90070

Погрешность результата численного решения задачи

Лекция

Математика и математический анализ

Причины возникновения и классификация погрешности Отклонение истинного решения от приближенного назовем погрешностью. Решение задач всегда имеют погрешность связанную со следующими причинами: 1 созданием математической модели любая модель имеет свою степень точности; 2 получением исходных данных т.д.

Русский

2015-05-29

116.91 KB

4 чел.

ЛЕКЦИЯ 1.

Погрешность результата численного решения задачи

Причины возникновения и классификация погрешности

Отклонение истинного решения от приближенного назовем погрешностью.

Решение задач всегда имеют погрешность, связанную со следующими причинами:

1) созданием математической модели (любая модель имеет свою степень точности);

2) получением исходных данных (т.к. являются "результатом измерений", следовательно, возникают измерительные погрешности);

3)использованием вычислительной техники (ошибки округления, возникающие из-за ограниченной разрядной сетки и ошибки, связанные с самими методами).

На рис. 1 и 2 показаны составляющие неустранимой и полной погрешности.

Рис. 1.

Рис. 2.

Неустранимую погрешность и погрешность метода необходимо контролировать, чтобы не осуществлять расчеты с избыточной точностью.

Характеристиками точности результата решения задачи являются абсолютная и относительная погрешности. Для технических задач 10 % - хорошая точность.

Определение. Если х - точное значение некоторого числа, х* - приближенное, то абсолютной погрешностью приближения х* назовем величину: , т.е. точное значение числа х заключено в границах .

Определение. Отношение абсолютной погрешности к абсолютному значению приближенной величины есть относительная погрешность (т.е. доля истинного значения): , при условии, что .

Пример: Найти абсолютную и относительную погрешности, если х=3.141592, а х*=3.14.

Решение: .

Определение. Значащими цифрами числа называются все цифры в его записи, начиная с первой ненулевой слева.

Пример: У чисел подчеркнуты значащие цифры: 0.010087 и 0.0100870000.

Любое число можно представить в виде , где  - основание системы счисления, n – некоторое целое число (старший десятичный разряд числа х), аi – значащие цифры приближенного числа x.

Определение. Значащая цифра аk считается верной, если имеет место неравенство: , где , в противном случае аk - сомнительная цифра.

Прямая задача теории погрешностей

Основная задача теории погрешностей заключается в следующем: по известным погрешностям некоторой системы параметров требуется определить погрешность функции от этих параметров.

Пусть задана дифференцируемая функция у=f1, х2,,хn) и пусть - абсолютные погрешности аргументов. Тогда абсолютная погрешность функции: (формула Лагранжа).

При зависимости функции от одного параметра .

Определение. Предельной абсолютной погрешностью называют следующую оценку погрешности величины у*, т.е. .

Пусть задана дифференцируемая функция у=f1, х2,,хn) и пусть - относительные погрешности аргументов. Тогда относительная погрешность: или .

Определение. Предельной относительной погрешностью называю величину .

Относительная погрешность суммы

. Пусть , а . Следовательно

Замечание: на практике применяется верхняя оценка.

Правила вычисления погрешностей [1]:

  1.  Предельная абсолютная погрешность суммы или разности равна сумме предельных погрешностей.
  2.  Относительная погрешность суммы положительных слагаемых не превышает наибольшей из относительных погрешностей этих слагаемых.
  3.  Предельная относительная погрешность произведения или частного равна сумме предельных относительных погрешностей.
  4.  Предельная относительная погрешность степени и корня приближенного числа равна произведению предельной относительной погрешности этого числа на показатель степени.

Обратная задача теории погрешности

Обратная задача теории погрешности заключается в следующем: при каких значениях аргумента известная функция у=f1, х2,,хn) будет иметь погрешность не превосходящую заданной величины.

Простейшее решение обратной задачи дается принципом равных влияний. Согласно этому принципу предполагается, что все частные дифференциалы одинаково влияют на образование общей абсолютной погрешности.

Предельная погрешность функции у=f1, х2,,хn) для малых абсолютных погрешностей аргументов : .

Оценка для относительной погрешности функции: или .

