90069

Аппроксимация и интерполирование функций

Лекция

Математика и математический анализ

Интерполяционный многочлен Лагранжа имеет существенный недостаток: если при выбранном числе узлов выяснилось, что интерполяционный многочлен недостаточно точно находит значение функций в заданной точке, то при добавлении одного или нескольких узлов все вычисления необходимо проводить заново.

Русский

2015-05-29

172.94 KB

2 чел.


ЛЕКЦИЯ 2

2. Аппроксимация и интерполирование функций

2.1.Общие понятия

Определение. Аппроксимация - это замена одной функции другой близкой к исходной и обладающей "хорошими" свойствами, позволяющими легко производить над ней те или иные аналитические или вычислительные операции.

 Простейшая задача интерполирования: на отрезке [a,b] задана (n+1) точка, эти точки называются узлами интерполирования, и (n+1) значение функции в этих точках. Требуется построить функцию F(x), принадлежащую известному классу и принимающую в узлах интерполирования те же значения, что и f(x), т.е.

.

Геометрически это означает, что нужно найти кривую некоторого определенного типа, проходящую через систему заданных точек. Это задача становится однозначной, если вместо произвольной функции строить полином Pn(x) степени n такой, что

,

тогда внутри промежутков (xi, xi+1) построенный полином будет приближенно описывать функцию f(x).

Полученную интерполяционную формулу обычно используют для нахождения приближенного значения функции f(x) в точках, отличных от узлов интерполирования.

2.2.Интерполяционный многочлен Лагранжа

Пусть на отрезке [a,b] заданы (n+1) точка x0, x1, , xn и значения функции f в этих точках.

Будем строить интерполяционный многочлен вида , где - многочлены степени n, удовлетворяющие условиям

так как требуем, чтобы значения интерполяционного многочлена и значения функции f(x) совпадали в узлах интерполяции i, т.е..

Тогда можно искать в виде:

где - некоторая константа, которую найдем из условия , тогда

Если обозначить и продифференцировать это выражение по х, полагая х=хj, то последнее выражение можно записать в виде:

,

где

Таким образом, получим многочлен

,

который называется интерполяционным многочленом Лагранжа.

Пусть узлы интерполирования являются равноотстоящими, т.е. , если ввести новую переменную , то многочлен Лагранжа для равноотстоящих узлов запишется в виде

,

т.к. .

 Интерполяционный многочлен Лагранжа имеет существенный недостаток: если при выбранном числе узлов выяснилось, что интерполяционный многочлен недостаточно точно находит значение функций в заданной точке, то при добавлении одного или нескольких узлов все вычисления необходимо проводить заново. В этом случае, когда требуется найти не аналитическое выражение, а лишь его значение в некоторой точке, от этого недостатка можно избавиться, воспользовавшись интерполяционной схемой Эйткена. По этой схеме значение интерполяционного многочлена Лагранжа находится путем последовательного применения единообразного процесса

x0

y0

x0-x

x1

y1

x1-x

L01(x)

x2

y2

x2-x

L12(x)

L012(x)

xn

yn

xn-x

Ln-1n(x)

Ln-2n-1n(x)

Ln-3n(x)

L01n(x)

где , , ,  .

Применяя эту схему, можно постепенно подключать все новые и новые узлы до тех пор, пока желаемая точность не будет достигнута.

Если все вычисления проведены точно, то интерполяционный многочлен Лагранжа совпадает с заданной функцией в узлах интерполирования. Однако он будет отличен от нее в остальных точках. Исключением является случай, когда сама функция f(x) является многочленом степени не выше n.

Оценка погрешности интерполяционного многочлена Лагранжа, если функция f(x) имеет на [a,b] непрерывные производные (n+1)-го порядка, имеет вид , где  - некоторая точка [a,b] или .

Это выражение может служить оценкой отклонения полинома Лагранжа от f(x) в том случае, когда можно оценить .

2.3.Интерполяционная формула Ньютона.

Запишем интерполяционный многочлен Лагранжа Ln(x) в другой форме:

где разность , есть многочлен степени k, обращающийся в нуль в точках x0,,xk-1. Поэтому можно записать

Константу B найдем, полагая x=xk, т.е.

где - есть разностное отношение k-го порядка .

Учитывая выражение для В интерполяционный многочлен можно представить в виде

.

