90261

МАТРИЦЫ. ОПЕРАЦИИ НАД МАТРИЦАМИ

Лекция

Информатика, кибернетика и программирование

Число столбцов в первой матрице совпадает с числом строк во второй матрице, поэтому произведение АВ существует. Положим С = АВ. В матрице С столько же строк, сколько в матрице А, и столько же столбцов, сколько в матрице В, т.е. матрица С размеров...

Русский

2015-06-01

78 KB

1 чел.

ТЕМА № 1

МАТРИЦЫ. ОПЕРАЦИИ НАД МАТРИЦАМИ

  1.  Матрицы

Определение. Матрицей размером тп называется прямоугольная таблица, составленная из тп чисел и имеющая т строк и п столбцов. Числа ij, составляющие матрицу, называются элементами   матрицы. Каждый элемент матрицы снабжен двумя индексами: первый индекс указывает номер строки, второй – номер столбца, в котором расположен этот элемент.

Для изображения матрицы употребляют круглые скобки и часто обозначают ее одной буквой, например,

А=(ij)=                                                                          (1)

Первый индекс i  (i  = 1, 2, …m) обозначает номер строки, второй  j (j = 1, 2, …n) – столбец матрицы. Матрицу принято обозначать  заглавными буквами, например А, В, С и т.д.

Горизонтальный ряд чисел называется строкой, а вертикальный – столбцом.

Определение. Если т = п, то матрица называется квадратной матрицей порядка n. Число ее строк или столбцов называется порядком матрицы.

Определение. Если же m  n, то матрица называется прямоугольной матрицей.

Определение. Две матрицы считаются равными, если они имеют одинаковые размеры и их соответствующие элементы равны. Пусть А = (ij) размером т п, В = (ij) размером pq. A = B, если m = p, n = q и ij = ij для i = 1, 2, …, m, j = 1, 2, …, n.

Определение. Последовательность элементов квадратной матрицы с одинаковыми индексами (i  =  j) называется главной диагональю матрицы  (11, 22, 33,…,nn)/

Определение. Если в квадратной матрице все недиагональные элементы равны нулю (ij= 0, при i = j), то матрица называется диагональной.

А =                                                                           

Определение. Квадратная диагональная матрица, у которой элементы главной диагонали равны единице, называется единичной матрицей Е.

А = 

Определение. Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нуль-матрицей.

Определение. Матрица, состоящая только из одной строки, называется матрицей-строкой.

Определение. Матрица, состоящая только из одного столбца, называется матрицей-столбцом.

Определение. Матрицу Аt называют транспонированной по отношению к матрице А,если она получена из матрицы А заменой строк этой матрицы её столбцами, и, наоборот, столбцов строками. 

Например, пусть А - матрица размеров т п:

транспонированная ей матрица:

Можно сказать, что транспонированная матрица получается переворачиванием матрицы вокруг главной диагонали.

Переход от матрицы А к матрице Аt  называют операцией транспонирования.

Перечислим свойства операции транспонирования:

  1.  (At)t = A,
    1.  (A + B)t = At + Bt,
    2.  (A)t = At,
    3.  (AB)t = BtAt.

2. Операции над матрицами.

Определение. Суммой двух матриц А = (ij) и В = (ij) одинаковых размеров т п называется матрица  С того же размера, элементы которых равны  сумме соответствующих элементов  матриц А и В.  С=А + В = (ij + ij) для i = 1, 2, …, m, j = 1, 2, …, n. Ясно, что сложение матриц сводится к сложению всех пар соответствующих элементов. Для матриц разных размеров сумма не определена.

Сложение матриц подчиняется законам:

А + В = В + А (переместительный закон)

(А + В) + С = А + (В + С) (сочетательный закон)

А + О = О + А = А.

Для любой матрицы А размеров т п существует матрица В тех же размеров такая, что А + В = В + А = О. При этом если  А = (ij) и В = (ij), то ij = - ij. Матрица В называется матрицей, противоположной матрице А и обозначается – А.

Определение. Произведением матрицы А = (ij) размером т п на число называется матрица (ij) тех же размеров, которая обозначается А.

