90261

МАТРИЦЫ. ОПЕРАЦИИ НАД МАТРИЦАМИ

Лекция

Информатика, кибернетика и программирование

Число столбцов в первой матрице совпадает с числом строк во второй матрице, поэтому произведение АВ существует. Положим С = АВ. В матрице С столько же строк, сколько в матрице А, и столько же столбцов, сколько в матрице В, т.е. матрица С размеров...

Русский

2015-06-01

78 KB

1 чел.

ТЕМА № 1

МАТРИЦЫ. ОПЕРАЦИИ НАД МАТРИЦАМИ

  1.  Матрицы

Определение. Матрицей размером тп называется прямоугольная таблица, составленная из тп чисел и имеющая т строк и п столбцов. Числа ij, составляющие матрицу, называются элементами   матрицы. Каждый элемент матрицы снабжен двумя индексами: первый индекс указывает номер строки, второй – номер столбца, в котором расположен этот элемент.

Для изображения матрицы употребляют круглые скобки и часто обозначают ее одной буквой, например,

А=(ij)=                                                                          (1)

Первый индекс i  (i  = 1, 2, …m) обозначает номер строки, второй  j (j = 1, 2, …n) – столбец матрицы. Матрицу принято обозначать  заглавными буквами, например А, В, С и т.д.

Горизонтальный ряд чисел называется строкой, а вертикальный – столбцом.

Определение. Если т = п, то матрица называется квадратной матрицей порядка n. Число ее строк или столбцов называется порядком матрицы.

Определение. Если же m  n, то матрица называется прямоугольной матрицей.

Определение. Две матрицы считаются равными, если они имеют одинаковые размеры и их соответствующие элементы равны. Пусть А = (ij) размером т п, В = (ij) размером pq. A = B, если m = p, n = q и ij = ij для i = 1, 2, …, m, j = 1, 2, …, n.

Определение. Последовательность элементов квадратной матрицы с одинаковыми индексами (i  =  j) называется главной диагональю матрицы  (11, 22, 33,…,nn)/

Определение. Если в квадратной матрице все недиагональные элементы равны нулю (ij= 0, при i = j), то матрица называется диагональной.

А =                                                                           

Определение. Квадратная диагональная матрица, у которой элементы главной диагонали равны единице, называется единичной матрицей Е.

А = 

Определение. Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нуль-матрицей.

Определение. Матрица, состоящая только из одной строки, называется матрицей-строкой.

Определение. Матрица, состоящая только из одного столбца, называется матрицей-столбцом.

Определение. Матрицу Аt называют транспонированной по отношению к матрице А,если она получена из матрицы А заменой строк этой матрицы её столбцами, и, наоборот, столбцов строками. 

Например, пусть А - матрица размеров т п:

транспонированная ей матрица:

Можно сказать, что транспонированная матрица получается переворачиванием матрицы вокруг главной диагонали.

Переход от матрицы А к матрице Аt  называют операцией транспонирования.

Перечислим свойства операции транспонирования:

  1.  (At)t = A,
    1.  (A + B)t = At + Bt,
    2.  (A)t = At,
    3.  (AB)t = BtAt.

2. Операции над матрицами.

Определение. Суммой двух матриц А = (ij) и В = (ij) одинаковых размеров т п называется матрица  С того же размера, элементы которых равны  сумме соответствующих элементов  матриц А и В.  С=А + В = (ij + ij) для i = 1, 2, …, m, j = 1, 2, …, n. Ясно, что сложение матриц сводится к сложению всех пар соответствующих элементов. Для матриц разных размеров сумма не определена.

Сложение матриц подчиняется законам:

А + В = В + А (переместительный закон)

(А + В) + С = А + (В + С) (сочетательный закон)

А + О = О + А = А.

Для любой матрицы А размеров т п существует матрица В тех же размеров такая, что А + В = В + А = О. При этом если  А = (ij) и В = (ij), то ij = - ij. Матрица В называется матрицей, противоположной матрице А и обозначается – А.

Определение. Произведением матрицы А = (ij) размером т п на число называется матрица (ij) тех же размеров, которая обозначается А.

Свойства  умножения матрицы на число:

1. (А) = ()А.

( + )А = А + А.

(А + В) = А + В.

1А = А.

Разность двух матриц  А и В одинаковых размеров определяется равенствами:

А – В = А + (- В) = А + (-1)В.

Определение. Произведением матрицы А = (ij) размеров т п на матрицу В = (ij) размеров nk называется матрица С = (сij) размеров mk, каждый элемент сij которой вычисляется по формуле

сij = i11j + i22j + … + innj ,   i = 1,2,…,m; j = 1,2,…,n.         (2)       

                                  

Другими словами, элемент сij равняется сумме произведений элементов строки с номером i матрицы А на соответствующие элементы столбца с номером j матрицы В. Произведение матрицы А на матрицу В обозначается АВ.

Замечание:  Операция умножения двух матриц выполнима лишь в том случае, когда число столбцов первой матрицы – сомножителя А должно равняться числу строк второй матрицы  сомножителя В. Если это условие не выполнено, произведение не существует.

Для запоминания формулы (2) пользуются мнемоническим правилом: «умножение i-той строки матрицы А на j-тый столбец матрицы В».

Приведем примеры умножения матриц.