Эта форма записи интерполяционного многочлена Лагранжа носит название интерполяционного многочлена Ньютона для неравных промежутков. Многочлен Ньютона имеет степень равную n и удовлетворяет условию

.

Формула Ньютона имеет более сложное строение, чем формула Лагранжа, и требует составления разностных отношений , . Несмотря на это, она более удобна для вычислений, т.к. при добавлении нового узла все проделанные вычисления сохраняются, а в формуле добавляется еще одно слагаемое .

Это позволяет не задавать заранее число узлов интерполирования, а постепенно увеличивать точность результата, добавляя последовательно по одному новому узлу.

Остаточный член формулы Ньютона совпадает с остаточным членом формулы Лагранжа, т.е.

где  - точка отрезка, содержащего узлы интерполирования и точку х. Из свойств разностных отношений следует

.

Тогда для остаточного члена имеем: .

2.4.Интерполяционные и экстраполяционные формулы при равноотстоящих значениях аргумента.

Пусть все узлы интерполирования хi принадлежат отрезку [a,b], причем а=х0, b=xn.

Если точка интерполирования х принадлежит отрезку [a,b], то формула, приближающая функцию f в точке х, называется интерполяционной, а если х не принадлежит отрезку [a,b], то формула называется экстраполяционной.

Узлы интерполирования, лежащие ближе к точке интерполирования, оказывают большее влияние на интерполяционный многочлен, чем узлы, лежащие дальше. Поэтому целесообразно за и брать ближайшие к х узлы интерполирования и проводить сначала линейную интерполяцию по этим узлам, а затем постепенно привлекать следующие узлы таким образом, чтобы они возможно симметричнее располагались относительно точки. Полученные при этом поправки будут незначительными.

Пусть узлы интерполирования определены на [a,b] равномерно и заданы значения интерполируемой в этих узлах функции.

Формула Ньютона для интерполирования вперед и экстраполирования назад

Пусть точка интерполирования х находится ближе к левому концу отрезка [a,b] или слева от него. Тогда интерполяционная формула Ньютона для интерполирования вперед и экстраполирования назад примет вид

,

где - новая переменная, - конечная разность k - го порядка.

Связь разностных соотношений и конечных разностей:

, , и т.д.

Остаток в этом случае имеет вид

.

Формула Ньютона для интерполирования назад и экстраполирования вперед

Пусть точка интерполирования х находится ближе к правому концу отрезка [a,b] или справа от него. За первый узел интерполирования примем ближайший и обозначим его через хk. Тогда интерполяционная формула Ньютона для интерполирования назад и экстраполирования вперед примет вид

,

где - новая переменная.

Связь разностных соотношений и конечных разностей:

, , и т.д.

Остаток в этом случае имеет вид

.

Правило определения максимального порядка разностей, которые ведут себя правильно:

если , а , то максимальный порядок разностей, которые ведут себя правильно, равен j. Использование разности порядка (j+1) приведет к искажению результата. Здесь  - абсолютная погрешность вычисленных значений уi.

2.5.Интерполяционные формулы Гаусса.

Пусть узлы интерполирования х0, х1, ..., хn равноотстоящие и точка интерполирования х находится в середине отрезка [a,b] "вблизи" узла хk, причем х>xk. Для построения интерполяционной формулы необходимо привлекать узлы интерполирования в следующем порядке: хk, xk+h, xk-h, ..., xk+ih, xk-ih. Обозначив и вводя конечные разности по формулам:

, , и т.д.,

то для интерполирования вперед формула Гаусса примет вид

Если точка интерполирования х<хk, то узлы для построения следует привлекать в следующем порядке: хk, xk-h, xk+h, ..., xk-ih, xk+ih.

Формула Гаусса для интерполирования назад имеет вид

 Задачи

1. Найти приближенное значение функции f(x) по таблице значений этой функции:

а) используя интерполяционную формулу Лагранжа;

б) используя схему Эйткена.

