90496

Система двух дифференциальных уравнений с рациональными правыми частями на отсутствие подвижных критических особых точек

Курсовая

Математика и математический анализ

Целью исследования является нахождение необходимых и достаточных условий отсутствия подвижны многозначных особых точек у решений заданной дифференциальной системы. Для достижения поставленной цели требуется решить следующие задачи: последовательно находя необходимые условия...

Русский

2015-06-06

267.18 KB

2 чел.

22

РЕЗЮМЕ

«Аналитические свойства системы двух дифференциальных уравнений с рациональными правыми частями»

Работа содержит: 23 страницы, 2 использованных источника литературы.

Ключевые слова: подвижные критические особые точки.

Цель курсовой работы – исследовать систему двух дифференциальных уравнений с рациональными правыми частями на отсутствие подвижных критических особых точек.

Объектом исследования выступает система двух дифференциальных уравнений с рациональными правыми частями.

Предметом исследования настоящей работы являются преобразования системы двух дифференциальных уравнений с рациональными правыми частями.

В работе были использованы: метод малого параметра, линейные преобразования и т.д.


SUMMARY

«Analytical properties of the system of two differential equations with rational right-hand sides»

The work includes: 23 pages, 2 references.

Keywords: moving critical singularities.

The purpose of the job is to investigate the system of two differential equations with rational right-hand sides in the absence of moving parts critical singular points.

The object of research is a system of two differential equations with rational right-hand sides.

The subject of research is the conversion of this system of two differential equations with rational right-hand sides.

In job were used: the method of small parameter, linear transformations, etc.


СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ 5

1. НЕКОТОРЫЕ НЕОБХОДИМЫЕ УСЛОВИЯ ОДНОЗНАЧНОСТИ РЕШЕНИЙ. 6

2. СЛУЧАЙ . 7

2.1. Случай 7

2.1.1. Случай . 9

2.1.2. Случай . 12

2.2. Случай . 15

2.2.1. Случай . 17

2.2.2. Случай . 21

ЗАКЛЮЧЕНИЕ 22

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 23


ВВЕДЕНИЕ

Одной из важнейших задач аналитической теории дифференциальных уравнений является задача выделения классов уравнений с систем, решения которых не имеют подвижных критических особых точек. Уравнения и системы, для которых выполняется это свойство, называются уравнениями и системами типа Пенлеве.

Объектом исследования в работе являются система двух дифференциальных уравнений с рациональными правыми частями.

Целью исследования является нахождение необходимых и достаточных условий отсутствия подвижны многозначных особых точек у решений заданной дифференциальной системы.

Для достижения поставленной цели требуется решить следующие задачи: последовательно находя необходимые условия, отсеять системы с подвижными критическими особенностями; непосредственным интегрированием или путем сравнения с классическими системами типа Пенлеве установить достаточность найденных условий.


1. НЕКОТОРЫЕ НЕОБХОДИМЫЕ УСЛОВИЯ ОДНОЗНАЧНОСТИ РЕШЕНИЙ.

 Рассмотрим автономную систему дифференциальных уравнений

                                    (1)

Найдем условия, при которых (1) не имеет подвижных критических точек.

Введем в систему (1)  параметр по формулам:

Получим систему

Отсюда

При имеем для (1) упрощенную систему

                                               (2)

Из системы (2) получаем:

                                              (3)

где - произвольная постоянная.

Для отсутствия у решений системы (3) подвижных критических точек необходимо, чтобы или

2. СЛУЧАЙ .

 Имеем систему

                                       (4)

2.1. Случай

Пусть .                                                                                        (5)

С помощью линейного преобразования

                       

систему (4) приводим к системе вида

где

Поэтому можем в (4), при , считать и рассматривать систему вида

                                   (6)

Найдем необходимые и достаточные условия, при которых система (6) не имеет подвижных критических точек. Введем в систему (6) параметр по формулам: .

Получим систему

При , имеем

                                              (7)

Получили систему, упрощенную для системы (6).

2.1.1. Случай .

Пусть .                                                                                        (8)

Тогда из (7) имеем

Откуда

где - произвольные постоянные.

Для однозначности компоненты необходимо требовать

                                                      (9)

Учитывая условия (8), (9), получаем систему

                                             (10)

Из системы (10) исключим , получим дифференциальное уравнение вида

                          (11)

Для того, чтобы в решении уравнений (11) отсутствовали подвижные критические особые точки необходимо, чтобы [1],[2]

,                                                                     (12)

, т.к. .

Учитывая условие (12) уравнение (11) перепишется в виде

(13)

Уравнение (13), для отсутствия подвижный критических особых точек, должно быть полиномом по [1],[2].

Если , то надо требовать

откуда .

Тогда (10) запишется в виде

                                                (14)

Из второго уравнения следует, что (14) не имеет подвижных критических особых точек, если только

                                                  (15)

Пусть                                                                                       (16)

то уравнение (13) перепишется в виде

                        (17)

где

.

