90261

МАТРИЦЫ. ОПЕРАЦИИ НАД МАТРИЦАМИ

Лекция

Информатика, кибернетика и программирование

Число столбцов в первой матрице совпадает с числом строк во второй матрице, поэтому произведение АВ существует. Положим С = АВ. В матрице С столько же строк, сколько в матрице А, и столько же столбцов, сколько в матрице В, т.е. матрица С размеров...

Русский

2015-06-01

78 KB

1 чел.

ТЕМА № 1

МАТРИЦЫ. ОПЕРАЦИИ НАД МАТРИЦАМИ

  1.  Матрицы

Определение. Матрицей размером тп называется прямоугольная таблица, составленная из тп чисел и имеющая т строк и п столбцов. Числа ij, составляющие матрицу, называются элементами   матрицы. Каждый элемент матрицы снабжен двумя индексами: первый индекс указывает номер строки, второй – номер столбца, в котором расположен этот элемент.

Для изображения матрицы употребляют круглые скобки и часто обозначают ее одной буквой, например,

А=(ij)=                                                                          (1)

Первый индекс i  (i  = 1, 2, …m) обозначает номер строки, второй  j (j = 1, 2, …n) – столбец матрицы. Матрицу принято обозначать  заглавными буквами, например А, В, С и т.д.

Горизонтальный ряд чисел называется строкой, а вертикальный – столбцом.

Определение. Если т = п, то матрица называется квадратной матрицей порядка n. Число ее строк или столбцов называется порядком матрицы.

Определение. Если же m  n, то матрица называется прямоугольной матрицей.

Определение. Две матрицы считаются равными, если они имеют одинаковые размеры и их соответствующие элементы равны. Пусть А = (ij) размером т п, В = (ij) размером pq. A = B, если m = p, n = q и ij = ij для i = 1, 2, …, m, j = 1, 2, …, n.

Определение. Последовательность элементов квадратной матрицы с одинаковыми индексами (i  =  j) называется главной диагональю матрицы  (11, 22, 33,…,nn)/

Определение. Если в квадратной матрице все недиагональные элементы равны нулю (ij= 0, при i = j), то матрица называется диагональной.

А =                                                                           

Определение. Квадратная диагональная матрица, у которой элементы главной диагонали равны единице, называется единичной матрицей Е.

А = 

Определение. Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нуль-матрицей.

Определение. Матрица, состоящая только из одной строки, называется матрицей-строкой.

Определение. Матрица, состоящая только из одного столбца, называется матрицей-столбцом.

Определение. Матрицу Аt называют транспонированной по отношению к матрице А,если она получена из матрицы А заменой строк этой матрицы её столбцами, и, наоборот, столбцов строками. 

Например, пусть А - матрица размеров т п:

транспонированная ей матрица:

Можно сказать, что транспонированная матрица получается переворачиванием матрицы вокруг главной диагонали.

Переход от матрицы А к матрице Аt  называют операцией транспонирования.

Перечислим свойства операции транспонирования:

  1.  (At)t = A,
    1.  (A + B)t = At + Bt,
    2.  (A)t = At,
    3.  (AB)t = BtAt.

2. Операции над матрицами.

Определение. Суммой двух матриц А = (ij) и В = (ij) одинаковых размеров т п называется матрица  С того же размера, элементы которых равны  сумме соответствующих элементов  матриц А и В.  С=А + В = (ij + ij) для i = 1, 2, …, m, j = 1, 2, …, n. Ясно, что сложение матриц сводится к сложению всех пар соответствующих элементов. Для матриц разных размеров сумма не определена.

Сложение матриц подчиняется законам:

А + В = В + А (переместительный закон)

(А + В) + С = А + (В + С) (сочетательный закон)

А + О = О + А = А.

Для любой матрицы А размеров т п существует матрица В тех же размеров такая, что А + В = В + А = О. При этом если  А = (ij) и В = (ij), то ij = - ij. Матрица В называется матрицей, противоположной матрице А и обозначается – А.

