90069

Аппроксимация и интерполирование функций

Лекция

Математика и математический анализ

Интерполяционный многочлен Лагранжа имеет существенный недостаток: если при выбранном числе узлов выяснилось, что интерполяционный многочлен недостаточно точно находит значение функций в заданной точке, то при добавлении одного или нескольких узлов все вычисления необходимо проводить заново.

Русский

2015-05-29

172.94 KB

4 чел.


ЛЕКЦИЯ 2

2. Аппроксимация и интерполирование функций

2.1.Общие понятия

Определение. Аппроксимация - это замена одной функции другой близкой к исходной и обладающей "хорошими" свойствами, позволяющими легко производить над ней те или иные аналитические или вычислительные операции.

 Простейшая задача интерполирования: на отрезке [a,b] задана (n+1) точка, эти точки называются узлами интерполирования, и (n+1) значение функции в этих точках. Требуется построить функцию F(x), принадлежащую известному классу и принимающую в узлах интерполирования те же значения, что и f(x), т.е.

.

Геометрически это означает, что нужно найти кривую некоторого определенного типа, проходящую через систему заданных точек. Это задача становится однозначной, если вместо произвольной функции строить полином Pn(x) степени n такой, что

,

тогда внутри промежутков (xi, xi+1) построенный полином будет приближенно описывать функцию f(x).

Полученную интерполяционную формулу обычно используют для нахождения приближенного значения функции f(x) в точках, отличных от узлов интерполирования.

2.2.Интерполяционный многочлен Лагранжа

Пусть на отрезке [a,b] заданы (n+1) точка x0, x1, , xn и значения функции f в этих точках.

Будем строить интерполяционный многочлен вида , где - многочлены степени n, удовлетворяющие условиям

так как требуем, чтобы значения интерполяционного многочлена и значения функции f(x) совпадали в узлах интерполяции i, т.е..

Тогда можно искать в виде:

где - некоторая константа, которую найдем из условия , тогда

Если обозначить и продифференцировать это выражение по х, полагая х=хj, то последнее выражение можно записать в виде:

,

где

Таким образом, получим многочлен

,

который называется интерполяционным многочленом Лагранжа.

Пусть узлы интерполирования являются равноотстоящими, т.е. , если ввести новую переменную , то многочлен Лагранжа для равноотстоящих узлов запишется в виде

,

т.к. .

 Интерполяционный многочлен Лагранжа имеет существенный недостаток: если при выбранном числе узлов выяснилось, что интерполяционный многочлен недостаточно точно находит значение функций в заданной точке, то при добавлении одного или нескольких узлов все вычисления необходимо проводить заново. В этом случае, когда требуется найти не аналитическое выражение, а лишь его значение в некоторой точке, от этого недостатка можно избавиться, воспользовавшись интерполяционной схемой Эйткена. По этой схеме значение интерполяционного многочлена Лагранжа находится путем последовательного применения единообразного процесса

x0

y0

x0-x

x1

y1

x1-x

L01(x)

x2

y2

x2-x

L12(x)

L012(x)

xn

yn

xn-x

Ln-1n(x)

Ln-2n-1n(x)

Ln-3n(x)

L01n(x)

где , , ,  .

Применяя эту схему, можно постепенно подключать все новые и новые узлы до тех пор, пока желаемая точность не будет достигнута.

Если все вычисления проведены точно, то интерполяционный многочлен Лагранжа совпадает с заданной функцией в узлах интерполирования. Однако он будет отличен от нее в остальных точках. Исключением является случай, когда сама функция f(x) является многочленом степени не выше n.

Оценка погрешности интерполяционного многочлена Лагранжа, если функция f(x) имеет на [a,b] непрерывные производные (n+1)-го порядка, имеет вид , где  - некоторая точка [a,b] или .

Это выражение может служить оценкой отклонения полинома Лагранжа от f(x) в том случае, когда можно оценить .

2.3.Интерполяционная формула Ньютона.

Запишем интерполяционный многочлен Лагранжа Ln(x) в другой форме:

где разность , есть многочлен степени k, обращающийся в нуль в точках x0,,xk-1. Поэтому можно записать

Константу B найдем, полагая x=xk, т.е.

где - есть разностное отношение k-го порядка .

Учитывая выражение для В интерполяционный многочлен можно представить в виде

.

Эта форма записи интерполяционного многочлена Лагранжа носит название интерполяционного многочлена Ньютона для неравных промежутков. Многочлен Ньютона имеет степень равную n и удовлетворяет условию

.

