8913

Лекции по теоретической механике

Конспект

Физика

Лекции по теоретической механике Динамика точки Лекция 1 Основные понятия динамики В разделе Динамика изучается движение тел под действием приложенных к ним сил. Поэтому, кроме тех понятий, которые вводились в разделе Кинематика, здесь необход...

Русский

2013-02-19

774 KB

4 чел.

Лекции по теоретической механике

Динамика точки

Лекция 1

  1.  Основные понятия динамики

В разделе Динамика изучается движение тел под действием приложенных к ним сил. Поэтому, кроме тех понятий, которые вводились в разделе Кинематика, здесь необходимо использовать новые понятия, отражающие специфику воздействия сил на различные тела и реакцию тел на эти воздействия. Рассмотрим основные из этих понятий.

а) сила

Сила есть количественный результат воздействия на данное тело со стороны других тел. Сила является векторной величиной (рис.1). 

                                   М                    А

                                                                          

                                                 Рис.1                                       N

Точка А начала вектора силы F называется точкой приложения силы. Прямая MN на которой находится вектор силы называется линией действия силы. Длина вектора силы, измеренная в определённом масштабе, называется численным значением или модулем вектора силы. Модуль силы обозначается, как  или .   Действие силы на тело проявляется либо в его деформации, если тело неподвижно, либо в сообщении ему ускорения при движении тела. На этих проявлениях силы основано устройство различных приборов (силомеров или динамометров) для измерения сил.

б) система сил

Рассматриваемая совокупность сил образует систему сил. Любая система, состоящая из n сил, может быть записана в следующем виде:

          в) свободное тело

Тело, которое может перемещаться в пространстве в любом направлении, не испытывая непосредственного (механического) взаимодействия с другими телами, называется свободным или изолированным. Воздействие той или иной системы сил на тело может быть выяснено только в том случае, если это тело свободное.

г) равнодействующая сила

Если какая - либо сила оказывает на свободное тело такое же воздействие, как и некоторая система сил, то эта сила называется равнодействующей данной системы сил. Это записывается следующим образом:

                           ,

что означает эквивалентность воздействия на одно и то же свободное тело равнодействующей  и некоторой системы n сил.

Перейдём теперь к рассмотрению более сложных понятий, связанных с количественным определением вращательных воздействий сил.

д) момент силы относительно точки (центра)

Если тело под действием силы может поворачиваться вокруг некоторой неподвижной точки О (рис.2), то для количественной оценки этого вращательного воздействия вводится физическая величина, которая называется моментом силы относительно точки (центра).                 

                                 В      

   

                             А

                              h

                О           90

                            Рис.2

Плоскость, проходящая через данную неподвижную точку и линию действия силы, называется плоскостью действия силы. На рис.2 это плоскость ОАВ.

Моментом силы относительно точки (центра) называется векторная величина равная векторному произведению радиус-вектора точки приложения силы на вектор силы:

                                                                             (1)

Согласно правилу векторного умножения двух векторов их векторное произведение есть вектор перпендикулярный плоскости расположения векторов сомножителей (в данном случае плоскости треугольника ОАВ), направленный в ту сторону, откуда кратчайший поворот первого вектора сомножителя ко второму вектору сомножителювиден против стрелки часов (рис.2). При таком порядке векторов сомножителей векторного произведения (1), поворот тела под действием силы будет виден против стрелки часов (рис.2) Так как вектор  перпендикулярен плоскости действия силы, то его расположение в пространстве определяет положение плоскости действия силы.    Численное значение вектора момента силы относительно центра равно удвоенной площади ОАВ и может быть определено по формуле:

                               ,                                      (2)

где величина h, равная кратчайшему расстоянию от данной точки О до линии действия силы, называется плечом силы.

Если положение плоскости действия силы в пространстве не существенно для характеристики вращательного воздействия силы, то в этом случае, для характеристики вращательного воздействия силы, вместо вектора момента силы используется алгебраический момент силы:

                                                                                      (3)

Алгебраический момент силы относительно данного центра равен взятому со знаком плюс или минус произведению модуля силы на её плечо. При этом положительный момент соответствует повороту тела под действием данной силы против стрелки часов, а отрицательный момент повороту тела по стрелке часов. Из формул (1), (2) и (3) следует, что момент силы относительно точки равен нулю только в том случае, когда плечо этой силы h равно нулю. Такая сила не может вращать тело вокруг данной точки.

е) Момент силы относительно оси

Если тело под действием силы может поворачиваться вокруг некоторой неподвижной оси (например, поворот двери или оконной рамы в петлях при их открытии или закрытии), то для количественного определения этого вращательного воздействия вводится физическая величина, которая называется моментом силы относительно данной оси.

                                                     z

                                                        B        

                       

                                    90                   A  

                                                            b     Fxy         

                                                                    h          a

                                                        O                             y

                                     x 

                                                          Рис.3

 

На рис.3 представлена схема, в соответствие с которой определяется момент силы относительно оси z:

               (4)

Угол образован двумя перпендикулярными направлениями z и  к плоскостям треугольников Oab и ОАВ соответственно. Так как  Oab является проекцией ОАВ на плоскость xy , то по теореме стереометрии о проекции плоской фигуры на данную плоскость имеем:

                                 ,                         (5)

где знак плюс соответствует положительному значению cos, т. е. острым углам , а знак минус соответствует отрицательному значению cos, т. е. тупым углам , что обусловлено направлением вектора . В свою очередь SOab=1/2abh, где hab. Величина отрезка ab равна проекции силы  на плоскость xy, т.е. ab=Fxy.

На основании вышеизложенного, а так же равенств (4) и (5), определим момент силы  относительно оси z следующим образом:

                                                          (6)

Равенство (6) позволяет сформулировать следующее определение момента силы относительно любой оси: Момент силы относительно данной оси равен проекции на эту ось вектора момента этой силы относительно любой точки данной оси и определяется как взятое со знаком плюс или минус произведение проекции силы на плоскость перпендикулярную данной оси на плечо этой проекции относительно точки пересечения оси с плоскостью проекции. При этом знак момента считается положительным, если, глядя с положительного направления оси, поворот тела вокруг этой оси виден против стрелки часов. В противном случае момент силы относительно оси берётся отрицательным. Поскольку данное определение момента силы относительно оси довольно сложно для запоминания, то рекомендуется запомнить формулу (6) и рис.3, поясняющий эту формулу.

Из формулы (6) следует, что момент силы относительно оси равен нулю, если она параллельна оси (в этом случае её проекция на плоскость перпендикулярную оси равна нулю), или линия действия силы пересекает ось (тогда плечо проекции h=0). Это полностью соответствует физическому смыслу момента силы относительно оси как количественной характеристики вращательного воздействия силы на тело, имеющее ось вращения.

ж) масса тела

Уже давно было замечено, что под действием силы тело набирает скорость постепенно и продолжает движение, если силу убрать. Это свойство тел, сопротивляться изменению своего движения, было названо инерцией или инертностью тел. Количественной мерой инертности тела является его масса. Кроме того, масса тела является количественной мерой воздействия на данное тело гравитационных сил чем больше масса тела, тем большая гравитационная сила действует на тело. Как будет показано ниже, эти два определения массы тела связаны между собой.

Остальные понятия и определения динамики будут рассмотрены позднее в тех разделах, где они впервые встретятся.

2. Связи и реакции связей

Ранее в разделе 1 пункт (в) было дано понятие свободного тела, как тела, которое может перемещаться в пространстве в любую сторону, не находясь в непосредственном контакте с другими телами. Большинство реальных тел, окружающих нас, находятся в непосредственном контакте с другими телами и не могут перемещаться в тех или иных направлениях. Так, например, тела, находящиеся на поверхности стола, могут перемещаться в любую сторону, кроме направления, перпендикулярного поверхности стола вниз. Двери, закреплённые на петлях, могут совершать вращательное движение, но не могут двигаться поступательно и т. д. Тела, которые не могут двигаться в пространстве в тех или иных направлениях называются несвободными.

Всё, что ограничивает перемещение данного тела в пространстве, называется связями. Это могут быть какие-либо другие тела, препятствующие перемещению данного тела в некоторых направлениях (физические связи); в более широком плане, это могут быть некоторые условия, налагаемые на движение тела, ограничивающие это движение. Так, можно поставить условие, чтобы движение материальной точки происходило по заданной кривой. В этом случае связь задаётся математически в виде уравнения (уравнение связи). Более подробно вопрос о типах связей будет рассмотрен ниже.

Большинство связей, налагаемых на тела, практически, относятся к физическим связям. Поэтому встаёт вопрос о взаимодействии данного тела и связи, наложенной на это тело. На этот вопрос отвечает аксиома о взаимодействии тел: Два тела действуют друг на друга с силами равными по модулю, противоположными по направлению и расположенными на одной прямой. Эти силы называются силами взаимодействия. Силы взаимодействия приложены к разным взаимодействующим телам. Так, например, при взаимодействии данного тела и связи одна из сил взаимодействия приложена со стороны тела к связи, а другая сила взаимодействия приложена со стороны связи к данному телу. Эта последняя сила называется силой реакции связи или, просто, реакцией связи.

При решении практических задач динамики необходимо уметь находить направление реакций различных типов связей. В этом иногда может помочь общее правило определения направления реакции связи: Реакция связи всегда направлена противоположно тому направлению, в котором эта связь препятствует перемещению данного тела. Если это направление можно указать определённо, то и реакция связи будет определена по направлению. В противном случае направление реакции связи неопределённо и может быть найдено только из соответствующих уравнений движения или равновесия тела. Более подробно вопрос о типах связей и направлении их реакций следует изучить по учебнику: С.М. Тарг Краткий курс теоретической механики "Высшая школа", М., 1986г. Гл.1, §3.

В разделе 1 пункт (в) было сказано о том, что полностью определить воздействие какой-либо системы сил можно только в том случае, если эта система сил приложена к свободному телу. Так как большинство тел, реально, являются несвободными, то, чтобы изучить движение этих тел,  встаёт вопрос о том, как эти тела сделать свободными. На этот вопрос отвечает аксиома связей или принцип освобождаемости. Согласно этой аксиоме любое несвободное тело можно сделать свободным (освободить от связей), если связи, наложенные на это тело, отбросить, заменив их соответствующими силами реакций, и приложив к телу все остальные, действующие на него силы.

  1.  Основные законы (аксиомы) динамики

Основными законами динамики являются три закона Ньютона и принцип независимости действия сил. Эти законы рассматривались в курсе физики средней школы и в вузовском курсе общей физики. В разделе «Динамика» курса теоретической механики эти законы играют роль аксиом. Сформулируем данные законы:

1 закон Свободная материальная точка сохраняет состояние покоя или равномерного прямолинейного движения до тех пор, пока на неё не подействует какая либо сила. Этот закон был сформулирован  Галилеем и называется законом инерции.

2 закон Сила, действующая на свободную материальную точку, вызывает её ускорение прямо пропорциональное силе и обратно пропорциональное массе точки (Рис.4).

                                                                               F

       M,t                                               w=                                   (7)       

                                                                               m

                      w

                                        F  

                            Рис.4

     

Второй закон динамики  устанавливает количественное соотношение между силой, действующей на точку и её ускорением, что позволяет связать силу с другими кинематическими характеристиками движения точки. Поэтому данный закон имеет важнейшее значение не только для изучения макроскопического механического движения тел, но и для изучения движения весьма малых тел (электронов, атомов, молекул, броуновских частиц и т.д.) в микромире.

Равенство (7) показывает, что векторы силы и ускорения точки всегда направлены по одной прямой в одну и ту же сторону. На этом основании связь между численными значениями этих векторов имеет вид:

                            w=F/m  или  F=mw                                            (8)

Из второго закона динамики вытекает следствие, устанавливающее физический смысл массы материальной точки как количественной меры её инертности. Под инертностью материальной точки будем понимать свойство этой точки оказывать сопротивление воздействию силы, что выражается в её способности в большей или меньшей степени сохранять состояние покоя или равномерного прямолинейного движения (об этом можно судить по величине ускорения, приобретаемого точкой).

Рассмотрим пример. Даны две материальные точки с массами m1 и m2 (m1 < m2), на которые действуют одинаковые силы F. В этом случае ускорения точек являются коллинеарными векторами, которые можно сравнивать между собой. На основании равенства (7) имеем:

                               F                F

                       w1= ,    w2=                                                    

                                 m1                        m2

Из этих равенств следует w1 >w2, т.е. первая материальная точка, обладающая меньшей массой менее инертна, чем вторая, обладающая большей массой.

Ранее, Галилеем, экспериментальным путём было установлено, что гравитационная сила, действующая на все тела вблизи поверхности Земли (сила тяжести), вызывает одно и то же ускорение этих тел g (ускорение свободного падения), направленное в сторону действия силы тяжести. Записав для силы тяжести P уравнение (8), получим известную формулу, связывающую силу тяжести на поверхности Земли (вес тела) с массой тела:

                                                                                   (9)

Отсюда следует, что, данное выше, определение массы как меры инертности тела, и определение массы как меры гравитационного воздействия Земли на все тела, находящиеся на её поверхности, связаны между собой одним и тем же уравнением. Массы тел можно сравнивать друг с другом либо по ускорениям, приобретаемым телами под действием одной и той же силы, либо по силе притяжения Земли (9).  

3 закон Две материальные точки взаимодействуют между собой силами, численно равными друг другу, направленными вдоль прямой, соединяющей эти точки, в противоположные стороны (Рис.5).

                                                                                          F12=-F21

                              F21

                                        

              F12

                           Рис.5

Третий закон динамики используется при изучении раздела «Динамика материальной системы», где изучается движение взаимодействующих между собой материальных точек и твёрдых тел.