Пример: Найти предельные абсолютную и относительную погрешности объема шара , если d=3,7см0,05 см; 3,14.

Решение: Рассмотрим d и  как переменные величины. Вычислим частные производные , . При заданных значениях d и  получаем, что , .

Согласно правилу нахождения предельной абсолютной погрешности, имеем:

.

Поэтому V26,511,1 cм3. Относительная погрешность: .

Задачи.

1. Определить

  1.  число верных знаков приближенного числа, если известна абсолютная погрешность;
  2.  число верных десятичных знаков приближенного числа, если известна абсолютная погрешность;
  3.  абсолютную погрешность числа, если известно число верных знаков;
  4.  абсолютную погрешность, если известна относительная;
  5.  относительную погрешность, если известна абсолютная;
  6.  абсолютную погрешность функции, если известны абсолютные погрешности аргументов:

Вариант

Исходные данные

Вариант

Исходные данные

1.

  1.  x=1,109, Ax=0,110-2;
  2.  x=0,01111, Ax=0,510-3;
  3.  x=1,72911, m=3;
  4.  x=0,3771, x=1%;
  5.  x=32,11511, Ax=0,1110-2;
  6.  .

2.

  1.  x=1,609, Ax=0,110-2;
  2.  x=0,06666, Ax=0,510-3;
  3.  x=1,72916, m=3;
  4.  x=0,377766, x=0,5%;
  5.  x=32,61516, Ax=0,1110-2;
  6.  .

2.

  1.  x=1,209, Ax=0,110-2;
  2.  x=0,02222, Ax=0,510-3;
  3.  x=1,7292, m=3;
  4.  x=0,3772, x=1%;
  5.  x=32,21512, Ax=0,2210-2;
  6.  .

7.

  1.  x=1,709, Ax=0,110-2;
  2.  x=0,07777; Ax=0,510-3;
  3.  x=1,7297, m=3;
  4.  x=0,3777, x=0,5%;
  5.  x=32,71517, Ax=0,7710-2;
  6.  .


Вариант

Исходные данные

Вариант

Исходные данные

3.

  1.  x=1,309, Ax=0,110-2;
  2.  x=0,03333, Ax=0,510-3;
  3.  x=1,7293, m=3;
  4.  x=0,3773, x=1%;
  5.  x=32,91513, Ax=0,3310-2;
  6.  .

8.

  1.  x=1,809, Ax=0,110-2;
  2.  x=0,08888, Ax=0,510-3;
  3.  x=1,7298, m=3;
  4.  x=0,3778, x=0,5%;
  5.  x=32,91515, Ax=0,8810-2;
  6.  .

4.

  1.  x=1,409, Ax=0,110-2;
  2.  x=0,07214, Ax=0,510-3;
  3.  x=1,42914, m=3;
  4.  x=0,4774, x=1%;
  5.  x=32,41514, Ax=0,4410-2;
  6.  .

9.

  1.  x=1,909, Ax=0,110-2;
  2.  x=0,07219, Ax=0,510-3;
  3.  x=1,92919, m=3;
  4.  x=0,9779, x=0,5%;
  5.  x=32,91519, Ax=0,9910-2;
  6.  .

5.

a)   x=1,509, Ax=0,110-2;

  1.  x=0,07215, Ax=0,510-3;
  2.  x=1,52915, m=3;
  3.  x=0,37715, x=1%;
  4.  x=32,51515, Ax=0,5510-2;
  5.  .

10.

a) x=1,9010, Ax=0,110-2;

  1.  x=0,07210, Ax=0,510-3;
  2.  x=1,72910, m=3;
  3.  x=0,97791, x=0,5%;
  4.  x=32,915191, Ax=0,9110-2;
  5.  .