  1.  Вычислить произведение АВ, где

Число столбцов в первой матрице совпадает с числом строк во второй матрице, поэтому произведение АВ существует. Положим С = АВ. В матрице С столько же строк, сколько в матрице А, и столько же столбцов, сколько в матрице В, т.е. матрица С размеров 23. Пусть С = (сij), тогда по формуле (2) получаем

с11 = 2(-1) + 32 = 4,    с12 = 22 + 31 = 7,   с13 = 20 + 3(-1) = - 3,  

с21 =(-1)(-1) + 42 = 9,    с22 =(-1)2 + 41 = 2,  с23 = (-1)0 + 4(-1) = - 4.

Записав эти числа в матрицу, получим

Заметим, что произведение ВА не существует, поскольку число столбцов в матрице В не равно числу строк в матрице А.

2.

3.

4.

5.

Свойства умножения матриц:

Умножение матриц в некоторых отношениях похоже на умножение чисел, а в других отношениях отличается от умножения чисел.

  1.  Для чисел  = . Для матриц из существования произведения АВ даже не следует существование произведения ВА (см. пример 1 из предыдущего пункта). Если оба произведения АВ и ВА существуют, то это могут быть матрицы разных размеров (см. примеры 4 и 5 из предыдущего пункта). Даже если матрицы АВ и ВА существуют и имеют одинаковые размеры, в общем случае АВ ВА. Например,

  

  1.  Если для чисел  = 0, то один из сомножителей равен нулю. Но для матриц, как видно из приведенного примера, равенство АВ = О может выполняться и в случае, когда А О и В О.
  2.  Умножение матриц, подобно умножению чисел, подчиняется ассоциативному закону:

(АВ)С = А(ВС).

  1.  Известно, что сложение и умножение чисел связаны дистрибутивным законом. Свойство дистрибутивности умножения относительно сложения для матриц выражается двумя равенствами:

(А + В)С = АС + ВС,

А(В + С) = АВ + АС.

  1.  (АВ) = (А)В = А(В).

3.След матрицы

Следом квадратной матрицы А называется сумма ее диагональных элементов. След матрицы обозначается trA. Таким образом, если А матрица порядка п, то

trA = 11 + 22 + … + nn.

Перечислим свойства следа матрицы:

tr(A) = tr(A);

tr(A + B) = trA + trB;

tr(AB) = tr(BA).


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

1191. Фармакология периферической нервной системы 51 KB
  Структурно-функциональные особенности автономной (вегетативной) и соматической иннервации. Механизм передачи нервного импульса в синапсах автономной нервной системы. Эффекты возбуждения симпатических и парасимпатических нервов. Принципы фармакологической регуляции нейромедиаторных процессов. Классификация веществ, действующих на автономную нервную систему.
1192. Исследование ассортимента и качества конфет в розничной торговой сети «Рассвет» 346.34 KB
  Характеристика магазина «Рассвет» и основных показателей хозяйственной деятельности. Производители – источники поступления конфетных изделий в магазин «Рассвет». Приемка конфетных изделий по качеству и количеству в магазине «Рассвет». Анализ ассортимента конфетных изделий в магазине по видам. Результаты исследований ассортимента конфет в магазине по показателям: широта, полнота, устойчивость, новизна...
1193. Технико-экономические показатели автоматизации комплекса очистных сооружений 139.5 KB
  расчёт прогнозируемого объёма переработки загрязнённых вод на комплексе очистных сооружений. Расчет потребности капитальных вложений в основные фонды. Расчёт заработной платы. Расчёт затрат на потребление теплоэнергии (пара). Основные технико-экономические показатели автоматизации комплекса.
1194. Привод подвесного конвейера 1.04 MB
  Определение расчетной мощности электродвигателя. Выбор двигателя по каталогу. Определение передаточных чисел мощностей, частот вращения и крутящих моментов на валах привода. Расчет открытой прямозубой цилиндрической зубчатой передачи. Определение допускаемых напряжений для шестерни и колеса, при расчете на выносливость при изгибе.
1195. Организационно-экономическая часть создания системы автоматизированного проектирования 185.5 KB
  Технико-экономическое обоснование целесообразости проекта. Использование программно-аппаратных средств. Расчёт договорной цены разработки ячейки. Дополнительная заработная плата научного персонала. Календарный график работ по разработке блока.
1196. Газотурбинные установки. Машины и оборудование. Охрана труда. Строительные конструкции. 368.5 KB
  Устройство камер сгорания и теплообменных аппаратов ГТУ. Назначение, устройство и виды фильтров, используемых в гту. назначение и устройство глушителей, применяемых в компрессорах. Запорная арматура: назначение, устройство, принцип действия, примущества, недостатки, ремонтнопригодность. Устройство и принцип действия центробежного нагнетателя. Требования к проведению инструктажей по охране труда, их виды и сроки проведения.
1197. Приспособление для проведения механических испытаний 74.5 KB
  Схема сборки приспособления для проведения вибрационных испытаний. Универсальная оснастка плита для проведения вибрационных испытаний. Эта оснастка используется для проведения испытаний множества приборов.
1198. Производственный анализ СПК Октябрьский Волотовского района 63.5 KB
  Уставный капитал колхоза составляет 29531 тыс. руб. Учредителями хозяйства являются члены кооператива, которые объединили свои имущественные и земельные доли. Основным видом деятельности является сельское хозяйство, доля выручки от продажи сельскохозяйственной продукции на 2010 год составила 98 %.
1199. Проектирование одноэтажного промышленного здания города Волгограда 38.92 KB
  К промышленным относят здания, в которых размещены цехи, выпускающие готовую продукцию или полуфабрикаты. Технико-экономические показатели объемно-планировочного решения. Оценка полученных результатов. Выполнение промышленного здания из прогрессивных металлических конструкций несущих и ограждающих элементов.