90261

МАТРИЦЫ. ОПЕРАЦИИ НАД МАТРИЦАМИ

Лекция

Информатика, кибернетика и программирование

Число столбцов в первой матрице совпадает с числом строк во второй матрице, поэтому произведение АВ существует. Положим С = АВ. В матрице С столько же строк, сколько в матрице А, и столько же столбцов, сколько в матрице В, т.е. матрица С размеров...

Русский

2015-06-01

78 KB

1 чел.

ТЕМА № 1

МАТРИЦЫ. ОПЕРАЦИИ НАД МАТРИЦАМИ

  1.  Матрицы

Определение. Матрицей размером тп называется прямоугольная таблица, составленная из тп чисел и имеющая т строк и п столбцов. Числа ij, составляющие матрицу, называются элементами   матрицы. Каждый элемент матрицы снабжен двумя индексами: первый индекс указывает номер строки, второй – номер столбца, в котором расположен этот элемент.

Для изображения матрицы употребляют круглые скобки и часто обозначают ее одной буквой, например,

А=(ij)=                                                                          (1)

Первый индекс i  (i  = 1, 2, …m) обозначает номер строки, второй  j (j = 1, 2, …n) – столбец матрицы. Матрицу принято обозначать  заглавными буквами, например А, В, С и т.д.

Горизонтальный ряд чисел называется строкой, а вертикальный – столбцом.

Определение. Если т = п, то матрица называется квадратной матрицей порядка n. Число ее строк или столбцов называется порядком матрицы.

Определение. Если же m  n, то матрица называется прямоугольной матрицей.

Определение. Две матрицы считаются равными, если они имеют одинаковые размеры и их соответствующие элементы равны. Пусть А = (ij) размером т п, В = (ij) размером pq. A = B, если m = p, n = q и ij = ij для i = 1, 2, …, m, j = 1, 2, …, n.

Определение. Последовательность элементов квадратной матрицы с одинаковыми индексами (i  =  j) называется главной диагональю матрицы  (11, 22, 33,…,nn)/

Определение. Если в квадратной матрице все недиагональные элементы равны нулю (ij= 0, при i = j), то матрица называется диагональной.

А =                                                                           

Определение. Квадратная диагональная матрица, у которой элементы главной диагонали равны единице, называется единичной матрицей Е.

А = 

Определение. Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нуль-матрицей.

Определение. Матрица, состоящая только из одной строки, называется матрицей-строкой.

Определение. Матрица, состоящая только из одного столбца, называется матрицей-столбцом.

Определение. Матрицу Аt называют транспонированной по отношению к матрице А,если она получена из матрицы А заменой строк этой матрицы её столбцами, и, наоборот, столбцов строками. 

Например, пусть А - матрица размеров т п:

транспонированная ей матрица:

Можно сказать, что транспонированная матрица получается переворачиванием матрицы вокруг главной диагонали.

Переход от матрицы А к матрице Аt  называют операцией транспонирования.

Перечислим свойства операции транспонирования:

  1.  (At)t = A,
    1.  (A + B)t = At + Bt,
    2.  (A)t = At,
    3.  (AB)t = BtAt.

2. Операции над матрицами.

Определение. Суммой двух матриц А = (ij) и В = (ij) одинаковых размеров т п называется матрица  С того же размера, элементы которых равны  сумме соответствующих элементов  матриц А и В.  С=А + В = (ij + ij) для i = 1, 2, …, m, j = 1, 2, …, n. Ясно, что сложение матриц сводится к сложению всех пар соответствующих элементов. Для матриц разных размеров сумма не определена.

Сложение матриц подчиняется законам:

А + В = В + А (переместительный закон)

(А + В) + С = А + (В + С) (сочетательный закон)

А + О = О + А = А.

Для любой матрицы А размеров т п существует матрица В тех же размеров такая, что А + В = В + А = О. При этом если  А = (ij) и В = (ij), то ij = - ij. Матрица В называется матрицей, противоположной матрице А и обозначается – А.