4 закон (принцип независимости действия сил) Система сил, действующих на точку, вызывает её ускорение равное геометрической сумме тех ускорений, которые она имела бы под действием каждой силы в отдельности (Рис.6).

                                                                        

                               wn                                            F1            F2             Fn

                      Fn                            w1= ,  w2=  …wn=    (10)       

                                                                    m               m               m 

                           F1                               

                                      w1                w=w1+w2+…+wn                        (11)                                                                                                                                                                                                                                         

                         w2                   w

                           Рис.6             

Из второго и четвёртого законов динамики вытекает следствие, обобщающее второй закон динамики для случая действия на точку нескольких сил. Умножим левую и правую части равенства (11) на массу точки. Принимая во внимание соотношения (10), получим:

                                                                               (12)

Равенство (11) является основным в динамике точки, поэтому, в отличие от второго закона динамики, будем называть его основным уравнением динамики точки.

Следует отметить, что основные законы динамики, сформулированные выше, справедливы, в общем случае, только тогда, когда движение точки рассматривается относительно неподвижной системы отсчёта, или системы отсчёта, движущейся поступательно с постоянной скоростью её начала. Такие системы отсчёта, в которых выполняются основные законы динамики, называются инерциальными системами отсчёта. Системы отсчёта, жёстко связанные с поверхностью Земли, строго говоря, не являются инерциальными, так как Земля движется не поступательно. Но так как вращение Земли вокруг своей оси довольно медленное (0,0000727рад/c), то при решении многих практически важных задач механики, с достаточной степенью точности, можно считать системы отсчёта, жёстко связанные с поверхностью Земли, инерциальными.    

  1.  Дифференциальные уравнения движения точки

Основное уравнение динамики точки является главным источником получения остальных математических соотношений, с помощью которых проводится исследование движения точки. В частности, из него получается самый мощный на сегодняшний день математический аппарат исследования движения точки  дифференциальные уравнения движения точки.

Дифференциальные уравнения движения могут быть записаны в различной форме в зависимости от того, какая система координат используется в качестве системы отсчёта. Наиболее распространёнными в учебной практике системами отчёта являются декартова и естественная системы координат. Поэтому преобразуем основное уравнение динамики точки (12) применительно к этим системам координат.

Проектируя векторное равенство (12) на оси неподвижной декартовой системы координат получим:

          mwx=Fkx, mwy=Fky, mwz=Fkz, (k=1,2,…n)                    (13)

Проекции ускорения точки на оси декартовой системы координат найдём по формулам кинематики:

                                                      (14)

На основании равенств (14), выражения (13) примут вид:

                              (15)

Равенства (15) называются дифференциальными уравнениями движения материальной точки в декартовой системе координат.

Запишем теперь дифференциальные уравнения движения точки в естественной форме. Для этого спроектируем левую и правую части векторного равенства (12) на естественные оси координат  (рис.7). Учтём,

что проекция ускорения точки на бинормаль b к её траектории равна нулю. После этого, получим следующие три скалярных равенства:

                              (16)

                                                

                         M,t                   

          b                 

                      n

                              Рис.7

                              

Представим проекции ускорения точки на касательную и нормаль к траектории в дифференциальной форме, используя формулы кинематики:

                    ,                             (17)

где s=f(t)-закон движения точки. С учётом формул (17), равенства (16) примут вид:

                         (18)

Равенства (18) являются дифференциальными уравнениями движения точки, записанными в естественной форме.

                                              ЛЕКЦИЯ 2

  1.  Две основные задачи динамики точки

Задачи динамики точки в большинстве случаев сводятся к одному из двух типов задач: 1-й основной (прямой) задаче динамики, или 2-й основной (обратной) задаче динамики. Эти задачи решаются с применением дифференциальных уравнений движения точки, записанных в соответствующей форме и формулируются следующим образом:

1-я основная (прямая) задача динамики  По заданному движению материальной точки определить какие-либо силы, действующие на эту точку. При решении этой задачи используется прямая математическая операция дифференцирования заданных уравнений движения точки, поэтому такая задача называется ещё прямой задачей динамики.

2-я основная (обратная) задача динамики  По заданным силам, действующим на материальную точку, найти её движение. Эта задача решается с использованием обратной математической операции интегрирования функций или дифференциальных уравнений движения точки. На этом основании данная задача называется ещё обратной задачей динамики.

Следует отметить, что обратные задачи динамики являются наиболее сложным типом задач, что, во-первых, связано со сложностью операции интегрирования дифференциальных уравнений, а, во- вторых, со сложностью правильной постановки самой задачи и анализом полученного решения. За недостатком времени, отводимого на лекционный курс, более подробное изложение решения двух основных задач динамики точки с соответствующими примерами проводится на практических занятиях.

Здесь будет рассмотрено приложение обратной задачи динамики к исследованию очень важного, с точки зрения технического применения, процесса механических колебаний.

  1.  Колебательные движения материальной точки

Обычно, под колебательным движением точки понимается её движение по некоторой незамкнутой ограниченной траектории, при повторении, по крайней мере, некоторых положений точки на фиксированной кривой в течении достаточно длительного промежутка времени. Колебательное движение точки относится к периодическим движениям, понимая под этим периодическую повторяемость положений точки. Периодом данного периодического движения будем называть промежуток времени, за который точка, вышедшая из какого-либо положения опять в него возвращается, имея первоначальное направление движения. Если величина периода не зависит от выбора первоначального положения точки, то периодическое движение точки будет происходить с постоянным периодом. В противном случае, период данного периодического движения будет переменным. Колебательные движения точки так же могут происходить с постоянным или переменным периодами. Рассмотрим некоторые характерные случаи колебательных движений точки.

а) Прямолинейные гармонические колебания

Рассматривается прямолинейное движение материальной точки под действием силы, направленной вдоль этой прямой к некоторой неподвижной точке (центру), пропорциональной расстоянию точки от этого центра (рис.1). В начальный момент времени точка находилась на расстоянии от данного центра и имела скорость .

  1.  постановка задачи

                                                                      Дано: Fx=-cx

          0               F       M,t                                         t0=0,      

                                                      x  

                        x                                                Определить x(t) и исследовать

                                                                                              движение.

                      Рис.1                                           

Сила F, с вышеуказанными свойствами, относится к типу упругих (квазиупругих) сил и называется ещё восстанавливающей силой, понимая под этим то, что точка, под действием данной силы, стремится восстановить своё положение в притягивающем центре. Коэффициент c в выражении проекции этой силы (см. Дано) называется коэффициентом восстанавливающей силы.  

2) математическое решение

                          ,  ,

                         ,                                     (1)

где

                                                                                   (2)

Дифференциальное уравнение (1) является линейным, однородным с постоянными коэффициентами. Запишем это уравнение в стандартной форме:

                                                                              (3)  

Его решение ищется по значению корней соответствующего характеристического уравнения, имеющего вид:

                                                                             (4)

где - характеристическое число. Корни этого уравнения равны:

                                                                 (5)

Так как корни характеристического уравнения чисто мнимые сопряжённые, то решение дифференциального уравнения (1) запишется как линейная комбинация синуса и косинуса аргумента :

                                                       (6)

Непосредственной подстановкой выражения (6) в уравнение (1) можно убедиться, что это уравнение обратится в тождество, т.е. функция (6) действительно является решением дифференциального уравнения (1).

Определим теперь постоянные интегрирования C1 и C2, используя  начальные условия задачи. Для этого найдём проекцию скорости точки на ось x , продифференцировав функцию (6) по времени:

                                      (7)

Подставим теперь начальные условия задачи (см. Дано) в левую и правую части выражений (6) и (7):

                       или                         (8)

Подставив найденные значения постоянных интегрирования в выражение (6), запишем его в виде:

                                                            (9)

3) анализ полученного решения

Для анализа кинематического уравнения (9) представим его в иной форме, выразив две постоянные интегрирования через две другие постоянные по формулам:

                                                         (10)

На основании равенств (10), функция (9) примет следующий вид:

                 , или

                                                                     (11)

Для определения новых постоянных интегрирования через начальные условия задачи, можно поступить, так же как и в предыдущем случае, т.е. продифференцировать функцию (11) по времени и подставить начальные условия в саму функцию и её первую производную. При этом получим уже имеющуюся систему уравнений (10) .

Решим эту систему, исключив из неё сначала постоянную  (путём возведения в квадрат левых и правых частей выражений (10) и последующего сложения соответственно их левых и правых частей), а затем исключив постоянную А (делением друг на друга соответственно левых и правых частей уравнений (10)). После этого получим:

                                            (12)

Запишем равенство (11), подставляя в него выражения (12):

 

                              (13)

Проанализируем выражения (11) или (13). Поскольку аргумент t входит под знак синуса, то движение материальной точки будет представлять прямолинейное периодическое движение, по ограниченному отрезку, происходящее по закону синуса. Это движение, по данному выше определению, является колебательным. Такие колебательные движения называются синусоидальными или гармоническими (функции синус и косинус относятся к, так называемым, гармоническим функциям). Коэффициент A (12) перед знаком синуса в формуле (13) определяет наибольшее отклонение материальной точки от начала координат и называется амплитудой гармонических колебаний. Как следует из формулы (12) амплитуда гармонических колебаний тем больше, чем больше начальное отклонение точки от притягивающего центра и её начальная скорость. Графиком гармонических колебаний является синусоида (например, показанная  на рис.2).

Безразмерный угол (в радианах), равный называется фазой колебания. Фаза колебания полностью определяет все кинематические характеристики движения точки в каждый данный момент времени (см. формулы (11, 13))

             x

           A

                   0     t1                                 t2                      t                        Рис.2

      -A                                           

      

В начальный момент времени фаза колебания равна , поэтому данная величина называется начальной фазой колебания. Начальная фаза колебания полностью определяется начальным механическим состоянием точки, т. е. её начальным положением и начальной скоростью.

Основываясь на определении периода периодического движения, данном выше, найдём период гармонических колебаний как промежуток времени между двумя последовательными моментами времени t1 и t2, когда точка находится в одном и том же механическом состоянии, т. е. имеет одинаковые координату x и скорость. На рис.6 эти моменты времени соответствуют двум последовательным максимальным отклонениям точки от притягивающего центра в положительную сторону оси x. Продифференцировав по времени левую и правую части равенства (11), определим проекцию скорости точки на ось x:

                                                  (14)

На основании вышесказанного, для определения периода получим систему уравнений:

                                           (15)

                        

Деля левые и правые части равенств (15) на одинаковые постоянные множители, и перенося правые части этих равенств в левую сторону, придём к следующим уравнениям:

                                          (16)

                           

Уравнения (16) будут иметь одно и то же решение, если

                                                                             (17)

Отсюда находим:

                                                              (18)

Из равенства (18) следует, что наименьшая, отличная от нуля разность t2-t1 будет при n=1. На этом основании, величина периода равна:

                                                              (19)

Такое же выражение для периода получится, если воспользоваться известным значением периода периодических функций  и  равным 2. Величина обратная периоду называется частотой колебаний:

                                                                                (20)

Частота колебаний показывает, сколько полных колебаний точки происходит за единицу времени. Величина называется циклической или круговой частотой колебаний и, формально, может трактоваться как угловая скорость некоторого условного вращательного движения.

Из других особенностей гармонических колебаний точки можно отметить то, что период этих колебаний не зависит от начальных условий, в которых находилась точка в момент начала движения. Это обстоятельство имеет большое значение для применения гармонических колебаний в приборах, предназначенных для измерения времени. Формулы (19) и (2) показывают, что величина периода определяется только значениями массы точки и коэффициентом восстанавливающей силы. Эти величины называются параметрами данной колебательной системы, состоящей из материальной точки и притягивающего центра, взаимодействующего с точкой  силой F, определённой выше.

                                               

                                                  ЛЕКЦИЯ 3

б) Колебания математического маятника

Математическим маятником будем называть идеальную колебательную систему, состоящую из тяжёлого грузика М, принимаемого за материальную точку, подвешенного на гибкой, невесомой, нерастяжимой нити длиной , прикреплённой к неподвижной опоре (рис.1). При этом принимается, что колебания совершаются в одной плоскости с малым углом отклонения нити от вертикали.

                                                      

                                                     Рис.1                                                 

  

Проведём исследование колебательного движения математического маятника.

  1.  постановка задачи

В данном примере рассматривается движение несвободной материальной точки по заданной траектории (дуге окружности радиуса  рис.1).

В этом случае реакция нити N является неизвестной силой. Запишем условие задачи. Воспользуемся естественными осями координат  , показанными на рис. 1. Изобразим на чертеже силы, действующие на груз : -сила тяжести, направленная вертикально вниз, -сила реакции нити, направленная вдоль нити к точке ее подвеса. Всеми силами сопротивления пренебрегаем. Начальные условия: t0=0, . Требуется определить зависимость криволинейной координаты от времени и исследовать полученное решение.

  1.  математическое решение

Запишем общие дифференциальные уравнения движения материальной точки в выбранной системе координат (см. Лекция 1, уравнения (16)):

                                                                     (1)

Учитывая направления сил (рис. 7), находим:

                                  (2)

Подставляя значения суммы проекций сил на касательную и нормаль к траектории из выражений (2) в уравнения  (1), разделив левую и правую части первого из уравнений (1) на массу груза и, принимая во внимание, что радиус кривизны траектории  , получим :

                                                                  (3)                             

Поскольку второе из уравнений (3) служит только для определения реакции  нити, то уравнением движения будет первое из этих уравнений.