Определение. Произведением матрицы А = (ij) размером т п на число называется матрица (ij) тех же размеров, которая обозначается А.

Свойства  умножения матрицы на число:

1. (А) = ()А.

( + )А = А + А.

(А + В) = А + В.

1А = А.

Разность двух матриц  А и В одинаковых размеров определяется равенствами:

А – В = А + (- В) = А + (-1)В.

Определение. Произведением матрицы А = (ij) размеров т п на матрицу В = (ij) размеров nk называется матрица С = (сij) размеров mk, каждый элемент сij которой вычисляется по формуле

сij = i11j + i22j + … + innj ,   i = 1,2,…,m; j = 1,2,…,n.         (2)       

                                  

Другими словами, элемент сij равняется сумме произведений элементов строки с номером i матрицы А на соответствующие элементы столбца с номером j матрицы В. Произведение матрицы А на матрицу В обозначается АВ.

Замечание:  Операция умножения двух матриц выполнима лишь в том случае, когда число столбцов первой матрицы – сомножителя А должно равняться числу строк второй матрицы  сомножителя В. Если это условие не выполнено, произведение не существует.

Для запоминания формулы (2) пользуются мнемоническим правилом: «умножение i-той строки матрицы А на j-тый столбец матрицы В».

Приведем примеры умножения матриц.

  1.  Вычислить произведение АВ, где

Число столбцов в первой матрице совпадает с числом строк во второй матрице, поэтому произведение АВ существует. Положим С = АВ. В матрице С столько же строк, сколько в матрице А, и столько же столбцов, сколько в матрице В, т.е. матрица С размеров 23. Пусть С = (сij), тогда по формуле (2) получаем

с11 = 2(-1) + 32 = 4,    с12 = 22 + 31 = 7,   с13 = 20 + 3(-1) = - 3,  

с21 =(-1)(-1) + 42 = 9,    с22 =(-1)2 + 41 = 2,  с23 = (-1)0 + 4(-1) = - 4.

Записав эти числа в матрицу, получим

Заметим, что произведение ВА не существует, поскольку число столбцов в матрице В не равно числу строк в матрице А.

2.

3.

4.

5.

Свойства умножения матриц:

Умножение матриц в некоторых отношениях похоже на умножение чисел, а в других отношениях отличается от умножения чисел.

  1.  Для чисел  = . Для матриц из существования произведения АВ даже не следует существование произведения ВА (см. пример 1 из предыдущего пункта). Если оба произведения АВ и ВА существуют, то это могут быть матрицы разных размеров (см. примеры 4 и 5 из предыдущего пункта). Даже если матрицы АВ и ВА существуют и имеют одинаковые размеры, в общем случае АВ ВА. Например,

  

  1.  Если для чисел  = 0, то один из сомножителей равен нулю. Но для матриц, как видно из приведенного примера, равенство АВ = О может выполняться и в случае, когда А О и В О.
  2.  Умножение матриц, подобно умножению чисел, подчиняется ассоциативному закону:

(АВ)С = А(ВС).

  1.  Известно, что сложение и умножение чисел связаны дистрибутивным законом. Свойство дистрибутивности умножения относительно сложения для матриц выражается двумя равенствами:

(А + В)С = АС + ВС,

А(В + С) = АВ + АС.

  1.  (АВ) = (А)В = А(В).

3.След матрицы

Следом квадратной матрицы А называется сумма ее диагональных элементов. След матрицы обозначается trA. Таким образом, если А матрица порядка п, то

trA = 11 + 22 + … + nn.

Перечислим свойства следа матрицы:

tr(A) = tr(A);

tr(A + B) = trA + trB;

tr(AB) = tr(BA).