Формула Ньютона имеет более сложное строение, чем формула Лагранжа, и требует составления разностных отношений , . Несмотря на это, она более удобна для вычислений, т.к. при добавлении нового узла все проделанные вычисления сохраняются, а в формуле добавляется еще одно слагаемое .

Это позволяет не задавать заранее число узлов интерполирования, а постепенно увеличивать точность результата, добавляя последовательно по одному новому узлу.

Остаточный член формулы Ньютона совпадает с остаточным членом формулы Лагранжа, т.е.

где  - точка отрезка, содержащего узлы интерполирования и точку х. Из свойств разностных отношений следует

.

Тогда для остаточного члена имеем: .

2.4.Интерполяционные и экстраполяционные формулы при равноотстоящих значениях аргумента.

Пусть все узлы интерполирования хi принадлежат отрезку [a,b], причем а=х0, b=xn.

Если точка интерполирования х принадлежит отрезку [a,b], то формула, приближающая функцию f в точке х, называется интерполяционной, а если х не принадлежит отрезку [a,b], то формула называется экстраполяционной.

Узлы интерполирования, лежащие ближе к точке интерполирования, оказывают большее влияние на интерполяционный многочлен, чем узлы, лежащие дальше. Поэтому целесообразно за и брать ближайшие к х узлы интерполирования и проводить сначала линейную интерполяцию по этим узлам, а затем постепенно привлекать следующие узлы таким образом, чтобы они возможно симметричнее располагались относительно точки. Полученные при этом поправки будут незначительными.

Пусть узлы интерполирования определены на [a,b] равномерно и заданы значения интерполируемой в этих узлах функции.

Формула Ньютона для интерполирования вперед и экстраполирования назад

Пусть точка интерполирования х находится ближе к левому концу отрезка [a,b] или слева от него. Тогда интерполяционная формула Ньютона для интерполирования вперед и экстраполирования назад примет вид

,

где - новая переменная, - конечная разность k - го порядка.

Связь разностных соотношений и конечных разностей:

, , и т.д.

Остаток в этом случае имеет вид

.

Формула Ньютона для интерполирования назад и экстраполирования вперед

Пусть точка интерполирования х находится ближе к правому концу отрезка [a,b] или справа от него. За первый узел интерполирования примем ближайший и обозначим его через хk. Тогда интерполяционная формула Ньютона для интерполирования назад и экстраполирования вперед примет вид

,

где - новая переменная.

Связь разностных соотношений и конечных разностей:

, , и т.д.

Остаток в этом случае имеет вид

.

Правило определения максимального порядка разностей, которые ведут себя правильно:

если , а , то максимальный порядок разностей, которые ведут себя правильно, равен j. Использование разности порядка (j+1) приведет к искажению результата. Здесь  - абсолютная погрешность вычисленных значений уi.

2.5.Интерполяционные формулы Гаусса.

Пусть узлы интерполирования х0, х1, ..., хn равноотстоящие и точка интерполирования х находится в середине отрезка [a,b] "вблизи" узла хk, причем х>xk. Для построения интерполяционной формулы необходимо привлекать узлы интерполирования в следующем порядке: хk, xk+h, xk-h, ..., xk+ih, xk-ih. Обозначив и вводя конечные разности по формулам:

, , и т.д.,

то для интерполирования вперед формула Гаусса примет вид

Если точка интерполирования х<хk, то узлы для построения следует привлекать в следующем порядке: хk, xk-h, xk+h, ..., xk-ih, xk+ih.

Формула Гаусса для интерполирования назад имеет вид

 Задачи

1. Найти приближенное значение функции f(x) по таблице значений этой функции:

а) используя интерполяционную формулу Лагранжа;

б) используя схему Эйткена.

