритм Хаффмана на входе получает таблицу частот встречаемости символов в сообщении. Далее на основании этой таблицы строится дерево кодирования Хаффмана (Н-дерево).

Задание: алфавит передаваемых сообщений состоит из независимых букв Si. Вероятности появления каждой буквы в сообщении заданы. Определить и сравнить эффективность кодирования сообщений методом Хаффмена при побуквенном кодировании и при кодировании блоками по две буквы. Вариант №23: (0,8;0,0;0,08;0,12).

Решение. Проведем кодирование методом Шеннона–Фэно.

xi

P(xi)

1

2

3

p1

0.8

1

p4

0.12

0

1

p3

0.08

0

0

1

p2

0

0

0

0

По одной букве.

xi

P(xi)

P1p1

0.64

P4p1

0.096

P1p4

0.096

P3p1

0.064

P1p3

0.064

P4p4

0.0144

P4p3

0.0096

P3p4

0.0096

P3p3

0.0064

P4p2

0

P2p4

0

P3p2

0

P2p3

0

P2p1

0

P1p2

0

P2p2

0

По две буквы.

Проведем кодирование по методу Хаффмена. Исходный алфавит состоит из нескольких букв с заданными вероятностями. Составим таблицу.

xi

P(xi)

Вспомогательный столбец

p1

0.8

0.8

p4

0.12

0.2

p3

0.08

p2

0

По одной букве.

xi

P(xi)

Вспомогательные столбцы

P1p1

0.64

0.64

P4p1

0.096

0.096

0.192

0.36

P1p4

0.096

0.096

0.168

P3p1

0.064

0.064

0.128

P1p3

0.064

0.064

0.040

P4p4

0.0144

0.0144

P4p3

0.0096

0.0096

0.0256

P3p4

0.0096

0.0160

P3p3

0.0064

P4p2

0

P2p4

0

P3p2

0

P2p3

0

P2p1

0

P1p2

0

P2p2

0

По две буквы.

Характеристики кода рассчитываются по тем же формулам, что и для кода Шеннона–Фано.

Рассчитаем энтропию по формуле.

Рассчитаем минимальную среднюю длину кодовой комбинации по формуле.

Рассчитаем эффективность кода, согласно формуле. 

Энтропия источника. По одной букве:

По две буквы:

Средняя длина кодовой комбинации источника. По одной букве:

По две буквы:

Эффективность кода. По одной букве:

По две буквы:


  1.  ПРОПУСКНАЯ СПОСОБНОСТЬ КАНАЛА СВЯЗИ

Пропускная способность — метрическая характеристика, показывающая соотношение предельного количества проходящих единиц (информации, предметов, объёма) в единицу времени через канал, систему, узел. В информатике определение пропускной способности обычно применяется к каналу связи и определяется максимальным количеством переданной или полученной информации за единицу времени.

Задание: Определить пропускную способность канала связи, по которому передаются сигналы Si. Помехи в канале определяются матрицей условных вероятностей P(Si / Sj). За секунду может быть передано N = 10 сигналов.

Вариант №23.

 

Решение. Рассчитаем условную энтропию по формуле.

Рассчитаем пропускную способность канала связи по формуле.

Условная энтропия.

Пропускная способность канала связи.


заключение

В рамках контрольной работы были изучены различные алгоритмы решения задач на определение среднего количества информации, содержащейся в сообщении, определение пропускной способности канала связи и алгоритмы кодирования сообщений (метод Шеннона-Фано, алгоритм Хаффмана).

Было выполнено 5 заданий:

1. Определить среднее количество информации, содержащееся в сообщении, используемом три независимых символа S1, S2, S3. Известны вероятности появления символов p(S1)=p1, p(S2)=p2, p(S3)=p3. Оценить избыточность сообщения.

2. В условии предыдущей задачи учесть зависимость между символами, которая задана матрицей условных вероятностей P(Si / Sj).

3.  Провести кодирование по одной и блоками по две буквы, используя метод Шеннона – Фано. Сравнить эффективности кодов (величина энтропии). Данные взять из задачи 1.