Вариант

Исходные данные

Вариант

Исходные данные

1

х0=0,35

х1=0,48

х2=0,97

х3=1,08

х4=1,18

х5=1,40

х6=1,71

х7=1,74

х8=2,09

х9=2,46

х10=2,69

у0=1,419

у1=1,616

у2=2,637

у3=2,944

у4=3,254

у5=4,055

у6=5,528

у7=5,697

у8=8,084

у9=11,704

у10=14,731

6

х0=0,38

х1=0,49

х2=0,99

х3=1,09

х4=1,19

х5=1,40

х6=1,71

х7=1,72

х8=2,04

х9=2,38

х10=2,53

у0=1,462

у1=1,632

у2=2,691

у3=2,974

у4=3,287

у5=4,055

у6=5,528

у7=5,584

у8=7,690

у9=10,804

у10=12,553

х=0,58

х=2,95


Вариант

Исходные данные

Вариант

Исходные данные

2

х0=0,32

х1=0,73

х2=0,97

х3=1,13

х4=1,52

х5=1,57

х6=2,02

х7=2,52

х8=2,96

х9=3,40

х10=3,79

у0=1,377

у1=2,075

у2=2,637

у3=3,095

у4=4,572

у5=4,806

у6=7,538

у7=12,428

у8=19,297

у9=29,964

у10=44,256

7

х0=0,14

х1=0,28

х2=0,57

х3=1,00

х4=1,22

х5=1,36

х6=1,73

х7=1,74

х8=2,11

х9=2,49

х10=2,74

у0=1,419

у1=1,419

у2=1,419

у3=1,419

у4=1,419

у5=1,419

у6=1,419

у7=1,419

у8=1,419

у9=1,419

у10=1,419

х=1,96

х=0,80

3

х0=0,32

х1=0,48

х2=0,97

х3=1,11

х4=1,25

х5=1,53

х6=1,94

х7=2,14

х8=2,25

х9=2,56

х10=2,97

у0=1,377

у1=1,616

у2=2,637

у3=3,034

у4=3,490

у5=4,618

у6=6,958

у7=8,499

у8=9,487

у9=12,935

у10=19,491

8

х0=0,38

х1=0,40

х2=0,81

х3=1,25

х4=1,59

х5=1,86

х6=1,98

х7=2,36

х8=2,37

х9=2,76

х10=3,16

у0=1,462

у1=1,491

у2=2,247

у3=3,490

у4=4,903

у5=6,423

у6=7,242

у7=10,590

у8=10,697

у9=15,799

у10=23,570

х=1,34

х=1,72

4

х0=0,09

х1=0,41

х2=0,83

х3=1,06

х4=1,22

х5=1,61

х6=1,65

х7=2,08

х8=2,56

х9=2,96

х10=3,35

у0=1,094

у1=1,506

у2=2,293

у3=2,886

у4=3,387

у5=5,002

у6=5,206

у7=8,004

у8=12,935

у9=19,297

у10=28,502

9

х0=0,18

х1=0,65

х2=0,80

х3=0,92

х4=1,20

х5=1,59

х6=1,77

х7=1,83

х8=2,07

х9=2,38

х10=2,43

у0=1,197

у1=1,915

у2=2,225

у3=2,509

у4=3,320

у5=4,903

у6=5,870

у7=6,233

у8=7,924

у9=10,804

у10=11,358

х=1,75

х=2,14

5

х0=0,17

х1=0,64

х2=0,78

х3=0,89

х4=1,14

х5=1,50

х6=1,62

х7=2,10

х8=2,19

х9=2,25

х10=2,41

у0=1,185

у1=1,896

у2=2,181

у3=2,435

у4=3,126

у5=4,481

у6=5,053

у7=8,166

у8=8,935

у9=9,487

у10=11,133

10

х0=0,40

х1=0,66

х2=0,83

х3=1,27

х4=1,37

х5=1,40

х6=1,54

х7=1,71

х8=2,02

х9=2,50

х10=2,79

у0=1,491

у1=1,934

у2=2,293

у3=3,560

у4=3,935

у5=4,055

у6=4,664

у7=5,528

у8=7,538

у9=12,182

у10=16,281

х=1,35

х=1,61


2. Подобрать интерполяционную формулу и с помощью этой формулы найти приближенное значение интерполируемой функции в точке х[1,2]. При построении интерполяционной формулы использовать только правильные разности, считая =0,510
-3 и h=0,1. Обосновать выбор интерполяционной формулы.