Вариант

Исходные данные

Вариант

Исходные данные

1

х0=0,35

х1=0,48

х2=0,97

х3=1,08

х4=1,18

х5=1,40

х6=1,71

х7=1,74

х8=2,09

х9=2,46

х10=2,69

у0=1,419

у1=1,616

у2=2,637

у3=2,944

у4=3,254

у5=4,055

у6=5,528

у7=5,697

у8=8,084

у9=11,704

у10=14,731

6

х0=0,38

х1=0,49

х2=0,99

х3=1,09

х4=1,19

х5=1,40

х6=1,71

х7=1,72

х8=2,04

х9=2,38

х10=2,53

у0=1,462

у1=1,632

у2=2,691

у3=2,974

у4=3,287

у5=4,055

у6=5,528

у7=5,584

у8=7,690

у9=10,804

у10=12,553

х=0,58

х=2,95


Вариант

Исходные данные

Вариант

Исходные данные

2

х0=0,32

х1=0,73

х2=0,97

х3=1,13

х4=1,52

х5=1,57

х6=2,02

х7=2,52

х8=2,96

х9=3,40

х10=3,79

у0=1,377

у1=2,075

у2=2,637

у3=3,095

у4=4,572

у5=4,806

у6=7,538

у7=12,428

у8=19,297

у9=29,964

у10=44,256

7

х0=0,14

х1=0,28

х2=0,57

х3=1,00

х4=1,22

х5=1,36

х6=1,73

х7=1,74

х8=2,11

х9=2,49

х10=2,74

у0=1,419

у1=1,419

у2=1,419

у3=1,419

у4=1,419

у5=1,419

у6=1,419

у7=1,419

у8=1,419

у9=1,419

у10=1,419

х=1,96

х=0,80

3

х0=0,32

х1=0,48

х2=0,97

х3=1,11

х4=1,25

х5=1,53

х6=1,94

х7=2,14

х8=2,25

х9=2,56

х10=2,97

у0=1,377

у1=1,616

у2=2,637

у3=3,034

у4=3,490

у5=4,618

у6=6,958

у7=8,499

у8=9,487

у9=12,935

у10=19,491

8

х0=0,38

х1=0,40

х2=0,81

х3=1,25

х4=1,59

х5=1,86

х6=1,98

х7=2,36

х8=2,37

х9=2,76

х10=3,16

у0=1,462

у1=1,491

у2=2,247

у3=3,490

у4=4,903

у5=6,423

у6=7,242

у7=10,590

у8=10,697

у9=15,799

у10=23,570

х=1,34

х=1,72

4

х0=0,09

х1=0,41

х2=0,83

х3=1,06

х4=1,22

х5=1,61

х6=1,65

х7=2,08

х8=2,56

х9=2,96

х10=3,35

у0=1,094

у1=1,506

у2=2,293

у3=2,886

у4=3,387

у5=5,002

у6=5,206

у7=8,004

у8=12,935

у9=19,297

у10=28,502

9

х0=0,18

х1=0,65

х2=0,80

х3=0,92

х4=1,20

х5=1,59

х6=1,77

х7=1,83

х8=2,07

х9=2,38

х10=2,43

у0=1,197

у1=1,915

у2=2,225

у3=2,509

у4=3,320

у5=4,903

у6=5,870

у7=6,233

у8=7,924

у9=10,804

у10=11,358

х=1,75

х=2,14

5

х0=0,17

х1=0,64

х2=0,78

х3=0,89

х4=1,14

х5=1,50

х6=1,62

х7=2,10

х8=2,19

х9=2,25

х10=2,41

у0=1,185

у1=1,896

у2=2,181

у3=2,435

у4=3,126

у5=4,481

у6=5,053

у7=8,166

у8=8,935

у9=9,487

у10=11,133

10

х0=0,40

х1=0,66

х2=0,83

х3=1,27

х4=1,37

х5=1,40

х6=1,54

х7=1,71

х8=2,02

х9=2,50

х10=2,79

у0=1,491

у1=1,934

у2=2,293

у3=3,560

у4=3,935

у5=4,055

у6=4,664

у7=5,528

у8=7,538

у9=12,182

у10=16,281

х=1,35

х=1,61


2. Подобрать интерполяционную формулу и с помощью этой формулы найти приближенное значение интерполируемой функции в точке х[1,2]. При построении интерполяционной формулы использовать только правильные разности, считая =0,510
-3 и h=0,1. Обосновать выбор интерполяционной формулы.