Из рис.7 следует, что  .  С учетом этого, дифференциальное уравнение движения груза примет вид:  

                                                                             (4)

Уравнение (4) является нелинейным дифференциальным уравнением второго порядка, точное решение которого находится методом последовательных приближений или численным методом. Здесь мы рассмотрим его решение для случая малых колебаний, т. е. для малых углов отклонения нити от вертикали. В этом случае величина принимается очень маленькой (<<1). Поэтому в уравнении (4)  положим  . После этого оно приводится к следующему виду:

                                                                                (5)

Уравнение (5) является аналогом уже известного ранее (см. Лекция 2, уравнение (3)) уравнения, описывающего гармонические колебания точки, где

                                                                                       (6)

Решение уравнения (5) уже рассматривалось ранее, поэтому, по аналогии с предыдущим, запишем:

                                                                           (7)

Постоянные интегрирования и  определяются из начальных условий задачи точно так же, как и ранее (см. Лекция 2).

Таким образом, малые колебания математического маятника являются гармоническими с периодом равным:

                                                                         (8)

Эта формула впервые была получена экспериментальным путём голландским учёным Гюйгенсом и называется его именем. Гюйгенс же впервые предложил использовать колебания маятника, правда, не математического, а физического, в часовых механизмах. Принципиальная сторона дела, при этом, не меняется. С помощью маятника можно легко регулировать ход часов, изменяя длину нити маятника. При увеличении длины период колебаний маятника увеличивается, и ход часов замедляется. При уменьшении длины период колебаний уменьшается, и ход часов увеличивается. Маятники можно так же использовать для измерения ускорения свободного падения (гравиметрические измерения). Для этого, замеряя период колебаний маятника с известной длиной, из выражения (8) найдём ускорение свободного падения g.

Рассмотренные выше два случая колебательного движения точки были получены в предположении, что движение точки происходит в отсутствии сил сопротивления, поэтому данные колебания могли бы совершаться сколь угодно долго (незатухающие колебания). Однако, на самом деле, всегда оказывается какое-нибудь сопротивление движению точки, например, сопротивление среды, в которой происходит движение, или сопротивление, оказываемое нити маятника в точке её подвеса. Поэтому реальные колебательные движения точки всегда будут затухающими, если только не будет происходить поступления энергии в колебательную систему из вне. Так, например, чтобы создать незатухающие колебания в часовом механизме, нужно периодически передавать механическую энергию либо балансиру, либо маятнику со стороны сжатой пружины или поднятой гири.

в) Затухающие прямолинейные колебания точки

Рассмотрим решение задачи сформулированной в пункте а) (Лекция 2) с учётом силы сопротивления (рис.8)

  1) постановка задачи                                       Дано: Fx=-cx, Fcx=- 

          0            F    Fc     M,t                                         t0=0,      

                                                  V       x  

                        x                                               Определить x(t) и исследовать

                      Рис.8                                           движение.

Для силы сопротивления среды принимаем наиболее простой вид зависимости от скорости линейный. Это позволит проинтегрировать дифференциальное уравнение движения точки в квадратурах, и, вместе с тем, позволит выявить наиболее существенные стороны влияния сопротивления среды на процесс колебаний.

  1.  математическое решение

             ,  ,

                                    (1) ,                                          

где

                       ,                                           (2)

Дифференциальное уравнение (1) является линейным, однородным с постоянными коэффициентами. Запишем это уравнение в стандартной форме:

                                                               (3)

Метод решения этого уравнения точно такой же, как и уравнения (3), рассмотренного в Лекции 2. Таким образом, далее имеем:

                                                                (4)

                            

                                                           (5)

В зависимости от соотношения между величинами n и кони характеристического уравнения (4) могут быть действительными различными, действительными кратными и комплексными сопряжёнными. Проанализируем эти три случая.

1 случай  n >

Физически это означает, что преобладающее влияние на движение точки оказывает сила сопротивления (см. значения коэффициентов n и из равенств (2) и выражения проекций сил из Дано). В этом случае корни характеристического уравнения 1,2  действительные и различные. Тогда решение дифференциального уравнения (3) будет иметь следующий вид:

                                                             (6)

Так как величины 1,2 < 0, то оба слагаемых в правой части равенства (6) являются монотонно убывающими функциями времени, т. е. процесс, описываемый этими функциями, не является колебательным. Такие движения называются ещё апериодическими, т. е. непериодическими.

2 случай  n=

Это соответствует примерно равным порядкам влияния на движение точки силы сопротивления и восстанавливающей силы. В этом случае корни характеристического уравнения 1,2  действительные, кратные:

                                       1,2 =-n                                                       (7)

Тогда решение дифференциального уравнения (3) будет иметь следующий вид:

                                                               (8)

Функция (8) так же как и функция (6) не является периодической. Она может достигнуть экстремума после начала движения (это зависит от знаков постоянных C1 и C2), но затем, достигнув экстремума, будет монотонно стремиться к нулю, хотя и медленнее, чем в первом случае. Движение материальной точки, описываемоё соотношением (8) так же относится к апериодическим.

3 случай  n <

В этом случае преобладающее влияние на движение точки оказывает восстанавливающая сила. Корни характеристического уравнения 1,2 будут комплексными, сопряжёнными; их можно записать в следующем виде:   

                                                   (9)

Такой паре корней характеристического уравнения соответствует следующее решение дифференциального уравнения (3):

                     ,              (10)

где

                                                                     (11)

Движение точки, описываемоё соотношением (10), строго говоря, не является периодическим, так как правая часть этого соотношения содержит произведение суммы периодических функций (синуса и косинуса) на экспоненту, которая не является периодической функцией. Однако, выражение (10) обладает некоторыми чертами периодических функций. Так, например, некоторые положения точки на оси x будут регулярно повторяться в течение достаточно длительного промежутка времени. Так же, эта функция, строго периодически, будет принимать нулевые значения с периодом равным половине периода периодической функции, стоящей в скобках равенства (10). Таким образом, зависимость (10) описывает движение точки, имеющее все характерные черты колебательного движения. Однако, эти колебания, в отличие от гармонических, являются затухающими, что обусловлено наличием в правой части равенства (10) экспоненциального множителя с отрицательным показателем -nt.

          3)анализ решения

Движение материальной точки, описываемоё выражением (10) будем называть затухающими колебаниями. Это движение можно назвать условно периодическим движением. Для более детального анализа данного движения представим периодическую часть функции (10), как и ранее (Лекция 2), в виде:

   ,                    (12)

где

            C1=Asin , C2=Acos ,                                          (13)

А и   новые постоянные интегрирования.

С учётом равенства (12), выражение (10) запишется в следующей форме:

                                                        (14)

Сравним выражение (14) с похожим уравнением гармонических колебаний (Лекция 2), которое, для удобства анализа, выпишем здесь же:

                                                                   (14*)

Из сравнения равенств (14) и (14*) видно, что последнее получается из равенства (14), как частный случай, если в (14) подставить n=0. По аналогии с физическим смыслом постоянных A, и , входящих в уравнение гармонических колебаний (14*), назовём:

Ae-nt  амплитудой затухающих колебаний, k  условной циклической (круговой) частотой затухающих колебаний,   начальной фазой затухающих колебаний.

Отсюда видно, что амплитуда затухающих колебаний убывает с течением времени по экспоненциальному закону и при t стремится к нулю. Если принять, что условный период затухающих колебаний совпадает с периодом функции , то, обозначив этот период через T1, получим для него выражение:

                                            T1=2/k                                                (15)

Период обращения в ноль этой же функции будет в два раза меньше величины T1, что  было отмечено выше. Если сравнить периоды гармонических и затухающих колебаний для одной и той же колебательной системы, то T1>T в силу того, что k< .

График затухающих колебаний представляет собой кривую, похожую на синусоиду, размахи которой уменьшаются по экспоненциальному закону (рис.9).               x

                             Ae-nt

                                       

                                                                                                

                                                                                                   

                                                                                           t 

                                                    

                               -Ae-nt    

                                                       Рис.9   

                                                 

                                                  ЛЕКЦИЯ 4

      

г) Вынужденные колебания точки без учёта сопротивления

Рассмотрим прямолинейное движение точки под действием восстанавливающей силы F пропорциональной смещению точки от притягивающего центра и некоторой малой по абсолютной величине силы Fв, являющейся, как правило, заданной периодической функцией времени (рис.1). Такая сила, значительно меньшая восстанавливающей силы, в общем случае, лишь незначительно искажает гармонические колебания точки (как говорят, «возмущает» её движение), поэтому она называется возмущающей силой.

1) постановка задачи     

                                                                  Дано: Fx=-cx, Fвx=F0sint

          0             F           M,t

                                        Fв          x                              t0=0,      

                     x 

                                                                   Определить x(t) и исследовать

                     Рис.1                                           движение.

F0 максимальное (амплитудное) значение возмущающей силы,   циклическая (круговая) частота возмущающей силы. Для возмущающей силы можно было бы задать другой периодический закон её изменения.

2) математическое решение задачи

,  ,

        ,         (1)

где

           ,                                                        (2)

Уравнение (1) является линейным, неоднородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами. Запишем его в стандартной форме:

                                                                (3)

Как следует из теории линейных уравнений, общее решение данного уравнения является линейной комбинацией двух решений: общего решения соответствующего однородного уравнения (правая часть уравнения (3) полагается равной нулю), и какого-либо частного решения неоднородного уравнения. Таким образом, обозначив общее решение однородного уравнения через x1, а частное решение неоднородного уравнения через x2, запишем:

                                    x=x1+x2                                                       (4)     

Общее решение однородного уравнения уже было рассмотрено (см. Лекция 2):

                                                                   (5)

Если функция, стоящая в правой части неоднородного уравнения, является сравнительно простой (простые алгебраические функции или их линейные комбинации), то частное решение неоднородного уравнения обычно ищется в виде той же функции, но с некоторыми неопределёнными коэффициентами. Так для функции, стоящей в правой части уравнения (3), частное решение этого уравнения, если  следует искать в виде:

                            ,                                (6)

где В и   неопределённые пока постоянные. Для определения этих постоянных воспользуемся тем, что предполагаемое частное решение (6) уравнения (3), будучи подставлено в это уравнение, обратит его в тождество. На этом основании, получим следующее тождество:

          (7)

Полученное тождество будет справедливо только в том случае, когда коэффициенты при одинаковых функциях времени слева и справа равны.

Раскроем в левой части равенства (7) синус суммы t+  и представим его в виде:

   (8)

В соответствии с вышесказанным, тождество (8) имеет место в том случае, когда:

                                                                (9)

Поскольку , то из второго уравнения системы (9) следует:

                           и                                            (10)

Из первого уравнения (9) находим постоянную B:

                                                                              (11)

Таким образом, на основании равенств (6), (10) и (11), запишем частное решение уравнения (3):

                                                               (12)

Общее решение уравнения (3), с учётом равенств (4), (5) и (12), имеет вид:

                                (13)

  1.  анализ полученного решения

Функция времени, находящаяся в правой части равенства (13), является результатом сложения двух гармонических колебаний различной амплитуды и частоты. Первое слагаемое в правой части (13) описывает, так называемые, собственные колебания точки. Это то колебательное движение точки, которое она имела бы без воздействия возмущающей силы. Второе слагаемое описывает вынужденные колебания точки, т. е. те колебания, которые вызываются возмущающей силой, которую ещё можно назвать вынуждающей силой.  

Собственные колебания, которые имела бы точка с учётом сопротивления, являются затухающими, поэтому, в действительности, по прошествии некоторого промежутка времени (практически небольшого), колебания точки будут представлять собой только вынужденные колебания. Это обстоятельство делает очень важным более детальный анализ вынужденных колебаний точки. Прежде всего, отметим, что эти колебания происходят с частотой, равной частоте вынуждающей силы, при этом колебания происходят в одной фазе с фазой вынуждающей силы (это будет не так при учёте сопротивления). Далее представляется важным проследить, как изменяется амплитуда вынужденных колебаний точки в зависимости от соотношения между частотами собственных и вынужденных колебаний.

Используя выражение (12) для амплитуды вынужденных колебаний, построим график зависимости амплитуды B вынужденных колебаний от круговой частоты вынуждающей силы, считая круговую частоту собственных колебаний фиксированной. Вид этого графика, который называется амплитудно-частотной характеристикой вынужденных колебаний точки без учёта сопротивления,  показан на рис 11.

                                       

                             B

                 

         

                     0                 1                                        

                                                    

                                                   Рис.2

Из графика, показанного на рис.11 жирной линией, видно, что амплитуда вынужденных колебаний является возрастающей функцией круговой частоты вынуждающей силы на интервале [,) и убывающей функцией на интервале (,). Прямая = является вертикальной асимптотой кривой B(), т. е. при стремлении круговой частоты  вынуждающей силы к круговой частоте собственных колебаний амплитуда В вынужденных колебаний стремится к бесконечности. Следует ещё раз подчеркнуть, что этот результат был получен в предположении, что на точку не действуют силы сопротивления. На самом деле, при наличии сил сопротивления амплитуда вынужденных колебаний не может стремиться к бесконечности (практически, она не может быть даже конечной очень большой величиной). Как только амплитуда вынужденных колебаний начнёт возрастать, начнёт возрастать и скорость движения точки, а, вместе с ней, и сила сопротивления. Это воспрепятствует дальнейшему возрастанию скорости движения точки и амплитуды её колебаний. Амплитудно-частотная характеристика вынужденных колебаний при наличии сопротивления показана на рис.11 тонкой линией.

Характерной особенностью вынужденных колебаний точки, как с учётом сопротивления, так и без его учёта, является то, что эти колебания возрастают по мере приближения частоты вынуждающей силы к частоте собственных колебаний. Практически, для небольших сил сопротивления принято считать, что наибольшие размахи колебаний достигаются при круговой частоте вынужденных колебаний, совпадающих с круговой частотой собственных колебаний (на рис.11 разница между частотой 1, при которой амплитуда колебаний достигает максимума при наличии сопротивления, и частотой собственных колебаний весьма мала). Явление достижения наибольшего размаха (амплитуды) вынужденных колебаний называется резонансом.