Для отсутствия подвижных критических особых точек, в решении уравнения (17) требуем, чтобы . Откуда необходимо

,

что имеет место, если

                                               (18)

Уравнение (17) примет вид

                             (19)

Если , то необходимо и достаточно, чтобы .

Пусть , тогда уравнение (19) перепишется в виде

                                  (20)

где                                                                                             (21)

Если ,                                                                                        (22)

то имеем уравнение

                                             (23)

Уравнение (20) не имеет подвижных критических особых точек, если .

Уравнение (23) также не имеет подвижных критических особых точек.

2.1.2. Случай .

Пусть . Исключая из системы (7) получаем уравнение

                                       (24)

Выполнив замену , получим

.

Так как , то это уравнение не будет иметь подвижных критических особых точек, когда

                                                    (25)

Пусть, . Тогда с помощью линейного преобразования система (6) приводится к системе, у которой . Поэтому будем рассматривать систему вида

                                        (26)

В систему (26) введем параметр по формулам

тогда она примет вид

при , имеем упрощенную систему

                                                (27)

Если , то из (27) имеем

или .

Решение системы , где - произвольные постоянные.

Для однозначности решения необходимо требовать, чтобы . Если , то из (27) имеем

и подставляем и во второе уравнение системы (27). Получим

Для отсутствия у этого уравнения критических особенностей необходимо, чтобы правая часть уравнения была полиномом относительно [1],[2], что имеет место при . Тогда система (26) примет вид

                                   (28)

Если                                                                                         (29)

то исключая из системы , получаем уравнение второго порядка для

                                           (30)

Уравнение (30) не имеет подвижные критические особенности.

При                                                                                          (31)

система (28) перепишется в виде

                                         (32)

Исключаем и получим для уравнение второго порядка

                 (33)

Для отсутствия подвижных критических особых точек у этого уравнения требуем, чтобы .

Если                                                                                          (34)

то уравнение (33) имеет вид

Это уравнение не имеет подвижных критических особых точек только если

, где или                                   (35)

Если ,                                                                                         (36)

то уравнение (33) имеет вид

                               (37)

Выполнив в (37) замену получим уравнение

,

имеющее Пенлеве.

2.2. Случай .

 Система (4) примет вид

                                             (38)

С помощью линейного преобразования система (38) приводится к системе, у которой . Поэтому будем рассматривать систему вида

                                           (39)

Исключая и из системы (39), получим уравнение

  (40)

Уравнение (40) не будет иметь подвижных критических особых точек, когда его правая часть будет полиномом по не выше второй степени [1],[2], поэтому надо требовать

.

Учитывая это условие, система (39) перепишется в виде

                                 (41)

Линейным преобразованием приводим систему (41) к виду

                                    (42)

Найдем необходимые и достаточные условия, при которых система (42) не имеет подвижных критических точек. Введем в систему (42) параметр по формулам: .

Получим систему

При , имеем

                                          (43)

Получили систему, упрощенную для системы (42).

2.2.1. Случай .

 Пусть . Тогда из (43) имеем

Откуда

где - произвольные постоянные.

Для однозначности компоненты необходимо требовать .

Рассмотрим случай .                                                         (44)

Получаем систему:

                                          (45)

Исключая и из системы (45) для получим уравнение

                       (46)

Для однозначности решения уравнения (46) требуем

                                           (47)

В силу (47) уравнение (46) перепишется в виде

                              (48)

Рассмотрим случаи

                                              (49,а)

                                             (49,б)

2.2.1.1. Случай .

При условии (49,а) уравнение (48) перепишется в виде

Для отсутствия подвижных критических особых точек у решений этого уравнения надо требовать, чтобы

.

Это условие выполняется, если или . Таким образом имеем

                                  (50,а)

или                                                  (50,б)

Покажем, что при условиях (50) система (45) не имеет подвижных критических особых точек.

Пусть . Тогда система (45) примет вид

                                                         (51)

Из системы (51) получаем, что компонента удовлетворяет уравнению

Откуда , где - произвольные постоянные. Таким образом, система (51) не имеет подвижных критических особых точек.

Пусть . Тогда система (45) примет вид

                                             (52)

Компоненты удовлетворяет уравнению

.

Получаем , где - произвольные постоянные. В данном случае система (52) также не будет иметь подвижных критических особых точек.

2.2.1.2. Случай .

Если , то уравнение (48) имеет подвижные критические особые точки.

Если , то уравнение (48) перепишется в виде

                                    (53)

где

Так как , то .

Таким образом, уравнение (53) перепишется в виде

                                          (54)

Полагая в (54) , получим уравнение

                                                                    (55)

Уравнение (55), а значит и система (45) не имеет подвижных критических особых точек, только при условии

,                                           (56)

2.2.2. Случай .

Из системы (43) исключаем и получаем уравнение для  

Уравнение имеет подвижные критические особые точки, так как


ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В итоге мы можем сформулировать теорему.