Вариант

Исходные данные

Вариант

Исходные данные

1

y0=0,322

y1=0,284

y2=0,241

y3=0,193

y4=0,135

y5=0,063

y6=-0,031

y7=-0,164

y8=-0,369

y9=-0,741

y10=-1,664

у0=6,850

у1=5,539

у2=4,601

у3=3,902

у4=3,363

у5=2,937

у6=2,594

у7=2,313

у8=2,079

у9=1,882

у10=1,715

6

y0=-0,417

y1=-0,751

y2=-0,966

y3=-0,972

y4=-0,713

y5=-0,211

y6=0,396

y7=0,876

y8=0,980

y9=0,592

y10=-0,146

у0=24,901

у1=26,244

у2=27,541

у3=28,790

у4=29,992

у5=31,144

у6=32,251

у7=33,313

у8=34,334

у9=35,320

у10=36,275

х=0,98

x=1,32

х=2,01

x=1,45

2

y0=0,070

y1=-0,134

y2=-0,343

y3=-0,544

y4=-0,724

y5=-0,870

y6=-0,966

y7=-1,000

y8=-0,962

y9=-0,846

y10=-0,654

у0=0,614

у1=0,614

у2=0,640

у3=0,685

у4=0,741

у5=0,801

у6=0,856

у7=0,902

у8=0,936

у9=0,956

у10=0,970

7

y0=-2,186

y1=-1,710

y2=-1,374

y3=-1,120

y4=-0,917

y5=-0,748

y6=-0,602

y7=-0,473

y8=-0,356

y9=-0,247

y10=-0,143

у0=0,794

у1=0,773

у2=0,723

у3=0,662

у4=0,600

у5=0,543

у6=0,494

у7=0,450

у8=0,412

у9=0,380

у10=0,351

х=0,96

x=1,71

х=2,03

x=1,05

3

y0=5,430

y1=5,816

y2=6,211

y3=6,620

y4=7,051

y5=7,509

y6=8,001

y7=8,535

y8=9,119

y9=9,762

y10=10,475

у0=21,779

у1=25,505

у2=29,577

у3=34,017

у4=38,852

у5=44,109

у6=49,822

у7=56,027

у8=62,768

у9=70,091

у10=78,052

8

y0=108,240

y1=104,312

y2=99,184

y3=93,097

y4=86,314

y5=79,108

y6=71,733

y7=64,418

y8=57,353

y9=50,683

y10=44,510

у0=4,860

у1=4,462

у2=3,906

у3=3,169

у4=2,222

у5=1,027

у6=-0,475

у7=-2,363

у8=-4,755

у9=-7,829

у10=-11,870

х=1,46

x=1,67

х=1,95

x=1,44

4

y0=1,257

y1=1,524

y2=1,728

y3=1,849

y4=1,867

y5=1,768

y6=1,547

y7=1,215

y8=0,798

y9=0,339

y10=-0,104

у0=3,981

у1=3,837

у2=3,648

у3=3,424

у4=3,175

у5=2,910

у6=2,638

у7=2,369

у8=2,109

у9=1,864

у10=1,637

9

y0=6,492

y1=6,879

y2=7,340

y3=7,889

y4=8,547

y5=9,339

y6=10,300

y7=11,479

y8=12,939

y9=14,777

y10=17,127

у0=6,462

у1=7,567

у2=8,808

у3=10,256

у4=11,966

у5=14,009

у6=16,481

у7=19,514

у8=23,291

у9=28,076

у10=34,255

х=1,02

x=1,63

х=1,92

x=1,55



Вариант

Исходные данные

Вариант

Исходные данные

5

y0=1,449

y1=1,161

y2=0,805

y3=0,396

y4=-0,045

y5=-0,488

y6=-0,894

y7=-1,225

y8=-1,438

y9=-1,505

y10=-1,411

у0=1,000

у1=1,215

у2=1,465

у3=1,754

у4=2,088

у5=2,473

у6=2,915

у7=3,423

у8=4,005

у9=4,673

у10=5,436

10

y0=0,909

y1=0,660

y2=0,258

y3=-0,237

y4=-0,703

y5=-0,978

y6=-0,919

y7=-0,483

y8=0,195

y9=0,805

y10=0,989

у0=2,718

у1=3,004

у2=3,320

у3=3,669

у4=4,055

у5=4,481

у6=4,953

у7=5,473

у8=6,049

у9=6,685

у10=7,389

х=1,15

x=1,51

х=1,13

x=1,42


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

16576. Табличный процессор Excel 118.5 KB
  Лабораторная работа №2 Тема 5: Прикладное программное обеспечение. Табличный процессор Excel Содержание: Создание и сохранение таблицы ввод и корректировка данных числовые форматы вычисления оформление и т.д. Работа с таблицами многоразового использова...