Явление резонанса часто встречается в тех разделах техники, где применяются или возникают вынужденные колебания. Так, например, работа, практически, любой машины или двигателя сопровождается вибрацией, которая представляет собой вынужденные колебания их корпусов, фундаментов, зданий и т. п. В этом случае явление резонанса крайне нежелательно, поскольку может вызвать дополнительные и, порой, значительные деформации элементов конструкций. Это приведёт к появлению дополнительных внутренних усилий (вообще говоря, знакопеременных), что может привести к преодолению запаса прочности конструкции, её «усталости» и, как следствие, разрушению. Явление резонанса, в данном случае, можно предотвратить, если сделать большой разность частот собственных и вынужденных колебаний опасных элементов конструкции.

Примером полезного применения резонанса является использование различных машин для виброперемешивания и виброформования различных сыпучих и вязкопластичных сред в строительстве, химической и пищевой промышленности. В этом случае амплитуда колебаний должна быть большой при минимуме затрачиваемой энергии. Такой режим работы как раз и соответствует условиям резонанса. При этом снижение затрачиваемой энергии обусловлено уменьшением вынуждающей силы (т. е. малой вынуждающей силой можно создать вынужденные колебания значительной амплитуды). Другими примерами полезного применения резонанса являются: конструирование приборов для измерения вибраций и колебаний (вибрографы, частотомеры, сейсмографы), использование резонанса электромагнитных колебаний (настройка колебательных контуров радио и телеприёмников на частоту принимаемого несущего сигнала) и д. р.

  

 

 ЛЕКЦИЯ 5

ОБЩИЕ  ТЕОРЕМЫ  ДИНАМИКИ  ТОЧКИ

В первых четырёх лекциях, для исследования движения материальной точки, нами применялся математический аппарат дифференциальных уравнений, который позволяет проводить исследование движения точки во всех его деталях. Однако, в некоторых случаях, такой подробный анализ движения точки проводить не требуется. Например, нужно найти какие-либо числовые значения параметров движения точки в некоторый фиксированный момент времени, или по прохождении точкой определённого расстояния. В этом случае из основного уравнения динамики точки, записанного в соответствующей дифференциальной форме, путём его интегрирования, получаются некоторые интегральные соотношения, которые, чаще всего, позволяют достаточно легко получать необходимые конкретные значения тех или иных величин.

Такие дифференциальные и интегральные преобразования основного уравнения динамики точки носят название общих теорем динамики точки. Общие теоремы динамики точки, во многих случаях, позволяют выявить некоторые общие свойства тех или иных движений точки. Рассмотрим эти теоремы.

  1.  Теорема об изменении количества движения точки

Пусть точка движется по криволинейной траектории (рис. 1) из начального положения М0 в некоторое произвольное положение М под действием системы n сил, имея в начальный момент времени скорость V0, а в текущий момент времени скорость V. Запишем основное уравнение

                      mV0                                                                     

              V0                     Fn

M0                               M,t

                          S             V    F1    

                           mV                F2           mV                                                                                                 

                                                                  

                                    Рис.1

динамики точки, представив в нём ускорение , и внеся массу точки под знак производной:

                                                                          (1)

В этом выражении величина называется количеством движения точки. В физике используется ещё одно название этой величины импульс точки.

Равенство (1) выражает теорему об изменении количества движения точки, записанную в дифференциальной форме, которая читается: Производная по времени от вектора количества движения точки в данный момент времени равна векторной сумме моментов всех сил, действующих на точку, в этот же момент времени. Ещё раз отметим, что равенство (1) является видоизменённой записью основного уравнения динамики точки.

Умножим левую и правую части равенства (1) на дифференциал времени dt и возьмём определенные интегралы с переменными верхними пределами от его левой и правой частей:

                                ,                                (2)

или интегрируя, получим:

                          ,                                       (3)

где

                                                                       (4)

Вектор  называется полным импульсом всех сил, действующих на точку за время t. Этот вектор можно представить в другой форме, если воспользоваться независимостью операций суммирования и интегрирования. На этом основании получим:

                ,            (5)

где полный импульс k-й силы за время t.

Таким образом, полный импульс всех сил за некоторое время равен сумме полных импульсов всех сил за это же время. Графическое определение полного импульса всех сил показано на рис.1. Равенство (3) представляет запись теоремы об изменении количества движения точки в интегральной форме, которая читается: Изменение количества движения точки за данный промежуток времени равно полному импульсу (сумме импульсов) всех сил, действующих на точку, за этот же промежуток времени.

Векторное равенство (3) можно записать в проекциях на соответствующие координатные оси, например, на оси неподвижной декартовой системы координат:

                             ,                                      (6)

где Sx, Sy, Sz  проекции вектора полного импульса всех сил на оси декартовой системы координат. Эти проекции, на основании равенства (4), имеют следующий вид:

,  ,        (7)

Теорему об изменении количества движения точки, записанную в интегральной форме (3), можно использовать для определения среднего значения равнодействующей всех сил, приложенных к точке, за некоторый промежуток времени. В этом случае полному импульсу всех сил, действующих на точку, придаётся следующая форма:

                    ,                      (8)

где   интегральное среднее значение функции  на интервале [0,t]. Рассмотрим примеры применения теоремы об изменении количества движения точки.

Пример 1. Тело массой m, имевшее начальную скорость , направленную под углом к горизонту, движется под действием постоянной силы тяжести ( постоянное ускорение свободного падения). Найти зависимость скорости точки от времени.

Для решения задачи применим теорему об изменении количества движения точки в форме (3). На основании равенств (4) или (5) получим для полного импульса всех сил следующее выражение:

                                                         (9)

Подставляя это выражение полного импульса в равенство (3), и деля его левую и правую части на массу точки, найдём из него:

                                                                               (10)

Векторное равенство (10) может быть наглядно представлено в графической форме, показанной на рис.2. Численное значение скорости найдём, применяя к векторному треугольнику теорему косинусов:  

                                             V0        

                                             

                        V            gt                                                                     (11)     

                                               

                       Рис.2

Пример 2. Во втором примере определим среднюю силу, действующую на материальную точку массой m, которая движется равномерно по окружности радиусом R со скоростью V=V0, за время, соответствующее половине оборота по окружности (рис.3).

Для решения задачи применим теорему об изменении количества движения точки в  форме (3), представив полный импульс всех сил, с учётом , равенством  (8):

                                     mV                            (12)       

                                             Из рис.3 видно, что ; на этом             

                                             основании из уравнения (12) найдём:      

M0                                         M                                   

                             R                                                       (13)                             

  mV0                                                   

                                                                                                     

                       Рис.3

                                                         

Равенство (13) показывает, что вектор средней силы направлен в сторону вектора конечного количества движения точки. Определим теперь время движения точки по полуокружности. При движении точки с постоянной по модулю скоростью V, время движения будет равно отношению пройденного пути R к скорости точки:

                                         t=R/V                                             (14)

Подставив найденное значение времени в выражение (13), получим окончательное выражение вектора средней силы:

                                                                                  (15)

Взяв левую и правую части равенства (15) по абсолютной величине, найдём численное значение средней силы:

                                                                               (16)

Таким образом, средняя, за время движения точки, сила, по своей абсолютной величине, немного меньше силы, действующей на точку при её равномерном движении по окружности, и направленной к центру окружности.

  1.  Теорема об изменении момента количества движения точки относительно неподвижного центра

Рассмотрим ещё одно преобразование основного уравнения динамки точки, которое удобно применять для исследования некоторых движений точки. Для этого введём в рассмотрение векторы, определяемые равенствами:

                                                                       (17)

                                                                     

Эти векторы называются, соответственно, моментом силы и моментом количества движения точки относительно данного центра. Понятие момента силы было рассмотрено в разделе Основные понятия динамики (Лекция 1). Понятие момента количества движения точки относительно данного центра вводится аналогично понятию момента силы относительно центра.

                 

                                          z        

                                                       

                                    

                                                                           

                                       О                

                                                                       y

                             x

                                  

                                              Рис.4

Все математические свойства этих векторов и все математические операции над ними полностью тождественны. Конечно, физический смысл данных векторов совершенно разный. Если момент силы относительно центра количественно характеризует степень вращательного воздействия силы на тело с одной неподвижной точкой, то у момента количества движения точки вообще нет такого ясного физического смысла. Этот вектор вводится только для удобства чисто математических преобразований основного уравнения динамики точки.

Рассмотрим движение точки по некоторой криволинейной траектории под действием системы n сил (рис.4).  Запишем основное уравнение динамики точки в виде теоремы об изменении её количества движения в дифференциальной форме (1), векторно умножив левую и правую части равенства (1) на радиус-вектор точки:

                                                            (18)

Далее воспользуемся тождеством:

                                  (19)

В правой части этого тождества первое слагаемое равно нулю, так как и это слагаемое представляет векторное произведение двух коллинеарных векторов. С учётом этого, равенство (19) примет вид:

                                                        (20)

В правой части равенства (18) радиус-вектор точки , не зависящий от индекса суммирования, внесём под знак суммы. После этого, с учётом тождества (20), равенство (18) запишется:

                            ,                                (21)

или, принимая во внимание определения момента силы и момента количества движения точки (17), перепишем его в следующем виде:

                                                            (22)

Равенства (21) или (22) представляют формулировку теоремы об изменении момента количества движения точки относительно данного центра в дифференциальной форме, которая читается: Производная по времени от вектора момента количества движения точки относительно данного центра равна векторной сумме моментов всех сил, действующих на точку, относительно этого же центра. Эта теорема называется ещё теоремой моментов. Интегральную формулировку данной теоремы здесь приводить не будем, т. к. она используется сравнительно редко. Спроектируем левую и правую части векторного равенства (22) на оси неподвижной декартовой системы координат. В результате получим три скалярных равенства вида:

                                                       (23)   

Равенства (23) выражают теорему моментов, записанную в скалярной форме, которая читается: Производная по времени от момента количества движения точки относительно данной оси равна сумме моментов всех сил, действующих на точку, относительно той же оси.

Очень часто, на практике, применяются частные случаи теоремы моментов, которые приводят к законам сохранения вектора  момента количества движения точки относительно центра или его проекции на данную ось. Рассмотрим эти законы.

а) закон сохранения вектора - момента количества движения

Пусть действующие на точку силы таковы, что . В этом случае из равенства (22) следует:

                                        (24)

Последнее равенство (24) выражает закон сохранения вектора  момента количества движения точки относительно центра, который читается: Если сумма моментов всех сил, действующих на точку, относительно некоторого центра, равна нулю, то вектор момента количества движения этой точки относительно этого же центра сохраняется. Поскольку вектор  перпендикулярен плоскости векторов  и, то сохранение этого вектора означает, что движение точки будет происходить в одной плоскости, т. е. траекторией точки будет некоторая плоская кривая. Более полные исследования движения точки, для этого случая, показывают, что траекторией точки является одна из кривых второго порядка.

б) закон сохранения момента количества движения точки относительно оси

Пусть действующие на точку силы таковы, что, например, . В этом случае из последнего равенства (23) следует:

                   ,                     (25)

Последнее равенство (25) выражает закон сохранения проекции момента количества движения точки на данную ось, который читается: Если сумма моментов всех сил, действующих на точку, относительно некоторой оси, равна нулю, то момент количества движения точки относительно этой оси сохраняется. Конечно, моменты количества движения точки относительно других осей, в общем случае, могут и не сохраняться. Приведём пример применения теоремы моментов.

Пример. Точка движется под действием силы притяжения к некоторому неподвижному центру. В момент времени t1 точка находилась на расстоянии r1 от притягивающего центра и имела скорость V1, направленную под углом 1 к отрезку ОМ1. В момент времени t2 точка находилась на расстоянии r2 от притягивающего центра и имела скорость V2, направленную под углом 2 к отрезку ОМ2. Определить зависимость между скоростями точки в указанные моменты времени и площадь сектора ометённого радиус-вектором точки за данный промежуток времени (рис.5).

                                

                                                  М2,t2                                    

                            h2                    

                                    О               h1          M1,t1

                                                             

                                          Рис. 5                                                                          

К решению задачи применим теорему моментов. Так как линия действия силы, приложенной к точке, всегда проходит через притягивающий центр 0, то момент этой силы относительно данного центра равен нулю. Таким образом, в этой задаче приходим к закону сохранения момента количества движения точки относительно центра 0. Приравняем друг к  другу численные значения этого момента в точках M1 и M2:

                                   mV1h1=mV2h2 ,                                                 (26)

или

                                V1r1sin1=V2r2sin2                                       (27)

Из равенств (26) или (27) находим зависимость между скоростями:

                    V1/V2= r2sin2/ r1sin1=h2/ h1                               (28)

Из пропорций (28) следует, что скорости в точках М1 и М2 обратно пропорциональны плечам векторов количества движения в этих точках.

Чтобы найти площадь сектора 1М2, запишем закон сохранения момента количества движения точки в следующем виде (рис.6):

                 mVh = mV1h1, или (ds/dt)h= V1h1,                             (29)

где Vскорость точки в произвольный момент времени, hплечо вектора количества движения точки в этот момент времени (рис.6). Умножая левую и правую части последнего равенства (29) на dt, получим:

                                          h ds = V1h1dt                                            (30)

                             Поскольку вектор бесконечно мал, то произ-

                         M,t           ведение hds, равное удвоенной площади заштри-   

          h                         хованного треугольника, одновременно будет

                                          равно удвоенной площади бесконечно узкого  

  1.                              сектора, образованного бесконечно малой дугой траектории точки длиной ds,радиус-вектором

          Рис.6                       точки и отрезком, соединяющим центр 0 с

                                          концом вектора (концом дуги ds). Обозначим        эту площадь через d.                                             

Интегрируя левую и правую части равенства (30), соответственно в пределах от 0 до и от 0 до t получим зависимость площади криволинейного сектора, «ометаемого» радиус-вектором точки, от времени:

                            = 0,5V1h1t                                                           (31)

равенство (31), известное как закон площадей, читается: При сохранении момента количества движения точки, радиус-вектор точки за равные промежутки времени «ометает» равные площади. Этот закон, применительно к движению планет, был установлен Кеплером путём наблюдений за движением планет.