Свойства  умножения матрицы на число:

1. (А) = ()А.

( + )А = А + А.

(А + В) = А + В.

1А = А.

Разность двух матриц  А и В одинаковых размеров определяется равенствами:

А – В = А + (- В) = А + (-1)В.

Определение. Произведением матрицы А = (ij) размеров т п на матрицу В = (ij) размеров nk называется матрица С = (сij) размеров mk, каждый элемент сij которой вычисляется по формуле

сij = i11j + i22j + … + innj ,   i = 1,2,…,m; j = 1,2,…,n.         (2)       

                                  

Другими словами, элемент сij равняется сумме произведений элементов строки с номером i матрицы А на соответствующие элементы столбца с номером j матрицы В. Произведение матрицы А на матрицу В обозначается АВ.

Замечание:  Операция умножения двух матриц выполнима лишь в том случае, когда число столбцов первой матрицы – сомножителя А должно равняться числу строк второй матрицы  сомножителя В. Если это условие не выполнено, произведение не существует.

Для запоминания формулы (2) пользуются мнемоническим правилом: «умножение i-той строки матрицы А на j-тый столбец матрицы В».

Приведем примеры умножения матриц.

  1.  Вычислить произведение АВ, где

Число столбцов в первой матрице совпадает с числом строк во второй матрице, поэтому произведение АВ существует. Положим С = АВ. В матрице С столько же строк, сколько в матрице А, и столько же столбцов, сколько в матрице В, т.е. матрица С размеров 23. Пусть С = (сij), тогда по формуле (2) получаем

с11 = 2(-1) + 32 = 4,    с12 = 22 + 31 = 7,   с13 = 20 + 3(-1) = - 3,  

с21 =(-1)(-1) + 42 = 9,    с22 =(-1)2 + 41 = 2,  с23 = (-1)0 + 4(-1) = - 4.

Записав эти числа в матрицу, получим

Заметим, что произведение ВА не существует, поскольку число столбцов в матрице В не равно числу строк в матрице А.

2.

3.

4.

5.

Свойства умножения матриц:

Умножение матриц в некоторых отношениях похоже на умножение чисел, а в других отношениях отличается от умножения чисел.

  1.  Для чисел  = . Для матриц из существования произведения АВ даже не следует существование произведения ВА (см. пример 1 из предыдущего пункта). Если оба произведения АВ и ВА существуют, то это могут быть матрицы разных размеров (см. примеры 4 и 5 из предыдущего пункта). Даже если матрицы АВ и ВА существуют и имеют одинаковые размеры, в общем случае АВ ВА. Например,

  

  1.  Если для чисел  = 0, то один из сомножителей равен нулю. Но для матриц, как видно из приведенного примера, равенство АВ = О может выполняться и в случае, когда А О и В О.
  2.  Умножение матриц, подобно умножению чисел, подчиняется ассоциативному закону:

(АВ)С = А(ВС).

  1.  Известно, что сложение и умножение чисел связаны дистрибутивным законом. Свойство дистрибутивности умножения относительно сложения для матриц выражается двумя равенствами:

(А + В)С = АС + ВС,

А(В + С) = АВ + АС.

  1.  (АВ) = (А)В = А(В).

3.След матрицы

Следом квадратной матрицы А называется сумма ее диагональных элементов. След матрицы обозначается trA. Таким образом, если А матрица порядка п, то

trA = 11 + 22 + … + nn.

Перечислим свойства следа матрицы:

tr(A) = tr(A);

tr(A + B) = trA + trB;

tr(AB) = tr(BA).


