90070

Погрешность результата численного решения задачи

Лекция

Математика и математический анализ

Причины возникновения и классификация погрешности Отклонение истинного решения от приближенного назовем погрешностью. Решение задач всегда имеют погрешность связанную со следующими причинами: 1 созданием математической модели любая модель имеет свою степень точности; 2 получением исходных данных т.д.

Русский

2015-05-29

116.91 KB

4 чел.

ЛЕКЦИЯ 1.

Погрешность результата численного решения задачи

Причины возникновения и классификация погрешности

Отклонение истинного решения от приближенного назовем погрешностью.

Решение задач всегда имеют погрешность, связанную со следующими причинами:

1) созданием математической модели (любая модель имеет свою степень точности);

2) получением исходных данных (т.к. являются "результатом измерений", следовательно, возникают измерительные погрешности);

3)использованием вычислительной техники (ошибки округления, возникающие из-за ограниченной разрядной сетки и ошибки, связанные с самими методами).

На рис. 1 и 2 показаны составляющие неустранимой и полной погрешности.

Рис. 1.

Рис. 2.

Неустранимую погрешность и погрешность метода необходимо контролировать, чтобы не осуществлять расчеты с избыточной точностью.

Характеристиками точности результата решения задачи являются абсолютная и относительная погрешности. Для технических задач 10 % - хорошая точность.

Определение. Если х - точное значение некоторого числа, х* - приближенное, то абсолютной погрешностью приближения х* назовем величину: , т.е. точное значение числа х заключено в границах .

Определение. Отношение абсолютной погрешности к абсолютному значению приближенной величины есть относительная погрешность (т.е. доля истинного значения): , при условии, что .

Пример: Найти абсолютную и относительную погрешности, если х=3.141592, а х*=3.14.

Решение: .

Определение. Значащими цифрами числа называются все цифры в его записи, начиная с первой ненулевой слева.

Пример: У чисел подчеркнуты значащие цифры: 0.010087 и 0.0100870000.

Любое число можно представить в виде , где  - основание системы счисления, n – некоторое целое число (старший десятичный разряд числа х), аi – значащие цифры приближенного числа x.

Определение. Значащая цифра аk считается верной, если имеет место неравенство: , где , в противном случае аk - сомнительная цифра.

Прямая задача теории погрешностей

Основная задача теории погрешностей заключается в следующем: по известным погрешностям некоторой системы параметров требуется определить погрешность функции от этих параметров.

Пусть задана дифференцируемая функция у=f1, х2,,хn) и пусть - абсолютные погрешности аргументов. Тогда абсолютная погрешность функции: (формула Лагранжа).

При зависимости функции от одного параметра .

Определение. Предельной абсолютной погрешностью называют следующую оценку погрешности величины у*, т.е. .

Пусть задана дифференцируемая функция у=f1, х2,,хn) и пусть - относительные погрешности аргументов. Тогда относительная погрешность: или .

Определение. Предельной относительной погрешностью называю величину .

Относительная погрешность суммы

. Пусть , а . Следовательно

Замечание: на практике применяется верхняя оценка.

Правила вычисления погрешностей [1]:

  1.  Предельная абсолютная погрешность суммы или разности равна сумме предельных погрешностей.
  2.  Относительная погрешность суммы положительных слагаемых не превышает наибольшей из относительных погрешностей этих слагаемых.
  3.  Предельная относительная погрешность произведения или частного равна сумме предельных относительных погрешностей.
  4.  Предельная относительная погрешность степени и корня приближенного числа равна произведению предельной относительной погрешности этого числа на показатель степени.

Обратная задача теории погрешности

Обратная задача теории погрешности заключается в следующем: при каких значениях аргумента известная функция у=f1, х2,,хn) будет иметь погрешность не превосходящую заданной величины.

Простейшее решение обратной задачи дается принципом равных влияний. Согласно этому принципу предполагается, что все частные дифференциалы одинаково влияют на образование общей абсолютной погрешности.

Предельная погрешность функции у=f1, х2,,хn) для малых абсолютных погрешностей аргументов : .