Теперь нетрудно определить площадь криволинейного сектора 1М2  (рис.5), «ометённого» радиус-вектором точки за время, равное t2-t1. Обозначив эту площадь через , на основании равенства (31), получим:

                         = 2  1=0,5 V1h1(t2 - t1)                              (32)

                                           ЛЕКЦИЯ 6

3.Теорема об изменении кинетической энергии точки

Переходим теперь к рассмотрению очень важной, с практической  точки зрения, теоремы, в которой устанавливается связь между такими физическими величинами как кинетическая энергия точки, работа силы, мощность силы. Запишем основное уравнение динамики точки в проекции на касательную к траектории точки (рис.1), (см. Лекцию 1):

                                                                             (1)

Преобразуем в равенстве (1) проекцию ускорения точки на касательную к траектории к следующему виду:

                                                           (2)

Подставим это выражение касательного ускорения в равенство (33) и умножим его левую и правую части на дифференциал криволинейной координаты ds. Внеся множитель ds под знак суммы, как не зависящий от индекса суммирования получим:

         M,t        n                             (3)

                 2      1                  В равенстве (3) величина mV2/2,

                                                     стоящая под знаком дифференциала

                          Рис.1                            называется кинетической энергией

точки в данный момент времени или  живой силой. Слагаемые Fkds, стоящие под знаком суммы, носят название элементарных (бесконечно малых) работ сил, которые обозначим через dAk. Таким образом, имеем:

                               dAk= Fkds ,(k=1,2,n)                                  (4)

Следует иметь в виду, что символ d в левой части равенства (4) не означает дифференциала некоторой функции Ак,, так как величина, стоящая в правой части этого равенства вообще может не быть дифференциалом какой-либо функции. Этот символ означает бесконечно малую (элементарную) величину. С учётом выражения (4), равенство (3) запишется в следующей форме:

                                                                        (5)

Выражение (5) представляет запись теоремы об изменении кинетической энергии точки в дифференциальной форме, которая читается: Дифференциал (бесконечно малое изменение) кинетической энергии точки в данный момент времени равен сумме элементарных работ всех сил, действующих на точку, в этот же момент времени.

Теорему об изменении кинетической энергии точки в дифференциальной форме можно записать в ином виде, имеющем другой физический смысл. Для этого, разделим левую и правую части равенства (5) на дифференциал времени dt, внеся множитель 1/dt под знак суммы. Получившаяся под знаком суммы величина dAk/dt, называется мощностью силы, которая равна работе силы за единицу времени. На основании изложенного, равенство (5) приобретёт следующий вид:

                               ,                                        (6)

где мощность к-й силы определяется выражением:

                                                                                          (7)

Равенство (6) читается: Производная по времени от кинетической энергии точки в данный момент времени равна сумме мощностей всех сил, действующих на точку в этот же момент времени.  

Рассмотрим более подробно выражения элементарной работы и мощности силы. Для этого представим элементарную работу силы (равенство (4)) в следующем виде (текущий индекс к, для упрощения записи уберём):

                                                        (8)

Выражение, стоящее в правой части равенства (8), является скалярным произведением вектора силы на вектор элементарного перемещения , направленный по скорости точки (рис. 2). Таким образом, равенство        

(8) можно представить так:        

                                                                                         (9)

Вспомним из кинематики, что вектор элементарного перемещения точки        

           

                       М,t                                 равен бесконечно малому прира-

                           ●                   щению радиус-вектора точки  

                                                         (, отсюда полу-  

                                                                  чим ).

                       Рис.2

 

Исходя из этого, запишем выражение элементарной работы силы в координатной форме:

                   ,                          (10)

где , а .

В соответствии с равенством (7), и полученными формулами элементарной работы (8), (9), и (10), запишем выражения для мощности силы в различных формах:

                                         (11)

                                                                  

 

Следует отметить, что элементарная работа и мощность силы являются алгебраическими величинами. Как следует из выражений (8), (9), (10) и (11), знак элементарной работы или мощности силы определяется знаком косинуса угла между направлениями вектора силы и вектора элементарного перемещения (или вектора скорости) её точки приложения. Если этот угол острый, то элементарная работа и мощность силы положительны; если же тупой отрицательны. В частном случае, когда угол между векторами силы и элементарного перемещения (скорости) точки прямой, элементарная работа и мощность силы равны нулю.

Получим теперь интегральную форму записи теоремы об изменении кинетической энергии точки. Для этого возьмём интегралы от левой и правой части равенства (5) в пределах изменения скорости и пройденного точкой расстояния:

                                                            (12)

Интеграл в левой части данного равенства, после подстановки пределов интегрирования, равен разности кинетических энергий точки в её конечном и начальном положениях. Интеграл в правой части, пользуясь независимостью операций суммирования и интегрирования, приведём к следующему виду:

                                  ,

где через Ak обозначены следующие интегралы:

                                                                                   (13)

Эти интегралы называются полными работами сил или, просто, работами сил на данном конечном перемещении их точек приложения. Таким образом, на основании вышеизложенного, равенство (12) записывается в следующем виде:

                                                              (14)

Это равенство выражает теорему об изменении кинетической энергии точки, записанную в интегральной форме. Она читается: Изменение кинетической энергии точки за некоторый промежуток времени равно сумме работ всех сил, действующих на точку, за тот же промежуток времени.

Для применения теоремы об изменении кинетической энергии точки, нужно уметь вычислять работы различных сил. Рассмотрим это более подробно. Прежде всего, получим различные формы представления работы силы в соответствии с различными формами записи элементарной работы силы (равенства (8), (9),(10)). Подставляя в формулу полной работы силы (13) выражения элементарной работы из равенств (8), (9), (10) (индекс к номера силы опускается) получим следующие выражения работы силы:

                                                                         (15)

                                                                                    

                                    

Интегралы вида (15) известны в математике как криволинейные интегралы. Первый из этих интегралов берётся по пройденному точкой пути, а второй и третий от начальной точки траектории до конечной точки. При этом, конкретные пределы интегрирования будут зависеть от способов вычисления этих криволинейных интегралов. Следует так же отметить, что полная работа силы, как и элементарная работа, является алгебраической величиной.  

4. Примеры вычисления работы наиболее распространённых сил

а) работа силы, имеющей постоянную проекцию на касательную к траектории точки.

Если F=Fcos=const, то, как следует из первой формулы (15), для работы такой силы получим выражение:

                                                 (16)

б) работа силы трения и силы нормальной реакции неподвижной поверхности.

                                                                   

                                             M             

                                                                   

                                                                 

                                                 Рис.3

Рассмотрим криволинейное движение тела, принятого за материальную точку, под действием активной силы  по некоторому участку шероховатой поверхности (рис.3). В этом случае сила трения образует угол =180 с направлением вектора скорости, а её численное значение равно:

                                    ,                                                 (17)

где f- коэффициент трения скольжения. Подставляя значение угла и выражение силы трения (17) в первую из формул (15), получим следующее выражение работы силы трения:

                                                                                 (18)

Если коэффициент трения f между поверхностью тела и опорной поверхностью постоянный, то, в этом случае, выражение (18) примет вид:

                                                                                (19)

Наконец, в самом простом случае, примем значения f и N постоянными. Тогда для работы силы трения получим следующее выражение:   

                                                                                (20)

Как следует из первой формулы (15), работа силы нормальной реакции неподвижной поверхности всегда равна нулю, так как проекция этой силы на касательную к траектории точки равна нулю (рис.3).

в) работа постоянной силы тяжести.

Рассмотрим движение точки по некоторой криволинейной траектории (рис.4), принимая во внимание, что среди сил, действующих на точку, имеется сила тяжести Р. Определим работу силы тяжести при перемещении точки из положения М1 в положение М2. Для этого воспользуемся третьей из формул (15), положив в ней Fx=Fy=0, Fz=-P:  

                 z                                    

                  z1    М1

                 z2               M,t  h                        (21)     

                          P           М2   y      Если точки М1 и М2 поменять местами,

                                                          изменив, соответственно, координаты            

 x                                                      этих точек, то в выражении (53) изме-

                                                          нится только знак работы силы тяжести.

                        Рис.4                        Таким образом, в общем случае, работа

                                                           постоянной силы тяжести определяется

следующей формулой:

                                  ,                                                        (22)

которая читается: Работа постоянной силы тяжести равна взятому со знаком плюс или минус произведению модуля этой силы на разность высот между начальным и конечным положением её точки приложения. При этом, знак плюс соответствует движению точки из более высокого положения в более низкое, а знак минус из более низкого положения в более высокое.     

Выделим одно важное свойство работы силы тяжести, которое непосредственно вытекает из формулы (22): Работа силы тяжести не зависит от формы траектории, по которой перемещается её точка приложения. Она определяется только разностью высот между начальным и конечным положениями точки приложения силы тяжести. Так, например, точка может перемещаться из положения М1 в положение М2 по одной из двух различных траекторий (на рис.4 показаны жирной и тонкой  линиями), однако, работа силы тяжести будет одной и той же.

С вышеуказанным свойством работы силы тяжести связано ещё одно её свойство: Работа силы тяжести по любому замкнутому контуру равна нулю. В самом деле, если точка приложения силы тяжести будет перемещаться из положения М1 в положение М2 по одной кривой (на рис.4 направление перемещения показано стрелками), а, затем, вернётся в исходное положение по другой кривой, то работы силы тяжести на этих перемещениях будут численно одинаковы, но с противоположными знаками. В сумме это даст работу равную нулю.  

    г) работа упругой силы, подчиняющейся закону Гука.

Рассмотрим движение материальной точки, прикреплённой к пружине, другой конец которой закреплён неподвижно в точке О (рис.5). Пусть точка движется по некоторой криволинейной траектории из положения М1 в положение М2. Примем, что в произвольный момент времени пружина растянута и упругая сила пружины F, приложенная к точке М, направлена к точке закрепления пружины (рис.5). Запишем закон Гука в векторной форме:

        z                                                    

               M1                      M,t                  ,       (23)     

                                                    где с коэффициент жёсткости пру-   

       О                                                 y      жины, текущая длина пружины

x                                                    M2         (), длина свободной

                     Рис.3                                  (недеформированной) пружины,

единичный вектор радиус-вектора точки  (). С учётом данного выражения вектора , равенство (23) запишется в следующем виде:

                                                 (24)

Для определения работы силы упругости (24) воспользуемся третьей из формул (15), подставив в неё проекции упругой силы, которые находятся путём проектирования левой и правой части равенства (24) на оси декартовой системы координат (рис.5):

                 (25)

После этого выражение работы силы упругости представится следующим образом:

             (26)

Поскольку  = = (рис.5), то в правой части равенства (26) интегрирование по координатам сведётся к интегрированию по одной переменной  с пределами интегрирования от  (в точке М1) до  (в точке М2):

                                                            (27)

Производя интегрирование в правой части равенства (27), и прибавляя к полученному результату тождественный ноль, равный , приведём выражение работы упругой силы (27) к следующему виду:

                         ,                                                (28)

где начальная деформация пружины в положении М1, конечная деформация пружины в положении М2. Таким образом, работа силы упругости равна произведению половины коэффициента жёсткости на разность квадратов начальной и конечной деформаций пружины (или другого упругого тела).

Из анализа формулы (28) следует, что работа силы упругости обладает свойствами аналогичными свойствам работы силы тяжести. Главное из этих свойств состоит в том, что работа упругой силы не зависит от формы траектории, по которой движется точка приложения этой силы. Далее мы познакомимся с целым классом сил, работы которых обладают свойствами работ сил тяжести и упругости.

5. Движение точки в потенциальном силовом поле. Закон сохранения механической энергии

При определении работ сил, рассмотренных выше, интегралы работ вычислялись сравнительно легко благодаря тому, что эти силы были или постоянными, или явным образом зависели от положения (координат) точки. Совокупность такого рода сил, имеющих одну и ту же физическую природу, и действующих на материальную точку, помещённую в любую точку некоторой области пространства, образует поле данной силы или силовое поле этой силы.

Силовое поле будет стационарным, если сила явным образом не зависит от времени, и нестационарным, если сила явным образом зависит от времени. Так, например, совокупность сил тяжести, действующих на материальную точку, помещаемую в любую точку пространства внутри поверхности Земли, или над её поверхностью, образует, практически, стационарное поле силы тяжести. Совокупность кулоновских сил, действующих на материальную точку, несущую электрический заряд и, помещаемую в любой точке между обкладками плоского конденсатора, заряжаемого источником переменного напряжения, образует нестационарное поле кулоновских сил.

Силовые поля бывают так же однородными и неоднородными. Если в силовом поле сила, действующая на материальную точку, не зависит от её расположения в данный момент времени, то такое поле называется однородным. В противном случае силовое поле будет неоднородным. Так силовое поле сил тяжести вблизи достаточно малого участка поверхности Земли, практически, однородное. Если же это поле рассматривать на больших протяжениях, то, в этом случае, данное поле будет неоднородным.