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

36310. Классификация исполнительных механизмов. Их характеристики 12.96 KB
  По виду энергии создающей перестановочное усилие ИМ делятся на гидравлические пневматические электрические и комбинированные. Гидравлические: мембранные поршневые лопастные гидромуфты Пневматические: мембранные поршневые сильфонные Электрические: электродвигатели электромагнитные электрические устройства позиционного типа переменной скорости постоянной скорости По типу движения все вышеперечисленные ИМ делятся на прямоходные однооборотные многооборотные.
36311. Приведите и поясните основные принципы управления 23.52 KB
  Управление по возмущению управление без обратной связи по регулируемой величине – разомкнутые системы управления.Управление по отклонению управление с обратной связью по регулируемой величине – замкнутые системы управления. Управление по возмущению В таких системах выходная величина объекта у не измеряется управляющее воздействие не зависит от у. Управление в разомкнутых системах может осуществляться: а в виде программного управления: при этом регулятор УУ действует по заранее заданной...
36312. Стадии и этапы проектирования систем автоматизации 15.92 KB
  Исследование и обоснование создания АСУТП. На этой стадии формируют цель создания АСУТП требования к системе в целом перечень автоматизируемых функций а также определяют источники эффективности системы. На этой стадии проводят анализ известных случаев применения АСУТП для аналогичных объектов и техникоэкономическое обследование существующего ТехОбУпр. Результатом работ на этой стадии являются техникоэкономическое обоснование ТЭО создания АСУТП и результаты обследования и анализа ТОУ в виде отчета.
36313. Исполнительное устройство – силовое устройство, которое изменяет величину регулируемого параметра в соответствии с сигналом, подающимся от регулирующего устройства 30.48 KB
  Исполнительное устройство – силовое устройство которое изменяет величину регулируемого параметра в соответствии с сигналом подающимся от регулирующего устройства. Схема исполнительного устройства: Исполнительное устройство должно иметь вспомогательные средства управления. На входе исполнительного устройства ставят блоки усиления БУ которые усиливают командный сигнал для передачи от регулирующего устройства к исполнительному.
36314. Виды и типы схем. Их назначение. Примеры 76.8 KB
  Виды и типы схем При разработке схем автоматического управления и технологического контроля применяют различные приборы и средства автоматизации соединяемые с объектом управления и между собой по определенным схемам. В зависимости от используемых приборов и средств автоматизации электрических пневматических гидравлических и линейной связи в проектах автоматизации разрабатывают схемы которые различают по видам и типам. Наибольшее распространение в практике автоматизации технологических процессов получили электрические приборы и средства...
36315. Выбор типа исполнительного механизма 11.96 KB
  ИМ выбирают в зависимости от величины усилия необходимого для перестановки регулирующего клапана или величины момента для поворотных заслонок. Для поворотных заслонок величину момента Нм необходимого для их вращения определяют по формуле М=кМрМт где Мр – реактивный момент; к – 2 ÷ 3 – коэффициент учитывающий затяжку сальников и загрязненность трубопровода; Мт – момент трения. Момент на валу ИМ д б равен или больше момента необходимого для вращения заслонки. Реактивный момент обусловленный стремлением потока закрыть заслонку равен:...
36316. Задачи расписания и упорядочения 12.1 KB
  Задачи расписания и упорядочения Задачи распределения и упорядочения возникают тогда когда требуется установить последовательность выполнения операций на различных агрегатах и определить время начала и окончания этих операций. Рассмотрим схему прокатки металла на сортовом стане отражающую производственную структуру участка для которой требуется определить расписание работы: В этом случае задача состоит в определении расписания и выполнения операций при которых некоторый критерий оценки эффективности работы объекта принимает экстремальное...
36317. Импульсные характеристики статических объектов. Определение параметров объекта по импульсным характеристикам 16.59 KB
  Определение параметров объекта по импульсным характеристикам. При снятии кривых разгона приходится вносить длительные и достаточно существенные возмущения в работу объекта. При этом возмущение в работу объекта вносят на сравнительно короткое время но при этом его величина может быть значительно больше чем при ступенчатом. Для объекта без самовыравнивания – Коб=.
36318. Информационное обеспечение САПР 13.94 KB
  Совокупность данных используемых всеми компонентами САПР математическое программное информационное обеспечение составляет информационный фонд. Существует несколько способов ведения информационного фонда: использование файловой системы построение библиотек использование банков данных создание специализированных программадаптеров. Она обеспечивает начальный ввод крупных массивов данных хранение текстовых документов но малопригодны при обеспечении быстрого доступа к справочным данным хранении меняющихся данных ведении текущей...