Определение. Произведением матрицы А = (ij) размером т п на число называется матрица (ij) тех же размеров, которая обозначается А.

Свойства  умножения матрицы на число:

1. (А) = ()А.

( + )А = А + А.

(А + В) = А + В.

1А = А.

Разность двух матриц  А и В одинаковых размеров определяется равенствами:

А – В = А + (- В) = А + (-1)В.

Определение. Произведением матрицы А = (ij) размеров т п на матрицу В = (ij) размеров nk называется матрица С = (сij) размеров mk, каждый элемент сij которой вычисляется по формуле

сij = i11j + i22j + … + innj ,   i = 1,2,…,m; j = 1,2,…,n.         (2)       

                                  

Другими словами, элемент сij равняется сумме произведений элементов строки с номером i матрицы А на соответствующие элементы столбца с номером j матрицы В. Произведение матрицы А на матрицу В обозначается АВ.

Замечание:  Операция умножения двух матриц выполнима лишь в том случае, когда число столбцов первой матрицы – сомножителя А должно равняться числу строк второй матрицы  сомножителя В. Если это условие не выполнено, произведение не существует.

Для запоминания формулы (2) пользуются мнемоническим правилом: «умножение i-той строки матрицы А на j-тый столбец матрицы В».

Приведем примеры умножения матриц.

  1.  Вычислить произведение АВ, где

Число столбцов в первой матрице совпадает с числом строк во второй матрице, поэтому произведение АВ существует. Положим С = АВ. В матрице С столько же строк, сколько в матрице А, и столько же столбцов, сколько в матрице В, т.е. матрица С размеров 23. Пусть С = (сij), тогда по формуле (2) получаем

с11 = 2(-1) + 32 = 4,    с12 = 22 + 31 = 7,   с13 = 20 + 3(-1) = - 3,  

с21 =(-1)(-1) + 42 = 9,    с22 =(-1)2 + 41 = 2,  с23 = (-1)0 + 4(-1) = - 4.

Записав эти числа в матрицу, получим

Заметим, что произведение ВА не существует, поскольку число столбцов в матрице В не равно числу строк в матрице А.

2.

3.

4.

5.

Свойства умножения матриц:

Умножение матриц в некоторых отношениях похоже на умножение чисел, а в других отношениях отличается от умножения чисел.

  1.  Для чисел  = . Для матриц из существования произведения АВ даже не следует существование произведения ВА (см. пример 1 из предыдущего пункта). Если оба произведения АВ и ВА существуют, то это могут быть матрицы разных размеров (см. примеры 4 и 5 из предыдущего пункта). Даже если матрицы АВ и ВА существуют и имеют одинаковые размеры, в общем случае АВ ВА. Например,

  

  1.  Если для чисел  = 0, то один из сомножителей равен нулю. Но для матриц, как видно из приведенного примера, равенство АВ = О может выполняться и в случае, когда А О и В О.
  2.  Умножение матриц, подобно умножению чисел, подчиняется ассоциативному закону:

(АВ)С = А(ВС).

  1.  Известно, что сложение и умножение чисел связаны дистрибутивным законом. Свойство дистрибутивности умножения относительно сложения для матриц выражается двумя равенствами:

(А + В)С = АС + ВС,

А(В + С) = АВ + АС.

  1.  (АВ) = (А)В = А(В).

3.След матрицы

Следом квадратной матрицы А называется сумма ее диагональных элементов. След матрицы обозначается trA. Таким образом, если А матрица порядка п, то

trA = 11 + 22 + … + nn.

Перечислим свойства следа матрицы:

tr(A) = tr(A);

tr(A + B) = trA + trB;

tr(AB) = tr(BA).