В дальнейшем ограничимся рассмотрением только стационарных силовых полей, для которых сила зависит явным образом только от координат её точки приложения. Запишем работу таких сил в форме последнего из равенств (15):

                                 ,                          (29)        

где

             (30)

При вычислении криволинейного интеграла (61) с учётом равенств (62), в общем случае, необходимо под знаком интеграла перейти к одной переменной, например, x. Для этого следует указать форму кривой, вдоль которой берётся интеграл, задав её  уравнениями y=y(x), z=z(x). Эти два уравнения определяют кривую (траекторию точки) в пространстве, как линию пересечения двух цилиндрических поверхностей, образующие которых параллельны соответственно осям z и y. Таким образом, даже в том случае, когда сила является функцией только координат точки, работа силы, вообще говоря, будет зависеть от формы траектории, по которой движется её точка приложения.

Из теории криволинейных интегралов известно, что криволинейный интеграл вида (29) не зависит от пути интегрирования только в том случае, когда подынтегральная функция является полным дифференциалом некоторой функции координат точки. Так как подынтегральная функция в выражении (29) представляет элементарную работу силы, то, на основании вышеизложенного, имеем:

                    (31)

Функция U(x,y,z) называется силовой функцией или потенциалом силового поля в данной его точке. Поле, для которого существует силовая функция, называется потенциальным силовым полем, а сила, действующая на материальную точку, находящуюся в этом поле, называется потенциальной силой. Подставляя выражение элементарной работы из равенства (31) под знак интеграла в формуле (29) и выполняя интегрирование, получим следующее выражение работы потенциальной силы:

                  ,                 (32)

где U1=U(x1,y1,z1) и U2=U(x2,y2,z2)  потенциалы силового поля соответственно в точках М1 и М2. Таким образом, из выражения (32) вытекает, что работа потенциальной силы при перемещении материальной точки в потенциальном силовом поле равна разности значений силовой функции (разности потенциалов силового поля) между конечным и начальным положениями точки. Эта работа не зависит ни от формы траектории, по которой перемещается точка, ни от её закона движения. Силы, не обладающие вышеназванными свойствами, называются непотенциальными. К таким силам относятся силы сухого и вязкого трения, различные силы сопротивления, возникающие при движении тел в жидких и газообразных средах, и ряд других сил.

Если в силовом поле выделить множество точек, имеющих одинаковое значение потенциала, то оно может образовывать поверхности равного потенциала (эквипотенциальные поверхности), линии равного потенциала (эквипотенциальные линии), или вырождаться в одну точку. Для определения потенциала силового поля в данной точке возьмём неопределённый интеграл от левой и правой части последнего равенства (31):

                                                                                    (33)

Откуда следует, что работа потенциальной силы и значение силовой функции в данной точке поля отличаются на произвольную постоянную.

Как следует из равенства (32), работа потенциальной силы при перемещении материальной точки между двумя точками поля вообще не зависит от значения постоянной С. Поэтому можно определить значение этой константы, приняв, что на некоторой эквипотенциальной поверхности, линии или в точке потенциал силового поля равен нулю. Такие эквипотенциальные поверхности, линии или точки называются поверхностями, линиями или точками нулевого потенциала. В основном, поверхности, линии и точки нулевого потенциала выбираются так, чтобы константа С=0. На основании изложенного, имеем равенство:

                                                                                           (34)

Из этого равенства следует, что потенциал силового поля в данной точке равен работе, совершаемой потенциальной силой при перемещении материальной точки в данную точку поля из поверхности, линии или точки нулевого потенциала. Используя равенство (34), вычислим потенциалы некоторых распространённых силовых полей:

1) потенциал однородного поля силы тяжести найдём, используя выражение элементарной работы силы тяжести dA=-Pdz (ось z направлена вертикально вверх); интегрируя левую и правую части этого равенства, с учётом (34), находим U=-Pz (поверхность нулевого потенциала совпадает с координатной плоскостью xOy); эквипотенциальными поверхностями данного поля являются плоскости перпендикулярные линиям действия сил тяжести.

2) потенциал гравитационного поля (ньютоновский потенциал) найдём, используя выражение гравитационной силы в виде F=k/r2 (k постоянная, содержащая все константы, входящие в закон всемирного тяготения; r расстояние от центра притягивающей сферы до материальной точки); элементарная работа гравитационной силы dA=- k/r2dr; беря интегралы от левой и правой части данного равенства, с учётом (34), найдём U=k/r (здесь поверхностью нулевого потенциала является сфера бесконечно большого радиуса); эквипотенциальными поверхностями будут сферы с центром, совпадающим с центром притягивающей сферы.

3)потенциал поля упругой силы найдём, используя выражение проекции упругой силы на ось x данное в Лекции 2 (раздел 2, пункт а) прямолинейные гармонические колебания); поле данной силы действует вдоль одной прямой (оси x) и называется линейным полем; элементарная работа dA=-cxdx; интегрированием левой и правой части данного равенства, с учётом (34), находим U=-cx2/2 (точка нулевого потенциала находится в начале координат); эквипотенциальные поверхности вырождаются в точки.

Отметим, что потенциал (силовая функция) силового поля имеет физическую размерность, совпадающую с размерностью энергии, поэтому, для более наглядной физической трактовки свойств потенциальных силовых полей наряду с понятием потенциала, используется понятие потенциальной энергии силового поля в данной его точке, равной взятому со знаком минус потенциалу поля в этой же точке. Обозначив потенциальную энергию через П, запишем:

                                                        (35)

С учётом равенств (34) и (35) и, принимая во внимание определение потенциала, данное выше, можно дать следующее определение потенциальной энергии силового поля в данной точке: Потенциальная энергия силового поля в некоторой его точке равна работе данной потенциальной силы при перемещении материальной точки из данной точки поля в точку с нулевой потенциальной энергией (нулевым потенциалом).

Физический смысл потенциальной энергии состоит в том, что в точках силового поля имеется запас энергии, который может превратиться в работу потенциальной силы при перемещении её точки приложения из данной точки в какую-либо точку нулевого потенциала. Так, например, сила тяжести P тела, поднятого над поверхностью земли на высоту h, способна совершить работу равную Ph, если тело будет падать с этой высоты на землю (горизонтальный участок поверхности земли принимается за поверхность нулевого потенциала).

При движении материальной точки в потенциальном силовом поле, теореме  об изменении кинетической энергии точки можно придать наглядный физический смысл, используя понятие потенциальной энергии силового поля в данной точке. Для этого, выразим работу потенциальной силы при перемещении материальной точки из начального положения М0 в текущее положение М через разность потенциальных энергий силового поля в точках М0 и М по формулам (32) и (35):

                              (36)

С учётом равенства (36), теорема об изменении кинетической энергии точки (см. равенство (14)), примет следующий вид:          

                       , или

                     (37)

Равенство (37) выражает хорошо известный из школьного курса физики закон сохранения механической энергии, который читается: При движении материальной точки в поле потенциальной силы её полная механическая энергия сохраняется. Этот закон может быть распространён и на случай действия нескольких потенциальных сил. При этом полная потенциальная энергия равна алгебраической сумме потенциальных энергий Пк каждой силы:

                                                                                         (38)

Следует обратить особое внимание на то, что закон сохранения механической энергии не носит такого фундаментального характера как закон сохранения и превращения энергии. Этот закон является частным случаем теоремы об изменении кинетической энергии точки. Он может применяться только в тех случаях, когда силы, действующие на точку, являются потенциальными. Поэтому, в силу ограниченного применения закона сохранения механической энергии, на практике, лучше использовать теорему об изменении кинетической энергии точки. Однако, в разделе "Динамика материальной системы и твёрдого тела" этот закон имеет важнейшее значение для развития, так называемых, общих принципов механики.

ЛЕКЦИЯ 7

ДИНАМИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ СИСТЕМЫ И ТВЁРДОГО ТЕЛА                                                   

1. Понятие механической материальной системы. Силы внешние и внутренние

Механической материальной системой будем называть такую совокупность материальных точек или тел, в которой движение и положение каждой точки (тела) зависит от движения и положения остальных точек (тел). Для того, что бы материальная система была механической (т. е. могла бы быть изучена с помощью законов механики), необходимо, что бы между точками (телами) системы существовало взаимодействие. Взаимодействие между точками или телами системы может осуществляться как при помощи механических связей, которые, в этом случае, включаются в рассматриваемую систему, так и при помощи различного рода полей (гравитационного, электрического, магнитного и т. д.). Примером механической системы первого типа может служить кривошипно-шатунный механизм, а примером системы второго типа электродвигатель, в котором взаимодействие между ротором и статором осуществляется при помощи электромагнитного поля.

Силы, действующие на точки (тела) системы, можно разделить на внешние и внутренние. К внешним силам относятся те из них, которые действуют на точки (тела) системы со стороны точек или тел, не входящих в данную систему. К внутренним силам относятся силы взаимодействия между точками (телами) системы. Внутренние силы, как силы взаимодействия, подчиняются 3-му закону Ньютона, поэтому они обладают двумя важными, очевидными свойствами: 1-е свойство векторная сумма всех внутренних сил равна нулю; 2-е свойство векторная сумма моментов всех внутренних сил относительно произвольной точки пространства (центра) равна нулю.

Поскольку, в общем случае, материальная система может состоять из весьма большого количества материальных точек, то описывать движение материальной системы, составляя дифференциальные уравнения движения каждой точки системы, практически, невозможно. Так для системы, состоящей из n материальных точек, в общем случае, нужно составить 3n дифференциальных уравнений движения, что при n=2 уже приведёт к системе шести дифференциальных уравнений второго порядка. Кроме этого, следует учесть, что внутренние силы, действующие на точки (тела) системы, как правило, заранее не известны. Всё сказанное, заставляет прибегать к другим методам изучения движения механической системы. Рассмотрим основные из этих методов.

2.Применение основных теорем динамики к исследованию движения механической системы

В динамике материальной системы рассматриваются четыре основные теоремы, три из которых аналогичны соответствующим теоремам динамики точки, а четвёртая является аналогом основного уравнения динамики точки. Принцип вывода этих теорем следующий:

                                       z       M2                      

                                     M1                   Mk

                                                                     y    

                                     x                                      

                                                   Рис.1

  1.  изображается произвольная система материальных точек, образующая механическую систему, относительно неподвижной, декартовой системы координат в произвольный момент времени (рис.1);
  2.  к каждой точке системы прикладывается равнодействующая всех внешних  и равнодействующая всех внутренних сил;
  3.  записывается соответствующая теорема динамики или основное уравнение динамики для каждой точки системы;
  4.  левые и правые части полученных соотношений, соответственно, суммируются по всем точкам системы;
  5.  полученные суммы, путём несложных преобразований, приводятся к конечному виду, содержащему уже динамические характеристики движения всей системы.

Применим вышеприведённую последовательность к выводу общих теорем динамики системы.

1) Теорема об изменении количества движения системы

1) на рис.1 изображена система материальных точек k=1,2…n (n  общее количество материальных точек) относительно осей неподвижной декартовой системы координат;

2) указаны направления равнодействующей всех внешних и равнодействующей всех внутренних сил, приложенных к произвольной k-й точке системы;

3)  записываем теорему об изменении количества движения каждой k-й точки системы в дифференциальной форме (см. Лекцию 5, равенство (1)):

                                      (1)

4) складываем, соответственно, левые и правые части всех n равенств вида (1):

                                                                       (2)

5) проводим преобразования:

                                            ,                 (3)

где вектор называется вектором (главным вектором) количества движения системы; по свойству внутренних сил. С учётом сделанных преобразований, равенство (2) примет следующий вид:

                                                              

                                                                                                (4)

Равенство (4) представляет дифференциальную форму записи теоремы об изменении количества движения системы: Производная по времени от вектора количества движения системы в данный момент времени равна векторной сумме всех внешних сил, действующих на систему в этот же момент времени. Интегральная форма записи этой теоремы, практически, используется крайне редко, поэтому здесь её не приводим (интегральная форма записи данной теоремы будет получена в теории удара). Равенство (4) может быть записано в скалярной форме путём проектирования его левой и правой части на оси декартовой системы координат:

       ,                   (5)

где Qx, Qy, Qz  проекции вектора количества движения системы на оси декартовой системы координат равные:

                         (6)

2) Теорема об изменении вектора момента количества движения (кинетического момента) системы относительно неподвижного центра

1) на рис. 1 изображена система материальных точек k=1,2…n (n  общее количество материальных точек) относительно осей неподвижной декартовой системы координат;

2) указаны направления равнодействующей всех внешних и равнодействующей всех внутренних сил, приложенных к произвольной k-й точке системы;

3)  записываем теорему об изменении момента количества движения каждой k-й точки системы в дифференциальной форме (см. Лекцию 5, равенство (22)):

                    (7)

4) складываем, соответственно, левые и правые части всех n равенств вида (7):

                         (8)

5) проводим преобразования:

               ,                (9)

где вектор называется вектором (главным вектором) момента количества движения (кинетическим моментом) системы относительно данного центра;  по свойству внутренних сил. С учётом сделанных преобразований равенство (8) примет следующий вид:

                                                              

                                                                          (10)

Равенство (10) представляет дифференциальную форму записи теоремы об изменении кинетического момента системы: Производная по времени от вектора кинетического момента системы относительно некоторого центра в данный момент времени равна векторной сумме моментов всех внешних сил, действующих на систему в этот же момент времени, относительно того же центра. Интегральная форма записи этой теоремы, практически, используется крайне редко, поэтому здесь её не приводим. Равенство (10) может быть записано в скалярной форме путём проектирования его левой и правой части на оси декартовой системы координат:

  (11)

3) Теорема об изменении кинетической энергии системы

1) на рис. 1 изображена система материальных точек k=1,2…n (n  общее количество материальных точек) относительно осей неподвижной декартовой системы координат;

2) указаны направления равнодействующей всех внешних и равнодействующей всех внутренних сил, приложенных к произвольной k-й точке системы;

3)  записываем теорему об изменении кинетической энергии каждой k-й точки системы в интегральной форме (см. Лекцию 6, равенство (14)):

                , k=1,2…n                   (12)

4) складываем, соответственно, левые и правые части всех n равенств вида (12):

                         (13)

5) обозначим:

       ,                               (14)

где T и T0  соответственно, кинетические энергии системы в текущий и начальный моменты времени. С учётом сделанных обозначений равенство (13) примет следующий вид:

                                                             (15)

Это равенство представляет запись теоремы об изменении кинетической энергии системы в интегральной форме, которая читается: Изменение кинетической энергии системы за некоторый промежуток времени равно сумме работ всех внешних и внутренних сил, действующих на систему, за тот же промежуток времени. В отличие от первых двух теорем, где изменение количества движения или кинетического момента системы могло происходить только за счёт действия внешних сил, в этой теореме изменение кинетической энергии системы происходит как за счёт внешних, так и за счёт внутренних сил.