4.  Алфавит передаваемых сообщений состоит из независимых букв Si. Вероятности появления каждой буквы в сообщении заданы. Определить и сравнить эффективность кодирования сообщений методом Хаффмана при побуквенном кодировании и при кодировании блоками по две буквы.

5.  Определить пропускную способность канала связи, по которому передаются сигналы Si. Помехи в канале определяются матрицей условных вероятностей P(Si / Sj). За секунду может быть передано N = 10 сигналов.

Простые вычисления и кодирования сообщений в заданиях были сделаны вручную, более сложные были сделаны с помощью среды разработки MATLAB R2014a. Формулы и решения задач были введены с помощью программы MathType.

список литературы

  1.  Зверева Е.Н. Сборник примеров и задач по основам теории информации и кодирования сообщений/ Е.Н. Зверева, Е.Г.Лебедько. – СПб: НИУ ИТМО, 2014. – 76 с.
  2.  Калинцев С.В. Методические указания к контрольной работе по курсу «Теория кодирования»/ С.В.Калинцев. –2012. – 20 с.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

7167. Фінансовий ринок. Класифікація структурних складових фінансового ринку 179.5 KB
  Фінансовий ринок Фінансовий ринок як механізм міжгалузевого перебігу капіталу, та перерозподілу коштів. Функції фінансового ринку. Класифікація структурних складових фінансового ринку. Фондовий ринок. Фінансові інститут...
7168. Інфляція та грошові реформи 1.08 MB
  Інфляція та грошові реформи Суть інфляції. Теоретичні концепції інфляції. Основні форми інфляції. Основні показники вимірювання інфляції. Методи регулювання інфляції. Грошові реформи: поняття та цілі. Класиф...
7169. Економічні потреби і виробничі можливості суспільства. Економічні інтереси 125.5 KB
  Економічні потребиі виробничі можливостісуспільства. Економічні інтереси План 1. Виробничі можливості суспільства і продукт виробництва 2. Виробничий потенціал і межа виробничих можливостей 3. Економічні потреби суспільства. Закон зроста...
7170. Економічна система суспільства 79 KB
  Економічна система суспільства План 1. Сутність і основні структурні елементи економічної системи 2. Продуктивні сили як матеріальна основа економічної системи 3. Економічні відносини як соціальна форма і спосіб організації економічної системи. Екон...
7171. В чем заключаются сущность и принципиальные различия между либеральной, консервативной и социалистической идеологиями 61.08 KB
  В чем заключаются сущность и принципиальные различия между либеральной, консервативной и социалистической идеологиями? Либерализм (либеральная идеология) - учение и общественно-политическое течение, содержащее установку на обеспечение свободы л...
7172. Охорона праці. Методичні вказівки до дипломної роботи 73.49 KB
  Питання наукової організації праці, культури виробництва, ефективності та якості праці нерозривно пов'язані з умовами й охороною праці. Хоч насиченість сучасного виробництва найновітнішою технікою служить...
7173. Теоретичні основи впровадження рейтингової системи педагогічного контролю у процес професійної підготовки майбутніх фахівців з фізичного виховання 289 KB
  Теоретичні основи впровадженнярейтингової системи педагогічного контролюу процес професійної підготовкимайбутніх фахівців з фізичного виховання ЗМІСТ Вступ Розділ І. Аналіз літератури 1.1. Кваліметрія знань як компонент концепції н...
7174. Проверка поведения, ее теоретические основы и ее практическое выполнение 114 KB
  Рудольф Менцель Проверка поведения, ее теоретические основы и ее практическое выполнение I РАЗДЕЛ: Принципиальное наблюдение за поведением защитно-караульной собаки Введение Выращивание — это формирование определенных форм в живом мире. Заводчи...
7175. Металлургия черных металлов. Учебное пособие по дипломному проектированию 2.01 MB
  Введение Во второй части пособия авторы представили методику расчета количества рабочих и ИТР, показан пример расчета фонда заработной платы, расчет себестоимости продукции, дан расчет показателей экономической эффективности проектируемо...