Вариант

Исходные данные

Вариант

Исходные данные

1

y0=0,322

y1=0,284

y2=0,241

y3=0,193

y4=0,135

y5=0,063

y6=-0,031

y7=-0,164

y8=-0,369

y9=-0,741

y10=-1,664

у0=6,850

у1=5,539

у2=4,601

у3=3,902

у4=3,363

у5=2,937

у6=2,594

у7=2,313

у8=2,079

у9=1,882

у10=1,715

6

y0=-0,417

y1=-0,751

y2=-0,966

y3=-0,972

y4=-0,713

y5=-0,211

y6=0,396

y7=0,876

y8=0,980

y9=0,592

y10=-0,146

у0=24,901

у1=26,244

у2=27,541

у3=28,790

у4=29,992

у5=31,144

у6=32,251

у7=33,313

у8=34,334

у9=35,320

у10=36,275

х=0,98

x=1,32

х=2,01

x=1,45

2

y0=0,070

y1=-0,134

y2=-0,343

y3=-0,544

y4=-0,724

y5=-0,870

y6=-0,966

y7=-1,000

y8=-0,962

y9=-0,846

y10=-0,654

у0=0,614

у1=0,614

у2=0,640

у3=0,685

у4=0,741

у5=0,801

у6=0,856

у7=0,902

у8=0,936

у9=0,956

у10=0,970

7

y0=-2,186

y1=-1,710

y2=-1,374

y3=-1,120

y4=-0,917

y5=-0,748

y6=-0,602

y7=-0,473

y8=-0,356

y9=-0,247

y10=-0,143

у0=0,794

у1=0,773

у2=0,723

у3=0,662

у4=0,600

у5=0,543

у6=0,494

у7=0,450

у8=0,412

у9=0,380

у10=0,351

х=0,96

x=1,71

х=2,03

x=1,05

3

y0=5,430

y1=5,816

y2=6,211

y3=6,620

y4=7,051

y5=7,509

y6=8,001

y7=8,535

y8=9,119

y9=9,762

y10=10,475

у0=21,779

у1=25,505

у2=29,577

у3=34,017

у4=38,852

у5=44,109

у6=49,822

у7=56,027

у8=62,768

у9=70,091

у10=78,052

8

y0=108,240

y1=104,312

y2=99,184

y3=93,097

y4=86,314

y5=79,108

y6=71,733

y7=64,418

y8=57,353

y9=50,683

y10=44,510

у0=4,860

у1=4,462

у2=3,906

у3=3,169

у4=2,222

у5=1,027

у6=-0,475

у7=-2,363

у8=-4,755

у9=-7,829

у10=-11,870

х=1,46

x=1,67

х=1,95

x=1,44

4

y0=1,257

y1=1,524

y2=1,728

y3=1,849

y4=1,867

y5=1,768

y6=1,547

y7=1,215

y8=0,798

y9=0,339

y10=-0,104

у0=3,981

у1=3,837

у2=3,648

у3=3,424

у4=3,175

у5=2,910

у6=2,638

у7=2,369

у8=2,109

у9=1,864

у10=1,637

9

y0=6,492

y1=6,879

y2=7,340

y3=7,889

y4=8,547

y5=9,339

y6=10,300

y7=11,479

y8=12,939

y9=14,777

y10=17,127

у0=6,462

у1=7,567

у2=8,808

у3=10,256

у4=11,966

у5=14,009

у6=16,481

у7=19,514

у8=23,291

у9=28,076

у10=34,255

х=1,02

x=1,63

х=1,92

x=1,55



Вариант

Исходные данные

Вариант

Исходные данные

5

y0=1,449

y1=1,161

y2=0,805

y3=0,396

y4=-0,045

y5=-0,488

y6=-0,894

y7=-1,225

y8=-1,438

y9=-1,505

y10=-1,411

у0=1,000

у1=1,215

у2=1,465

у3=1,754

у4=2,088

у5=2,473

у6=2,915

у7=3,423

у8=4,005

у9=4,673

у10=5,436

10

y0=0,909

y1=0,660

y2=0,258

y3=-0,237

y4=-0,703

y5=-0,978

y6=-0,919

y7=-0,483

y8=0,195

y9=0,805

y10=0,989

у0=2,718

у1=3,004

у2=3,320

у3=3,669

у4=4,055

у5=4,481

у6=4,953

у7=5,473

у8=6,049

у9=6,685

у10=7,389

х=1,15

x=1,51

х=1,13

x=1,42


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

34743. Древние календарные системы: Египет, Древняя Греция, Китай 18.83 KB
  Этот лунный календарь использовался на протяжении всей древнеегипетской истории как религиозный календарь фиксирующий время проведения праздников. Схематический гражданский календарь Новый календарь был построен по простой схеме. Поздний лунный календарь Хронологической единицей в нем как и в раннем лунном календаре служил лунный месяц начинавшийся в первый день невидимости Луны.
34744. Мусульманский календарь. Мусульманская система летоисчисления 13.08 KB
  Мусульманская система летоисчисления Мусульманский исламский календарь лунный календарь используемый в исламе для определения дат религиозных праздников а также как официальный календарь в некоторых мусульманских странах. Поэтому в мусульманских странах календарь называют календарём Хиджры. Такая система до сих пор используется в некоторых странах например в Пакистане и Бангладеш. В разных странах используются разные правила.
