90070

Погрешность результата численного решения задачи

Лекция

Математика и математический анализ

Причины возникновения и классификация погрешности Отклонение истинного решения от приближенного назовем погрешностью. Решение задач всегда имеют погрешность связанную со следующими причинами: 1 созданием математической модели любая модель имеет свою степень точности; 2 получением исходных данных т.д.

Русский

2015-05-29

116.91 KB

4 чел.

ЛЕКЦИЯ 1.

Погрешность результата численного решения задачи

Причины возникновения и классификация погрешности

Отклонение истинного решения от приближенного назовем погрешностью.

Решение задач всегда имеют погрешность, связанную со следующими причинами:

1) созданием математической модели (любая модель имеет свою степень точности);

2) получением исходных данных (т.к. являются "результатом измерений", следовательно, возникают измерительные погрешности);

3)использованием вычислительной техники (ошибки округления, возникающие из-за ограниченной разрядной сетки и ошибки, связанные с самими методами).

На рис. 1 и 2 показаны составляющие неустранимой и полной погрешности.

Рис. 1.

Рис. 2.

Неустранимую погрешность и погрешность метода необходимо контролировать, чтобы не осуществлять расчеты с избыточной точностью.

Характеристиками точности результата решения задачи являются абсолютная и относительная погрешности. Для технических задач 10 % - хорошая точность.

Определение. Если х - точное значение некоторого числа, х* - приближенное, то абсолютной погрешностью приближения х* назовем величину: , т.е. точное значение числа х заключено в границах .

Определение. Отношение абсолютной погрешности к абсолютному значению приближенной величины есть относительная погрешность (т.е. доля истинного значения): , при условии, что .

Пример: Найти абсолютную и относительную погрешности, если х=3.141592, а х*=3.14.

Решение: .

Определение. Значащими цифрами числа называются все цифры в его записи, начиная с первой ненулевой слева.

Пример: У чисел подчеркнуты значащие цифры: 0.010087 и 0.0100870000.

Любое число можно представить в виде , где  - основание системы счисления, n – некоторое целое число (старший десятичный разряд числа х), аi – значащие цифры приближенного числа x.

Определение. Значащая цифра аk считается верной, если имеет место неравенство: , где , в противном случае аk - сомнительная цифра.

Прямая задача теории погрешностей

Основная задача теории погрешностей заключается в следующем: по известным погрешностям некоторой системы параметров требуется определить погрешность функции от этих параметров.

Пусть задана дифференцируемая функция у=f1, х2,,хn) и пусть - абсолютные погрешности аргументов. Тогда абсолютная погрешность функции: (формула Лагранжа).

При зависимости функции от одного параметра .

Определение. Предельной абсолютной погрешностью называют следующую оценку погрешности величины у*, т.е. .

Пусть задана дифференцируемая функция у=f1, х2,,хn) и пусть - относительные погрешности аргументов. Тогда относительная погрешность: или .

Определение. Предельной относительной погрешностью называю величину .

Относительная погрешность суммы

. Пусть , а . Следовательно

Замечание: на практике применяется верхняя оценка.

Правила вычисления погрешностей [1]:

  1.  Предельная абсолютная погрешность суммы или разности равна сумме предельных погрешностей.
  2.  Относительная погрешность суммы положительных слагаемых не превышает наибольшей из относительных погрешностей этих слагаемых.
  3.  Предельная относительная погрешность произведения или частного равна сумме предельных относительных погрешностей.
  4.  Предельная относительная погрешность степени и корня приближенного числа равна произведению предельной относительной погрешности этого числа на показатель степени.

Обратная задача теории погрешности

Обратная задача теории погрешности заключается в следующем: при каких значениях аргумента известная функция у=f1, х2,,хn) будет иметь погрешность не превосходящую заданной величины.

Простейшее решение обратной задачи дается принципом равных влияний. Согласно этому принципу предполагается, что все частные дифференциалы одинаково влияют на образование общей абсолютной погрешности.

Предельная погрешность функции у=f1, х2,,хn) для малых абсолютных погрешностей аргументов : .

Оценка для относительной погрешности функции: или .

Пример: Найти предельные абсолютную и относительную погрешности объема шара , если d=3,7см0,05 см; 3,14.

Решение: Рассмотрим d и  как переменные величины. Вычислим частные производные , . При заданных значениях d и  получаем, что , .

Согласно правилу нахождения предельной абсолютной погрешности, имеем:

.

Поэтому V26,511,1 cм3. Относительная погрешность: .

Задачи.

1. Определить

  1.  число верных знаков приближенного числа, если известна абсолютная погрешность;
  2.  число верных десятичных знаков приближенного числа, если известна абсолютная погрешность;
  3.  абсолютную погрешность числа, если известно число верных знаков;
  4.  абсолютную погрешность, если известна относительная;
  5.  относительную погрешность, если известна абсолютная;
  6.  абсолютную погрешность функции, если известны абсолютные погрешности аргументов:

Вариант

Исходные данные

Вариант

Исходные данные

1.

  1.  x=1,109, Ax=0,110-2;
  2.  x=0,01111, Ax=0,510-3;
  3.  x=1,72911, m=3;
  4.  x=0,3771, x=1%;
  5.  x=32,11511, Ax=0,1110-2;
  6.  .

2.