Теорема. Для того, чтобы система (4) имела однозначные решения необходимо и достаточно, чтобы она принимала один из видов: (14) при условии (15); (10) при условиях , (12), (18) и одном их условий: 1) , 2) , (21), 3) , ; (26) при условии ; (32) при одном из условий: 1) (34), (35), 2) (36); (45) при одном из условий: 1) (49,а), (50,а), 2) (49,а), (50,б), 3) (47), (49,б), , (56).


СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

  1.  Айнс, Э.Л. Обыкновенные дифференциальные уравнения / Э.Л. Айнс. – Харьков: ГНТИУ, 1939. – 719с.
  2.  Мартынов, И.П. Системы типа Пенлеве / И.П. Мартынов, Н.С. Березкина // Учебное пособие по спецкурсу – Гродно: ГрГУ, 1986. — 119 с.

 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

75890. Понятие «империя» и многообразие его трактовок. Континентальные и морские империи 15.44 KB
  Континентальные и морские империи. Исторически такая трактовка империи оформилась не сразу. Понятие империи было тесно связано с завоеваниями территориальными захватами. Развитие империи как агрессивного расширяющегося государства всегда сопровождалось развитием личной диктатуры тиранической власти единоличного правителя.
75891. Межнациональные отношения внутри империи. Метрополия и колонии. Сравнительный анализ Российской империи, Австро-Венгрии, Великобритании. «Внутренний колониализм» 18.63 KB
  Сравнительный анализ Российской империи АвстроВенгрии Великобритании. Характер интеграции присоединенных территорий материальные духовные связи метрополии с завоеванными территориями определяют будущее империи. Сравним Британскую Российскую и АвстроВенгерскую империи.
75892. СССР как «империя»: сохранился ли имперский характер государства в советский период? Является ли современная Россия империей 17.35 KB
  Империя: слово и его значения Ливен Д. Российская империя и её враги с XVI века до наших дней. Она расширялась в соперничестве с имперскими континентальными государствами Австрийской и Османской империями на западе Китаем и Северо-Американскими Штатами на востоке.
75893. Неудобные регионы современной России: в чем их специфика, будущее этих регионов в составе России? (анализ одного-двух примеров на выбор семинариста – Кавказ, Сибирь, Крым, Дальний Восток, «крайний север», Калининград и т.п.) 14.13 KB
  Население регионов все активнее пытается привлечь внимание Центра к своим социальноэкономическим и экологическим проблемам; все большее число людей обращают внимание на региональные культурные особенности и проявляют интерес к истории своего края. Предварительные результаты последней переписи населения проведенной в октябре 2010 года свидетельствуют о том что в графе национальность жители ряда регионов указывали новые национальные самоидентификации.
75894. Понятие «центр» - «периферия» в современной России и их границы 15.2 KB
  Результаты многочисленных социологических исследований показывают что такие ощущения присущи населению субъектов РФ вне зависимости от их географического положения и связаны они во-первых с повсеместными представлениями об удаленности интересов и политических решений центра от насущных проблем периферии и во-вторых с уверенностью в том что влиять на центральные интересы и решения фактически невозможно.
75895. Соотношение светской и церковной власти в Древней и Средневековой Руси 14.01 KB
  В Новгородских землях и Смоленских церкви обеспечивались к половине 12 в. К тому же во время феодальной раздробленности авторитет главы церкви значительно вырос. Территориально-административная организация церкви повторяла систему подчинения древнерусских княжеств Киеву один митрополит и несколько.
75896. Сущность российского самодержавия. Когда оно возникло? В чем его отличия от западноевропейских монархий 15.64 KB
  САМОДЕРЖАВИЕ - форма правления, при которой власть всецело и нераздельно принадлежит царю. Идея самодержавия возникла уже в самом замысле крещения Руси, то есть возникновение централизованного государства объединенного единой религией.
75897. Этапы становления и развития представительной власти в России: вече, Земский собор, Государственная Дума 14.92 KB
  ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СОВЕТ законосовещательный орган созданный при Александре. СЪЕЗД СОВЕТОВ представительный и законодательный орган в СССР состоял из Союзного Совета и Совета Национальностей. В НАСТОЯЩЕЕ ВРЕМЯ к представительным органам РФ относятся после 1993 г: Федеральное собрание высший представительный орган законодательные органы субъектов РФ органы местного самоуправления.
75898. Советская власть: теория и практика. Ленинская идея Советов и ее реализация 29.69 KB
  К сожалению с принятием Конституции 1936 года указанная определяющая особенность Советской власти была утрачена и с этого времени постепенно начала меняться классовая природа государственной власти. Большинством правящей партии большинством рабочего класса и большинством народа не был осознан советский принцип организации власти как власти формируемой в трудовых коллективах. Советский характер власти был вроде бы юридически закреплен но лишь по форме а не по существу. Организация власти не была увязана с организацией экономической...