Оценка для относительной погрешности функции: или .

Пример: Найти предельные абсолютную и относительную погрешности объема шара , если d=3,7см0,05 см; 3,14.

Решение: Рассмотрим d и  как переменные величины. Вычислим частные производные , . При заданных значениях d и  получаем, что , .

Согласно правилу нахождения предельной абсолютной погрешности, имеем:

.

Поэтому V26,511,1 cм3. Относительная погрешность: .

Задачи.

1. Определить

  1.  число верных знаков приближенного числа, если известна абсолютная погрешность;
  2.  число верных десятичных знаков приближенного числа, если известна абсолютная погрешность;
  3.  абсолютную погрешность числа, если известно число верных знаков;
  4.  абсолютную погрешность, если известна относительная;
  5.  относительную погрешность, если известна абсолютная;
  6.  абсолютную погрешность функции, если известны абсолютные погрешности аргументов:

Вариант

Исходные данные

Вариант

Исходные данные

1.

  1.  x=1,109, Ax=0,110-2;
  2.  x=0,01111, Ax=0,510-3;
  3.  x=1,72911, m=3;
  4.  x=0,3771, x=1%;
  5.  x=32,11511, Ax=0,1110-2;
  6.  .

2.

  1.  x=1,609, Ax=0,110-2;
  2.  x=0,06666, Ax=0,510-3;
  3.  x=1,72916, m=3;
  4.  x=0,377766, x=0,5%;
  5.  x=32,61516, Ax=0,1110-2;
  6.  .

2.

  1.  x=1,209, Ax=0,110-2;
  2.  x=0,02222, Ax=0,510-3;
  3.  x=1,7292, m=3;
  4.  x=0,3772, x=1%;
  5.  x=32,21512, Ax=0,2210-2;
  6.  .

7.

  1.  x=1,709, Ax=0,110-2;
  2.  x=0,07777; Ax=0,510-3;
  3.  x=1,7297, m=3;
  4.  x=0,3777, x=0,5%;
  5.  x=32,71517, Ax=0,7710-2;
  6.  .


Вариант

Исходные данные

Вариант

Исходные данные

3.

  1.  x=1,309, Ax=0,110-2;
  2.  x=0,03333, Ax=0,510-3;
  3.  x=1,7293, m=3;
  4.  x=0,3773, x=1%;
  5.  x=32,91513, Ax=0,3310-2;
  6.  .

8.

  1.  x=1,809, Ax=0,110-2;
  2.  x=0,08888, Ax=0,510-3;
  3.  x=1,7298, m=3;
  4.  x=0,3778, x=0,5%;
  5.  x=32,91515, Ax=0,8810-2;
  6.  .

4.

  1.  x=1,409, Ax=0,110-2;
  2.  x=0,07214, Ax=0,510-3;
  3.  x=1,42914, m=3;
  4.  x=0,4774, x=1%;
  5.  x=32,41514, Ax=0,4410-2;
  6.  .

9.

  1.  x=1,909, Ax=0,110-2;
  2.  x=0,07219, Ax=0,510-3;
  3.  x=1,92919, m=3;
  4.  x=0,9779, x=0,5%;
  5.  x=32,91519, Ax=0,9910-2;
  6.  .

5.

a)   x=1,509, Ax=0,110-2;

  1.  x=0,07215, Ax=0,510-3;
  2.  x=1,52915, m=3;
  3.  x=0,37715, x=1%;
  4.  x=32,51515, Ax=0,5510-2;
  5.  .

10.

a) x=1,9010, Ax=0,110-2;

  1.  x=0,07210, Ax=0,510-3;
  2.  x=1,72910, m=3;
  3.  x=0,97791, x=0,5%;
  4.  x=32,915191, Ax=0,9110-2;
  5.  .