Возникает вопрос, может ли, в некоторых случаях, изменение кинетической энергии системы быть обусловлено действием только внешних сил? В этом случае должна быть равна нулю сумма работ всех внутренних сил. Это возможно в том случае, когда внутренними силами являются силы реакции идеальных связей, с помощью которых точки (тела) системы взаимодействуют между собой.

В теоретической механике вводится постулат идеальных связей, как связей, для которых сумма работ сил реакций на рассматриваемом перемещении системы равна нулю (далее будет дано более общее понятие идеальных связей). Так, например, если тела системы соединены между собой гибкими нерастяжимыми нитями, идеальными шарнирами (шарнирами, в которых отсутствует трение) или взаимодействуют между собой непосредственно без возникновения сил трения скольжения, то такого типа связи будут идеальными. При этом, в самих твёрдых телах сумма работ всех внутренних сил так же равна нулю. Для таких «идеальных» механических систем теорема об изменении кинетической энергии примет следующий вид:

                                                                            (16)

Следует отметить, что для решения учебных задач теорема об изменении кинетической энергии системы, чаще всего, применяется в виде (16).

4) Теорема о движении центра масс системы

1) на рис. 1 изображена система материальных точек k=1,2…n (n  общее количество материальных точек) относительно осей неподвижной декартовой системы координат;

2) указаны направления равнодействующей всех внешних и равнодействующей всех внутренних сил, приложенных к произвольной k-й точке системы;

3) записываем основное уравнение динамики для каждой точки системы (см. Лекция 1, равенство (4)):

                                    (17)  

4)складываем, соответственно, левые и правые части всех n равенств вида(17):

                                            (18)

5) проводим преобразования:

    (19)

                                                          (20)

где т. С называется центром масс системы, а величина

                  , масса системы                (21)

называется радиус-вектором центра масс системы. С учётом выражений (19) и (20) равенство (18) запишется:

                                                                         (22)

или поскольку величина , это ускорение центра масс системы, то предыдущее равенство примет следующий вид:

                                                                            (22*)

По своему внешнему виду равенство (22*) напоминает основное уравнение динамики точки, записанное для центра масс системы, в предположении, что в центре масс как бы сосредоточена масса всей системы, и на него как бы действуют все внешние силы, приложенные к точкам системы. Это даёт основание сформулировать следующую теорему о движении центра масс системы: Центр масс материальной системы движется как одна материальная точка, в которой как бы сосредоточена масса всей системы, и на которую как бы действуют все внешние силы, приложенные к системе.

Непосредственно из равенства (21) вытекает ещё одно соотношение, характеризующее движение центра масс системы. Умножим левую и правую части этого равенства на массу системы М и продифференцируем их по времени:

                                                                 (23)

Так как , а , то равенство (23) запишется в следующем виде:

                                                                 (24)

Таким образом, из равенства (24) следует, что количество движения системы равно количеству движения её центра масс, если в этой точке  сосредоточить массу всей системы. Эта формула позволяет сравнительно легко вычислять количество движения системы, зная массу системы и скорость её центра масс.

3. Законы сохранения

Из общих теорем динамики системы вытекают некоторые важные частные случаи движения механических систем, получившие название законов сохранения. Рассмотрим основные из этих законов.

1)Закон сохранения количества движения системы и его проекции на данную ось. Пусть внешние силы, действующие на систему таковы, что. Тогда, на основании равенства (4), получим:

                                    и                                     (25)

Последнее равенство выражает закон сохранения количества движения системы, который читается: Если векторная сумма внешних сил, действующих на механическую систему равна нулю, то вектор количества движения этой системы сохраняется.

Далее предположим, что, а . В этом случае, на основании первого из равенств (5), получим:

                                  и                                 (26)

Последнее из равенств (26) выражает закон сохранения проекции количества движения системы на данную ось, который читается: Если сумма проекций внешних сил, действующих на механическую систему, на какую-либо ось (в данном случае на ось x) равна нулю, то проекция количества движения системы на эту ось сохраняется. При этом остальные проекции количества движения могут не сохраняться.

Рассмотрим пример: к космической станции массой М, находящейся на круговой орбите, пристыкован космический корабль массы m.  Центр масс этой системы движется со скоростью V относительно поверхности Земли. В некоторый момент времени происходит отделение космического корабля от станции со скоростью u относительно станции, направленной в сторону её движения. Определить скорость станции относительно поверхности Земли в момент отделения корабля (рис.2).

 Спроектируем векторное равенство (4) на касательную к траектории центра масс станции и корабля. При этом будем считать, что центры масс станции С1 и корабля С2 движутся по той же траектории (расстояние между ними значительно меньше расстояния от центра масс системы до центра Земли).  Внешними силами, в данном случае, являются силы притяжения к центру Земли, действующие на станцию и корабль. В результате получим:

                                    С1 

                                            С2 

                                               u

                                 P1      P2            V1     

                                                                              

                                               Рис.2

                                                                   (27)

Таким образом, в данном случае, приходим к закону сохранения проекции количества движения системы на касательную к траектории движения центра масс системы. Подсчитаем проекцию количества движения системы на касательную, принимая во внимание, что скорость корабля в момент его отделения от станции будет складываться из скорости станции V1 и его скорости u по отношению к станции (эти векторы направлены по одной прямой в одну сторону (рис.2)):

                                                       (28)

Согласно последнему из равенств (27) найденная величина должна быть постоянной. Найдём эту константу из начальных условий задачи. Так как по условию, до разделения, станция и корабль двигались как одно тело со скоростью V, то начальная проекция количества движения системы на касательную равна:

                                                                                 (29)

Приравнивая, согласно (27), выражения (28) и (29), определим из полученного уравнения скорость космической станции V1 в момент отделения космического корабля:

                                                                              (30)

Как следует из формулы (30), при отделении корабля от станции с относительной скоростью, направленной по направлению её начальной скорости V, скорость станции уменьшится. Если бы корабль отделился от станции с относительной скоростью, направленной против начальной скорости станции, то скорость станции увеличилась бы. В этом случае скорость станции по отношению к поверхности Земли была бы равна разности  и в  правой части формулы (30) второе слагаемое было бы положительным.

2) Закон сохранения кинетического момента системы относительно центра и оси. Пусть внешние силы, действующие на систему, таковы, что  , Тогда из уравнения (10) следует:

                               и                                       (31)

Последнее из равенств (31) выражает закон сохранения кинетического момента системы относительно данного центра, который читается: Если сумма моментов всех внешних сил, действующих на систему, относительно данного центра равна нулю, то кинетический момент системы относительно этого же центра сохраняется.

Затем предположим, что   , а . В этом случае, как следует из третьего равенства (11), получим:

                               и                                      (32)

Последнее из равенств (32) выражает закон сохранения кинетического момента системы относительно оси (в данном случае оси z), который читается: Если сумма моментов всех внешних сил, действующих на систему, относительно данной оси равна нулю, то кинетический момент системы относительно этой оси (или проекция кинетического момента системы на эту ось) сохраняется. При этом кинетические моменты системы относительно других осей могут не сохраняться.

Приведём пример на применение закона сохранения кинетического момента системы относительно оси: через невесомый блок перекинут канат, по которому поднимается человек А с постоянной относительной скоростью u. В точке В к канату привязан груз одинакового веса с человеком. С какой скоростью будет подниматься груз (рис.3)? На рис.3 показаны векторы: - сила тяжести человека или груза, - скорость груза, равная скорости любой точки каната, - относительная (по отношению к канату) скорость человека, - сила реакции оси блока.                        

                                                             

                                                                                                                                                           

                                                                                                             

                                                        A                                                                                                               

                                                            B

                                                                                                                                   

 

                                                                Рис.3

Запишем теорему об изменении кинетического момента системы в проекции на ось z, направленную вдоль оси блока на нас.

                                                                             (33)

Найдём сумму моментов всех сил относительно оси z:

                                                                      (34),

где r - радиус блока. Таким образом, на основании (34), из уравнения (33) следует закон сохранения кинетического момента системы относительно оси z:

                                                                                         (35)

Найдём кинетический момент системы относительно оси z, как проекцию вектора  на ось z:

                                     (36),

где - абсолютная скорость, направленная вертикально вверх (предполагается, что u>V).

Так как относительная скорость человека u и его переносная скорость V (переносная скорость человека равна скорости каната в месте нахождения человека) направлены по одной прямой в разные стороны, то его абсолютная скорость равна:

                                                                                          (37)

С учётом равенства (37), выражение кинетического момента системы относительно оси z (36) примет следующий вид:

                            (38)

Найдём теперь константу в правой части равенства (35). Для этого предположим, что в начальный момент времени система находилась в покое. В этом случае, начальный кинетический момент системы относительно оси z равен нулю. Согласно равенству (35), он будет равен нулю и в любой другой момент времени. Таким образом, имеем:

                                                                                                (39)

Приравнивая друг к другу левые и правые части выражений (38) и (39), найдём из получившегося уравнения:

                                                                                                  (40)

3)законы сохранения движения и координаты центра масс системы. Теперь рассмотрим частные случаи, вытекающие из теоремы о движении центра масс системы. В уравнении (22*) положим равной нулю векторную сумму внешних сил, действующих на систему, т. е. . В результате получим:

                                                 (41)

 Последнее из равенств (41) выражает закон сохранения движения центра масс системы, который читается: Если векторная сумма внешних сил, действующих на систему, равна нулю, то движение центра масс этой системы сохраняется. Это значит, что центр масс системы будет двигаться равномерно и прямолинейно, или будет находится в состоянии покоя, если в начальный момент времени он находился в покое.

Далее предположим, что , а . В этом случае, проектируя левую и правую части равенства (22*) на ось x, получим:

                          ,                       (42)

где последнее равенство выражает закон сохранения проекции движения центра масс системы на данную ось (в рассматриваемом случае на ось x), который читается: Если сумма проекций внешних сил, действующих на систему, на какую-либо координатную ось, равна нулю, то проекция движения центра масс системы на эту ось сохраняется. Это значит, что проекция скорости центра масс системы на данную ось остаётся постоянной. При этом, проекции скорости центра масс на другие оси могут и не сохранятся.

В свою очередь, из последнего равенства (42), как частный случай, вытекает важное следствие, часто встречающееся при решении задач. Предположим, что в начальный момент времени проекция скорости центра масс системы на ось x VCx(0)=0. Тогда, на основании равенства (42), она будет равна нулю и в любой другой момент времени. В этом случае, данное равенство можно представить в следующей дифференциальной форме:

                                                 ,

откуда следует:

                                                                                     (43)

Это равенство выражает закон сохранения координаты центра масс системы (в данном случае координаты x), который читается: Если при сохранении движения центра масс системы относительно данной координатной оси, начальная проекция скорости центра масс на эту ось была равна нулю, то данная координата центра масс системы сохраняется. При этом, остальные координаты центра масс системы могут и не сохранятся.

                               

    

                                                                 В

                                                          С   

                                                          

                              A             

                     x                                        

                                                        0

                                                   xA                                                            Рис.4

 Рассмотрим пример на закон сохранения координаты центра масс системы: однородный стержень АВ длиной  падает под действием силы тяжести на горизонтальную, гладкую плоскость, скользя по ней концом А (рис.4). Найти, какое расстояние а пройдёт точка А к моменту падения стержня на плоскость, если в начальный момент времени стержень занимал вертикальное положение.   

В данном примере сумма проекций на ось x всех внешних сил (- сила тяжести, - сила реакции гладкой поверхности), действующих на стержень, равна нулю. Предполагая, что в начальный момент времени (при вертикальном расположении) стержень находился в покое, приходим к закону сохранения координаты xC его центра масс (или центра тяжести) (43).

Взяв начальное положение т.А за начало координат (рис.4), найдём значение координаты xA т. А в тот момент, когда стержень упадёт на опорную плоскость. Так как в начальный момент времени координата x С т. С равнялась нулю, а в момент падения стержня на опорную плоскость она будет равна xA+l/2, то на основании равенства (43) получим уравнение:

                                                ,                                          (44)

откуда находим, что xA=-l/2, а значит пройденное точкой А расстояние а будет равно:

                                                                                      (45)

Попутно заметим, что при падении стержня на гладкую опорную плоскость, его центр тяжести С, согласно (43), будет двигаться по вертикали.

ЛЕКЦИЯ 8

Приложение общих теорем динамики системы к изучению движения твёрдого тела

Твёрдое тело является частным случаем механической системы, в которой кратчайшие расстояния между точками не изменяются при их движениях (неизменяемая система). Чаще всего при изучении движения тела используются теоремы об изменении кинетического момента, кинетической энергии и о движении центра масс системы.