  1.  x=1,609, Ax=0,110-2;
  2.  x=0,06666, Ax=0,510-3;
  3.  x=1,72916, m=3;
  4.  x=0,377766, x=0,5%;
  5.  x=32,61516, Ax=0,1110-2;
  6.  .

2.

  1.  x=1,209, Ax=0,110-2;
  2.  x=0,02222, Ax=0,510-3;
  3.  x=1,7292, m=3;
  4.  x=0,3772, x=1%;
  5.  x=32,21512, Ax=0,2210-2;
  6.  .

7.

  1.  x=1,709, Ax=0,110-2;
  2.  x=0,07777; Ax=0,510-3;
  3.  x=1,7297, m=3;
  4.  x=0,3777, x=0,5%;
  5.  x=32,71517, Ax=0,7710-2;
  6.  .


Вариант

Исходные данные

Вариант

Исходные данные

3.

  1.  x=1,309, Ax=0,110-2;
  2.  x=0,03333, Ax=0,510-3;
  3.  x=1,7293, m=3;
  4.  x=0,3773, x=1%;
  5.  x=32,91513, Ax=0,3310-2;
  6.  .

8.

  1.  x=1,809, Ax=0,110-2;
  2.  x=0,08888, Ax=0,510-3;
  3.  x=1,7298, m=3;
  4.  x=0,3778, x=0,5%;
  5.  x=32,91515, Ax=0,8810-2;
  6.  .

4.

  1.  x=1,409, Ax=0,110-2;
  2.  x=0,07214, Ax=0,510-3;
  3.  x=1,42914, m=3;
  4.  x=0,4774, x=1%;
  5.  x=32,41514, Ax=0,4410-2;
  6.  .

9.

  1.  x=1,909, Ax=0,110-2;
  2.  x=0,07219, Ax=0,510-3;
  3.  x=1,92919, m=3;
  4.  x=0,9779, x=0,5%;
  5.  x=32,91519, Ax=0,9910-2;
  6.  .

5.

a)   x=1,509, Ax=0,110-2;

  1.  x=0,07215, Ax=0,510-3;
  2.  x=1,52915, m=3;
  3.  x=0,37715, x=1%;
  4.  x=32,51515, Ax=0,5510-2;
  5.  .

10.

a) x=1,9010, Ax=0,110-2;

  1.  x=0,07210, Ax=0,510-3;
  2.  x=1,72910, m=3;
  3.  x=0,97791, x=0,5%;
  4.  x=32,915191, Ax=0,9110-2;
  5.  .

2. Составить программу нахождения суммы ряда с точностью до =0,0001:


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

14614. Моделювання репозиторію метаданих у сховищах даних 548.5 KB
  Лабораторна робота № 4 з дисципліни: Технології сховищ даних на тему: Моделювання репозиторію метаданих у сховищах даних Мета роботи: Вивчення порядку методів та засобів створення структури та складу метаданих для сховищ даних за схемою Захмана роз
14615. Моделювання процесів підготовки, інтеграції та завантаження даних 135.39 KB
  Лабораторна робота № 5 з дисципліни: Технології сховищ даних на тему: Моделювання процесів підготовки інтеграції та завантаження даних Мета роботи: Вивчення порядку методів та засобів добування узгодження інтеграції даних створення оперативни
14616. Моделювання процесів оперативного аналізу даних 231.29 KB
  Лабораторна робота № 6 з дисципліни: Технології сховищ даних на тему: Моделювання процесів оперативного аналізу даних Мета роботи: Вивчення порядку методів та засобів створення аналітичних та підсумкових даних і документів на основі технології...
14617. Исследование системы автоматической регулировки усиления 263 KB
  ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА к лабораторной работе Исследование системы автоматической регулировки усиления Цель работы: изучение и исследование системы АРУ при различных параметрах структурной схемы. Краткие теоретические сведения Рисунок 1 Обобщённая структурн...
14618. ИССЛЕДОВАНИЕ ТРЕХФАЗНОЙ ЦЕПИ ПРИ СОЕДИНЕНИИ ПРИЕМНИКОВ ЗВЕЗДОЙ 67.77 KB
  Лабораторная работа № 3 ИССЛЕДОВАНИЕ ТРЕХФАЗНОЙ ЦЕПИ ПРИ СОЕДИНЕНИИ ПРИЕМНИКОВ ЗВЕЗДОЙ. Цель работы: Исследование режимов работы трехфазной цепи при соединении нагрузки звездой. Симметричный и несимметричный режимы. Влияние нейтрального провода. ПОРЯДОК В
14620. АВТОМАТИЧЕСКОЕ ВКЛЮЧЕНИЕ РЕЗЕРВНОГО ИСТОЧНИКА ПИТАНИЯ 107 KB
  Отчет по лабораторному практикуму Автоматическое включение резервного источника питания Цель работы Работа предназначена для практического ознакомления с принципом выполнения схемы автоматического включения резервного источника питания АВР. Исход
14621. Усталостные испытания 2.57 MB
  Усталостные испытания Методические указания к лабораторным практическим работам и КНИРС по специальным дисциплинам для студентов всех металловедческих и материаловедческих специальностей Усталостные испытания: Методические указания к лабор
14622. Решение обратной задачи кинематики трехзвенного манипулятора 96 KB
  Лабораторная работа №5: Вариант 1 Решение обратной задачи кинематики трехзвенного манипулятора. Цель работы: изучение алгоритмов решения обратной задачи кинематики. Решение ПЗП для трехзвенного манипулятора с вращательными парами: Дано: ...