2. Составить программу нахождения суммы ряда с точностью до =0,0001:


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

38151. Методи психологічного вивчення 132.5 KB
  Використовується у процесі дослідження явищ що сприймаються безпосередньо як метод наукового пізнавання змістовно відрізняється від спостереження в буденному житті. Методика спостереження включає: вибір ситуації та об’єкта спостереження; узагальнення теоретичних уявлень про досліджувану реальність і виділення мети дослідження; побудову програми або схеми спостереження у вигляді переліку ознак явищ одиниць спостереження з детальною їх презентацією а також спосіб і форму фіксації результатів спостереження щоденниковий запис...
38152. Керівні документи з питань організації та проведення заходів морально-психологічного забезпечення адаптації молодого поповнення у військах 132.5 KB
  Моральнопсихологічне забезпечення адаптації військовослужбовців до умов військової служби Заняття №3: Керівні документи з питань організації та проведення заходів моральнопсихологічного забезпечення адаптації молодого поповнення у військах Час: 4 години Мета заняття: 1. ОСНОВНА ЧАСТИНА: Завдання та алгоритм роботи посадових осіб військових частин...
38153. Основні етапи планування і проведення заходів морально-психологічного забезпечення вартової служби 106 KB
  Моральнопсихологічне забезпечення повсякденної діяльності військ Заняття Основні етапи планування і проведення заходів моральнопсихологічного забезпечення вартової служби Час: 2 години Мета заняття: 1. Основна частина 160 Обговорення питання №1 “Вивчення керівних документів...
38154. Організація морально-психологічного забезпечення служби військ в частині (підрозділі) 115 KB
  Моральнопсихологічне забезпечення повсякденної діяльності військ Заняття №1: Організація моральнопсихологічного забезпечення служби військ в частині підрозділі. 1 2 ВСТУПНА ЧАСТИНА ОСНОВНА ЧАСТИНА Моральнопсихологічне забезпечення організації внутрішньої служби. Основні завдання...
38155. Морально-психологічне забезпечення фахової підготовки особового складу 158 KB
  ВСТУПНА ЧАСТИНА ОСНОВНА ЧАСТИНА Мобілізація особового складу підрозділу на відмінне опанування військовою спеціальністю та глибоке вивчення бойової техніки і озброєння. Виховання у військовослужбовців бережливого відношення до військової техніки та озброєння. Обслуговування й експлуатація такої техніки яка представляє складні комплекси викликали подальшу диференціацію військової праці. Її зміст у різних родах військ у частинах визначається характером зброї і бойової техніки способами їх експлуатації та застосування у бою.
38156. Морально-психологічне забезпечення виконання завдань вогневої та тактичної підготовки 167 KB
  Збройні Сили України оснащені досконалою бойовою технікою і зброєю. Обслуговування й експлуатація такої техніки, яка представляє складні комплекси, викликали подальшу диференціацію військової праці. Це, в свою чергу, зумовило збільшення кількості спеціальностей, кожна з яких вимагає від воїнів великих знань і твердих навичок. Оволодіння ними і складає сутність фахової підготовки. Її зміст у різних родах військ
38157. Морально-психологічне забезпечення міжнародних миротворчих операцій 145 KB
  Географія міжнародних миротворчих операцій є практично необмеженою, оскільки жоден населений регіон світу не можна вважати абсолютно стабільним. Тому військові підрозділи, що призначаються для здійснення миротворчих операцій, мають бути готовими до дій у будь-яких географічних і кліматичних умовах.
38158. Зміст та напрями морально-психологічного забезпечення застосування військ 269.5 KB
  Про роль духовного фактора у життєдіяльності військ досить влучно підкреслював Н.Коупленд: “…моральний стан – це питання життя і смерті. Ним не можна нехтувати. Кожна добре організована армія зацікавлена у високому рівні бойової підготовки своїх військ і, коли це можливо, в забезпеченні їх кращою зброєю, щоб створити матеріальну перевагу над противником.
38159. Інформаційно-пропагандистське забезпечення ведення бойових дій 134 KB
  Досвід локальних війн і збройних конфліктів кінця ХХ – початку ХХІ століття доводить, що інформаційно-пропагандистьский вплив і надалі буде спрямовуватися на людський розум, оскільки він дає можливість впливати на слабку ланку на полі бою – мислення індивідуального солдата.