  1.  Применение теоремы об изменении кинетического момента системы.

а) динамика вращательного движения тела вокруг неподвижной оси  

    

                    

                                            Рис.1

Как правило, теорема об изменении кинетического момента системы применяется при изучении вращательных движений тела. Рассмотрим её применение на примере изучения вращательного движения тела вокруг неподвижной оси (рис.1). Найдём кинетический момент тела вращающегося вокруг оси z по формуле:

                Kz=mz(mkVk)=mkVkhk=mkhk2                  (1)  

Физическая величина:

                                           Iz=mkhk2                                                (2)

называется моментом инерции тела относительно  данной оси вращения. С учётом выражения (2), кинетический момент тела относительно оси вращения z примет следующий вид:

                                                                                             (3)

Взяв производную по времени от левой и правой частей равенства (3), и, принимая во внимание, что момент инерции Iz=const для данного тела и данной, фиксированной оси вращения z, получим:

                                                                             (4)

Величина d/dt равна угловому ускорению тела =d2/dt2, а величина dKz/dt определяется последним из соотношений (11) (Лекция 7). На этом основании равенство (4) можно записать в следующем виде:

                                                                (5)

Равенство (5) называется дифференциальным уравнением вращательного движения тела относительно данной неподвижной оси. Это уравнение является основным, из применяющихся уравнений для исследования вращательного движения тела.

Выразим из  уравнения (5)  угловое ускорение тела:

                                                            (6)

Отсюда видно, что при неизменной сумме моментов сил, действующих на различные тела, относительно данной оси вращения, угловое ускорение того из них наименьшее, у которого момент инерции относительно этой оси наибольший. Это означает, что тело с  бòльшим моментом инерции изменяет свою угловую скорость медленнее, чем тело с меньшим моментом инерции. Из этого следует, что момент инерции тела относительно какой-либо оси количественно характеризует инертность этого тела по отношению к его вращательному движению относительно данной оси.

Ввиду большой практической важности вопроса определения моментов инерции тел, ему посвящается большой раздел механики, в котором рассматриваются различные теоретические и экспериментальные способы определения моментов инерции различных тел. Из-за ограниченности данного курса лекций этот вопрос здесь в полном объёме не рассматривается и выносится на самостоятельную проработку (С. М. Тарг Краткий курс теоретической механики. Изд. 1986 г., §§ 102 - 104 , стр. 265 - 271.).

  В дальнейшем, нам понадобится определять моменты инерции тел относительно произвольных осей, выражая их через осевые моменты инерции этих тел относительно декартовых осей координат и некоторые дополнительные величины, называемые центробежными моментами инерции.

б) определение момента инерции тела относительно произвольной оси. Эллипсоид инерции. Главные оси инерции.

 Рассмотрим определение момента инерции тела относительно произвольной оси Δ (рис.2). Для этого возьмём на данной оси произвольную

                    

                                   

                                                Рис.2

точку О, которую примем за начало декартовой системы координат, жёстко связанной с телом. По определению момента инерции тела относительно оси (2), и из рис.2 имеем:

                 ,                     (7)  

где единичный вектор оси . Разложим векторное произведение  по декартовым осям координат (рис.2):   

      , (8)

где   и   углы, образованные вектором  с положительными направлениями координатных осей.

Для единичного вектора косинусы этих углов равны соответствующим проекциям данного вектора на оси координат. Подставляя значение векторного произведения (8) в формулу осевого момента инерции (7), получим следующее выражение момента инерции тела относительно произвольной оси :

 (9)

При возведении в квадрат правой части выражения (8) учитывалось, что скалярные произведения разноимённых единичных векторов равны нулю, а скалярные произведения одноимённых единичных векторов равны единице.

В правой части выражения (9) введём следующие обозначения:

  (10)

В равенствах (10) величины  представляют осевые моменты инерции тела относительно координатных осей. Величины  называются центробежными моментами инерции тела. В отличие от осевых моментов инерции, которые всегда положительны, центробежные моменты инерции могут быть как положительными, так и отрицательными величинами. При определённым образом выбранной форме тела и положения системы координат Oxyz по отношению к телу, центробежные моменты инерции могут быть равными нулю. Так же следует отметить, что в обозначениях центробежных моментов инерции можно менять местами индексы координатных осей, от этого величина соответствующего центробежного момента инерции не изменится. Так, например  и т. д.

С учётом формул (10), выражение момента инерции тела относительно произвольной оси (9) запишется следующим образом:

                (11)

Рассмотрим теперь вектор , направленный вдоль оси , численно равный 

                                                                                              (12)

Координаты конца этого вектора равны соответственно:

                                  (13)  

Умножив левую и правую части равенства (11) на квадрат вектора, и принимая во внимание равенства (12) и (13), получим уравнение центральной поверхности второго порядка, являющейся геометрическим местом концов вектора :

            (14)

Так как коэффициенты при квадратах координат положительны, то эта поверхность может быть только эллипсоидом. Эллипсоид, описываемый уравнением (14), называется эллипсоидом инерции. Каждой точке тела соответствует свой эллипсоид инерции. Если данная точка тела является центром масс, то эллипсоид инерции называется центральным.

Если оси координат направить вдоль главных диаметров эллипсоида инерции и обозначить эти оси через , то, как доказывается в аналитической геометрии, в новом уравнении эллипсоида обратятся в нуль слагаемые, содержащие произведения координат и уравнение эллипсоида примет вид:

                                                        (15)

                                                     (16)

Три взаимно перпендикулярных направления , проходящие через заданную точку, относительно которых центробежные моменты инерции равны нулю, называются главными осями инерции тела для этой точки. Запишем без доказательства условия, которые должны выполняться, чтобы какая - либо координатная ось, проходящая через произвольную точку тела, была главной осью инерции тела в этой точке:

если x главная ось инерции, то должно выполняться условие ;

если главная ось инерции, то должно выполняться условие ;

если главная ось инерции, то должно выполняться условие .

Для однородных тел, имеющих какую - либо симметрию, главными осями инерции будут: ось перпендикулярная плоскости симметрии тела

                z     M'k (xk,yk,-zk)                                     z 

  Mk(xk,yk,zk)                                                                                  

                  mk                                                     O                y                                                                   

          mk                                        y

                   O                                         x  

      x

                     Рис.3                                                          Рис.4

(рис.3), или ось симметрии тела (рис.4). Для этих случаев соответственно имеем:

        

                

Аналогично предыдущему, для осесимметричного тела (рис.4) получим те же результаты для оси z, что и для тела, изображённого на рис.3.

в) теорема Штейнера - Гюйгенса

Часто, при решении задач динамики твёрдого тела, бывает необходимо вычислить момент инерции тела относительно некоторой оси, если известен момент инерции этого тела относительно другой оси ей параллельной. Покажем, как это сделать. Рассмотрим произвольное тело, в котором проведены две системы координатных осей (рис.5).  

                                                z'

                                      z

                                      d

                                                      mk     

                                     x'k C          yk'                y'

                                O              yk          y

                                     

                     x  (x')

                                               Рис.5

Одна система координат Oxyz проведена через произвольную точку тела О, а другая система координат Cx'y'z' проведена через центр масс тела С. При этом  оси x и x' совпадают, а оси z и z', y и y' соответственно параллельны. Найдём зависимость между моментами инерции тела относительно параллельных осей z и z', расстояние между которыми равно d (рис.5).

Согласно определению осевых моментов инерции, данных первыми тремя формулами (10), получим:

                      (17)

Далее имеем: . Подставляя эти соотношения в первую формулу (17), приведём её к следующему виду:

                               (18)

В правой части равенства (18) первое слагаемое представляет момент инерции тела относительно оси z' (см. вторую формулу (17)). Второе слагаемое будет равно нулю по определению центра масс системы (Лекция 8, (21)). Согласно этому определению имеем: . Наконец, последнее слагаемое правой части (18) равно . Таким образом, равенство (18) примет следующий вид:

                                                                              (19)

Равенство (19) выражает теорему Штейнера - Гюйгенса, которая читается: Момент инерции тела относительно произвольной оси равен моменту инерции этого же тела относительно оси, проходящей через его центр масс параллельно данной оси, сложенному с произведением массы тела на квадрат расстояния между осями.

Пользуясь теоремой Штейнера - Гюйгенса можно определить зависимость между двумя любыми параллельными осями, если известно положение этих осей по отношению к параллельной им оси, проходящей через центр масс тела. Из равенства (19) следует весьма важный физический смысл теоремы Штейнера - Гюйгенса: момент инерции тела относительно оси, проходящей через его центр масс, является наименьшим по сравнению с моментами инерции этого же тела относительно любых других осей ей параллельных.

г) физический маятник

 Физическим маятником будем называть тело, которое может совершать колебательное движение, поворачиваясь вокруг некоторой неподвижной оси под действием силы тяжести (рис.6).  

                                               

                                        O                                  y  

                                                 C

                        z                              

                                                            O1

                             zC                       

                                    z1      x  

                                                     Рис.6   

К исследованию данного вращательного движения тела вокруг неподвижной оси z применим дифференциальное уравнение вращательного движения (5). Так как момент силы реакции шарнира О (на рисунке не показана) относительно оси z равен нулю, то . Уравнение (5), после деления его левой и правой части на момент инерции тела, примет следующий вид:

                         ,                                          (20)

где а = ОС. Уравнение (20) похоже на уравнение (4) (Лекция 3), описывающее колебания математического маятника. Роль массы математического маятника в уравнении (20) играет момент инерции тела относительно оси z, а роль длины нити расстояние а  от центра тяжести С тела до оси z. Точно так же, как это было сделано при интегрировании уравнения (4) (Лекция 3) для малых колебаний математического маятника, приведём дифференциальное уравнение малых колебаний физического маятника к следующему виду:

                               ,                                    (21)

где

                                                                                            (22)

Не приводя подробное решение дифференциального уравнения (21) (это было сделано в Лекции 3), можно сразу сказать, что малые колебания физического маятника, так же как и малые колебания математического маятника, будут гармоническими. Постоянную к назовём циклической частотой колебаний физического маятника. Зная циклическую частоту к, найдём период колебаний физического маятника, используя известное соотношение  :

                                                                                       (23)

Сравним формулу (23) периода колебаний физического маятника с формулой Гюйгенса (Лекция 3 (8),) периода колебаний математического маятника. Из сравнения следует, что длина математического маятника, имеющего такой же период колебаний, как и соответствующий физический маятник, определяется формулой:

                                                ,                             (24)

где М - масса физического маятника,  - называется приведённой длиной физического маятника. Таким образом, приведённая длина физического маятника, есть длина такого математического маятника, который имеет такой же период колебаний, как и данный физический маятник.

Покажем, что приведённая длина физического маятника всегда больше расстояния от его точки подвеса О до центра тяжести С, т. е. . Для доказательства воспользуемся теоремой Штейнера - Гюйгенса (19), применив её к параллельным осям z  и zC, проходящим через точки О и С (рис.6). Подставив в (19) величину, определённую из формулы (24), и , получим: . Отсюда находим:

                                     ,                                       (25)

что и требовалось доказать. На рис.6 приведённая длина физического маятника показана отрезком ОО1. Точка О1 называется центром качаний физического маятника.

Поменяем теперь ось вращения физического маятника, совместив её с осью, проходящей через точку О1 (рис.6).  Найдём для этого случая приведённую длину по формуле (24), представив момент инерции маятника относительно оси z1 по теореме Штейнера - Гюйгенса (19):

                   (26)

Так как  (см. формулу (25)), то, подставив это значение О1С в формулу (26), получим:

                                                                                                   (27)

Таким образом, оказывается, что точки О и О1 являются взаимными, т. е. при качании физического маятника относительно оси z центром качаний будет точка О1, а при его качании относительно оси z1 центром качаний будет точка О. При этом период колебаний маятника не изменится.

Теория малых колебаний физического маятника широко используется для экспериментального определения моментов инерции тел сложной формы. Для этого тело подвешивается на данной оси вращения и приводится в колебательное движение относительно этой оси. Экспериментально определяется период Т этих колебаний и расстояние а от оси вращения до центра тяжести тела. После этого, из соотношения (23), находится момент инерции тела относительно данной оси.

63

PAGE  76


EMBED PBrush  


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

60789. Дмитро Луценко – поет-лірик, поет-пісняр 84.5 KB
  Особливо мене схвилювали поезії про війну. Я так ніжно кохав свою дорогу матусю Щоразу коли згадую її гірку долю у мене в душі щось перевертається. Того ж вечора були написані слова: Грає море зелене Тихий день догора Дорогими...
60791. Массивы. Ввод и вывод массивов 484.5 KB
  Объявление массива Массив как и любая переменная программы перед использованием должен быть объявлен в разделе объявления переменных. В общем виде инструкция объявления массива выглядит следующим образом...
60794. There is/there are. Plurals. Prepositions. Present Simple 2.64 MB
  Оборот there is/there are используют, когда хотят сказать, что что-то или кто-то (лица, предметы) существуют или находятся где-то в определенном месте или отрезке времени. There is используется перед неисчисляемыми сущ., и сущ. в единственном числе.
60795. МИНУТА ГИМНАСТИКИ УМА КАК ОДИН ИЗ ПРИЁМОВ АКТИВИЗАЦИИ ВНИМАНИЯ 183 KB
  Примеры заданий Решить анаграммы и исключить лишнее слово. Слово анаграмма греческого происхождения означает перестановку букв в слове приводящую к другому слову например решить анаграмму...
60797. Mental Ray GI: освещение интерьера 9.23 MB
  Настройте источник света. При работе с фотонами огромное значение имеет параметр Hotspot в свитке Spotlights Parameters источника света. Эти параметры надо как можно более точно настраивать по размерам окна через которое в комнату поступает свет