16577. ФОРМАТИРОВАНИЕ ШРИФТА ТЕКСТА ПРИ СОЗДАНИИ ДОКУМЕНТОВ 612 KB
  ИНФОРМАТИКА. ПРАКТИЧЕСКИЕ РАБОТЫ. У2 Word 1. ФОРМАТИРОВАНИЕ ШРИФТА ТЕКСТА ПРИ СОЗДАНИИ ДОКУМЕНТОВ.Цель занятия. Изучение информационной технологии набора текста а также его форматирования добавления в текст различных символов обрамления и заливки текста в текстовом р...
16578. ОФОРМЛЕНИЕ АБЗАЦЕВ ДОКУМЕНТОВ. КОЛОНТИТУЛЫ 184 KB
  ИНФОРМАТИКА. ПРАКТИЧЕСКИЕ РАБОТЫ. У2 Word 2. ОФОРМЛЕНИЕ АБЗАЦЕВ ДОКУМЕНТОВ. КОЛОНТИТУЛЫ Цель занятия. Изучение информационной технологии создания и форматирования абзацев текста в текстовом редакторе MS Word.Инструментарий. ПЭВМ IBM PC программа MS Word.Домашнее задание. Зарисо...
16579. СОЗДАНИЕ И ФОРМАТИРОВАНИЕ ТАБЛИЦ В MS WORD 128.5 KB
  У2 Word 3. СОЗДАНИЕ И ФОРМАТИРОВАНИЕ ТАБЛИЦ В MS WORD Цель занятия. Изучение информационной технологии создания и форматирования таблиц в текстовом редакторе MS Word.Инструментарий. ПЭВМ IBM PC программа MS Word.Домашнее задание. Зарисовать панель инструментов Таблицы и границы и из
16580. СОЗДАНИЕ СПИСКОВ В ТЕКСТОВЫХ ДОКУМЕНТАХ 214.5 KB
  ИНФОРМАТИКА. ПРАКТИЧЕСКИЕ РАБОТЫ. У2 Word 4. СОЗДАНИЕ СПИСКОВ В ТЕКСТОВЫХ ДОКУМЕНТАХ Цель занятия. Изучение информационной технологии создания и форматирования списков в текстовом редакторе MS Word.Инструментарий. ПЭВМ IBM PC программа MS Word.Литература. Практикум по информати...
16581. КОЛОНКИ. БУКВИЦА. ФОРМАТИРОВАНИЕ РЕГИСТРОВ. ПОДГОТОВКА К ПЕЧАТИ 230.5 KB
  ИНФОРМАТИКА. ПРАКТИЧЕСКИЕ РАБОТЫ. У2 Word 5. КОЛОНКИ. БУКВИЦА. ФОРМАТИРОВАНИЕ РЕГИСТРОВ. ПОДГОТОВКА К ПЕЧАТИ Цель занятия. Изучение информационной технологии создания колонок использования буквицы при форматировании текста форматирования регистров в текстовом редакт
16582. РИСУНКИ В ТЕКСТОВОМ ДОКУМЕНТЕ 190.5 KB
  ИНФОРМАТИКА. ПРАКТИЧЕСКИЕ РАБОТЫ. У2 Word 6. РИСУНКИ В ТЕКСТОВОМ ДОКУМЕНТЕ Цель занятия. Изучение информационной технологии работы с рисунками в текстовом редакторе MS Word.Инструментарий. ПЭВМ IBM PC программа MS Word.Домашнее задание. Зарисовать панели инструментов Рисование...
16583. ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОЛИЧЕСТВА АНТРОПОГЕННЫХ ЗАГРЯЗНЕНИЙ, ПОПАДАЮЩИХ В ОКРУЖАЮЩУЮ СРЕДУ В РЕЗУЛЬТАТЕ РАБОТЫ АВТОТРАНСПОРТА 223 KB
  Лабораторная работа №1 ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОЛИЧЕСТВА АНТРОПОГЕННЫХ ЗАГРЯЗНЕНИЙ ПОПАДАЮЩИХ В ОКРУЖАЮЩУЮ СРЕДУ В РЕЗУЛЬТАТЕ РАБОТЫ АВТОТРАНСПОРТА Автомобильный транспорт относится к основным источникам загрязнения окружающей среды. В крупных городах на долю автотран
16584. Определение рН кислотных осадков 173.5 KB
  Лабораторная работа №2 Определение рН кислотных осадков Для охраны окружающей среды имеет большое значение решение проблемы кислотных осадков. Кислотными называются любые осадки дожди туманы снег кислотность которых выше нормальной. К ним также относят выпаден...