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

77763. Учет некапитальных работ 29.68 KB
  Учет некапитальных работ План лекции. Виды некапитальных работ. Кроме капитального характера учитываемых в составе основного производства строительные организации выполняют работы и услуги являющиеся некапитальными не основными работами. Эти работы связаны с выполнением основных объемов строительномонтажных работ но как правило они не являются объектом договора на строительство.
77764. Особенности учета претензионной работы в строительстве 19.75 KB
  В то же самое время нередко у заказчика объекта капитального строительства возникает необходимость оформления претензионной работы к подрядной организации. Подобную необходимость могут вызвать следующие факторы: подрядчик не уложился в график строительства; имеет место некачественное выполнение строительных работ; обнаружено завышение объемов выполненных строительных работ выявленного путем контрольного обмера; нарушена технология предусмотренная для выполнения строительных работ; неправильно использованы расценки что...
77765. Особенности учета страхования строительных рисков 31.29 KB
  Особенности учета страхования строительных рисков. Цели страхования. Виды и объекты страхования. В настоящее время банки и другие кредитные организации все чаще выдвигают требования страхования строительных рисков с тем чтобы предоставленные ими финансовые средства были как можно полнее защищены.
77766. Особенности формирования финансовых результатов деятельности строительных организаций 19.52 KB
  Учет и оформление реализации сдачи строительных работ. В рыночных условиях финансовый результат является наиболее существенным показателем эффективности работы строительной организации. Конечный финансовый результат балансовая прибыль или убыток деятельности строительной организации складывается из: финансовый результат строительномонтажных организаций от сдачи заказчику финансового результата от сдачи заказчику объектов работ и услуг предусмотренных договорами; реализации на сторону основных средств и...
77767. Экономическая сущность строительной деятельности и ее правовые основы 21.54 KB
  Виды строительства. Продукцией капитального строительства являются вводимые в действие и принятые в установленном порядке производственные мощности и объекты непроизводственного назначения. Более 70 отраслей национальной экономики обслуживают отрасль строительства в ней используется около 20 продукции черной металлургии большая часть продукции промышленности строительных материалов конструкций деталей и др. Отрасль строительства объединяет деятельность проектноизыскательских научноисследовательских организаций предприятий...
77768. Договорные отношения в строительстве 15.26 KB
  Понятие и содержание договора строительного подряда. Функции договора строительного подряда и его особенности. В тексте договора не должны содержаться пункты противоречащие законодательству а также не относящиеся к взаимоотношениям сторон по договору. Общие правила и положения о договорах подряда регламентируются ГК РК ст.
77769. Особенности учета в строительной деятельности 18.71 KB
  Для успешного управления строительной организацией необходимо знать что строить в каком количестве и во что обходится выполнение определенных строительных работ возведение объекта строительства и т. Например определяется не только объем выполненных работ но и их себестоимость издержки обращения полученный доход и т. К настоящему моменту можно выделить следующие основные задачи бухгалтерского учета строительной организации: формирование полной и достоверной информации о деятельности строительной организации и ее имущественном...
77770. Учет источников финансирования капитальных вложений в строительстве 28.33 KB
  При учете амортизационных отчислений использование данного источника не отражается на синтетических счетах т. По дебету счета отражается начисление амортизации за отчетный период по объектам по кредиту счета отражается использование амортизации по тем суммам которые были учтены как затраты на строительство или как выплаты авансов подрядчикам. Застройщику на строительство объектов в порядке долевого участия от участников поступают деньги на счета по учету денежных средств. При этом...
77771. Сметная стоимость строительной продукции 24.82 KB
  Методы определения сметной стоимости строительства. Сметная стоимость строительства это денежные средства сумма которых определяется на основе проектных материалов. Сметная стоимость строительства ССС является основой для определения размера инвестиционных средств на строительство формирования цен на строительную продукцию служит ориентиром при осуществлении закупа подрядных строительных услуг заказчиком с целью заключения договора подряда расчетов за выполненные подрядные работы согласно действующему законодательству РК. В...