2. Составить программу нахождения суммы ряда с точностью до =0,0001:


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

21417. СРОКИ ИСКОВОЙ ДАВНОСТИ 23.3 KB
  Правила об исковой давности стимулируют участников ГО к своевременному принятию мер направленных на защиту нарушенных СГП 2. Правила об исковой давности позволяют своевременно устранять неопределенность в ГО тем самым придавая стабильность и устойчивость 3. Правила об исковой давности исключают угрозу оспаривания СГП приобретенных за пределами сроков исковой давности Институт исковой давности облегчает процесс доказывания и установления истины по гражданскому делу т.
21418. Распределение бремени доказывания условий ГПО 21.37 KB
  Если размер убытков не м. установлен с разумной степенью достоверности их размер определяется по усмотрению суда Наши суды такими принципами не руководствуются Можно сослаться на статью 6 ГК: возможность определения размера понесенных убытков исходя из общих начал и смысла ГЗ а также принципами разумности добросовестности и справедливости В проекте ФЗ о внесении изменений в ГК: Размер подлежащих возмещению убытков должен быть установлен с разумной степенью...
21419. ОБЕСПЕЧЕНИЕ ИСПОЛНЕНИЯ ОБЯЗАТЕЛЬСТВА 24.73 KB
  Неустойка Задаток Поручительство Банковская гарантия Залог Удержание И другие способы предусмотренные законом Способы ОИС – это специальные дополнительные меры обеспечивающие надлежащее ИО и применяемые в силу закона или договора НЕУСТОЙКА Статья 330 ГК: признается определенная законом или договором денежная сумма которую должник обязан уплатить кредитору в случае неисполнения или ненадлежащего исполнения обязательства Имеет большое стимулирующее действие : Заранее определяет размер...
21420. ЗАЛОГ 31.31 KB
  АО отвечает всем своим имуществом по обязательству Обеспечительное свойство проявляется: Обеспечивает сохранность имущества за счет которого кредитор может удовлетворить свои требования В случае утраты имущества сумма удовлетворяется из страхового возмещения При продаже право залога сохраняется Залоговое право обладает правом следования т. это обязательственное право но как только передаст имущество в залог возникает право залога т. это вещное право Требования кредитора залогодержателя имеет преимущество перед другими...
21421. ИПОТЕКА 22.12 KB
  Не могут быть предметами ипотеки недвижимые вещи отчуждение которых запрещено или ограничено Зимний дворец Нормы закона об ипотеке также применяются к таким объектам которые не рассматриваются как недвижимые права арендатора недвижимого имущества доля в праве общей собственности на недвижимое имущество права требования...
21422. УДЕРЖАНИЕ 28.75 KB
  Кредитор, у которого находится вещь, подлежащая передачи должнику либо лицу, указанному должником, вправе в случае неисполнения обязательства по оплате этой вещи или возмещению издержек по ее истребованию и других убытков удерживать эту вещь до тех пор, пока соответствующее обязательство не будет исполнено
21423. Разработка проекта мероприятий по повышению уровня квалификации, образования и укомплектованности кадрами на ОАО«Вологодская энергетика» 174.5 KB
  К трудовым ресурсам относится та часть населения, которая обладает необходимыми физическими данными, знаниями и навыками труда в соответствующей отрасли. Достаточная обеспеченность предприятий нужными трудовыми ресурсами, их рациональное использование, высокий уровень производительности труда имеют большое значение...
21424. ФОРМЫ И ВИДЫ СОБСТВЕННОСТИ (ПС) 18.94 KB
  Исключение когда не допускается: если нарушение должника крайне не значительнопросрочка допущеннаяне превышает трёх месяцев размер требования залогодержателя явно несоразмерен стоимости заложенного имуществасумма неисполненного обва составляет менее 5 от оценки предмета залога Если эти обва имеют место не смотря на нарушение основного обво...
21425. ПРАВО ПУБЛИЧНОЙ СОБСТВЕННОСТИ 23.28 KB
  надлежащим образом оформлено 3 обращение взыскания на предмет залога. поэтому если обязательство обеспеченное залогом не исполнение или ненадлежащее то ограниченное вещное правоправо залога. Исключение когда не допускается: если нарушение должника крайне не значительнопросрочка допущеннаяне превышает трёх месяцев размер требования залогодержателя явно несоразмерен стоимости заложенного имуществасумма неисполненного обва составляет менее 5 от оценки предмета залога Если эти обва имеют место не смотря на нарушение основного обво...