34745. Календарные системы в Древнем Риме. Реформа Юлия Цезаря 16.15 KB
  Последующие месяцы продолжали сохранять свои числовые обозначения: Квинтилис Quintilis пятый Секстилис Sextilis шестой Септембер September седьмой Октобер Oktober восьмой Новембер November девятый Децомбер December десятый Мартиус майус квинтилис и октобер имели по 31 дню а остальные месяцы состояли из 30 дней. Очень любопытна история распределения дней по месяцам. Первоначально год римского календаря как уже говорилось состоял из 304 дней. Чтобы...
34746. Григорианская реформа и григорианский календарь 14.62 KB
  Эта разница ежегодно накапливаясь привела через 128 лет к ошибке в одни сутки а через 1280 лет уже в 10 суток. Реформа должна была решить две основные задачи: вопервых ликвидировать накопившуюся разницу в 10 суток между календарным и тропическим годами вовторых максимально приблизить календарный год к тропическому чтобы в будущем разница между ними не была ощутимой. Григорианский календарь В григорианском календаре длительность года принимается равной 3652425 суток.
34747. Единицы счета времени: месяц, неделя, сутки 12.86 KB
  Переход к земледелию и скотоводству определил необходимость учета времени его фиксирования в определенных единицах. Все основные выработанные человечеством единицы счета времени сутки месяц и год определяются астрономическими факторами: сутки периодом обращения Земли вокруг своей оси месяц периодом обращения Луны вокруг Земли год периодом обращения Земли вокруг Солнца. Для облегчения исчисления времени введено фиктивное понятие среднее солнце т.
34748. Виды летоисчисления (эры) и точки отсчета 15.88 KB
  К первым например относится эра Кали в Индии. К политическим эрам относятся те исходной точкой которых служат даты основания городов вступления на престол различных правителей и т. Такова например эра постконсулата исходной точкой которой явилось избрание последнего римского консула Флавия Василия Меньшего в 541 г.В реальных эрах за точку отсчета времени принимается историческое событие в фиктивных легендарное.
34749. Эра от Рождества Христова Дионисия Малого 11.06 KB
  эры Диоклетиана монахом Дионисием Малым. – от начала правления императора Диоклетиана около 243 – 313 гг. Римляне называли это эрой Диоклетиана. Дионисии Малый считал приличнее заменить эру язычника и противника христианства Диоклетиана другой эрой каклибо связанной с христианством.
34750. Обыденные представления человека Древней Руси о времени и хронологии 17.96 KB
  Таковы например масленица коляда от латинского календы; другое название этого праздника овсень от овесень которым отмечали поворот солнца на лето красная горка праздник встречи весны радуница и русалии весенний и летний поминальные праздники и другие.Пережиточные названия дней недели связанные с астральными культами сохранились в некоторых странах Европы до наших дней например: немецкие Montg день Луны понеденьник Sonntg день солнца воскресенье французское Vendredi день Венеры пятница...
34751. Реформа Летоисчисления Петра 1 11.17 KB
  Петр же хотел чтобы подобно остальным европейским государствам новый год считали от Рождества Христова с 1 января. С этой целью 20 декабря был издан указ чтобы Новый год по примеру всех остальных христианских держав считать с 1 января через 8 дней после Рождества Христова 25 декабря по старому стилю. Кроме того повсюду где место удобное от 1 до 7 января надобно зажигать костры и смоляные бочки .