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

25052. Желчнокаменная болезнь 1.23 MB
  Желчнокаменная болезнь (камни в желчном пузыре) известна с глубокой древности. Упоминания о ней встречаются в трудах врачей эпохи Возрождения. Развитие анатомии в ХVI-ХVII веках способствовало изучению заболеваний печени и желчного пузыря.
25053. Методи й принципи культурології 32 KB
  Він становить епістемологію культури епістемологіяце теорія пізнання представлену загальною системою методологічних підходів принципів і методів пізнання систематизації й аналізу світових культурних процесів: Діахронний – виклад явищ фактів і подій світової та вітчизняної культури у хронологічній послідовності. Археологічний – вивчення загального стану розвитку культури минулих поколінь на підставі матеріальних знахідок. Психологічний вивчення суб’єктивних механізмів функціонування культури індивідуальних якостей людини та...
25054. Створення контркультури 38 KB
  Поняття контркультура з'явилось в західній літературі у 1960 р. Контркультура об'єднує концепції які утворюють еклектичну суміш з різних понять екзистенціалізму фрейдизму вульгаризованого марксизму руссоїзму анархізму цинізму східної філософії та релігії. Контркультура протиставляла себе тим що ставила на перше місце чуттєвоемоційне переживання буття що знаходиться за рамками умогляднологічних методів пізнання. Контркультура як правило не просто має парадигму відмінну від парадигми домінуючої культури а й явно протиставляє...
25055. Жизнедеятельность общества 38 KB
  Культура играет важную роль в жизни человека и общества которая состоит прежде всего в том что культура выступает средством аккумуляции хранения и передачи человеческого опыта. Именно культура делает человека личностью. Культура личности обычно ассоциируется с развитыми творческими способностями эрудицией пониманием произведений искусства свободным владением родным и иностранными языками аккуратностью вежливостью самообладанием высокой нравственностью и т. Культура сплачивает людей интегрирует их обеспечивает целостность...
25056. Контркультура 40.5 KB
  Она определила функциональное направление и начала выполнять действие определенное законами диалектического процесса развития общества. Культура как олицетворение процесса жизнедеятельности вырабатывала своеобразный комплекс правила игры коллективного сосуществования определяла критерии оценивания тех или других интеллектуальных действий вырабатывала методы и методики передачи информации которое оказывало содействие развитию общества. Соответственно цивилизационный процесс существенно различается у народов каждой исторической эпохи а...
25057. Народная культура 44.5 KB
  Попкультура совокупность произведений различных видов искусства музыки живописи скульптуры прикладного искусства и т. Попкультура ныне включает в себя музыку кинематограф и мультипликацию литературу средства массовой информации включая комиксы и Интернет моду кулинарию рекламу спорт туризм дизайн и множество других элементов. Культура приобретает приставку поп в случае если она превращается в нечто большее чем просто игру разума или творческое рефлексирование некое произведение должно стать широко популярным в обществе....
25058. Мистецтво. Поп-культура 31.5 KB
  Будучи складовою духовної культури мистецтво дає можливості людини виявити художньотворчі здібності утвердитися на рівні самодостатнього суб’єкта. Мистецтво включає в себе всі види художньої творчості – літературу архітектуру скульптуру живопис графіку декоративно прикладне мистецтво музику танок театр кіно та інші види людської діяльності.
25059. Культурологія. Основні завдання культурології 34.5 KB
  Тому важливим завданням теорії культури є пізнання сутності культури і виявлення законів та механізмів функціонування конкретних форм і сторін культури. аналіз культури як системи культурних феноменів; 2. виявлення ментального змісту культури; 3.
25060. Функции искусства 34 KB
  социальная функция проявляется в том что искусство оказывает идейное воздействие на общество преобразуя тем самым социальную реальность; компенсаторная функции позволяет восстановить душевное равновесие решить психологические проблемы убежать на время из серой повседневности компенсировать недостаток красоты и гармонии в каждодневной жизни; прогностическая функция отражает способность искусства строить прогнозы и предугадывать будущее; познавательная функция позволяет познавать действительность и анализировать ее при помощи...